Ver el código de «Cono convexo»

[[Image:Convex cone illust.svg|right|thumb|300px|Un cono convexo (azul claro). En su interior, el cono convexo de color rojo claro consta de todos los puntos ''αx'' + ''βy'' con {{nowrap|α, β > 0}}, para los puntos ''x'' e ''y'' representados. Las curvas en la parte superior derecha simbolizan que las regiones tienen una extensión infinita]]

En [[álgebra lineal]], un ''cono'', a veces llamado '''cono lineal''' para distinguirlo de otros tipos de conos, es un subconjunto de un [[espacio vectorial]] que es [[clausura (matemáticas)|cerrado]] bajo la multiplicación escalar positiva; es decir, {{mvar|C}} es un cono si <math>x\in C</math> implica que <math>sx\in C</math> para cada {{nowrap|escalar positivo {{mvar|s}}}}.

Cuando los escalares son números reales, o pertenecen a un [[cuerpo ordenado]], generalmente se llama '''cono''' a un subconjunto de un espacio vectorial que se cierra mediante la multiplicación por un ''escalar positivo''. En este contexto, un '''cono convexo''' es un cono que se cierra bajo suma o, de manera equivalente, un subconjunto de un espacio vectorial que se cierra bajo [[combinación lineal]] con coeficientes positivos. De ello se deduce que los conos convexos son [[convexidad|conjuntos convexos]].

En este artículo solo se considera el caso de escalares en un campo ordenado.

==Definición==

Un [[subconjunto]] ''C'' de un espacio vectorial ''V'' sobre un [[cuerpo ordenado]] ''F'' es un '''cono''' (o a veces llamado '''cono lineal''') si para cada ''x'' en ''C'' y para todo escalar positivo ''α'' en ''F'', el producto ''αx'' está en ''C''.<ref name=":0">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=x7isojLkDTcC|title=Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas|last=Bernstein|first=Dennis S.|date=2009-07-26|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0691140391|pages=97|language=en|edition=Second}}</ref> Téngase en cuenta que algunos autores definen '''cono''' con el escalar ''α'' que abarca todos los escalares no negativos (en lugar de todos los escalares positivos, que no incluyen el 0).<ref name="Zalinescu2002">{{cite book|author=C. Zalinescu|title=Convex Analysis in General Vector Spaces|url=https://books.google.com/books?id=a91q1q1djMwC|date=2002-01-01|publisher=World Scientific|isbn=978-981-238-067-8|page=1}}</ref>

Un cono ''C'' es un '''cono convexo''' si {{nowrap|''αx'' + ''βy''}} pertenece a ''C'', para cualquier escalar positivo ''α'', ''β'' y cualquier ''x'' , ''y'' en ''C''.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=cX-TGJb1gfkC|title=Linear Algebra|last=Nef|first=Walter|date=1988-01-01|publisher=Courier Corporation|isbn=9780486657721|pages=35|language=en}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=WHjO9K6xEm4C|title=Encyclopedic Dictionary of Mathematics|last=Itô|first=Kiyosi|date=1993-01-01|publisher=MIT Press|isbn=9780262590204|language=en}}</ref>
Un cono ''C'' es convexo si y solo si ''C'' + ''C'' ⊆ ''C''.

Este concepto es significativo para cualquier espacio vectorial que permita el concepto de escalar "positivo", como espacios sobre los [[números racionales]], los [[Número algebraico|algebraicos]] o (más comúnmente), los [[números reales]]. Debe tenerse en cuenta también que los escalares de la definición son positivos, lo que significa que el origen no tiene por qué pertenecer a ''C''. Algunos autores utilizan una definición que garantiza que el origen pertenece a ''C''.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=jzpzBwAAQBAJ|title=Convex Analysis|last=Rockafellar|first=Ralph Tyrell|date=2015-04-29|publisher=Princeton University Press|isbn=9781400873173|pages=13|language=en}}</ref> Debido a los parámetros de escala ''α'' y ''β'', los conos tienen una extensión infinita y no están acotados.

