Ver el código de «Apaciguador (matemáticas)»

[[File:Mollified Illustration.svg|thumb|300px|Un apaciguador (arriba) en [[dimensión]] uno. En la parte inferior, en rojo hay una función con una esquina (izquierda) y un salto brusco (derecha), y en azul está su versión ''apaciguada'']]

En [[matemáticas]], un '''apaciguador''' (nombre original en inglés: ''mollifier''),<ref>También podría traducirse por el término ''emoliente'', con el sentido de ablandante o suavizante; y que además, guarda un cierto parecido fonético con la forma inglesa.</ref> también conocido como ''aproximación a la identidad'', es una [[función infinitamente diferenciable|función suave]] con propiedades especiales, que se utiliza, por ejemplo, en la [[teoría de distribuciones]] para crear [[sucesión (matemática)|sucesiones]] de funciones suaves que se aproximan a [[función generalizada|funciones (generalizadas)]] no suaves, mediante [[convolución]]. Intuitivamente, dada una función que sea bastante irregular, puede "suavizarse" al convolucionarla con un apaciguador, es decir, se obtiene una función con los rasgos angulosos suavizados, pero sin dejar de permanecer cerca de la función (generalizada) original que no es suave.<ref>Respeto a la [[topología]] del espacio dado de funciones generalizadas.</ref>

A estas funciones también se las conoce como '''apaciguadores de Friedrichs''' en referencia a [[Kurt Otto Friedrichs]], el matemático que las ideó.<ref>See {{Harv|Friedrichs|1944|pp=136–139}}.</ref>

==Notas históricas==

[[Kurt Otto Friedrichs]] introdujo los apaciguadores en su artículo {{Harv|Friedrichs|1944|pp=136–139}}, que se considera un hito en la teoría moderna de las [[ecuación en derivadas parciales|ecuaciones en derivadas parciales]].<ref name="Laxref">Véase el comentario de [[Peter Lax]] on the paper {{Harv|Friedrichs|1944}} en {{Harv|Friedrichs|1986|loc=volume 1, p. 117}}.</ref> El nombre de este objeto matemático tuvo una génesis curiosa, y [[Peter Lax]] cuenta toda la historia en su comentario sobre ese artículo publicado en la "Selecta" de Friedrichs.<ref name="Lax.p.117">{{Harv|Friedrichs|1986|loc=volume 1, p. 117}}</ref> Según él, en aquella época, el matemático Donald Alexander Flanders era colega de Friedrichs: como le gustaba consultar a sus colegas sobre el uso del inglés, le pidió consejo a Flanders sobre cómo nombrar el operador de suavizado que estaba utilizando.<ref name="Laxref" /> Flanders era un [[puritanismo|puritano]], apodado por sus amigos Moll en honor a [[Moll Flanders]] en reconocimiento a sus cualidades morales: sugirió llamar al nuevo concepto matemático "'''apaciguador'''" como un juego de palabras que incorpora tanto el apodo de Flanders como el verbo ''to mollify'', que significa 'suavizar' en sentido figurado.<ref>In {{Harv|Friedrichs|1986|loc=volume 1, p. 117}} Lax escribe precisamente eso: "''Sobre el uso del inglés, a Friedrichs le gustaba consultar a su amigo y colega, Donald Flanders, descendiente de puritanos y puritano él mismo, con el más alto nivel de conducta, sin censura hacia los demás. En reconocimiento a sus cualidades morales, sus amigos lo llamaban Moll. Cuando Friedrichs le preguntó cómo llamar al alisador, Flander respondió que podrían llamarlo mollifier en su honor; Friedrichs se alegró, como en otras ocasiones, de aceptar este juego de palabras.''"</ref>

Anteriormente, [[Serguéi Sóbolev]] usó apaciguadores en su artículo de época de 1938,<ref>Véase {{Harv|Sobolev|1938}}.</ref> que contiene la prueba del [[teorema de embebido de Sobolev]]: el propio Friedrichs reconoció el trabajo de Sobolev sobre los apaciguadores, afirmando que: - "''Estos apaciguadores fueron introducidos por Sobolev y el autor...''" .<ref>{{Harvtxt|Friedrichs|1953|p=196}}.</ref>

Cabe señalar que el término ''apaciguador'' ha experimentado una [[deriva lingüística]] desde la época de estos trabajos fundacionales: Friedrichs definió como "'''apaciguador'''" al [[operador integral]] cuyo núcleo es una de las funciones hoy llamadas apaciguadores. Sin embargo, dado que las propiedades de un operador integral lineal están completamente determinadas por su núcleo, el núcleo mismo heredó el nombre de apaciguador como resultado de su uso común.

