Ver el código de «Coeficiente de correlación de rango de Kendall»

En [[estadística]], el '''coeficiente de correlación de rango de Kendall''', comúnmente conocido como '''coeficiente τ de Kendall''' (con la letra griega [[τ]], tau), es una [[Estadístico muestral|estadística]] utilizada para medir la [[ Asociación ordinal |asociación ordinal]] entre dos cantidades medidas. Una '''prueba τ''' es una [[Contraste de hipótesis|prueba de hipótesis]] [[Estadística no paramétrica|no paramétrica]] para la dependencia estadística basada en el coeficiente τ. 

Es una medida  de [[correlación de rango]]: la semejanza en el ordenamiento de los datos cuando se [[Ranking|clasifican en rangos]] por cada una de las cantidades. Su nombre referencia a [[Maurice Kendall]], quién lo desarrolló en 1938, aunque [[Gustav Fechner]] había propuesto una medida similar en el contexto de [[Serie temporal|series de tiempo]] en 1897.<ref>{{Cita publicación|título=A New Measure of Rank Correlation|apellidos=Kendall|nombre=M.|publicación=[[Biometrika]]|volumen=30|número=1–2|páginas=81–89|doi=10.1093/biomet/30.1-2.81|año=1938}}</ref><ref>{{Cita publicación|título=Ordinal Measures of Association|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-the-american-statistical-association_1958-12_53_284/page/814|apellidos=Kruskal|nombre=W. H.|enlaceautor=William Kruskal|publicación=[[Journal of the American Statistical Association]]|volumen=53|número=284|páginas=814–861|doi=10.2307/2281954|año=1958}}</ref>

Intuitivamente, la correlación de Kendall entre dos variables será alta cuando las observaciones tengan un [[Ranking|rango]] similar (o idéntico para una correlación de 1) (es decir, la posición relativa de las observaciones dentro de la variable: 1º, 2º, 3º, etc.) entre los dos variables, y bajo cuando las observaciones tienen un rango diferente (o completamente diferente para una correlación de -1) entre las dos variables. 

Tanto  <math>\tau</math> de Kendall y  [[Coeficiente de correlación de Spearman|<math>\rho</math>]] de [[Coeficiente de correlación de Spearman|Spearman]] pueden formularse como casos especiales de un [[ Coeficiente de correlación general |coeficiente de correlación general]]   . 

== Definición ==
Sea <math>(x_1,y_1), ..., (x_n,y_n)</math> un conjunto de observaciones de las variables aleatorias conjuntas ''X'' e ''Y'', de modo que todos los valores de ( <math>x_i</math> ) y ( <math>y_i</math> ) son únicos (los vínculos se ignoran por simplicidad). Cualquier par de observaciones <math>(x_i,y_i)</math> y <math>(x_j,y_j)</math>, dónde <math>i < j</math>, se dice que son un ''[[ Par concordante |par concordante]]'' si el orden de clasificación de <math>(x_i,x_j)</math> y ''<math>(y_i,y_j)</math>'' está de acuerdo: es decir, si ambos <math>x_i>x_j</math> e <math>y_i>y_j </math> o ambos <math>x_i<x_j</math> e <math>y_i<y_j</math> ; de lo contrario se dice que son ''discordantes'' . 

El coeficiente τ de Kendall se define como: 

: <math>\tau = \frac{(\text{número de pares concordantes}) - (\text{número de pares discordantes})}{ 
 {n \choose 2} } .</math> <ref>{{Springer|title=Kendall tau metric|id=K/k130020|first=R.B.|last=Nelsen}}</ref> 

Donde <math> {n \choose 2} = {n (n-1) \over 2} </math> es el [[coeficiente binomial]] para la cantidad de formas de elegir dos elementos de <math>n</math> elementos. 

