Ver el código de «Cinemática del cuboctaedro»

El [[N-esqueleto|esqueleto]] de un [[cuboctaedro]], considerando sus aristas como barras rígidas conectadas por uniones flexibles en sus vértices pero omitiendo sus caras, carece de [[rigidez estructural]] y en consecuencia sus vértices se pueden reposicionar plegando (cambiando el ángulo diédrico) en las aristas y diagonales de las caras. La [[cinemática]] del cuboctaedro es digna de mención porque sus vértices se pueden recolocar en las posiciones de los vértices del [[icosaedro regular]], el [[icosaedro de Jessen]] y el [[octaedro]] regular, de acuerdo con la [[Icosaedro|simetría piritoédrica del icosaedro]].{{Sfn|Gunn|Sullivan|2008|loc=§3. Pyritohedral Symmetry|ps=; "El grupo de simetría 3D piritoédrico es el único grupo de puntos poliédricos que no es un grupo de rotación ni un grupo de reflexión."}}{{Sfn|Koca|Al-Mukhaini|Koca|Al Qanobi|2016|loc=4. Pyritohedral Group and Related Polyhedra|p=145|ps=; véase la Tabla 1.}}

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!colspan=5|Cuboctaedros cinemáticos
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|[[Imagen:Cuboctahedron.svg|100px]]
|[[Imagen:Icosahedron.svg|100px]]
|[[Imagen:Jessen's_icosahedron.svg|100px]]
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|[[Cuboctaedro]]
|[[Icosaedro regular]]
|[[Icosaedro de Jessen]]
|[[Octaedro]]
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|width=100|[[Diagrama de Coxeter-Dynkin|Espejos de Coxeter]]
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|[[Tetraedro|Diedros de espejos]]
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==Cuboctaedros rígidos y cinemáticos==
[[Archivo:A3-P5-P3.gif|thumb|Progresión entre un [[octaedro]], un [[icosaedro]] y un cuboctaedro. El cuboctaedro puede flexionarse de esta manera incluso si sus aristas (pero no sus caras) son rígidas]]

Cuando se interpreta como un bastidor de caras planas rígidas, conectadas en las aristas mediante bisagras, el cuboctaedro es una estructura rígida, como lo son todos los poliedros convexos, según el [[teorema de Cauchy (geometría)|teorema de Cauchy]]. Sin embargo, cuando se eliminan las caras, dejando solo barras rígidas conectadas por uniones flexibles en los vértices, el resultado no es una [[rigidez estructural|estructura rígida]] (a diferencia de los poliedros cuyas caras son todas triángulos, a los que se aplica el teorema de Cauchy a pesar de las caras faltantes).

Al agregar un vértice central, conectado por aristas rígidas a todos los demás vértices, se subdivide el cuboctaedro en pirámides de base cuadrada y tetraedros, que se encuentran en el vértice central. A diferencia del propio cuboctaedro, el sistema resultante de aristas y uniones es rígido y forma parte de la estructura de una [[malla espacial]] infinita.

==Transformaciones cíclicas del cuboctaedro==

El cuboctaedro se puede transformar cíclicamente a través de cuatro poliedros, repitiendo el ciclo sin cesar. [[Topología|Topológicamente]], la transformación se corresponde con una [[banda de Möbius]]: es un [[orientabilidad|doble recubrimiento orientable]] del octaedro.

