Ver el código de «BIO-LGCA»

En [[Biología matemática|biología]] [[Biología computacional|computacional]] y [[Biología matemática|matemática]], un '''autómata celular biológico de gas en red''' (BIO-LGCA, por sus siglas en inglés) es un modelo discreto de agentes biológicos móviles e interactuantes, un subtipo de [[autómata celular]]. Los BIO-LGCAs están basados en el autómata celular de gas en red (LGCA), modelo utilizado en dinámica de fluidos. Un modelo BIO-LGCA describe células y otros agentes biológicos móviles como partículas puntuales que se mueven en una red, interactuando con otras partículas cercanas. A diferencia de los modelos de autómatas celulares clásicos, las partículas en BIO-LGCA están caracterizadas por su posición y velocidad. Esto permite modelar y analizar el comportamiento de [[fluidos activos]] y de la [[Migración celular|migración colectiva]] producido principalmente a través de cambios de [[Cantidad de movimiento|momento]], más que a través de gradientes de densidad. Las aplicaciones de los BIO-LGCA  incluyen [[Metástasis|invasión]] y [[Cáncer|progresión de cáncer]].<ref name=":0">{{Cita publicación|url=https://dx.plos.org/10.1371/journal.pcbi.1004366|título=An Emerging Allee Effect Is Critical for Tumor Initiation and Persistence|apellidos=Böttger|nombre=Katrin|apellidos2=Hatzikirou|nombre2=Haralambos|fecha=2015-09-03|publicación=PLOS Computational Biology|volumen=11|número=9|páginas=e1004366|apellidos-editor=Alber|nombre-editor=Mark S|idioma=en|issn=1553-7358|doi=10.1371/journal.pcbi.1004366|pmc=4559422|pmid=26335202|apellidos3=Voss-Böhme|nombre3=Anja|apellidos4=Cavalcanti-Adam|nombre4=Elisabetta Ada|apellidos5=Herrero|nombre5=Miguel A.|apellidos6=Deutsch|nombre6=Andreas}}</ref><ref>{{Cita publicación|url=https://doi.org/10.1186/s13062-017-0188-z|título=Cell adhesion heterogeneity reinforces tumour cell dissemination: novel insights from a mathematical model|apellidos=Reher|nombre=David|apellidos2=Klink|nombre2=Barbara|fecha=2017-08-11|publicación=Biology Direct|volumen=12|número=1|páginas=18|issn=1745-6150|doi=10.1186/s13062-017-0188-z|pmc=5553611|pmid=28800767|apellidos3=Deutsch|nombre3=Andreas|apellidos4=Voss-Böhme|nombre4=Anja}}</ref>

== Definición del modelo ==
Como todo modelo de autómatas celulares, un modelo BIO-LGCA está definido por una red <math>\mathcal{L}</math>, un espacio de estados <math>\mathcal{E}</math>, una vecindad <math>\mathcal{N}</math>, y una regla <math>\mathcal{R}</math>.<ref name=":1">{{Obra citada|título=Mathematical Modeling of Biological Pattern Formation|url=http://dx.doi.org/10.1007/0-8176-4415-6_3|fechaacceso=2021-05-25|editorial=Birkhäuser Boston|lugar=Boston, MA|pub-periódica=Cellular Automaton Modeling of Biological Pattern Formation|páginas=45–56|ISBN=978-0-8176-4281-5}}</ref>

* La red (<math>\mathcal{L}</math>) define el conjunto de todas las posiciones posibles de las partículas. Las partículas están restringidas a ocupar ciertas posiciones, típicamente provenientes  de una [[teselación]] periódica y regular del espacio. Matemáticamente, <math>\mathcal{L}\subset\mathbb{R}^d</math> es un subconjunto discreto del espacio <math>d</math>-dimensional.
* El espacio de estados (<math>\mathcal{E}</math>) describe los estados posibles de las partículas dentro de cada sitio de la red <math>\mathbf{r}\in\mathcal{L}</math>. En BIO-LGCA, múltiples partículas con diferentes velocidades pueden ocupar un sitio particular de la red, a diferencia de los modelos de autómatas celulares clásicos, donde típicamente, a lo más una sola partícula puede residir en cada sitio de la red simultáneamente. Esto hace al espacio de estados ligeramente más complejo que el de modelos de autómatas celulares clásicos (ver la siguiente sección).
* La vecindad (<math>\mathcal{N}</math>) indica el subconjunto de sitios de la red que determina la dinámica de un sitio dado de la red. Las partículas sólo interactúan con otras partículas dentro de su vecindad. Las condiciones de frontera deben ser definidas para vecindades de sitios de la red en la frontera. Las vecindades y condiciones de frontera son definidas de igual forma que para autómatas celulares clásicos (ver [[autómata celular]]).
* La regla (<math>\mathcal{R}</math>) dicta el movimiento, proliferación, o muerte  de partículas en el tiempo. Al igual que todo autómata celular, los BIO-LGCA evolucionan en pasos de tiempo discretos. Para simular la dinámica de sistema, la regla es aplicada a cada sitio de la red simultáneamente en cada paso de tiempo. La aplicación de la regla cambia el estado original de un sitio de la red a un nuevo estado. La regla depende de los estados de los sitios en la vecindad de interacción del sitio que se actualizará. En BIO-LGCA, la regla está dividida en dos pasos: un paso de interacción probabilista seguido de un paso de transporte determinista. El paso de interacción simula reorientación, procesos de nacimiento, y de muerte, y está definido  específicamente para el proceso modelado. El paso de transporte mueve partículas a sitios vecinos de la red en la dirección de sus velocidades. Ver abajo para más detalles.

