Ver el código de «Conmutatividad»

[[Archivo:Commutative Addition.svg|thumb|upright=1.5|[[Y|Ejemplo que muestra la conmutatividad de la suma: 3&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;=&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;]]3=5

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En [[matemáticas]], la '''propiedad conmutativa''' o '''conmutatividad''' es una propiedad fundamental que tienen algunas [[operación binaria|operaciones]] según la cual el resultado de operar dos elementos no depende del orden en el que se toman.<ref>{{cita web|título=conmutativo, va|url=https://dle.rae.es/conmutativo|obra=RAE}}</ref> Esto se cumple en la [[adición]] y la [[multiplicación]] ordinarias: el ''orden de los sumandos no altera la suma'', o ''el orden de los factores no altera el producto''. 

La conmutatividad de las operaciones elementales de sumar y multiplicar ya era conocida implícitamente desde la Antigüedad, aunque no fue llamada así hasta principios del {{siglo|XIX||s}}, época en que las matemáticas contemporáneas empezaban a formalizarse. Las sucesivas ampliaciones del concepto de [[número]] (números naturales, números enteros, números racionales, números reales) ampliaron el alcance de las operaciones de sumar y multiplicar, pero en todas ellas se preserva la conmutatividad. Esta propiedad también se satisface en muchas otras operaciones, como la suma de vectores, polinomios, matrices, funciones reales, etc., o el producto de polinomios o de funciones reales.

En contraposición a la adición y la multiplicación de números, la [[sustracción]] y la [[División (matemática)|división]] no son operaciones conmutativas. Entre las operaciones no conmutativas cabe destacar también la [[función compuesta|composición de funciones]], el [[multiplicación de matrices|producto de matrices]] y el [[producto vectorial]].

A pesar de ser una propiedad aplicada básicamente a las operaciones matemáticas, la conmutatividad o la no conmutatividad son relevantes en otros campos cercanos como la [[lógica proposicional]] y algunas operaciones de [[teoría de conjuntos]], y en algunas aplicaciones físicas tales como el [[Relación de indeterminación de Heisenberg|principio de incertidumbre]] de la [[mecánica cuántica]]. Fuera del ámbito científico, también se pueden encontrar ejemplos en la vida cotidiana, ya que la ejecución consecutiva de dos acciones puede tener un resultado diferente según el orden en que se ejecuten.

== Definición ==
De hecho, la conmutatividad es un caso particular del concepto de [[función simétrica]]. En efecto, una operación binaria en ''M'' no es más que una aplicación μ: ''M''&nbsp;×&nbsp;''M'' <math>\rightarrow</math> ''M'', y afirmar que esta es simétrica, μ(''x'',''y'') = μ(''y'',''x''), es exactamente lo mismo que lo que requiere la propiedad conmutativa.

Dada una operación binaria <math>\star</math> un conjunto ''M'', se dice que dos elementos ''x'', ''y'' de ''M'' conmutan (o que son ''permutables'') cuando se cumple que ''x''<math>\star</math>''y'' = ''y''<math>\star</math>''x''. Así pues, una operación es conmutativa cuando dos elementos cualesquiera conmutan.

== Ejemplos básicos: adición y multiplicación de números ==
La importancia fundamental de la propiedad conmutativa radica en el hecho de que la adición y la multiplicación de números naturales Por ejemplo:
: <math>
   2 + 3 =
   5 =
   3 + 2
</math>

: <math>
   2 \cdot 3 =
   6 =
   3 \cdot 2
</math>

Expresado de manera general: para cualquier ''x'', ''y'' de '''N''':
: <math>
   x + y =
   y + x
</math>

: <math>
   x \cdot y =
   y \cdot x
</math>

La ampliación del sistema de los números naturales a otros [[número|sistemas numéricos]]: [[número entero|números enteros]] (<math>\mathbb{Z}</math>), [[número racional|números racionales]] (<math>\mathbb{Q}</math>), [[número real|números reales]] (<math>\mathbb{R}</math>), y [[número complejo|números complejos]] (<math>\mathbb{C}</math>), se hace extendiéndose las operaciones de adición y multiplicación, y de manera que estas siguen siendo conmutativas. Por ejemplo:
: <math>
   \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{3} = 26
   \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{2}
</math>

Esto no quiere decir que cualquier ampliación de un sistema numérico necesariamente vaya a respetar las propiedades previas. El ejemplo más importante de este hecho viene dado por el cuerpo de los [[cuaterniones]] ''H'', que, al igual que el de los números complejos, también es una extensión del cuerpo de los números reales, pero con tres [[unidad imaginaria|unidades imaginarias]] ''i'', ''j'', ''k'' en lugar de una. La multiplicación de ''H'' ''no'' es conmutativa,{{sfn|Bourbaki|1970|p= A&nbsp;III.19}} ya que por ejemplo ''i''·''j'' = ''k'', es diferente de ''j''·''i'' = -''k''.

