Ver el código de «Conjunto absorbente»

En [[análisis funcional]] y áreas relacionadas de [[matemáticas]], un '''conjunto absorbente''' en un [[espacio vectorial]] es aquel [[conjunto]] <math>S</math> que puede ''ampliarse'' para finalmente incluir siempre cualquier punto dado del espacio vectorial. Un término alternativo es '''[[conjunto radial]]'''. Cada [[Entorno (matemática)|entorno del origen]] en cada [[espacio vectorial topológico]] es un [[subconjunto]] absorbente.

==Definición==

'''Notación para escalares'''

Supóngase que <math>X</math> es un espacio vectorial sobre el [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] <math>\mathbb{K}</math> de los [[números reales]] <math>\R</math> o de los [[números complejos]] <math>\Complex</math>, y para cualquier <math>-\infty \leq r \leq \infty</math>, sea
:<math>B_r= \{a \in \mathbb{K} :|a|< r\} \quad \text{y } \quad B_{\leq r}= \{a \in \mathbb{K} :|a|\leq r\}</math>
denota la ''bola abierta'' (respectivamente, la ''bola cerrada'') de radio <math>r</math> en <math>\mathbb{K}</math> centrada en <math>0</math>.

Ahora, se define el producto de un conjunto <math>K \subseteq \mathbb{K}</math> de escalares sobre un conjunto <math>A</math> de vectores como <math>K A= \{k a : k \in K, a \in A\}</math>, y se define el producto de <math>K \subseteq \mathbb{K}</math> con un solo vector <math>x</math> como <math>K x= \{k x : k \in K\}</math>.

===Preliminares===

'''Núcleo equilibrado y envolvente equilibrada'''

Se dice que un subconjunto <math>S</math> de <math>X</math> es ''[[conjunto equilibrado|{{Anclavis|equilibrado}}]]'' si <math>a s \in S</math> para todos los <math>s \in S</math> y todos los escalares <math>a</math> que satisfacen que <math>|a|\leq 1</math>. Esta condición se puede escribir de forma más sucinta como <math>B_{\leq 1} S \subseteq S</math>, y se cumple si y solo si <math>B_{\leq 1} S= S</math>.

Dado un conjunto <math>T</math>, el [[conjunto equilibrado]] más pequeño que contiene a <math>T</math>, denotado por <math>\operatorname{equil} T</math>, se denomina {{enf|[[envolvente equilibrada|{{Anclavis|envolvente equilibrada}}]]}} de <math>T</math>, mientras que el conjunto equilibrado más grande contenido dentro de <math>T</math>, denotado por <math>\operatorname{nuequil} T</math>, se denomina {{enf|[[núcleo equilibrado|{{Anclavis|núcleo equilibrado}}]]}} de <math>T</math>.
Estos conjuntos están dados por las fórmulas
:<math>\operatorname{equil} T ~=~ {\textstyle\bigcup\limits_{|c|\leq 1}} c \, T= B_{\leq 1} T</math>
y
:<math>\operatorname{nuequil} T ~=~ \begin{cases}
{\textstyle\bigcap\limits_{|c|\geq 1}} c \, T & \text{si } 0 \in T \\
\varnothing         & \text{si } 0 \not\in T, \\
\end{cases}</math>

(estas fórmulas muestran que la envolvente equilibrada y el núcleo equilibrado siempre existen y son únicos).
Un conjunto <math>T</math> está equilibrado si y solo si es igual a su envolvente equilibrada (<math>T= \operatorname{equil} T</math>) o a su núcleo equilibrado (<math>T= \operatorname{nuequil} T</math>), en cuyo caso los tres conjuntos son iguales: <math>T= \operatorname{equil} T= \operatorname{nuequil} T</math>.

Si <math>c</math> es cualquier escalar, entonces

:<math>\operatorname{equil} (c \, T)= c \, \operatorname{equil} T=|c|\, \operatorname{equil} T</math>

mientras que si <math>c \neq 0</math> es distinto de cero o si <math>0 \in T</math>, entonces también

:<math>\operatorname{nuequil} (c \, T)= c \, \operatorname{nuequil} T=|c|\, \operatorname{nuequil} T</math>.

===Absorción de un conjunto por otro===

Si <math>S</math> y <math>A</math> son subconjuntos de <math>X</math>, entonces se dice que <math>A</math> {{nowrap|{{Anclavis|absorber un conjunto set|text='''absorbe'''}}}} a <math>S</math> si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
# ''Definición'': Existe un <math>r > 0</math> real tal que <math>S \, \subseteq \, c \, A</math> para cada <math>c</math> escalar que satisfaga <math>|c|\geq r</math>. O dicho de manera más sucinta, <math>S \; \subseteq \; {\textstyle\bigcap\limits_{|c|\geq r}} c \, A</math> para algún <math>r > 0</math>.
#* Si el cuerpo escalar es <math>\R</math>, entonces intuitivamente, "<math>A</math> absorbe a <math>S</math>" significa que si <math>A</math> se "aumenta" o "extiende" indefinidamente (refiriéndose a <math>t A</math> como <math>t \to \infty</math>), entonces {{enf|finalmente}} (para todos los <math>t > 0</math> positivos lo suficientemente grandes), todos los <math>t A</math> quedan contenidos en <math>S</math>; y de manera semejante, <math>t A</math> también debe contener finalmente a <math>S</math> para todos los <math>t < 0</math> negativos de magnitud suficientemente grande.
#* Esta definición depende de la norma canónica del cuerpo escalar subyacente (es decir, del [[valor absoluto]] <math>|\cdot|</math>), lo que vincula esta definición a la [[topología euclidiana|topología euclídea]] habitual en el cuerpo escalar. En consecuencia, la definición de ''conjunto absorbente'' (que se proporciona a continuación) también está ligada a esta topología.
# Existe un <math>r > 0</math> real tal que <math>c \, S \, \subseteq \, A</math> para cada<ref group=nota name=ScalarMustNotBeZero>El requisito de que el escalar <math>c</math> sea distinto de cero no se puede eliminar de esta caracterización.</ref> escalar <math>c \neq 0</math> distinto de cero que satisfaga que <math>|c|\leq r</math>. O dicho de manera más sucinta, <math>{\textstyle\bigcup\limits_{0 <|c|\leq r}} c \, S \, \subseteq \, A</math> para algún <math>r > 0</math>.
#* Debido a que esta unión es igual a <math>\left(B_{\leq r} \setminus \{0\}\right) S</math>, donde <math>B_{\leq r} \setminus \{0\}= \{c \in \mathbb{K} : 0 <|c|\leq r\}</math> es la bola cerrada con el origen eliminado, esta condición puede reformularse como: <math>\left(B_{\leq r} \setminus \{0\}\right) S \, \subseteq \, A</math> para algunos <math>r > 0</math>.
#* La desigualdad no estricta <math>\,\leq\,</math>, se puede reemplazar con la desigualdad estricta <math>\, < \,</math>, que es la siguiente caracterización.
# Existe un <math>r > 0</math> real tal que <math>c \, S \, \subseteq \, A</math> para cada<ref group=nota name=ScalarMustNotBeZero/> escalar <math>c \neq 0</math> distinto de cero que satisfaga <math>|c|< r</math>. O dicho de manera más sucinta, <math>\left(B_r \setminus \{0\}\right) S \subseteq \, A</math> para algún <math>r > 0</math>.
#* Aquí <math>B_r \setminus \{0\}= \{c \in \mathbb{K} : 0 <|c|< r\}</math> es la bola abierta con el origen eliminado y <math>\left(B_r \setminus \{0\}\right) S \,= \, {\textstyle\bigcup\limits_{0 <|c|< r}} c \, S</math>.

