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{{otros usos}}
[[Archivo:Drum vibration mode12.gif|miniatura|derecha|200px|Uno de los posibles modelos de vibración en un [[parche de tambor]] circular idealizado. Estos modos son [[Autofunción|autofunciones]] de un operador lineal en un espacio funcional, una construcción común en el análisis funcional.]]
El '''análisis funcional''' es la rama de las [[matemáticas]], y específicamente del [[análisis matemático|análisis]], que trata del estudio de [[Espacio funcional|espacios de funciones]].<ref>Yosida, K.: Functional Analysis, Springer-Verlag, 6th edition, 1980</ref> Tienen sus raíces históricas en el estudio de transformaciones tales como [[Dualidad de Pontryagin|transformación de Fourier]] y en el estudio de las [[ecuación diferencial|ecuaciones diferenciales]] y ecuaciones integrales. La palabra ''[[funcional]]'' se remonta al [[cálculo de variaciones]], implicando una función cuyo argumento es una función. Su uso en general se ha atribuido a [[Vito Volterra|Volterra]]. 

En la visión moderna inicial, se consideró el análisis funcional como el estudio de los [[espacios vectoriales normados]] [[espacio completo|completos]] sobre los [[número real|reales]] o los [[número complejo|complejos]]. Tales espacios se llaman [[espacio de Banach|espacios de Banach]]. Un ejemplo importante es el [[espacio de Hilbert]], donde la norma surge de un [[producto escalar]]. Estos espacios son de importancia fundamental en la formulación matemática de la [[mecánica cuántica]]. Más general y modernamente, el análisis funcional incluye el estudio de los [[espacio de Fréchet|espacios de Fréchet]] y otros espacios vectoriales localmente convexos y aún topológicos. 

Un objeto importante de estudio en análisis funcional son los [[transformación lineal|operadores lineales]] continuos definidos en los espacios de Banach y de Hilbert. Estos conducen naturalmente a la definición de [[C-estrella-álgebra|C* álgebra]] y otras [[álgebra]]s de operadores. 

Los espacios de Hilbert pueden ser clasificados totalmente: hay un espacio único de Hilbert módulo [[isomorfismo]] para cada [[número cardinal|cardinal]] de la base (hilbertiana). Puesto que los espacios de Hilbert finito-dimensionales se entienden completamente en [[álgebra lineal]], y puesto que los morfismos de los espacios de Hilbert se pueden dividir siempre en morfismos de espacios con dimensionalidad [[Lista de números#Números transfinitos|alef-0]] (<math>\aleph_0</math>), análisis funcional de Hilbert trata sobre todo con el espacio único de Hilbert de dimensionalidad alef-0, y sus morfismos. 

Los espacios de Banach generales son mucho más complicados que los espacios de Hilbert. Dado que un espacio de Banach es un espacio vectorial, una base es un sistema de generadores linealmente independiente. Este concepto, cuando la dimensión no es finita, suele carecer de utilidad; lo sustituye el de conjunto fundamental. Un conjunto de vectores es fundamental si la [[clausura topológica]] del subespacio vectorial que engendra es el espacio completo. Dado que un vector pertenece a su clausura topológica si es el límite de una sucesión de vectores del subespacio vectorial engendrado, descubrimos que, en caso de disponer de un conjunto fundamental, podemos poner todo vector del espacio como el límite de una sucesión de combinaciones lineales de los vectores de un conjunto fundamental.

Un ejemplo de lo anterior es el [[teorema de aproximación de Weierstrass]] que afirma que toda función real continua en un intervalo compacto puede ser aproximada mediante polinomios. El espacio de Banach es, en este caso, el conjunto de las [[Función continua|funciones continuas]] en un compacto y el conjunto fundamental las potencias enteras del argumento. Este teorema se extiende mediante el [[w:Stone–Weierstrass theorem|teorema de Stone-Weierstrass]].

Para cualquier número real ''p'' ≥ 1, un ejemplo de un espacio de Banach viene dado por los [[espacio Lp|espacios L<sup>''p''</sup>]]. 

En los espacios de Banach, una gran parte del estudio involucra al [[espacio dual]]: el espacio de todas funcionales lineales continuas. Como en álgebra lineal, el dual del dual no es siempre isomorfo al espacio original, pero hay un monomorfismo natural de un espacio en su doble dual siempre. Esto se explica en el artículo [[espacio dual]]. 

