Ver el código de «Análisis matemático»

[[Archivo:Mandelzoom.jpg|thumb|500px| El estudio del [[conjunto de Mandelbrot]], que es un objeto fractal con autosimilitud estadística, involucra diversas áreas del '''análisis matemático''': el análisis de la convergencia, la teoría de la medida, la geometría y la teoría de la probabilidad y la estadística.]]
[[Archivo:Conjuntos Numéricos.png|miniaturadeimagen|Conjuntos Numéricos]]
El '''análisis matemático''' es una rama de la [[matemática]]<ref>{{Cita web|url=https://www.ecured.cu/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico|título=Análisis matemático - EcuRed|fechaacceso=5 de septiembre de 2020|sitioweb=www.ecured.cu|idioma=es}}</ref> que estudia los [[conjuntos numéricos]] (los [[número real|números reales]] y los [[número complejo|complejos]]) tanto del punto de vista algebraico como topológico, así como las [[función (matemática)|funciones]] entre esos conjuntos y construcciones derivadas. Se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulación rigurosa de [[Cálculo infinitesimal|límite]] y estudia conceptos como la [[Continuidad (matemática)|continuidad]], la [[integración]] y la [[Derivación (matemática)|derivación]] de diversos tipos.<ref>Esquema planteado en ''Análisis matemático'' de Tom Apostol</ref>

Una de las diferencias entre el [[álgebra]] y el análisis es que este último recurre a construcciones que involucran sucesiones de un número infinito de elementos, mientras que álgebra usualmente es finitista.

== Historia ==
[[Imagen:Archimedes pi.svg|thumb|left|300px|[[Arquímedes]] usó el [[método de agotamiento]] para calcular el área dentro de un círculo al encontrar el área de polígonos regulares con más y más lados. Este fue un ejemplo temprano pero informal de un límite, uno de los conceptos más básicos en el análisis matemático.]]
=== En la Edad Antigua ===
Matemáticos griegos como [[Eudoxo de Cnidos]] y [[Arquímedes]] hicieron un uso informal de los conceptos de [[Límite matemático|límite]] y [[límite de una sucesión#Tipos de convergencia|convergencia]] cuando usaron el [[método exhaustivo]] para calcular el área y volumen de regiones y sólidos. De hecho, el [[número π]] fue aproximado usando el método exhaustivo.<ref>{{Cita web|url=http://pimedios.es/2016/09/16/el-metodo-de-exhauscion/|título=El método de exhausción|fechaacceso=10 de septiembre de 2020|fechaarchivo=25 de noviembre de 2020|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20201125075708/http://pimedios.es/2016/09/16/el-metodo-de-exhauscion/|deadurl=yes}}</ref> En la [[India]] del {{siglo|XII||s}} el matemático [[Bhaskara II|Bhaskara]] concibió elementos del [[cálculo diferencial]], así como el concepto de lo que ahora conocemos como el [[teorema de Rolle]].

Los primeros resultados del análisis estaban implícitamente presentes en los primeros días de la matemática griega antigua. Por ejemplo, una suma geométrica infinita está implícita en la paradoja de la [[dicotomía de Zenón]]. [4] Posteriormente, matemáticos griegos como [[Eudoxo de Cnido| Eudoxo]] y [[Arquímedes]] hicieron un uso más explícito, pero informal, de los conceptos de límites y convergencia cuando utilizaron el [[Método exhaustivo]] para calcular el área y el volumen de regiones y sólidos.[5] El uso explícito de infinitesimales aparece en [[El método de los teoremas mecánicos]] de Arquímedes, una obra redescubierta en el {{siglo|XX||s}}. [6] En Asia, el matemático chino [[Liu Hui]] utilizó el método de agotamiento en el {{siglo|III|d|s}} para encontrar el área de un círculo. [7] De la literatura jainista, parece que los hindúes estaban en posesión de las fórmulas para la suma de la aritmética y la geometría ya en el {{siglo|IV|a|s}} [8] Ācārya Bhadrabāhu usa la suma de una suma de una serie geométrica en su Kalpasūtra en 433 aC [9] En la matemática hindú, casos particulares de la aritmética y se ha encontrado que ocurren implícitamente en la literatura védica desde el año 2000 a.&nbsp;C.
En el {{siglo|XIV||s}}, el matemático indio [[Madhava de Sangamagrama|Madhava]]<ref>{{Cita web|url=https://es.mathigon.org/timeline|título=Cronología de las matemáticas.|fechaacceso=10 de septiembre de 2020.}}</ref> desarrolló ideas fundamentales como la expansión de [[Serie (matemáticas)|series infinitas]], las series de potencias, [[serie de Taylor|series de Taylor]] y la [[aproximación]] racional de series infinitas. Además desarrolló las series de Taylor de funciones trigonométricas —seno, coseno, tangente— y estimó la magnitud de los errores de cálculo truncando estas series. También desarrolló [[Fracción continua|fracciones continuas]] infinitas, integración término a término y la serie de potencias de [[número π|pi]]. Sus discípulos de la [[Escuela de Kerala]] continuaron su trabajo hasta el {{siglo|XVI||s}}.

