Ver el código de «Atractor»

En los [[sistema dinámico|sistemas dinámicos]], un '''atractor''' es un conjunto de valores numéricos hacia los cuales un sistema tiende a evolucionar, dada una gran variedad de condiciones iniciales en el sistema.<ref>http://www.thefreedictionary.com/attractor</ref> Para que un conjunto sea un atractor, las [[trayectoria]]s que le sean suficientemente próximas han de permanecer próximas incluso si son ligeramente perturbadas. Geométricamente, un atractor puede ser un [[punto (geometría)|punto]], una [[curva]], una [[Variedad (matemáticas)|variedad]] o incluso un conjunto complicado de estructura [[fractal]] conocido como [[Atractor#Atractor extra.C3.B1o|atractor extraño]]. La descripción de atractores de sistemas dinámicos caóticos ha sido uno de los grandes logros de la [[teoría del caos]].

La trayectoria del sistema dinámico en el atractor no tiene que satisfacer ninguna propiedad especial excepto la de permanecer en el atractor; puede ser periódica, caótica o de cualquier otro tipo.

== Definición ==
Los sistemas dinámicos suelen ser definidos en términos de [[ecuación diferencial|ecuaciones diferenciales]]. Estas ecuaciones describen el comportamiento del sistema para un período breve. Para determinar el comportamiento del sistema para períodos más largos es necesario [[integral|integrar]] las ecuaciones, ya sea analíticamente o por métodos numéricos ([[iteración]]), para lo que se ha hecho imprescindible la ayuda de los ordenadores.

Los sistemas dinámicos procedentes de aplicaciones físicas tienden a ser disipativos: si no fuera por alguna fuerza externa el movimiento cesaría. La disipación puede proceder de [[fricción|fricción interna]], pérdidas [[termodinámica]]s o pérdida de material, entre otras causas. La disipación y la fuerza externa tienden a combinarse para eliminar el transitorio inicial y hacer entrar al sistema en su comportamiento típico. La parte del [[espacio de fases]] del sistema dinámico que corresponde al comportamiento típico es el '''atractor'''. 

Los ''conjuntos invariantes'' y los ''conjuntos límite'' son conceptos muy relacionados con el de atractor:
* Un conjunto invariante es un conjunto que evoluciona hacia sí mismo cuando está sujeto a la legalidad del sistema dinámico. Los atractores pueden contener conjuntos invariantes. 
* Un conjunto límite es el estado al que llega el sistema después de un tiempo infinito. Los atractores son conjuntos límite, pero no todos los conjuntos límite son atractores: es posible que un sistema converja hacia un conjunto límite, pero que, una vez instalado en él, sufra pequeñas perturbaciones que lo alejen definitivamente del conjunto. 
Por ejemplo, el [[péndulo]] real tiene dos puntos invariantes:el punto ''x''<sub>0</sub> de mínima altura y el punto ''x''<sub>1</sub> de máxima altura. El punto ''x''<sub>0</sub> es también un conjunto límite, pues las trayectorias convergen en él; el punto ''x''<sub>1</sub> no es un ciclo límite. Debido a la disipación, el punto ''x''<sub>0</sub> es también un atractor. Si no hubiera disipación, ''x''<sub>0</sub> no sería un atractor.

=== Definición matemática ===
En un sistema dinámico con dinámica ''f''(''t'', •), el atractor Λ es un [[subconjunto]] del espacio de fases tal que:
* existe un [[entorno (matemática)|entorno]] de Λ, llamado ''cuenca de atracción'', al que converge cualquier sistema abierto que contenga Λ, y
* ''f''(''t'', Λ) ⊃ Λ para ''t'' suficientemente grande.

Comúnmente se considera el atractor como un [[conjunto cerrado]] formado por los [[Punto de acumulación|puntos de acumulación]] o convergencia de las órbitas, así el atractor propiamente dicho puede definirse como:
{{ecuación|
<math>\Lambda = \bigcap_{t>t_0}^\infty f(t,\Lambda_{t_0}) =
\bigcap_{t>t_0}^\infty \Lambda_t</math>
||left}}
Siendo <math>\Lambda_{t_0}\;</math> cualquier conjunto invariante tal que:
{{ecuación|
<math>\Lambda_{t_0} \supseteq f(t,\Lambda_{t_0})</math>
||left}}