Si ''C'' es un cono convexo, entonces para cualquier escalar positivo ''α'' y cualquier ''x'' en ''C'', el vector <math>\alpha x= \tfrac{\alpha}{2}x + \tfrac{\alpha}{2}x \in C.</math> Se deduce que un cono convexo ''C'' es un caso especial de un [[cono (álgebra lineal)|cono lineal]].

De la propiedad anterior se deduce que un cono convexo también se puede definir como un cono lineal cerrado bajo [[combinación convexa|combinaciones convexas]], o justo bajo la [[adición (matemática)|adición]]. De manera más sucinta, un conjunto ''C'' es un cono convexo si y solo si {{nowrap|1=''αC''= ''C''}} y {{nowrap|1=''C'' + ''C''= ''C''}}, para cualquier escalar positivo α.

==Ejemplos==
[[File:Circular-pyramid.png|thumb|Cono convexo que no es una combinación cónica de un número finito de generadores]]
[[File:Polyhedral-cone.png|thumb|Cono convexo generado por la combinación cónica de los tres vectores negros]]
[[File:Cone-not-convex.png|thumb|Un cono (la unión de dos rayos) que no es un cono convexo]]

* Para un espacio vectorial ''V'', el [[conjunto vacío]], el espacio ''V'' y cualquier [[subespacio vectorial]] de ''V'' son conos convexos.
* La [[combinación cónica]] de un conjunto finito o infinito de vectores en <math>\R^n</math> es un cono convexo.
* Los [[cono tangente|conos tangentes]] de un conjunto convexo son conos convexos.
* El conjunto
:<math>\left \{x \in \R^2 \mid x_2 \geq 0, x_1= 0 \right \} \cup \left \{x \in \R^2 \mid x_1 \geq 0, x_2= 0 \right \}</math>
es un cono pero no un cono convexo.
* El cono norma
:<math> \left \{(x, r) \in \R^{d+1} \mid \|x\|\leq r \right \}</math>
es un cono convexo.
* La intersección de dos conos convexos en el mismo espacio vectorial es nuevamente un cono convexo, pero su unión puede no serlo.
* La clase de conos convexos también está cerrada bajo [[aplicación lineal|aplicaciones lineales]] arbitrarias. En particular, si ''C'' es un cono convexo, también lo es su opuesto <math>-C</math> y <math>C \cap -C</math> es el subespacio lineal más grande contenido en ''C''.
* El conjunto de [[Matriz semidefinida positiva|matrices semidefinidas positivas]].
* El conjunto de funciones continuas no negativas es un cono convexo.

==Ejemplos especiales==

===Conos convexos afines===
Un '''cono convexo afín''' es el conjunto resultante de aplicar una transformación afín a un cono convexo.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=hIYKBwAAQBAJ|title=Fundamentals of Convex Analysis|last1=Hiriart-Urruty|first1=Jean-Baptiste|last2=Lemaréchal|first2=Claude|date=2012-12-06|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9783642564680|language=en}}</ref> Un ejemplo común es trasladar un cono convexo por un punto {{nowrap|''p'': ''p'' + ''C''}}. Técnicamente, tales transformaciones pueden producir no conos. Por ejemplo, a menos que {{nowrap|''p'' {{=}} 0}}, {{nowrap|''p'' + ''C''}} no sea un cono lineal. Sin embargo, todavía se le llama cono convexo afín.