La noción de [[derivada]] se amplía a las funciones arbitrarias entre los 
[[espacios de Banach]]; resulta que la derivada de una función en cierto punto es realmente una [[función lineal]] continua. 

Un ejemplo de espacio de Banach es el [[Espacio de Sóbolev]].

Aquí enumeramos algunos resultados importantes del análisis funcional: 
* [[Teorema de Banach-Steinhaus]] es un resultado en conjuntos equicontinuos de operadores. 
* [[Teorema espectral]] da una fórmula integral para los [[operador normal|operadores normales]] en un espacio de Hilbert. Es de importancia central en la formulación matemática de la [[mecánica cuántica]]. 
* [[Teorema de Hahn-Banach]] es sobre la extensión de funcionales continuos desde un subespacio a todo el espacio, de una manera que preserve la norma. 
* [[Teorema de la función abierta]] y [[teorema de la gráfica cerrada]]. 
* [[Teorema del punto fijo de Banach]]

==Espacios vectoriales normados==
La clase básica e históricamente primera de espacios estudiados en análisis funcional son los [[espacio completo|completo]] (sobre el [[número real|real]] o [[número complejo]]). Estos espacios se denominan [[espacios de Banach]]. Un ejemplo importante es un [[espacio de Hilbert]], donde la norma surge de un producto interior. Estos espacios son de importancia fundamental en muchas áreas, incluyendo la [[formulación matemática de la mecánica cuántica]], [[espacio de Hilbert de núcleo reproductor|aprendizaje automático]], [[ecuaciones diferenciales parciales]] y [[análisis de Fourier]].

En términos más generales, el análisis funcional incluye el estudio de [[espacio de Fréchet|espacios de Fréchet]] y otros [[espacio vectorial topológico|espacios vectoriales topológicos]] no dotados de norma.

Un importante objeto de estudio en análisis funcional son las [[transformación lineal|operadores lineales]] continuos definidos en los espacios de Banach y Hilbert. Estos conducen naturalmente a la definición de [[álgebras C*]] y otras [[álgebras de operadores]].

===Espacios de Hilbert===
Los [[espacios de Hilbert]] pueden clasificarse completamente: existe un único espacio de Hilbert [[Salvo (matemáticas)|salvo]] [[isomorfismo]] para cada [[número cardinal|cardinalidad]] de la [[base ortonormal]].<ref>{{Cite book| last=Riesz|first=Frigyes| url=https://www.worldcat.org/oclc/21228994|title=Análisis funcional|date=1990|publisher=Dover Publications| others = Béla Szőkefalvi-Nagy, Leo F. Boron|isbn=0-486-66289-6|edition=Dover |location=New York|oclc=21228994| pages = 195-199}}</ref> Los espacios de Hilbert finito-dimensionales se entienden completamente en [[álgebra lineal]], y los espacios de Hilbert infinito-dimensionales [[espacio separable|separable]] Hilbert son isomorfos a [[Espacios de secuencia#ℓp|<math>\ell^{\,2}(\aleph_0)\,</math>]]. Dado que la separabilidad es importante para las aplicaciones, el análisis funcional de los espacios de Hilbert se ocupa principalmente de este espacio. Uno de los problemas abiertos en el análisis funcional es demostrar que todo operador lineal acotado en un espacio de Hilbert tiene un [[subespacio invariante]] propio. Ya se han demostrado muchos casos especiales de este [[problema del subespacio invariante]].

===Espacios de Banach===
Los [[espacios de Banach]] generales son más complicados que los espacios de Hilbert, y no pueden clasificarse de una manera tan sencilla como aquellos. En particular, muchos espacios de Banach carecen de una noción análoga a una [[base ortonormal]].

