Ver el código de «Óvalo»

{{otros usos|Circuito oval|el circuito de carreras de trazado ovalado}}

[[Archivo:Eikurve aus geometrischer ellipse.svg|mini|400px|Un óvalo con un eje de simetría]]

El término '''óvalo''' (del latín ''ovum'', ''huevo'') hace referencia a una forma geométrica [[Convexidad|convexa]] y redondeada, que se asemeja al perfil de un [[huevo de ave]] en su sentido más amplio. 

Incluye a [[circunferencia]]s y [[elipse]]s como casos especiales, con dos ejes de simetría en lugar de solamente uno o ninguno.

El uso del término no siempre es consistente, en ocasiones también se usa de manera puramente descriptiva. Sin embargo, en el [[análisis matemático]] se puede definir formalmente como un tipo de [[curva]]s planas. En este contexto, también se habla de ''curvas'' o ''líneas'' ovaladas.

Un cuerpo convexo redondeado y tridimensional (generalmente un subconjunto convexo cerrado de <math>\mathbb{R}^n </math>) se conoce como '''ovoide'''.<ref>{{cita libro|título=Fundamentals of Mathematics: Geometry|autor=Heinrich Behnke|editorial=MIT Press|año=1974|url=https://books.google.de/books?id=jZfqK2sjI64C&pg=PA572#v=onepage&q&f=false|isbn=9780262020695|páginas= 572 de 685|fechaacceso= 28 de agosto de 2018}}</ref> En este sentido, un óvalo con los puntos de su interior es entonces un ovoide de dos dimensiones.

En [[geometría proyectiva]] los términos ''curva ovalada'' y ''ovoide'' (sin atender a su [[Función diferenciable|diferenciabilidad]]) según sus condiciones de convexidad, se establecen utilizando exclusivamente condiciones de incidencia ("cada recta corta a un óvalo u ovoide en a lo sumo dos puntos"), en lo que se define como un [[conjunto cuadrático]]. En sentido proyectivo, un óvalo en el plano real requiere además la condición de que ningún punto de su contorno tenga [[curvatura]] nula. Tal óvalo es entonces el borde de un conjunto [[Convexidad|estrictamente convexo]], porque no contiene segmentos rectilíneos.

==Definición formal y propiedades==
[[Archivo:Eikuve.svg|mini|Óvalo sin ejes de simetría]]

La forma redondeada de un óvalo es la consecuencia de que una curva cerrada reúna las condiciones de ''suavidad'' y convexidad, de acuerdo con la siguiente definición:

: {{Definición|<center>Una curva plana cerrada, convexa y dos veces continuamente diferenciable, se denomina ''óvalo''.<ref name="eom">[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Oval ''Oval''] in der [[Encyclopaedia of Mathematics]] (en inglés)</ref><ref name="maple">{{cita libro|título=Elementare Differentialgeometrie mit Maple|autor=Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel|editorial=Vieweg+Teubner Verlag|año=1998|url=https://books.google.de/books?id=RUhtG1jZTekC&pg=PA43#v=onepage|isbn=9783528069919|páginas= 43 de 194|fechaacceso= 28 de agosto de 2018}}</ref><ref name="diffgeo">{{cita libro|título=Differentialgeometrie|autor=Volkmar Wünsch|editorial=Teubner|año=1997|url=https://books.google.de/books?id=AQ6AFeKyILMC&pg=PA92#v=onepage|isbn=9783815420959|páginas= 92 de 208|fechaacceso= 28 de agosto de 2018}}</ref></center>
}}

