Ver el código de «Asíntota»

[[Archivo:Drini-conjugatehyperbolas.png|thumb|[[gráfica de una función|Gráfica]] de dos [[hipérbola]]s y sus asíntotas en el [[plano cartesiano]].]]

En [[cálculo integral]], se le llama '''asíntota''' de la gráfica de una [[Función (matemática)|función]] a una recta a la que se aproxima continuamente la gráfica de tal [[Función (matemática)|función]];<ref>Maynard Kong: "Cálculo diferencial" ISBN 9972-42-194-5 </ref> es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente, en otras palabras tienden a estar juntas en el [[infinito]].<br />O que ambas presentan un '''comportamiento asintótico'''. Generalmente, las [[Función racional|funciones racionales]] tienen comportamiento asintótico.

__TOC__
[[Archivo:Table of Conics, Cyclopaedia, volume 1, p 304, 1728.jpg|miniatura|Tratado sobre cónicas, {{siglo|XVIII||s}}]]

== Historia y significado ==
[[Archivo:Limit-at-infinity-graph.png|miniaturadeimagen|lustración por un límite de una función donde x crece hasta el infinito.]]
La palabra «''asíntota»'' deriva del [[Idioma griego|griego]]: ἀσύμπτωτος ''asýmptōtos'', «aquello que no cae»; en donde ''a-'' posee un valor privativo (= no), mientras que ''sym-ptōtos'' connota a aquello que «cae» o «cae junto (a algo)». Se suele dar la definición de asíntota a una curva que «no se encuentran nunca».<ref>{{cita DRAE|asíntota}}</ref> Esta interpretación intuitiva está plasmada por [[Apolonio de Perga]], en su conocido tratado ''Sobre las secciones cónicas'', para referirse a una recta que no interseca a una rama de una [[hipérbola]].<ref>Al igual que en el caso de las cónicas, es posible que fuera Apolonio el primero en utilizar la palabra ''Asíntota''.</ref>

En [[geometría]], el comportamiento asintótico se refiere a una eventual propiedad entre curvas, y más precisamente, entre funciones o ''partes de funciones'': segmentos de recta, hojas de hipérbola o de parábola, etc. Es en este sentido que se habla de «recta asintótica» como ''tangente al infinito'' de ''una rama parabólica'', o bien de ''curvas asintóticas''.

Su estudio más profundo desborda el mero campo de aplicación de la geometría elemental y el trazado de [[curva plana|curvas planas]]; con el desarrollo del [[álgebra]] y del [[cálculo infinitesimal]], las nociones intuitivas «tiende a infinito» y «tiende a cero» se formalizan con el concepto de [[límite matemático]], y con ello también el cálculo de asíntotas.

== Gráfica de asíntotas ==
{{VT|Gráfica de una función}}

Ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo. En tanto que [[Recta|líneas rectas]], la ecuación de una asíntota es simplemente la de una recta, y su expresión analítica dependerá de la elección del [[Sistema de referencia|sistema de referencias]] (''y = m•x + b'' en coordenadas cartesianas).<br />

Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas '''no''' forman parte de la expresión analítica de la función, por lo que -en numerosos ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, o bien se las indica con una línea punteada. <br />
En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones en [[coordenadas cartesianas]] serán: ''x = 0, y = 0''.<br />

Se distinguen tres tipos:
* '''Asíntotas verticales''': rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de ecuación ''x = constante''.
* '''Asíntotas horizontales''': rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación ''y = constante''.
* '''Asíntotas oblicuas''': si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuación ''y = m•x + b''.
<br />

{{Imagen múltiple
 | posición_tabla = left
 | título         = | posición_título = left | fondo_de_título = gainsboro
 | foto1    = 1-over-x-plus-x abs.svg
 | ancho1   = 175
 | texto1   = Las ramas de la función tienen asíntotas.| alineación_texto1 = center
 | foto2    = Función Continua 033.svg
 | ancho2   = 225
 | texto2   = Los ejes son las asíntotas.| alineación_texto2 = center
 | foto3    = 1-over-x-plus-x.svg
 | ancho3   = 175
 | texto3   = Las ramas de la función tienen asíntotas.| alineación_texto3 = center
}}