En Europa, en el siglo {{siglo|XVII||s}}, se establecieron los fundamentos modernos del análisis matemático, en el que [[Isaac Newton|Newton]] y [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] inventan el [[Cálculo infinitesimal|cálculo]]. Ahora sabemos que Newton desarrolló el cálculo infinitesimal unos diez años antes que Leibniz. Este último lo hizo en 1675 y publicó su obra en 1684, aproximadamente veinte años antes de que Newton se decidiera a hacer lo propio con sus trabajos. Newton había comunicado la novedad solamente a algunos pocos colegas suyos y de nada valieron las instigaciones de Halley para que Newton publicara sus trabajos más tempranamente. Esta actitud sirvió de base para crear una desagradable controversia por el padrinazgo de la idea; discusión que podría haber sido evitada si otro gran matemático, [[Fermat]], no hubiera tenido también la inexplicable costumbre de no hacer públicos sus trabajos. En una carta de Fermat a Roberval, fechada el 22 de octubre de 1636, se hallan claramente descritos tanto la [[geometría analítica]]<ref>Existe un ensayo escrito por Fermat en 1629 en el que crea la geometría analítica, pero no fue editado hasta 1669, treinta años después de la aparición de la Géométrie de Descartes.</ref> como el análisis matemático.<ref>Capítulo VII: Este Mundo Fluente, [[Tobías Dantzig]], "El Número Lenguaje de la Ciencia, Editorial Hobbs Sudamericana S. A., Buenos Aires, 1971, página 143.</ref> [[Descartes]] también desarrolló la geometría analítica de manera independiente. En dicho siglo y en el {{siglo|XVIII||s}}, ciertos temas sobre el análisis como el [[cálculo de variaciones]], las [[ecuación diferencial|ecuaciones diferenciales]] y [[ecuaciones en derivadas parciales]], el [[Análisis armónico|análisis de Fourier]] y las [[función generadora|funciones generadoras]] fueron desarrolladas principalmente para un trabajo de aplicación. Las técnicas del Cálculo fueron aplicadas con éxito en la aproximación de [[Matemática discreta|problemas discretos]] mediante los continuos.

=== En la Edad Media ===
En el {{siglo|V||s}}, [[Zu Chongzhi]] estableció un método que más tarde se llamaría [[Principio de Cavalieri]] para hallar el volumen de una esfera.[10] El matemático indio [[Bhaskara II]] dio ejemplos de la derivada y utilizó lo que ahora se conoce como [[teorema de Rolle]] en el {{siglo|XII||s}}.[11].

En el {{siglo|XIV||s}}, [[Madhava de Sangamagrama]] desarrolló expansiones de series infinitas, como la serie de potencias y la [[serie de Taylor]], de funciones como el seno, el coseno, la tangente y la arcotangente[12] Junto con su desarrollo de la serie de Taylor de las funciones trigonométricas, también estimó la magnitud de los términos de error creados al truncar estas series y dio una aproximación racional de una serie infinita. Sus seguidores en la [[Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala]] ampliaron sus trabajos hasta el {{siglo|XVI||s}}.
=== En la Edad Moderna ===
[[Archivo:Fourier Series.svg|thumb|right|180px|[[Aproximación]] de una función «onda cuadrada» discontinua mediante una serie de funciones trigonométricas continuas y diferenciables.]]
==== Fundamentos ====
Los fundamentos modernos del análisis matemático se establecieron en la Europa del {{siglo|XVII||s}}, cuando [[Descartes]] y [[Fermat]] desarrollaron de forma independiente la [[geometría analítica]], precursora del cálculo moderno. El método de adecuación de Fermat le permitió determinar los máximos y mínimos de las funciones y las tangentes de las curvas.[13] La publicación de ''[[La Géométrie]]'' de Descartes en 1637, que introdujo el sistema de coordenadas cartesianas, se considera el establecimiento del análisis matemático. Unas décadas más tarde, [[Isaac Newton| Newton]] y [[Leibniz]] desarrollaron de forma independiente el [[cálculo infinitesimal]], que creció, con el estímulo del trabajo aplicado que continuó a lo largo del s[[iglo XVIII]], en temas de análisis como el [[cálculo de variaciones]], las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, el análisis de Fourier y las funciones generadoras. Durante este periodo, las técnicas de cálculo se aplicaron para aproximar los problemas discretos a los continuos.

==== Modernización ====
A todo lo largo del {{siglo|XVIII||s}} la definición del concepto de [[Función matemática|función]] estuvo sujeta a debate entre los matemáticos. En el {{siglo|XIX||s}}, [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] fue el primero que estableció el cálculo sobre unos firmes fundamentos lógicos mediante el uso del concepto de [[sucesión de Cauchy]]. También inició la teoría formal del [[análisis complejo]]. [[Simeon Poisson|Poisson]], [[Joseph Liouville|Liouville]], [[Jean-Baptiste Joseph Fourier|Fourier]] y otros, estudiaron [[ecuaciones en derivadas parciales]] y el [[análisis armónico]].

