Ver el código de «Área»

{{otros usos|este=un concepto geométrico|Área (desambiguación)}}[[File:Area.svg|alt=Three shapes on a square grid|derecha|miniaturadeimagen|Área, coloreada, de tres figuras geométricas simples]]
El '''área''' es un [[espacio métrico|concepto métrico]] que puede permitir asignar una [[medición|medida]] a la extensión de una [[superficie (matemática)|superficie]], expresada en matemáticas como [[Unidad de medida|unidades de medida]] denominadas [[unidades de superficie]].<ref>{{Cita libro|apellidos=Arturo|nombre=Rincón Villalba Mario|título=Topografía: Conceptos y aplicaciones|url=https://books.google.es/books?id=3K5JDwAAQBAJ&pg=SA9-PA11&dq=%C3%A1rea++concepto+m%C3%A9trico+medida&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjqpsy6jsvZAhXGuRQKHTZ9D34Q6AEINzAD#v=onepage&q=%C3%A1rea%20%20concepto%20m%C3%A9trico%20medida&f=false|fechaacceso=1 de marzo de 2018|fecha=2018|editorial=Ecoe Ediciones|isbn=9789587715071|idioma=es|apellidos2=Ernesto|nombre2=Vargas Vargas Wilson|apellidos3=Javier|nombre3=González Vergara Carlos}}</ref> El área es un concepto métrico que requiere la especificación de una [[teoría de la medida|medida de longitud]].

El '''área'''  es una [[Magnitud física|magnitud]] [[Tensor métrico|métrica]] de tipo [[Escalar (física)|escalar]] definida como la extensión en [[Tridimensional|dos dimensiones]] de una recta al plano del [[Espacio (física)|espacio]].

Para superficies planas, el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos —es decir, cualquier [[polígono]]— puede [[Triangulación de un polígono|triangularse]], y se puede calcular su área como suma de las áreas de los triángulos en que se descompone.<ref>{{Cita libro|título=Didáctica de las Matemáticas- Una Experiencia Pedagógica|url=https://books.google.es/books?id=LXjbdpezl_IC&pg=PT60&dq=%C3%A1rea++concepto+m%C3%A9trico+medida&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjqpsy6jsvZAhXGuRQKHTZ9D34Q6AEIJzAA#v=onepage&q=%C3%A1rea%20%20concepto%20m%C3%A9trico%20medida&f=false|fechaacceso=1 de marzo de 2018|editorial=ELIZCOM S.A.S|isbn=9789584479389|idioma=es}}</ref> Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie,<ref>{{Cita libro|apellidos=Domínguez|nombre=Luis Fernando Díaz|título=Manual. Competencia clave. Matemáticas Nivel III (FCOV12). Formación complementaria|url=https://books.google.es/books?id=xKxCDwAAQBAJ&pg=PA225&dq=%C3%A1rea++sin%C3%B3nimo+de+superficie&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjHrPmnj8vZAhWJ0RQKHeLcAocQ6AEILzAB#v=onepage&q=%C3%A1rea%20%20sin%C3%B3nimo%20de%20superficie&f=false|fechaacceso=1 de marzo de 2018|fecha=4 de marzo de 2016|editorial=EDITORIAL CEP|isbn=9788468183855|idioma=es}}</ref> cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área). 

Para una forma sólida como una [[esfera]], un [[Cono (geometría)|cono]] o un [[cilindro]], el área de su superficie límite se denomina [[área superficial]]. Los [[antiguos griegos]] calcularon fórmulas para las áreas superficiales de formas simples, pero calcular el área superficial de una [[Figura geométrica|figura]] más complicada suele requerir cálculo multivariable. 

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de [[geometría diferencial de superficies|geometría diferencial]]. 
[[Archivo:Squaring the circle.svg|alt=Three shapes on a square grid|miniaturadeimagen|Este cuadrado y este disco tienen la misma área (véase: [[cuadratura del círculo]]).]]
Para poder definir el área de una superficie en general —que es un concepto [[espacio métrico|métrico]]—, se tiene que haber definido un [[tensor métrico]] sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un [[espacio euclídeo]], la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclidiana.

== Historia ==
La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una [[figura geométrica]] proviene de la antigüedad. En el [[antiguo Egipto]], tras la crecida anual de río [[Nilo]] inundando los campos, surge la necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la [[geometría]], según [[Heródoto]].<ref>Heródoto ''Historias'', Libro II.</ref>

El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego [[Antifón]] hacia el año {{AC|430|0}} Hallar el área de una figura curva genera más dificultad. El [[método exhaustivo]] consiste en inscribir y circunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con el sistema que se conoce como [[método exhaustivo]] de [[Eudoxo de Nidos|Eudoxo]], consiguió obtener una aproximación para calcular el área de un [[círculo]]. Dicho sistema fue empleado tiempo después por [[Arquímedes]] para resolver otros problemas similares,<ref name=Arquímedes>'El problema del área''. fca.unl.edu.ar</ref> así como el cálculo aproximado del [[número π]].