=== Propiedades ===
El [[Fracción|denominador]] es el número total de combinaciones de pares, por lo que el coeficiente debe estar en el rango −1 &nbsp; ≤ &nbsp; ''τ'' &nbsp; ≤ &nbsp; 1) 

* Si la concordancia entre las dos clasificaciones es perfecto (es decir, son iguales) el coeficiente tiene el valor 1. 
* Si el desacuerdo entre las dos clasificaciones es perfecto (es decir, una clasificación es la inversa de la otra), el coeficiente tiene un valor −1. 
* Si ''X'' e ''Y'' son [[Independencia (probabilidad)|independientes]], entonces esperaríamos que el coeficiente sea aproximadamente cero. 
* Una expresión explícita para el coeficiente de rango de Kendall es <math>\tau= \frac{2}{n(n-1)}\sum_{i<j} \sgn(x_i-x_j)\sgn(y_i-y_j)</math> .

== Prueba de hipótesis ==
El coeficiente de rango de Kendall a menudo se usa como [[ Estadística de prueba |estadística de prueba]] en una [[Contraste de hipótesis|prueba de hipótesis estadística]] para establecer si dos variables pueden considerarse como dependientes estadísticamente. Esta prueba es [[Estadística no paramétrica|no paramétrica]], ya que no se basa en suposiciones sobre las distribuciones de ''X'' o ''Y'' o la distribución de ( ''X'', ''Y'' ). 

Bajo la [[hipótesis nula]] de independencia de ''X'' e ''Y'', la [[distribución muestral]] de ''τ'' tiene un [[Esperanza matemática|valor esperado]] de cero. La distribución precisa no puede caracterizarse en términos de distribuciones comunes, pero puede calcularse exactamente para muestras pequeñas; para muestras más grandes, es común usar una aproximación a la [[distribución normal]], con media cero y varianza: 

: <math>\frac{2(2n+5)}{9n (n-1)}</math> .<ref>{{Springer|title=Kendall coefficient of rank correlation|id=K/k055200|first=A.V.|last=Prokhorov}}</ref> 

== Contabilidad de empates ==
Un par <math>\{(x_i,y_i), (x_j,y_j)\}</math> se dice que está empatado si <math>x_i=x_j</math> o <math>y_i=y_j</math> ; un par empatado no es ni concordante ni discordante. Cuando surgen pares vinculados en los datos, el coeficiente puede modificarse de varias maneras para mantenerlo en el rango [−1, &nbsp; 1]: 

=== Tau-a ===
La prueba estadística Tau indica la [[Razón de momios|fuerza de asociación]] de las [[Tabla de contingencia|tabulaciones cruzadas]]. Ambas variables tienen que ser [[Nivel de medida|ordinales]]. Tau-a no hará ningún ajuste ante empates. Se define como: 

: <math>\tau_A = \frac{n_c-n_d}{n_0}</math>

donde ''n''<sub>''c''</sub>, ''n''<sub>''d''</sub> y ''n''<sub>''0''</sub> se definen como en la siguiente sección. 

=== Tau-b ===
La estadística Tau-b, a diferencia de Tau-a, hace ajustes ante empates.<ref>{{Cita libro|apellidos=Agresti|nombre=A.|año=2010|título=Analysis of Ordinal Categorical Data|edición=Second|ubicación=New York|editorial=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-08289-8}}</ref> Los valores de Tau-b varían de −1 (asociación negativa al 100% o inversión perfecta) a +1 (asociación positiva al 100% o acuerdo perfecto). Un valor de cero indica la ausencia de asociación. 

El coeficiente Kendall Tau-b se define como: 

: <math>\tau_B = \frac{n_c-n_d}{\sqrt{(n_0-n_1)(n_0-n_2)}}</math>

dónde 

: <math>
\begin{align}
n_0 & = n(n-1)/2\\
n_1 & = \sum_i t_i (t_i-1)/2 \\
n_2 & = \sum_j u_j (u_j-1)/2 \\
n_c & = \text{Número de pares concordantes} \\
n_d & = \text{Número de pares discordantes} \\
t_i & = \text{Número de valores empatados en el } i \text{-ésimo grupo de empates para la primera cantidad} \\
u_j & = \text{Número de valores empatados en el } j \text{-ésimo grupo de empates para la segunda cantidad}
\end{align}
</math>

