Ver el código de «Circunferencia polar (geometría)»

[[aRCHIVO:Polar circle2.svg|thumb|450px|Circunferencia polar (en color rojo) del triángulo ABC]]

En [[geometría]], la '''circunferencia polar''' de un [[triángulo]] tiene su centro en el [[altura (triángulo)|ortocentro]] del triángulo y la longitud de su radio al cuadrado es:

: <math> \begin{align}
r^2 & = HA\times HD=HB\times HE=HC\times HF \\
& =-4R^2\cos A \cos B \cos C=4R^2-\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2),
\end{align}
</math>

donde '' A, B, C '' designan los [[Vértice (geometría)|vértices]] y los [[ángulo]]s correspondientes del triángulo, ''H''
'' es el [[ortocentro]] (la intersección de las [[Altura (triángulo)|alturas]] del triángulo), ''D'', ''E'' y ''F'' son los pies de las alturas de los vértices ''A'', ''B'', y ''C'' respectivamente, ''R ''es el radio de la [[circunferencia circunscrita]] al triángulo y ''a'', ''b'' y ''c'' son las longitudes de los lados opuestos a los vértices del triángulo ''A'', ''B'' y ''C'' respectivamente.<ref name= Johnson>Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publications, 2007 (orig. 1960).</ref>{{rp|p. 176}}

Las primeras partes de la fórmula del radio reflejan el hecho de que el ortocentro divide las alturas en pares de segmentos cuyos productos de sus longitudes son iguales. La fórmula [[Trigonometría|trigonométrica]] del radio muestra que la circunferencia polar solamente existe si el triángulo es [[Triángulos agudos y obtusos|obtuso]], por lo que uno de sus ángulos debe ser obtuso y, por lo tanto, tiene un [[función trigonométrica]] negativa.

==Propiedades==

* Cualquier par de circunferencias polares de dos triángulos en un [[sistema ortocéntrico]] son [[ortogonalidad (matemáticas)|ortogonales]] entre sí.<ref name=Johnson/>{{rp|p. 177}}
* Las circunferencias polares de los triángulos de un [[cuadrángulo completo]] forman un sistema [[Circunferencia de Apolonio|coaxial]].<ref name=Johnson/>{{rp|p. 179}}
* La circunferencia circunscrita de un triángulo, su [[circunferencia de los nueve puntos]], su circunferencia polar y la circunferencia circunscrita de su [[triángulo tangencial]] son coaxiales.<ref name=AC>Altshiller-Court, Nathan, ''College Geometry'', Dover Publications, 2007 (orig. 1952).</ref>{{rp|p. 241}}
* Existe una relación de [[inversión (geometría)|inversión]] con respecto a la circunferencia polar entre los puntos ''E, A, F'' y los puntos ''B, D, C''.

== Véase también ==
* [[Inversión (geometría)]]

==Referencias==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==
* {{MathWorld |PolarCircle|Circunferencia polar|fechaacceso=12 de junio de 2018}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Geometría del triángulo]]