Sin embargo, esta definición no abarca todas las figuras geométricas que a veces son denominadas óvalos. Por ejemplo, los óvalos compuestos por diferentes arcos circulares no cumplen esta definición, porque su segunda derivada no es continua en toda la curva. Si se desea contemplar también estos casos, entonces debe prescindirse de la condición de la ''suavidad'' de la curvatura (diferenciabilidad <math> C^0</math> o <math> C^1</math> en lugar de <math> C^2</math>). En consecuencia, en algunos textos la definición de óvalo solo exige la condición de convexidad.<ref>{{cita libro|título=Dictionary of Classical and Theoretical Mathematics|editorial=CRC Press|año=2001|url=https://books.google.de/books?id=btVgv8WveyIC&pg=PA88#v=onepage&q&f=false|isbn=9781584880509|páginas= 88 de 144|fechaacceso= 28 de agosto de 2018}}</ref><ref>{{cita libro|título=Mathematics Dictionary|autor=R.C. James|editorial=Springer Science & Business Media|año=1992|url=https://books.google.de/books?id=UyIfgBIwLMQC&pg=PA300#v=onepage&q&f=false|isbn=9780412990410|páginas= 300 de 560|fechaacceso= 28 de agosto de 2018}}</ref> Sin embargo, esto tiene la desventaja de que la definición incluye entonces figuras que apenas son percibidos con ''forma de huevo'', tales como los [[polígono]]s convexos.

Tal como se ha definido en el recuadro anterior, un óvalo tiene las siguientes propiedades:
[[Archivo:Oval und geraden.svg|mini|Óvalo con rectas tangente, secante y pasante]]

* Un óvalo es una [[curva de Jordan]], es decir, no tiene bucles ni lazos.
* La orientación de la [[curvatura]] de un óvalo no tiene cambios de signo, es decir, dependiendo del sentido de recorrido, esto significa que la curvatura orientada para cada punto del óvalo es siempre negativa o siempre positiva. De manera ilustrativa, esto significa que no presenta retrocesos ni hendiduras. Solo puede recorrerse mediante un giro completo de 360° a la izquierda o a la derecha.
* El interior de un óvalo es un conjunto convexo, y el óvalo forma su borde.
* En un óvalo es aplicable el [[teorema de los cuatro vértices]], es decir, su ley de curvatura presenta al menos cuatro puntos extremos.<ref>{{cita libro|título=Geometric Differentiation: For the Intelligence of Curves and Surfaces|autor=I. R. Porteous|editorial=Cambridge University Press|año=2001|url=https://books.google.de/books?id=BNrW0UJ_UFcC&pg=PA36#v=onepage&q&f=false|isbn=9780521002646|páginas= 36 de 333|fechaacceso= 28 de agosto de 2018}}</ref>
* Si un punto del óvalo tiene una [[Tangente (geometría)|tangente]], todo el óvalo está al mismo lado de la tangente.
* Si además se exige que la curvatura del óvalo no desaparezca en ninguna sección, es decir, que la curvatura adquiera el valor cero como máximo en puntos aislados, entonces la tangente anterior existe en cada punto del óvalo. Más en general: entonces, cualquier línea recta tiene en común con el óvalo exactamente dos puntos (secante), un punto (tangente) o ningún punto (pasante).

==Ejemplos y construcciones==
Los óvalos se pueden construir usando métodos completamente diferentes. Se obtienen varios procedimientos de construcción a partir de diversas técnicas de diseño de la elipse conveniente modificadas.

Es sabido que se puede generar una elipse cortando un cono con un plano (véase [[sección cónica]]). Si en vez de un cono se utiliza otro cuerpo de revolución como un [[hiperboloide]], de la intersección con un plano se obtienen diferentes óvalos. Una posibilidad adicional consiste en sustituir en la [[ecuación paramétrica]] (o en la ecuación algebraica) de una elipse, los parámetros constantes ''a'' y ''b'' (las longitudes de los semiejes) <math>(a\cdot\cos(t),b\cdot\sin(t))</math> por las funciones <math>\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1</math>.

También se puede definir una elipse como el conjunto de puntos ''P'', para los que la suma de las distancias a los dos [[Foco (geometría)|focos]] ''F<sub>1</sub>'' y ''F<sub>2</sub>'' es <math>\left(|F_1P|+|F_2P|=2a \right)</math> constante. Si se reemplaza esta suma de las distancias por una suma ponderada <math>\left(k_1\cdot|F_1P|+k_2\cdot|F_2P|=2a\right)</math>, el conjunto de puntos forma un óvalo, que solo tiene un eje de simetría, en el que se sitúan un extremo romo y el otro puntiagudo. Tal óvalo coincide con la curva interior de un [[óvalo cartesiano]].