A mediados de dicho siglo, [[Bernhard Riemann|Riemann]] introduce su teoría de la [[Integral de Riemann|integración]]. En el último tercio del {{siglo|XIX||s}} [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] lleva a la aritmetización del análisis, ya que pensaba que el razonamiento geométrico era engañoso por naturaleza, e introduce la definición ε - δ  de [[Límite matemático|límite]]. Entonces los matemáticos empezaron a preguntarse si no estarían asumiendo la existencia de cierto [[continuo]] de [[Número real|números reales]] sin probar su existencia. [[Julius Wilhelm Richard Dedekind|Dedekind]] entonces construye los números reales mediante las [[cortaduras de Dedekind]]. Sobre la misma época, los intentos de refinar los teoremas de [[Integral de Riemann|integración de Riemann]] llevaron hacia el estudio del «tamaño» de los [[Conjunto de discontinuidad|conjuntos de discontinuidad]] de funciones reales.

También, funciones «[[Patológico (matemáticas)|monstruos]]» (funciones [[Continuo en ninguna parte|continuas en ninguna parte]], funciones [[continuas pero no diferenciables en ningún punto]], [[Curva que llena el espacio]], [[Curva de Peano]]) comenzaron a surgir. En este contexto, [[Camille Jordan|Jordan]] desarrolló su teoría de [[Teoría de la medida|medida]], [[Georg Cantor|Cantor]] lo hizo con lo que ahora se llama [[teoría de conjuntos]] y [[René-Louis Baire|Baire]] prueba el [[teorema de la categoría de Baire]]. A principios del {{siglo|XX||s}}, el cálculo se formaliza usando la [[teoría de conjuntos]]. [[Henri Léon Lebesgue|Lebesgue]] resuelve el problema de la medida y [[David Hilbert|Hilbert]] introduce los [[Espacio de Hilbert|espacios de Hilbert]] para resolver [[Ecuación integral|ecuaciones integrales]]. La idea de [[Espacio normado|espacios vectoriales normados]] estuvo en ciernes y en los años 1920 [[Stefan Banach|Banach]] crea el [[análisis funcional]]

== Conceptos importantes == 
=== Espacio métrico ===
{{AP|Espacio métrico}}
En [[matemáticas]], un '''espacio métrico'''' es un [[conjunto]] en el que se define una noción de [[distancia]] (llamada [[métrica (matemáticas)|métrica]]) entre los elementos del conjunto.

Gran parte del análisis se realiza en algún [[espacio métrico]]; los más utilizados son la [[recta real]], el [[plano complejo]], el [[espacio euclidiano]], otros [[Espacio vectorial| espacios vectoriales]] y los [[enteros]]. Los ejemplos de análisis sin métrica incluyen la [[teoría de la medida]] (que describe el tamaño en lugar de la distancia) y el [[análisis funcional]], que estudia los [[Espacio vectorial topológico| espacios vectoriales topológicos]] que no necesitan tener ningún sentido de la distancia.

Formalmente, un espacio métrico es un [[par ordenado]] <math>(M,d)</math> donde <math>M</math> es un conjunto y <math>d</math> es una métrica en <math>M</math>, es decir, una función

:<math>d \colon M \times M \rightarrow \mathbb{R}</math>

tal que para cualquier <math>x, y, z \in M</math> se mantiene lo siguiente:

# <math>d(x,y) = 0</math> [[Bicondicional| si y solo si]] <math>x = y</math> &nbsp;&nbsp; (''[[Identidad de los indiscernibles]]''),
# <math>d(x,y) = d(y,x)</math> &nbsp;&nbsp; (''simetría''), y
# <math>d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)</math> &nbsp;&nbsp; (''[[Desigualdad triangular]]'').

Tomando la tercera propiedad y dejando <math>z=x</math>, se puede demostrar que <math>d(x,y) \ge 0</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; (''no-negativo'').
=== Secuencias y límites ===
{{Artículo principal|Sucesión (matemática)}}
Una secuencia es una lista ordenada. Como un conjunto, contiene miembros (también llamados elementos o términos). A diferencia de un conjunto, el orden importa y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones de la secuencia. Más precisamente, una secuencia se puede definir como una función cuyo dominio es un conjunto contable totalmente ordenado, como los números naturales.

