Ver el código de «Acotado»

{{Relación binaria 101}}
En [[matemática]], el concepto de '''acotado''' se refiere a una situación en la que para cierto [[objeto matemático]] o un objeto construido a partir del mismo puede establecerse una [[relación de orden]] con otro tipo de entidad llamada cota superior o inferior. Los detalles varían según el contexto, por lo que se remite al cuerpo de este artículo para una definición precisa en cada caso.
{{contenido|izquierda}}{{clear|left}}

== Visión general==
[[Image:Bounded unbounded.svg|right|thumb|300px|[[impresión de un artista|Representación]] intuitiva de un conjunto acotado (arriba) y de un conjunto ilimitado (abajo). El conjunto de abajo se extiende indefinidamente hacia la derecha]]

En [[análisis matemático]] y áreas relacionadas de las [[matemáticas]], un [[conjunto]] se denomina '''''acotado''''' si es, en cierto sentido, de [[Medida (matemáticas)|medida]] finita.<ref name=IBKSGMHM>{{cita libro|título=Handbook of Mathematics|autor=I.N. Bronshtein, K.A. Semendyayev, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig|editorial=Springer|año=2015|url=https://books.google.es/books?id=5L6BBwAAQBAJ&pg=PA660#v=onepage&q&f=false|isbn=9783662462218|páginas= 660 de 1207|fechaacceso= 13 de noviembre de 2023}}</ref> Por el contrario, un conjunto que no está acotado se llama '''''ilimitado'''''. La palabra ''acotado'' no tiene sentido en un [[espacio topológico]] general sin la [[Espacio métrico|métrica]] correspondiente.

''[[Frontera (topología)|Frontera]]'' es un concepto distinto: por ejemplo, el área de un [[círculo]] aislado es un conjunto acotado pero sin frontera, mientras que un [[semiespacio|semiplano]] es ilimitado pero posee una frontera.

Un conjunto acotado no es necesariamente un [[conjunto cerrado]] y viceversa. Por ejemplo, un subconjunto ''S'' de un espacio real bidimensional '''R'''<sup>''2''</sup> restringido por dos curvas parabólicas ''x''<sup>2</sup> + 1 y ''x''<sup>2</sup> - 1 definidas en un sistema de [[coordenadas cartesianas]] está cerrado por las curvas, pero no es acotado (y por lo tanto, es ilimitado).

=== Definición en los números reales ===
[[File:Illustration of supremum es.svg|thumb|upright=1.6|Un conjunto real con cotas superiores y su [[elemento supremo e ínfimo|supremo]]]]

Un conjunto ''S'' de [[números reales]] se denomina ''superiormente acotado'' si existe algún número real ''k'' (no necesariamente en ''S'') tal que ''k'' ≥ ''s'' para todos los ''s'' en ''S''. El número ''k'' se denomina '''cota superior''' de ''S''. Los términos ''inferiormente acotado'' y '''cota inferior''' se definen de manera similar.

Un conjunto ''S'' está '''acotado''' si tiene cotas superior e inferior. Por lo tanto, un conjunto de números reales está acotado si está contenido en un [[Intervalo (matemática)|intervalo finito]].

===Definición en un espacio métrico===

Un [[subconjunto]] ''S'' de un [[espacio métrico]] (''M'', ''d'') está '''acotado''' si existe ''r'' > 0 tal que para todos los ''s'' y ''t'' en ''S'', se tiene que ''d(s'', ''t'') < ''r''. El espacio métrico (''M'', ''d'') es un espacio métrico ''acotado'' (o ''d'' es una métrica ''acotada'') si ''M'' está acotado como un subconjunto de sí mismo.

*[[Totalmente acotado]] implica acotado. Para subconjuntos de '''R'''<sup>''n''</sup>, los dos conceptos son equivalentes.
*Un espacio métrico es [[Espacio compacto|compacto]] si y solo si es [[Espacio métrico completo|completo]] y está totalmente acotado.
*Un subconjunto de un [[espacio euclídeo]] '''R'''<sup>''n''</sup> es compacto si y solo si es [[Conjunto cerrado|cerrado]] y está acotado. Esta propiedad queda definida según el [[teorema de Heine-Borel]].

===Acotación en espacios vectoriales topológicos===
{{AP|Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)}}

En [[espacio vectorial topológico|espacios vectoriales topológicos]], existe una definición diferente para conjuntos acotados (que a veces también se denominan [[conjunto acotado (espacio vectorial topológico)|conjuntos acotados de von Neumann]]). Si la topología del espacio vectorial topológico es inducida por una [[Espacio métrico|métrica]] que es [[Espacio métrico|homogénea]], como en el caso de una métrica inducida por la [[Norma vectorial|norma]] de un [[espacio vectorial normado]], entonces las dos definiciones coinciden.<ref name=JJY>{{cita libro|título=Metric In Measure Spaces|autor=James J Yeh|editorial=World Scientific|año=2019|url=https://books.google.es/books?id=8u_CDwAAQBAJ&pg=PA64#v=onepage&q&f=false|isbn=9789813200425|páginas= 64 de 308|fechaacceso= 13 de noviembre de 2023}}</ref>

=== La acotación en la teoría del orden ===
Un conjunto de números reales está acotado si y solo si tiene un límite superior y otro inferior. Esta definición es extensible a subconjuntos de cualquier [[conjunto parcialmente ordenado]]. Debe tenerse en cuenta que este concepto más general de acotación no corresponde a una noción de ''tamaño''.

Un subconjunto ''S'' de un conjunto parcialmente ordenado ''P'' se llama '''superiormente acotado''' si existe un elemento ''k'' en ''P'' tal que ''k'' ≥ ''s'' para todos los ''s'' de ''S''. El elemento ''k'' se denomina '''cota superior''' de ''S''. Los conceptos de '''inferiormente acotado''' y '''cota inferior''' se definen de manera similar (véase también [[elemento mayorante y minorante]]).

Un subconjunto ''S'' de un conjunto parcialmente ordenado ''P'' se denomina '''acotado''' si tiene un límite superior y otro inferior, o de manera equivalente, si está contenido en un [[Intervalo (matemática)|intervalo]]. Téngase en cuenta que esto no es solo una propiedad del conjunto ''S'', sino también del conjunto ''S'' como subconjunto de ''P''.