[[Archivo:Asymptote02 vectorial.svg|right|150px|thumb|Comportamiento asintótico entre una curva y una recta.]]<br />

== Determinación analítica de asíntotas ==
En [[Análisis matemático|análisis]], [[Cálculo infinitesimal|cálculo]] y [[geometría analítica]], el comportamiento de funciones no triviales en las cercanías de puntos de «indefinición» (tales como la [[división por cero]] o las [[formas indeterminadas]]) aporta información valiosa sobre su gráfica, y en este contexto las asíntotas surgen naturalmente como «soluciones» (o ''direcciones'') en estos puntos. En este sentido, una función puede tener una «asíntota por la derecha» pero no por la izquierda (o viceversa); o bien una recta puede intersecar a una curva en un número finito (o infinito) de puntos, y presentar de todos modos un comportamiento asintótico.
<br />
<br />

=== Cálculo de asíntotas por medio de límites ===
{{VT|Límite matemático}}
{{columnas}}
* Asíntota vertical
Se llama Asíntota Vertical de una rama de una curva ''y = f(x)'', a la recta paralela al eje ''y que hace que la rama de dicha función tienda a infinito. Si existe alguno de estos dos límites:
:<math>\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty</math>
:<math>\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty</math>
a la recta ''x = a'' se la denomina '''asíntota vertical'''.<br />
Ejemplos: [[logaritmo neperiano]], [[Tangente (trigonometría)|tangente]]

{{nueva columna}}
* Asíntota horizontal
Se llama Asíntota Horizontal de una rama de una curva ''y = f(x)'' a la recta paralela al eje x que hace que la rama de dicha función tienda a infinito.
Si existe el límite:
:<math> \lim_{x \to \pm\infty} f(x)= a </math>, siendo '''a''' un valor finito
la recta'' y = a'' es una '''asíntota horizontal'''.<br />
Ejemplos: [[función exponencial]], [[tangente hiperbólica]]<br />

{{nueva columna}}
* Asíntota oblicua<ref>{{cita publicación |apellidos=Llopis |nombre=José L. |título=Asíntotas de funciones |url=https://www.matesfacil.com/BAC/funciones/asintota/asintota-horizontal-vertical-ejemplos-limites-graficas-funciones-problemas-resueltos-demostraciones.html |issn=2659-8442 |fechaacceso= 10 de diciembre de 2019 |idioma=castellano |publicación = [https://www.matesfacil.com/ Matesfacil]}}</ref>
La recta de ecuación {{nowrap|1=''y'' = ''mx'' + ''b''}} (''m''&nbsp;≠&nbsp;0) será una asíntota oblicua si:
<math>\lim_{x \to \pm\infty}[f(x)-(mx+b)] = 0</math>.<br /><br />
Los valores de ''m'' y de ''b'' se calculan con las fórmulas:
<math> m = \lim_{x \to \pm\infty}{f(x) \over x}</math>;
<math>    b = \lim_{x \to \pm\infty}{f(x)-mx}</math>.
{{final columnas}}

=== Asíntotas de funciones racionales ===
{{VT|Función racional}}

En la representación gráfica de una función racional juegan un papel esencial, cuando existen, las asíntotas. Si bien es posible aplicar el método por límites descrito anteriormente, en el caso de funciones racionales, suelen utilizarse técnicas algorítmicas que no precisan del [[análisis matemático]].<br />
Una función racional puede tener más de una asíntota vertical, pero solo una que sea horizontal u oblicua (es decir que si tiene asíntota horizontal entonces no puede tener asíntota oblicua, y viceversa).<br />
* El [[Dominio de definición|dominio]] de la función determina las asíntotas verticales.
* La [[división (matemática)#división de polinomios|división de polinomios]] proporciona las asíntotas horizontales u oblicuas.