=== Área del círculo ===
En el {{Siglo|V|a|s}}, [[Hipócrates de Quíos]] fue el primero en mostrar que el área de un círculo (la región encerrada por una circunferencia) es proporcional al cuadrado de su diámetro, como parte de su [[cuadratura de la lúnula]],<ref name="heath">{{citation|first=Thomas L.|last=Heath|author-link=Thomas Little Heath|title=A Manual of Greek Mathematics|publisher=Courier Dover Publications|year=2003|isbn=978-0-486-43231-1|pages=121–132|url=https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|archive-url=https://web.archive.org/web/20160501215852/https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|archive-date=2016-05-01}}</ref> pero no identificó la [[constante de proporcionalidad]]. [[Eudoxo de Cnido]], también en el {{Siglo|V|a|a}}, encontró también que el área de un círculo es proporcional a su radio al cuadrado.<ref>{{cite book|url=https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/3|title=Single variable calculus early transcendentals.|last=Stewart|first=James|publisher=Brook/Cole|year=2003|isbn=978-0-534-39330-4|edition=5th.|location=Toronto ON|page=[https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/3 3]|quote=However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a circle: <math>A= \pi r^2.</math>}}</ref>

Posteriormente, el Libro I de los [[Elementos de Euclides|''Elementos'' de Euclides]] se ocupó de la igualdad de áreas entre figuras bidimensionales. El matemático [[Arquímedes]] usó las herramientas de la [[geometría euclidiana]] para mostrar que el área dentro de un círculo es igual a la de un [[triángulo rectángulo]] cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo, en su libro ''[[Sobre la medida del círculo]]''. (La circunferencia es 2πr, y el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, lo que da como resultado el área πr<sup>2</sup> del disco). Arquímedes aproximó el valor de π (y por lo tanto el área de un círculo de radio unitario) con su  método, en el que inscribió un triángulo regular en un círculo y anotó su área, luego duplicó el número de lados para dar un hexágono regular, luego duplicó repetidamente el número de lados a medida que el área del polígono se acercaba más y más a la del círculo (e hizo lo mismo con polígonos circunscritos).<ref name=Arquímedes />

El científico suizo [[Johann Heinrich Lambert]] en 1761 demostró que π, la relación entre el área de un círculo y su radio al cuadrado, es [[Número irracional|irracional]], lo que significa que no es igual al cociente de dos números enteros.<ref name=Arndt>{{cite book| last1=Arndt |first1=Jörg |last2=Haene l|first2=Christoph |title=Pi Unleashed| publisher=Springer-Verlag|year=2006| isbn=978-3-540-66572-4 <!--isbn only volume 1--> |url= https://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC |access-date=2013-06-05}} English translation by Catriona and David Lischka.</ref> En 1794, el matemático francés [[Adrien-Marie Legendre]] demostró que π<sup>2</sup> es irracional; esto también prueba que π es irracional.<ref>{{citation|first=Howard|last=Eves|title=An Introduction to the History of Mathematics|edition=6th|year=1990|publisher=Saunders|isbn=978-0-03-029558-4|page=121}}</ref> En 1882, el matemático alemán [[Ferdinand von Lindemann]] demostró que π es [[Número trascendental|trascendental]] (no es la solución de ninguna [[ecuación polinómica]] con coeficientes racionales), lo que confirma una conjetura de Legendre y Euler.<ref name=Arndt/>{{rp|p. 196}}

=== Área del triángulo ===
[[Herón de Alejandría]] encontró lo que se conoce como la [[fórmula de Herón]] para el área de un triángulo en términos de sus lados, y se puede encontrar una prueba en su libro ''Métrica'', escrito alrededor del {{DC|60}} Se ha sugerido que [[Arquímedes]] conocía la fórmula más de dos siglos antes,<ref>{{cite book
| author=Heath, Thomas L.
| title=A History of Greek Mathematics (Vol II)
| publisher=Oxford University Press
| year=1921
| pages=321–323}}</ref> y dado que ''Métrica'' es una colección del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en ese trabajo.<ref>{{MathWorld |urlname=HeronsFormula |title=Heron's Formula}}</ref>

En 499 [[Aryabhata]], un matemático-astrónomo de la época clásica de las matemáticas y la astronomía indias, expresó el área de un triángulo como la mitad de la base por la altura en el [[Aryabhatiya]] (sección 2.6).

Los chinos descubrieron una fórmula equivalente a la de Herón independientemente de los griegos. Fue publicado en 1247 en Shushu Jiuzhang («Tratado matemático en nueve secciones»), escrito por [[Qin Jiushao]].