Un '''conjunto parcialmente ordenado acotado''' ''P'' (es decir, por sí mismo, no como subconjunto) es aquel que tiene un elemento mínimo y un [[elemento mayor y menor|elemento máximo]]. Debe tenerse en cuenta que este concepto de acotación no tiene nada que ver con el tamaño finito, y que un subconjunto ''S'' de un conjunto parcialmente ordenado acotado ''P'' cuyo orden es la [[Relación binaria|restricción]] del orden en ''P'' no es necesariamente un conjunto parcialmente ordenado acotado.<ref name=EGAKSSK>{{cita libro|título=Infinitesimal Analysis|autor=E.I. Gordon, A.G. Kusraev, Semën Samsonovich Kutateladze|editorial=Springer Science & Business Media|año=2013|url=https://books.google.es/books?id=hqf6CAAAQBAJ&pg=PA45#v=onepage&q&f=false|isbn=9789401700634|páginas= 45 de 422|fechaacceso= 13 de noviembre de 2023}}</ref>

Un subconjunto ''S'' de '''R'''<sup>''n''</sup> está acotado con respecto a la [[distancia euclidiana|distancia euclídea]] si y solo si está acotado como subconjunto de '''R'''<sup>''n''</sup> con el [[orden del producto]]. Sin embargo, ''S'' puede estar acotado como subconjunto de '''R'''<sup>''n''</sup> con el [[orden lexicográfico]], pero no con respecto a la distancia euclídea.

Se dice que una clase de [[número ordinal (teoría de conjuntos)|números ordinales]] es ilimitada, o [[Cofinal (matemáticas)|cofinal]], cuando dado cualquier ordinal, siempre hay algún elemento de la clase mayor que él. Por lo tanto, en este caso ''ilimitado'' no significa ilimitado por sí mismo, sino ilimitado como subclase de la clase de todos los números ordinales.<ref name=EH>{{cita libro|título=Ordered Sets|autor=Egbert Harzheim|editorial=Springer Science & Business Media|año=2005|url=https://books.google.es/books?id=z_aoL8CiPfgC&pg=PA71#v=onepage&q&f=false|isbn=9780387242194|páginas= 71 de 386|fechaacceso= 13 de noviembre de 2023}}</ref>

== Conjunto parcialmente ordenado y acotado ==
Dado un [[conjunto]] '''A''' y una [[relación binaria]] <math> \preceq </math> definida entre los elementos de '''A''', que expresaremos <math> (A, \preceq) </math> y la relación se representa:
: <math>
   x, y \in A
   \; , \quad
   x \preceq y
</math>

que se lee: para los elementos '''x''' e '''y''' de '''A''', '''x''' precede a '''y''', pudiendo decirse también que '''y''' sucede a '''x'''.

La no relación se representa:
: <math>
   x, y \in A
   \; , \quad
   x \not \preceq y
</math>

En su representación cartesiana, podemos ver los elementos del conjunto, donde los elementos del eje horizontal están relacionados con los elementos del eje vertical, si los elementos están relacionados se representa con '''+''', si no están relacionados se representa con '''.''', todos los casos están representados.

Si se cumple que:
: <math>
   x \preceq y
   \quad \lor \quad
   y \preceq x
</math>

el elemento '''x''' precede a '''y''' o '''y''' precede a '''x''', se dice que '''x''' y '''y''' son elementos ''comparables''.

Los siguientes pares de elementos no ordenados, son comparables, en el ejemplo:
: <math>
   (a,a), (a,b), (a,e),(a,h), (a,i), (a,j), (b,b), (b,e), (c,c), (c,f), (d,d), (d,g), 
</math>

: <math>
   (e,e), (e,h), (e,i), (e,j), (f,f), (f,i), (g,g), (h,h), (h,i), (h,j), (i,i), (j,j)
</math>

Si se cumple que:
: <math>
   x \not \preceq y
   \quad \land \quad
   y \not \preceq x
</math>

Si se cumple que existe un '''y''' de '''A''' que se cumple que para todo '''x''' de '''A''' se cumple que '''x''' precede a '''y'''. El conjunto '''A''' está acotado superiormente respecto a <math> \preceq </math> siendo '''y''' una cota superior de '''A'''.

Del mismo modo diremos que:
: <math>
   \forall x \in A
   \; : \quad
   \exists z \in A
   \; : \quad
   z \preceq x \quad 
</math>

Si se cumple que existe un '''z''' de '''A''' que se cumple que para todo '''x''' de '''A''' se cumple que '''z''' precede a '''x'''. El conjunto '''A''' está acotado inferiormente respecto a <math> \preceq </math> siendo '''z''' una cota inferior de '''A'''.

Diremos que un conjunto está acotado, si está acotado superior e inferiormente.  

=== Elemento maximal y minimal ===
{{ap|Elemento maximal y minimal}}
[[Archivo:Conjunto ordenado A 09.svg|derecha|180px]]
Dado el conjunto '''A''' formado por los elementos:
: <math>
   A =
   \{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j \}
</math>

En el que se ha definido una relación binaria <math> \preceq </math> representada en la figura, siendo <math> (A, \preceq) </math> un conjunto parcialmente ordenado.
: <math>
   \begin{array}{cc|ccccccccc}
                      & j & . & . & . & . & + & . & . & + & . & + \\
          \rightarrow & i & . & . & . & . & . & . & . & . & + & . \\
                      & h & . & . & . & . & + & . & . & + & . & . \\
                      & g & . & + & + & . & + & + & + & + & + & . \\
                      & f & . & + & . & . & + & + & . & + & . & . \\
          \rightarrow & e & . & . & . & . & + & . & . & . & . & . \\
                      & d & . & + & + & + & + & + & + & . & + & . \\
                      & c & . & + & + & . & + & + & . & + & . & . \\
          \rightarrow & b & . & + & . & . & . & . & . & . & . & . \\
          \rightarrow & a & + & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\
      \hline
                      & \preceq & a & b & c & d & e & f & g & h & i & j \\
                      & & \uparrow & & & \uparrow & & & & & & \uparrow  \\
   \end{array}
</math>

Los elementos '''y''' de '''A''' que cumplen:
: <math>
   y \in A \; es \; maximal \; si:
   \quad
   \forall x \in A
   \; : \quad
   y \preceq x
   \quad \longrightarrow \quad
   y = x
</math>

'''y''' de '''A''' es maximal si para todo '''x''' de '''A''' que cumple que '''y''' preceda a '''x''' entonces '''y''' es igual a '''x'''.  Los elementos '''y''' de '''A''' se denominan maximales y definen una cota superior en '''A''', los elementos maximales no tiene porque ser únicos, en el ejemplo '''a''', '''d''' y '''j''' son maximales de '''A'''.