En sus relaciones espaciales, el cuboctaedro, el icosaedro, el icosaedro de Jessen y el octaedro se anidan como ''[[matrioshka]]s'' y están relacionados por una contracción [[Hélice (geometría)|helicoidal]]. {{refn|Un [[Hexacosicoron|caso estático del anidamiento]] de estos poliedros es el [[hexacosicoron]], un 4-politopo regular.}} La contracción {{refn|El radio del cuboctaedro es {{raíz|2}} veces el radio del octaedro.}} comienza con las caras cuadradas del cuboctaedro doblándose hacia adentro según sus diagonales para formar pares de triángulos. {{refn|Debe notarse que la contracción es [[quiralidad|quiral]], ya que hay dos opciones de diagonal sobre las que comenzar a doblar las caras cuadradas. La animación roja y amarilla de este artículo recorre sin cesar la misma forma quiral de la transformación del cuboctaedro de aristas rígidas. Podría (pero no lo hace) recorrer ambas formas quirales de la transformación alternativamente, partiendo del cuboctaedro doblando el conjunto opuesto de diagonales de caras cuadradas cada vez. Esto llevaría a recorrer una [[banda de Möbius]] topológica cada vez que atravesara "ambas" formas quirales. Pero en cambio, se invierte en los casos límite (cuboctaedro y octaedro), y se mueve sin cesar hacia adelante y hacia atrás a lo largo de la misma mitad del bucle de la banda de Möbius, sin recorrer la otra mitad. Obsérvese atentamente la animación en azul y blanco, y cuestiónese si se puede saber si está haciendo lo mismo o si está realizando toda la transformación del cuboctaedro de aristas rígidas.}} Los 12 vértices del cuboctaedro giran en espiral hacia adentro (hacia el centro) y se acercan hasta llegar a los puntos donde forman un icosaedro regular; se acercan ligeramente hasta formar un [[icosaedro de Jessen]]; y continúan girando en espiral uno hacia el otro hasta coincidir en pares como los 6 vértices del octaedro.{{Sfn|Coxeter|1973|pp=50-52|loc=§3.7: "Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids"|ps= describe la transformación del cuboctaedro en el espacio tridimensional euclídeo; por separado (pp = 150-152, §8 Truncamientos) Coxeter también describe su análogo de 4 dimensiones, en el que el cuboctaedro se transforma en el espacio tridimensional curvo de una [[3-esfera]] embebida en el [[Cuarta dimensión|4-espacio euclideo]]. Esta cinemática se encuentra más allá del alcance de este artículo, excepto para señalar que incluye una etapa adicional de la transformación del cuboctaedro (que no se alcanza en las transformaciones de icosaedro de tensegridad descritas en este artículo): desde el octaedro los vértices continúan moviéndose en la misma línea helicoidal, separándose nuevamente en los 12 vértices del [[icosaedro regular|octaedro romo]] (un icosaedro regular más pequeño anidado dentro del octaedro).}}

La transformación general del cuboctaedro se puede parametrizar en un continuo de transformaciones de casos especiales con dos casos límite: uno en el que las aristas del cuboctaedro son rígidas y otro en el que son elásticas.

==Transformación de aristas rígidas==
[[Archivo:Jitterbug pausing at jessen form.gif|thumb|Transformación continua entre el cuboctaedro y el octaedro haciendo una pausa en la posición del vértice del icosaedro regular. La posición del vértice del icosaedro de Jessen se encuentra entre el icosaedro regular y el octaedro (pero la animación no se detiene allí). Esta es una animación de la transformación del cuboctaedro de aristas rígidas, "no" de la transformación de aristas elásticas: no ilustra en absoluto las aristas largas del icosaedro de Jessen, y las aristas cortas no se alargan (como deberían hacerlo en un 15% en las posiciones límite del cuboctaedro y del octaedro de la transformación de aristas elásticas); en cambio, las aristas largas (invisibles) se acortan en un 15% en las posiciones límite (en la transformación de aristas elásticas son rígidos). El paso por el punto del icosaedro de Jessen (importante en la transformación de aristas elásticas porque las aristas cortas alcanzan su tamaño mínimo y comienzan a alargarse nuevamente) no es visible en absoluto. La contracción helicoidal del cuboctaedro en poliedros de radios sucesivamente más pequeños es visible tal como ocurre en la transformación del cuboctaedro de aristas rígidas (y en la transformación de aristas elásticas sería bastante similar)]]

La '''transformación del cuboctaedro de aristas rígidas''' transforma simétricamente el cuboctaedro en un [[icosaedro regular]], un [[icosaedro de Jessen]] y un [[octaedro]] regular, en el sentido de que los vértices del poliedro adoptan sucesivamente las posiciones de los vértices de esos poliedros.