== Definición formal ==
Un enfoque para definir lo que se entiende por «área» es a través de [[axioma]]s. El «área» se puede definir como una función de una colección M de un tipo especial de figuras planas (denominadas conjuntos medibles) al conjunto de números reales, que satisface las siguientes propiedades:<ref name=Apostol>{{cite book|last=Apostol|first=Tom|year=1967|title=Calculus|volume=I: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra|pages=58–59|isbn=9780471000051}}</ref>

* Para todo ''S'' en ''M'', ''a(S)'' ≥ 0.
* Si ''S'' y ''T'' están en ''M'', entonces también lo están ''S'' ∪ ''T'' y ''S'' ∩ ''T'', y también ''a''(''S''∪''T'') = ''a''(''S'') + ''a''(''T'') − ''a''(''S''∩''T'').
* Si ''S'' y ''T'' están en ''M'' con ''S'' ⊆ ''T'' entonces ''T'' - ''S'' está en ''M'' y ''a''(''T''−''S'') = ''a''(''T'') − ''a''(''S'').
* Si un conjunto ''S'' está en ''M'' y ''S'' es congruente con ''T'', entonces ''T'' también está en ''M'' y ''a''(''S'') = ''a''(''T'').
* Todo rectángulo ''R'' está en ''M''. Si el rectángulo tiene una longitud ''h'' y una anchura ''k'', entonces ''a''(''R'') = ''hk''.
* Sea ''Q'' un conjunto encerrado entre dos regiones escalonadas ''S'' y ''T''. Una región escalonada se forma a partir de una unión finita de rectángulos adyacentes que descansan sobre una base común, es decir, ''S'' ⊆ ''Q'' ⊆ ''T''. Si hay un número único ''c'' tal que ''a''(''S'') ≤ c ≤ ''a''(''T'') para todas esas regiones escalonadas ''S'' y ''T'', entonces ''a''(''Q'') = ''c''.

Se puede probar que tal función de área existe realmente.<ref name=Moise>{{cite book|last=Moise|first=Edwin|title=Elementary Geometry from an Advanced Standpoint|url=https://archive.org/details/elementarygeomet0000mois|url-access=registration|access-date=2012-07-15|year=1963|publisher= Addison-Wesley Pub. Co.}}</ref>

== Confusión entre área y perímetro ==
[[Archivo:Hexaflake.gif|thumb|upright=0.6|Cuanto más cortes se hacen, más disminuye el área y aumenta el perímetro.]]
El [[perímetro]] es, junto con el área, una de las dos medidas principales de las figuras geométricas planas. A pesar de que no se expresan en la misma unidad, es común confundir estas dos nociones<ref name="conf">{{Lien web | url=http://media.education.gouv.fr/file/education_prioritaire_et_accompagnement/05/7/introduction_115057.pdf | título=Aire et périmètre | serie=dossier d’activités pédagogiques réalisé par le groupe national de réflexion sur l’[[enseignement des mathématiques]] en dispositifs relais | autor=Dominique Barataud | obra=http://eduscol.education.fr/<!--|consulté le=5 janvier 2010-->}}.</ref> o creer que cuanto mayor es una, mayor es también la otra. De hecho, la ampliación (o reducción) de una figura geométrica aumenta (o disminuye) simultáneamente su área y su perímetro. Por ejemplo, si un pedazo de tierra se muestra en un mapa a una [[Escala (cartografía)|escala]] de 1:10&nbsp;000, el perímetro real de la tierra se puede calcular multiplicando el perímetro de la representación por 10&nbsp;000 y el área multiplicando el de la representación por 10&nbsp;000<sup>2</sup>. Sin embargo, no existe un vínculo directo entre el área y el perímetro de ninguna figura. Por ejemplo, un rectángulo que tiene un área igual a un metro cuadrado puede tener como dimensiones, en metros: 0,5 y 2 (por lo tanto un perímetro igual a 5&nbsp;m) pero también 0,001 y 1000 (por lo tanto un perímetro de más de 2000&nbsp;m). [[Proclo]] ({{Siglo|v||s}}) informa que los campesinos griegos compartían «equitativamente» campos de acuerdo con sus perímetros, pero con áreas diferentes.<ref>{{Ouvrage|idioma=en|autor=Thomas Heath|título=A History of Greek Mathematics|volume=2|editor=Dover|año=2013|isbn=978-0-48616265-2|url=https://books.google.fr/books?id=8TSoAAAAQBAJ&pg=PA206|page=206}}.</ref><ref name="Tessier">{{Lien web|id=Teissier 1999|autor=[[Bernard Teissier]]|url=http://people.math.jussieu.fr/~teissier/documents/LMA3.Teissier.v6.pdf|título=Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre|obra=[[Institut de mathématiques de Jussieu]]|fechaacceso=9 de julio de 2021|fechaarchivo=16 de enero de 2009|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20090116014032/http://people.math.jussieu.fr/~teissier/documents/LMA3.Teissier.v6.pdf|deadurl=yes}} (leçon donnée le jeudi 7 octobre 1999, rédigée par C. Reydy).</ref> Sin embargo, la producción de un campo es proporcional al área, no al perímetro.

== Área de figuras planas ==
{{AP|Figura geométrica}}

=== Fórmulas de polígonos ===
Para un polígono ([[Polígono simple|simple]]) del que se conocen las [[coordenadas cartesianas]] <math>(x_i,y_i)</math> (''i ''= 0, 1, ..., ''n ''− 1) de sus ''n'' [[Vértice (geometría)|vértices]], el área viene dada por la [[fórmula del área de Gauss]]:

<math>A = \frac{1}{2} \Biggl\vert \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) \Biggr\vert</math>

cuando i = n − 1, entonces i + 1 se expresa como [[Aritmética modular|módulo]] ''n'' y por tanto se refiere a 0.