Una de las propiedades más importantes de una secuencia es la convergencia. De manera informal, una secuencia converge si tiene un límite. Continuando de manera informal, una secuencia (infinita simple) tiene un límite si se acerca a algún punto ''x'', llamado límite, de ''n'' cuando ''n'' se hace muy grande. Es decir, para una secuencia abstracta (''a''<sub>''n''</sub>) (con ''n'' que va de 1 a infinito entendido) la distancia entre ''a''<sub>''n''</sub> y ''x'' se acerca a 0 cuando ''n'' → ∞ se indica de la siguiente manera:

:<math>\lim_{n\to\infty} a_n = x.</math>
== Ramas principales ==
=== Análisis real ===
{{Main|Análisis real}}
'''El análisis real''' (tradicionalmente, la '''teoría de las funciones de una variable real''') es una rama del análisis matemático que se ocupa de los [[números reales]] y de las funciones de valor real de una variable real.<ref>{{cite book |last=Rudin |first=Walter |author-link=Walter Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive. org/details/principlesofmath00rudi |url-access=registro |serie=Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics |fecha=1976 |edición=3ª |editorial=McGraw-Hill |isbn=978-0-07-054235- 8}}</ref><ref>{{cite book |last=Abbott |first=Stephen |title=Understanding Analysis |url=https://archive.org/details/understandingana0000abbo_j8f6 |series=Undergraduate Texts in Mathematics |isbn=978-0-387-95060-0 |date=2001 |publisher=Springer-Verlag}}</ref> En particular, se ocupa de las propiedades analíticas de las [[función matemática|funciones]] reales y de las [[secuencia]]s, incluyendo el [[límite de una secuencia|convergencia]] y el [[límite de una función|límites]] de las [[secuencias]] de números reales, el [[cálculo]] de los números reales, y la [[función continua|continuidad]], la [[función suave|suavidad]] y las propiedades relacionadas de las funciones de valor real.

=== Análisis complejo ===
{{Main|Análisis complejo}}

'''El análisis complejo''', tradicionalmente conocido como '''teoría de las funciones de una variable compleja''', es la rama del análisis matemático que investiga [[Función (matemática)|funciones]] de [[números complejos]]. Es útil en muchas ramas de las matemáticas, incluyendo la [[geometría algebraica]], la [[teoría de números]], la [[matemática aplicada]]; así como en la [[física]], incluyendo la [[hidrodinámica]], la [[termodinámica]], la [[ingeniería mecánica]], la [[ingeniería eléctrica]], y particularmente, la [[teoría cuántica de campos]].

El análisis complejo se ocupa especialmente de las [[Función analítica| funciones analíticas]] de variables complejas (o, más generalmente, de las [[Función meromórfica| funciones meromórficas]]). Debido a que las partes separadas de [[recta real|real]] y [[número imaginario|imaginario]] de cualquier función analítica deben satisfacer la [[ecuación de Laplace]], el análisis complejo es ampliamente aplicable a problemas bidimensionales en [[física]].

=== Análisis funcional ===
{{Main|Análisis funcional}}
'''El análisis funcional''' es una rama del análisis matemático, cuyo núcleo está formado por el estudio de [[espacios vectoriales]] dotados de algún tipo de estructura relacionada con el límite (por ejemplo, [[Espacio del producto interior#Definición|producto interior]], [[Norma (matemática)#Definición|norma]], [[Espacio topológico#Definición|topología]], etc.) y las [[transformaciones lineales|operadores lineales]] que actúan sobre estos espacios y respetan estas estructuras en un sentido adecuado. Las raíces históricas del análisis funcional se encuentran en el estudio del [[espacio de funciones|espacios de funciones]] y en la formulación de las propiedades de las transformaciones de funciones como la [[transformación de Fourier]] como transformaciones que definen operadores de [[función continua|continua]], [[operador unitario|unitario]] etc. entre espacios de funciones.  Este punto de vista resultó ser particularmente útil para el estudio de [[ecuaciones diferenciales|diferenciales]] y [[ecuaciones integrales]].

=== Ecuaciones diferenciales ===
{{Main|Ecuaciones diferenciales}}
Una '''ecuación diferencial''' es una [[matemática]] [[ecuación]] para una [[función matemática|función]] desconocida de una o varias [[Variable matemática|variables]] que relaciona los valores de la propia función y sus [[derivada]]s de varios órdenes.<ref>{{cite book|first = Edward L.|last = Ince|title = Ordinary Differential Equations|publisher = Dover Publications|date = 1956|isbn = 978-0-486-60349-0|url = https://books./|fechaacceso = 21 de junio de 2021|fechaarchivo = 31 de julio de 2013|urlarchivo = https://web.archive.org/web/20130731120516/https://books./|deadurl = yes}}</ref><ref>[[Witold Hurewicz]], ''Lectures on Ordinary Differential Equations'', Dover Publications, {{isbn|0-486-49510-8}}</ref> Las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel destacado en [[ingeniería]], [[física]], [[economía]], [[biología]] y otras disciplinas.