El cuboctaedro en realidad no "se convierte" en esos otros poliedros, y no pueden transformarse entre sí (si tienen aristas rígidas), porque a diferencia del cuboctaedro, "sí" tienen [[rigidez estructural]] como consecuencia de tener solo caras triangulares.

En lo que el cuboctaedro con aristas rígidos realmente puede transformarse (y a través de) es en un icosaedro regular al que le faltan 6 aristas (un [[icosaedro|pseudoicosaedro]]),{{Sfn|Koca|Al-Mukhaini|Koca|Al Qanobi|2016|loc=4.1 Construction of the vertices of the pseudoicosahedron}} un icosaedro de Jessen al que le faltan las 6 aristas reflejadas o son elásticas, {{refn|Las aristas largas reflejadas del icosaedro de Jessen tienen una longitud de 4''d'', donde ''d'' es su distancia media entre la arista y el centro. En la transformación del cuboctaedro de aristas rígidas, la longitud de las aristas rígidas es {{raíz|6}}''d'', y los cuerdas de las aristas reflejadas se acortan de 4''d'' a 2{{raíz|3}}''d'' tanto en el límite del cuboctaedro (donde son las diagonales de las caras cuadradas) como en el límite del octaedro regular (donde son el diámetro largo).}} y un [[Orientabilidad|doble recubrimiento]] del octaedro que tiene ''dos'' aristas rígidas coincidentes que conectan cada par de vértices (formado haciendo coincidir pares de vértices del cuboctaedro).

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!colspan=5|Cuboctaedros cinemáticos de aristas rígidas
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|[[Imagen:Cuboctahedron.svg|100px]]
|[[Imagen:Icosahedron.svg|100px]]
|[[Imagen:Jessen's_icosahedron.svg|100px]]
|[[Imagen:Octahedron.svg|100px]]
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|[[Cuboctaedro]]
|[[Icosaedro regular]]
|[[Icosaedro de Jessen]]
|[[Octaedro]]
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|Arista
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|style="white-space: nowrap;"|Radio de la cuerda
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|<small><math>\sqrt{3} \approx 1.732</math></small>
|}

==Transformación de aristas elásticas==
Existe un poliedro [[tensegridad|tensible]] que encarna y aplica la estrechamente relacionada '''transformación cuboctaedro de aristas elásticas'''. El [[Tensegridad|icosaedro tensible]] posee una rigidez estructural dinámica denominada ''movilidad infinitesimal'', de manera que ''sólo'' puede deformarse en poliedros simétricos en ese espectro de cuboctaedro a octaedro.{{Sfn|Kenner|1976|loc=§2. Spherical tensegrities|pp=11-19}} Se llama icosaedro tensible porque su forma estable mediana es el icosaedro de Jessen.

{{Clear|left}}
[[Archivo:Jessen's icosahedron with dimensions.png|thumb|left|400px|[[Icosaedro de Jessen]]. Todos los ángulos diédricos miden 90°. Los vértices del cubo inscrito son los centros de las caras del triángulo equilátero. El poliedro es una construcción con las longitudes {{raíz|1}} {{raíz|2}} {{raíz|3}} {{raíz|4}} {{raíz|5}} {{raíz|6}} y los ángulos {{sfrac|𝝅|2}} {{sfrac|𝝅|3}} {{sfrac|𝝅|4}}]]