Ejemplos de espacios de Banach son los [[espacios Lp|<math>L^p</math>]] para cualquier número real {{nowrap|<math>p\geq1</math>.}}. Dada también una medida <math>\mu</math> sobre el conjunto {{nowrap|<math>X</math>,}} entonces {{nowrap|<math>L^p(X)</math>,}} a veces también denotado <math>L^p(X,\mu)</math> o {{nowrap|<math>L^p(\mu)</math>,}} tiene como vectores clases de equivalencia <math>[\,f\,]</math> de [[función medible de Lebesgue|función medible]]s cuyo [[valor absoluto]] de <math>p</math>-ésima potencia tiene integral finita; es decir, funciones <math>f</math> para las que se tiene
<math display="block">\int_{X}\left|f(x)\right|^p\,d\mu(x) < \infty.</math>

Si <math>\mu</math> es la [[medida de contaje]], entonces la integral puede sustituirse por una suma. Es decir, requerimos
<math display="block">\sum_{x\in X}\left|f(x)\right|^p < \infty .</math>

Entonces no es necesario tratar con clases de equivalencia, y el espacio se denota {{nowrap|<math>\ell^p(X)</math>,}} escrito más simplemente <math>\ell^p</math> en el caso cuando <math>X</math> es el conjunto de [[enteros]] no negativos.

En los espacios de Banach, una gran parte del estudio implica el [[espacio dual continuo|dual]]: el espacio de todos los [[mapas lineales de funciones continuas (topología)|continuas]] del espacio a su campo subyacente, los llamados funcionales. Un espacio de Banach puede identificarse canónicamente con un subespacio de su bidual, que es el dual de su espacio dual. El mapa correspondiente es una [[isometría]], pero en general no onto. Un espacio de Banach general y su bidual ni siquiera tienen por qué ser isométricamente isomorfos en ningún sentido, al contrario que en la situación de dimensión finita. Esto se explica en el artículo sobre el espacio dual.

Además, la noción de [[derivada]] puede extenderse a funciones arbitrarias entre espacios de Banach. Véase, por ejemplo, el artículo [[derivada de Fréchet]].

==Resultados principales y fundamentales==
Hay cuatro teoremas principales que a veces se denominan los cuatro pilares del análisis funcional: el [[teorema de Hahn-Banach]], el [[Teorema de la función abierta]], el [[Teorema de la gráfica cerrada]] y el [[principio de acotación uniforme]], también conocido como teorema de Banach-Steinhaus. Algunos resultados importantes del análisis funcional son:

===Principio de acotación uniforme===
El «principio de acotación uniforme» o [[teorema de Banach-Steinhaus]] es uno de los resultados fundamentales del análisis funcional. Junto con el [[teorema de Hahn-Banach]] y el [[Teorema de la función abierta]], se considera una de las piedras angulares del campo. En su forma básica, afirma que para una familia de [[Operador lineal continuo| operadores lineales continuos]] (y por tanto operadores acotados) cuyo dominio es un [[espacio de Banach]], la acotación puntual es equivalente a la acotación uniforme en la norma del operador.

El teorema fue publicado por primera vez en 1927 por [[Stefan Banach]] y [[Hugo Steinhaus]], pero también fue demostrado independientemente por [[Hans Hahn]].

principio de acotación uniforme: Dejemos que <math>X</math> sea un [[espacio de Banach]] y <math>Y</math> sea un [[espacio vectorial normado]]. Supongamos que <math>F</math> es una colección de operadores lineales continuos desde <math>X</math> hasta <math>Y</math>. Si para todo <math>x</math> en <math>X</math> se tiene
<math display="block">\sup\nolimits_{T \in F} \|T(x)\|_Y  < \infty, </math>
entonces
<math display="block">\sup\nolimits_{T \in F} \|T\|_{B(X,Y)}  < \infty.</math>
=== Teorema de descomposición espectral ===
{{AP|Teorema de descomposición espectral}}
Hay muchos teoremas conocidos como el teorema espectral, pero uno en particular tiene muchas aplicaciones en el análisis funcional.
'''Teorema de descomposición espectral'''<ref name="Sin_nombre-20230526120001">{{Cite book|last=Hall|first=Brian C.|url={{google books |plainurl=y |id=bYJDAAAAQBAJ|page=147}}|title=Quantum Theory for Mathematicians|date=2013-06-19|publisher=[[Springer Science & Business Media]]|isbn=978-1-4614-7116-5|page=147|language=en}}</ref>
Sea <math>A</math>  sea un operador autoadjunto acotado en un espacio de Hilbert <math>H</math>. Entonces hay un [[espacio de medida]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> y un valor real esencialmente limitado función mensurable <math>f</math> en <math>X</math> y un operador unitario <math>U:H\to L^2_\mu(X)</math> tal que 
<math display="block"> U^* T U = A </math>
donde ''T'' es el [[Operador multiplicación]]:
<math display="block"> [T \varphi](x) = f(x) \varphi(x). </math>
y <math>\|T\| = \|f\|_\infty</math>.}}<ref name="Sin_nombre-20230526120001"/>
Dejemos que <math>A</math>  sea un operador y un valor real esencialmente limitado en un espacio de Hilbert <math>H</math>. Entonces hay un [[espacio de medida]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> valor real esencialmente limitado función mensurable  <math>f</math> en <math>X</math> and a unitary operator <math>U:H\to L^2_\mu(X)</math> such that
<math display="block"> U^* T U = A </math>
donde ''T'' es el [[Operador multiplicación]]:
<math display="block"> [T \varphi](x) = f(x) \varphi(x). </math>
y <math>\|T\| = \|f\|_\infty</math>.