El método de construcción de [[Philippe de la Hire|de La Hire]] crea una elipse usando dos circunferencias [[Concéntrico|concéntricas]]. Si se desplaza un poco el centro del círculo exterior y se conservan los pasos restantes del proceso de construcción, se obtiene un (nuevo) óvalo, que posee un eje de simetría cuando se mueve el centro del círculo exterior en los ejes de la elipse. Si se mueve el centro fuera de los ejes, se crea un óvalo sin ejes de simetría.

<center>
<gallery class="center" perrow="2" widths="300" heights="250">
Ellipse nach hire zu eikurve1.svg|Construcción con circunferencias concéntricas
Ellipse nach hire zu eikurve2.svg|Construcción con circunferencias excéntricas
Ellipse geometrisch zu eikurve1.svg|Elipse: <math>|F_1P|+|F_2P|=22{,}84\,</math>
Ellipse geometrisch zu eikurve2.svg|<math>|F_1P|+\textbf{1.43}\cdot|F_2P|=22{,}84</math>
Ellipse equation to oval 1.svg|Elipse: <math>\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1</math>
Ellipse equation to oval 3.svg|<math>\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1-0{,}2\cdot x}=1</math>
</gallery>
</center>

El conjunto de soluciones de una ecuación con dos incógnitas o ciertos de sus subconjuntos a menudo se pueden considerar como curvas en el plano. Una ecuación adecuada produce un óvalo. Si tal curva solución del sistema no es ovalada, pero tiene un bucle convexo, se puede crear un óvalo agregando un término de corrección al bucle.
<center>
<gallery class="center" perrow="2" widths="300" heights="250">
Algebraische kurve oval.svg|[[Curva elíptica]]: <math>y^2=(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)</math>
Super ellipse.svg|[[Superelipse]]: <math> \left( \frac{x}{2} \right )^4 +\left( \frac{y}{1}\right)^4=1 </math>
Bernoulli to oval 1.svg|[[Lemniscata]]: <math>(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)=0\,</math>
Bernoulli to oval 2.svg|[[Óvalo de Cassini]]: <math>(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)+\textbf{0,01}=0</math>
Szego to oval 1.svg|[[Curva de Szegö]]: <math> x^2+y^2=e^{2\cdot x-2} </math>
Szego to oval 2.svg|<math> x^2+y^2+\textbf{0,02}=e^{2\cdot x-2} </math>
Folium to oval1.svg|[[Folium de Descartes]]: <math>x^3+y^3=3\cdot x\cdot y</math>
Folium to oval2.svg|<math>x^3+y^3+\textbf{0,06}=3\cdot x\cdot y</math>
</gallery>
</center>

Los óvalos también pueden estar compuestos por [[Arco (geometría)|arcos]] y [[segmento]]s. Sin embargo, dichos óvalos tienen menos suavidad que la requerida en la definición anterior, porque solo verifican <math>C^1</math> pero no <math>C^2</math>. Aunque todavía son suaves en el sentido de una derivada constante, ya no tienen una curvatura continua. La curvatura es constante en las secciones, pero presenta un punto de discontinuidad en las uniones de los arcos circulares o de las secciones rectas.

{| align="center"
|-
|style="text-align:center" | [[Archivo:Oval aus kreisboegen.svg|212px]]
|style="text-align:center" | [[Archivo:Oval aus kreisboegen2.svg|212px]]
|style="text-align:center" | [[Archivo:Oval aus kreisboegen3.svg|212px]]
|style="text-align:center" | [[Archivo:Oval aus kreisboegen4.svg|212px]]
|-
| colspan="4" style="text-align:center" | Óvalos compuestos de arcos circulares y secciones rectas
|}

