Ver el código de «Cuadrados de números triangulares»

{{para|número cuadrado triangular|números triangulares que son un cuadrado}}

[[Archivo:Nicomachus_theorem_3D.svg|thumb|upright=1.2|right|300px|Un cuadrado cuya longitud lateral es un [[número triangular]], puede dividirse en cuadrados y semicuadrados cuyas cantidades permiten formar cubos. De {{harvtxt|Gulley|2010}}.]]

En [[teoría de números]], la suma de los primeros {{mvar|n}} [[Cubo (aritmética)|cubos]] es el [[Cuadrado perfecto|cuadrado]] del {{mvar|n}}''<sub>simo</sub>'' [[número triangular]]. Es decir,

:<math>1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left(1+2+3+\cdots+n\right)^2</math>

La misma ecuación puede escribirse de forma más compacta usando la notación matemática del [[sumatorio]]:

:<math>\sum_{k=1}^n k^3 = \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2</math>

Esta [[Identidad (matemática)|identidad]] es a veces llamada '''Teorema de Nicómaco'''.

==Historia==
Muchos matemáticos antiguos estudiaron y dedujeron demostraciones del teorema de Nicómaco.{{harvtxt|Stroeker|1995}} afirma que "cada estudiante de la teoría de números seguramente debe haberse maravillado ante este hecho milagroso".{{harvtxt|Pengelley|2002}} encuentra referencias a la identidad no solo en las obras de [[Nicómaco de Gerasa]] en lo que ahora es [[Jordania]] en el {{siglo|I||s}}, sino también en las de [[Aryabhata]] en la [[India]] en el {{siglo|V||s}} y en las de [[Al-Karaŷí]] alrededor de 1000 en [[Irán]].{{harvtxt|Bressoud|2004}} menciona varios trabajos matemáticos tempranos adicionales sobre esta fórmula, obra de [[Alcabitius]] ({{siglo|X||s}}, Arabia); [[Gersónides]] (hacia 1300, Francia); y [[Nilakantha Somayaji]] (hacia 1500 en la India). Bressoud reproduce la elegante prueba visual de Nilakantha.

==Valores numéricos; interpretaciones geométrica y probabilística==
La secuencia de los números triangulares cuadrados es:

: {{math|[[Cero|0]], [[Uno|1]], [[Nueve|9]], [[Treinta y seis|36]], [[Cien|100]], 225,}} {{math|441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281,}} ... {{OEIS|id=A000537}}.

Estos números pueden ser vistos como [[número figurado|números figurados]], una generalización hiperpiramidal en cuatro dimensiones de los [[número triangular|números triangulares]]s y de los [[número piramidal cuadrado|números piramidales cuadrados]].

Como observa {{harvtxt|Stein|1971}}, estos números también cuentan el número de rectángulos con lados horizontales y verticales formados en una cuadrícula de {{math|''n'' &times; ''n''}} puntos en cada lado. Por ejemplo, los puntos de una cuadrícula de {{math|4 &times; 4}} (o lo que es lo mismo, un cuadrado formado por tres cuadrados más pequeños en cada lado) pueden formar 36 rectángulos diferentes. El número de cuadrados sobre una cuadrícula cuadrada es deducido de manera similar por los números piramidales cuadrados.

La identidad también admite una interpretación probabilística natural como sigue. Sean {{math|''X'', ''Y'', ''Z'', ''W''}} cuatro números enteros independientemente y uniformemente elegidos al azar entre {{math|1}} y {{mvar|n}}. Entonces, la probabilidad de que {{mvar|W}} sea el mayor de los cuatro números es igual a la probabilidad de que tanto {{mvar|Y}} sea al menos tan grande como {{mvar|X}} y {{mvar|W}} sea al menos tan grande como {{mvar|Z}}, es decir, {{math|1='''P'''({max(''X'',''Y'',''Z'') ≤ ''W''}) = '''P'''({''X'' ≤ ''Y''} ∩ {''Z'' ≤ ''W''})}}. De hecho, estas probabilidades son respectivamente los lados izquierdo y derecho de la identidad Nicómano, normalizado para hacer probabilidades dividiendo ambos lados por&nbsp;{{math|''n''<sup>4</sup>}}.