==Consideraciones sobre los fundamentos de las matemáticas==
La mayoría de los espacios considerados en análisis funcional tienen dimensión infinita. Demostrar la existencia de una [[Base (álgebra)| base de espacio vectorial]] para tales espacios puede requerir el [[lema de Zorn]]. Sin embargo, un concepto algo diferente, la [[base de Schauder]], suele ser más relevante en análisis funcional. Muchos teoremas requieren el [[teorema de Hahn-Banach]], que suele demostrarse utilizando el [[axioma de elección]], aunque basta con el [[teorema del ideal primo booleano]], estrictamente más débil. El [[Teorema de categorías de Baire]], necesario para demostrar muchos teoremas importantes, también requiere una forma de axioma de elección.
==Puntos de vista==
El análisis funcional en su {{As of|2004|alt=forma actual}} incluye las siguientes tendencias:
*''Análisis abstracto''. Un enfoque del análisis basado en [[grupo topológico]]s, [[anillo topológico]]s y [[espacio vectorial topológico]]s.
*Geometría de [[espacios de Banach]]'' contiene muchos temas. Uno de ellos es el enfoque [[combinatorio]] relacionado con [[Jean Bourgain]]; otro es una caracterización de los espacios de Banach en los que se cumplen varias formas de la [[ley de los grandes números]].
*''[[Geometría no conmutativa]]''. Desarrollada por [[Alain Connes]], basándose en parte en nociones anteriores, como el enfoque de [[George Mackey]] en [[teoría ergódica]].
*''Conexión con la [[mecánica cuántica]]''. Definida en sentido estricto como en [[física matemática]], o interpretada en sentido amplio por, por ejemplo, [[Israel Gelfand]], para incluir la mayoría de los tipos de [[teoría de la representación]].