Si <math>A</math> es un [[conjunto equilibrado]], esta lista se puede ampliar para incluir:
<ol>
<li value="4">Existe un <math>c \neq 0</math> escalar distinto de cero tal que <math>S \; \subseteq \, c \, A</math>.
* Si <math>0 \in A</math>, entonces se puede eliminar el requisito <math>c \neq 0</math>.</li>
<li value="5">Existe un escalar<ref group=nota name=ScalarMustNotBeZero/> distinto de cero <math>c \neq 0</math> tal que <math>c \, S \, \subseteq \, A</math>.</li></ol>

Si <math>0 \in A</math> (una condición necesaria para que <math>A</math> sea un [[#Conjunto absorbente|conjunto absorbente]] o sea un entorno del origen en una topología), entonces esta lista se puede ampliar para incluir:
<ol>
<li value="6"> Existe <math>r > 0</math> tal que <math>c \, S \; \subseteq \, A</math> para cada <math>c</math> escalar que satisfaga <math>|c|< r</math>. O dicho de manera más sucinta, <math>B_r \; S \, \subseteq \, A</math>. </li>
<li>Existe <math>r > 0</math> tal que <math>c \, S \; \subseteq \, A</math> para cada <math>c</math> escalar que satisfaga <math>|c|\leq r</math>. O dicho de manera más sucinta, <math>B_{\leq r} S \, \subseteq \, A</math>.
* La inclusión <math>B_{\leq r} S \, \subseteq \, A</math> equivale a <math>B_{\leq 1} S \, \subseteq \, \tfrac{1}{r} A</math> (desde <math>B_{\leq r}= r \, B_{\leq 1}</math>). Debido a <math>B_{\leq 1} S \,= \, \operatorname{equil} \, S</math>, esto se puede reescribir como <math>\operatorname{equil} \, S \, \subseteq \, \tfrac{1}{r} A</math>, lo que da la siguiente declaración. </li>
<li>Existe <math>r > 0</math> tal que <math>\operatorname{equil} \, S \, \subseteq \, r \, A</math>. </li>
<li>Existe <math>r > 0</math> tal que <math>\operatorname{equil} \, S \, \subseteq \, \operatorname{nuequil} (r \, A)</math>. </li>
<li>Existe <math>r > 0</math> tal que <math>\;\;\;\;\;\; S \, \subseteq \, \operatorname{nuequil} (r \, A)</math>.
* Las siguientes caracterizaciones se derivan de las anteriores y del hecho de que para cada escalar <math>c</math>, el [[#Envolvente equilibrada|envolvente equilibrada]] de <math>A</math> satisface que <math>\,\operatorname{equil} (c \, A)= c \, \operatorname{equil} A=|c|\, \operatorname{equil} A\,</math> y (desde <math>0 \in A</math>) su [[#núcleo equilibrado|núcleo equilibrado]] satisface que <math>\,\operatorname{nuequil} (c \, A)= c \, \operatorname{nuequil} A=|c|\, \operatorname{nuequil} A</math>. </li>
<li>Existe <math>r > 0</math> tal que <math>\;\;\, S \, \subseteq \, r \, \operatorname{nuequil} A</math>. En otras palabras, un conjunto es absorbido por <math>A</math> si está contenido en algún múltiplo escalar positivo del [[#núcleo equilibrado|núcleo equilibrado]] de <math>A</math>. </li>
<li>Existe <math>r > 0</math> tal que <math>r \, S \subseteq \,\;\;\;\; \operatorname{nuequil} A</math>. </li>
<li>Existe un <math>c</math> escalar tal que <math>\operatorname{equil} S \, \subseteq \, c \, A</math>. En otras palabras, <math>A</math> se puede escalar para contener la [[#envolvente equilibrada|envolvente equilibrada]] de <math>S</math>. </li>
<li>Existe un <math>c</math> escalar tal que <math>\operatorname{equil} S \, \subseteq \, \operatorname{nuequil} (c \, A)</math>. </li>
<li>Existe un <math>c</math> escalar tal que <math>\;\;\;\;\;\; S \, \subseteq \, \operatorname{nuequil} (c \, A)</math>. En otras palabras, <math>A</math> se puede escalar para que su [[#núcleo equilibrado|núcleo equilibrado]] contenga a <math>S</math>. </li>
<li>Existe un <math>c</math> escalar tal que <math>\;\;\;\;\;\; S \, \subseteq \, c \, \operatorname{nuequil} A</math>. </li>
<li>Existe un<ref group=nota name=ScalarMustNotBeZero/> escalar distinto de cero <math>c \neq 0</math> tal que <math>c \, S \, \subseteq \, \operatorname{nuequil} A</math>. En otras palabras, el [[#núcleo equilibrado|núcleo equilibrado]] de <math>A</math> contiene algún múltiplo escalar distinto de cero de <math>S</math>. </li>
</ol>