==== Rectángulos ====
[[Archivo:Lados del rectángulo.png|miniaturadeimagen|El área de este rectángulo es <math>l\times a</math>.|221x221px]]
La fórmula más básica del área es la fórmula del área de un [[rectángulo]]. Dado un rectángulo con largo <math>l</math> y anchura <math>a</math>, la fórmula del área es:

<math>A=l\times a</math>&nbsp;<small>(rectángulo).</small>

El área del rectángulo es la longitud multiplicada por la anchura. Como caso particular, ya que <math>l = a</math> en el caso de un [[cuadrado]], el área de un cuadrado con longitud de lado <math>c</math> viene dada por la fórmula:

<math>A=c^2</math>&nbsp;<small>(cuadrado).</small>

La fórmula del área de un rectángulo se deduce directamente de las propiedades básicas del área y a veces se toma como [[definición]] o [[axioma]]. Por otra parte, si la [[geometría]] se desarrolla antes que la [[aritmética]], esta fórmula puede utilizarse para definir la [[multiplicación]] de los [[números reales]].
==== Disección, paralelogramos y triángulos ====
La mayoría de las fórmulas sencillas para calcular el área siguen el método de la [[Problema de disección|disección]]. Consisten en cortar una forma en trozos cuyas áreas deben [[Suma|sumar]] el área de la forma original.[[Archivo:ParallelogramArea.svg|miniaturadeimagen|227x227px|Un diagrama que muestra cómo un paralelogramo puede convertirse en un rectángulo.|izquierda]]Por ejemplo, cualquier [[paralelogramo]] puede subdividirse en un [[Trapecio (geometría)|trapecio]] y un [[triángulo rectángulo]], como se muestra en la figura. Si el triángulo se traslada al otro lado del trapecio, la figura resultante es un rectángulo. Se deduce que el área del paralelogramo es la misma que la del rectángulo:

<math>A=b\times h</math>&nbsp;<small>(paralelogramo).</small>
[[Archivo:TriangleArea.svg|miniaturadeimagen|180x180px|Un paralelogramo dividido en dos triángulos iguales.]]
Sin embargo, el mismo paralelogramo también puede cortarse a lo largo de una [[diagonal]] en dos triángulos [[Congruencia (geometría)|congruentes]], como se muestra en la figura. Se deduce que el área de cada [[triángulo]] es la mitad del área del [[paralelogramo]]:

<math>A = \frac{1}{2}bh</math>&nbsp;(<small>triángulo).</small>

Se pueden utilizar argumentos similares para encontrar fórmulas de área para el [[Trapecio (geometría)|trapecio]] y polígonos más complicados. 

=== Área de las formas curvas ===

==== Círculos ====
La fórmula del área de un [[círculo]] (más propiamente llamada área encerrada por un círculo o área de un [[Disco (topología)|disco]]) se basa en un método similar. Dado un círculo de radio <math>r</math>, es posible dividirlo en [[Sector circular|sectores]], como se muestra en la figura. Cada sector es aproximadamente triangular, y los sectores pueden reorganizarse para formar un paralelogramo aproximado. La altura de este paralelogramo es <math>r</math>, y la anchura es la mitad de la [[circunferencia]] del círculo o <math>\pi r</math>. Por tanto, el área total del círculo es <math>\pi r^2</math>:
[[Archivo:CircleArea.svg|miniaturadeimagen|Un círculo puede dividirse en [[Sector circular|sectores]] reordenados para formar un [[paralelogramo]] aproximado.]]
<math>A=\pi r^2</math>&nbsp;<small>(círculo).</small>

Aunque la [[Problema de disección|disección]] utilizada en esta fórmula es sólo aproximada, el error es cada vez menor a medida que el círculo se divide en más y más sectores. El límite de las áreas de los paralelogramos aproximados es exactamente <math>\pi r^2</math>, que es el área del círculo.

Este argumento es una simple aplicación de las ideas del [[Cálculo infinitesimal|cálculo]]. En la antigüedad, el [[método por agotamiento]] se utilizaba de forma similar para encontrar el área del círculo, y este método se reconoce ahora como un precursor del [[cálculo integral]]. Utilizando métodos modernos, el área de un círculo puede calcularse mediante una [[integral definida]]:

<math>A \;=\;2\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2</math>

==== Elipses ====
La fórmula del área encerrada por una [[elipse]] está relacionada con la fórmula de un círculo; para una elipse con [[semieje mayor y semieje menor]] <math>x</math> e <math>y</math> la fórmula es:

<math>A= \pi xy </math>
[[Archivo:Archimedes sphere and cylinder.svg|miniaturadeimagen|[[Arquímedes]] demostró que el área superficial de una [[esfera]] es exactamente cuatro veces el área de un disco plano del mismo radio, y el volumen encerrado por la esfera es exactamente 2/3 del volumen de un [[cilindro]] de la misma altura y radio.]]
[[Archivo:Triangle GeometryArea.svg|miniaturadeimagen|Área del triángulo <math>= {b\times h \over 2}</math>]]

