Ver el código de «B-spline»

[[Archivo:B-spline curve.svg|miniaturadeimagen|B-spline respecto a una línea compuesta de varios segmentos rectos]]
En el subcampo matemático de [[análisis numérico]], una '''B-''spline''''' o '''''Basis spline''''' (o traducido una '''''línea polinómica suave básica'''''), es una función [[spline]] que tiene el mínimo [[Soporte (matemáticas)|soporte]] con respecto a un determinado grado, suavidad y partición del dominio. Un [[teorema]] fundamental establece que cada función ''spline'' de un determinado grado, suavidad y partición del dominio, se puede representar como una [[combinación lineal]] de B-splines del mismo grado y suavidad, y sobre la misma partición.<ref>{{cita libro | autor = Carl de Boor | título = A Practical Guide to Splines | url = https://archive.org/details/practicalguideto0027debo | editorial = Springer-Verlag | páginas = [https://archive.org/details/practicalguideto0027debo/page/113 113]–114 | año = 1978}}</ref> El término B-''spline'' fue acuñado por [[Isaac Jacob Schoenberg]] y es la abreviatura de ''spline'' básica.<ref>{{cita libro | autor = Carl de Boor | título = A Practical Guide to Splines | url = https://archive.org/details/practicalguideto0027debo | editorial = Springer-Verlag | páginas = [https://archive.org/details/practicalguideto0027debo/page/114 114]–115 | año = 1978}}</ref> Las B-''splines'' pueden ser evaluadas de una manera [[Estabilidad numérica|numéricamente estable]] por el [[algoritmo de De Boor]]. De un modo simplificado, se han creado variantes potencialmente más rápidas que el algoritmo de Boor, pero adolecen comparativamente de una menor estabilidad.<ref>{{cita publicación |apellido=Lee |nombre=E. T. Y. |fecha = diciembre de 1982 |título=A Simplified B-Spline Computation Routine |publicación=Computing |volumen=29 |número=4 |páginas=365–371 |editorial=Springer-Verlag|doi=10.1007/BF02246763}}</ref><ref>{{cita publicación | autor = Lee, E. T. Y. | publicación = Computing | número = 3 | 	páginas = 229–238 | editorial = Springer-Verlag | doi=10.1007/BF02240069|título = Comments on some B-spline algorithms | volumen = 36 | año = 1986}}</ref>

En el subcampo de la [[informática]] de [[diseño asistido por computadora]] y de gráficos por computadora, el término B-''spline'' se refiere con frecuencia a una curva parametrizada por otras funciones ''spline'', que se expresan como combinaciones lineales de B-''splines'' (en el sentido matemático anterior). Una B-''spline'' es simplemente una generalización de una [[curva de Bézier]], que puede evitar el [[Fenómeno de Runge|fenómeno Runge]] sin necesidad de aumentar el grado de la B-''spline''.

== Definición ==
Dado ''m'' valores reales ''t<sub>i</sub>'', llamados ''nodos'', con
:<math>t_0 \le t_1 \le \cdots \le t_{m-1} </math>

una '''B-''spline''''' de grado ''n'' es una [[Ecuación paramétrica|curva paramétrica]]

:<math>\mathbf{S}:[t_0, t_{m-1}] \to \mathbb{R}^2</math>

compuesta por una combinación lineal de '''B-''splines'' básicas''' ''b<sub>i,n</sub>'' de grado ''n''

:<math>\mathbf{S}(t)= \sum_{i=0}^{m-n-2} \mathbf{P}_{i} b_{i,n}(t) \mbox{ , } t \in [t_{n-1},t_{m-n}]</math>.

Los '''P'''<sub>''i''</sub> se llaman '''puntos de control''' o '''puntos de Boor'''. Hay ''m-(n+1)'' puntos de control que forman una [[envoltura convexa]].

Las ''m-(n+1)'' B-''splines'' básicas de grado ''n'' se pueden definir mediante la '''fórmula de recursión Cox-de Boor'''

:<math>b_{j,0}(t) := \left\{
\begin{matrix} 
1 & \mathrm{si} \quad t_j \leq t < t_{j+1} \\
0 & \text{resto} 
\end{matrix}
\right.
</math>

:<math>b_{j,n}(t) := \frac{t - t_j}{t_{j+n} - t_j} b_{j,n-1}(t) + \frac{t_{j+n+1} - t}{t_{j+n+1} - t_{j+1}} b_{j+1,n-1}(t).</math> 

Cuando los nodos son equidistantes, la B-''spline'' se dice que es '''uniforme''', de otro modo sería '''no uniforme'''. Si dos nodos ''t<sub>j</sub>'' son idénticos, cualquiera de las posibles formas indeterminadas 0/0 se consideran 0.