=== Espacio de estados ===
[[Archivo:Hexnode.png|miniaturadeimagen|La subestructura de un sitio de la red en BIO-LGCA con seis canales de velocidad (correspondientes a una red hexagonal bidimensional) y un solo canal de descanso. En este caso <math>b=6</math>, <math>a=1</math>, y la capacidad de carga es <math>K=7</math>. Los canales 2, 3, 6 y 7 están ocupados, por lo que la configuración del sitio es <math>\mathbf{s}=(0,1,1,0,0,1,1)</math>, y el número de partículas es <math>n\left(\mathbf{s}\right)=\sum_{i=1}^Ks_i=4</math>.]]
Para modelar las velocidades de las partículas explícitamente, se presupone que los sitios de la red tienen una subestructura específica. Cada sitio de la red <math>\mathbf{r}\in\mathcal{L}</math> está conectado a sus vecinos a través de vectores llamados "canales de velocidad", <math>\mathbf{c}_i</math>, <math>i\in\{1,2,\ldots,b\}</math>, donde el número de canales de velocidad <math>b</math> es igual al número de vecinos más cercanos, y por lo tanto depende de la geometría de la red (<math>b=2</math> para un enrejado unidimensional,<math>b=6</math> para un enrejado hexagonal bidimensional, etcétera). En dos dimensiones, los canales de velocidad están definidos como <math>\mathbf{c}_i=\left(\cos\frac{2\pi i}{b},\sin\frac{2\pi i}{b}\right)</math>. Además, se puede definir un número arbitrario <math>a</math> de canales llamados "de descanso", tales que <math>\mathbf{c}_i=(0,0)</math>, <math>i\in\{b+1,b+2,\ldots,b+a\}</math>. Se dice que un canal está ocupado si  hay una partícula en el sitio de la red con una velocidad igual al canal de velocidad. La ocupación del canal <math>\mathbf{c}_i</math> es indicada por el número de ocupación <math>s_i</math>. Típicamente, se presupone que las partículas obedecen un [[Principio de exclusión de Pauli|principio de exclusión]], tal que a lo más una partícula puede ocupar un canal de velocidad en un sitio de la red simultáneamente. En este caso, los números de ocupación son variables Booleanas, i.e. <math>s_i\in\mathcal{S}=\{0,1\}</math>, por lo que cada sitio tiene una [[Capacidad de carga|capacidad]] de carga máxima <math>K=a+b</math>. Dado que el conjunto de todos números de ocupación de todos los canales definen el número de partículas y sus velocidades en cada sitio de la red, el vector <math>\mathbf{s}=\left(s_1,s_2,\ldots,s_{K}\right)</math>describe el estado de un sitio de la red, y el espacio de estados está dado por <math>\mathcal{E}=\mathcal{S}^K</math>.

=== Regla y dinámica del modelo ===
Los estados de cada sitio en la red se actualizan simultáneamente en pasos de tiempo discretos para simular la dinámica del modelo. La regla está dividida en dos pasos. El paso de interacción probabilista simula interacciones entre partículas, mientras que el paso de transporte determinista simula el movimiento de partículas.

==== Paso de interacción ====
Según la aplicación concreta, el paso de interacción puede estar compuesto de operadores de reacción y/o reorientación.

El operador de reacción <math>\mathcal{A}</math> reemplaza el estado <math> \mathbf{s}</math> de un sitio con un nuevo estado <math>\mathbf{s}^{\mathcal{A}}</math> de acuerdo a una [[Cadena de Márkov|probabilidad de transición]] <math>P\left(\left. \mathbf{s}\rightarrow \mathbf{s}^{\mathcal{A}}\right| \mathbf{s}_{\mathcal{N}} \right)</math>, la cual depende del estado de sitios vecinos de la red <math>\mathbf{s}_{\mathcal{N}}</math>, para simular la influencia de partículas cercanas en el proceso reactivo. El operador de reacción no conserva el número de partículas, permitiendo simular nacimiento y muerte de los individuos. La probabilidad de transición del operador de reacción es definida normalmente ''ad hoc'' a partir de observaciones fenomenológicas.