Aunque la transformación se describe anteriormente como una contracción del cuboctaedro, el punto de equilibrio estable de la tensegridad es el icosaedro de Jessen;{{Sfn|Fuller|1975|loc=cuboctahedron as vector equilibrium, a completely unstable condition|ps=; como [[Richard Buckminster Fuller]] fue el primero en darse cuenta, el cuboctaedro es el punto de equilibrio antípoda "inestable" del ciclo. En ese punto, como en el [[Entrada en pérdida|punto de entrada en pérdida]] de un avión, pueden ocurrir múltiples cinemáticas: el poliedro puede salir del cuboctaedro en cualquier dirección en el [[Orientabilidad|ciclo]], plegándose en cualquier conjunto de diagonales cuadradas para seleccionar cualquiera de los dos subciclos [[quiralidad|quirales]] (conectados en una sola [[banda de Möbius]]). En una estructura de tensegridad real, este [[Algoritmo no determinista|elección no determinista]] no se produce, a menudo porque la posición límite del cuboctaedro nunca se alcanza; incluso cuando lo es, la estructura está limitada por las barras a una forma quiral.}} el icosaedro de la tensegridad ''se resiste'' a ser deformado de esta forma y solo puede ser forzado a expandirse o contraerse en la medida en que sus aristas son elásticas (capaces de alargarse bajo tensión). Forzar al poliedro a salir de su forma de reposo estable (en cualquier dirección) implica estirar sus 24 aristas cortos ligeramente y por igual. {{refn|El [[icosaedro de Jessen]] tiene sólo 8 de las 20 caras con forma de triángulo equilátero del icosaedro regular y 24 de sus 30 aristas, pero también tiene 12 caras con forma de triángulo isósceles que se encuentran en pares en 6 aristas más largas (sus "aristas reflejadas" que se encuentran en canales cóncavos). Las 6 aristas largas ocurren como 3 pares ortogonales de aristas paralelas en lados opuestos del poliedro, y en su estado de reposo cada par paralelo está exactamente tan alejado como la mitad de su longitud; cada arista larga en reposo se encuentra a 1/4 de su longitud desde el centro, definido como el '''radio corto unitario''' (por lo que la longitud de la arista larga es 4 y su distancia en reposo es 2). En estado de reposo, la longitud de la arista corta es {{raíz|6}} ≈ 2,449 y el radio largo (centro a vértice) es de {{raíz|5}} ≈ 2,236. La altura de los triángulos isósceles en reposo es {{raíz|2}} ≈ 1,414, y el radio largo del poliedro se expande por el ''producto'' de {{raíz|2}}: en la transformación de aristas elásticas desde 2 en el límite de contracción del octaedro a 2{{raíz|2}} en el límite de expansión del cuboctaedro, donde su radio es también la longitud de su arista (por ser un [[cuboctaedro]]).}} La fuerza aplicada a cualquier par de aristas largas paralelas, para acercarlas o alejarlas, se transfiere automáticamente para estirar "todas" las aristas cortas de manera uniforme, {{refn|La fuerza coloca las aristas largas bajo carga de compresión como si fueran [[Columna (arquitectura)|columnas]], no bajo tracción como las aristas cortas. A diferencia de las aristas cortas elásticas que se estiran y alargan ligeramente, las aritas largas deben resistir perfectamente la compresión y no acortarse.}} encoge el poliedro desde su icosaedro de Jessen de tamaño mediano hacia el octaedro más pequeño, o expandiéndolo hacia el icosaedro regular más grande y el cuboctaedro aún más grande, respectivamente.{{refn|Forzar cualquier par de aristas largas paralelas a separarse ligeramente "expande" el poliedro, forzando a los 3 pares a separarse de manera similar hasta que se convierten en cuerdas del icosaedro regular, en cuyo punto las aristas cortas de longitud {{raíz|6}} ≈ 2.449 se han estirado solo ~1% hasta una longitud de <small>{{sfrac|4|ϕ}}</small> ≈ 2,472. Si las aristas cortas son lo suficientemente elásticas como para poder estirarse ~15% hasta 2{{raíz|2}} ≈ 2.828, las aristas largas se convertirán en las diagonales de las caras cuadradas del cuboctaedro (en el límite de expansión).}} Al liberar la fuerza, el poliedro vuelve a su forma de reposo, que corresponde al icosaedro de Jessen.{{refn|Forzar cualquier par de aristas largas paralelas entre sí "contrae" el poliedro, forzando a los 3 pares entre sí de manera similar hasta que coincidan y se conviertan en los 3 ejes ortogonales del octaedro regular. En ese punto (el límite de contracción) las aristas cortas que miden {{raíz|6}} ≈ 2.449 también se han estirado (¡no contraído!) hasta su longitud límite de 2{{raíz|2}} ≈ 2.828, y entonces coinciden en pares con las 12 aristas del octaedro regular.}}