==== Área superficial ====
La mayoría de las fórmulas básicas para el [[área superficial]] se pueden obtener cortando las superficies y aplanándolas. Por ejemplo, si la superficie lateral del [[cilindro]] (o de cualquier [[Prisma (geometría)|prisma]]) se corta longitudinalmente, la superficie puede aplanarse hasta formar un rectángulo. Del mismo modo, si se hace un corte a lo largo de un [[Cono (geometría)|cono]], la superficie lateral se puede aplanar hasta convertirla en un sector de un círculo y calcular el área resultante.

La fórmula de la superficie de una [[esfera]] es más difícil de obtener: como una esfera tiene una [[curvatura gaussiana]] distinta de cero, no puede aplanarse. [[Arquímedes]] obtuvo por primera vez la fórmula del área superficial de una esfera en su obra ''Sobre la esfera y el cilindro''. La fórmula es:

<math>A=4\pi r^2</math>&nbsp;(esfera).

donde <math>r</math> es el radio de la esfera. Al igual que con la fórmula del área de un círculo, cualquier derivación de esta fórmula utiliza intrínsecamente métodos similares al [[Cálculo infinitesimal|cálculo]].

=== Fórmulas generales ===

==== Áreas de figuras bidimensionales ====

* Un [[triángulo]]: <math>\tfrac12Bh</math> (donde <math>B</math> es un lado cualquiera, y <math>h</math> es la distancia desde la línea en la que se encuentra <math>B</math> hasta el otro vértice del triángulo). Esta fórmula puede utilizarse si se conoce la altura <math>h</math>. Si se conocen las longitudes de los tres lados, se puede utilizar la [[fórmula de Herón]]: <math>\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math> donde <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> son los lados del triángulo y <math>s = \tfrac12(a + b + c)</math> es el [[Semiperímetro|semiperimetro]]. Si se da un ángulo y dos lados incluidos, el área es <math>\tfrac12 a b \sen(C)</math> donde <math>C</math> es el ángulo dado, y <math>a</math> y <math>b</math> son sus lados incluidos. Si el triángulo se representa gráficamente en un plano de coordenadas, se puede utilizar una matriz y simplificar el valor absoluto de <math>\tfrac12(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - x_1 y_3)</math>. Esta fórmula también se conoce como la [[Fórmula del área de Gauss|fórmula de la lazada]] y es una forma fácil de resolver el área de un triángulo de coordenadas sustituyendo los 3 puntos <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math> y <math>(x_3,y_3)</math>. La fórmula de la lazada también se puede utilizar para encontrar las áreas de otros polígonos cuando se conocen sus vértices. Otro enfoque para un triángulo de coordenadas es utilizar el cálculo para encontrar el área.

* Un [[polígono simple]] se construye sobre una cuadrícula de puntos de igual distancia (es decir, puntos con coordenadas [[Número entero|enteras]]). Todos los vértices del polígono son puntos de la cuadrícula: <math>i + \frac{b}{2} - 1</math>, donde <math>i</math> es el número de puntos de la cuadrícula dentro del polígono y <math>b</math> es el número de puntos del límite. Este resultado se conoce como [[teorema de Pick]].

==== Área en el cálculo ====
[[Archivo:Integral as region under curve.svg|miniaturadeimagen|La integración puede medir el área bajo una curva, definida por <math>f(x)</math>, entre dos puntos (aquí <math>a</math> y <math>b</math>).]]
* El área entre una curva de valor positivo y el eje horizontal, medida entre dos valores <math>a</math> y <math>b</math> (<math>b</math> se define como el mayor de los dos valores) en el eje horizontal, viene dada por la integral de <math>a</math> hasta <math>b</math> de la función que representa la curva:

<math>A = \int_a^{b} f(x) \, dx</math>

* El área entre las [[Gráfica de una función|gráficas]] de dos funciones es [[Igualdad matemática|igual]] a la [[Integración|integral]] de una [[Función (matemática)|función]], ''f(x)'', [[menos]] la integral de la otra función, ''g(x)'':

<math> A = \int_a^{b}  ( f(x) - g(x) ) \, dx, </math> donde <math> f(x) </math> es la curva con el mayor valor de y.

* Un área delimitada por una función <math>r = r(\theta)</math> expresada en [[coordenadas polares]] es:

<math>A = {1 \over 2} \int r^2 \, d\theta </math>

*El área encerrada por una [[curva paramétrica]] <math>\vec u(t) = (x(t), y(t)) </math> con puntos extremos <math> \vec u(t_0) = \vec u(t_1) </math> está dada por las [[Integral de línea|integrales de línea]]:[[Archivo:Areabetweentwographs.svg|miniaturadeimagen|El área entre dos gráficas se puede evaluar calculando la diferencia entre las integrales de las dos funciones.]]