El operador de reorientación <math>\mathcal{O}</math> también reemplaza un estado <math>\mathbf{s}</math> con un estado nuevo <math>\mathbf{s}^{\mathcal{O}}</math> con probabilidad <math>P\left(\left. \mathbf{s}\rightarrow \mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right| \mathbf{s}_{\mathcal{N}} \right)</math>. Sin embargo, este operador conserva el número de partículas y, por lo tanto, sólo modela cambios en la velocidad de las partículas redistribuyéndolas entre los canales de velocidad. La probabilidad de transición de este operador puede ser determinada a partir de observaciones estadísticas (utilizando el [[Principio de máxima entropía|principio de calibre máximo]]) o de dinámicas individuales conocidas (utilizando la distribución de probabilidad angular estacionaria discretizada dada por el [[Ecuación de Fokker-Planck|la ecuación de Fokker-Planck]] asociada a una [[ecuación de Langevin]] que describa la dinámica de reorientación), y típicamente toma la forma<ref>{{Cita publicación|url=http://dx.doi.org/10.1007/s00285-017-1106-9|título=Extracting cellular automaton rules from physical Langevin equation models for single and collective cell migration|apellidos=Nava-Sedeño|nombre=J. M.|apellidos2=Hatzikirou|nombre2=H.|fecha=2017-02-27|publicación=Journal of Mathematical Biology|volumen=75|número=5|páginas=1075–1100|issn=0303-6812|doi=10.1007/s00285-017-1106-9|apellidos3=Peruani|nombre3=F.|apellidos4=Deutsch|nombre4=A.}}</ref><ref>{{Cita publicación|url=http://dx.doi.org/10.1038/s41598-017-17317-x|título=Cellular automaton models for time-correlated random walks: derivation and analysis|apellidos=Nava-Sedeño|nombre=J. M.|apellidos2=Hatzikirou|nombre2=H.|fecha=2017-12-05|publicación=Scientific Reports|volumen=7|número=1|issn=2045-2322|doi=10.1038/s41598-017-17317-x|apellidos3=Klages|nombre3=R.|apellidos4=Deutsch|nombre4=A.}}</ref> <math display="block">P\left(\left. \mathbf{s}\rightarrow \mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right| \mathbf{s}_{\mathcal{N}} \right)
=\frac{1}{Z}e^{-\beta H\left(\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right)}
\delta_{n\left(\mathbf{s}\right),n\left(\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right)}</math>donde <math>Z</math> es una constante de normalización (también conocida como la [[Función de partición (mecánica estadística)|función de partición]]), <math>H\left(\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right)</math> es una función análoga a una energía, la cual será minimizada con alta probabilidad por las partículas al cambiar su dirección de movimiento, <math>\beta</math> es un parámetro libre inversamente proporcional a la aleatoreidad de las partículas al reorientarse (análogo al inverso de la [[Temperatura absoluta|temperatura]] en termodinámica), y <math>\delta_{n\left(\mathbf{s}\right),n\left(\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right)}</math> es una [[delta de Kronecker]] que asegura que el número de partículas <math>n\left(\mathbf{s}\right)</math> antes y después de la reorientación <math>n\left(\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right)</math> no cambien.

Al estado después de aplicar los operadores de reacción y reorientación <math>\mathbf{s}^{\mathcal{O}\circ\mathcal{A}}</math> se denomina como la configuración post-interacción y se denota por <math>\mathbf{s}^{\mathcal{I}}:=\mathbf{s}^{\mathcal{O} \circ\mathcal{A}}</math>.
[[Archivo:Hexdynamics.png|centro|miniaturadeimagen|888x888px|Dinámica del modelo BIO-LGCA. Cada paso de tiempo, se cambian simultáneamente los números de ocupación de forma estocástica a través de los operadores de reacción y/o reorientación en todos los sitios de la red durante el paso de interacción. Posteriormente, las partículas son movidas de forma determinista al mismo canal de velocidad de un sitio vecino en la dirección de su canal de velocidad, durante el paso de transporte. Los colores en el diagrama permiten seguir la dinámica de las partículas en sitios individuales. Este diagrama presupone una regla que conserva partículas (sin operador de reacción).]]

==== Paso de transporte ====
Después del paso de interacción, el paso de transporte determinista se aplica simultáneamente a todos sitios de la red. El paso de transporte simula el movimiento de agentes de acuerdo a su velocidad, debido a la [[Materia activa|autopropulsión]] de organismos vivientes.

Durante este paso, los números de ocupación de los estados post-interacción serán definidos como los nuevos estados de ocupación del mismo canal en el sitio vecino en la dirección del canal de velocidad, i.e. <math>s_i(\mathbf{r}+\mathbf{c}_i)=s_i^{\mathcal{I}}(\mathbf{r})</math>.