Nótese que ''j+n+1'' no puede exceder de ''m-1'', lo que limita tanto a ''j'' como a ''n''.

=== B-''spline'' uniforme ===
Cuando la B-''spline'' es uniforme, las B-''splines'' básicas para un determinado grado ''n'' son solo copias cambiadas de una a otra. Una alternativa no recursiva de la definición de la B-splines ''m-n+1'' básica es

:<math>b_{j,n}(t) = b_n(t - t_j), \qquad\; j = 0, \ldots, m-n-1</math>

con

:<math>b_{n}(t) := \frac{n+1}{n} \sum_{i=0}^{n+1} \omega_{i,n}(t - t_i)_+^{n} \,\; </math>

y

:<math>\omega_{i,n} := \prod_{j=0, j \neq i}^{n+1} \frac{1}{t_j - t_i} \,\;</math>

dónde

:<math>(t - t_i)_+^n \,\;</math>

es la función de potencia truncada definida como

:<math>(t-t_i)^{n}_{+} = \left\{\begin{matrix} 
0 & \text{si} \quad t < t_{i} \\
(t-t_i)^{n} & \text{si} \quad t \ge t_{i} 
\end{matrix}
\right.
</math>

=== B-spline cardinal ===
Si se define '''B'''<sub>''0''</sub> como la [[función característica]] de <math>[-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}]</math>, y '''B'''<sub>''k''</sub> recursivamente como el producto [[convolución]]

:<math>B_k := B_{k-1} * B_0, ~k =1, 2, \dots</math>

entonces '''B'''<sub>''k''</sub> se llaman ''B-splines cardinales'' (centradas). Esta definición se remonta a Schoenberg.

'''B'''<sub>''k''</sub> tiene soporte compacto <math>[-\tfrac{k+1}{2}, \tfrac{k+1}{2}]</math> y es una [[Paridad de una función|función impar]]. Como <math>k \rightarrow \infty</math> las B-splines cardinales normalizadas tienden a la [[Función gaussiana|función de Gauss]].<ref>Brinks R: On the convergence of derivatives of B-splines to derivatives of the Gaussian function, Comp. Appl. Math., 27, 1, 2008</ref>

== Notas ==
Cuando el número de puntos de control de Boor es el mismo que el grado, la B-Spline degenera en una curva de Bézier. La forma de las funciones base es determinada por la posición de los nodos. Escalar o [[Traslación (geometría)|trasladar]] el vector de nodo no altera las funciones de base.

El spline está contenido en el casco convexo de sus puntos de control.
Una B-spline básica de grado ''n''

:<math>b_{i,n}(t)\,\;</math>

es distinta de cero solo en el intervalo [''t''<sub>''i''</sub>, ''t''<sub>''i+n+1''</sub>] esto es
:<math>b_{i,n}(t) = \left\{\begin{matrix} 
>0 & \text{si} \quad t_{i} \le t < t_{i+n+1} \\
0 & \text{resto} 
\end{matrix}
\right.
</math>

En otras palabras si manipulamos un punto de control cambiamos solo el comportamiento local de la curva y no el comportamiento global como con las curvas de Bézier.

La función base se pueda obtener del [[polinomio de Bernstein]].

== Ejemplos ==
A continuación se muestran una serie de ejemplos de diversos tipos de B-splines.
=== B-spline constante ===
La B-spline constante es la spline más simple. Se define en un solo [[tramo de nodo]] y ni siquiera es [[Continuidad (matemática)|continua]] en los nodos. Es solo la función indicador de los diferentes tramos de nodo.

:<math>b_{j,0}(t) = 1_{[t_j,t_{j+1})} =
\left\{\begin{matrix} 
1 & \text{si} \quad t_j \le t < t_{j+1} \\
0 & \text{resto} 
\end{matrix}
\right.
</math>

=== B-spline lineal ===
La B-spline lineal se define en dos tramos de nodo consecutivos y es continua sobre los nodos, pero no diferenciable.

:<math>b_{j,1}(t) = 
\left\{\begin{matrix} 
\frac{t - t_j}{t_{j+1} - t_j} & \text{si} \quad t_j \le t < t_{j+1} \\
\frac{t_{j+2} - t}{t_{j+2} - t_{j+1}} & \text{si} \quad t_{j+1} \le t < t_{j+2} \\
0 & \text{resto} 
\end{matrix}
\right.
</math>

=== B-spline cuadrática uniforme ===
Las B-splines cuadráticas con nodo-vector uniforme es una forma común de B-spline. La [[función base]] puede ser calculada fácilmente , y es igual para cada segmento, en este caso.