<math> \oint_{t_0}^{t_1} x \dot y \, dt  = - \oint_{t_0}^{t_1} y \dot x \, dt  =  {1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} (x \dot y - y \dot x) \, dt </math>

o el componente z de

<math>{1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} \vec u \times \dot{\vec u} \, dt.</math>

(Para más detalles, véase el [[Teorema de Green#%C3%81rea de una regi%C3%B3n con el Teorema de Green|teorema de Green § Área de una región con el teorema de Green]].) Este es el principio del dispositivo mecánico del planímetro.

==== Área limitada entre dos funciones cuadráticas ====
Para encontrar el área acotada entre dos [[funciones cuadráticas]], restamos una de la otra para escribir la diferencia como:

<math>f(x)-g(x)=ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)</math>

donde ''f(x)'' es el límite superior cuadrático y ''g(x)'' es el límite inferior cuadrático. Definir el [[discriminante]] de f(x)−g(x) como:

<math>\Delta=b^2-4ac .</math>

Simplificando la fórmula de la integral entre las gráficas de dos funciones (como se indica en el apartado anterior) y utilizando la [[Fórmulas de Vieta|fórmula de Vieta,]] podemos obtener:

<math>A=\frac{\Delta\sqrt{\Delta}}{6a^2}=\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3,\qquad a\neq0.</math>

Lo anterior sigue siendo válido si una de las funciones delimitadoras es lineal en lugar de cuadrática.

==== Área superficial de las figuras tridimensionales ====

* [[Cono (geometría)|Cono]]:<ref name="MathWorldCone">{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Cone.html|title=Cone|author=Weisstein, Eric W.|publisher=[[Wolfram MathWorld]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20120621230050/http://mathworld.wolfram.com/Cone.html|archive-date=2012-06-21|author-link=Eric W. Weisstein|access-date=2012-07-06}}</ref> <math>\pi r\left(r + \sqrt{r^2 + h^2}\right)</math>, donde <math>r</math> es el radio de la base circular y <math>h</math> es la altura. Esto también se puede reescribir como <math>\pi r^2 + \pi r l </math><ref name="MathWorldCone" /> or <math>\pi r (r + l) \,\!</math> donde <math>r</math> es el radio y <math>l</math> es la altura oblicua del cono. <math>\pi r^2 </math> es la superficie base mientras que <math>\pi r l </math> es la superficie lateral del cono.
* [[cubo]]: <math>6a^2</math>, donde <math>a</math> es la longitud de una [[Arista (geometría)|arista]].
* [[cilindro]]: <math>2\pi r(r + h)</math>, donde <math>r</math> es el radio de una base y <math>h</math> es la altura. <math>2\pi r</math> también se puede reescribir como <math>\pi d</math>, donde <math>d</math> es el diámetro.
* [[Prisma (geometría)|prisma]]: <math>2B + Ph</math>, donde <math>B</math> es el área de una base, <math>P</math> es el perímetro de una base y <math>h</math> es la altura del prisma.
* [[Pirámide (geometría)|pirámide]]: <math>B + \frac{PL}{2}</math>, donde <math>B</math> es el área de la base, <math>P</math> es el perímetro de la base y <math>L</math> es la longitud de la inclinación..
* [[Prisma rectangular recto|prisma rectangular]]: <math>2 (\ell a + \ell  h + a h)</math>, donde <math>l</math> es la longitud, <math>a</math> es la anchura y <math>h</math> es la altura.
==== Relación área-perímetro ====
Dada una curva simple cerrada en el plano euclídeo puede probarse que su longitud o perímetro del área encerrada y la propia área encerrada satisfacen la relación:
{{ecuación|
<math>\frac{A}{L^2} \le \frac{1}{4\pi}</math>
}}
La igualdad se alcanza sólo para un círculo el resto de figuras y formas posibles cumplen la desigualdad estrictas