Un nuevo paso de tiempo comienza cuando han ocurrido ambos pasos de interacción y de transporte. Por lo tanto, la dinámica del BIO-LGCA puede ser resumida en la [[Relación de recurrencia|ecuación en diferencias finitas]] estocástica microdinámica <math display="block">s_i(\mathbf{r}+\mathbf{c}_i,k+1)=s_i^{\mathcal{I}}(\mathbf{r},k)</math>

== Ejemplos de dinámicas de interacción ==
[[File:PalignLGCA.webm|miniaturadeimagen|Un modelo BIO-LGCA hexagonal de formación polar de enjambres. En este modelo, las células cambian sus velocidades preferencialmente para ser paralelas al momento lineal total de la vecindad. Los sitios de la red tienen colores según su orientación, de acuerdo al [[círculo cromático]]. Los sitios vacíos son blancos. Se utilizaron condiciones de frontera periódicas.]]
La probabilidad de transición de los operadores de reacción y/o reorientación deben ser definidas de tal forma que simulen el sistema a modelar apropiadamente. Algunas  interacciones elementales y sus probabilidades de transición correspondientes están listadas debajo.

=== Caminata aleatoria ===
En la ausencia de todo estímulo externo o interno, las células pueden moverse aleatoriamente sin preferencia direccional. En este caso, el operador de reorientación puede ser definido a través de una probabilidad de transición<math display="block">P\left(\left.\mathbf{s}\rightarrow\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right|\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right)
=\frac{\delta_{n(\mathbf{s}),n\left(\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right)}}{Z}</math>
[[File:BIOLGCAbarkley.webm|miniaturadeimagen|382x382px|Un modelo BIO-LGCA hexagonal de medios excitables. En este modelo, el operador de reacción favorece la reproducción rápida de partículas dentro canales de velocidad, y la muerte lenta de partículas dentro de canales de descanso. Las partículas en canales de descanso inhiben la reproducción de partículas en canales de velocidad. El  operador de reorientación es el operador de caminata aleatoria mencionada en el texto principal. Los sitios de la red tienen un color más brillante mientras más partículas móviles contengan. Las partículas en canales de descanso no son mostradas. Se utilizaron condiciones de frontera periódicas.]]
donde <math>Z=\sum_{\mathbf{s}^{\mathcal{O}}}\delta_{n\left(\mathbf{s}\right),n\left(\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right)}</math>. Esta probabilidad de transición sólo permite configuraciones post-interacción <math>\mathbf{s}^\mathcal{O}</math>con el mismo número de partículas que la configuración pre-interacción <math>\mathbf{s}</math>, elegidas [[Distribución uniforme discreta|uniformemente]].

=== Proceso sencillo de muerte y nacimiento ===
Si los organismos se reproducen y mueren independientemente de otros individuos (con la posible excepción del requerimiento de una capacidad de carga finita), entonces un proceso sencillo de nacimiento y muerte puede ser simulado con una probabilidad de transición dada por<ref name=":0">{{Cita publicación|url=https://dx.plos.org/10.1371/journal.pcbi.1004366|título=An Emerging Allee Effect Is Critical for Tumor Initiation and Persistence|apellidos=Böttger|nombre=Katrin|apellidos2=Hatzikirou|nombre2=Haralambos|fecha=2015-09-03|publicación=PLOS Computational Biology|volumen=11|número=9|páginas=e1004366|apellidos-editor=Alber|nombre-editor=Mark S|idioma=en|issn=1553-7358|doi=10.1371/journal.pcbi.1004366|pmc=4559422|pmid=26335202|apellidos3=Voss-Böhme|nombre3=Anja|apellidos4=Cavalcanti-Adam|nombre4=Elisabetta Ada|apellidos5=Herrero|nombre5=Miguel A.|apellidos6=Deutsch|nombre6=Andreas}}</ref><math display="block">P\left(\left.\mathbf{s}\rightarrow\mathbf{s}^\mathcal{A}\right|\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right)=
\left[r_b\delta_{n\left(\mathbf{s}^{\mathcal{A}}\right),n\left(\mathbf{s}\right)+1}
+r_d\delta_{n\left(\mathbf{s}^{\mathcal{A}}\right),n\left(\mathbf{s}\right) - 1}\right]
\Theta\left[n\left(\mathbf{s}^{\mathcal{A}}\right)\right]
\Theta\left[n\left( K-\mathbf{s}^{\mathcal{A}}\right)\right]</math>donde , <math>r_b,r_d\in[0,1]</math>, <math>r_b+r_d\leq 1</math> son las probabilidades constantes de nacimiento y muerte, respectivamente, <math>\delta_{i,j}</math> es la delta de Kronecker que permite un solo evento de  muerte o nacimiento cada paso de tiempo, y es <math>\Theta(x)</math> es la [[función de Heaviside]], la cual garantiza que el número de partículas sea positivo y acotado por la capacidad de carga <math>K</math>.
[[File:AdhLGCA.webm|miniaturadeimagen|Un modelo BIO-LGCA cuadrado de células que interactúan de forma adhesiva. Las células se mueven preferencialmente en la dirección del gradiente de densidad de células. Los sitios de la red tiene un color azul cada vez más oscuro al incrementar la densidad celular. Los sitios vacíos tienen color blanco. Se utilizaron condiciones periódicas de frontera.]]