===Semiespacios===

Un '''[[hiperplano]]''' (lineal) es un conjunto de la forma <math>\{x \in V \mid f(x)= c\}</math> donde ''f'' es un [[funcional lineal]] en el espacio vectorial ''V''. Un '''[[semiespacio]]''' cerrado es un conjunto de la forma <math>\{x \in V \mid f(x) \leq c\}</math> o <math>\{x \in V \mid f(x) \geq c\},</math> de manera que un semiespacio abierto utiliza una desigualdad estricta.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=4hIq6ExH7NoC|title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|last1=Aliprantis|first1=Charalambos D.|last2=Border|first2=Kim C.|date=2007-05-02|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9783540326960|pages=197|language=en}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=jzpzBwAAQBAJ|title=Convex Analysis|last=Rockafellar|first=Ralph Tyrell|date=2015-04-29|publisher=Princeton University Press|isbn=9781400873173|pages=10|language=en}}</ref>

Los semiespacios (abiertos o cerrados) son conos convexos afines. Además (en dimensiones finitas), cualquier cono convexo ''C'' que no sea todo el espacio ''V'' debe estar contenido en algún semiespacio cerrado ''H'' de ''V''. Este es un caso especial del [[lema de Farkas]].

===Conos poliédricos y finitamente generados===

Los '''conos poliédricos''' son tipos especiales de conos que se pueden definir de varias maneras:<ref name="lp">* {{cita libro|apellido1= Lovász|nombre1= László|enlace-autor1= László Lovász|nombre2= M. D.|apellido2= Plummer|author2-link= Michael D. Plummer|título= Matching Theory|editorial= North-Holland|año= 1986|isbn= 0-444-87916-1|mr= 0859549|series= Annals of Discrete Mathematics|volume= 29|idioma=en}}</ref>{{Rp|256–257}}

* Un cono ''C'' es poliédrico si es la [[combinación cónica]] de un número finito de vectores (esta propiedad también se llama '''generación de manera finita''').<ref name=":03">{{Cite book|last1=Loera|first1=Jesús A. De|url=https://books.google.com/books?id=eVHg7aECS7UC|title=Algebraic and Geometric Ideas in the Theory of Discrete Optimization|last2=Hemmecke|first2=Raymond|last3=Köppe|first3=Matthias|date=2012-01-01|publisher=SIAM|isbn=9781611972443|language=en}}</ref><ref name=":1">{{Cite book|last=Schrijver|first=Alexander|url=https://books.google.com/books?id=zEzW5mhppB8C|title=Theory of Linear and Integer Programming|date=1998-07-07|publisher=John Wiley & Sons|isbn=9780471982326|language=en}}</ref> Es decir, hay un conjunto de vectores <math>\{v_1, \ldots, v_k\}</math> para que <math> C= \{a_1 v_1 + \cdots + a_kv_k \mid a_i \in \R_{\ge 0}, v_i \in \R^n \}</math>.
* Un cono es poliédrico si es la intersección de un número finito de semiespacios que tienen el 0 en su límite (esto lo demostró Weyl en 1935).
* Un cono ''C'' es poliédrico si existe alguna [[Matriz (matemática)|matriz]] <math>A</math> tal que <math>C= \{x \in \R^n \mid Ax \geq 0 \}</math>.
* Un cono es poliédrico si es el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales homogéneas. Algebraicamente, cada desigualdad está definida por una fila de la matriz A. Geométricamente, cada desigualdad define un semiespacio que pasa por el origen.

Todo cono finitamente generado es un cono poliédrico, y todo cono poliédrico es un cono finitamente generado.<ref name=":03" /> Cada cono poliédrico tiene una representación única como una envolvente cónica de sus generadores extremos, y una representación única de intersecciones de semiespacios, dada cada forma lineal asociada con los semiespacios, que también definen un hiperplano de soporte de cada faceta.<ref>{{cite book|last1=Bruns|first1=Winfried|last2=Gubeladze|first2=Joseph|title=Polytopes, Rings and K-Theory|url=https://archive.org/details/polytopesringskt00albr|date=2009|publisher=Springer Monographs in Mathematics|isbn=9780387763552|page=[https://archive.org/details/polytopesringskt00albr/page/n14 3]|edition=1}}</ref>