==Definición==
[[Image:Heat eqn.gif|right|frame|Una función en proceso de apaciguamiento progresivo]]

===Definición moderna (basada en la teoría de la distribución)===
{{EquationRef|1|Definition 1.}} Si ''<math>\varphi</math>'' es una [[función infinitamente diferenciable|función suave]] en ℝ''<sup>n</sup>'', ''n'' ≥ 1, que satisface los siguientes tres requisitos

:{{EquationRef|2|(1){{spaces|2}}}} Es [[Soporte (matemática)|compactamente soportada]]<ref>Tal como una [[función bulto]]</ref>
:{{EquationRef|3|(2){{spaces|2}}}}<math>\int_{\mathbb{R}^n}\!\varphi(x)\mathrm{d}x=1</math>
:{{EquationRef|4|(3){{spaces|2}}}}<math>\lim_{\epsilon\to 0}\varphi_\epsilon(x)= \lim_{\epsilon\to 0}\epsilon^{-n}\varphi(x / \epsilon)=\delta(x)</math>

donde <math>\delta(x)</math> es la [[delta de Dirac]] y el límite debe entenderse en el espacio de [[Teoría de distribuciones|distribuciones]] de Schwartz, entonces ''<math>\varphi</math>'' es un '''apaciguador'''. La función ''<math>\varphi</math>'' también podría satisfacer otras condiciones:<ref>Véase {{harv|Giusti|1984|p=11}}.</ref> por ejemplo, si satisface

:{{EquationRef|5|(4){{spaces|2}}}}''<math>\varphi</math>''<math>(x)</math> ≥ 0 para todo ''x'' ∈ ℝ''<sup>n</sup>'', entonces se llama '''apaciguador positivo'''
:{{EquationRef|6|(5){{spaces|2}}}}''<math>\varphi</math>''<math>(x)</math>=''<math>\mu</math>''<math>(|x|)</math> para algunas [[función infinitamente diferenciable|funciones suaves]] ''<math>\mu</math>'' : ℝ<sup>+</sup> → ℝ, entonces se llama '''apaciguador simétrico'''

===Notas sobre la definición de Friedrichs===
'''Nota 1'''. Cuando la [[teoría de distribuciones]] todavía no era ampliamente conocida ni utilizada, la propiedad<ref>Como cuando se publicó el artículo {{Harv|Friedrichs|1944}}, pocos años antes [[Laurent Schwartz]] difundió su obra.</ref> anterior de {{EquationNote|4|(3)}} se formuló diciendo que la [[convolución]] de la función ''<math>\scriptstyle\varphi_\epsilon</math>'' con una función dada perteneciente a un [[espacio de Hilbert]] propio o a un [[espacio de Banach]] [[Serie convergente|converge]] como ''ε'' → 0 a esa función:<ref>Evidentemente la [[topología]] respecto a la convergencia que se da es la del [[espacio de Hilbert]] o el [[espacio de Banach]] considerado.</ref> esto es exactamente lo que hizo [[Kurt Otto Friedrichs|Friedrichs]].<ref>Véase {{harv|Friedrichs|1944|pp=136–138}}, propiedades '''PI''', '''PII''', '''PIII''' y su consecuencia '''PIII<sub>0</sub>'''.</ref> Del mismo modo, esta circunstancia también aclara por qué los apaciguadores están relacionados con las [[identidad aproximada|identidades aproximadas]].<ref name="Fredref">Además, a este respecto, {{harvtxt|Friedrichs|1944|pp=132}} dice:-"''La herramienta principal para la demostración es una cierta clase de operadores de suavizado que se aproximan a la unidad, los "apaciguadores"''.</ref>