=== Interacciones adhesivas ===
Las células pueden adherirse una a otra a través de moléculas de [[cadherina]] en la superficie celular. Las interacciones mediadas por cadherina provocan la formación de agregados celulares. La formación de agregados celulares mediante biomoléculas adhesivas puede ser modeleda por un operador de reorientación con probabilidades de transición definidas como<ref>{{Cita publicación|url=http://dx.doi.org/10.1103/physreve.53.1644|título=Analysis of a pattern-forming lattice-gas automaton: Mean-field theory and beyond|apellidos=Bussemaker|nombre=Harmen J.|fecha=1996-02-01|publicación=Physical Review E|volumen=53|número=2|páginas=1644–1661|issn=1063-651X|doi=10.1103/physreve.53.1644}}</ref><math display="block">P\left(\left.\mathbf{s}\rightarrow\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right|\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right)
=\frac{1}{Z}\exp\left[\beta\mathbf{G}\left(\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right)\cdot\mathbf{J}\left(\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right)\right]</math>
[[File:ChemoLGCA.webm|miniaturadeimagen|Un modelo BIO-LGCA cuadrado de células interactuando indirectamente a través de [[quimiotaxis]]. En este modelo, las células producen quimioatrayente difusivo con cierta [[Semivida de eliminación|vida media]]. Las células se mueven preferencialemente en la dirección del gradiente de quimioatrayente. Los sitios de la red se colorean de manera aditiva, con tonos azules más oscuros al incrementar la densidad celular, y con tonos amarillos más oscuros al incrementar la densidad de quimioatrayente. Los sitios vacíos de la red tienen color blanco. Se utilizaron condiciones de frontera periódicas.]]
donde <math>\mathbf{G}\left(\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right)</math> es un vector que apunta en la dirección de la densidad celular máxima, definida como <math>\mathbf{G}\left(\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right)=
\sum_{\mathbf{r}'\in\mathcal{N}}\left(\mathbf{r}'-\mathbf{r}\right)n\left(\mathbf{s}_{\mathcal{N}}^{\mathbf{r}'}\right)</math>, donde <math>\mathbf{s}_{\mathcal{N}}^{\mathbf{r}'}</math> es la configuración del sitio de la red <math>\mathbf{r}'</math> dentro de la vecindad <math>\mathcal{N}</math>, y <math>\mathbf{J}\left(\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right)</math> es el momento lineal de la configuración post-reorientación, definido como <math>\mathbf{J}\left(\mathbf{s}^{\mathcal{O}}\right)=\sum_{j=1}^bs_j^{\mathcal{O}}\mathbf{c}_j</math> . Esta probabilidad de transición favorece las configuraciones post-reorientación con células moviéndose en dirección del gradiente de densidad celular.

== Análisis matemático ==
Dado que un análisis exacto de un modelo estocástico basado en agentes se vuelve rápidamente imposible debido a las [[Correlación|correlaciones]] de alto orden entre todos los agentes,<ref>{{Cita publicación|url=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsif.2020.0655|título=A general mathematical method for predicting spatio-temporal correlations emerging from agent-based models|apellidos=Ovaskainen|nombre=Otso|apellidos2=Somervuo|nombre2=Panu|fecha=2020-10-28|publicación=Journal of The Royal Society Interface|volumen=17|número=171|páginas=20200655|doi=10.1098/rsif.2020.0655|pmc=7653394|pmid=33109018|apellidos3=Finkelshtein|nombre3=Dmitri}}</ref> el método general para analizar un modelo BIO-LGCA es convertirlo en una [[Relación de recurrencia|ecuación en diferencias finitas]] (EDF) determinista aproximada, que describa la [[Esperanza matemática|dinámica promedio]] de la población, y posteriormente realizando el análisis matemático de este modelo aproximado y comparando los resultados con el modelo BIO-LGCA original.