Los conos poliédricos juegan un papel central en la teoría de representación de [[poliedro]]s. Por ejemplo, el teorema de descomposición de los poliedros establece que cada poliedro se puede escribir como una [[suma de Minkowski]] de un [[politopo convexo]] y de un cono poliédrico.<ref name=":12">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=zEzW5mhppB8C|title=Theory of Linear and Integer Programming|last=Schrijver|first=Alexander|date=1998-07-07|publisher=John Wiley & Sons|isbn=9780471982326|pages=88–89|language=en}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=antqBQAAQBAJ|title=Integer Programming|last1=Conforti|first1=Michele|last2=Cornuejols|first2=Gerard|last3=Zambelli|first3=Giacomo|date=2014-11-15|publisher=Springer|isbn=9783319110080|pages=111|language=en}}</ref> Los conos poliédricos también juegan un papel importante en la demostración del [[Politopo convexo|teorema de bases finitas]] para politopos, que demuestra que cada politopo es un poliedro y cada poliedro [[acotado]] es un politopo.<ref name=":12" /><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=X-klBQAAQBAJ&q=finite+basis+theorem+polyhedra|title=Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms|last1=Korte|first1=Bernhard|last2=Vygen|first2=Jens|date=2013-11-11|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9783662217115|pages=61|language=en}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=t3oZBwAAQBAJ|title=Monomial Algebras, Second Edition|last=Villarreal|first=Rafael|date=2015-03-26|publisher=CRC Press|isbn=9781482234701|pages=9|language=en}}</ref>

Las dos representaciones de un cono poliédrico, mediante desigualdades y mediante vectores, pueden tener tamaños muy diferentes. Por ejemplo, considérese el cono de todas las matrices ''n''-por-''n'' no negativas con sumas iguales de filas y columnas. La representación de desigualdad requiere ''n''<sup>2</sup> desigualdades y ecuaciones {{nowrap|2(''n'' − 1)}}, pero la representación vectorial requiere ''n''! vectores (véase [[teorema de Birkhoff-von Neumann]]). También puede ocurrir lo contrario: el número de vectores puede ser polinómico, mientras que el número de desigualdades es exponencial.<ref name="lp" />{{Rp|256}}

Las dos representaciones unidas proporcionan una forma eficaz de decidir si un vector dado está en el cono: para demostrar que está en el cono, basta con presentarlo como una combinación cónica de los vectores que lo definen; y para demostrar que no está en el cono, basta con presentar una única desigualdad definitoria que no cumpla. Este hecho se conoce como el [[lema de Farkas]].

Un punto sutil en la representación por vectores es que el número de vectores puede ser exponencial en la dimensión, por lo que la prueba de que un vector está en el cono podría ser exponencialmente larga. Afortunadamente, el [[Teorema de Carathéodory (envolvente convexa)|teorema de Carathéodory]] garantiza que cada vector en el cono puede representarse como máximo mediante ''d'' vectores que lo definen, donde ''d'' es la dimensión del espacio.

==={{Anchor|puntiagudo|romo}}Conos romos, puntiagudos, planos, salientes y propios===

Según la definición anterior, si ''C'' es un cono convexo, entonces ''C'' ∪ {'''0'''} también es un cono convexo. Se dice que un cono convexo es {{anclavis|'''puntiagudo'''}}si '''0''' está en ''C'' y {{anclavis|'''romo'''}}si '''0''' no está en ''C''.<ref name=":0" /><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=eP9yuZMaJjQC|title= Optimality Conditions in Convex Optimization: A Finite-Dimensional View|last1=Dhara|first1=Anulekha|last2=Dutta|first2=Joydeep|date=2011-10-17|publisher=CRC Press|isbn=9781439868225|pages=243|language=en}}</ref> Los conos romos se pueden excluir de la definición de cono convexo sustituyendo ''positivo'' por ''no negativo'' en la condición de α, β.