'''Nota 2'''. Como se señaló brevemente en la sección de "Notas históricas" de esta entrada, originalmente, el término "apaciguador" identificaba el siguiente [[Convolución|operador de convolución]]:<ref name="Fredref"/><ref>Véase {{harv|Friedrichs|1944|p=137}}, [[párrafo]] 2, "''Integral operators''".</ref>

:<math>\Phi_\epsilon(f)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_\epsilon(x-y) f(y)\mathrm{d}y</math>

donde <math>\varphi_\epsilon(x)=\epsilon^{-n}\varphi(x/\epsilon)</math> y ''<math>\varphi</math>'' es una [[función infinitamente diferenciable|función suave]] que satisface las tres primeras condiciones indicadas anteriormente y una o más condiciones suplementarias, como positividad y simetría.

==Ejemplo concreto==
[[File:Mollifier Illustration.svg|frame|La función ''<math>\varphi</math>''<math>(x)</math> en [[dimensión]] uno]]

Considérese la [[función bulto]] ''<math>\varphi</math>''<math>(x)</math> de un [[Variable (matemática)|variable]] en ℝ''<sup>n</sup>'' definida por

<math>\varphi(x)= \begin{cases} e^{-1/(1-|x|^2)}/I_n& \text{if }|x|< 1\\
         0& \text{if }|x|\geq 1
         \end{cases}</math>

donde la constante numérica <math> I_n</math> asegura la normalización. Esta función es [[Función suave no analítica|Infinitamente diferenciable, pero no analítica]], y su [[derivada]] se anula para {{math|<nowiki>|</nowiki>''x''<nowiki>|</nowiki> {{=}} 1}}. Por lo tanto, ''<math>\varphi</math>'' puede utilizarse como apaciguador tal como se describe anteriormente: se puede ver que ''<math>\varphi</math>''<math>(x)</math> define un ''apaciguador positivo y simétrico''.<ref>Véase {{Harv|Hörmander|1990|p=14}}, [[Lema (matemáticas)|lema]] 1.2.3.: el ejemplo se establece en forma implícita definiendo primero 
:<math>f(t)=\exp({-1/t})</math> para <math>t\in\mathbb{R}_+</math>, 
y luego considerando 
:<math>f(x)=f\big(1-|x|^2\big)=\exp\big(1-|x|^2\big)</math> for <math>x\in\mathbb{R}^n</math>.</ref>

==Propiedades==
Todas las propiedades de un apaciguador están relacionadas con su comportamiento bajo la operación de [[convolución]]: se enumeran las siguientes, cuyas demostraciones se pueden encontrar en distintos textos sobre [[teoría de distribuciones]].<ref>Véase por ejemplo {{Harv|Hörmander|1990}}.</ref>

===Propiedad de suavizado===
Para cualquier distribución <math>T</math>, la siguiente familia de convoluciones indexadas por [[números reales]] <math>\epsilon</math>

:<math>T_\epsilon= T\ast\varphi_\epsilon</math>

donde <math>\ast</math> denota una [[convolución]], es una familia de [[función infinitamente diferenciable|funciones suaves]].

===Aproximación de identidad===
Para cualquier distribución <math>T</math>, la siguiente familia de convoluciones indexadas por [[números reales]] <math>\epsilon</math> converge a <math>T</math>

:<math>\lim_{\epsilon\to 0}T_\epsilon= \lim_{\epsilon\to 0}T\ast\varphi_\epsilon=T\in D^\prime(\mathbb{R}^n)</math>

===Soporte de convolución===
Para cualquier distribución <math>T</math>,

:<math>\operatorname{supp}T_\epsilon=\operatorname{supp}(T\ast\varphi_\epsilon)\subset\operatorname{supp}T+\operatorname{supp}\varphi_\epsilon</math>,

donde <math>\operatorname{supp}</math> indica un [[Teoría de distribuciones|soporte]] en el sentido de la teoría de distribuciones, y <math>+</math> indica su [[suma de Minkowski]].