En la transformación de aristas elásticas, las aristas del cuboctaedro no son rígidas (aunque las 6 aristas largas del icosaedro de Jessen sí lo son).{{refn|Los vértices del icosaedro regular forman cinco conjuntos de tres elementos concéntricos, mutuamente [[ortogonalidad (matemática)|ortogonales]] y con forma de [[rectángulo dorado|rectángulo áureo]], cuyas aristas forman el [[nudo borromeo]]. En un icosaedro de Jessen de radio corto unitario, un conjunto de estos tres rectángulos (el conjunto en el que las aristas largas del icosaedro de Jessen son los lados largos de los rectángulos) mide <math>2\times 4</math>. Estos tres rectángulos son la representación más corta posible de los anillos borromeos utilizando solo los lados de un [[retículo entero]].<ref name=lattice>{{citation
|last1= Uberti|first1= R.
|last2= Janse van Rensburg|first2= E. J.
|last3= Orlandini|first3= E.
|last4= Tesi|first4= M. C.
|last5= Whittington|first5= S. G.
|editor1-last= Whittington|editor1-first= Stuart G.
|editor2-last= Sumners|editor2-first= Witt De
|editor3-last= Lodge|editor3-first= Timothy
|contribution= Minimal links in the cubic lattice
|doi= 10.1007/978-1-4612-1712-1_9
|location= New York
|mr= 1655039
|pages= 89–100
|publisher= Springer
|series= IMA Volumes in Mathematics and its Applications
|title= Topology and Geometry in Polymer Science
|volume= 103
|year= 1998}}; see Table 2, p. 97</ref>}} En lo que realmente se transforma el cuboctaedro es en un icosaedro regular de radio más corto y longitud de arista más corta, un icosaedro de Jessen de radio aún más corto y longitud de arista también más corta (mínima), y finalmente, en un octaedro de radio aún más corto pero la misma longitud de arista (máxima) que el cuboctaedro (pero solo después de que las aristas se hayan acortado y alargado nuevamente, y se hayan unido en pares coincidentes).

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!colspan=5|Cuboctaedros cinemáticos de aristas elásticas
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|[[Cuboctaedro]]
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|<small><math>\sqrt{5} \approx 2.236</math></small>
|<small><math>2</math></small>
|}

==Dualidad de las transformaciones de aristas rígidas y de aristas elásticas==
Las transformaciones del cuboctaedro de aristas rígidas y de aristas elásticas difieren solo en tener parámetros recíprocos: en la transformación de aristas elásticas las aristas cortas del icosaedro de Jessen se estiran y sus aristas largas son rígidas, y en la transformación de aristas rígidas sus aristas largas se comprimen y sus aristas cortas son rígidas. Todo lo que aparece en las descripciones anteriores, excepto las métricas, se aplica a "todas" las transformaciones del cuboctaedro. En particular, los vértices siempre se mueven en hélices hacia el centro a medida que el cuboctaedro se transforma en octaedro,{{refn|Verheyen|1989|p=203|ps=; "Como observó Clinton en su artículo sobre la expansión de estructuras rígidas,<ref>{{Cite book|last=Clinton|first=J.D.|year=1971|title=NASA Report: Advanced structural geometry studies, Part 2|chapter=A geometric transformation concept for expanding rigid structures|volume=CR-1735|publisher=Southern Ill. Univ.|place=Washington, D.C.}}</ref> cada triángulo está sujeto a una traslación-rotación a lo largo de su eje de simetría. Partiendo de la posición en el octaedro, estos ejes son los cuatro ejes de simetría triangular del octaedro. Al describir cilindros alrededor de los triángulos a lo largo de los ejes, cada vértice común a dos triángulos se mueve a lo largo de la curva [[Hélice (geometría)|[helicoidal]]] de intersección de los dos cilindros."}}{{Sfn|Itoh|Nara|2021|p=13|loc=§4. From the 24-cell onto an octahedron; "Lemma 4.2|ps=. ''Hay un movimiento continuo de Q (el cuboctaedro sin caras cuadradas) que se muestra en la Fig. 5a sobre el octaedro W<sup>0</sup> que satisface las siguientes condiciones para cada cara F de Q, considerando F= 𝚫a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>a<sub>3</sub>.'' (1) ''F se gira y se mueve hacia lo largo de la línea l que une los centroides de F y 𝚫v<sub>1</sub>v<sub>2</sub>v<sub>3</sub>.'' (2) ''F siempre toca el cilindro T(F), es decir, F es siempre ortogonal a l.''"}} y el icosaedro de Jessen (con ángulos diédricos de 90°) es siempre el punto medio, estable en la medida en que hay resistencia al estiramiento o a la compresión.{{Sfn|Kenner|1976|p=14|loc=Equilibrium}}

