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{{Ficha de libro
|Autor                                          = 
|Acotaciones al autor                           =
|Imagen                                         = Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg
|Pie de imagen                                  = Primera página de ''Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala''.
|Tamaño de imagen                               = 
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|Idioma original =                                |Título = Compendio de cálculo por reintegración y comparación
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<!--Datos de la primera edición en español-->
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| Año del libro que le precede en la cronología = 
| Libro que le sigue en la cronología           = 
| Año del libro que le sigue en la cronología   = 
}}
El '''''Compendio de cálculo por reintegración y comparación'''''<ref>En francés: ''Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison'', título admitido por la «mayoría de los especialistas» según A. Djebbar, cf. [https://archive.today/20130107115148/http://www.univ-irem.fr/commissions/epistemologie/ressouces/ress.ext/grands%20textes/alkhwarismi.htm IREM].<br />En inglés: ''The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing''.<br />Véase también ''Las matemáticas en el Islam medieval'', en español, citado en la bibliografía.</ref> (del [[Idioma árabe|árabe]]: '''الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة''', ''al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala'')<ref>También abreviado: ''Hisab al-jabr w’al-muqabala'', '' Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala'', entre otras transliteraciones.</ref> es un libro histórico de matemáticas escrito en [[Idioma árabe|árabe]] entre 813 y 833&nbsp;d.&nbsp;C. por el matemático y astrónomo persa [[Al-Juarismi]], perteneciente a la [[Casa de la sabiduría]] de [[Bagdad]], capital del [[califato abasí]] en ese tiempo. 

En esta obra, Al-Juarismi expone los cimientos del [[álgebra]], siendo el primero en estudiar sistemáticamente la [[resolución de ecuaciones]] de [[Ecuación de primer grado|primer]] y [[Ecuación de segundo grado|segundo]] grado. La palabra ''álgebra'' se deriva de una de las operaciones básicas con ecuaciones (''al-ğabr'') descritas en este libro.

== Relevancia y análisis ==
Puesto que no se cita a ningún autor anterior, no es claro qué trabajos previos fueron usados por Al-Juarismi. Los historiadores de las matemáticas se pronuncian basados en el análisis textual del libro así como en el cuerpo de conocimientos general del mundo musulmán contemporáneo. Más certeras son las conexiones con la [[matemática india]], dado que Al-Juarismi es autor de otro libro titulado ''Kitāb al-Jamʿ wa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind'', literalmente: "El libro de adición y sustracción según el cálculo indio", en el que discute el [[Números arábigos|sistema de numeración indo-arábigo]].

El libro es un compendio y una extensión de las reglas conocidas de resolución de [[Ecuación cuadrática|ecuaciones cuadráticas]] y otros problemas. Fue introducido en el Mundo Occidental gracias a la traducción al latín de [[Robert de Chester]] (a mediados del {{siglo|XII||s}}) titulada ''Liber algebrae et almucabola'',<ref name=Algebra>{{cita libro  | apellido = Robert of Chester  | nombre =   | enlaceautor =   | coautores =   | título = Algebra of al-Khowarizmi  | url = http://library.albany.edu/preservation/brittle_bks/khuwarizmi_robertofchester/  | editorial = Macmillan  | año = 1915  | ubicación =   | páginas =   | doi =   | isbn =   | fechaacceso = 23 de febrero de 2012  | urlarchivo = https://web.archive.org/web/20171230174959/http://library.albany.edu/preservation/brittle_bks/khuwarizmi_robertofchester/  | fechaarchivo = 30 de diciembre de 2017  }}</ref> y dio origen, en distintos idiomas, a las palabras ''álgebra'' (derivado de ''al-jabr'') y ''algoritmo'' (derivado de Al-Juarismi). 