Si es <math>0 \not\in S</math> o <math>0 \in A</math>, esta lista se puede ampliar para incluir:
<ol><li value="18"><math>A \cup \{0\}</math> absorbe <math>S</math> (de acuerdo con cualquier condición definitoria de "absorber" distinta de ésta).
* En otras palabras, <math>A</math> puede ser reemplazado por <math>A \cup \{0\}</math> en las caracterizaciones anteriores si es <math>0 \not\in S</math> (o trivialmente, si se da el caso de que <math>0 \in A</math>).</li>
</ol>

'''Absorción de un punto por un conjunto'''{{Ancla|absorbe un punto}}

Se dice que un conjunto '''absorbe un punto''' <math>x</math> si absorbe el [[conjunto unitario]] <math>\{x\}</math>. Un conjunto <math>A</math> absorbe el origen si y solo si contiene el origen; es decir, si y solo si <math>0 \in A</math>.
Como se detalla a continuación, se dice que un conjunto es {{enf|absorbente en <math>X</math>}} si absorbe todos los puntos de <math>X</math>.

Esta noción de que un conjunto absorbe a otro también se utiliza en otras definiciones:
Un subconjunto de un [[espacio vectorial topológico]] <math>X</math> se llama {{enf|[[Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)|acotado]]}} si es absorbido por todos los entornos del origen.
Un conjunto se llama {{enf|[[conjunto bornívoro|''bornívoro'']]}} si absorbe a todos los subconjuntos acotados.

'''''Primeros ejemplos'''''

Cada conjunto absorbe el [[conjunto vacío]], pero el conjunto vacío no absorbe ningún conjunto que no esté vacío. El conjunto de un solo punto <math>\{\mathbf{0}\}</math> que contiene el origen es el único subconjunto de un punto que se absorbe a sí mismo.

Supóngase que <math>X</math> es igual a <math>\R^2</math> o <math>\Complex</math>. Si <math>A := S^1 \cup \{\mathbf{0}\}</math> es la [[circunferencia goniométrica|circunferencia unidad]] (centrada en el origen <math>\mathbf{0}</math>) junto con el origen, entonces <math>\{\mathbf{0}\}</math> es el único conjunto no vacío que absorbe <math>A</math>. Además, {{enf|no}} existe un subconjunto no vacío de <math>X</math> que sea absorbido por la circunferencia unitaria <math>S^1</math>. En contraste, cada [[Entorno (matemática)|entorno]] del origen absorbe cada [[Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)|subconjunto acotado]] de <math>X</math> (y, por lo tanto, en particular, absorbe cada subconjunto formado por un único punto).