Para mayor claridad, sea:
:<math>\frac{A(x)}{B(x)}= \frac{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_1x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0}</math>
Si <math>m<n \,</math>, hay una asíntota horizontal de ecuación: ''y = 0''.<br />
Si <math>m=n \,</math>, hay una asíntota horizontal de ecuación: ''y = a<sub>m</sub>/b<sub>n</sub>'' (el cociente de los coeficientes principales).<br />
Si <math>m>n \,</math>, no hay asíntota horizontal; si el grado del numerador es exactamente uno más que el denominador, hay una asíntota oblicua, y su ecuación viene dada por el cociente de la división de los polinomios.

Las asíntotas verticales se dan en los valores que anulan el denominador pero no el numerador. Si hay una raíz en común, se compara la [[multiplicidad]] de las raíces. <br />
'''Ejemplos''':
# La función homográfica <math>f(x) = \frac{a x + b}{c x + d}</math> tiene dos asíntotas, <math>x_v = \frac{-d}{c}</math>y <math>y_v = \frac{a}{c}</math>
# En el caso particular <math>y = \frac{1}{x}</math> las asíntotas son los propios ejes cartesianos.

{{Imagen múltiple
 | posición_tabla = center
 | título         = | posición_título = left | fondo_de_título = gainsboro
 | foto1    = Asintota.svg
 | ancho1   = 223
 | texto1   = Función racional con Asíntota Oblicua
 y dos Asíntotas Verticales
 | alineación_texto1 = center
 | foto2 = Rectangular hyperbola.svg
 | ancho2 = 250
 | texto2 = <math>y = \frac{1}{x}</math>
 | alineación_texto2 = center
 | foto3    = Asintota2.svg
 | ancho3   = 193
 | texto3   = Función racional con Asíntota Horizontal
 y dos Asíntotas Verticales
 | alineación_texto3 = center
}}
<br />



<!--
== Asíntotas de curvas polares ==

Las asíntotas a una curva descrita por una ecuación en [[coordenadas polares]] <math>r = \rho(\theta)\ </math>, son las curvas que se obtienen cuando ''r'' o ''θ'' tienden a infinito o hacia un valor dado.

=== Recta asintótica ===

Una curva polar tendrá una ''dirección asintótica'' cuando, para <math>\theta_0\ </math> dado,

:<math>\lim_{\theta\to \theta_0} \rho(\theta) = \infty</math>.

La curva tiene entonces una ''recta asintótica'' si existe un real ''λ'' tal que

:<math>\lim_{\theta\to \theta_0} \rho(\theta)sin(\theta-\theta_0)=\lambda</math>

y se acerca a la recta de ecuación

:<math>\rho(\theta) = \frac{\lambda}{sin(\theta-\theta_0)}</math>.

=== Círculo asintótico ===

Una curva polar tendrá un ''círculo asintótico'' si existe un <math>\rho_0\ </math> dado, tal que 

:<math>\lim_{\theta\to \infty} \rho(\theta) = \rho_0</math>.

La curva se ''enrolla'' sobre el círculo de ecuación <math>\rho = \rho_0\ </math>

Si en la vecindad de  ''θ'' <math>\rho(\theta)\ < \rho_0\ </math> entonces la curva se enrolla al interior del círculo asintótico; inversamente, si <math>\rho(\theta)> \rho_0\ </math>, entonces se enrolla al exterior.
-->

== Ejemplos ==

Las más variadas funciones evidencian del comportamiento asintótico: desde el simple gráfico de una [[curva plana]] en dos dimensiones, hasta [[Superficie (matemática)|superficies]] tridimensionales más complejas; tanto en funciones [[función algebraica|algebraicas]] (polinómicas, racionales) como [[función trascendente|trascendentes]] (trigonométricas, logarítmicas, exponenciales), ya sea en coordenadas cartesianas, polares, etc. <br />
Las '''asíntotas''' actúan como ''curvas guía'' para graficar otras curvas, o funciones.