==Aplicaciones==
La aplicación básica de los apaciguadores es demostrar que las propiedades válidas para las [[función infinitamente diferenciable|funciones suaves]] también lo son para casos en los que no se verifica esta propiedad:

===Producto de distribuciones===
En algunas teorías de [[función generalizada|funciones generalizadas]], se utilizan apaciguadores para definir la multiplicación de distribuciones: precisamente, dadas dos distribuciones <math>S</math> y <math>T</math>, el límite del [[Teoría de distribuciones|producto]] de una [[función infinitamente diferenciable|función suave]] y una [[Teoría de distribuciones|distribución]]

:<math>\lim_{\epsilon\to 0}S_\epsilon\cdot T=\lim_{\epsilon\to 0}S\cdot T_\epsilon\overset{\mathrm{def}}{=}S\cdot T</math>

define (si existe) su producto en varias [[función generalizada|funciones generalizadas]].

===Teoremas "débil=fuerte"===
De manera muy informal, los apaciguadores se utilizan para demostrar la identidad de dos tipos diferentes de extensión de operadores diferenciales: la extensión fuerte y la [[Formulación débil de una ecuación diferencial|extensión débil]]. El artículo {{Harv|Friedrichs|1944}} ilustra bastante bien este concepto. Sin embargo, la gran cantidad de detalles técnicos necesarios para mostrar lo que esto realmente significa impiden que se detallen formalmente en esta breve descripción.

===Funciones de corte suaves===
Por convolución de la [[Función indicatriz|función característica]] de la [[1-esfera|bola unitaria]] <math>B_1= \{x :|x|< 1\}</math> con la [[función infinitamente diferenciable|función suave]] ''<math>\varphi_{1/2}</math>'' (definida como en {{EquationNote|4|(3)}} con <math>\epsilon= 1/2</math>), se obtiene la función

:<math>
\chi_{B_1,1/2}(x)=\chi_{B_1}\ast\varphi_{1/2}(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\!\!\!\chi_{B_1}(x-y)\varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y=\int_{B_{1/2}}\!\!\!
\chi_{B_1}(x-y) \varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y \ \ \ (\because\ \mathrm{supp}(\varphi_{1/2})=B_{1/2})
</math>

que es un [[función infinitamente diferenciable|suave]] e igual a <math>1</math> en <math>B_{1/2}= \{x:|x|< 1/2 \}</math>, con soporte contenido en <math>B_{3/2}=\{x:|x|< 3/2 \}</math>. Esto se puede ver fácilmente observando que si <math>|x|</math> ≤ <math>1/2</math> y <math>|y|</math> ≤ <math>1/2</math>, entonces <math>|x-y|</math> ≤ <math>1</math>. Por lo tanto, para <math>|x|</math> ≤ <math>1/2</math>,

:<math>
\int_{B_{1/2}}\!\!\!\chi_{B_1}(x-y) \varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y= \int_{B_{1/2}}\!\!\!
 \varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y=1
</math>.

Se ve cómo esta construcción se puede generalizar para obtener una función suave idéntica a uno en un [[Entorno (matemática)|entorno]] de un [[espacio compacto|conjunto compacto]] dado, e igual a cero en cada punto cuya [[distancia]] a este conjunto sea mayor que un <math>\epsilon</math> dado.<ref>Una demostración de este hecho se puede encontrar en {{Harv|Hörmander|1990|p=25}}, Teorema 1.4.1.</ref> Esta función se llama '''función de corte''' (suave): esas [[Función (matemática)|funciones]] se utilizan para eliminar singularidades de una [[Función (matemática)|función]] (([[función generalizada|generalizada]])) dada por [[multiplicación]]. Dejan sin cambios el valor de la mencionada función y lo multiplican solo sobre un [[Conjunto]] dado, modificando así su [[Teoría de distribuciones|soporte]]: también las funciones de corte son las partes básicas de [[Función infinitamente diferenciable|particiones de la unidad suaves]].