Las ecuaciones diferenciales surgen en muchas áreas de la ciencia y la tecnología, específicamente cuando se conoce o se postula una relación [[Determinismo|determinista]] que involucra algunas cantidades que varían continuamente (modeladas por funciones) y sus tasas de cambio en el espacio o el tiempo (expresadas como derivadas). Esto se ilustra en la [[mecánica clásica]], donde el movimiento de un cuerpo se describe por su posición y velocidad al variar el valor del tiempo. Las [[leyes del movimiento de Newton|Leyes de Newton]] permiten (dada la posición, la velocidad, la aceleración y las diversas fuerzas que actúan sobre el cuerpo) expresar estas variables dinámicamente como una ecuación diferencial para la posición desconocida del cuerpo en función del tiempo. En algunos casos, esta ecuación diferencial (llamada [[ecuaciones de movimiento|ecuación de movimiento]]) puede resolverse explícitamente.
=== Teoría de la medida ===
{{Main|Teoría de la medida}}

Una '''medida''' sobre un [[conjunto (matemáticas)|conjunto]] es una forma sistemática de asignar un número a cada [[subconjunto]] adecuado de ese conjunto, interpretado intuitivamente como su tamaño.<ref>{{cite book|author-link = |first = Terence|last = Tao|date = 2011|title = An Introduction to Measure Theory|publisher = American Mathematical Society|isbn = 978-0-8218-6919-2|url = https://books. google.com/books?id=HoGDAwAAQBAJ|access-date = 2018-10-26|archive-date = 2019-12-27|archive-url = https://web.archive.org/web/20191227145317/https://books.google.com/books?id=HoGDAwAAQBAJ|url-status = }}</ref> En este sentido, una medida es una generalización de los conceptos de longitud, área y volumen. Un ejemplo particularmente importante es la [[medida de Lebesgue]] en un [[espacio euclidiano]], que asigna la [[longitud]] convencional, el [[área]] y el [[volumen]] de la [[geometría euclidiana]] a subconjuntos adecuados del espacio euclidiano <math>n</math>-dimensional <math>\mathbb{R}^n</math>. Por ejemplo, la medida de Lebesgue del [[intervalo]] <math>\left[0, 1\right]</math> en la [[línea real|números reales]] es su longitud en el sentido cotidiano de la palabra - concretamente, 1.

Técnicamente, una medida es una función que asigna un número real no negativo o [[Recta de números reales extendida|+∞]] a (ciertos) subconjuntos de un conjunto <math>X</math>. Debe asignar 0 al [[conjunto vacío]] y ser ([[contablemente]]) aditivo: la medida de un subconjunto "grande" que puede descomponerse en un número finito (o contable) de subconjuntos "más pequeños" disjuntos, es la suma de las medidas de los subconjuntos "más pequeños". En general, si se quiere asociar un tamaño ''consistente'' a ''cada'' subconjunto de un conjunto dado mientras se satisfacen los demás axiomas de una medida, sólo se encuentran ejemplos triviales como la [[medida de conteo]]. Este problema se resolvió definiendo la medida sólo en una subcolección de todos los subconjuntos; los llamados subconjuntos ''medibles'', que se requieren para formar una [[Álgebra Sigma|<math>\sigma</math>]]. Esto significa que la [[unión (teoría de conjuntos)|unión]] contable, la [[intersección (teoría de conjuntos)|intersección]] contable y el [[complemento (teoría de conjuntos)|complemento]] de subconjuntos medibles son medibles. Los [[conjuntos no medibles]]s en un espacio euclidiano, sobre los que no se puede definir la medida de Lebesgue de forma consistente, son necesariamente complicados en el sentido de estar mal mezclados con su complemento. En efecto, su existencia es una consecuencia no trivial del [[axioma de elección]].

=== Análisis numérico ===
{{Main|Análisis numérico}}
'''El análisis numérico''' es el estudio de los [[algoritmos]] que utilizan la [[aproximación]] numérica (a diferencia de la [[computación simbólica|manipulaciones simbólicas]] general) para los problemas del análisis matemático (a diferencia de la [[matemática discreta]]).<ref>{{cite book |last=Hildebrand |first=Francis B. | autor-link= | title=Introducción al análisis numérico |url=https://archive.org/details/introductiontonu0000hild | edición=2ª |fecha=1974 |editorial=McGraw-Hill |isbn= 978-0-07-028761-7}}</ref>

El análisis numérico moderno no busca respuestas exactas, porque las respuestas exactas son a menudo imposibles de obtener en la práctica. En su lugar, gran parte del análisis numérico se ocupa de obtener soluciones aproximadas manteniendo límites razonables sobre los errores.

El análisis numérico encuentra naturalmente aplicaciones en todos los campos de la ingeniería y las ciencias físicas, pero en el {{siglo|XXI||s}}, las ciencias de la vida e incluso las artes han adoptado elementos de cálculo científico. Las [[ecuaciones diferenciales ordinarias]] aparecen en la [[mecánica celeste]] (planetas, estrellas y galaxias); el [[álgebra lineal numérica]] es importante para el análisis de datos; las [[ecuaciones diferenciales estocásticas]] y las [[cadenas de Markov]] son esenciales en la simulación de células vivas para la medicina y la biología.