== Referencias ==
{{Listaref}}

==Bibliografía==
* Schechter, M.: Principles of Functional Analysis, AMS, 2nd edition, 2001
* Hutson, V., Pym, J.S., Cloud M.J.: Applications of Functional Analysis and Operator Theory, 2nd edition, Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1
* Dunford, N. and Schwartz, J.T. : Linear Operators, General Theory, and other 3 volumes, includes visualization charts
* Sobolev, S.L.: Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, AMS, 1963
* Lebedev, L.P. and Vorovich, I.I.: Functional Analysis in Mechanics, Springer-Verlag, 2002
* Aliprantis, C.D., Border, K.C.: ''Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide'', 3rd ed., Springer 2007, {{ISBN|978-3-540-32696-0}}. Online {{doi|10.1007/3-540-29587-9}} (by subscription)
* Bachman, G., Narici, L.: ''Functional analysis'', Academic Press, 1966. (reprint Dover Publications)
* [[Stefan Banach|Banach S.]] [http://www.ebook3000.com/Theory-of-Linear-Operations--Volume-38--North-Holland-Mathematical-Library--by-S--Banach_134628.html ''Theory of Linear Operations''] {{Wayback|url=http://www.ebook3000.com/Theory-of-Linear-Operations--Volume-38--North-Holland-Mathematical-Library--by-S--Banach_134628.html |date=20211028084954 }}. Volume 38, North-Holland Mathematical Library, 1987, {{ISBN|0-444-70184-2}}
* [[Haïm Brezis|Brezis, H.]]: ''Analyse Fonctionnelle'', Dunod {{ISBN|978-2-10-004314-9}} or {{ISBN|978-2-10-049336-4}}
* [[John B. Conway|Conway, J. B.]]: ''A Course in Functional Analysis'', 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, {{ISBN|0-387-97245-5}}
* [[Nelson Dunford|Dunford, N.]] and [[Jacob T. Schwartz|Schwartz, J.T.]]: ''Linear Operators, General Theory, John Wiley & Sons'', and other 3 volumes, includes visualization charts
* Edwards, R. E.: ''Functional Analysis, Theory and Applications'', Hold, Rinehart and Winston, 1965.
* Eidelman, Yuli, Vitali Milman, and Antonis Tsolomitis: ''Functional Analysis: An Introduction'', American Mathematical Society, 2004.
* [[Avner Friedman|Friedman, A.]]: ''Foundations of Modern Analysis'', Dover Publications, Paperback Edition, July 21, 2010
* Giles, J.R.: ''Introduction to the Analysis of Normed Linear Spaces'', Cambridge University Press, 2000
* Hirsch F., Lacombe G. - "Elements of Functional Analysis", Springer 1999.
* Hutson, V., Pym, J.S., Cloud M.J.: ''Applications of Functional Analysis and Operator Theory'', 2nd edition, Elsevier Science, 2005, {{ISBN|0-444-51790-1}}
* Kantorovitz, S.,''Introduction to Modern Analysis'', Oxford University Press, 2003,2nd ed.2006.
* [[Kolmogorov|Kolmogorov, A.N]] and [[Sergei Fomin|Fomin, S.V.]]: ''Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis'', Dover Publications, 1999
* [[Erwin Kreyszig|Kreyszig, E.]]: ''Introductory Functional Analysis with Applications'', Wiley, 1989.
* [[Peter Lax|Lax, P.]]: ''Functional Analysis'', Wiley-Interscience, 2002, {{ISBN|0-471-55604-1}}
* Lebedev, L.P. and Vorovich, I.I.: ''Functional Analysis in Mechanics'', Springer-Verlag, 2002
* Michel, Anthony N. and Charles J. Herget: ''Applied Algebra and Functional Analysis'', Dover, 1993.
* Pietsch, Albrecht: ''History of Banach spaces and linear operators'', Birkhäuser Boston Inc., 2007, {{ISBN|978-0-8176-4367-6}}
* [[Michael C. Reed|Reed, M.]], [[Barry Simon|Simon, B.]]: "Functional Analysis", Academic Press 1980.
* Riesz, F. and Sz.-Nagy, B.: ''Functional Analysis'', Dover Publications, 1990
* [[Walter Rudin|Rudin, W.]]: ''Functional Analysis'',  McGraw-Hill Science, 1991
* Saxe, Karen: ''Beginning Functional Analysis'', Springer, 2001
* Schechter, M.: ''Principles of Functional Analysis'', AMS, 2nd edition, 2001
* Shilov, Georgi E.: ''Elementary Functional Analysis'', Dover, 1996.
* [[Sobolev|Sobolev, S.L.]]: ''Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics'', AMS, 1963
* Vogt, D., Meise, R.: ''Introduction to Functional Analysis'', Oxford University Press, 1997.
* [[Kōsaku Yosida|Yosida, K.]]: ''Functional Analysis'', Springer-Verlag, 6th edition, 1980

== Enlaces externos ==
{{Sister project links| wikt=no | commons=no | b=Functional Analysis | n=no | q=Functional analysis | s=no | v=no | voy=no | species=no | d=no}}

* {{Springer |title=Functional analysis |id=p/f042020}}
* [https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-fa/index.html Topics in Real and Functional Analysis] by [[Gerald Teschl]], University of Vienna.
* [https://web.archive.org/web/20161021093450/http://www.math.nyu.edu/phd_students/vilensky/Functional_Analysis.pdf Lecture Notes on Functional Analysis] by Yevgeny Vilensky, New York University.
* [https://www.youtube.com/playlist?list=PLE1C83D79C93E2266 Lecture videos on functional analysis] by [http://www.uccs.edu/~gmorrow/ Greg Morrow] {{Wayback|url=http://www.uccs.edu/~gmorrow/ |date=20170401143239 }} from [[University of Colorado Colorado Springs]]

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