En contraste con las operaciones de adición y multiplicación, las operaciones que las permiten invertir, [[resta|sustracción]] y [[División (matemática)|división]], son claramente ''no conmutativas''. Basta poner un par de ejemplos:
* La [[resta|substracción]] no es conmutativa, ya que 1-2 <math>\neq</math> 2-1.
* La [[División (matemática)|división]] no es conmutativa, ya que 1/2 <math>\neq</math> 2/1.
Nótese que para poder efectuar estos cálculos hay que trabajar en el sistema numérico apropiado: '''Z''' para poder restar, y '''Q''' para poder dividir por un número diferente de &nbsp;0

== Propiedades ==

Es importante destacar que para sacar provecho de la conmutatividad de una operación es necesario que ésta sea [[Asociatividad (álgebra)|asociativa]], ya que en este caso la composición de ''n'' elementos ''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub> se puede representar (sin paréntesis) como ''x''<sub>1</sub><math>\star</math>…<math>\star</math>''x''<sub>''n''</sub>. Por ejemplo{{sfn|Bourbaki|1970|p= A&nbsp;I.8}}{{sfn|Lang|2002|p=5}}
* (''Teorema de conmutatividad'') Si una operación es asociativa y conmutativa entonces la composición de ''n'' elementos se puede calcular en 
:para cualquier permutación (y 1,..., y n) de los índices (1,..., n ).
Si una operación <math>\star</math> asociativa y dos elementos ''x'', ''y'' conmutan, entonces también conmutan sus «potencias»: <math>(\star^m x) \star (\star^n y) = (\star^n y) \star (\star^m x)</math>, para cualquier ''m'' y ''n'' números naturales no nulos. En particular, todas las «potencias» <math>\star^n x</math> (''n''> 0) conmutan entre ellas.
* Sea <math>\star</math> operación asociativa en ''M''. Si ''x'' conmuta con ''y'' y con ''z'', entonces también conmuta con ''y''<math>\star</math>''z''

=== Centro ===
{{AP|Centro (álgebra)}}
Dado un conjunto ''M'' con una operación interna, el [[Centro (álgebra)|centro]] de M es el subconjunto formado por los elementos que conmutan con todos los demás; a veces se representa por Z(''M''). Afirmar que la operación es conmutativa significa que el centro de ''M'' es todo ''M''.

Como consecuencia de la última de las propiedades anteriores, si la operación es asociativa entonces el centro de ''M'' es una parte estable para la operación (es decir, si dos elementos ''x'', ''y'' pertenecen al centro entonces x <math>\star</math> también pertenece.)