El ''Compendio'' tuvo gran influencia durante muchos siglos. Esta influencia es debida esencialmente a la presentación y a la organización del libro, ya que en él se exponen de manera a la vez clara y precisa un conjunto de métodos de resolución de las ecuaciones de segundo grado.<ref>{{cita libro|nombre=Carl B.|apellidos=Boyer|enlaceautor=Carl Benjamin Boyer|título=A History of Mathematics|edición=Second|editorial=John Wiley & Sons, Inc.|año=1991|capítulo=The Arabic Hegemony|isbn=0471543977|página=[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/228 228]|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/228}}{{cita|"Por lo general, los árabes amaban una buena argumentación que fuera clara desde las premisas hasta la conclusión, tanto como la organización sistemática, cuestión sobre la cual ni Diofanto ni los indios destacaron."}}</ref>

{{cita|Por primera vez, encontramos reunidos en una misma obra un conjunto de elementos (definiciones, operaciones, algoritmos, demostraciones) que estaban hasta entonces desperdigados y sin relación entre ellos, o bien no formulados explícitamente, e independientes de las cuestiones tratadas.<ref name="Djeb_31">Djebbar, 2005, p.31.</ref>}}

== Contenido ==

Siguiendo la tradición de la época, la '''Introducción''' comienza con alabanzas a Dios, al Profeta y al Califa [[Al-Mamún (califa)|Mamun]]. Enseguida, Al-Juarismi presenta el conjunto de la obra, indicando que le ha sido comandado por el Califa: se trata de un compendio o manual, destinado a «hacer más claro lo que era oscuro y [...] facilitar lo que era difícil»<ref>Djebbar, 2005, p.25.</ref> con el objeto de resolver problemas concretos de cómputo de herencias, medida de tierra o comercio.  

En un primer tiempo, el autor expone el [[sistema de numeración decimal]] de números, y a continuación define los objetos del álgebra.<ref name="Djebbar27">Djebbar, 2005, p.27.</ref> Considera tres tipos de objetos: los ''números'' (escritos con palabras, designados con el nombre de la unidad monetaria ''dirham''), las ''raíces'' (lo que se escribiría como ''x'') y los ''cuadrados'' (lo que hoy se escribiría ''x''<sup>2</sup>). 

Al-Juarismi clasifica las ecuaciones cuadráticas en seis tipos básicos y provee de métodos algebraicos y geométricos para resolver las más sencillas, sin utilizar notaciones abstractas: «el álgebra de Al-Juarismi es meramente [[retórica]], sin ninguno de los recursos que se encuentran en la ''[[Arithmetica]]'' griega de [[Diofanto]] o en los trabajos de  [[Brahmagupta]]. ¡Incluso los números están escritos con palabras en lugar de símbolos!»<ref>Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Second Edition (Wiley, 1991), p.228.</ref> Los seis tipos, en notación moderna, son:
<!--
Les [[mathématiques arabes|mathématiciens arabes]] de l'époque ne connaissaient pas les [[nombre négatif|nombres négatifs]]. Les nombres d'Al-Khawarizmi sont des [[nombre entier naturel|entiers]] ou [[nombre rationnel|nombres rationnels]] positifs<ref name="Djebbar27"/>.

Le deuxième chapitre analyse systématiquement les [[équation du second degré|équations de degré deux]] ou [[équation affine|un]], c'est-à-dire les équations dont l'écriture moderne serait :
:<math>ax^2+bx+c=0</math>
avec ''a'' éventuellement nul.-->
# cuadrados igual a raíces (''ax''<sup>2</sup> = ''bx'')
# cuadrados igual a números (''ax''<sup>2</sup> = ''c'')
# raíces igual a números (''bx'' = ''c'')
# cuadrados y raíces igual a números (''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' = ''c'')
# cuadrados y números igual a raíces (''ax''<sup>2</sup> + ''c'' = ''bx'')
# raíces y números igual a cuadrados (''bx'' + ''c'' = ''ax''<sup>2</sup>)

Los matemáticos del periodo islámico, a diferencia de los hindúes, no consideraban números negativos, de aquí que las ecuaciones del tipo  ''bx'' + ''c'' = 0 no aparezcan en la clasificación, pues no poseen soluciones positivas si todos los coeficientes son positivos. Análogamente, los tipos 4, 5 y 6, que parecen equivalentes desde la perspectiva moderna, eran distinguidos dado que los coeficientes debían ser todos positivos.<ref>Katz</ref>

La operación  '''''al-ğabr''''' (en escritura árabe: 'الجبر'), que significa "compleción" o "restauración", consiste en pasar una cantidad deficitaria de un lado de la ecuación al otro. En uno de los ejemplos de Al-Juarismi (en notación moderna), "''x''<sup>2</sup> = 40''x''&nbsp;−&nbsp;4''x''<sup>2</sup>" es transformado por ''al-ğabr'' en "5''x''<sup>2</sup> = 40''x''". La aplicación repetida de esta regla elimina las cantidades negativas de los cálculos.