===Conjunto absorbente===
Un subconjunto <math>A</math> de un espacio vectorial <math>X</math> sobre un cuerpo <math>\mathbb{K}</math> se denomina {{Anclavis|[[#Conjunto absorbente|'''subconjunto absorbente''']]}}de <math>X</math> y se dice que es '''absorbente''' en <math>X</math> si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes (aquí ordenadas de modo que cada condición sea una consecuencia sencilla de la anterior, empezando por la definición):
<ol>
<li>''Definición'': <math>A</math> [[#Absorber un punto|absorbe]] cada punto de <math>X;</math> es decir, para cada <math>x \in X</math>, <math>A</math> [[#Absorber un conjunto|absorbe]] <math>\{x\}</math>.
*Entonces, en particular, <math>A</math> no puede ser absorbente si <math>0 \not\in A</math>. Todo conjunto absorbente debe contener el origen.
</li>
<li><math>A</math> absorbe cada subconjunto finito de <math>X</math>.</li>
<li> Para cada <math>x \in X</math>, existe un <math>r > 0</math> real tal que <math>x \in c A</math> para cualquier <math>c \in \mathbb{K}</math> escalar que satisfaga <math>|c|\geq r</math>. </li>
<li> Para cada <math>x \in X</math>, existe un <math>r > 0</math> real tal que <math>c x \in A</math> para cualquier <math>c \in \mathbb{K}</math> escalar que satisfaga <math>|c|\leq r</math>. </li>
<li> Para cada <math>x \in X</math>, existe un <math>r > 0</math> real tal que <math>B_r x \subseteq A</math>.
* Aquí <math>B_r= \{c \in \mathbb{K} :|c|< r\}</math> es la bola abierta de radio <math>r</math> en el cuerpo escalar centrada en el origen y <math>B_r x= \left\{c x : c \in B_r\right\}= \{c x : c \in \mathbb{K} \text{y }|c|< r\}</math>.
* Se puede utilizar la bola cerrada en lugar de la bola abierta.
* Debido a <math>B_r x \subseteq \mathbb{K} x= \operatorname{expan} \{x\}</math>, la inclusión <math>B_r x \subseteq A</math> se cumple si y solo si <math>B_r x \subseteq A \cap \mathbb{K} x</math>. Esto prueba la siguiente afirmación:
</li>
<li> Para cada <math>x \in X</math>, existe un <math>r > 0</math> real tal que <math>B_r x \subseteq A \cap \mathbb{K} x</math>, donde <math>\mathbb{K} x= \operatorname{expan} \{x\}</math>.
* '''Conexión a la topología''': Si a <math>\mathbb{K} x</math> se le da su habitual [[topología euclidiana|topología euclídea]] de Hausdorff, entonces el conjunto <math>B_r x</math> es un [[Entorno (matemática)|entorno]] del origen en <math>\mathbb{K} x;</math>, por lo tanto, existe un <math>r > 0</math> real tal que <math>B_r x \subseteq A \cap \mathbb{K} x</math> si y solo si <math>A \cap \mathbb{K} x</math> es un entorno del origen en <math>\mathbb{K} x</math>. En consecuencia, <math>A</math> satisface esta condición si y solo si para cada <math>x \in X</math>, <math>A \cap \operatorname{expan} \{x\}</math> es un entorno de <math>0</math> en <math>\operatorname{expan} \{x\}= \mathbb{K} x</math> cuando a <math>\operatorname{expan} \{x\}</math> se le da la topología euclídea. De lo anterior se obtiene la siguiente caracterización:
* Las únicas topologías EVT<ref group=nota name="VectorTopologiesAndSubspaces" /> en un espacio vectorial unidimensional son la [[topología trivial]] (no de Hausdorff) y la topología euclídea de Hausdorff. Cada subespacio vectorial unidimensional de <math>X</math> tiene la forma <math>\mathbb{K} x= \operatorname{expan} \{x\}</math> para algún <math>x \in X</math> {{enf|no nulo}} y si este espacio unidimensional <math>\mathbb{K} x</math> está dotado de la (única) topología vectorial de Hausdorff, entonces la aplicación <math>\mathbb{K} \to \mathbb{K} x</math> definida por <math>c \mapsto c x</math> es necesariamente un [[espacio vectorial topológico]] (donde, como de costumbre, <math>\mathbb{K}</math> está dotado de su [[topología euclidiana|topología euclídea]] estándar inducida por la [[Distancia euclidiana|distancia euclídea]]).
</li>
<li><math>A</math> contiene el origen y para cada subespacio vectorial unidimensional <math>Y</math> de <math>X</math>, <math>A \cap Y</math> es un entorno del origen en <math>Y</math> cuando a <math>Y</math> se le da su [[#Topología vectorial de Hausdorff en un espacio vectorial unidimensional|topología vectorial única de Hausdorff]].
<ul>
<li>'''Conexión con las [[Espacio vectorial topológico|topologías de los espacios vectoriales]]''': Esta condición da una idea de por qué cada entorno del origen en cada [[espacio vectorial topológico]] (EVT) es necesariamente absorbente: si <math>U</math> es un entorno del origen en un EVT <math>X</math>, entonces por cada subespacio vectorial 1-dimensional <math>Y</math>, <math>U \cap Y</math> es un entorno del origen en <math>Y</math> cuando <math>Y</math> está dotado de la [[topología traza|topología del subespacio]] inducida en él por <math>X</math>. Esta topología de l subespacio es siempre una topología vectorial<ref group=nota name="VectorTopologiesAndSubspaces">Una topología en un espacio vectorial <math>X</math> se llama {{enf|[[espacio vectorial topológico]]}} o {{enf|topología EVT}} si hace que la suma vectorial <math>X \times X \to X</math> y la multiplicación escalar <math>\mathbb{K} \times X \to X</math> sean continuas cuando al cuerpo escalar <math>\mathbb{K}</math> se le da su [[Norma vectorial|norma]] inducida por la [[topología euclidiana|topología euclídea]] habitual (esa norma es el [[valor absoluto]] <math>|\cdot|</math>). Dado que las restricciones de funciones continuas también son continuas, si <math>Y</math> es un subespacio vectorial de un EVT <math>X</math>, las operaciones de suma vectorial <math>Y</math> y multiplicación escalar <math>Y \times Y \to Y</math> de <math>\mathbb{K} \times Y \to Y</math> también serán continuas. Por lo tanto, la [[topología traza|topología del subespacio]] que cualquier subespacio vectorial hereda de un EVT volverá a ser una topología vectorial.</ref> y debido a que <math>Y</math> es unidimensional, las únicas topologías vectoriales que contiene son la [[#Topología vectorial de Hausdorff en un espacio vectorial unidimensional|topología euclídea de Hausdorff]] y la [[topología trivial]], que es un subconjunto de la topología euclídea.

Entonces, independientemente de cuál de estas topologías vectoriales esté en <math>Y</math>, el conjunto <math>U \cap Y</math> será un entorno del origen en <math>Y</math> con respecto a su topología vectorial única de Hausdorff (la topología euclídea).<ref group=nota>Si <math>U</math> es un entorno del origen en un EVT <math>X</math>, entonces sería ilógico si existiera cualquier subespacio vectorial unidimensional <math>Y</math> en el que <math>U \cap Y</math> no fuera un entorno del origen en al menos {{enf|alguna}} topología EVT en <math>Y</math>. Las únicas topologías EVT en <math>Y</math> son la [[#Topología vectorial de Hausdorff en un espacio vectorial unidimensional|topología euclídea de Hausdorff]] y la [[topología trivial]], que es un subconjunto de la topología euclídea. En consecuencia, este problema no se produce si y solo si <math>U \cap Y</math> es un entorno de <math>0</math> en la topología euclídea para {{enf|todos}} los subespacios vectoriales unidimensionales de <math>Y</math>, que es exactamente la condición de que <math>U</math> esté absorbido en <math>X</math>. El hecho de que todos los entornos del origen en todas las EVT sean necesariamente absorbentes significa que este comportamiento ilógico no se producee.</ref>