:<math>b_{j,2}(t) = \begin{cases} \frac{1}{2}(1-t)^2 \\ -t^2 + t + \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}t^2 \end{cases}</math>

Puesto en forma de [[Matriz (matemática)|matriz]], esto es:<ref>{{Cita web |url=http://graphics.idav.ucdavis.edu/education/CAGDNotes/Quadratic-Uniform-B-Spline-Curve-Splitting/Quadratic-Uniform-B-Spline-Curve-Splitting.html |título=Splitting a uniform B-spline curve |fechaacceso=20 de junio de 2009 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20090414153059/http://graphics.idav.ucdavis.edu/education/CAGDNotes/Quadratic-Uniform-B-Spline-Curve-Splitting/Quadratic-Uniform-B-Spline-Curve-Splitting.html |fechaarchivo=14 de abril de 2009 }}</ref>
:<math> \mathbf{S}_i(t) = \begin{bmatrix} t^2 & t & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{2} \begin{bmatrix}
1 & -2 & 1 \\
-2 & 2 & 0 \\
1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \mathbf{p}_{i-1} \\ \mathbf{p}_{i} \\ \mathbf{p}_{i+1} \end{bmatrix}
</math> para <math>t \in [0,1], i = 1,2 \ldots m-1</math>

=== B-spline cúbica ===
Una formulación B-spline para un solo segmento puede ser escrita como:

:<math>\mathbf{S}_{i} (t) = \sum_{k=0}^3 \mathbf{P}_{i-3+k} b_{i-3+k,3} (t) \mbox{ ; }\ t \in [0,1]</math>

donde '''S'''<sub>''i''</sub> es el ''i''mo segmento B-spline y '''P''' es el conjunto de puntos de control, el segmento ''i'' y ''k'' es el índice del punto de control local. Un conjunto de puntos de control sería P<math>P_i^w = ( w_i x_i, w_i y_i, w_i z_i, w_i)</math> donde el <math>w_i</math> es el peso, tirando de la curva hacia el punto de control <math>P_i</math> mientras que aumenta o se desplazan fuera de la curva, a la vez que disminuye.

Toda una serie de segmentos, las curvas ''m''-2 (<math>S_3,S_4,...,S_m</math>) definidas por ''m''+1 puntos de control (<math>P_0,P_1,...,P_m, m \ge 3</math>) como un B-spline en ''t'', se definiría como:

:<math>\mathbf{S}(t) = \sum_{i=0}^{m-1} \mathbf{P}_{i} b_{i,3} (t)</math>

donde ''i'' es el número de puntos de control y ''t'' es un parámetro global dados los valores de los nodos. Esta formulación expresa una curva B-spline como una combinación lineal de funciones B-spline básicas, de ahí el nombre.

Hay dos tipos de B-spline - uniforme y no uniforme. Una B-spline no uniforme es una curva donde los intervalos entre los puntos sucesivos de control no son, o no necesariamente son, iguales (el vector de nodos de espacios de nodo interiores no son iguales). Una forma común es donde los intervalos se reducen sucesivamente a cero, interpolando los puntos de control.

=== B-spline cúbica uniforme ===
La B-spline cúbica con vector-nodo uniforme es la forma más usual de B-spline. La [[función base]] puede ser fácilmente calculada, y es igual para cada segmento, en este caso. Puesto en forma de matriz, esto es:

:<math> \mathbf{S}_i(t) = \begin{bmatrix} t^3 & t^2 & t & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{6} \begin{bmatrix}
-1 & 3 & -3 & 1 \\
 3 & -6 &  3 & 0 \\
-3 & 0 & 3 & 0 \\
 1 &  4 &  1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \mathbf{p}_{i-1} \\ \mathbf{p}_{i} \\ \mathbf{p}_{i+1} \\ \mathbf{p}_{i+2} \end{bmatrix}
</math> para <math>t \in [0,1].</math>

== Véase también ==
* ''[[Spline]]''
* [[M-spline|M-''spline'']]
* [[I-spline|I-''spline'']]
* [[NURBS]] (acrónimo inglés de la expresión ''Non Uniform Rational B-Splines'')

== Referencias ==
{{listaref}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Splines| ]]

[[de:Spline#B-Splines]]