Del mismo modo los elementos '''z''' de '''A''' que cumplen:
: <math>
   z \in A \; es \; minimal \; si:
   \quad
   \forall x \in A
   \; : \quad
   x \preceq z
   \quad \longrightarrow \quad
   z = x
</math>

'''z''' de '''A''' es minimal si para todo '''x''' de '''A''' que cumpla que '''x''' preceda a '''z''' entonces '''z''' es igual a '''x'''.  se denominan minimales y definen una cota inferior en '''A''', los elementos minimales no tiene porque ser únicos, en el ejemplo '''a''', '''b''', '''e''' e '''i''' son minimales de '''A'''.  Se puede ver que el elemento '''a''' es maximal y minimal en '''A'''

=== Elemento máximo y mínimo ===
{{ap|Elemento máximo y mínimo}}
[[Archivo:Conjunto ordenado A 01.svg|derecha|180px]]

Dado el conjunto '''A''' formado por los elementos:
: <math>
   A =
   \{ a,b,c,d,e,f,g,h,i,j \}
</math>

En el que se ha definido una relación binaria <math> \preceq </math> representada en la figura, siendo <math> (A, \preceq) </math> un conjunto parcialmente ordenado.  El elemento '''y''' de '''A''' que cumple:
: <math>
   y \in A \; es \; m \acute{a} ximo \; si:
   \quad
   \forall x \in A
   \; / \quad
   x \preceq y
</math>

se denomina máximo y define la cota superior en '''A''', el elemento máximo es único, en el ejemplo '''d''' es el máximo de '''A'''. El elemento máximo de un conjunto es maximal en ese conjunto.

Del mismo modo el elemento '''z''' de '''A''' que cumple:
: <math>
   z \in A \; es \; m \acute{\imath} nimo \; si:
   \quad
   \forall x \in A
   \; / \quad
   z \preceq x
</math>

se denomina mínimo y define la cota inferior en '''A''', el elemento mínimo es único, en el ejemplo '''a''' es mínimo de '''A'''. El elemento mínimo de un conjunto es minimal en ese conjunto.

=== Galería de ejemplos ===
{{ap|Anexo:Extremos de conjunto acotado}}
Dado un conjunto '''A''', entre cuyos elementos, se ha definido una relación binaria que define un orden parcial, definido en las siguientes figuras, se pueden ver los distintos casos para determinar los maximales, minimales, máximos y mínimos de cada caso, en caso de existir:
----
:{|
| 1 || 2 || 3 || 4
|-
| [[Archivo:Conjunto ordenado A 01.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado A 02.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado A 03.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado A 04.svg|180px]]
|-
| maximales: d.
| maximales: a, d, j.
| maximales: d.
| maximales: d.
|-
| máximo: d.
| máximo: no existe
| máximo: d.
| máximo: d
|-
| minimales: a.
| minimales: a, e.
| minimales: a, c, h.
| minimales: a, b.
|-
| mínimo: a.
| mínimo: no existe
| mínimo: no existe
| mínimo: no existe
|}

----

:{|
| 5 || 6 || 7 || 8
|-
| [[Archivo:Conjunto ordenado A 05.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado A 06.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado A 07.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado A 08.svg|180px]]
|-
| maximales: d, g.
| maximales: b, d, i.
| maximales: c, d.
| maximales: a, d, j.
|-
| máximo: no existe
| máximo: no existe
| máximo: no existe
| máximo: no existe
|-
| minimales: a, j.
| minimales: a.
| minimales: a.
| minimales: a, c, e.
|-
| mínimo: no existe
| mínimo: a.
| mínimo: a.
| mínimo: no existe
|}

----

:{|
| 9 ||10 ||11 ||12
|-
| [[Archivo:Conjunto ordenado A 09.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado A 10.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado A 11.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado A 12.svg|180px]]
|-
| maximales: a, d, j.
| maximales: a, d, g, j.
| maximales: a, b, d, i, j.
| maximales: a, c, d, j.
|-
| máximo: no existe
| máximo: no existe
| máximo: no existe
| máximo: no existe
|-
| minimales: a, b, e, i.
| minimales: a, d, e, j.
| minimales: a, e.
| minimales: a, e.
|-
| mínimo: no existe
| mínimo: no existe
| mínimo: no existe
| mínimo: no existe
|} 

----

:{|
|13 ||14 ||15 ||16
|-
| [[Archivo:Conjunto ordenado A 13.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado A 14.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado A 15.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado A 16.svg|180px]]
|-
| maximales: d, e, f.
| maximales: d, g.
| maximales: b, d, i.
| maximales: c, d.
|-
| máximo: no existe
| máximo: no existe
| máximo: no existe
| máximo: no existe
|-
| minimales: a, b, c, h.
| minimales: a, c, d, h, i.
| minimales: a, c, h.
| minimales: a, c, h.
|-
| mínimo: no existe
| mínimo: no existe
| mínimo: no existe
| mínimo: no existe
|}

----

== Conjunto con orden total y acotado ==
{{ap|Orden total acotado}}
[[Archivo:Orden total 003.svg|derecha|180px]]
Dado un [[conjunto]] '''A''' y una [[relación binaria]] <math> \preceq </math> definida entre los elementos de '''A''', que expresaremos <math> (A, \preceq) </math> y la relación se representa:
: <math>
   x \preceq y
</math>

que se lee: '''x''' precede a '''y''', también se puede decir que '''y''' sucede a '''x'''.

Si la relación <math> (A, \preceq) </math> cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es un conjunto con [[orden total]].

Se cumple que:
: <math>
   x \preceq y
   \quad \lor \quad
   y \preceq x
</math>

todos los elementos de un conjunto con orden total son ''comparables''.

Dado el conjunto '''A''' formado por los elementos:
: <math>
   A =
   \{ a,b,c,d,e,f,g \}
</math>

en el que se ha definido una relación binaria <math> \preceq </math> representada en la figura, siendo <math> (A, \preceq) </math> un conjunto totalmente ordenado.

El elemento '''y''' de '''A''' que cumple:
: <math>
   y \in A \; es \; m \acute{a} ximo \; si:
   \quad
   \forall x \in A
   \; / \quad
   x \preceq y
</math>

se denomina máximo y define una cota superior en '''A''', el elemento máximo es únicos, en el ejemplo '''g''' es el máximo de '''A'''.

Del mismo modo el elemento '''z''' de '''A''' que cumple:
: <math>
   z \in A \; es \; m \acute{\imath} nimo \; si:
   \quad
   \forall x \in A
   \; / \quad
   z \preceq x
</math>

se denomina mínimo y define una cota inferior en '''A''', el elemento mínimo es únicos, en el ejemplo '''a''' mínimo de '''A'''.