== Estructuras algebraicas y conmutatividad ==

Una [[estructura algebraica]] viene dada por uno o varios conjuntos dotados de [[operación binaria|operaciones binarias]] u operaciones externas. En la definición de cada tipo de estructura algebraica impone que estas operaciones cumplan ciertas propiedades, entre las que puede estar la propiedad conmutativa. Cuando en alguna de estas operaciones no se impone que satisfaga la propiedad conmutativa pero sin embargo la satisface, entonces se añade el adjetivo ''conmutativo'' el nombre de la estructura en cuestión.{{sfn|Bourbaki|1970|p= cap.&nbsp;1.}}
* Un [[Magma (álgebra)|magma]] es un conjunto dotado de una operación binaria. Cuando esta es conmutativa se llama ''magma conmutativo''.
* Un [[monoide]] es un conjunto dotado de una operación asociativa con elemento neutro. Si también es conmutativa, se dice ''monoide conmutativo''. Por ejemplo, ('''N''',+) y ('''N''',·) son monoides conmutativos.
* Un [[Grupo (matemática)|grupo]] es un conjunto dotado de una operación asociativa, con [[elemento neutro]], y donde todo elemento es [[Elemento simétrico|simetritzable]]. Si la operación es conmutativa se llama '''[[grupo conmutativo]]''' o ''grupo abeliano''. Por ejemplo, ('''Z''',+) es un grupo conmutativo.
* Un [[Anillo (matemática)|anillo]] es un conjunto ''A'' dotado de dos operaciones binarias, habitualmente denotadas con notación aditiva (+) y notación multiplicativa (·). Respecto a la primera, (''A'',+) es un ''grupo conmutativo''. Respecto a la segunda, (''A'',·) es un monoide. Además, la segunda debe ser [[Distributividad|distributiva]] respecto a la primera. Cuando la multiplicación es conmutativa, se llama '''[[anillo conmutativo]]'''. Por ejemplo, ('''Z''',+, ·) es un anillo conmutativo.
* Un [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] es un anillo donde 0≠1 y todo elemento no nulo es invertible. Un cuerpo se llama '''cuerpo conmutativo''' cuando la multiplicación es conmutativa. Por ejemplo, con la suma y producto habituales, '''Q''', '''R''' y '''C''' son cuerpos conmutativos, mientras que el cuerpo de los cuaterniones '''H''' es un cuerpo no conmutativo. (Nótese, sin embargo, que algunos autores prefieren requerir la conmutatividad del producto dentro de la definición de cuerpo, en cuyo contexto los cuerpos no conmutativos son llamados ''anillos de división''.)
* Un [[espacio vectorial]] sobre un cuerpo ''K'' es un conjunto E dotado de una adddició respecto a la que (''E'',+) es un grupo conmutativo, y de una operación externa que permite multiplicar elementos de ''E'' (vectores) para elementos de K (escalares). Si en lugar de un cuerpo se considera un anillo la estructura resultante se llama [[Módulo (matemática)|módulo]].
* Dado un cuerpo conmutativo ''K'' (o, más generalmente, un anillo conmutativo), una ''K''-[[Álgebra sobre un cuerpo|álgebra]] es un conjunto A dotado de una estructura de ''K''-espacio vectorial (''K''-módulo si ''K'' es un anillo) y de una segunda operación binaria, usualmente representada con notación multiplicativa. Cuando esta operación es conmutativa se llama ''K-''álgebra conmutativa''. Por ejemplo, '''C''' y '''H''' son '''R'''-álgebras asociativas y unitarias; la primera es conmutativa y la segunda no. Otro ejemplo de gran importancia es el conjunto de los polinomios en una variable con coeficientes en ''K'', ''K''[X], que con las operaciones habituales de suma y producto de polinomios y de producto por escalares es una ''K''-álgebra asociativa, conmutativa y unitaria.

Hay, sin embargo, un caso especial en el que el adjetivo ''conmutativo'' no tiene exactamente el mismo significado que en los casos anteriores:

* Una ''K''-[[álgebra de Lie]] es una ''K''-álgebra cuyo producto, usualmente denotado por (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> [''x'',''y''], satisface las propiedades de ser [[aplicación alternada|alternado]] ([''x'',''x''] = 0 para todo ''x'') y la [[identidad de Jacobi]]. Se dice que es una ''K''-'''álgebra de Lie conmutativa''' cuando el producto de dos elementos cualesquiera es nulo: [''x'',''y'']=0.{{sfn|Bourbaki|1971|p= cap.&nbsp;1}}

El adjetivo ''conmutativo'' aparece también en el nombre de una rama del [[Álgebra abstracta|álgebra]]: el '''[[álgebra conmutativa]]''', que estudia los [[anillo conmutativo|anillos conmutativos]] y sus [[Módulo (matemática)|módulos]].

== Historia ==

[[Archivo:Commutative Word Origin.PNG|right|thumb|upright=1.5|El primer uso conocido del término «conmutativo» fue en un artículo de servos en francés, en 1814.]]
Los primeros usos implícitos de la propiedad conmutativa se remontan a la Antigüedad. Los [[Egipto|egipcios]] utilizaban la propiedad conmutativa de la multiplicación para simplificar el cálculo de [[Productorio|productos]].{{sfn|Lumpkin|1997|p=11}}{{sfn|Robins|Shute|1987}}
En la [[Antigua Grecia]], [[Euclides]] asumió la propiedad conmutativa de la multiplicación en su obra ''[[Elementos de Euclides|Elementos]]''.{{sfn|O'Connor|Robertson|2005}}
Los usos formales de la propiedad conmutativa aparecieron a finales del {{siglo|XVIII||s}} y los inicios del XIX, cuando los matemáticos empezaron a trabajar en el campo de la teoría de funciones.