==Demostraciones==
{{harvsp|Charles Wheatstone|1854}}, da una derivación particularmente simple, expandiendo cada cubo en la suma de un conjunto de números impares consecutivos. De hecho, comienza dando la identidad:

:<math>n^3 = \underbrace{\left(n^2-n+1\right) + \left(n^2-n+1+2\right) + \left(n^2-n+1+4\right)+ \cdots + \left(n^2+n-1\right)}_{n \text{ números impares consecutivos}}</math>

Esa identidad está relacionada con el [[número triangular]] <math>T_n</math> de la siguiente manera:

:<math>n^3 =\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}} (2 k-1)</math>

y así, los sumandos que forman <math>n^3</math> comienzan justo después de los que forman todos los valores anteriores desde <math>1^3</math> hasta <math>(n-1)^3</math>.

Aplicando esta propiedad, junto con otra identidad bien conocida:

:<math>n^2 = \sum_{k=1}^n (2k-1)</math>

se obtiene la siguiente demostración:
:<math>
\begin{align}
\sum_{k=1}^n k^3 &= 1 + 8 + 27 + 64 + \cdots + n^3 \\
&= \underbrace{1}_{1^3} + \underbrace{3+5}_{2^3} + \underbrace{7 + 9 + 11}_{3^3} + \underbrace{13 + 15 + 17 + 19}_{4^3} + \cdots + \underbrace{\left(n^2-n+1\right) + \cdots + \left(n^2+n-1\right)}_{n^3} \\
&= \underbrace{\underbrace{\underbrace{\underbrace{1}_{1^2} + 3}_{2^2} + 5}_{3^2} + \cdots + \left(n^2 + n - 1\right)}_{\left( \frac{n^{2}+n}{2} \right)^{2}} \\
&= (1 + 2 + \cdots + n)^2 \\
&= \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2
\end{align}</math>

[[Archivo:Sum of cubes2.png|thumb|right|upright=1.6|Demostración gráfica de que el cuadrado de un número triangular es igual a una suma de cubos.]]

En la literatura matemática más reciente,{{harvtxt|Stein|1971}} utiliza la interpretación de recuento de rectángulos de estos números para formar una prueba geométrica de la identidad (véase también {{harvnb|Benjamin|Quinn|Wurtz|2006}}). Stein observa que también puede demostrarse fácilmente por inducción, y afirma que {{harvtxt|Toeplitz|1963}} proporciona "una interesante antigua prueba árabe".{{harvtxt|Kanim|2004}} proporciona una prueba puramente visual,{{harvtxt|Benjamin|Orrison|2002}} proporciona dos pruebas adicionales, y {{harvtxt|Nelsen|1993}} da siete pruebas geométricas.

==Generalizaciones==
Un resultado similar al teorema de Nicómaco se deduce para todas las [[Fórmula de Faulhaber|sumas de potencias]], a saber, que las sumas de potencias impares son un polinomio en números triangulares.

Estos son conocidos como [[Fórmula de Faulhaber|polinomios de Faulhaber]], de los cuales la suma de los cubos es el ejemplo más simple y elegante.{{harvtxt|Stroeker|1995}} estudia condiciones más generales bajo las que la suma de una secuencia consecutiva de cubos forma un cuadrado.{{harvtxt|Garrett|Hummel|2004}} y {{harvtxt|Warnaar|2004}} estudian los análogos polinomiales de la fórmula cuadrada de números triangulares, en la que series de polinomios se suman al cuadrado de otro polinomio.

== Véase también ==
* [[Demostración sin palabras]]
* [[Anexo:Series matemáticas#Sumatoria de potencias|Suma de series matemáticas]]