=== Conjunto de los números naturales ===
Dado el conjunto '''N''' de los [[Número natural|números naturales]] y una relación binaria menor o igual: <math> \leq </math> definida entre los números naturales, que expresaremos <math> (N, \leq) </math> y la relación se representa:
: <math>
   a \leq b
</math>

que se lee: '''a''' es menor o igual que '''b'''.

La relación <math> (N, \leq) </math> cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es un conjunto con orden total.

Se cumple que:
: <math>
   \forall a,b \in N
   \; : \quad
   a \leq b
   \quad \lor \quad
   b \leq a
</math>

para todo: '''a''', '''b''' número natural: '''a''' es menor o igual que '''b''' o '''b''' es menor o igual que '''a''', todos los números naturales son ''comparables''.

Dado el conjunto '''N''' formado por los elementos:
: <math>
   N =
   \{ 0,1,2,3,4,5, \ldots \}
</math>

[[Archivo:Conjunto numérico 41.svg|izquierda|540px]]
{{clear}}

en el que se ha definido una relación binaria <math> \leq </math> representada en la figura, siendo <math> (N, \leq) </math> un conjunto totalmente ordenado.

No existe el elemento '''y''' de '''N''' que cumple:
: <math>
   \forall x \in N
   \; : \quad
   \nexists y \in N
   \; / \quad
   x \leq y
</math>

Este elemento sería el máximo en '''N''' y definiría una cota superior en '''N''', el conjunto de los números naturales no tiene cota superior.

El elemento '''z''' de '''N''' que cumple:
: <math>
   \forall x \in N
   \; : \quad
   \exists z \in N
   \; / \quad
   z \leq x
   \quad \longrightarrow \quad
   z= 0
</math>

se denomina mínimo y define una cota inferior en '''N''', el elemento mínimo es único, el cero:'''0''' es el mínimo de '''N'''.

Dado el conjunto '''N*''' formado por los elementos:
: <math>
   N^* =
   \{1,2,3,4,5, \ldots \}
</math>

[[Archivo:Conjunto numérico 51.svg|izquierda|540px]]
{{clear}}

Donde el 0,(el cero) no pertenece a '''N*''', en el que se ha definido una relación binaria <math> \leq </math> representada en la figura, siendo <math> (N^*, \leq) </math> un conjunto totalmente ordenado.

No existe el elemento '''y''' de '''N*''' que cumple:
: <math>
   \forall x \in N^*
   \; : \quad
   \nexists y \in N^*
   \; / \quad
   x \leq y
</math>

Este elemento sería el máximo en '''N*''' y definiría una cota superior en '''N*''', igual que en el caso anterior, el conjunto de los números naturales no tiene cota superior.

El elemento '''z''' de '''N*''' que cumple:
: <math>
   \forall x \in N^*
   \; : \quad
   \exists z \in N^*
   \; / \quad
   z \leq x
   \quad \longrightarrow \quad
   z= 1
</math>

se denomina mínimo y define una cota inferior en '''N*''', el elemento mínimo es único, el cero:'''1''' es el mínimo de '''N*'''.

=== Conjunto de los números enteros ===
Dado el conjunto '''Z''' de los [[Número entero|números enteros]] y una relación binaria menor o igual: <math> \leq </math> definida entre los números enteros, que expresaremos <math> (Z, \leq) </math> y la relación se representa:
: <math>
   a \leq b
</math>

que se lee: '''a''' es menor o igual que '''b'''.

La relación <math> (Z, \leq) </math> cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es un conjunto con orden total.

Se cumple que:
: <math>
   \forall a,b \in Z
   \; : \quad
   a \leq b
   \quad \lor \quad
   b \leq a
</math>

para todo: '''a''', '''b''' número entero: '''a''' es menor o igual que '''b''' o '''b''' es menor o igual que '''a''', todos los números enteros son ''comparables''.

Dado el conjunto '''Z''' formado por los elementos:
: <math>
   Z =
   \{ \ldots ,-2,-1,0,1,2, \ldots \}
</math>

[[Archivo:Conjunto numérico 31.svg|izquierda|540px]]
{{clear}}

en el que se ha definido una relación binaria <math> \leq </math> representada en la figura, siendo <math> (Z, \leq) </math> un conjunto totalmente ordenado.

No existe el elemento '''y''' de '''Z''' que cumple:
: <math>
   \forall x \in Z
   \; : \quad
   \nexists y \in Z
   \; / \quad
   x \leq y
</math>

Este elemento sería el máximo en '''Z''' y definiría una cota superior en '''Z''', el conjunto de los números enteros no tiene cota superior.

No existe el elemento '''z''' de '''Z''' que cumple:
: <math>
   \forall x \in Z
   \; : \quad
   \nexists z \in Z
   \; / \quad
   z \leq x
</math>

Este elemento sería mínimo y definiría una cota inferior en '''Z''', el conjunto de los números enteros no tiene cota inferior respecto a la relación binaria: <math> \leq </math>.

== Subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado ==
{{ap|Elemento mayorante y minorante|Elemento supremo e ínfimo|Elemento mayor y menor}}
[[Archivo:Conjunto ordenado AB 01.svg|derecha|180px]]

Partiendo de un conjunto:
: <math>
   A =
   \{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j \}
</math>

en el que se ha definido, entre los elementos del conjunto, una relación binaria: <math> \preceq </math> que representamos <math> (A,\preceq) </math> y la relación entre elementos:
: <math>
   x, y \in A
   \; , \quad
   x \preceq y
</math>

que se lee: '''x''' antecede a '''y'''.

Que cumple las propiedades: reflexiva, antisimetrica y transitiva, por lo que se define en el conjunto, respecto a la relación binaria, un orden parcial. Siendo '''B''' un [[subconjunto]] de '''A''':
: <math>
   B =
   \{ f, h, i, j \}
</math>

se puede determinar si '''B''' está acotado según los siguientes conceptos:<ref>{{cita libro|apellido=Aledo Sánchez|nombre=Juan Ángel|enlaceautor=|título=Álgebra y Matemática Discreta|url=|fechaacceso=|año=2009|editorial=Ediciones de la Universidad de Castilla La Mancha|isbn=978-84-8427-717-0|editor=|ubicación=|edición=1|página=32|idioma=español|capítulo=1.3|apellido2=Penabad|nombre2=Jaime|apellido3=Valverde Fajardo|nombre3=José Carlos|apellido4=Villaverde Tomé|nombre4=José Javier|número-autores=4}}</ref>

: Mayorante: es todo elemento de '''A''' que anteceda a todo elemento de '''B'''.
: Supremo: es el elemento mayorante que es antecedido por todos los elemento mayorantes.
: Mayor: es el nombre que recibe el supremo, en caso de existir, y ser un elemento de '''B'''.