Tenga en cuenta que algunos software estadísticos, por ejemplo SPSS, utilizan fórmulas alternativas por eficiencia computacional, con el doble del número 'habitual' de pares concordantes y discordantes.<ref name="IBM">{{Cita libro|apellidos=IBM|título=IBM SPSS Statistics 24 Algorithms|fecha=2016|editorial=IBM|página=168|url=http://www-01.ibm.com/support/docview.wss?uid=swg27047033#en|fechaacceso=31 de agosto de 2017}}</ref>

=== Tau-c ===
Tau-c (también llamado Stuart-Kendall Tau-c)<ref name="Berry">{{Cita publicación|título=Stuart's tau measure of effect size for ordinal variables: Some methodological considerations|url=https://archive.org/details/sim_behavior-research-methods_2009-11_41_4/page/1144|apellidos=Berry|nombre=K. J.|apellidos2=Johnston|nombre2=J. E.|publicación=Behavior Research Methods|volumen=41|número=4|páginas=1144–1148|doi=10.3758/brm.41.4.1144|pmid=19897822|apellidos3=Zahran|nombre3=S.|apellidos4=Mielke|nombre4=P. W.|año=2009}}</ref> es más adecuado que Tau-b para el [[análisis de datos]] basados en [[Tabla de contingencia|tablas de contingencia]] no cuadradas (es decir, rectangulares).<ref name="Stuart">{{Cita publicación|título=The Estimation and Comparison of Strengths of Association in Contingency Tables|apellidos=Stuart|nombre=A.|publicación=[[Biometrika]]|volumen=40|número=1–2|páginas=105–110|doi=10.2307/2333101|año=1953}}</ref> Por lo tanto, use Tau-b si la escala subyacente de ambas variables tiene el mismo número de valores posibles (antes de la clasificación) y Tau-c si difieren. Por ejemplo, una variable podría puntuarse en una escala de 5 puntos (muy buena, buena, promedio, mala, muy mala), mientras que la otra podría basarse en una escala más fina de 10 puntos. 

El coeficiente Kendall Tau-c se define como:<ref name="Stuart">{{Cita publicación|título=The Estimation and Comparison of Strengths of Association in Contingency Tables|apellidos=Stuart|nombre=A.|publicación=[[Biometrika]]|volumen=40|número=1–2|páginas=105–110|doi=10.2307/2333101|año=1953}}</ref> 

: <math>\tau_C = \frac{2 (n_c-n_d)}{n^2 \frac{(m-1)}{m}}</math>

dónde 

: <math>
\begin{align}
n_c & = \text{Número de pares concordantes} \\
n_d & = \text{Número de pares discordantes} \\
r & = \text{Número de filas} \\
c & = \text{Número de columnas} \\
m & = \min(r, c)
\end{align}
</math>

== Pruebas de significancia ==
Cuando dos cantidades son estadísticamente independientes, la distribución de <math>\tau</math> no es fácilmente caracterizable en términos de distribuciones conocidas. Sin embargo, para <math>\tau_A</math> la siguiente estadística, <math>z_A</math>, se distribuye aproximadamente como un estándar normal cuando las variables son estadísticamente independientes: 

: <math>z_A = {3 (n_c - n_d) \over \sqrt{n(n-1)(2n+5)/2} }</math>

Por lo tanto, para probar si dos variables son estadísticamente dependientes, uno calcula <math>z_A</math> y encuentra la probabilidad acumulativa de una distribución normal estándar en <math>-|z_A|</math> . Para una prueba de 2 colas, multiplique ese número por dos para obtener el valor ''p'' . Si el valor ''p'' está por debajo de un nivel de significancia dado, uno rechaza la hipótesis nula (en ese nivel de significancia) de que las cantidades son estadísticamente independientes. 