=== Análisis vectorial ===
{{Main|Vector}}

=== Análisis Tensorial ===
{{Main|Cálculo tensorial}}

== Subdivisiones ==
Se ha discutido mucho cuántas y qué ramas compondrían el análisis, ya que a medida que la disciplina se desarrolla, diversas ramas que previamente eran independientes acaban formando parte de un mismo cuerpo y en ocasiones parecen emerger ramas independientes. El análisis matemático incluye los siguientes campos:
* '''[[Análisis real]]''', esto es, el estudio formalmente [[axioma|riguroso]] de las derivadas e integrales de las funciones real-valuadas, lo que incluye el estudio de [[Límite matemático|límites]] y [[Serie (matemáticas)|series]].
**[[Ecuación diferencial|Ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales]].
** [[Geometría diferencial]], que extiende los métodos del análisis real sobre espacios euclídeos a espacios topológicos más generales.
** [[Teoría de la medida|Integración y teoría de la medida]], que generaliza el concepto de cálculo integral y de medida.
** [[Teoría de la probabilidad]], que en gran medida comparte formalismo con la teoría de la medida, a partir de la axiomatización de [[Kolmogórov]].
** [[Análisis numérico]], encargado de diseñar [[algoritmo]]s para, a través de [[número]]s y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados al mundo real.
** [[Análisis no estándar]], que investiga ciertos [[Número hiperreal|números hiperreales]] y sus funciones, y da un tratamiento [[Rigor#Rigor científico|riguroso]] de los números infinitesimales y los infinitamente grandes.

* '''Análisis no real''', que extiende el análisis real a cuerpos diferentes de los números reales.
**[[Análisis complejo]], que estudia funciones que van del [[plano complejo]] hacia sí mismo y que son complejo-diferenciables, las [[función holomorfa|funciones holomorfas]].
** [[Análisis p-ádico|Análisis ''p''-ádico]], el análisis en el contexto de los [[número p-ádico|números ''p''-ádicos]], que difiere de forma interesante y sorprendente de su homólogo real y complejo.
* '''[[Análisis funcional]]''', que estudia espacios y funciones e introduce conceptos como los [[Espacio de Banach|espacios de Banach]] y [[Espacio de Hilbert|espacios de Hilbert]].
**[[Análisis armónico]], que trata sobre las [[Serie de Fourier|series de Fourier]] y sus abstracciones<ref>{{Cita publicación|url=https://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/libreria/fich/APcavan.pdf|título=Aplicaciones del análisis armónico. (Análisis armónico y de todo un poco)|apellidos=Chamizo|nombre=Fernando|fecha=2012|publicación=Universidad Autónoma de Madrid|fechaacceso=29-10-2024}}</ref> y adiciones analíticas subarmónicas.
** [[Geometría analítica]], o geometría de las coordenadas, que pone en correspondencia a n-uplas con puntos y conjuntos de n-uplas con lugares geométricos.
* '''[[Topología]]'''
** [[Topología diferencial]], que generaliza el análisis real y complejo de varias variables a espacios topológicos más generales que <math>\scriptstyle \R^n</math> o <math>\scriptstyle \mathbb{C}^n</math>.
** [[Topología algebraica]]
** [[Grupo de Lie|Grupos de Lie]]
* Otras áreas:
** [[Geometría algebraica]]

== Véase también ==
* '''[[Geometría diferencial]]'''
* '''[[Topología diferencial]]'''
*  '''[[Cálculo fraccional]]'''
** '''[[Cálculo Fraccional de Conjuntos|Cálculo fraccional de conjuntos]]