=== Funciones trascendentes ===

{{Imagen múltiple
 | posición_tabla = center
 | título         = | posición_título = left | fondo_de_título = gainsboro
 | foto1    = Tangente.svg
 | ancho1   = 220
 | texto1   = ''tan(x)''<br />Asíntotas verticales cada ''π''.| alineación_texto1 = center
 | foto2    = Ln+e.svg 
 | ancho2   = 342
 | texto2   = ''ln(x)''<br />Asíntota vertical hacia abajo.| alineación_texto2 = center
 | foto3    = Exp.svg
 | ancho3   = 285
 | texto3   = ''exp(x)''<br />Asíntota horizontal a la izquierda.| alineación_texto3 = center
}}
<br />



=== Curvas polares ===

{{Imagen múltiple
 | posición_tabla = center
 | título         = | posición_título = left | fondo_de_título = gainsboro
 | foto1    = Hyperspiral.png
 | ancho1   = 224
 | texto1   = [[Espiral hiperbólica|Espiral inversa]] de Arquímedes<br /><br /> <math> r \theta = a \ </math><br /><br />Asíntota en <math> y = a \ </math>.
 | alineación_texto1 = center
 | foto2    = Curva de Kappa.svg
 | ancho2   = 200
 | texto2   = [[Curva kappa]]| alineación_texto2 = center
 | foto3    = Folium Of Descartes.svg
 | ancho3   = 234
 | texto3   = [[Folium de Descartes]] <br /><math>r(\theta) = \frac{3 a \sin \theta \cos \theta}{\sin^3 \theta + \cos^3 \theta }</math>
<br /><br />Asíntota en <math> x + y + a = 0 \ </math>.
 | alineación_texto3 = center}}

=== Curvas asintóticas ===
{{Imagen múltiple
 | posición_tabla = center
 | título         = | posición_título = left | fondo_de_título = gainsboro
 | foto1    =Tridente de Newton.svg
 | ancho1   = 252
 | texto1   =[[Tridente de Newton]]:<br /><math> x y = ax^3+ bx^2 + cx + d\,</math>.<br /><br />'''Asíntotas''': 
la parábola de ecuación <math>\,y = a x^2 + b x + c </math>,<br />y la hipérbola de ecuación <math> y = \frac{d}{x} </math>
 | alineación_texto1 = center
 | foto2   =Nonlinear asymptote.svg
 | ancho2  = 500
 | texto2= Función: <math>y = \frac{x^3+2x^2+3x+4}{x}</math>,<br /><br />Asíntota curvilínea: <math> y = x^2 + 2x + 3\ </math>
 | alineación_texto2 = center
}}


=== Superficies y estructuras ===
{{Imagen múltiple
 | posición_tabla = left
 | título   = [[Trompeta de Torricelli]]<br />La superficie es asintótica a una recta que pase por su centro.
 | posición_título = left | fondo_de_título = 
 | foto1    = GabrielHorn.png
 | ancho1   = 468
 | texto1   = 
<br />
<br />
 | alineación_texto1 = center
 | foto2    = GabrielsHorn.png
 | ancho2   = 550
 | texto2   =  En este ejemplo, obtenida al rotar la curva ''y=1/x'' sobre el eje ''x''.| alineación_texto2 = center}}

{{Imagen múltiple
 | posición_tabla = center
 | título   =
 | posición_título = left | fondo_de_título = 
 | foto1    = Hyperb1N.png
 | ancho1   = 200
 | texto1   = [[Hiperboloide]] 
 | alineación_texto1 = center
 | foto2    = Nested hyperboloids.png
 | ancho2   = 320
 | texto2   = '''Asíntotas'''<br />La estrecha relación entre asíntotas e hipérbolas se prolonga, en tres dimensiones, a los hiperboloides, aproximándose a un ''[[cono asintótico]]''.[http://www.sciencemuseum.org.uk/images/I046/10314748.aspx] 
 | alineación_texto2 = center
 | foto3    = Kobe port tower11s3200.jpg
 | ancho3= 161
 | texto3= En tanto que soportes rectos, las líneas asintóticas proveen estabilidad, como se aprecia en las [[estructura hiperboloide|estructuras hiperboloides]]
| alineación_texto3 = center
}}
{{clear}}