Se deben agregar numerosos ajustes a <math>z_A</math> al contabilizar los empates. La siguiente estadística, <math>z_B</math>, tiene la misma distribución que la distribución <math>\tau_B</math>, y nuevamente es aproximadamente igual a una distribución normal estándar cuando las cantidades son estadísticamente independientes: 

: <math>z_B = {n_c - n_d \over \sqrt{ v } }</math>

dónde 

: <math>\begin{array}{ccl}
v & = & (v_0 - v_t - v_u)/18 + v_1 + v_2 \\
v_0 & = & n (n-1) (2n+5) \\
v_t & = & \sum_i t_i (t_i-1) (2 t_i+5)\\
v_u & = & \sum_j u_j (u_j-1)(2 u_j+5) \\
v_1 & = & \sum_i t_i (t_i-1) \sum_j u_j (u_j-1) / (2n(n-1)) \\
v_2 & = & \sum_i t_i (t_i-1) (t_i-2) \sum_j u_j (u_j-1) (u_j-2) / (9 n (n-1) (n-2))
\end{array}
</math>

Esto a veces se conoce como la prueba de Mann-Kendall.<ref>{{Cita web|url=https://stats.stackexchange.com/questions/414038/relationship-between-mann-kendall-and-kendall-tau-b|título=Relationship between Mann-Kendall and Kendall Tau-b|autor=Glen_b}}</ref> 

== Algoritmos ==
El cálculo directo del numerador. <math>n_c - n_d</math>, implica dos iteraciones anidadas, caracterizadas por el siguiente [[pseudocódigo]]: 
 numerador := 0
 '''for''' i := 2..N '''do'''
   '''for''' j := 1..(i - 1) '''do'''
     numerador := numerador + signo(x[i] - x[j]) × signo(y[i] - y[j])
 '''return''' numerador
Aunque es rápido de implementar, este algoritmo es <math>O(n^2)</math> en complejidad y se vuelve muy lento en muestras grandes. Se puede usar un algoritmo más sofisticado<ref>{{Cita publicación|título=A Computer Method for Calculating Kendall's Tau with Ungrouped Data|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-the-american-statistical-association_1966-06_61_314/page/436|apellidos=Knight|nombre=W.|publicación=[[Journal of the American Statistical Association]]|volumen=61|número=314|páginas=436–439|doi=10.2307/2282833|año=1966}}</ref> construido sobre el algoritmo [[Ordenamiento por mezcla|Merge Sort]] para calcular el numerador en tiempo <math>O(n \cdot \log{n})</math>. 

Comience ordenando sus puntos de datos por la primera cantidad, <math>x</math> y secundariamente (entre empates en <math>x</math> ) por la segunda cantidad, <math>y</math>. Con este ordenamiento inicial <math>y</math> no está ordenado, y el núcleo del algoritmo consiste en calcular cuántos pasos tomaría una [[Ordenamiento de burbuja|Bubble Sort]] para ordenar esta <math>y</math> inicial. Un algoritmo mejorado de [[Ordenamiento por mezcla|clasificación por mezcla]], con complejidad <math>O(n \log n)</math>, se puede aplicar para calcular el número de intercambios, <math>S(y)</math>, eso sería requerido por un [[Ordenamiento de burbuja|Bubble Sort]] para ordenar <math>y_i</math> . Entonces el numerador para <math>\tau</math> se calcula como: 

: <math>n_c-n_d = n_0 - n_1 - n_2 + n_3 - 2 S(y),</math>

dónde <math>n_3</math> se calcula como <math>n_1</math> y <math>n_2</math>, pero con respecto a los empates conjuntos en <math>x</math> y <math>y</math> . 

Un [[ordenamiento por mezcla]] divide los datos que se ordenarán <math>y</math> en dos mitades aproximadamente iguales <math>y_\mathrm{izq}</math> y <math>y_\mathrm{der}</math>, ordena cada mitad recursivamente y luego combina las dos mitades ordenadas en un vector completamente ordenado. El número de intercambios de  [[Ordenamiento de burbuja|Bubble Sort]] es igual a: 