== Referencias ==
{{listaref}}
=== Bibliografía ===
* {{Cita libro |autor=Apostol, Tom M. |título=Análisis matemático: Introducción moderna al cálculo superior |año=1960 |isbn = 84-291-5000-5|editorial=Reverté}}
* {{Cita libro |autor=Rey Pastor, Julio |título=Análisis matemático: Teoría de ecuaciones; cálculo infinitesimal de una variable |año=1985 |isbn = 950-13-3301-9|editorial=Kapelusz}}
* {{Cita libro |autor=Gardner Bartle, Robert |título=Introducción al análisis matemático |año=1982 |isbn = 968-18-0997-1|editorial=Limusa}} 
*Stewart, James (2002). ''Cálculo Multivariable.'' Thomson Learning.
* {{cite book |author-last1=Aleksandrov [Алекса́ндров] |author-first1=Aleksandr Danilovich [Алекса́ндр Дани́лович] |author-link1= |author-last2=Lavrent'ev [Лавре́нтьев] |author-first2=Mikhail Alexseevich [Михаи́л Алексе́евич] |author-link2= |author-first3=Sergey Mikhailovich [Серге́й Миха́йлович] |author-last3=Nikol'skiĭ [Нико́льский] |author-link3= |author-first4=Boris Nikolaevich [Бори́с Никола́евич] |author-last4=Delone [Делоне́]|author-link4= |author-first5=Ivan Georgievich [Ива́н Гео́ргиевич] |author-last5=Petrovskiĭ [Петро́вский] |author-link5= |author-first6=Sergei Lvovich [Серге́й Льво́вич] |author-last6=Sobolev [Со́болев] |author-link6= |author-first7=Olga Aleksandrovna [Óльга Алекса́ндровна] |author-last7=Ladyženskaja [Лады́женская] |author-link7= |author-first8=Vladimir Ivanovich [Уладзімір Іванавіч] |author-last8=Krylov [Крылоў] |author-link8=|author-first9=Mstislav Vsevolodovich [Мстисла́в Все́володович] |author-last9=Keldyš [Ке́лдыш] |author-link9= |author-first10=Konstantin Konstantinovich [Константин Константинович] |author-last10=Mardzanisvili [Марджанишвили] |author-link10=|author-first11=Aleksei Georgievich [Алексей Георгиевич] |author-last11=Postnikov [Постников] |author-link11= |author-last12=Kolmogorov [Колмого́ров] |author-first12=Andrey Nikolaevich [Андре́й Никола́евич] |author-link12= |author-first13=Sergey Alexeyevich [Серге́й Алексе́евич] |author-last13=Lebedev [Ле́бедев] |author-first14=Leonid Vitaliyevich [Леони́д Вита́льевич] |author-last14=Kantorovič [Канторо́вич] |author-link14= |author-first15=Sergey Borisovich [Серге́й Бори́сович] |author-last15=Stečkin [Сте́чкин] |author-link15= |author-first16=Dmitry Konstantinovich [Дми́трий Константи́нович] |author-last16=Faddeev [Фадде́ев] |author-link16= |author-first17=Pavel Sergeyevich [Па́вел Серге́евич] |author-last17=Aleksandrov [Алекса́ндров] |author-link17= |author-first18=Israïl Moyseyovich [Изра́иль Моисе́евич] |author-last18=Gel'fand [Гельфа́нд] |author-link18= |author-first19=Anatoly Ivanovich [Анато́лий Ива́нович] |author-last19=Mal'cev [Ма́льцев] |author-link19= |editor-last1=Aleksandrov [Алекса́ндров] |editor-first1=Aleksandr Danilovich [Алекса́ндр Дани́лович] |editor-link1=|editor-last2=Kolmogorov [Колмого́ров] |editor-first2=Andrey Nikolaevich [Андре́й Никола́евич] |editor-link2= |editor-last3=Lavrent'ev [Лавре́нтьев] |editor-first3=Mikhail Alexseevich [Михаи́л Алексе́евич] |editor-link3= |translator-first1= |translator-last1= |translator-link1= |translator-first2= |translator-last2= |translator-link2= |translator-first3= |translator-last3=|others=<!-- Contributions by [[Olga Arsenievna Oleĭnik]] О́льга Арсе́ньевна Оле́йник, [[Yuri Vasilyevich Prokhorov]] Ю́рий Васи́льевич Про́хоров, [[Victor Abramovich Zalgaller]] Виктор Абрамович Залгаллер, V. S. Videnskiĭ, T. V. Rogozkinaja, A. P. Leonovaja. Illustrations by E. P. Sen'kin. --> |volume=1–3 |date=March 1969 |title=Mathematics: Its Content, Methods, and Meaning <!-- |title-link=Mathematics: Its Content, Methods, and Meaning --> |edition=2nd |publisher=[[The M.I.T. Press]] / [[American Mathematical Society]] |publication-place=Cambridge, Massachusetts, USA |id=MIT 106<!-- volume 1 -->, 107<!-- volume 2 -->, 108<!-- volume 3 -->. <!-- |ia=MathematicsItsContentsMethodsAndMeaningVol3 --> ark:/13960/t4sj8550w |lccn=64-7547<!-- same as for first edition --> |oclc=}} [https://web.archive.org/web/20210609153458/http://index-of.es/Varios-2/Mathemathics%20Its%20Content,%20Methods,%20Applications.pdf] (NB. 3 softcover volumes in slipcase. Original Russian title in March 1956: Математика, ее содержание, методы и значение [https://www.mathedu.ru/text/matematika_ee_soderzhanie_metody_i_znachenie_t1_1956/][https://www.mathedu.ru/text/matematika_ee_soderzhanie_metody_i_znachenie_t2_1956/][https://www.mathedu.ru/text/matematika_ee_soderzhanie_metody_i_znachenie_t3_1956/]. First English edition in 6 volumes by AMS in 1962/1963, revised English edition in 3 volumes by MIT Press in August 1964: [https://web.archive.org/web/20180919020341/http://index-of.es/Varios-2/Mathemathics%20Its%20Content,%20Methods,%20Applications.pdf], 2nd printing by MIT Press in April 1965. First MIT paperback edition in March 1969. Reprinted in one volume by Dover.)
* {{cite book |author-last=Apostol |author-first=Tom M. |author-link=Tom M. Apostol |date=1974 |title=Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/mathematicalanal02edtomm |edition=2nd |publisher=[[Addison–Wesley]] |isbn=978-0-201-00288-1}}
* {{cite book |author-last=Binmore |author-first=Kenneth George |author-link=Kenneth George Binmore |date=1981 |title=The foundations of analysis: a straightforward introduction |url=https://archive.org/details/foundationsofana0000binm |url-access= |publisher=[[Cambridge University Press]]}}
* {{cite book |author-last1=Johnsonbaugh |author-first1=Richard |author-link1=Richard Johnsonbaugh |author-first2=William Elmer |author-last2=Pfaffenberger |date=1981 |title=Foundations of mathematical analysis |location=New York |publisher=[[M. Dekker]]}}
* {{cite encyclopedia |author-first=Sergey Mikhailovich [Серге́й Миха́йлович] |author-last=Nikol'skiĭ [Нико́льский] |author-link=Sergey Mikhailovich Nikolsky |date=2002 |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Mathematical_analysis |title=Mathematical analysis |encyclopedia=[[Encyclopaedia of Mathematics]] |editor-link=Michiel Hazewinkel |editor-first=Michiel |editor-last=Hazewinkel |publisher=[[Springer-Verlag]] |isbn=978-1-4020-0609-8}}
* {{cite book |author-first1=Nicola |author-last1=Fusco |author-link1=Nicola Fusco |author-first2=Paolo |author-last2=Marcellini |author-link2=Paolo Marcellini |author-first3=Carlo |author-last3=Sbordone |date=1996 |title=Analisi Matematica Due |language=it |publisher=Liguori Editore |isbn=978-88-207-2675-1}}
* {{cite book |author-last=Rombaldi |author-first=Jean-Étienne |date=2004 |title=Éléments d'analyse réelle : CAPES et agrégation interne de mathématiques |language=fr |publisher=[[EDP Sciences]] |isbn=978-2-86883-681-6}}
* {{cite book |title=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |author-last=Rudin |author-first=Walter |author-link=Walter Rudin |publisher=[[McGraw-Hill]] |date=1976 |isbn=978-0-07-054235-8 |edition=3rd |location=New York, USA}}
* {{cite book |title=Real and Complex Analysis |url=https://archive.org/details/realcomplexanaly0000rudi |author-last=Rudin |author-first=Walter |author-link=Walter Rudin |publisher=[[McGraw-Hill]] |date=1987 |isbn=978-0-07-054234-1 |edition=3rd |location=New York, USA}}
* {{cite book |title=A Course Of Modern Analysis: An Introduction to the General Theory of Infinite Processes and of Analytic Functions; with an Account of the Principal Transcendental Functions |author-last1=Whittaker |author-first1=Edmund Taylor |author-link1=Edmund Taylor Whittaker |author-last2=Watson |author-first2=George Neville |author-link2=George Neville Watson |date=1927-01-02 |edition=4th |publisher=[[at the University Press]] |publication-place=Cambridge, UK |isbn=0-521-06794-4 |id={{ISBN|978-0-521-06794-2}}}} (vi+608 pages) (reprinted: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992<!-- 1992? -->)
* {{cite web |url=http://www.math.harvard.edu/~ctm/home/text/class/harvard/114/07/html/home/course/course.pdf |title=Real Analysis - Course Notes}}

