Ver el código de «Conjetura débil de Goldbach»

[[Archivo:Letter Goldbach-Euler.jpg|miniaturadeimagen|Estas son las notas sobre La Conjetura Débil de Goldbach]]
En [[teoría de números]], la '''conjetura débil de Goldbach''' es un teorema desarrollado por el matemático [[prusiano]] [[Christian Goldbach]], el cual afirma que:
{{teorema|Todo número impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres números primos.}}

(Se puede emplear el mismo número primo más de una vez en esta suma.)

Demostrada por [[Harald Helfgott]], esta [[conjetura]] recibe el nombre de «débil» porque la [[conjetura de Goldbach|conjetura fuerte de Goldbach]] sobre la suma de dos números primos, si se demuestra, demostraría automáticamente la conjetura débil de Goldbach. Esto es así porque si cada número par mayor que 4 es la suma de dos primos impares, se puede añadir tres a los números pares mayores que 4 para producir los números impares mayores que 7.

Algunos expresan la conjetura como:

{{teorema|Todo número impar mayor que 7 puede expresarse como suma de tres números primos impares.<ref>{{MathWorld|title=Goldbach Conjecture|id=GoldbachConjecture}}</ref>}}

== Historia ==
Esta conjetura data de 1742.<ref>Introducción a la teoría analítica de números, T.M: Apostol  ISBN 84-291-5006-4 pg. 380</ref> Esta conjetura  dice que todo número natural mayor que 7 es suma de tres números primos. Consta en una carta de [[Christian Goldbach|Goldbach]] a [[Leonhard Euler|Euler]] en 1742. Apareció publicada sin prueba en 1770, en Gran Bretaña,  en las ''Meditationes algebraicae'', de [[Edward Waring]] (1734-1793), que había sido ''[[senior wrangler]]'' en la universidad de Cambridge en 1757 y ''[[Profesor Lucasiano]]'' en la citada universidad desde 1760. Las ''Meditationes algebraicae'' contienen aún otra conjetura complementaria  que expresa que ''todo entero impar o es primo o suma de tres primos''.<ref>"Historia de la matemática de Charles Boyer", ISBN 84-206-9094-X pg. 576</ref> Esta es la llamada conjetura débil.

En 1923, [[G. H. Hardy|Hardy]] y [[John Edensor Littlewood|Littlewood]] mostraron que, suponiendo una cierta generalización de la [[hipótesis de Riemann]], la conjetura débil de Goldbach es cierta para todos los números impares suficientemente grandes. En 1937, el matemático ruso [[Iván Matvéyevich Vinográdov]] fue capaz de eliminar la dependencia de la hipótesis de Riemann y demostró directamente que todos los números impares suficientemente grandes pueden escribirse como suma de tres primos. Chen Jing-run probó que cada número suficientemente grande es la suma de un primo con un número que no posee más de dos divisores primos.<ref>T.M. Apostol, ''Introducción a la teoría analítica de números'', ISBN 84-291-5006-4 pg. 380</ref>

Aunque Vinográdov no pudo determinar lo que significaba «suficientemente grande» con exactitud, su alumno [[K. Borozdkin]] demostró que <math>\mathrm e^{\mathrm e^{16{,}038}}\approx3^{3^{15}}</math> es una cota superior para el concepto de «suficientemente grande». Este número tiene más de seis millones de dígitos, así que comprobar la conjetura en cada número por debajo de esta cota sería imposible. Afortunadamente, en 1989 Wang y Chen redujeron esta cota a 10<sup>43.000</sup>. Esto significa que si cada uno de los números impares menores que 10<sup>43.000</sup> resulta ser la suma de tres números primos, entonces la conjetura débil de Goldbach quedará demostrada. Sin embargo, aún se debe reducir bastante esta cota antes de poder comprobarse cada número por debajo de la misma.