Un cono se llama '''plano''' si contiene algún vector distinto de cero ''x'' y su opuesto −''x'', lo que significa que ''C'' contiene un subespacio lineal de dimensión al menos uno, y '''saliente''' en caso contrario.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=go59BgAAQBAJ|title=Optimization: A Theory of Necessary Conditions|last=Neustadt|first=Lucien W.|date=2015-03-08|publisher=Princeton University Press|isbn=9781400870530|pages=6|language=en}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=fdhi90F0HvcC|title=Functional Analysis: Theory and Applications|last=Edwards|first=R. E.|date=2012-10-25|publisher=Courier Corporation|isbn=9780486145105|pages=135|language=en}}</ref>
Un cono convexo romo es necesariamente saliente, pero lo contrario no es necesariamente cierto.
Un cono convexo ''C'' es saliente si y solo si ''C'' ∩ −''C'' ⊆ {'''0'''}.
Se dice que un cono ''C'' es ''generador'' si <math>C-C=\{x-y\mid x\in C, y\in C\}</math> es igual a todo el espacio vectorial. {{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=205–209}}

Algunos autores exigen que los conos salientes sean puntiagudos.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=y_IJuH1bs8YC|title=Generalized Convexity and Generalized Monotonicity: Proceedings of the 6th International Symposium on Generalized Convexity/Monotonicity, Samos, September 1999|last1=Hadjisavvas|first1=Nicolas|last2=Martinez-Legaz|first2=Juan E.|last3=Penot|first3=Jean-Paul|date=2001-04-10|publisher=Springer Science & Business Media|isbn= 9783540418061|pages=238|language=en}}</ref>
El término ''puntiagudo'' también se utiliza a menudo para referirse a un cono cerrado que no contiene una línea completa (es decir, ningún subespacio no trivial del espacio vectorial entorno ''V'', o lo que se llama un cono saliente).<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=cxL3jL7ONjQC|title=Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces|last1=Bauschke|first1=Heinz H.|last2=Combettes|first2=Patrick L.|date=2011-04-19|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9781441994677|pages=88|language=en}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=fGg7AAAAIAAJ|title=Introduction to Linear and Convex Programming|last=Cameron|first=Neil|date=1985-09-05|publisher=CUP Archive|isbn=9780521312073|pages=32|language=en}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=7s_gBwAAQBAJ|title=Linear Programming: Mathematics, Theory and Algorithms|last=Panik|first=M. J.|date=2013-12-01|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9781461334347|pages=40|language=en}}</ref>
El término '''cono''' propio ('''convexo''') se define de diversas formas, según el contexto y el autor. A menudo significa un cono que satisface otras propiedades como ser convexo, cerrado, puntiagudo, saliente y de dimensión completa.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=VxuRF4NhjqkC|title=Convex Optimization & Euclidean Distance Geometry|last=Dattorro|first=Jon|date=2005-01-01|publisher=Meboo Publishing USA|isbn=9780976401308|pages=96|language=en}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Zm3mCAAAQBAJ|title=Mainstream Mathematical Economics in the 20th Century|last=Nicola|first=PierCarlo|date=2013-03-14|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9783662042380|pages=125|language=en}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=f966BQAAQBAJ|title=Harmonic Analysis on Exponential Solvable Lie Groups|last1=Fujiwara|first1=Hidenori|last2=Ludwig|first2=Jean|date=2014-12-05|publisher=Springer|isbn=9784431552888|pages=246|language=en}}</ref> Debido a estas diferentes definiciones, se debe consultar el contexto o la fuente para la definición de estos términos.

===Conos racionales===
Un tipo de cono de particular interés para los matemáticos puros es el [[conjunto parcialmente ordenado]] de los conos racionales. "Los conos racionales son objetos importantes en [[geometría algebraica]] tórica, [[álgebra conmutativa]] combinatoria, combinatoria geométrica y programación entera".<ref>{{cite journal|last1=Gubeladze|first1=Joseph|last2=Michałek|first2=Mateusz|title=The poset of rational cones|journal=Pacific Journal of Mathematics|date=2018-01-01|volume=292|issue=1|pages=103–115|doi=10.2140/pjm.2018.292.103|arxiv=1606.02083|s2cid=119639952}}</ref> Este objeto surge cuando se estudian los conos en <math>\R^d</math> junto con el [[Red (grupo)|retículo]] <math>\Z^d</math>. Un cono se llama '''racional''' (aquí se asume que es ''puntiagudo'', como se definió anteriormente) siempre que todos sus generadores tengan coordenadas [[número entero|enteras]], es decir, si <math>C</math> es un cono racional, entonces <math>C= \{a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k \mid a_i \in \R_+, v_i \in \Z^d \} </math>.