: Minorante: es todo elemento de '''A''' que es antecedido por todo elemento de '''B'''.
: Ínfimo: es el elemento minorante que antecede a todos los elementos minorantes.
: Menor: es el nombre que recibe el ínfimo, en caso de existir, y ser un elemento de '''B'''.

=== Galería de ejemplos ===
Dado un conjunto '''A''':
: <math>
   A =
   \{ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j \}
</math>

en el que se ha definido una relación binaria <math> \preceq </math> entre los elementos de '''A''' que define un orden parcial, y siendo '''B''' en subconjunto de '''A''', definido:
: <math>
   B =
   \{ f, h, i, j \}
</math>

Podemos ver una galería de ejemplo, que permiten discernir: mayorante, supremo y mayor así como: minorante, ínfimo y menor.
----
:{|
| 1 || 2 || 3 || 4
|-
| [[Archivo:Conjunto ordenado AB 01.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado AB 02.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado AB 03.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado AB 04.svg|180px]]
|-
| mayorantes: d, g, i.
| mayorantes: no existe
| mayorantes: d, g, i.
| mayorantes: d, g.
|-
| supremo: i.
| supremo: no existe
| supremo: i.
| supremo: g.
|-
| mayor: i.
| mayor: no existe
| mayor: i.
| mayor: no existe
|-
| minorantes: a, e, h.
| minorantes: e, h.
| minorantes: h.
| minorantes: a, e, h.
|-
| ínfimo: h.
| ínfimo: h.
| ínfimo: h.
| ínfimo: h.
|-
| menor: h.
| menor: h.
| menor: h.
| menor: h.
|}

----

:{|
| 5 || 6 || 7 || 8
|-
| [[Archivo:Conjunto ordenado AB 05.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado AB 06.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado AB 07.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado AB 08.svg|180px]]
|-
| mayorantes: i, g.
| mayorantes: i.
| mayorantes: d, g, i.
| mayorantes: no existe
|-
| supremo: i.
| supremo: i.
| supremo: i.
| supremo: no existe
|-
| mayor: i.
| mayor: i.
| mayor: i.
| mayor: no existe
|-
| minorantes: no existe
| minorantes: a, e, h.
| minorantes: a, e.
| minorantes: h.
|-
| ínfimo: no existe
| ínfimo: h.
| ínfimo: e.
| ínfimo: h.
|-
| menor: no existe
| menor: h.
| menor: no existe
| menor: h.
|}

----

:{|
| 9 ||10 ||11 ||12
|-
| [[Archivo:Conjunto ordenado AB 09.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado AB 10.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado AB 11.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado AB 12.svg|180px]]
|-
| mayorantes: no existe
| mayorantes: no existe
| mayorantes: no existe
| mayorantes: no existe
|-
| supremo: no existe
| supremo: no existe
| supremo: no existe
| supremo: no existe
|-
| mayor: no existe
| mayor: no existe
| mayor: no existe
| mayor: no existe
|-
| minorantes: no existe
| minorantes: no existe
| minorantes: e, h.
| minorantes: e.
|-
| ínfimo: no existe
| ínfimo: no existe
| ínfimo: h.
| ínfimo: e.
|-
| menor: no existe
| menor: no existe
| menor: h.
| menor: no existe
|}

----

:{|
|13 ||14 ||15 ||16
|-
| [[Archivo:Conjunto ordenado AB 13.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado AB 14.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado AB 15.svg|180px]]
| [[Archivo:Conjunto ordenado AB 16.svg|180px]]
|-
| mayorantes: no existe
| mayorantes: g, i.
| mayorantes: i.
| mayorantes: d, g, i.
|-
| supremo: no existe
| supremo: i.
| supremo: i.
| supremo: i.
|-
| mayor: no existe
| mayor: i.
| mayor: i.
| mayor: i.
|-
| minorantes: h.
| minorantes: no existe
| minorantes: h.
| minorantes: no existe
|-
| ínfimo: h.
| ínfimo: no existe
| ínfimo: h.
| ínfimo: no existe
|-
| menor: h.
| menor: no existe
| menor: h.
| menor: no existe
|}

== Subconjunto de un conjunto con orden total ==
[[Archivo:Orden total 004.svg|derecha|180px]]
Dado un conjunto <math> A \, </math>:
: <math>
   A =
   \{ a, b, c, d, e, f, g \}
</math>

en el que se ha definido, entre los elementos del conjunto, una relación binaria: <math> \preceq </math> que representamos <math> (A,\preceq) </math> y la relación entre elementos:
: <math>
   x, y \in A
   \; , \quad
   x \preceq y
</math>

que se lee: '''x''' antecede a '''y'''.

Que cumple las propiedades: reflexiva, antisimetrica, transitiva y total, por lo que se define en el conjunto, respecto a la relación binaria, un orden total.

Siendo '''B''':
: <math>
   B =
   \{ c, d, e \}
</math>
un subconjunto de '''A''', se puede determinar en '''B''': mayorantes, supremo y mayor, así como: minorantes, ínfimo y menor:
: Mayorantes: e, f, g
: Supremo: e
: Mayor: e

: Minorantes: a, b, c
: Ínfimo: c
: Menor: c

=== Subconjunto de los números naturales ===
Dado el conjunto '''N''' de los números naturales y una relación binaria menor o igual: <math> \leq </math> definida entre los números naturales, que expresaremos <math> (N, \leq) </math> según la relación:
: <math>
   x, y \in N
   \; : \quad
   x \leq y
</math>

que se lee: siendo '''x''', '''y''' números natural: '''x''' es menor o igual que '''y'''.

La relación <math> (N, \leq) </math> cumple las propiedades: reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es una relación de orden total. Todos los números naturales son ''comparables'' respecto a <math> \leq </math>.

Dado un subconjunto '''A''' de '''N''':
: <math>
   A = \{x : \quad x \in N \quad \land \quad 2 \leq x \leq 5 \}
</math>

[[Archivo:Conjunto numérico 42.svg|izquierda|540px]]
{{clear}}

podemos ver que:
: <math>
   Mayorantes = a \in Z \quad \land \quad 5 \leq a
</math>

: <math>
   Supremo = 5 \,
</math>

: <math>
   Mayor = 5 \,
</math>

: <math>
   Minorantes = b \in Z \quad \land \quad b \leq 2
</math>

: <math>
   Infimo = 2 \,
</math>

: <math>
   Menor = 2 \,
</math>

=== Subconjunto de los números enteros ===
Dado el conjunto '''Z''' de los enteros y una relación binaria menor o igual: <math> \leq </math> definida entre los enteros, que expresaremos <math> (Z, \leq) </math> y la relación se representa:
: <math>
   x, y \in Z
   \; : \quad
   x \leq y
</math>

que se lee: siendo '''x''', '''y''' números enteros: '''x''' es menor o igual que '''y'''.