Para empezar, el valor esperado de la ecuación microdinámica <math>s_m(\mathbf{r}+\mathbf{c}_m,k+1)=s_m^{\mathcal{I}}(\mathbf{r},k)</math> se obtiene<math display="block">f_m\left(\mathbf{r}+\mathbf{c}_m,k+1\right)=
\left\langle s_m^{\mathcal{I}}\left(\mathbf{r},k\right)\right\rangle</math>donde <math>\langle\cdot\rangle</math> denota el valor esperado, y <math>f_m\left(\mathbf{r},k\right):=\left\langle s_m\left(\mathbf{r},k\right)\right\rangle</math> es el valor esperado del número de ocupación <math>m</math> -ésimo del sitio <math>\mathbf{r}</math>  de la red en el paso del tiempo <math>k</math> . Sin embargo, el término de la derecha, <math>\left\langle s_m^{\mathcal{I}}\left(\mathbf{r},k\right)\right\rangle</math> es altamente no lineal en los números de ocupación tanto del sitio <math>\mathbf{r}</math> como de los sitios de la red en la vecindad de interacción <math>\mathcal{N}</math>, debido a la forma de la probabilidad de transición <math>P\left(\left.\mathbf{s}\rightarrow\mathbf{s}^{\mathcal{I}}\right|\mathbf{s}_{\mathcal{N}}\right)</math> y la estadística ocupación de partículas dentro de los canales de velocidad (por ejemplo, provenientes de un principio de exclusión impuesto en las ocupaciones de canales). Esta no linealidad daría lugar a correlaciones y [[momentos]] de alto orden entre todos los números de ocupación de canales involucrados. En su lugar, se suele suponer una [[Teoría de campo medio|aproximación de campo medio]], en la cual se desprecian todas las correlaciones y momentos de alto orden, de modo que las interacciones directas partícula-partícula son sustituidas por interacciones con los valores esperados respectivos. En otras palabras, si <math>X_1,X_2,\ldots,X_n</math> son variables aleatorias, y <math>F:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}</math> es una función, entonces <math>\left\langle F\left(X_1,X_2,\ldots,X_n\right)\right\rangle\approx
F\left(\left\langle X_1\right\rangle,\left\langle X_2\right\rangle,\ldots,\left\langle X_n\right\rangle\right)</math> bajo esta aproximación. Por lo tanto, podemos simplificar la ecuación a<math display="block">f_m\left(\mathbf{r}+\mathbf{c}_m,k+1\right)=
\mathcal{C}\left(\mathbf{f}\left(\mathbf{r},k\right),\mathbf{f}_{\mathcal{N}}\left(\mathbf{r},k\right)\right)</math>donde <math>\mathcal{C}\left(\mathbf{f}\left(\mathbf{r},k\right),\mathbf{f}_{\mathcal{N}}\left(\mathbf{r},k\right)\right)</math> es una función no lineal de la configuración esperada <math>\mathbf{f}\left(\mathbf{r},k\right)</math> del sitio de la red y la configuración esperada <math>\mathbf{f}_{\mathcal{N}}\left(\mathbf{r},k\right)</math> de la vecindad, que depende de las probabilidades de transición y la estadística de las partículas en el nodo. A partir de esta EDF no lineal, se pueden identificar varios [[Punto de equilibrio|estados estacionarios]] homogéneos, o constantes <math>\bar{f}_m</math> independientes de <math>\mathbf{r}</math> y <math>k</math> que son soluciones de la EDF. Para estudiar las condiciones de estabilidad de estos estados estacionarios y el potencial de formación de patrones del modelo, se puede realizar [[Linealización|un análisis de estabilidad lineal.]] Para hacerlo, la EDF no lineal se linealiza como<math display="block">f_m\left(\mathbf{r}+\mathbf{c}_m,k+1\right)=
\sum_{j=1}^K\left.\frac{\partial\mathcal{C}}{\partial f_j\left(\mathbf{r},k\right)}\right|_{\mathrm{ss}}f_j\left(\mathbf{r},k\right)+
\sum_{j=1}^K\sum_{p=1}^K\left.\frac{\partial\mathcal{C}}{\partial f_j\left(\mathbf{r}+\mathbf{c}_p,k\right)}\right|_{\mathrm{ss}}f_j\left(\mathbf{r}+\mathbf{c}_p,k\right)</math>donde <math>\mathrm{ss}</math> denota el estado estacionario homogéneo <math>f_m\left(\mathbf{r},k\right)=\bar{f}_m,m\in\{1,\ldots,K\}</math>, suponiendo una [[vecindad de von Neumann]] . Para convertirla en una ecuación en diferencias finitas más familiar con incrementos temporales únicamente, se puede aplicar una [[Transformada de Fourier discreta|transformada discreta de Fourier]] de ambos lados de la ecuación. Después de aplicar el [[Transformada de Fourier discreta|teorema del desplazamiento]] y aislar el término con incremento temporal a la izquierda, se obtiene la ecuación de red-Boltzmann<ref name=":1">{{Obra citada|título=Mathematical Modeling of Biological Pattern Formation|url=http://dx.doi.org/10.1007/0-8176-4415-6_3|fechaacceso=2021-05-25|editorial=Birkhäuser Boston|lugar=Boston, MA|pub-periódica=Cellular Automaton Modeling of Biological Pattern Formation|páginas=45–56|ISBN=978-0-8176-4281-5}}</ref><math display="block">\hat{f}_m\left(\mathbf{q},k+1\right)=e^{-\frac{2 \pi i}{L}\mathbf{q}\cdot\mathbf{c}_m}
\left\{\sum_{j=1}^K\left[\left.\frac{\partial\mathcal{C}}{\partial f_j\left(\mathbf{r},k\right)}\right|_{\mathrm{ss}}+\sum_{p=1}^K\left.\frac{\partial\mathcal{C}}{\partial f_j\left(\mathbf{r}+\mathbf{c}_p,k\right)}\right|_{\mathrm{ss}}e^{\frac{2\pi i}{L}\mathbf{q}\cdot\mathbf{c}_p}\right]\hat{f}_j\left(\mathbf{q},k\right)\right\}</math>donde <math>i=\sqrt{-1}</math> es la [[unidad imaginaria]], <math>L</math> es el tamaño de la red a lo largo de una dimensión, <math>\mathbf{q}\in\{1,2,\ldots,L\}^d</math> es el [[número de onda]] de Fourier, y <math>\hat{\cdot}=\mathcal{F}\{\cdot\}</math> denota la transformada discreta de Fourier. En notación matricial, esta ecuación se simplifica a <math>\hat{\mathbf{f}}\left(\mathbf{q},k+1\right)=\Gamma\hat{\mathbf{f}}\left(\mathbf{q},k\right)</math>, donde la matriz <math>\Gamma</math> se llama ''propagador de Boltzmann'' y se define como<math display="block">\Gamma_{m,j}=e^{-\frac{2\pi i}{L}\mathbf{q}\cdot\mathbf{c}_m}
\left[\left.\frac{\partial\mathcal{C}}{\partial f_j\left(\mathbf{r},k\right)}\right|_{\mathrm{ss}}+\sum_{p=1}^K\left.\frac{\partial\mathcal{C}}{\partial f_j\left(\mathbf{r}+\mathbf{c}_p,k\right)}\right|_{\mathrm{ss}}e^{\frac{2\pi i}{L}\mathbf{q}\cdot \mathbf{c}_p}\right].</math>Los [[Vector, valor y espacio propios|eigenvalores]] <math>\lambda\left(\mathbf{q}\right)</math> del propagador de Boltzmann dictan las propiedades de estabilidad del estado estacionario:<ref name=":1">{{Obra citada|título=Mathematical Modeling of Biological Pattern Formation|url=http://dx.doi.org/10.1007/0-8176-4415-6_3|fechaacceso=2021-05-25|editorial=Birkhäuser Boston|lugar=Boston, MA|pub-periódica=Cellular Automaton Modeling of Biological Pattern Formation|páginas=45–56|ISBN=978-0-8176-4281-5}}</ref>