=== Lista de fórmulas ===
{| class="wikitable"
|+ Otras fórmulas comunes para el área:
! Forma
! Fórmula
! Variables
|-
|[[Rectángulo]]
|<math>A=ab</math>
|[[File:Rechteck-ab.svg|120px]]
|-
|[[Triángulo rectángulo]]
|<math>A = \frac{ab}{2}</math>
|[[Archivo:Area de un triangulo rectangulo.png|sinmarco|154x154px]]
|-
|[[Triángulo]]
|<math>A=\frac12bh \,\!</math>
|[[File:Dreieck-allg-bh.svg|100px]]
|-
|[[Triangle|Triángulo]]
|<math>A=\frac12 a b \sen(\gamma)\,\!</math>
|[[File:Dreieck-allg-w.svg|100px]]
|-
|[[Triangle|Triángulo]]<br>
([[fórmula de Herón]])
|<math>A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,\!</math>
|[[File:Dreieck-allg.svg|100px]] <math> s =\tfrac 1 2 (a+b+c)</math>
|-
|[[Triángulo isósceles]]
|<math>A=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-c^2}</math>
|[[File:Dreieck-gsch.svg|80px]]
|-
|[[Triángulo equilátero]]
||<math>A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\,\!</math>
||[[File:Dreieck-gseit.svg|100px]]
|-
|[[Rombo]]/[[deltoide]]
|<math>A=\frac12de</math>
|[[File:Raute-de.svg|160px]]
|-
|[[Paralelogramo]]
|<math>A=ah_a\,\!</math>
|[[File:Parallelog-aha.svg|160px]]
|-
|[[Trapecio (geometría)|Trapecio]]
|<math>A=\frac{(a+c)h}{2} \,\!</math>
|[[File:Trapez-abcdh.svg|150px]]
|-
|[[Hexágono]] regular
|<math>A=\frac{3}{2} \sqrt{3}a^2\,\!</math>
|[[File:Hexagon-a.svg|100px]]
|-
|[[Octógono|Octágono]] regular
|<math>A=2(1+\sqrt{2})a^2\,\!</math>
|[[File:Oktagon-a.svg|120px]]
|-
|[[Polígono regular]]<br>
(de lados <math>n</math> )
|<math>A=n\frac{ar}{2}=\frac{pr}{2}</math><br>
<math>\quad =\tfrac 1 4 na^2\cot(\tfrac \pi n)</math><br>
<math>\quad = nr^2 \tan(\tfrac \pi n)</math><br>
<math>\quad =\tfrac{1}{4n}p^2\cot(\tfrac \pi n)</math><br>
<math>\quad =\tfrac{1}{2}nR^2 \sen(\tfrac{2\pi}{n}) \,\!</math>
|[[File:Oktagon-a-r-R.svg|150px|left]]
<math>p=na\ </math> ([[perímetro]])<br>
<math>r=\tfrac a 2 \cot(\tfrac \pi n),</math><br>
<math>\tfrac a 2= r\tan(\tfrac \pi n)=R\sen(\tfrac \pi n)</math><br>
<math>r:</math> radio de la [[circunferencia inscrita]]<br>
<math>R:</math> radio de la [[circunferencia circunscrita]]
|-
|[[Círculo]]
|<math>A=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}</math><br>
(<math> d=2r: </math> [[diámetro]])
|[[fILE:Kreis-r-tab.svg|100px]]
|-
|[[Sector circular]]
|<math>A=\frac{\theta}{2}r^2=\frac{L \cdot r}{2}\,\!</math>
|[[File:Circle arc.svg|120px]]
|-
|[[Elipse]]
|<math>A=\pi ab \,\!</math>
|[[File:Ellipse-ab-tab.svg|120px]]
|-
|[[Integral]]
| <math>A=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x ,\ f(x)\ge 0</math>
| [[File:Vase-f-fx-tab.svg|hochkant=0.2]]
|- 
|
|'''[[Área superficial]]'''
|
|-
| [[Esfera]]
| <math>p = 4\pi r^2 = \pi d^2</math>
| [[File:Kugel-1-tab.svg|100px]]
|-
| [[Ortoedro]]
| <math>p
 = 2(ab+ac+bc)</math>
| [[File:Quader-1-tab.svg|150px]]
|-
|  [[Cilindro]]
(incl. parte inferior y superior)
| <math>A = 2 \pi r (r + h)</math>
| [[File:Zylinder-1-tab.svg|120px]]
|-
| [[Cono (geometría)|Cono]]
(incl. la parte inferior)
| <math>A = \pi r (r + \sqrt{r^2+h^2})</math>
| [[File:Kegel-1-tab.svg|120px]]
|-
| [[Toro (geometría)|Toro]]
| <math>A = 4\pi^2 \cdot R \cdot r</math>
| [[File:Torus-1-tab.svg|200px]]
|-
| [[Superficie de revolución]]
|  <math>A = 2\pi\int_a^b\! f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\mathrm{d}x</math><br>
(rotación alrededor del eje x)
| [[File:Vase-1-tab.svg|220px]]
|-
|}
Los cálculos anteriores muestran cómo encontrar las áreas de muchas [[Forma (figura)|formas]] comunes. 

Las áreas de los polígonos irregulares (y, por tanto, arbitrarios) pueden calcularse mediante la «[[fórmula del área de Gauss]]» ([[Fórmula de la Lazada|fórmula de la lazada]]).

== Unidades de medida de superficies ==
{{Extracto|Unidades de superficie}}

=== Sistema Internacional de Unidades ===
Según el [[Sistema Internacional de Unidades]], las unidades cuadradas son las que se listan a continuación:<ref>{{Cita libro|título=Redes de evacuación|url=https://books.google.es/books?id=k3-mCwAAQBAJ&pg=PA4&dq=Unidades+de+medida+de+superficies&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwi53qnM5ozmAhUJ1RoKHSBWBj4Q6AEIMTAB#v=onepage&q=Unidades%20de%20medida%20de%20superficies&f=false|editorial=Ediciones Paraninfo, S.A.|fecha=1 de enero de 2016|fechaacceso=28 de noviembre de 2019|isbn=978-84-283-3772-4|idioma=es|nombre=JUAN LÓPEZ|apellidos=CAÑERO}}</ref>