== Tipos de atractores ==
Los atractores son partes del espacio de fases del sistema dinámico. Hasta los años 60, se creyó que los atractores eran conjuntos geométricos del espacio de fases (puntos, líneas, superficies o volúmenes) y que los conjuntos topológicamente extraños eran frágiles anomalías. [[Stephen Smale]] demostró que su mapa de herradura de caballo ([[herradura de Smale]])<ref name="nimbus_lameteorologia">
{{cita web|url=http://www.cienciahoy.org.ar/hoy31/caos01.htm|título=El Caos y los límites de lo predecible o una anagrama de Newton.|fechaacceso=5 de diciembre de 2012|año=1995|formato=|editorial=|idioma=español|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20071029085412/http://www.cienciahoy.org.ar/hoy31/caos01.htm|fechaarchivo=29 de octubre de 2007}}
</ref> era estructuralmente robusta y que su atractor tenía la estructura de un [[conjunto de Cantor]].

El punto fijo y el ciclo límite son '''atractores simples''' o '''clásicos'''. Cuando los conjuntos son complicados de describir, nos encontramos ante un '''atractor extraño'''.

=== Atractores clásicos ===
En los atractores clásicos, todas las trayectorias convergen en un único punto, es decir, todas las trayectorias terminan en un [[estado estacionario]]. 
==== Punto fijo ====
Un [[punto fijo]] o punto de equilibrio es el punto correspondiente al estado del sistema que permanece constante el tiempo. 
Ejemplos: el estado final de una piedra que cae, un péndulo o un vaso con agua.
==== Ciclo límite ====
Un ciclo límite es una [[órbita]] periódica del sistema que está aislada.
Ejemplos: el circuito de sintonía de una radio. 
[[Archivo:VanDerPolPhaseSpace.png|center|250px| Espacio de fases de Vanderpol]]

==== Toro límite ====
Una trayectoria periódica de un sistema puede ser gobernada por más de una frecuencia. Si dos de estas frecuencias forman una fracción irracional (es decir, si son inconmensurables), la trayectoria no se cerrará y el ciclo límite se convertirá en un [[toro (matemáticas)|toro]].
[[Archivo:torus.png|300px| Toro]]

=== Atractor extraño ===
A diferencia de los atractores clásicos, los atractores extraños tienen estructura a todas las escalas. Un atractor es extraño si tiene [[dimensión de Hausdorff]] no entera (o "fractal") o si la dinámica en el atractor es caótica.

<gallery mode="packed">
Image:LorenzAttractor.png|Atractor de Lorenz</gallery>
Ejemplos: mapa de [[Hénon]], [[atractor de Rössler]], [[atractor de Lorenz]]

== Véase también ==
* [[Teoría del caos]]

== Referencias ==
{{listaref}}
* {{cita publicación| autor=[[David Ruelle]] y [[Floris Takens]] | título= On the nature of turbulence | revista=Communications of Mathematical Physics | año=1971 | volumen=20 | páginas=167-192}}
* {{cita publicación| autor=D. Ruelle| título= Small random perturbations of dynamical systems and the definition of attractors | revista=Communications of Mathematical Physics | año=1981 | volumen=82 | páginas=137-151}}
* {{cita publicación| autor=John Milnor| título= On the concept of attractor | revista=Communications of Mathematical Physics | año=1985 | volumen=99 | páginas=177-195}}
* David Ruelle, 1989. ''Elements of Differentiable Dynamics and Bifurcation Theory'', [[Academic Press]]. 
* R. Temam, 1997. ''Infinite dimensional dynamical systems in mechanics and physics'', 2ª ed., Springer-Verlag. 
* Manfred Schroeder, 1991. ''Fractals, Chaos, Power Laws'',W.H. Freeman and Company.
* https://web.archive.org/web/20061112162244/http://www.research.ibm.com/journal/rd/471/martens.html

== Para saber más ==
* [[Edward Lorenz|Edward N. Lorenz]] (1996) ''The Essence of Chaos'' ISBN 0-295-97514-8
* [[James Gleick]] (1988) ''Chaos: Making a New Science'' ISBN 0-295-97514-8

== Enlaces externos ==
{{commons|Attractor|Atractor}}
* [https://web.archive.org/web/20061006205031/http://ccrma-www.stanford.edu/~stilti/images/chaotic_attractors/poly.html Galería de atractores]
* [https://web.archive.org/web/20081120235511/http://www.aidansamuel.com/strange.php Atractores extraños animados]
* [http://www.chaoscope.org]
* [https://web.archive.org/web/20071029085412/http://www.cienciahoy.org.ar/hoy31/caos01.htm El Caos y los límites de lo predecible o una anagrama de Newton]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría del caos]]