La primera utilización documentada del adjetivo ''conmutativo'' fue en un artículo de [[François Servois]] de 1814 los ''Annales de Gergonne'',{{sfn|Servois|1814|p= 98}}{{sfn|Miller|2013}}{{sfn|O'Connor|Robertson|2000}}
donde aparece la expresión en francés ''conmutativas entre ellas'' para describir, en la terminología actual, el hecho de que dos funciones conmutan.
En 1841 Duncan Farquharson Gregory usó la expresión en inglés ''commutative law'' en su libro ''Examples of the processes of the differential and integral calculus''{{sfn|Gregory|1841|p= 233}} para referirse a la posibilidad de conmutar dos operaciones. Este uso fue recogido poco después, en 1844, por [[George Boole]] en un artículo en ''Philosophical Transactions''.{{sfn|Boole|1844|p= 225}}

== Otros usos y ejemplos de conmutatividad ==
{{Reglas de transformación}}

=== Lógica proposicional ===
La propiedad conmutativa también es aplicable a algunas operaciones de la [[lógica proposicional]]. En lógica proposicional, la conmutación se encuentra en algunas reglas de sustitución:
:<math>(P \lor Q) \Leftrightarrow (Q \lor P)</math>
y
:<math>(P \land Q) \Leftrightarrow (Q \land P)</math>,
donde "<math>\Leftrightarrow</math>" es un [[símbolo (lógica)|símbolo]] [[metalógica|metalógico]] que significa «en una demostración formal, se puede sustituir con...».

== Conectivos de funciones de verdad ==
La conmutatividad es una propiedad de algunas [[conectiva lógica|conectivas lógicas]] de la [[lógica proposicional]], que se expresa con [[equivalencia lógica|equivalencias lógicas]]:

''Conmutatividad de la conjunción''
:<math>(P \land Q) \leftrightarrow (Q \land P)</math>
''Conmutatividad de la disyunción''
:<math>(P \lor Q) \leftrightarrow (Q \lor P)</math>
''Conmutatividad de la implicación'' (también llamada ley de la permutación)
:<math>(P \to (Q \to R)) \leftrightarrow (Q \to (P \to R))</math>
''Conmutatividad de la equivalencia'' (también llamada ley conmutativa completa de la equivalencia)
:<math>(P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow (Q \leftrightarrow P)</math>

=== Teoría de conjuntos ===
La [[unión]] y la [[Intersección de conjuntos|intersección]] de [[conjunto]]s son operaciones conmutativas.{{sfn|Bourbaki|1970.|p= E&nbsp;II.23.}} Aunque estas operaciones se pueden efectuar con familias arbitrarias de conjuntos, cuando se trata de dos conjuntos estas propiedades se expresan
:<math>A \cup B = B \cup A, \quad A \cap B = B \cap A</math>.

La suma y el producto de cardinales son operaciones conmutativas.{{sfn|Bourbaki|1970.|p= E&nbsp;III.26.}}
Si <math>\mathfrak{a}</math> i <math>\mathfrak{b}</math> son dos cardinales, entonces
:<math>\mathfrak{a} + \mathfrak{b} = \mathfrak{b} + \mathfrak{a}, \quad \mathfrak{a} \mathfrak{b} = \mathfrak{b} \mathfrak{a}</math>.
Esto implica en particular que la suma y el producto de números naturales (es decir, los cardinales de los [[conjunto finito|conjuntos finitos]]) son conmutativas. La conmutatividad de la suma es consecuencia de la de la unión de conjuntos. La conmutatividad del producto es consecuencia de que un producto cartesiano de conjuntos tiene el mismo número de elementos independientemente de cómo se realice este producto.

En contraste con los cardinales, en general la suma y el producto de [[ordinal]]es transfinitos no son conmutativas.{{sfn|Cantor|2006|p=131}}{{sfn|Halmos|p=83-84}} Por ejemplo, si ω es el ordinal de&nbsp;'''N''', 1 + ω ≠ ω + 1.