La relación <math> (Z, \leq) </math> cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es un conjunto con orden total. Todos los números enteros son ''comparables'' respecto a <math> \leq </math>.

Dado un subconjunto de '''Z''':
: <math>
   A = \{x : \quad x \in Z \quad \land \quad -1 \leq x \leq 2 \}
</math>

[[Archivo:Conjunto numérico 32.svg|izquierda|540px]]
{{clear}}

podemos ver que:
: <math>
   Mayorantes = a \in Z \quad \land \quad 2 \leq a
</math>

: <math>
   Supremo = 2 \,
</math>

: <math>
   Mayor = 2 \,
</math>

: <math>
   Minorantes = b \in Z \quad \land \quad b \leq -1
</math>

: <math>
   Infimo = -1 \,
</math>

: <math>
   Menor = -1 \,
</math>

=== Intervalos de números reales ===
Dado el conjunto '''R''' de los [[Número real|números reales]] y una relación binaria menor o igual: <math> \leq </math> definida entre los reales que expresaremos <math> (R, \leq) </math> y la relación se representa:
: <math>
   x, y \in R
   \; : \quad
   x \leq y
</math>

y se lee: siendo '''x''', '''y''' números reales: '''x''' es menor o igual que '''y'''.
[[Archivo:Conjunto numérico 00.svg|izquierda|540px]]
{{clear}}

La relación <math> (R, \leq) </math> cumple las propiedades: reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, que define un conjunto con orden total. Todos los números reales son ''comparables'' respecto a <math> \leq </math>.
[[Archivo:Conjunto numérico 10.svg|izquierda|540px]]
{{clear}}

Considerando un [[Intervalo (matemática)|intervalo]] un subconjunto conexo de los números real, es decir, una parte de recta entre dos valores dados.<ref>{{cita libro |apellido=  Ferrer Llopis|nombre= Jesús|año= 2015|título= Análisis matemático de una variable.|página= 15|capítulo= 1.1|edición= 1|editorial= Asoc. Cultural y Científica Iberoameric|idioma= español|isbn= 978-84-15705-74-1}}</ref>

==== Intervalo cerrado ====
Dado el intervalo cerrado de números reales:
: <math> A = [a,b]\ </math>
[[Archivo:Conjunto numérico 05.svg|izquierda|540px]]
{{clear}}

que se define:
: <math>
   A = [a,b]
   \; , \quad
   \forall x \in R
   \; : \quad
   a \le x \le b
</math>

Se puede ver que:
: <math>
   Mayorantes = y \in R \quad \land \quad b \leq y
</math>

: <math>
   Supremo = b \,
</math>

: <math>
   Mayor = b \,
</math>

: <math>
   Minorantes = z \in R \quad \land \quad z \leq a
</math>

: <math>
   Infimo = a \,
</math>

: <math>
   Menor = a \,
</math>

==== Intervalo abierto ====
Dado el intervalo abierto de números reales:
: <math> A = (a,b)\ </math>
[[Archivo:Conjunto numérico 01.svg|izquierda|540px]]
{{clear}}

que se define:
: <math>
   A = (a,b)
   \; , \quad
   \forall x \in R
   \; : \quad
   a < x < b
</math>

Se puede ver que:
: <math>
   Mayorantes = y \in R \quad \land \quad b \leq y
</math>

: <math>
   Supremo = b \,
</math>

: <math>
   Mayor = no \; existe \,
</math>

: <math>
   Minorantes = z \in R \quad \land \quad z \leq a
</math>

: <math>
   Infimo = a \,
</math>

: <math>
   Menor = no \; existe \,
</math>

=== Intervalos semiabiertos ===
Dado el intervalo semiabiertos de números reales:
: <math> A = [a,b)\ </math>
[[Archivo:Conjunto numérico 04.svg|izquierda|540px]]
{{clear}}

que se define:
: <math>
   A = [a,b)
   \; , \quad
   \forall x \in R
   \; : \quad
   a \leq x < b
</math>

Se puede ver que:
: <math>
   Mayorantes = y \in R \quad \land \quad b \leq y
</math>

: <math>
   Supremo = b \,
</math>

: <math>
   Mayor = no \; existe \,
</math>

: <math>
   Minorantes = z \in R \quad \land \quad z \leq a
</math>

: <math>
   Infimo = a \,
</math>

: <math>
   Menor = a \,
</math>

----

Dado el intervalo semiabiertos de números reales:
: <math> A = (a,b]\ </math>
[[Archivo:Conjunto numérico 02.svg|izquierda|540px]]
{{clear}}

que se define:
: <math>
   A = (a,b]
   \; , \quad
   \forall x \in R
   \; : \quad
   a < x \leq b
</math>

Se puede ver que:
: <math>
   Mayorantes = y \in R \quad \land \quad b \leq y
</math>

: <math>
   Supremo = b \,
</math>

: <math>
   Mayor = b \,
</math>

: <math>
   Minorantes = z \in R \quad \land \quad z \leq a
</math>

: <math>
   Infimo = a \,
</math>

: <math>
   Menor =  no \; existe \,
</math>

==== Intervalo infinito ====
Dado el intervalo abierto de números reales:
: <math> A = (a,\infty)\ </math>
[[Archivo:Conjunto numérico 03.svg|izquierda|540px]]
{{clear}}

que se define:
: <math>
   A = (a,\infty)
   \; , \quad
   \forall x \in R
   \; : \quad
   a < x
</math>

Se puede ver que:
: <math>
   Mayorantes = no \; existe \,
</math>

: <math>
   Supremo = no \; existe \,
</math>

: <math>
   Mayor = no \; existe \,
</math>

: <math>
   Minorantes = z \in R \quad \land \quad z \leq a
</math>

: <math>
   Infimo = a \,
</math>

: <math>
   Menor = no \; existe \,
</math>

----

Dado el intervalo semiabierto de números reales:
: <math> A = [a,\infty)\ </math>
[[Archivo:Conjunto numérico 06.svg|izquierda|540px]]
{{clear}}

que se define:
: <math>
   A = [a,\infty)
   \; , \quad
   \forall x \in R
   \; : \quad
   a \leq x
</math>