==Referencias==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{citation
 | last1 = Benjamin | first1 = Arthur T. | author1-link = Arthur T. Benjamin | last2 = Orrison | first2 = M. E.
 | title = Two quick combinatorial proofs of <math>\textstyle \sum k^3 = {n+1\choose 2}^2</math>
 | journal = [[College Mathematics Journal]]
 | year = 2002
 | volume = 33
 | issue = 5
 | pages = 406–408
 | url = http://www.math.hmc.edu/~orrison/research/papers/two_quick.pdf}}.
* {{citation
 | doi = 10.2307/27646391
 | last1 = Benjamin | first1 = Arthur T. | author1-link = Arthur T. Benjamin | last2 = Quinn | first2 = Jennifer L. | last3 = Wurtz | first3 = Calyssa
 | title = Summing cubes by counting rectangles
 | journal = [[College Mathematics Journal]]
 | year = 2006
 | volume = 37
 | issue = 5
 | pages = 387–389
 | url = http://www.math.hmc.edu/~benjamin/papers/rectangles.pdf
 | jstor = 27646391}}.
* {{citation
 | last = Bressoud | first = David
 | authorlink = David Bressoud
 | title = Calculus before Newton and Leibniz, Part III
 | url = http://www.macalester.edu/~bressoud/pub/CBN3.pdf
 | publisher = AP Central
 | year = 2004}}.
* {{citation
 | last1 = Garrett | first1 = Kristina C. | last2 = Hummel | first2 = Kristen
 | title = A combinatorial proof of the sum of {{mvar|q}}-cubes
 | journal = [[Electronic Journal of Combinatorics]]
 | volume = 11
 | year = 2004
 | issue = 1
 | at = Research Paper 9
 | mr = 2034423
 | url = http://www.combinatorics.org/Volume_11/Abstracts/v11i1r9.html}}.
* {{citation
 | last1 = Gulley | first1 = Ned
 | editor-last = Shure | editor-first =  Loren
 | title = Nicomachus's Theorem
 | url = http://blogs.mathworks.com/loren/2010/03/04/nichomachuss-theorem/
 | date = 4 de marzo de 2010
 | publisher = Matlab Central}}.
* {{citation
 | doi = 10.2307/3219288
 | last = Kanim | first = Katherine
 | title = Proofs without words: The sum of cubes—An extension of Archimedes' sum of squares
 | jstor = 3219288
 | journal = [[Mathematics Magazine]]
 | volume = 77
 | issue = 4
 | year = 2004
 | pages = 298–299}}.
* {{citation
 | last = Nelsen | first = Roger B.
 | title = Proofs without Words
 | publisher = Cambridge University Press
 | year = 1993
 | isbn = 978-0-88385-700-7}}.
* {{citation
 | last = Pengelley | first = David
 | contribution = The bridge between continuous and discrete via original sources
 | url = http://www.math.nmsu.edu/~davidp/bridge.pdf
 | title = Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference
 | year = 2002
 | publisher = National Center for Mathematics Education, Univ. of Gothenburg, Sweden}}.
* {{citation
 | doi = 10.2307/2688231
 | last = Stein | first = Robert G.
 | title = A combinatorial proof that <math>\textstyle \sum k^3 = (\sum k)^2</math>
 | journal = [[Mathematics Magazine]]
 | volume = 44
 | issue = 3
 | pages = 161–162
 | year = 1971
 | jstor = 2688231}}.
* {{citation
 | last = Stroeker | first = R. J.
 | title = On the sum of consecutive cubes being a perfect square
 | journal = [[Compositio Mathematica]]
 | volume = 97
 | year = 1995
 | issue = 1–2
 | pages = 295–307
 | mr = 1355130
 | url = http://www.numdam.org/item?id=CM_1995__97_1-2_295_0}}.
* {{citation
 | title = The Calculus, a Genetic Approach
 | last = Toeplitz | first = Otto
 | authorlink = Otto Toeplitz
 | publisher = University of Chicago Press
 | year = 1963
 | isbn = 978-0-226-80667-9}}.
* {{citation
 | last = Warnaar | first = S. Ole
 | title = On the {{mvar|q}}-analogue of the sum of cubes
 | journal = [[Electronic Journal of Combinatorics]]
 | volume = 11
 | year = 2004
 | issue = 1
 | at = Note 13
 | mr = 2114194
 | url = http://www.combinatorics.org/Volume_11/Abstracts/v11i1n13.html}}.
* {{citation
 | last = Wheatstone | first = C.
 | authorlink = Charles Wheatstone
 | title = On the formation of powers from arithmetical progressions
 | journal = [[Proceedings of the Royal Society]]
 | volume = 7
 | pages = 145–151
 | year = 1854
 | doi = 10.1098/rspl.1854.0036}}.
{{refend}}

==Enlaces externos==
{{mathworld|urlname=NicomachussTheorem|title=Nicomachus's theorem}}
*[https://web.archive.org/web/20170129125403/http://users.tru.eastlink.ca/~brsears/math/oldprob.htm#s32 Una prueba visual del teorema de Nicómaco]

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