== Otras operaciones algebraicas ==
Además de la adición y multiplicación de números, hay otras operaciones análogas que son conmutativas.
Entre ellas destaca la adición de [[Vector (matemática)|vectores]] en un espacio vectorial cualquiera, como por ejemplo el espacio euclidiano '''R'''<sup>''n''</sup>, l'espai M<sub>''m,n''</sub>('''R''') de las matrices ''m''×''n'' con coeficientes reales, o el espacio de las [[función real|funciones reales]]  <math>\mathcal{F}</math>(''E'','''R''') definidas en un conjunto cualquiera ''E''.
También se dice que el [[producto escalar]] de vectores en un espacio euclidiano es conmutativo, aunque, al no tratarse de una operación interna, sería más apropiado decir que es ''simétrico''.

=== Vida cotidiana ===
En la vida cotidiana se pueden encontrar numerosos ejemplos de operaciones conmutativas, como por ejemplo la acción de ponerse los calcetines: no importa qué calcetín se ponga primero, de cualquiera de las dos maneras el resultado final (tener los dos calcetines puestos) es el mismo. Un ejemplo que utiliza la conmutatividad de la adición se observa cuando se paga un producto o servicio con monedas: independientemente del orden en que se den en el cajero, el total acumulado siempre es el mismo.

== Ejemplos de operaciones no conmutativas ==

=== Teoría de conjuntos ===
La [[composición de funciones]] no es una operación conmutativa. Por ejemplo, consideremos las funciones ''f'',''g'': '''R''' → '''R''' definidas por ''f''(''x'')=''x''+1, ''g''(''x'')=''x''<sup>2</sup>. Entonces
:<math>(g \circ f)(x) = x^2+2x+1</math> &nbsp; que es diferente de &nbsp; <math>(f \circ g)(x) = x^2+1</math>.

Un caso particular interesante es el de las biyecciones de un conjunto en sí mismo, es decir, las permutaciones, que forman un grupo dicho grupo simétrico. Este no es conmutativo cuando el conjunto tiene 3 o más elementos.

=== Operaciones anticonmutativas ===

Un [[álgebra]] es anticonmutativa si y sólo si ''x*y'' = -''(y*x)'' [[para todo]] ''x'', ''y'', donde * representa a un operador matemático binario.

Entre los ejemplo de operadores anticonmutativos se encuentran:
* La [[resta]].
* El [[producto vectorial]].
* Las [[Álgebra de Lie|álgebras de Lie]].

=== Otras operaciones algebraicas ===
En cuanto a operaciones no conmutativas en matemática, y aparte de la sustracción y división ya mencionadas, algunas operaciones binarias no conmutativas son las siguientes:
La [[potenciación]] no es conmutativa, ya que, por ejemplo, 2<sup>3</sup> = 8 es diferente de 3<sup>2</sup> = 9.
La [[producto de matrices|multiplicación de matrices]] no es conmutativa; por ejemplo,
:<math>
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
</math>, que es diferente de <math>
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
</math>.
Más generalmente, si ''n''≥2, el anillo de las matrices cuadradas M<sub>''n''</sub>('''R''') no es conmutativo, y su centro está formado por las matrices escalares, es decir, las matrices múltiples de la identidad.{{sfn|Bourbaki|1970|p= A II.182}}

=== Vida cotidiana ===
En la vida del día a día se pueden encontrar multitud de ejemplos de operaciones no conmutativas.
Un ejemplo sencillo podría ser el de lavar y planchar la ropa: las acciones de lavar y planchar (en este orden) producen un resultado diferente que planchar y luego lavar.
Otro ejemplo es la [[concatenación]] de textos, es decir, la acción de juntar cadenas de caracteres. No es lo mismo escribir LA y luego CA (LACA) que escribir primero CA y luego LA (CALA).
Finalmente, un último ejemplo: los movimientos del [[cubo de Rubik]] no conmutan (de hecho, todos ellos forman un grupo no conmutativo).

== Conmutador ==

{{AP|Conmutador de dos operadores}}

El [[Conmutador de dos operadores|conmutador]] da una indicación de la medida en que una cierta operación binaria no consigue ser conmutativa. Para poder definirlo, hay una cierta estructura adicional, ya sea que la operación es la de un grupo, o bien que sea la multiplicación en un anillo o álgebra.