La transformación del cuboctaedro de aristas elásticas generalmente se da como la matemática de [[Tensegridad|icosaedro de tensegridad]]{{Sfn|Kenner|1976|pp=16-17|loc=Elasticity Multiplication}} porque es la que más se acerca a modelar cómo se comportan la mayoría de las estructuras de icosaedros de tensegridad reales. Sin embargo, también es cierto que se podría construir un icosaedro de tensegridad en el que las aristas cortas (cables) fueran perfectamente inelásticas y las aristas largas (barras) fueran resortes comprimibles. Tal tensegridad realizaría la transformación del cuboctaedro de aristas rígidas.

Finalmente, ambas transformaciones son abstracciones puras, los dos casos límite de una familia infinita de transformaciones del cuboctaedro en las que hay dos parámetros de elasticidad y no se requiere que uno de ellos sea 0. Ninguno de los casos límite se aplica perfectamente a la mayoría de las estructuras de tensegridad reales, que suelen tener cierta elasticidad tanto en los cables como en las barras, dando a su comportamiento real unas métricas que no son triviales de calcular.{{Sfn|Kenner|1976|p=12|loc=Equilibrium}} En la práctica de la ingeniería, solo se requiere una pequeña cantidad de elasticidad para permitir un grado significativo de movimiento, por lo que la mayoría de las estructuras de tensegridad se construyen para ser como "parches de tambor" utilizando barras y cables casi inelásticos. Una '''transformación de icosaedro de tensegridad''' es una transformación del cuboctaedro cinemático con pequeños parámetros de elasticidad recíprocos.

==Transformaciones ''espasmódicas''==
Las transformaciones que implican retorcer las figuras de forma expansiva-contractiva entre estos poliedros fueron denominadas [[Sinergética (Fuller)|transformaciones ''espasmódicas'']] (''"jitterbug transformations"'' en inglés) por [[Richard Buckminster Fuller]], quien no dio ninguna descripción matemática del fenómeno{{Sfn|Verheyen|1989}}{{Sfn|Itoh|Nara|2021|loc=Abstract|ps=; "Este artículo aborda el [[icositetracoron]] y proporciona un movimiento de aplanamiento continuo para su esqueleto doble [el cuboctaedro], que está relacionado con el ''jitterbug'' de Buckminster Fuller."}} al igual que muchos otros grandes geómetras con anterioridad (como por ejemplo, [[Alicia Boole Stott]]). Pero fue el primero en resaltar la importancia de la [[Cuboctaedro|simetría radial equilátera]] del cuboctaedro, figura que aplicó estructuralmente (y patentó) como [[malla espacial]], intuyendo que juega un papel fundamental no solo en los procesos de [[fallo estructural]], sino también en las relaciones dimensionales entre [[politopo]]s. Descubrió la transformación cinemática del cuboctaedro, comprendió su relación con el icosaedro de tensegridad e incluso hizo demostraciones de la transformación del cuboctaedro de aristas rígidas ante el público (en los días anteriores a las animaciones renderizadas por computadora). Su demostración con comentarios sobre el "equilibrio vectorial", {{Sfn|Fuller|1975|loc=Fuller dobla cuidadosamente un modelo del cuboctaedro hecho de puntales rígidos con uniones flexibles durante todo el ciclo de transformación de "borde rígido"|ps=; En esta película, no demuestra la transformación de ''aristas elásticas'' (que observó en el icosaedro de tensegridad), pero sí muestra cómo un icosaedro regular rígido puede rotarse dentro de un "cubo de arista vectorial" inscrito (un cubo con un octaedro inscrito en él), manteniendo en todo momento los 12 vértices en la superficie del cubo (y en las aristas del octaedro inscrito en el cubo). De hecho, Fuller podría haber rotado cualquiera de los poliedros cinemáticos en un cubo de inscripción de esta manera: todo el ciclo de transformación del cuboctaedro tiene lugar dentro de un cubo de inscripción de longitud de arista variable, con los 12 vértices siempre en la superficie del cubo.}}, como llamó al cuboctaedro, es aún mucho más esclarecedora que las animaciones de este artículo.