Por lo tanto, <math>U</math> es absorbente.
* La razón por la que se distingue la topología euclídea en esta caracterización se debe en última instancia al requisito definitorio de las topologías EVT<ref group=nota name="VectorTopologiesAndSubspaces" /> de que la multiplicación escalar <math>\mathbb{K} \times X \to X</math> sea continua cuando al cuerpo escalar <math>\mathbb{K}</math> se le da esta topología (euclídea).</li>
</ul>
</li>
<li><math>A</math> contiene el origen y para cada subespacio vectorial unidimensional <math>Y</math> de <math>X</math>, <math>A \cap Y</math> es absorbente en <math>Y</math>.
* Aquí ''absorber'' se puede considerar según cualquier condición definitoria distinta de ésta.
* Esta caracterización muestra que la propiedad de ser absorbente en <math>X</math> depende {{enf|solo}} de cómo se comporta <math>A</math> con respecto a subespacios vectoriales de 1 (o 0) dimensiones de <math>X</math>. Por el contrario, si un subespacio vectorial de dimensión finita <math>Z</math> de <math>X</math> tiene dimensión <math>n > 1</math> y está dotado de su topología EVT única de Hausdorff, entonces <math>A \cap Z</math> ya no es absorbente en <math>Z</math>, condición suficiente para garantizar que <math>A \cap Z</math> sea un entorno del origen en <math>Z</math> (aunque seguirá siendo una condición necesaria). Para que esto suceda, basta con que <math>A \cap Z</math> sea un conjunto absorbente que también sea convexo, equilibrado y [[Conjunto cerrado|cerrado]] en <math>Z</math> (dicho conjunto se llama {{enf|[[conjunto abarrilado|barril]]}} y será un entorno del origen en <math>Z</math> porque como todo espacio euclídeo de dimensión finita, <math>Z</math> es un [[espacio abarrilado]]).
</li>
</ol>

Si <math>\mathbb{K}= \Reals</math> entonces a esta lista se puede agregar:
#<li value="9">El [[interior algebraico]] de <math>A</math> contiene el origen (esto es, <math>0 \in {}^{i}A</math>).</li>

Si <math>A</math> es [[conjunto equilibrado|equilibrado]], se puede agregar a esta lista:
#<li value="10"> Para cada <math>x \in X</math>, existe un escalar <math>c \neq 0</math> tal que <math>x \in c A</math>{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=107-110}} (o equivalentemente, tal que <math>c x \in A</math>).</li>
# Para cada <math>x \in X</math>, existe un <math>c</math> escalar tal que <math>x \in c A</math>.

Si <math>A</math> es '''''[[Convexidad|convexo]]''''' o '''''[[conjunto equilibrado|equilibrado]]''''', entonces a esta lista se puede agregar:
#<li value="12"> Para cada <math>x \in X</math>, existe un <math>r > 0</math> real positivo tal que <math>r x \in A</math>.
#* La prueba de que un conjunto '''''equilibrado''''' <math>A</math> que satisface esta condición es necesariamente absorbente en <math>X</math> se sigue inmediatamente de la condición (10) anterior y del hecho de que <math>c A=|c|A</math> para todos los escalares <math>c \neq 0</math> (donde <math>r :=|c|> 0</math> es real).
#* La prueba de que un conjunto '''''convexo''''' <math>A</math> que satisface esta condición es necesariamente absorbente en <math>X</math> es menos trivial (pero no difícil). En esta nota al pie<ref group=demo name=ProofInCaseOfConvexSet/> se proporciona una prueba detallada, y además a continuación se ofrece un resumen.

:*'''Resumen de la demostración''': Por suposición, para {{enf|cualquier}} <math>0 \neq y \in X</math> distinto de cero, es posible elegir <math>r > 0</math> y <math>R > 0</math> reales positivos de modo que <math>R y \in A</math> y <math>r (- y) \in A</math> de modo que el conjunto convexo <math>A \cap \Reals y</math> contenga el subintervalo abierto <math>(-r, R) y \,\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\, \{t y : -r < t < R, t \in \Reals\}</math>, que contiene el origen (<math>A \cap \Reals y</math> se llama [[Intervalo (matemática)|intervalo]], ya que se identifica <math>\Reals y</math> con <math>\Reals</math> y cada subconjunto convexo no vacío de <math>\Reals</math> es un intervalo). Dados <math>\mathbb{K} y</math> su [[#Topología vectorial de Hausdorff en un espacio vectorial unidimensional|topología vectorial única de Hausdorff]], queda por demostrar que <math>A \cap \mathbb{K} y</math> es un entorno del origen en <math>\mathbb{K} y</math>. Si es <math>\mathbb{K}= \Reals</math>, entonces se ha terminado, así que supóngase que <math>\mathbb{K}= \Complex</math>. El conjunto <math>S \,\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\, (A \cap \Reals y) \,\cup\, (A \cap \Reals (i y)) \,\subseteq\, A \cap (\Complex y)</math> es una unión de dos intervalos, cada uno de los cuales contiene un subintervalo abierto que a su vez contiene el origen. Además, la intersección de estos dos intervalos es precisamente el origen. Entonces, la envolvente convexa de <math>S</math>, que está contenida en el conjunto convexo <math>A \cap \Complex y</math>, contiene claramente una bola abierta alrededor del origen. <math>\blacksquare</math></li>

#<li value="13">Para cada <math>x \in X</math>, existe un <math>r > 0</math> real positivo tal que <math>x \in r A</math>.
#* Esta condición equivale a que: todo <math>x \in X</math> pertenece al conjunto <math>{\textstyle\bigcup\limits_{0 < r < \infty}} r A= \{r a : 0 < r < \infty, a \in A\}= (0, \infty) A</math>. Esto sucede si y solo si <math>X= (0, \infty) A</math>, que da la siguiente caracterización:
#<math>(0, \infty) A= X</math>.
#* Se puede demostrar que para cualquier subconjunto <math>T</math> de <math>X</math>, <math>(0, \infty) T= X</math> si y solo si <math>T \cap (0, \infty) x \neq \varnothing</math> para cada <math>x \in X</math>, donde <math>(0, \infty) x \,\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\, \{r x : 0 < r < \infty\}.</math>
# Por cada <math>x \in X</math>, <math>A \cap (0, \infty) x \neq \varnothing</math>.

Si <math>0 \in A</math> (lo que es necesario para que <math>A</math> sea absorbente), entonces es suficiente verificar cualquiera de las condiciones anteriores para todos los <math>x \in X</math>, distintos de cero en lugar de para todos los <math>x \in X</math>.