=== En un grupo ===

En un [[Grupo (matemática)|grupo]], el '''conmutador''' de dos elementos ''x'' e ''y'' es el elemento:
: <math>
   [x,y] =
   x^{-1} y^{-1} xy
</math>

(También se puede definir con otro convenio, invirtiendo las segundas ''x'' e ''y'' en lugar de las primeras.)
Está claro que [''x'',''y''] = ''e'' (elemento neutro del grupo) si ''x'' e ''y'' conmutan. Un grupo es conmutativo [[si y sólo si|sii]] todos los conmutadores son el elemento neutro.

El conjunto de los conmutadores de un grupo ''G'' no es por lo general un subgrupo, pero genera un subgrupo normal llamado subgrupo de los conmutadores o subgrupo derivado. El cociente G / D de G por su subgrupo derivado es un grupo conmutativo llamado ''grupo abelianitzat'' de ''G''; es el más grande de los cocientes conmutativos de&nbsp;''G''.

=== En un anillo o un álgebra ===
En un [[Anillo (matemática)|anillo]] o, más generalmente, en un álgebra, el '''conmutador''' de dos elementos ''x'' e ''y'' es el elemento
:[''x'',''y''] = ''xy'' − ''yx''.
De nuevo, está claro que [''x'', ''y''] = 0 sii ''x'' e ''y''  conmutan. Un anillo o álgebra son conmutativos si todos los conmutadores son nulos.

Si ''A'' es una ''K''-álgebra asociativa, entonces el producto (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> [''x'',''y''] definido por el conmutador es alternado y satisface la [[identidad de Jacobi]], de modo A es también una ''K''-álgebra de Lie. El álgebra asociativa ''A'' es conmutativa si su álgebra de Lie asociada también lo es.

== Propiedades relacionadas ==

=== Asociatividad ===
{{AP|Propiedad asociativa}}

La propiedad asociativa está muy relacionada con la conmutativa. La propiedad asociativa de una expresión que contiene dos o más ocurrencias del mismo operador postula que el orden que se lleven a cabo las operaciones no afecta al resultado final, siempre que el orden de los términos no cambie. Por el contrario, la propiedad conmutativa dice que el orden de los términos no afecta al resultado final.

La mayoría de operaciones conmutativas que se encuentran en la práctica también son asociativas. Sin embargo, la conmutatividad no implica la asociatividad. Un contraejemplo sencillo es el siguiente:

:<math>m(x, y) = \frac{x + y}{2}\,.</math>

Esta operación es claramente conmutativa (el intercambio entre ''x'' e ''y'' no afecta el resultado final porque se trata de una suma) pero no es asociativa, ya que, por ejemplo, ''m''(1,''m''(2,3)) = 7/4, pero ''m''(''m''(1,2),3) = 9/4. Al no ser asociativa no se puede aplicar el teorema de conmutatividad, como se ve por ejemplo en que
''m''(1,''m''(2,3)) ≠ ''m''(2,''m''(1,3)).

Existe una relación interesante entre asociatividad y conmutatividad. Consideremos un conjunto ''M'' dotado de una operación que representaremos multiplicativamente. Consideremos, para cada ''a'' de ''M'', las correspondientes traslaciones por la izquierda y la derecha:
: L<sub>''a''</sub>: ''M'' → ''M'', L<sub>''a''</sub>(''x'') = ''ax'',
: R<sub>''a''</sub>: ''M'' → ''M'', R<sub>''a''</sub>(''x'') = ''xa''.
La asociatividad de la operación significa que (''xy'')''z'' = ''x''(''yz'') para cualquier ''x,y,z''. Pero esta expresión se puede escribir
R<sub>''z''</sub> <math>\circ</math> L<sub>''x''</sub> (''y'') =
L<sub>''x''</sub> <math>\circ</math> R<sub>''z''</sub> (''y''),
por lo que la operación es asociativa si toda traslación por la izquierda conmuta con toda traslación por la derecha.

=== Simetría ===
{{AP|Simetría}}
[[Archivo:Symmetry Of Addition.svg|right|thumb|Gráfico que muestra la simetría de la función suma.]]
Algunas formas de simetría se pueden relacionar directamente con la conmutatividad. Cuando un operador conmutativo escribe como una función binaria entonces la función resultante es simétrica a lo largo de la línea ''y = x''. Por ejemplo, si la función ''f'' representa la suma (una operación conmutativa) de tal manera que ''f''(''x'',''y'') = ''x'' + ''y'', entonces ''f'' es una función simétrica (véase la imagen de la derecha, donde se observa la simetría respecto a la diagonal).

