Ver el código de «Arbelos»

[[File:Arbelos.svg|mini|left|Silueta de un arbelos]]
[[Archivo:Arbelos Shoemakers Knife.jpg|right|thumb|250px|Un cuchillo de zapatero, llamado ''arbelos'' en griego]]

'''Arbelos''' (en [[Idioma griego|griego]] ἄρβελος "cuchillo de zapatero") es una [[figura geométrica]] plana. Para dibujarla, se toman tres puntos A, B y C sobre la misma recta, y se construyen tres [[Círculo#Semic.C3.ADrculo|semicírculo]]s con diámetros AB, BC y AC, ubicados en el mismo lado de la recta. A la figura limitada por estos semicírculos, se le llama ''arbelos''.<ref name=wolfram/>

La referencia más antigua conocida a esta figura se encuentra en el ''[[Libro de los Lemas]]'' (atribuido a [[Arquímedes]] por el geómetra árabe [[Thábit ibn Qurra]]), donde algunas de sus propiedades matemáticas se expresan como las Propuestas 4 a 8.<ref name=archBLprop4 />
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{{contenido|izquierda}}
== Propiedades ==
[[File:Arbelos diagram with points marked.svg|right|thumb|320px|Algunos puntos especiales en un arbelos]]

Dos de los semicírculos son necesariamente cóncavos, con diámetros arbitrarios ''a'' y ''b''; y el tercer semicírculo es [[Curva convexa|convexo]], con diámetro ''a''+''b''.<ref name=wolfram/>

===Área===
El [[área]] de un arbelos es igual al área de un círculo con diámetro <math>HA</math>.

:'''Demostración''': para demostrarlo, primero se completan los tres círculos, trazando los simétricos a las semicircunferencias respecto a la recta que pasa por los puntos <math>B</math> y <math>C</math>. Entonces se observa que dos veces el área del arbelos, es lo que queda cuando se restan las áreas de los dos círculos más pequeños (con diámetros <math>BA</math> <math>AC</math>) del área del círculo grande (con diámetro <math>BC</math>). Como el área de un círculo es proporcional al cuadrado del diámetro ([[Euclides]] de [[Elementos de Euclides|Elements]], Libro XII, Proposición 2; para este caso no hace falta saber que la [[Proporcionalidad|constante de proporcionalidad]] es <math>\frac{\pi}{4}</math>), el problema se reduce a demostrar que

::<math>2(AH)^2 = (BC)^2 - (AC)^2 - (BA)^2</math>

:La longitud <math>(BC)</math> es igual a la suma de las longitudes <math>(BA)</math> y <math>(AC)</math>, por lo que esta ecuación se reduce algebraicamente a la afirmación de que <math>(AH)^2 = (BA)(AC)</math>. Por lo tanto, la longitud del segmento <math>AH</math> es la [[media geométrica]] de las longitudes de los segmentos <math>BA</math> y <math>AC</math>. Ahora (véase la figura), el triángulo <math>BHC</math>, que está inscrito en el semicírculo, tiene un ángulo recto en el punto <math>H</math> (Euclides, Libro III, Proposición 31), y en consecuencia <math>(HA)</math> es de hecho una "media proporcional" entre <math>(BA)</math> y <math>(AC)</math> (Euclides, Libro VI, Proposición 8, Porismo). Esta prueba se aproxima al argumento griego clásico; [[Harold P. Boas]] cita un artículo de [[Roger B. Nelsen]]<ref name="RBNelsen_2002">{{cite journal |last1=Nelsen |first1=R B |title=Proof without words: The area of an arbelos |journal=Math. Mag. |date=2002 |volume=75 |issue=2 |page=144|doi= 10.2307/3219152}}</ref> que desarrolla esta idea como una ''[[demostración sin palabras]]''.<ref>{{cite journal| last=Boas | first=Harold P.| author-link1=Harold P. Boas | title=Reflections on the Arbelos | journal= [[American Mathematical Monthly]]| year=2006| volume=113| issue=3| url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/reflections-on-the-arbelos| pages=236–249 | doi=10.2307/27641891| jstor=27641891}}</ref>
<!-- convoluted proof, commenting out. not even sure if it's correct given its formula obsession (see proof by Boas above, which is way way simpler)
===Proof===
If ''BC''&nbsp;=&nbsp;1 and ''BA''&nbsp;=&nbsp;''r'', then
*In triangle ''BHA'': <math>r^2+h^2=x^2</math>
*In triangle ''CHA'': <math>(1-r)^2+h^2=y^2</math>
*In triangle ''BHC'': <math>x^2+y^2=1</math>
By substitution: <math>y^2=(1-r)^2+x^2-r^2</math>. By expansion: <math>y^2=1-2r+x^2</math>. By substituting for ''y''<sup>2</sup> into the equation for triangle ''BHC'' and solving for ''x'':
:<math>x=\sqrt{r}</math>
By substituting this, solve for ''y'' and ''h''
:<math>y=\sqrt{1-r}</math>
:<math>h=\sqrt{r-r^2}</math>
The radius of the circle with center ''O'' is:
:<math>\frac{1}{2}\sqrt{r-r^2}.</math>
Therefore, the area is:
:<math>A_{circle}=\pi\left(\frac{1}{2}\sqrt{r-r^2}\right)^2</math>
:<math>A_{circle}=\frac{\pi r}{4}-\frac{\pi r^2}{4}</math>
The area of the arbelos is the area of the large semicircle minus the area of the two smaller semicircles. Therefore the area of the arbelos is:
:<math>A_{arbelos}=\frac{\pi}{8}-\left(\frac{\pi}{2}\left(\frac{r}{2}\right)^2+\frac{\pi}{2}\left(\frac{1-r}{2}\right)^2\right)</math>
:<math>A_{arbelos}=\frac{\pi-\pi r^2-\pi+2\pi r-\pi r^2}{8}</math>
:<math>A_{arbelos}=\frac{\pi r}{4}-\frac{\pi r^2}{4}=A_{circle}</math>
''Q.E.D.'' 
<ref name=rouhani2002>{{cite web| url=http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.2002/Rouhani/Essay3/arbelos1r.htm| title=The Arbeloauthor=Behnaz Rouhani| accessdate=13 de junio de 2008}}</ref>
-->