==Véase también==
{{lista de columnas|3|
*[[Identidad aproximada]]
*[[Función bulto]]
*[[Convolución]]
*[[Teoría de distribuciones]]
*[[Función generalizada]]
*[[Kurt Otto Friedrichs]]
*[[Función suave no analítica]]
*[[Serguéi Sóbolev]]
*[[Transformación de Weierstrass]]
}}

==Referencias==
{{reflist|2}}

==Bibliografía==
*{{Citation
|last= Friedrichs
|first= Kurt Otto
|author-link= Kurt Otto Friedrichs
|title= The identity of weak and strong extensions of differential operators
|journal= [[Transactions of the American Mathematical Society]]
|volume= 55
|issue= 1
|pages= 132–151
|date= January 1944

|doi= 10.1090/S0002-9947-1944-0009701-0 
|jstor= 1990143
|mr= 0009701 
|zbl= 0061.26201
}}. El primer artículo donde se introdujeron los apaciguadores.
*{{Citation
|last= Friedrichs
|first= Kurt Otto
|author-link= Kurt Otto Friedrichs
|title= On the differentiability of the solutions of linear elliptic differential equations
|journal= [[ Communications on Pure and Applied Mathematics]]
|volume= VI
|issue= 3
|pages= 299–326
|year= 1953
|url= http://www3.interscience.wiley.com/journal/113395283/abstract
|archive-url= https://archive.today/20130105122505/http://www3.interscience.wiley.com/journal/113395283/abstract
|archive-date= 2013-01-05
|doi= 10.1002/cpa.3160060301
|mr= 0058828 
|zbl= 0051.32703
}}. Un artículo donde se investiga el [[Función diferenciable|differentiability]] de soluciones de [[ecuación diferencial parcial elíptica]] mediante el uso de suavizadores.
*{{Citation
|last= Friedrichs
|first= Kurt Otto 
|author-link= Kurt Otto Friedrichs
|editor-last= Morawetz
|editor-first= Cathleen S.
|editor-link=  Cathleen Synge Morawetz
|title= Selecta
|place= Boston-[[Basilea]]-[[Stuttgart]]
|publisher= [[ Birkhäuser Verlag]]
|year= 1986
|series= Contemporary Mathematicians
|volume= 
|pages= 427 (Vol. 1); pp. 608 (Vol. 2)
|url= https://books.google.com/books?id=l1Z_yHVjor4C&q=Kurt+Otto+Friedrichs+selecta&pg=PP1
|doi= 
|zbl= 0613.01020 
|isbn= 0-8176-3270-0}}. Una selección de las obras de Friedrichs con una biografía y comentarios de [[ David Isaacson]], [[ Fritz John]], [[Tosio Kato]], [[Peter Lax]], [[Louis Nirenberg]], [[ Wolfgag Wasow]], [[ Harold Weitzner]].
*{{Citation
|last= Giusti
|first= Enrico
|author-link= Enrico Giusti
|title= Minimal surfaces and functions of bounded variations
|place= [[Basilea]]-[[Boston]]-[[Stuttgart]]
|publisher= Birkhäuser Verlag
|year= 1984 
|series= Monographs in Mathematics
|volume= 80
|pages= xii+240
|url= https://books.google.com/books?id=dNgsmArDoeQC&q=Minimal+surfaces+and+functions+of+bounded+variations
|mr= 0775682 
|zbl= 0545.49018
|isbn= 0-8176-3153-4 
}}.
*{{Citation
|last= Hörmander
|first= Lars
|author-link= Lars Hörmander
|title= The analysis of linear partial differential operators I
|place= [[Berlín]]-[[Heidelberg]]-[[Nueva York|New York]]
|publisher= [[Springer Science+Business Media]]
|year= 1990
|series= Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft
|volume= 256
|edition= 2nd
|url= 
|doi= 
|mr= 1065136 
|zbl= 0712.35001
|isbn= 0-387-52343-X 
}}.
*{{Citation
|last= Sobolev
|first= Sergei L. 
|author-link= Sergei Sobolev
|title= Sur un théorème d'analyse fonctionnelle
|journal= [[ Matematicheskii Sbornik|Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik)]]
|volume= 4(46)
|issue= 3
|pages= 471–497
|year= 1938
|language= Russian, French
|url= http://mi.mathnet.ru/eng/msb/v46/i3/p471
|zbl= 0022.14803
}}. El artículo donde Sergéi Sobólev demostró su [[teorema de embebido de Sobólev|teorema de embebido]], introduciendo y usando [[operador integral|operadores integrales]] muy similares a los apaciguadores, aunque sin nombrarlos explícitamente.

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Análisis funcional]]
[[Categoría:Funciones suaves]]