* Si <math>\left|\lambda\left(\mathbf{q}\right)\right|>1</math>, donde <math>|\cdot|</math> denota el [[Número complejo|módulo]], entonces las perturbaciones con el número de onda <math>\mathbf{q}</math> crecen con el tiempo. Si <math>\left|\lambda\left(\mathbf{q}_{\mathrm{max}}\right)\right|>1</math>, y <math>\left|\lambda\left(\mathbf{q}_{\mathrm{max}}\right)\right|\geq\left|\lambda\left(\mathbf{q}\right)\right|\forall\mathbf{q}\in\{1,2,\ldots,L\}^d</math>, entonces las perturbaciones con número de onda <math>\mathbf{q}_{\mathrm{max}}</math> dominarán y se observarán patrones con una [[longitud de onda]] clara. De lo contrario, el estado estacionario es estable y cualquier perturbación decaerá.
* Si <math>\mathrm{arg}\left[\lambda\left(q\right)\right]\neq 0</math>, donde <math>\mathrm{arg}(\cdot)</math> denota el [[Número complejo|argumento]], entonces las perturbaciones tienen un movimiento direccional y se observan los comportamientos no estacionarios a nivel población. De lo contrario, la población parecerá estática a nivel macroscópico.

== Aplicaciones ==
La construcción de un BIO-LGCA para el estudio de fenómenos biológicos implica, principalmente, definir probabilidades de transición apropiadas para el operador de interacción, aunque definiciones precisas del espacio de estados (para considerar varios [[Fenotipo|fenotipos]] celulares, por ejemplo), condiciones de frontera (para modelar fenómenos en condiciones de confinamiento), vecindad (para reproducir cuantitativamente los rangos de interacción experimental) y capacidad de carga (para simular efectos de aglomeración para tamaños celulares conocidos) pueden ser importantes para aplicaciones específicas. Si bien la distribución del operador de reorientación se puede obtener a través de los métodos estadísticos y biofísicos antes mencionados, la distribución de los operadores de reacción se pueden estimar a partir de caracterizaciones estadísticas de experimentos ''in vitro'', por ejemplo.<ref>{{Cita publicación|url=https://www.nature.com/articles/s41467-019-09853-z|título=Stem cell-associated heterogeneity in Glioblastoma results from intrinsic tumor plasticity shaped by the microenvironment|apellidos=Dirkse|nombre=Anne|apellidos2=Golebiewska|nombre2=Anna|fecha=2019-04-16|publicación=Nature Communications|volumen=10|número=1|páginas=1787|idioma=en|issn=2041-1723|doi=10.1038/s41467-019-09853-z|pmc=6467886|pmid=30992437|apellidos3=Buder|nombre3=Thomas|apellidos4=Nazarov|nombre4=Petr V.|apellidos5=Muller|nombre5=Arnaud|apellidos6=Poovathingal|nombre6=Suresh|apellidos7=Brons|nombre7=Nicolaas H. C.|apellidos8=Leite|nombre8=Sonia|apellidos9=Sauvageot|nombre9=Nicolas}}</ref>

Los modelos BIO-LGCA se han utilizado para estudiar varios fenómenos celulares, biofísicos y médicos. Algunos ejemplos incluyen:

* [[Angiogénesis]] :<ref>{{Cita publicación|url=http://link.springer.com/10.1007/s00285-010-0366-4|título=Parameter estimation with a novel gradient-based optimization method for biological lattice-gas cellular automaton models|apellidos=Mente|nombre=Carsten|apellidos2=Prade|nombre2=Ina|fecha=2010-10-01|publicación=Journal of Mathematical Biology|volumen=63|número=1|páginas=173–200|idioma=en|issn=0303-6812|doi=10.1007/s00285-010-0366-4|apellidos3=Brusch|nombre3=Lutz|apellidos4=Breier|nombre4=Georg|apellidos5=Deutsch|nombre5=Andreas}}</ref> se compararon experimentos in vitro con células endoteliales y  simulaciones BIO-LGCA para identificar los procesos involucrados durante la angiogénesis y su jerarquía. Se descubrió que la adhesión, la alineación, el movimiento por contacto y la [[Matriz extracelular|remodelación de la matriz extracelular]] están involucradas en la angiogénesis, mientras que las interacciones de largo alcance no son vitales para el proceso.
* [[Fluido activo|Fluidos activos]] :<ref>{{Cita publicación|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.78.5018|título=Mean-Field Analysis of a Dynamical Phase Transition in a Cellular Automaton Model for Collective Motion|apellidos=Bussemaker|nombre=Harmen J.|apellidos2=Deutsch|nombre2=Andreas|fecha=1997-06-30|publicación=Physical Review Letters|volumen=78|número=26|páginas=5018–5021|idioma=en|issn=0031-9007|doi=10.1103/PhysRevLett.78.5018|apellidos3=Geigant|nombre3=Edith}}</ref> se investigaron las propiedades físicas macroscópicas de una población de partículas que interactúan a través de alineación de velocidad polar utilizando un modelo BIO-LGCA. Se encontró que el aumento en la densidad de partículas inicial y la fuerza de interacción dan como resultado una [[Transición de fase|transición de fase de segundo orden]] a partir de un estado homogéneo y desordenado a un estado ordenado, con patrones de densidad, y en movimiento.
* [[Epidemiología]] :<ref name=":2">{{Cita web|url=https://www.hindawi.com/journals/ddns/2001/194216/|título=Individual-based lattice model for spatial spread of epidemics|fechaacceso=2021-05-25|autor=Fuks|nombre=Henryk|fecha=2001|sitioweb=Discrete Dynamics in Nature and Society|idioma=en|doi=10.1155/s1026022601000206}}</ref> se utilizó un modelo espacial [[Modelos compartimentales en epidemiología|SIR]]  de BIO-LGCA para estudiar el efecto de diferentes estrategias de vacunación y el efecto de aproximar una epidemia espacial con un modelo no espacial. Se descubrió que las estrategias de vacunación de tipo barrera son mucho más efectivas que las estrategias de vacunación espacialmente uniformes. Además, se encontró que los modelos no espaciales sobreestiman en gran medida la tasa de infección.
* Embotellamiento celular:<ref>{{Cita publicación|url=https://www.nature.com/articles/s41556-020-0552-6|título=Cell–cell adhesion and 3D matrix confinement determine jamming transitions in breast cancer invasion|apellidos=Ilina|nombre=Olga|apellidos2=Gritsenko|nombre2=Pavlo G.|fecha=2020-08-24|publicación=Nature Cell Biology|volumen=22|número=9|páginas=1103–1115|idioma=en|issn=1476-4679|doi=10.1038/s41556-020-0552-6|pmc=7502685|pmid=32839548|apellidos3=Syga|nombre3=Simon|apellidos4=Lippoldt|nombre4=Jürgen|apellidos5=La Porta|nombre5=Caterina A. M.|apellidos6=Chepizhko|nombre6=Oleksandr|apellidos7=Grosser|nombre7=Steffen|apellidos8=Vullings|nombre8=Manon|apellidos9=Bakker|nombre9=Gert-Jan}}</ref> modelos in vitro y BIO-LGCA se utilizaron para estudiar [[Metástasis|el comportamiento metastásico]] en el cáncer de mama. El modelo BIO-LGCA reveló que la metástasis puede exhibir diferentes comportamientos, como estados aleatorios similares a gases, embotellamientos similares a sólidos y estados correlacionados similares a fluidos, según el nivel de adhesividad entre las células, la densidad de la matriz extracelular y las interacciones entre células y la matriz extracelular.

== Referencias ==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==

* [https://imc.zih.tu-dresden.de//biolgca/ Simulador BIO-LGCA]: un simulador en línea con interacciones elementales y valores de parámetros personalizables.
* [https://github.com/sisyga/BIO-LGCA Paquete de Python de BIO-LGCA]: un paquete Python de código abierto para implementar simulaciones de modelos BIO-LGCA.
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Modelos estocásticos]]
[[Categoría:Biología de sistemas]]
[[Categoría:Biología matemática]]