'''''Al-Muqabala''''' (en escritura árabe: 'المقابله'), se entiende como "balanceo" o "comparación"; consiste en la sustracción de la misma cantidad positiva de ambos lados: "''x''<sup>2</sup> + 5 = 40''x'' + 4''x''<sup>2</sup>" se convierte en "5 = 40''x'' + 3''x''<sup>2</sup>". Aplicaciones sucesivas de esta regla logra que las cantidades de cada tipo ("cuadrado"/"raíz"/"número") aparezcan en la ecuación a lo sumo una vez, lo que demuestra que, al restringirse a coeficientes y soluciones positivas, solo existen seis tipos distintos solubles del problema.

La última parte del libro discute ejemplos prácticos de aplicación de estas reglas, problemas aplicados a la medida de [[Área|áreas]] y [[volúmenes]] y problemas que involucran cómputos de [[derecho musulmán de sucesión]]. Ninguno de estos capítulos requiere de conocimientos sobre resolución de ecuaciones cuadráticas.

== Traducción y legado ==

Los sucesores de Al-Juarismi perpetuaron y amplificaron el tratado en otras obras a veces con el mismo título.<ref>[[Al-Dinawari]], [[Abū Kāmil Shujā ibn Aslam]] (''Rasāla fi l-ğabr wa-l-muqābala''), Abū Muḥammad al-ʿAdlī, Abū Yūsuf al-Miṣṣīṣī, [['Abd al-Hamīd ibn Turk]], Sind ibn ʿAlī, Sahl ibn Bišr (posiblemente) y [[Sharaf al-Dīn al-Tūsī]].</ref> [[Gerardo de Cremona]] lo traduce en el {{siglo|XII||s}}.<ref>{{MacTutor|id=Gherard|título=Gherard of Cremona}}.</ref> 

Solo se conserva una copia en árabe. Se encuentra en la [[Universidad de Oxford]] y está datada de 1361.<ref>Hamon, 2006.</ref> En 1831, Frederic Rosen publica una traducción al inglés basado en este manuscrito. En el prefacio, advierte que la escritura es «simple y legible», pero que los signos diacríticos árabes han sido omitidos, por lo que la comprensión de ciertos pasajes resulta difícil.<ref>Frederic Rosen, 1831.</ref>

La novedad de los conceptos estudiados puede medirse por la dificultad de la traducción del título. Algunas enciclopedias recogen ''al-jabr'' como sinónimo de ''reducción''.<ref>[http://atilf.atilf.fr ''Trésor de la langue française informatisé''], artículo "algèbre", etimología.</ref> Dahan-Dalmédico y Pfeiffer, por su parte, escriben «''manual de cálculo de al-jabr y al-muqabala''».<ref>Dahan, Peiffer, p.84.</ref>

Notas de R. Rashed y Angela Armstrong:<ref>{{Cita libro | last1=Rashed | first1=R. | last2=Armstrong | first2=Angela | año=1994 | título=The Development of Arabic Mathematics | editorial=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | isbn=0792325656 | oclc=29181926 | páginas=11–2 | ref=harv | postscript=}}</ref>

{{cita|«El texto de Al-Juarismi puede ser visto no solo como diferente de las [[Matemática babilónica|tablillas babilónicas]], sino también de la ''[[Arithmetica]]'' de [[Diofanto]]. Ya no concierne una serie de «problemas» por resolver, sino una «exposición» que comienza con términos primitivos en los cuales las combinaciones dan todos los posibles prototipos de ecuaciones, que en adelante constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio. Por otra parte, la idea de una ecuación en sí misma, aparece desde el principio y, podría decirse, de manera genérica, de modo tal que no emerge simplemente en el curso de la solución de un problema, sino que es solicitada explícitamente para definir una clase infinita de problemas.»}}