== Enlaces externos ==
{{Wikiquote}}
{{Commons category}}
* [https://web.archive.org/web/20111221104414/http://analisismatematico.wordpress.com/ Blog de Análisis Matemático]
* {{Cita web |url=http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/analisis.html |título=Análisis matemático |obra=CNICE |fechaacceso=4 de septiembre de 2007 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20070824094715/http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/analisis.html |fechaarchivo=24 de agosto de 2007 }}
* {{Cita web |autor=Sokolovsky, Silvia |url=http://soko.com.ar/matem/matematica/introduccion.htm |título=Matemática: Análisis Matemático - Álgebra |fechaacceso=4 de septiembre de 2007 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20070812004253/http://soko.com.ar/matem/matematica/introduccion.htm |fechaarchivo=12 de agosto de 2007 }}
*Ing. Jorge J. L. Ferrante - edUTecNe - Guías de Estudio. [http://www.edutecne.utn.edu.ar/geptecne/geptecne.html El análisis matemático que nos enseñaron nuestros maestros.] Departamento de Ciencias Básicas. Cátedra Análisis Matemático I. Consultado el 15 de mayo de 2020.
* [http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/Calculus%20and%20Analysis%20Earliest%20Uses.htm Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis]
* [http://www.jirka.org/ra/ Basic Analysis: Introduction to Real Analysis] by Jiri Lebl ([[Creative Commons|Creative Commons BY-NC-SA]])
* [http://www.britannica.com/topic/analysis-mathematics Mathematical Analysis-Encyclopædia Britannica]
* [http://mathworld.wolfram.com/topics/CalculusandAnalysis.html Calculus and Analysis]

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