== Ejemplos de formas ovaladas comunes ==
<center>
{|
|valign="top"|[[Archivo:Lophophorus impejanus MHNT.ZOO.2010.11.10.1.jpg|[[Huevos de ave]]|thumb|center|x150px]]
|valign="top"|[[Archivo:Ukrainskie pisanki.jpeg|[[Huevo de Pascua|Huevos de Pascua]]|thumb|center|x150px]]
|valign="top"|[[Archivo:Roscón de Reyes.jpg|[[Roscón de Reyes]]|thumb|center|x150px]]
|valign="top"|[[Archivo:Fall 2013 (30832277440).jpg|[[Pista de atletismo]]|thumb|center|x150px]]
|valign="top"|[[Archivo:Ru ball marron.svg|[[Balón de rugby]]|thumb|center|x150px]]
|}
</center>

== Véase también ==
* [[Ovoide]]
* [[Óvalo de Cassini]]
* [[Óvalo (plano proyectivo)]]
* [[Curva elíptica]]
* [[Superelipse]]
* [[Conjunto cuadrático]]

== Referencias ==
{{listaref}}

==Bibliografía==
* {{cita web
| autor =A.B. Ivanov
| título =Oval
| url =http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Oval
| id =
}}
* {{cita libro|título=Elementare Differentialgeometrie mit Maple|autor=Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel|editorial=Vieweg+Teubner Verlag|año=1998|url=https://books.google.de/books?id=RUhtG1jZTekC&pg=PA43#v=onepage|isbn=9783528069919|páginas= 43 de 194|fechaacceso= 28 de agosto de 2018}}
* {{cita libro|título=Elementare Differentialgeometrie mit Maple|autor=Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel|editorial=Vieweg+Teubner Verlag|año=1998|url=https://books.google.de/books?id=RUhtG1jZTekC&pg=PA43#v=onepage|isbn=9783528069919|páginas= 43 de 194|fechaacceso= 28 de agosto de 2018}}
* John A. Adam: ''A Mathematical Nature Walk''. Princeton University Press 2009, ISBN 978-0-691-12895-5, S. 124–136
*Arnold Emch: ''Some Properties of Closed Convex Curves in a Plane''. American Journal of Mathematics, Band 35, Nr. 4 (Okt., 1913), S. 407–41 {{JSTOR|2370404}}
*N. Hansen Ball: ''On Ovals''. The American Mathematical Monthly, Band 37, Nr. 7 (Aug. - Sep., 1930), S. 348–353 {{JSTOR|2299271}}
* {{cita libro|título=A Philosophical and Mathematical Dictionary. Volumen 2|autor=Charles Hutton|editorial=author|año=1815|url=https://books.google.es/books?id=lsdJAAAAMAAJ&pg=PA141&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|página= 141|fechaacceso= 28 de agosto de 2018}}

==Enlaces externos==
{{Commonscat|Oval (math)|Óvalos}}
* {{MathWorld|id=Oval|title=Oval}}
* Norbert Harthun, Iris Rennert: [http://www.pks.or.at/Resources/Ei_-Kurve_plus.pdf ''Die Ei-Kurve als Schnitt des Hyperbolischen Kegels''] {{Wayback|url=http://www.pks.or.at/Resources/Ei_-Kurve_plus.pdf |date=20120907043358 }} (PDF; 158&nbsp;kB)
* [http://www.mathematische-basteleien.de/eggcurves.htm ''Egg curves''] auf mathematische-basteleien.de (englisch)
* Paul L. Rosin: [http://users.cs.cf.ac.uk/Paul.Rosin/resources/papers/ovalISAMA.pdf ''On the Construction of Ovals''] (englisch; PDF; 405&nbsp;kB)
* André Heck: [http://www.maa.org/press/periodicals/loci/mathematical-brooding-over-an-egg ''Mathematical Brooding over an Egg'']. In [http://www.maa.org/press/periodicals/loci/about-loci ''Loci''], August 2008 - Online-Journal der [[Mathematical Association of America|MAA]]
* [http://chickscope.beckman.uiuc.edu/explore/eggmath/ ''Egg Math''] {{Wayback|url=http://chickscope.beckman.uiuc.edu/explore/eggmath/ |date=20200428155609 }} - Sammlung von webbasierten Unterrichtseinheiten zur Mathematik rundum das Ei (en inglés)
{{DNB-Portal|4194780-0}}

{{ORDENAR:Ovalo}}
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