Notas de J. J. O'Connor y E. F. Robertson:<ref>{{MacTutor|id=Al-Khwarizmi|título=Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi}}.</ref><ref>{{MacTutor|clase=HistTopics|id=Arabic_mathematics|título=Arabic mathematics: forgotten brilliance?|fecha=1999}}</ref>

{{cita|«Quizá uno de los avances más significativos logrados por las matemáticos árabes comenzó en este tiempo con el trabajo de Al-Juarismi, netamente los comienzos del álgebra. Es importante entender qué tan significativa fue esta idea. Fue una movida revolucionaria lejos del concepto griego de las matemáticas que era esencialmente geométrico. El álgebra fue una teoría unificadora que permitió que los [[números racionales]], los [[números irracionales]], las magnitudes geométricas, etc., fueran todas tratadas como "objetos algebraicos". Le dio a las matemáticas una vía de desarrollo completamente nueva, conceptualmente mucho más amplia que la que había existido hasta entonces, y proveyó de un vehículo para futuros desarrollos. Otro aspecto importante de la introducción de las ideas algebraicas es que permitió aplicar las matemáticas por sí mismas de un modo que no había sido posible anteriormente.»}}

== Véase también ==
* [[Al-Juarismi]]
* [[Matemática en el islam medieval]]
* [[Casa de la sabiduría]]

== Referencias ==
{{listaref}}

== Bibliografía ==
*Ahmed Djebbar, L'algèbre arabe, genèse d'un art, Vuibert/Adapt, 2005, 214 p. (ISBN 2-7117-5381-6).
*[http://www.transoxiana.org/0105/Article.html#Ros31 Las matemáticas en el Islam medieval], [[Transoxiana]], Journal de Estudios Orientales.

== Lectura suplementaria ==
* Barnabas B. Hughes, ed., ''[[Robert of Chester]]'s Latin Translation of Al-Khwarizmi's Al-Jabr: A New Critical Edition'', (en [[latín]]), Wiesbaden: F. Steiner Verlag, 1989. ISBN 3-515-04589-9.
*{{cita libro|nombre=Carl B.|apellido=Boyer|enlaceautor=Carl Benjamin Boyer|título=A History of Mathematics|edición=Second|editorial=John Wiley & Sons, Inc.|año=1991|capítulo=The Arabic Hegemony|isbn=0471543977|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye}}
* R. Rashed, ''The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra'', London, 1994.

== Enlaces externos ==
* {{cita web|título=AL-KHWARIZMI Muhammad|url=http://serge.mehl.free.fr/chrono/Khwarizmi.html|fechaacceso=24 de febrero de 2012|autor=Serge Mehl|obra=ChronoMath|idioma=francés}}
* {{cita publicación|título=D’Al Khwarizmi à Cardan, les débuts de l’Algèbre|url=http://www.irem.univ-rennes1.fr/ressources/docs_themes/histoire/flash/Lamballe.pdf|autor=Gérard Hamon|editorial=IREM de Rennes|fecha=2006|publicación=|fechaacceso=31 de marzo de 2012|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20140327141542/http://www.irem.univ-rennes1.fr/ressources/docs_themes/histoire/flash/Lamballe.pdf|fechaarchivo=27 de marzo de 2014}}
* Entrevista con Ahmed Djebbar en video [http://www.dma.ens.fr/culturemath/video/Djebbar/index.html] {{Wayback|url=http://www.dma.ens.fr/culturemath/video/Djebbar/index.html |date=20100126020803 }}, [[Escuela Normal Superior de París]].
*[http://www.archive.org/details/algebraofmohamme00khuwrich 19th Century English Translation], ''The algebra of Mohammed ben Musa (1831)''.
*[http://www.wilbourhall.org/index.html#algebra ''The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing'']. Original árabe con traducción al inglés (PDF).
*{{cita web|url=http://www.muslimheritage.com/topics/default.cfm?ArticleID=637 |título=The Science of Restoring and Balancing – The Science of Algebra |nombre=Mahbub |apellido=Ghani |fecha=5 de enero de 2007 |obra=Muslim Heritage}}
* {{Traducido ref|fr|Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison|oldid=73873131}}
* {{Traducido ref|en|The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing|oldid=474809478}}

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[[Categoría:Libros de matemáticas]]
[[Categoría:Matemática medieval]]
[[Categoría:Literatura en árabe]]
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