==Cono dual==
{{AP|cono dual y cono polar}}

Sea ''C'' ⊂ ''V'' un conjunto, no necesariamente un conjunto convexo, en un espacio vectorial real ''V'' equipado con un [[espacio prehilbertiano|producto interior]]. El '''cono dual''' (continuo o topológico) de ''C'' es el conjunto

:<math> C^*= \{v\in V \mid \forall w\in C, \langle w,v \rangle \ge 0 \}, </math>

que es siempre un cono convexo. Aquí, <math>\langle w,v \rangle</math> es el [[sistema dual|emparejamiento de dualidad]] entre ''C'' y ''V'', es decir, <math>\langle w,v\rangle= v(w)</math>.

De manera más general, el cono dual (algebraico) de ''C'' ⊂ ''V'' en un espacio lineal V es un subconjunto del [[espacio dual]] ''V*'' definido por:

:<math> C^* := \left \{v\in V^* \mid \forall w\in C, v(w) \ge 0 \right \}. </math>

En otras palabras, si ''V*'' es el [[espacio dual]] de ''V'', ''C*'' es el conjunto de funcionales lineales que son no negativos en el cono primario ''C''. Si se toma ''V*'' como [[espacio dual]], entonces es el conjunto de funcionales lineales continuos no negativos en ''C''.<ref name=":2">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=oOYQVeHmNk4C|title=Applied Analysis|last1=Hunter|first1=John K.|last2=Nachtergaele|first2=Bruno|date=2001-01-01|publisher=World Scientific|isbn=9789810241919|pages=116|language=en}}</ref> Esta noción no requiere la especificación de un producto interno en ''V''.

En dimensiones finitas, las dos nociones de cono dual son esencialmente la misma, porque cada funcional lineal de dimensión finita es continua,<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=pec4r3EsIiMC|title=A Short Course on Banach Space Theory|last=Carothers|first=N. L.|date=2005-01-01|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521603720|language=en}}</ref> y cada funcional lineal continuo en un espacio producto interno induce un isomorfismo lineal (mapa lineal no singular) de ''V*'' a ''V'', y este isomorfismo llevará el cono dual dado por la segunda definición, en ''V*'', al dado por la primera definición (véase el [[teorema de representación de Riesz]]).<ref name=":2" />

Si ''C'' es igual a su cono dual, entonces ''C'' es denominado '''auto-dual'''. Se puede decir que un cono es autodual sin referencia a ningún producto interno dado, si existe un producto interno con respecto al cual es igual a su dual según la primera definición.

==Construcciones==
* Dado un subconjunto cerrado y convexo ''K'' de un [[espacio de Hilbert]] ''V'', el '''cono normal exterior''' al conjunto ''K'' en el punto ''x'' en ''K'' es dado por
*: <math>N_K(x)= \left\{p \in V \colon \forall x^* \in K, \left\langle p, x^* - x \right\rangle \leq 0 \right\}.</math>
* Dado un subconjunto cerrado y convexo ''K'' de ''V'', el '''[[cono tangente]]''' (o '''cono contingente''') al conjunto ''K'' en el punto ''x'' está dada por
*: <math>T_K(x)= \overline{\bigcup_{h > 0} \frac{K - x}{h}}.</math>
* Dado un subconjunto cerrado y convexo ''K'' del espacio de Hilbert ''V'', el '''cono tangente''' al conjunto ''K'' en el punto ''x'' en ''K '' se puede definir como el [[Cono dual y cono polar|cono polar]] al cono normal hacia afuera <math>N_K(x)</math>:
*: <math>T_K(x)= N_K^o(x) \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\ \{y \in V \mid \forall \xi \in N_K(x): \langle y, \xi \rangle \leqslant 0 \}</math>
 
Tanto el cono normal como el tangente tienen la propiedad de ser cerrados y convexos.