==Ejemplos y condiciones suficientes==

===Para que un conjunto pueda absorber a otro===

Sea <math>F : X \to Y</math> una [[aplicación lineal]] entre espacios vectoriales y sean <math>B \subseteq X</math> y <math>C \subseteq Y</math> conjuntos equilibrados. Entonces <math>C</math> absorbe <math>F(B)</math> si y solo si <math>F^{-1}(C)</math> absorbe <math>B</math>.{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-457}}

Si un conjunto <math>A</math> absorbe otro conjunto <math>B</math>, entonces cualquier superconjunto de <math>A</math> también absorbe a <math>B</math>.
Un conjunto <math>A</math> absorbe el origen si y solo si el origen es un elemento de <math>A</math>.

Un conjunto <math>A</math> absorbe una unión finita <math>B_1 \cup \cdots \cup B_n</math> de conjuntos si y solo absorbe cada elemento individual del conjunto (es decir, si y solo si <math>A</math> absorbe <math>B_i</math> para cada <math>i= 1, \ldots, n</math>). En particular, un conjunto <math>A</math> es un subconjunto absorbente de <math>X</math> si y solo si absorbe cada subconjunto finito de <math>X</math>.

===Para que un conjunto sea absorbible===

La [[1-esfera]] de cualquier [[espacio vectorial normado]] (o [[espacio vectorial normado|espacio vectorial seminormado]]) es absorbente.
De manera más general, si <math>X</math> es un [[espacio vectorial topológico]] (EVT), entonces cualquier entorno del origen en <math>X</math> es absorbente en <math>X</math>. Este hecho es una de las principales motivaciones para definir la propiedad "absorbible en <math>X</math>".

Cada superconjunto de un conjunto absorbente es absorbente. En consecuencia, la unión de cualquier familia de (uno o más) conjuntos absorbentes es absorbente. La intersección de un número finito de subconjuntos absorbentes es una vez más un subconjunto absorbente. Sin embargo, las bolas abiertas <math>(-r_n, -r_n)</math> de radio <math>r_n= 1, 1/2, 1/3, \ldots</math> son todas absorbentes en <math>X := \Reals</math> aunque su intersección <math>\bigcap_{n \in \N} (-1/n, 1/n)= \{0\}</math> no es absorbente.

Si <math>D \neq \varnothing</math> es un [[Conjunto absolutamente convexo|disco]] (un subconjunto convexo y equilibrado), entonces <math>\operatorname{expan} D= {\textstyle\bigcup\limits_{n=1}^\infty} n D;</math> y, por lo tanto, en particular, un disco <math>D \neq \varnothing</math> es siempre un subconjunto absorbente de <math>\operatorname{span} D</math>.{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=67-113}}.
Por lo tanto, si <math>D</math> es un disco en <math>X</math>, entonces <math>D</math> está absorbido en <math>X</math> si y solo si <math>\operatorname{span} D= X</math>.
Esta conclusión no está garantizada si el conjunto <math>D \neq \varnothing</math> es equilibrado pero no convexo. Por ejemplo, la unión <math>D</math> de los ejes <math>x</math> e <math>y</math> en <math>X= \Reals^2</math> es un conjunto equilibrado no convexo que no es absorbente en <math>\operatorname{span} D= \Reals^2</math>.

La imagen de un conjunto absorbible bajo un operador lineal sobreyectivo vuelve a ser absorbible. La imagen inversa de un subconjunto absorbible (del codominio) bajo un operador lineal es nuevamente absorbible (en el dominio).
Si <math>A</math> es absorbente, lo mismo ocurre con su [[conjunto simétrico]] <math>{\textstyle\bigcap\limits_{|u|=1}} u A \subseteq A</math>.

'''Espacios normados auxiliares'''

Si <math>W</math> es [[Convexidad|convexo]] y absorbible en <math>X</math>, entonces el [[conjunto simétrico]] <math>D := {\textstyle\bigcap\limits_{|u|=1}} u W</math> será convexo y [[conjunto equilibrado|equilibrado]] (también conocido como {{enf|[[conjunto absolutamente convexo]]}} o {{enf|[[Conjunto absolutamente convexo|disco]]}}) además de ser absorbible en <math>X</math>.
Esto garantiza que el [[funcional de Minkowski]] <math>p_D : X \to \Reals</math> de <math>D</math> sea un [[seminorma]] en <math>X</math>, convirtiendo así a <math>\left(X, p_D\right)</math> en una [[seminorma]] que lleva su topología canónica [[Espacio vectorial topológico metrizable|pseudometrizable]]. El conjunto de múltiplos escalares <math>r D</math> como <math>r</math> se extiende sobre <math>\left\{\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \ldots\right\}</math> (o sobre cualquier otro conjunto de escalares distintos de cero que tenga <math>0</math> como punto límite) forma una [[base de entornos]] de [[Conjunto absolutamente convexo|discos]] absorbentes en el origen de esta topología [[Espacio localmente convexo|localmente convexa]]. Si <math>X</math> es un [[espacio vectorial topológico]] y si este subconjunto absorbente convexo <math>W</math> también es un [[Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)|subconjunto acotado]] de <math>X</math>, entonces todo esto también será cierto para el disco absorbente <math>D := {\textstyle\bigcap\limits_{|u|=1}} u W;</math>. Si además <math>D</math> no contiene ningún subespacio vectorial no trivial, entonces <math>p_D</math> será una [[Norma vectorial|norma]] y <math>\left(X, p_D\right)</math> formará lo que se conoce como un [[espacio normado auxiliar]].{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=115-154}} Si este espacio normado es un [[espacio de Banach]], entonces <math>D</math> se llama {{enf|[[disco de Banach]]}}.