En cuanto a relaciones entre dos variables, hay una estrecha conexión entre conmutatividad y la [[relación simétrica]]. Afirmar que una relación R es simétrica significa que <math>x\,R\,y \Leftrightarrow y\,R\,x</math>.

== Operadores que no conmutan en mecánica cuántica ==
{{AP|Principio de incertidumbre de Heisenberg}}

En [[mecánica cuántica]], tal como la formuló [[Erwin Schrödinger|Schrödinger]], las magnitudes observables físicas se corresponden con un cierto tipo de [[Aplicación lineal|operadores lineales]], los operadores autoadjuntos en un [[espacio de Hilbert]] apropiado. Por ejemplo, en un movimiento unidimensional la posición ''x'' y la cantidad de movimiento p de una partícula están representadas respectivamente por los operadores <math>\hat x</math> y <math>\hat p</math>. Cuando el estado del sistema se representa mediante una [[función de onda]] ''ψ''(''x'') de [[Espacios Lp|L<sup>2</sup>('''R''')]], entonces estos operadores interpretan como <math>\hat x \psi = x\,\psi(x)</math> (multiplicar por ''x'') y <math>\hat p = -\mathrm{i} \hbar \,\mathrm{d}/\mathrm{d}x</math> (donde ''ħ'' es la [[constante de Planck reducida]]). Estos dos operadores no conmutan, tal como se puede comprobar considerando el resultado de componerlos actuando sobre ''ψ''(''x'') (omitimos el factor constante -i''ħ''):

:<math>x \left({d\over dx} \psi\right) = x \psi'</math> &nbsp;diferente de&nbsp; <math>{d\over dx}(x\psi(x)) = \psi + x\psi'
</math>

Esta no conmutación también se puede expresar calculando su conmutador:
:<math>[\hat x,\hat p] = \mathrm{i} \hbar\, \mathrm{Id}\,.</math>

Según el [[principio de incertidumbre de Heisenberg]], si los operadores que representan dos magnitudes observables no conmutan, entonces estas no se pueden medir de forma precisa y simultánea. Así pues la posición y la cantidad de movimiento (en una dirección dada) no se pueden determinar simultáneamente. De manera más precisa, esta incertidumbre mínima viene cuantificada precisamente por el valor esperado del [[conmutador (matemática)|conmutador]] de los dos operadores, y en el caso que nos ocupa esto significa que las [[Desviación estándard|desviaciones estándares]] de la posición y el momento satisfacen la desigualdad σ<sub>x</sub>σ<sub>p</sub>

== Referencias ==
{{listaref|2}}

== Bibliografía ==
{{refcomienza}}
{{columnas|100%}}

=== Libros ===
* {{cita libro|apellido=Bourbaki|nombre=N.|título=Algèbre, Chapitres 1 à 3|editorial=Hermann|ubicación=París|año=1970|idioma=francés}}
:''Éléments de mathématique (Elementos de matemática), libro de álgebra.''
* {{cita libro|apellido=Bourbaki|nombre=N.|título=Groupes et algèbres de Lie, Chapitre 1|editorial=Hermann|ubicación=París|año=1971|idioma=francés}}
:''Éléments de mathématique, libro de grupos y álgebras de Lie.''
* {{cita libro|apellido=Bourbaki|nombre=N.|título=Théorie des ensembles|editorial=Hermann|ubicación=París|año=1970.|idioma=francés}}
:''Éléments de mathématique, libro de teoría de conjuntos.''
* {{cita libro|apellido=Halmos|nombre=Paul R.|título=Naive set theory|url=https://archive.org/details/naivesettheory00halm|editorial=Van Nostrand|fecha=1960|ubicación=Nueva&nbsp;York}}
:''Texto clásico de teoría de conjuntos.''
* {{cita libro|apellido=Cantor|nombre=Georg|título=Fundamentos para una teoría general de conjuntos|editorial=Crítica|fecha=2006|ubicación=Barcelona|isbn=84-8432-695-0}}
* {{cita libro|apellido=Castellet|nombre=Manuel|apellido2=Llerena|nombre2=Isabel|título=Àlgebra lineal i geometria|editorial=Publicacions de la Universitat Autònoma de Barcelona|fecha=1990|ubicación=Inglaterra|isbn=84-7488-943-X|idioma=catalán}}
:''Libro de primer curso de universidad, donde se define o se estudia la conmutatividad de varias operaciones.''
* {{cita libro|apellido=Lang|nombre=Serge|título=Algebra|edición=3a ed.|editorial=Springer|ubicación=Nueva&nbsp;York|año=2002|isbn=0-387-95385-X|idioma=inglés}}
:''Texto clásico de álgebra.''
* {{cita libro|apellido=Robins|nombre=Gay|apellido2=Shute|nombre2=Charles|fecha=1987|título=The Rhind mathematical papyrus: An ancient Egyptian text|url=https://archive.org/details/rhindmathematica0000robi_h8l4|ubicación=Londres|editorial=British Museum Publications|isbn=0-7141-0944-4|idioma=inglés}}
:''Traducción e interpretación del [[papiro de Rhind]].''