== Véase también ==
* [[Sección cónica]]
* [[Infinito]]
* [[División por cero]]
* [[Derivada]]
* [[Clasificación de discontinuidades]]
* [[Análisis de algoritmos]]
* [[Análisis asintótico]]

== Notas y referencias ==
{{listaref}}

== Bibliografía ==
* {{cita libro|url=http://books.google.com/books?id=yF-NMmZMJ9MC&lpg=PA422&dq=as%C3%ADntota&hl=es&pg=PA422#v=onepage&q=as%C3%ADntota&f=false|título=Introducción al análisis matemático I|autor=José Manuel Casteleiro Villalba|editorial=ESIC|año=2006}}
* {{cita libro|url=http://books.google.es/books?id=LQI9fr5tHNwC&lpg=PA224&dq=as%C3%ADntota&pg=PA224#v=onepage&q=as%C3%ADntota&f=false|título=Matemáticas básicas|autor=Miguel Alamar Penadés, et al|editorial=Univ. Politéc. Valencia|año=2005}}
* {{cita libro|url=http://books.google.com/books?id=E8iuGt0iOwEC&lpg=PA252&dq=as%C3%ADntota&hl=es&pg=PA252#v=onepage&q=as%C3%ADntota&f=false|título=Cálculo I: diferencial|autor=Álvaro Pinzón Escamilla|editorial=Universidad Nac. del Litoral|año=1977}}
* {{cita libro|url=http://books.google.es/books?id=jW9qHZKJooQC&lpg=PA603&dq=as%C3%ADntota&pg=PA603#v=onepage&q=as%C3%ADntota&f=false|título=Precálculo|autor=Carlos Daniel Prado Perez|editorial=Pearson Educación|año=2006}}
* {{cita libro|url=http://books.google.com/books?id=XGrILRo8GmsC&lpg=PA58&dq=funci%C3%B3n%20homogr%C3%A1fica&hl=es&pg=PA58#v=onepage&q=funci%C3%B3n%20homogr%C3%A1fica&f=false|título=Cálculo infinitesimal|autor=Pedro Pérez Carreras|editorial=Universidad Politécnica de Valencia|año=1989}}
* {{cita libro|url=http://books.google.com/books?id=h-0_p5lOGjcC&lpg=PA1&hl=es&pg=PA179#v=onepage&q&f=false|título=Funciones|autor=Engler, Müller, Vrancken, Hecklein|editorial=Universidad Nacional del Litoral|año=2000}}
* {{springer|título=Asymptote| id=Asymptote&oldid=13212|nombre=L.P.|apellido=Kuptsov}}
* {{cita libro|url=http://www.archive.org/details/elementarytreati00fros|título=An elementary treatise on curve tracing|autor=Frost, P.|año=1918|idioma=inglés}}

== Enlaces externos ==
{{Commons|Asymptote}}
* {{planetmath reference|id=6100|title=Asymptote}}
* {{cita web|title=Apollonius of Perga Conics Books One to Seven|idioma=inglés|url=http://www.math.psu.edu/katok_s/Commentaries-new.pdf|fechaacceso=9 de agosto de 2011|fechaarchivo=17 de mayo de 2013|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20130517180611/http://www.math.psu.edu/katok_s/Commentaries-new.pdf|deadurl=yes}}
* [http://www.sciencemuseum.org.uk/images/I046/10314748.aspx Hyperboloid and Asymptotic Cone, string surface model, 1872] from the [[Science Museum (London)|Science Museum]]

{{Control de autoridades}}
{{ORDENAR:Asintota}}
[[Categoría:Geometría analítica]]
[[Categoría:Análisis real]]