==Propiedades==
{{VT|Espacio vectorial topológico#Propiedades|l1=Propiedades de un espacio vectorial topológico}}

Cada conjunto absorbente contiene el origen. Si <math>D</math> es un [[Conjunto absolutamente convexo|disco]] absorbente en un espacio vectorial <math>X</math>, entonces existe un disco absorbente <math>E</math> en <math>X</math> tal que <math>E + E \subseteq D</math>.{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=149-153}}

Si <math>A</math> es un subconjunto absorbente de <math>X</math>, entonces <math>X= {\textstyle\bigcup\limits_{n=1}^\infty} n A</math> y, de manera más general, <math>X= {\textstyle\bigcup\limits_{n=1}^\infty} s_n A</math> para cualquier secuencia de escalares <math>s_1, s_2, \ldots</math> tal que <math>\left|s_n\right|\to \infty</math>. En consecuencia, si un [[espacio vectorial topológico]] <math>X</math> es un [[conjunto no exiguo|subconjunto no exiguo]] de sí mismo (o de manera equivalente para ETV, si es un [[espacio de Baire]]) y si <math>A</math> es un subconjunto absorbente cerrado de <math>X</math>, entonces <math>A</math> contiene necesariamente un subconjunto abierto no vacío de <math>X</math> (en otras palabras, el [[interior (topología)|interior]] de <math>A</math> no estará vacío), lo que garantiza que <math>A - A</math> sea un [[Entorno (matemática)|entorno del origen]] en <math>X</math>.

==Véase también==
* [[Interior algebraico]]
* [[Conjunto absolutamente convexo]]
* [[Conjunto equilibrado]]
* [[Conjunto bornívoro]]
* [[Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)]]
* [[Convexidad]]
* [[Espacio localmente convexo]]
* [[Conjunto radial]]
* [[Dominio en estrella]]
* [[Conjunto simétrico]]
* [[Espacio vectorial topológico]]

==Notas==
{{reflist|group=nota}}

'''Demostraciones'''

{{reflist|group=demo|refs=
<ref name=ProofInCaseOfConvexSet>'''Demostración''': Sea <math>X</math> un espacio vectorial sobre el campo <math>\mathbb{K}</math>, siendo <math>\mathbb{K}</math> <math>\R</math> o <math>\Complex</math>, y dote al campo <math>\mathbb{K}</math> de su habitual topología euclidiana normada.
Sea <math>A</math> un conjunto convexo tal que para cada <math>z \in X</math>, existe un <math>r > 0</math> real positivo tal que <math>r z \in A</math>.
Debido a <math>0 \in A</math>, si <math>X= \{0\}</math> entonces la prueba está completa, asuma <math>\operatorname{dim} X \neq 0</math>.
Claramente, todo subconjunto convexo no vacío de la recta real <math>\R</math> es un intervalo (posiblemente abierto, cerrado o semicerrado; posiblemente degenerado (es decir, un [[conjunto unitario]]); posiblemente acotado o ilimitado).
Recuerde que la intersección de conjuntos convexos es convexa de modo que para cada <math>0 \neq y \in X</math>, los conjuntos <math>A \cap \mathbb{K} y</math> y <math>A \cap \R y</math> son convexos, donde ahora la convexidad de <math>A \cap \R y</math> (que contiene el origen y está contenida en la línea <math>\R y</math>) implica que <math>A \cap \R y</math> es un intervalo contenido en la línea <math>\R y= \{r y : -\infty < r < \infty\}</math>.
'''Lema''': Si <math>0 \neq y \in X</math> entonces el intervalo <math>A \cap \R y</math> contiene un subintervalo abierto que contiene el origen.
''Prueba del lema'': Por suposición, desde <math>y \in X</math> podemos elegir algún <math>R > 0</math> tal que <math>R y \in A</math> y (porque <math>- y \in X</math>) también podemos elegir algún <math>r > 0</math> tal que <math>r (- y) \in A</math>, donde <math>r (-y)= (- r) y</math> y <math>- r y \neq R y</math> (desde <math>y \neq 0</math>).
Debido a que <math>A \cap \R y</math> es convexo y contiene los puntos distintos <math>- r y</math> y <math>R y</math>, contiene el casco convexo de los puntos <math>\{- r y, R y\}</math>, que (en particular) contiene el subintervalo abierto <math>(-r, R) y= \{t y : -r < t < R, t \in \R\}</math>, donde este subintervalo abierto <math>(-r, R) y</math> contiene el origen (para ver por qué , tome <math>t= 0</math>, que satisface <math>- r < t= 0 < R</math>), lo que prueba el lema. <math>\blacksquare</math>
Ahora arregle <math>0 \neq x \in X</math>, deje que <math>Y := \operatorname{span} \{x\}= \mathbb{K} x</math>. Debido a que <math>0 \neq x \in X</math> era arbitrario, para demostrar que <math>A</math> es absorbente en <math>X</math> es necesario y suficiente demostrar que <math>A \cap Y</math> es un entorno del origen en <math>Y</math> cuando a <math>Y</math> se le da su topología euclidiana de Hausdorff habitual, donde recordemos que esta topología define el mapa <math>\mathbb{K} \to \mathbb{K} x</math>. por <math>c \mapsto c x</math> en un isomorfismo TVS.
Si <math>\mathbb{K}= \R</math>, entonces el hecho de que el intervalo <math>A \cap Y= A \cap \R x</math> contenga un subintervalo abierto alrededor del origen significa exactamente que <math>A \cap Y</math> es un entorno del origen en <math>Y= \R x</math>, lo que completa la prueba.
Entonces supongamos que <math>\mathbb{K}= \Complex</math>.
Escriba <math>i := \sqrt{-1}</math>, de modo que <math>i x \in Y= \Complex x</math> y <math>Y= \Complex x= (\R x) + (\R (i x))</math> (ingenuamente, <math>\R x</math> es el "eje <math>x</math>" y <math>\R (i x)</math> es el "eje <math>y</math>" de <math>\Complex (i x)</math>).
El conjunto <math>S := (A \cap \R x) \cup (A \cap \R (i x))</math> está contenido en el conjunto convexo <math>A \cap Y</math>, de modo que el casco convexo de <math>S</math> está contenido en <math>A \cap Y</math>.
Según el lema, cada uno de <math>A \cap \R x</math> y <math>A \cap \R (i x)</math> son segmentos de línea (intervalos) y cada segmento contiene el origen en un subintervalo abierto; además, se cruzan claramente en el origen.
Elija un <math>d > 0</math> real tal que <math>(-d, d) x= \{t x : -d < t < d, t \in \R\} \subseteq A \cap \R x</math> y <math>(-d, d) i x= \{t i x : -d < t < d, t \in \R\} \subseteq A \cap \R (i x)</math>.
Sea <math>N</math> la cáscara convexa de <math>[(-d, d) x] \cup [(-d, d) i x]</math>, que está contenida en la cáscara convexa de <math>S</math> y, por tanto, también contenida en el conjunto convexo <math>A \cap Y</math>.
Para finalizar la prueba, basta demostrar que <math>N</math> es un entorno de <math>0</math> en <math>Y</math>.
Visto como un subconjunto de [[plano complejo]] <math>\Complex \cong Y</math>, <math>N</math> tiene la forma de un cuadrado abierto con sus cuatro esquinas en los ejes positivo y negativo <math>x</math> y <math>y</math> (es decir, en <math>(0, \infty) x</math>, <math>(-\infty, 0) x</math>, <math>(0, \infty) i x</math> y <math>(-\infty, 0) i x</math>).
Por lo tanto, se verifica fácilmente que <math>N</math> contiene la bola abierta <math>B_{d/2} x := \{c x : c \in \mathbb{K} \text{and }|c|< d/2\}</math> de radio <math>d/2</math> centrada en el origen de <math>Y= \Complex x</math>.
Por tanto, <math>A \cap Y</math> es un entorno del origen en <math>Y= \Complex x</math>, como se desea. <math>\blacksquare</math></ref>
}}