En 1997, [[Jean-Marc Deshouillers|Deshouillers]], [[Gove W. Effinger|Effinger]], [[Herman te Riele|Te Riele]] y [[Dmitrii Zinoviev|Zinoviev]] mostraron que la [[hipótesis generalizada de Riemann]] implica la conjetura débil de Goldbach. Este resultado combina una afirmación general válida para números mayores que 10<sup>20</sup> con una búsqueda minuciosa informatizada de los casos pequeños.<ref>{{cita publicación
|título=A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis
|last1=Deshouillers 
| first1=Jean-Marc 
| last2=Effinger 
| first2=Gove W. 
| last3=Te Riele 
| first3=Herman J. J. 
| first4=Dmitrii 
| last4=Zinoviev 
| mr=1469323 
| doi=10.1090/S1079-6762-97-00031-0 
|publicación=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society
|volumen=3
|páginas=99–104
|año=1997
|número=15}}</ref>

[[Olivier Ramaré]] mostró en 1995 que todo número par mayor que cuatro (''n''≥4) es de hecho la suma de, como mucho, seis primos, de lo que se sigue que cada número impar ''n'' ≥ 5 es la suma de como máximo, siete primos. [[Leszek Kaniecki]] mostró que todo entero impar es la suma de como máximo, cinco primos, bajo la condición de la [[hipótesis de Riemann]].<ref>{{cita publicación
|título=On Šnirelman's constant under the Riemann hypothesis
|apellidos=Kaniecki
|nombre=Leszek
|obra=Acta Arithmetica
|volumen=72
|año=1995
|páginas=361–374
|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa72/aa7246.pdf
|fechaacceso=24 de mayo de 2013}}</ref> En 2012, [[Terence Tao]] demostró esto sin la necesidad de la hipótesis de Riemann; esto mejora ambos resultados.<ref>{{cita arXiv
|apellidos=Tao
|nombre=Terence
|título=Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes
|eprint=1201.6656
|año=2012
|bibcode=2012arXiv1201.6656T
|clase=math.NT}}</ref>

== Demostración ==
Dos trabajos publicados en los años 2012 y 2013 por el matemático peruano [[Harald Helfgott]], que reivindican la mejora de las estimaciones de los arcos mayores y menores, se consideran suficientes para demostrar incondicionalmente la conjetura débil de Goldbach.<ref>{{cita arXiv
|eprint=1305.2897
|título=Major arcs for Goldbach's theorem
|apellidos=Helfgott
|nombre=H. A.
|clase=math.NT
|año=2013}}</ref><ref>{{cita arXiv
|eprint=1205.5252
|título=Minor arcs for Goldbach's problem
|apellidos=Helfgott
|nombre=H. A.
|clase=math.NT
|año=2012}}</ref><ref>{{Cita web |url=http://www.truthiscool.com/prime-numbers-the-271-year-old-puzzle-resolved |título=Copia archivada |fechaacceso=14 de mayo de 2013 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20130607180805/http://www.truthiscool.com/prime-numbers-the-271-year-old-puzzle-resolved |fechaarchivo=7 de junio de 2013 }}</ref> De este modo la conjetura queda demostrada después de 271 años.<ref>{{cita web|título=Peruano demuestra conjetura matemática no probada por 271 años|url=http://altavoz.pe/2013/05/20/nacional/peruano-demuestra-problema-matematico-irresuelto-por-271-anos/|fechaacceso=21 de mayo de 2013|idioma=Español|cita=20 de mayo del 2013|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20130608100947/http://altavoz.pe/2013/05/20/nacional/peruano-demuestra-problema-matematico-irresuelto-por-271-anos/|fechaarchivo=8 de junio de 2013}}</ref><ref>[http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/2013/06/13/136346 Entrevista a Harald Helfgott, investigador del CNRS]</ref> De modo que dicha conjetura pasa a ser un teorema o, dicho de otra forma, un enunciado que es deducible a partir de los axiomas correspondientes, empleando reglas de inferencia.<ref>El Comercio. Lima, 28 de mayo de 2013 pg.A7</ref> Su trabajo aún está bajo revisión por otros expertos.

== Referencias ==
{{listaref}}
* {{cita publicación
|apellidos=Deshouillers
|apellidos2=Effinger
|apellidos3=Te Riele
|apellidos4=Zinoviev
|año=1997
|título=A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis
|publicación=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society
|volumen=3
|páginas=99-104
|url=http://www.ams.org/era/1997-03-15/S1079-6762-97-00031-0/S1079-6762-97-00031-0.pdf
|fechaacceso=24 de mayo de 2013}}

== Enlaces externos ==
* {{MathWorld|GoldbachConjecture|Goldbach Conjecture}}

{{ORDENAR:Goldbach, conjetura debil}}

{{Conjeturas sobre números primos}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría aditiva de números]]
[[Categoría:Teoría analítica de números]]
[[Categoría:Conjeturas matemáticas]]

[[ru:Проблема Гольдбаха#Тернарная проблема Гольдбаха]]