Se puede ver que:
: <math>
   Mayorantes = no \; existe \,
</math>

: <math>
   Supremo = no \; existe \,
</math>

: <math>
   Mayor = no \; existe \,
</math>

: <math>
   Minorantes = z \in R \quad \land \quad z \leq a
</math>

: <math>
   Infimo = a \,
</math>

: <math>
   Menor = a \,
</math>

----

Dado el intervalo abierto de números reales:
: <math> A = (\infty,b) \ </math>
[[Archivo:Conjunto numérico 07.svg|izquierda|540px]]
{{clear}}

que se define:
: <math>
   A = (\infty,b)
   \; , \quad
   \forall x \in R
   \; : \quad
   x < b
</math>

Se puede ver que:
: <math>
   Mayorantes = y \in R \quad \land \quad b \leq y
</math>

: <math>
   Supremo = b \,
</math>

: <math>
   Mayor = no \; existe \,
</math>

: <math>
   Minorantes = no \; existe \,
</math>

: <math>
   Infimo = no \; existe \,
</math>

: <math>
   Menor = no \; existe \,
</math>

----

Dado el intervalo semiabierto de números reales:
: <math> A = (\infty,b] \ </math>
[[Archivo:Conjunto numérico 08.svg|izquierda|540px]]
{{clear}}

que se define:
: <math>
   A = (\infty,b]
   \; , \quad
   \forall x \in R
   \; : \quad
   x \leq b
</math>

Se puede ver que:
: <math>
   Mayorantes = y \in R \quad \land \quad b \leq y
</math>

: <math>
   Supremo = b \,
</math>

: <math>
   Mayor = b \,
</math>

: <math>
   Minorantes = no \; existe \,
</math>

: <math>
   Infimo = no \; existe \,
</math>

: <math>
   Menor = no \; existe \,
</math>

== Conjunto acotado en un espacio métrico ==

Sean M un [[espacio métrico]] y A un subconjunto de M. Se dice que A está acotado si existe algún [[disco cerrado]] que lo contenga.

=== Conjunto acotado en el conjunto de los números reales ===
Sean '''A''' un subconjunto de [[números reales]] y M un número real positivo. Se dice que '''A''' es acotado si existe un '''M''' tal que para todo '''x ∈ A''' se verifica que |x| es menor o igual que '''M'''.
: <math>
   A \; \mbox{es acotado}
   \quad \iff \quad
   \exists M \in \R^+ / \quad \forall x \in A: \quad |x| \le M
</math>

=== Conjunto acotado superiormente ===

Un conjunto <math>\scriptstyle A</math> [[orden total|completamente ordenado]] está acotado superiormente si existe un elemento <math>\scriptstyle y</math> que sea mayor que cualquier elemento del conjunto, es decir:
{{ecuación|
<math>A\ \mbox{acotado superiormente} \iff \exists y: \forall x\in A:\ (x \le y)</math>
|*|left}}
Nótese que con esta definición puede ser que <math>\scriptstyle y\notin A</math> o que <math>\scriptstyle y\in A</math>. A cualquier número <math>\scriptstyle y</math> que satisfaga {{eqnref|*}} se le llama [[cota superior]].

Si un conjunto está acotado superiormente en general existirá más de una cota superior, denotando al conjunto de cotas superiores de <math>\scriptstyle A</math> como <math>\scriptstyle CS_A</math> se define el [[supremo]] de <math>\scriptstyle A</math> como el mínimo de este conjunto:
{{ecuación|
<math>\sup A = \min CS_A</math>
||left}} 

Si <math>\scriptstyle A \subset \R</math> está acotado entonces tiene un supremo. Si resulta que <math>\scriptstyle \sup A \in A</math> entonces el supremo resulta además ser un máximo del conjunto <math>\scriptstyle A</math>.

=== Conjunto acotado inferiormente ===

Sea A un subconjunto no vacío de números reales, se dice que A es acotado inferiormente si existe k que pertenece a los reales tal que
k < x o k = x para todo x que pertenece a A.
El número k se denomina cota inferior para A pues los números menores que k también son cotas inferiores, lo cual indica que el conjunto de todas las cotas inferiores de A es infinito. 

El ínfimo de un conjunto A es el máximo de las cotas inferiores de dicho conjunto.

<math>Inf \ A= max \ CI_A </math>

=== Ejemplos ===

*El conjunto de [[números enteros]] positivos consta de un ínfimo, el 0, por lo que es un '''Conjunto Acotado Inferiormente'''.
*El conjunto de los [[números enteros]] negativos consta de un supremo, el 0, por lo que es un '''Conjunto Acotado Superiormente'''.
*Un conjunto que conste de los números {-3, 0, 1, 5, 32, 120} consta de una mayorante (el 120), una minorante (el -3) y un subconjunto que consta de los cuatro elementos restantes, por lo que es un '''Conjunto Acotado'''.

== Función acotada en un dominio ''D'' ==

Una [[función matemática]] ''f'' se llama '''función acotada en un dominio ''D''''' (conjunto abierto conexo no vacío) cuando el conjunto imagen o recorrido de la función es un conjunto acotado, es decir, cuando la función solo existe para un intervalo numérico determinado. Por esta misma razón si una función solo existe en un intervalo numérico concreto se le llama "función acotada" ya que su resultado está limitado (acotado) a unos valores numéricos concretos que son finitos . Por ejemplo, las funciones trigonométricas <math>\sin x</math> y <math>\cos x</math>, para las cuales <math>f(D) =[-1,+1]\,</math>, son funciones acotadas ya que todos sus posibles resultados están contenidos en un intervalo numérico acotado, en este caso el [[intervalo cerrado]] [-1,1].

=== Función acotada superiormente en un dominio ''D'' ===

Dada una función <math>f(x)</math>, se dice que tiene una cota superior o que está acotada superiormente si existe un valor <math>K</math> tal que <math>f(x) \le K</math> para cualquier valor de x perteneciente al dominio D. K se llama cota superior de <math>f(x)</math> en D.

Dicho formalmente:
<math>f(x)</math> es acotada superiormente si
<math>\exists K \in \R\ /\ f(x) \le K\  \forall\  x \in D</math>.

=== Función acotada inferiormente en un dominio ''D'' ===

Dada una función <math>f(x)</math>, se dice que tiene una cota inferior o que está acotada inferiormente si existe un valor ''K'' tal que <math>f(x) \ge K</math> para cualquier valor de ''x'' perteneciente al dominio ''D''. ''K'' se llama cota inferior de <math>f(x)</math> en ''D''.