Son conceptos importantes en los campos de la [[optimización convexa]], las [[desigualdad variacional|desigualdades variacionales]] y los [[sistema dinámico proyectado|sistemas dinámicos proyectados]].

==Propiedades==

Si ''C'' es un cono convexo no vacío en ''X'', entonces el dominio lineal de ''C'' es igual a ''C'' - ''C'' y el subespacio vectorial más grande de ''X'' contenida en ''C'' es igual a ''C'' ∩ (−''C'').{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=149-153}}

==Orden parcial definido por un cono convexo==
Un cono convexo puntiagudo y saliente ''C'' induce un [[conjunto parcialmente ordenado]] "≥" en ''V'', definido de manera que <math>x\geq y</math> si y solo si <math>x-y\in C</math> (si el cono es plano, la misma definición da simplemente un [[conjunto preordenado]]), y los múltiplos escalares positivos de desigualdades válidas con respecto a este orden siguen siendo desigualdades válidas. Un espacio vectorial con tal orden se llama [[espacio vectorial ordenado]]. Los ejemplos incluyen el [[orden del producto]] en vectores de valores reales, <math>\R^n,</math> y el [[orden de Loewner]] en matrices semidefinidas positivas. Este orden se encuentra comúnmente en [[programación semidefinida]].

==Véase también==
*[[Cono (desambiguación)]]
**[[Cono (geometría)]]
**[[Cono (topología)]]
*[[Lema de Farkas]]
*[[teorema bipolar]]
*[[Combinación lineal]]
*[[Espacio vectorial ordenado]]

==Referencias==
{{listaref|2}}

==Bibliografía==
* {{cita libro|apellido1=Bourbaki|nombre1=Nicolas|author1-link=Nicolas Bourbaki|título=Topological Vector Spaces|editorial=[[Springer Science+Business Media]]|ubicación= Berlin, New York|series=Elements of Mathematics|isbn=978-3-540-13627-9|año=1987|url=https://books.google.com/books?id=S4wnAQAAIAAJ}}
* {{cita libro|apellido=Narici|nombre=Lawrence|apellido2=Beckenstein|nombre2=Edward|título=Topological Vector Spaces|edición=Second|editorial=CRC Press|ubicación=Boca Raton, FL|año=2011|series=Pure and applied mathematics|isbn=978-1584888666|oclc=144216834}}
* {{cita libro|apellido=Rockafellar|nombre=R. T.|enlace-autor=R. Tyrrell Rockafellar|título=Convex Analysis|editorial=Princeton University Press|ubicación=Princeton, NJ|año-original=1970|año=1997|isbn=1-4008-7317-7|url=https://books.google.com/books?id=1TiOka9bx3sC}}
* {{cita libro|apellido=Schaefer|nombre=Helmut H.|enlace-autor=Helmut H. Schaefer|apellido2=Wolff|nombre2=Manfred P.|título=Topological Vector Spaces|edición=Second|volume=8|editorial=Springer New York Imprint Springer|ubicación=New York, NY|año=1999|series=[[ Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|isbn=978-1-4612-7155-0|oclc=840278135}}
* {{cita libro|apellido=Trèves|nombre=François|enlace-autor=François Trèves|título=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels|editorial=Dover Publications|ubicación=Mineola, N.Y.|año=2006|año-original=1967|isbn=978-0-486-45352-1|oclc=853623322}}
* {{cita libro|apellido=Zălinescu|nombre=C.|título=Convex Analysis in General Vector Spaces|editorial=World Scientific|ubicación= River Edge,&nbsp;NJ|año=2002|isbn=981-238-067-1|mr=1921556|url=https://books.google.com/books?id=jcbUCgAAQBAJ}}

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[[Categoría:Análisis convexo]]
[[Categoría:Geometría convexa]]
[[Categoría:Figuras geométricas]]
[[Categoría:Álgebra lineal]]