==Referencias==
{{listaref}}

==Bibliografía==
{{refbegin}}
*{{Cite book|last=Coxeter|first=H.S.M.|author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter|year=1973|año-original=1948|title=Regular Polytopes|publisher=Dover|place=New York|edition=3rd}}
*{{Cite web|url= https://www.youtube.com/watch?v=9sM44p385Ws|title= Vector Equilibrium|first= R. Buckminster|last= Fuller|author-link=Buckminster Fuller|year= 1975|work= Everything I Know Sessions|place= Philadelphia}}
*{{Cite book|first=Hugh|last=Kenner|title=Geodesic Math and How to Use It|publisher=University of California Press|year=1976|isbn=978-0520029248|url=https://archive.org/details/geodesicmathhowt0000kenn}}
*{{cite journal
|last= Verheyen|first= H. F.
|doi= 10.1016/0898-1221(89)90160-0|issue= 1–3
|journal= [[ Computers and Mathematics with Applications]]
|mr= 0994201
|pages= 203–250
|title= The complete set of Jitterbug transformers and the analysis of their motion
|volume= 17
|year= 1989
 }}
*{{cite journal
|last1= Itoh|first1= Jin-ichi
|last2= Nara|first2= Chie
|doi= 10.1007/s00022-021-00575-6|issue= 13
|journal= [[ Journal of Geometry]]
|title= Continuous flattening of the 2-dimensional skeleton of a regular 24-cell
|volume= 112
|year= 2021
 }}
*{{citation
|last1= Gunn|first1= Charles
|last2= Sullivan|first2= John M.|author2-link= John M. Sullivan (mathematician)
|editor1-last= Sarhangi|editor1-first= Reza
|editor2-last= Séquin|editor2-first= Carlo H.|editor2-link= Carlo H. Séquin
|contribution= The Borromean Rings: A video about the New IMU logo
|contribution-url= https://archive.bridgesmathart.org/2008/bridges2008-63.html
|isbn= 978-0-9665201-9-4
|location= London
|pages= 63–70
|publisher= Tarquin Publications
|title= Bridges Leeuwarden: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture
|year= 2008}}; vea el vídeo en "[http://torus.math.uiuc.edu/jms/Videos/imu/ Los anillos borromeos: un nuevo logotipo para la IMU] {{Wayback|url=http://torus.math.uiuc.edu/jms/Videos/imu/ |date=20210308065039 }}", ''Unión Matemática Internacional''
*{{cite journal|
last1=Koca|first1=Nazife|
last2=Al-Mukhaini|first2=Aida|
last3=Koca|first3=Mehmet|
last4=Al Qanobi|first4=Amal|
date=2016-12-01|
p=139|
title=Symmetry of the Pyritohedron and Lattices|
volume=21|
doi=10.24200/squjs.vol21iss2pp139-149|
journal=Sultan Qaboos University Journal for Science [SQUJS]}}
{{refend}}

==Enlaces externos==
*{{cite web|url=https://www.mathunion.org/outreach/imu-logo/borromean-rings|title=Borromean Rings|publisher=International Mathematical Union}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Sólidos arquimedianos]]
[[Categoría:Poliedros quasirregulares]]
[[Categoría:Arquitectura textil]]