;Múltiplos
* [[Kilómetro cuadrado]]: 10<sup>6</sup> metros cuadrados
* [[Hectómetro cuadrado]] o [[hectárea]]: 10<sup>4</sup> metros cuadrados
* [[Decámetro cuadrado]] o [[área (unidad de superficie)|área]]: 10<sup>2</sup> metros cuadrados
;Unidad básica
* [[metro cuadrado]]: [[unidades derivadas del Sistema Internacional|unidad derivada del SI]]
* Elenio: litro/centímetro
* Piornio: (candela·estereorradián)/lux
;Submúltiplos
* [[Decímetro cuadrado]]: 10<sup>−2</sup> m² (una centésima de metro cuadrado)
* [[Centímetro cuadrado]]: 10<sup>−4</sup> m² (una diezmilésima de metro cuadrado)
* [[Milímetro cuadrado]]: 10<sup>−6</sup> m² (una millonésima de metro cuadrado)
* [[barn]]: 10<sup>−28</sup> m² (metro cuadrado)

En la escala atómica, el área se mide en unidades de [[barn]].<ref name=BIPM2006Ch5>{{Cite journal|author= Bureau international des poids et mesures|year= 2006|url= http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|title= The International System of Units (SI)|version= 8th ed.|access-date= 2008-02-13|archive-url= https://web.archive.org/web/20131105051930/http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|archive-date= 2013-11-05}} Chapter 5.</ref> Se usa comúnmente para describir el área transversal de interacción en [[física nuclear]].<ref name=BIPM2006Ch5/>

=== Sistema anglosajón de unidades ===
Las unidades más usadas del [[Sistema anglosajón de unidades|sistema anglosajón]] son:<ref>{{Cita libro|título=Topografía: Conceptos y aplicaciones|url=https://books.google.es/books?id=3K5JDwAAQBAJ&pg=PP37&dq=Unidades+de+medida+de+superficies+Sistema+anglosaj%C3%B3n&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjrgbiY54zmAhWQ0eAKHd_PApQQ6AEIMTAB#v=onepage&q=Unidades%20de%20medida%20de%20superficies%20Sistema%20anglosaj%C3%B3n&f=false|editorial=Ecoe Ediciones|fecha=2017|fechaacceso=28 de noviembre de 2019|isbn=978-958-771-507-1|idioma=es|nombre=Rincón Villalba Mario|apellidos=Arturo|nombre2=Vargas Vargas Wilson|apellidos2=Ernesto|nombre3=González Vergara Carlos|apellidos3=Javier}}</ref>

* [[pulgada cuadrada]]
* [[pie cuadrado]]
* [[yarda cuadrada]]
* El [[Acre (unidad de superficie)|acre]] también se usa comúnmente para medir áreas de tierra, donde 1 acre = 4840 yardas cuadradas = 43&nbsp;560 pies cuadrados.<ref name="NIST">National Institute of Standards and Technology [http://ts.nist.gov/WeightsAndMeasures/Publications/upload/h4402_appenc.pdf (n.d.) General Tables of Units of Measurement]. {{Wayback|url=http://ts.nist.gov/WeightsAndMeasures/Publications/upload/h4402_appenc.pdf |date=20111124224233 }}.</ref>

== Véase también ==
* [[Unidad de medida]]
* [[Metrología]]
* [[Anexo:Figuras geométricas|Áreas de figuras geométricas]]

== Referencias ==
{{Listaref|2}}

== Bibliografía ==
* {{cita libro
 | apellidos = Spiegel, Murray R.
 | nombre = 
 | enlaceautor = 
 | autor2 = Abellanas, Lorenzo
 | editor = McGraw-Hill
 | otros = 
 | título = Fórmulas y tablas de matemática aplicada
 | edición = 
 | fecha = 
 | año = 1992
 | mes = 
 | editorial = 
 | ubicación = Aravaca (Madrid)
 | id = ISBN 84-7615-197-7
 | páginas = 
 | capítulo = 
 | urlcapítulo = 
 | cita =
}}

* {{cita libro| apellido = Weisstein | nombre =Eric W |editor = Chapman&Hall | título =CRC Concise Encyclopedia of Mathematics | url = https://archive.org/details/crcconciseencycl0000weis |idioma = inglés| fecha = 1999 | isbn = 0-8493-9640-9 |ref=crc }}

== Enlaces externos ==
{{Commonscat|Area}}
{{Wikcionario}}
* {{MathWorld|Area}}
* [http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Probarea.htm El problema del área, en fca.unl.edu.ar]
* [http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/problemadelarea.htm El valor del área representada gráficamente, en fca.unl.edu.ar]
* [https://web.archive.org/web/20170307123808/http://www.wikiunits.com/en/area/_area.php WikiUnits - Convert Area w/ different units]
*{{Traducido ref|en|Area|1029047828|Parcial|17 de junio de 2021}}
*{{Traducido ref|fr|Aire (géométrie)|183765142|Parcial|12 de junio de 2021}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Área| ]]
[[Categoría:Magnitudes físicas]]
[[Categoría:Topografía]]
[[Categoría:Geometría]]