<!--ACLARACIÓN REQUERIDA
Donde ''x'' es una [[variable vectorial]], por lo que el dominio ''D'' puede ser ''n''-dimensional.
-->

=== Ejemplos ===

*La función <math>y = f(x) = x^2\,</math> ([[parábola (matemática)|parábola]]) es una '''función acotada inferiormente''' en el eje real con cota igual a 0.
*La función <math>y = f(x) = -x^2\,</math> (parábola invertida) es una '''función acotada superiormente''' en el eje real con cota igual a 0.
*La función <math>y= f(x) = \sin(x)\,</math> ([[función seno]]) es una '''función acotada''' en el eje real, con cota inferior igual a -1 y cota superior igual a 1.
*La función <math>z = f(x,y) = x^2+y^2\,</math> (la [[circunferencia unitaria]]) en el dominio D = {<math>-1 \le x \le 1, -1 \le y \le 1</math>} tiene una cota superior igual a 2 y una cota inferior igual a 0.

=== Operador acotado ===
En un [[espacio de Hilbert]] (o un [[espacio de Banach]]) un [[operador acotado]] es aquel que tiene una norma máxima definida sobre la bola unidad. Por tanto para un operador acotado se cumple que:
{{ecuación|
<math>\exists K \in \mathbb{R}: \max_{\|v\| = 1} \|B(v)\| \le K</math>
||left}}
Algunos operadores importantes de la [[mecánica cuántica]] como el [[hamiltoniano (mecánica cuántica)|hamiltoniano]] suelen ser no acotados, lo cual tiene cierta significación física ya que en general la mayoría de sistemas físicos no tienen un límite superior de la energía que pueden contener.

== Segmento acotado ==

En un [[croquis]], se llama '''segmento acotado''' aquel que está limitado por ambos extremos con sus dimensiones indicadas.

=== Croquis acotado ===

Representación de un objeto en un plano horizontal o vertical con indicación de las dimensiones del objeto.

== Término no acotado ==
{{referencias|t=20120713|matemáticas}}
En [[matemáticas]] el término no acotado se refiere a alguna entidad matemática infinita o para la cual no es posible establecer una cota máxima para alguna de sus propiedades o medidas.

=== Conjuntos no acotados ===
Dentro de un espacio métrico (''E, d'') un conjunto no acotado es un [[conjunto infinito]] tal que tiene puntos situados a distancia infinita, es decir, no existe ningún valor <math>C\in\R</math> tal que:
{{Ecuación|<math>d(P,Q) < C \qquad \mbox{para todo}\ P,Q\in E</math>||left}}
Alternativamente un conjunto no acotado es aquel que no cabe dentro de ninguna bola de radio finito de dicho espacio métrico.

=== Operador no acotado ===
Fijado un [[espacio vectorial normado]], un operador A se dice no acotado o discontinuo si no existe  <math>C\in\R</math> tal que:
: <math>
   \sup_x \frac{\lVert Ax \rVert}{\lVert x\rVert} < C < \infty
</math>

== Véase también ==
* [[Conjunto abierto]]
* [[Conjunto cerrado]]

* [[Elemento maximal y minimal]]
* [[Elemento máximo y mínimo]]

* [[Elemento mayorante y minorante]]
* [[Elemento supremo e ínfimo]]
* [[Elemento mayor y menor]]

== Referencias ==
{{listaref}}

== Bibliografía ==
# R. G. Bartle y D. R. Sherbert: ''Introducción al Análisis Matemático de una Variable'' (''Introduction to Real Analysis''), trad., ed. Limusa S.A. 2009.
# Robert D. Richmyer, ''Principles of advanced mathematical physics'', Springer-Verlag, New York, 1978.
#{{cita libro
 |apellido=  DIAZ MORENO
 |nombre= JOSE MANUEL
 |título= INTRODUCCION A LA TOPOLOGIA DE LOS ESPACIOS METRICOS
 |página= 98
 |capítulo= 6
 |edición= 1
 |año= 1998
 |editorial= UNIVERSIDAD DE CADIZ
 |idioma= español
 |isbn= 9788477865148
}}
#{{cita libro
 |autor= Ralph P. Grimaldi
 |año= 1998
 |título= Matemáticas discreta y combinatoria
 |url= https://archive.org/details/matemticasdiscre00ralp
 |página= [https://archive.org/details/matemticasdiscre00ralp/page/n390 376]
 |capítulo=
 |edición= 3
 |editorial= Pearson Educación
 |idioma= español
 |isbn= 9789684443242
}}
#{{cita libro
 |autor= Gregori, V.
 |autor2= Ferrando, J. C.
 |año= 1995
 |título= Matemática discreta
 |página=45
 |capítulo= 2.4
 |edición= 2
 |editorial= Editorial Reverte
 |idioma= español
 |isbn= 9788429151794
}}
#{{cita libro
 |apellido= Linés Escardó
 |nombre= Enrique
 |año= 1991
 |título= Principios de análisis matemático
 |página= 104
 |capítulo=
 |edición= 1
 |editorial= Editorial Reverte
 |idioma= español
 |isbn= 9788429150728
}}
#{{cita libro
 |autor= Walter Rudin
 |año= 1979
 |título= Análisis funcional
 |traductor=
 |página= 20
 |capítulo= 1.29
 |edición= 1
 |editorial= Editorial Reverte
 |idioma= español
 |isbn= 9788429151152
}}
#{{cita libro
 |autor= Paul Dubreil
 |autor2= Marie Louise Dubreil-Jacotin
 |año= 1971
 |título=Lecciones de álgebra moderna
 |traductor=
 |página= 186
 |capítulo= 5
 |edición= 2
 |editorial= Editorial Reverte
 |idioma= español
 |isbn= 9788429150704
}}
#{{cita libro
 |apellido= Barrester
 |nombre= Hugo
 |año=
 |título= Introducción a la Matemática
 |traductor=
 |página= 40
 |capítulo= 1.3.3 Relación de orden
 |edición= 1
 |editorial= EUNED
 |idioma= español
 |isbn=
}}
#{{cite book|first=Robert G.|last=Bartle|author-link=Robert G. Bartle|first2=Donald R.|last2=Sherbert|title=Introduction to Real Analysis|url=https://archive.org/details/introductiontore0000bart|location=New York|publisher=John Wiley & Sons|year=1982|isbn=0-471-05944-7 }}
#{{cite book|first=Robert D.|last=Richtmyer|author-link=Robert D. Richtmyer|title=Principles of Advanced Mathematical Physics|publisher=Springer|location=New York|year=1978|isbn=0-387-08873-3 }}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría del orden]]
[[Categoría:Topología general]]
[[Categoría:Análisis matemático]]
[[Categoría:Análisis funcional]]