==Referencias==
{{listaref}}

==Bibliografía==
* {{cita libro|apellido=Berberian|nombre=Sterling K.|título=Lectures in Functional Analysis and Operator Theory|editorial=Springer|ubicación=New York|año=1974|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=15|isbn=978-0-387-90081-0|oclc=878109401}}
* {{cita libro|apellido=Bourbaki|nombre=Nicolas|enlace-autor=Nicolas Bourbaki|traductor=Eggleston, H.G.; Madan, S.|título=Topological Vector Spaces: Chapters 1–5|url=https://archive.org/details/topologicalvecto0000nbou|editorial=Springer-Verlag|ubicación=Berlin New York|año=1987|año-original=1981|series=[[Elementos de matemática]]|isbn=3-540-13627-4|oclc=17499190}}
* {{cita libro|apellido= Nicolas|nombre=Bourbaki|año=2003|título=Topological vector spaces Chapter 1-5 (English Translation)|editorial=Springer-Verlag|ubicación=New York|isbn=3-540-42338-9|page=I.7}}
* {{cita libro|apellido=Conway|nombre=John|enlace-autor=John B. Conway|título=A course in functional analysis|edición=2nd|editorial=[[Springer Publishing|Springer-Verlag]]|ubicación=New York|año=1990|series=[[ Graduate Texts in Mathematics]]|volume=96|isbn=978-0-387-97245-9|oclc=21195908}}
* {{cita libro|apellido=Diestel|nombre=Joe|título=The Metric Theory of Tensor Products: Grothendieck's Résumé Revisited|editorial=[[American Mathematical Society]]|ubicación=Providence, R.I.|año=2008|volume=16|isbn=9781470424831|oclc=185095773}}
* {{cita libro|apellido=Dineen|nombre=Seán|título=Complex Analysis in Locally Convex Spaces|editorial=North-Holland Pub. Co., Elsevier Science Pub. Co|ubicación=Amsterdam New York New York|año=1981|volume=57|series=North-Holland Mathematics Studies|isbn=978-0-08-087168-4|oclc=16549589}}
* {{cita libro|apellido1=Dunford|nombre1=Nelson|enlace-autor1=Nelson Dunford|apellido2=Schwartz|nombre2=Jacob T.|enlace-autor2=Jacob T. Schwartz|título=Linear Operators|editorial=[[John Wiley &amp; Sons]]|ubicación=New York|date=1988|volume=1|series=[[ Pure and applied mathematics]]|isbn=978-0-471-60848-6|oclc=18412261}}
* {{cita libro|apellido=Edwards|nombre=Robert E.|título=Functional Analysis: Theory and Applications|editorial=Dover Publications|ubicación=New York|año=1995|isbn=978-0-486-68143-6|oclc=30593138}}
* {{cita libro|apellido=Grothendieck|nombre=Alexander|enlace-autor=Alexander Grothendieck|traductor=Chaljub, Orlando|título=Topological Vector Spaces|editorial=Gordon and Breach Science Publishers|ubicación=New York|año=1973|isbn=978-0-677-30020-7|oclc=886098|url=https://archive.org/details/topologicalvecto0000grot}}
* {{cita libro|apellido=Hogbe-Nlend|nombre=Henri|enlace-autor=Henri Hogbe-Nlend|título=Bornologies and Functional Analysis: Introductory Course on the Theory of Duality Topology-Bornology and its use in Functional Analysis|editorial=North Holland|ubicación=Amsterdam New York New York|año=1977|volume=26|series=North-Holland Mathematics Studies|isbn=978-0-08-087137-0|oclc=316549583|mr=0500064}}
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* {{cita libro|apellido=Wilansky|nombre=Albert|enlace-autor=Albert Wilansky|título=Modern Methods in Topological Vector Spaces|editorial=Dover Publications, Inc|ubicación=Mineola, New York|año=2013|isbn=978-0-486-49353-4|oclc=849801114}}
* {{cita libro|apellido=Wong|nombre=Yau-Chuen|enlace-autor=Yau-Chuen Wong|título=Schwartz Spaces, Nuclear Spaces, and Tensor Products|editorial=[[Springer Publishing|Springer-Verlag]]|ubicación=Berlin New York|año=1979|volume=726|series=[[ Lecture Notes in Mathematics]]|isbn=978-3-540-09513-2|oclc=5126158}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Análisis funcional]]