: <math>S(y) = S(y_\mathrm{izq}) + S(y_\mathrm{der}) + M(Y_\mathrm{izq},Y_\mathrm{der})</math>

dónde <math>Y_\mathrm{izq}</math> y <math>Y_\mathrm{der}</math> son las versiones ordenadas de <math>y_\mathrm{izq}</math> y <math>y_\mathrm{der}</math> y <math>M(\cdot,\cdot)</math> caracteriza el [[Ordenamiento de burbuja|Bubble Sort]] swap-equivalente para una operación de fusión. <math>M(\cdot,\cdot)</math> se calcula como se muestra en el siguiente pseudocódigo: 
  '''function''' M(L[1..n], R[1..m]) is
   i := 1
   j := 1
   nSwaps := 0
   '''while''' i ≤ n '''and''' j ≤ m '''do'''
     if R[j] < L[i] '''then'''
       nSwaps := nSwaps + n - i + 1
       j := j + 1
     '''else'''
       i := i + 1
   '''return''' nSwaps 
Un efecto secundario de los pasos anteriores es que uno termina con una versión ordenada de <math>x</math> y una versión ordenada de <math>y</math> . Con esto, los factores <math>t_i</math> y <math>u_j</math> usados para calcular <math>\tau_B</math> se obtienen fácilmente en un solo paso de tiempo lineal a través de las matrices ordenadas. 

== Implementaciones de software ==

* El paquete base de estadísticas de [[R (lenguaje de programación)|R]] implementa la prueba [http://stat.ethz.ch/R-manual/R-patched/library/stats/html/cor.test.html <code>cor.test(x, y, method = "kendall")</code>] en su paquete "stats" (también <code>cor(x, y, method = "kendall")</code> funcionará, pero sin volver el valor p). 
* Para [[Python]], la biblioteca [[SciPy]] implementa el cálculo de <math>\tau</math> en [https://web.archive.org/web/20181008171919/https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.kendalltau.html <code>scipy.stats.kendalltau</code>] 

== Véase también ==

* [[Correlación]] 
* [[Coeficiente de correlación de Spearman|Coeficiente de correlación de rango de Spearman]] 
* [[Prueba U de Mann-Whitney]] : es equivalente al coeficiente de correlación tau de Kendall si una de las variables es binaria. 

== Referencias ==
{{Listaref}}

== Otras lecturas ==

* {{Cita libro|apellidos=Abdi|nombre=H.|capítulo=Kendall rank correlation|nombre-editor=N.J.|editor=Salkind|título=Encyclopedia of Measurement and Statistics|ubicación=Thousand Oaks (CA)|editorial=Sage|año=2007}}
* {{Cita libro|apellidos=Daniel|nombre=Wayne W.|capítulo=Kendall's tau|título=Applied Nonparametric Statistics|ubicación=Boston|editorial=PWS-Kent|edición=2nd|año=1990|isbn=978-0-534-91976-4|páginas=365–377|chapterurl=https://books.google.com/books?id=0hPvAAAAMAAJ&pg=PA365}}
* {{Cita libro|apellidos=Kendall|nombre=Maurice|apellidos2=Gibbons|nombre2=Jean Dickinson|enlaceautor2=Jean D. Gibbons|año=1990|título=Rank Correlation Methods|serie=Charles Griffin Book Series|edición=5th|ubicación=Oxford|editorial=Oxford University Press|isbn=978-0195208375|url=https://archive.org/details/rankcorrelationm0000kend}}
* {{Cita publicación|título=Sample size requirements for estimating Pearson, Kendall, and Spearman correlations|url=https://archive.org/details/sim_psychometrika_2000-03_65_1/page/23|apellidos=Bonett|nombre=Douglas G.|apellidos2=Wright|nombre2=Thomas A.|publicación=[[Psychometrika]]|volumen=65|número=1|páginas=23–28|doi=10.1007/BF02294183|año=2000}}

== Enlaces externos ==

* [http://www.statsdirect.com/help/nonparametric_methods/kend.htm Cálculo de rango con empates]  
* [http://law.di.unimi.it/software/law-docs/it/unimi/dsi/law/stat/KendallTau.html Software para calcular el tau de Kendall en conjuntos de datos muy grandes] 
* [http://www.wessa.net/rwasp_kendall.wasp Software en línea: calcula la correlación de rango tau de Kendall] 
* [http://technology.msb.edu/old/training/statistics/sas/books/pguide/zompmeth.htm El procedimiento CORR: cálculos estadísticos - McDonough School of Business] 
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Estadística no paramétrica]]
[[Categoría:Covarianza y correlación]]
[[Categoría:Wikipedia:Páginas con traducciones sin revisar]]