===Rectángulo inscrito===
Sean <math>D</math> y <math>E</math> los puntos donde los segmentos <math>BH</math> y <math>CH</math> se cruzan con los semicírculos <math>AB</math> y <math>AC</math>, respectivamente. El [[cuadrilátero]] <math>ADHE</math> es en realidad un [[rectángulo]].

:'''Demostración''': los ángulos <math>BDA</math>, <math>BHC</math> y <math>AEC</math> son ángulos rectos porque están inscritos en semicírculos (por el [[Teorema de Tales]]). El cuadrilátero <math>ADHE</math>, por lo tanto, tiene tres ángulos rectos, por lo que es un rectángulo, como queda demostrado.

===Tangentes===
La recta que pasa por <math>DE</math> es tangente al semicírculo <math>BA</math> en <math>D</math> y al semicírculo <math>AC</math> en <math>E</math>.

:'''Demostración''': dado que el ángulo BDA es un ángulo recto, el ángulo DBA es igual a π/2 (en radianes) menos el ángulo DAB. Sin embargo, el ángulo DAH también es igual a π/2 menos el ángulo DAB (ya que el ángulo HAB es un ángulo recto). Por lo tanto, los triángulos DBA y DAH son [[Semejanza (geometría)|semejantes]]. Por lo tanto, el ángulo DIA es igual al ángulo DOH, donde I es el punto medio de BA y O es el punto medio de AH. Pero AOH es una línea recta, por lo que el ángulo DOH y DOA son [[ángulo|suplementarios]]. Por lo tanto, la suma de los ángulos DIA y DOA es π. El ángulo IAO es un ángulo recto. La suma de los ángulos en cualquier cuadrilátero es 2π, por lo que en el cuadrilátero IDOA, el ángulo IDO debe ser un ángulo recto. Pero ADHE es un rectángulo, por lo que el punto medio O de AH (la diagonal del rectángulo) es también el punto medio de DE (la otra diagonal del rectángulo). Como I (definido como el punto medio de BA) es el centro del semicírculo BA, y el ángulo IDE es un ángulo recto, entonces DE es tangente al semicírculo BA en D. Por un razonamiento análogo, DE es tangente al semicírculo AC en E, como queda demostrado.