{{columna nueva|50%}}

=== Fuentes históricas ===
* {{cita web|
apellido=Boole| nombre=George|
artículo=[http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/134/225.full.pdf+html On a General Method in Analysis]|
publicación=Philosophical Transactions|
volumen=134|
fecha=1844|
página=p. 225-282}}
* {{cita web|
apellido=Servois|
artículo=[http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=AMPA_1814-1815__5__93_0 Analise transcendante. Essai sur un nouveau mode d'exposition des principes du calcul differentiel]|
publicación=Annales de Gergonne|
volumen=5|
fecha=1814|
página=p. 93-140|
idioma=catalán}}
:"Artículo de servos donde introduce el término "conmutativo ".''
* {{cita libro|apellido=Gregory|nombre=Duncan Farquharson|título=[http://books.google.es/books?id=h7JT-QDuAHoC Examples of the processes of the differential and integral calculus]|fecha=1841|ubicación=Cambridge|editorial=University Press}}
:''Libro de Gregory donde usa la expresión "ley conmutativa".''

:''Artículo de Boole donde usa la expresión "ley conmutativa".''

=== Recursos en línea ===
* {{cita web|
título= Commutative|
url=http://planetmath.org/commutative|
editor=[[PlanetMath]]|
fecha=2013|
idioma=inglés}}
:''Definición de conmutatividad y ejemplos sencillos de operaciones conmutativas y no conmutativas.''
* {{Enlace roto|1={{cita web
 |url      = http://www.ethnombreath.org/resources/lumpkin1997.pdf
 |apellido = Lumpkin
 |nombre   = Beatrice
 |fecha    = 1997
 |título  = The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter
 |idioma   = inglés
}} |2=http://www.ethnombreath.org/resources/lumpkin1997.pdf |bot=InternetArchiveBot }}
:''Artículo no publicado que describe la capacidad matemática de las civilizaciones antiguas.''
* {{cita web|
apellido=Miller |nombre=Jeff |
título= Commutative and distributive  |
obra = Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics|
url=http://jeff560.tripod.com/c.html|
fecha=2013|
idioma=inglés}}
:"Página sobre los primeros usos de términos matemáticos.''
* {{cita web|
apellido=O'Connor|nombre=J.J.|
apellido2=Robertson|nombre2=E.F.|
url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Real_numbers_1.html|
título=The real numbers: Pythagoras to Stevin|
editorial=[[MacTutor|MacTutor History of Mathematics]]|
fecha=2005|
idioma=inglés}}
:''Artículo sobre la historia de los números reales''
* {{cita web|
apellido=O'Connor|nombre=J.J.|
apellido2=Robertson|nombre2=E.F.|
url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Servois.html |
título=François Joseph Servois|
editor=[[MacTutor|MacTutor History of Mathematics]]|
fecha=2000|
idioma=inglés}}
:''Biografía sobre Servois.''
{{final columnas}}
{{reftermina}}

== Véase también ==
* [[Anticonmutatividad]]
* [[Distributividad|Propiedad distributiva]]
* [[Conmutador (matemática)]]

== Enlaces externos ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=B2mUF91036s Propiedad conmutativa de la suma], video en YouTube
* [https://www.youtube.com/watch?v=LfICB1TySso Propiedad conmutativa de la multiplicación], video en YouTube
{{Traducido ref|ca|Propietat commutativa|oldid=14536360|trad=total}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Álgebra elemental]]
[[Categoría:Álgebra abstracta]]
[[Categoría:Simetría]]
[[Categoría:Relaciones]]
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