===Círculos de Arquímedes===

La altura <math>AH</math> divide el arbelos en dos regiones, cada una delimitada por un semicírculo, un segmento de línea recta y un arco del semicírculo exterior. Los círculos [[Circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo|inscritos]] en cada una de estas regiones, conocidos como [[círculos de Arquímedes]] de un arbelos, tienen el mismo tamaño.
<center>
{|
|[[Archivo:Archimedes' Circles.svg|mini|x200px|centro|Los dos círculos de Arquímedes de un arbelos tienen el mismo diámetro]]
|[[Archivo:Pappus_Arbelos.jpg|miniaturadeimagen|x200px|centro|Teorema de Papo:<br /><math>h_1=d_1</math>, <math>h_2=2d_2</math>,…, <math>h_n=nd_n</math>]]
|}
</center>

===Teorema de [[Papo de Alejandría]]===

Dado un arbelos ''ABC'' (el punto ''A'' se encuentra entre los puntos ''B'' y ''C'') y el conjunto de círculos <math>\omega_1</math>, <math>\omega_2</math>, ..., <math>\omega_n</math> (<math>n\in N</math>), siendo el círculo <math>\omega_1</math> tangente a los arcos ''AB'', ''BC'' y ''AC''; y de forma que para todo <math>n\ge 2</math>, el círculo <math>\omega_n</math> es tangente a los arcos ''AB'' y ''BC'' y al círculo anterior <math>\omega_{n-1}</math>.

Entonces, para cualquier <math>n</math> natural, se comprueba{{sfn|Leon Banks|1983|с=144-145}} que la distancia desde el centro del círculo <math>\omega_n</math> hasta la línea recta ''BC'' es igual al producto del diámetro de este círculo por su número de orden <math>n</math>:

: <math>h_n=nd_n</math>.

== Véase también ==
[[File:Arbelos sculpture Netherlands 1.jpg|thumb|Escultura con forma de arbelos en [[Kaatsheuvel]], Países Bajos]]
* [[Problema de Apolonio]]
* [[Cadena de Pappus]]
* [[Cadena de Steiner]]

==Referencias==
<references>
<ref name=wolfram>{{Mathworld| title=Arbelos |urlname=Arbelos}}</ref>
<ref name=archBLprop4>Thomas Little Heath (1897), ''The Works of Archimedes''. Cambridge University Press.  Proposition 4 in the ''Book of Lemmas''.  Quote: ''If AB be the diameter of a semicircle and N any point on AB, and if semicircles be described within the first semicircle and having AN, BN as diameters respectively, the figure included between the circumferences of the three semicircles is "what Archimedes called arbelos"; and its area is equal to the circle on PN as diameter, where PN is perpendicular to AB and meets the original semicircle in P.'' ([https://web.archive.org/web/20080509094946/http://www.cut-the-knot.org/proofs/arbelos.shtml "Arbelos - the Shoemaker's Knife"])</ref>
</references>

==Bibliografía==
* {{cite book | author = Johnson, R. A. | year = 1960 | title = Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle | url = https://archive.org/details/advancedeuclidea00john_668 | edition = reprint of 1929 edition by Houghton Miflin | publisher = Dover Publications | location = New York  | isbn = 978-0-486-46237-0 | pages = [https://archive.org/details/advancedeuclidea00john_668/page/n129 116]–117}}
* {{Cite book | authorlink = C. Stanley Ogilvy | last = Ogilvy | first = C. S. | year = 1990 | title = Excursions in Geometry | publisher = Dover | isbn = 0-486-26530-7 |url = https://archive.org/details/excursionsingeom0000ogil/page/51}}
* {{cite arXiv |last=Sondow | first = J. |eprint=1210.2279|title=The parbelos, a parabolic analog of the arbelos|year=2012|cita= [[American Mathematical Monthly]], 120 (2013), 929-935}}
* {{cite book | last = Wells | first = D. | year = 1991 | title = The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | url = https://archive.org/details/penguindictionar0000well/page/5| publisher = Penguin Books | location = New York | isbn = 0-14-011813-6 | pages = [https://archive.org/details/penguindictionar0000well/page/5 5–6] }}
* {{cita libro|autor=Mortimer Brian|título=The Geometry of The Arbelos|editorial=Universidad de Carleton|año= 1998}}
* {{cita libro|autor=Leon Banks|título= 2.6 ¿Cómo demostró Papo su teorema? // Jardín de flores matemático||editor=Comp. y ed. D.A. Clarner; trans. del inglés por Yu.A. Danilova. Con un prólogo. y aplicaciones de I. M. Yagloma. Editorial Mir|año=1983|páginas=143-152}}

==Enlaces externos==
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