Ver el código de «Cuadratriz de Hipias»

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|bgcolor=white|&nbsp;<br />[[Archivo:Quadratrix no anim.svg|x205px|center]]
|bgcolor=white|[[Archivo:Quadratrix_animation.gif|x200px|center]]
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|colspan=2|Imagen fija: Punto S de la cuadratriz (color rojo), en el momento que E y F han completado el 60% de sus movimientos
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La '''cuadratriz''' o '''trisectriz de Hipias''' (también llamada '''cuadratriz de Dinóstrato''') es una [[curva]] que se crea mediante un movimiento uniforme. Es uno de los ejemplos más antiguos de una curva [[cinemática]], creada a través del movimiento. Su descubrimiento se atribuye al sofista griego [[Hipias de Élide]], quien la usó alrededor del año 420 a.{{esd}}C. para determinar la [[trisección del ángulo|trisección de un ángulo]] (de ahí el nombre de [[trisectriz]]). Posteriormente, alrededor del año 350 a.{{esd}}C., [[Dinóstrato]] la usó para [[Cuadratura del círculo|cuadrar el círculo]] (de ahí el nombre de [[cuadratriz]]).

==Definición==
[[Archivo:Quadratrixkurve.svg|thumb|right|Cuadratriz como una curva plana (''a''=1)]]
[[Archivo:Quadratrixfunktion.svg|thumb|right|Cuadratriz como una función (''a''=1)]]

Considérese un cuadrado ''ABCD'' con un cuarto de círculo inscrito centrado en ''A'', de modo que el lado del cuadrado sea el radio del círculo. Sea ''E'' un punto que se desplaza con una velocidad constante en el cuarto de círculo de D a B, y sea ''F'' un punto que se desplaza con una velocidad constante de D a A sobre el segmento {{Overline|''AD''}}, de tal manera que ''F y E'' comienzan el movimiento en D en el mismo momento. Además ''E'' llega a B al mismo tiempo que ''F'' llega a A. Entonces, la cuadratriz se define como el [[lugar geométrico]] de la intersección de la paralela a {{Overline|''AB''}} trazada por el punto F,  que por tanto se va trasladando con el movimiento de F, con el segmento {{Overline|''AE''}}, que igualmente va girando alrededor del centro A según se traslada el punto E.<ref name="Hischer"/><ref name="Henn"/>

Si se coloca dicho cuadrado ''ABCD'' con longitud de lado ''a'' en el primer cuadrante de un sistema de [[coordenadas cartesianas]] con el lado {{Overline|''AB''}} en el eje ''x'' y el vértice ''A'' en el origen, entonces la cuadratriz se describe mediante una curva plana <math> \gamma:(0,\tfrac{\pi}{2}]\rightarrow \mathbb{R}^2</math> con:

:: <math> \gamma(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2a}{\pi} t\cot(t)\\\frac{2a}{\pi} t\end{pmatrix}</math>

Si el dominio de <math>x(t)</math> y <math>y(t)</math> se extiende para incluir la [[recta real]] completa (excepto los puntos donde <math>cot(t)</math> es infinito), estas ecuaciones describen una familia de curvas. El dominio de <math>x(t)</math> puede ampliarse aún más para incluir t=0 porque <math>\lim_{t\to 0}( t \cot(t))=1</math>. Si se define <math>x(0)=1</math>, la curva es continua para <math>(-\pi<t<\pi)</math>.<ref name="Jahnke"/><ref name="MathWorld"/>

Para describir la cuadratriz como una función simple en lugar de como una curva plana, es ventajoso cambiar el eje ''y'' y el eje ''x'', es decir, colocar el lado {{Overline|''AB''}} en el eje ''y'' en lugar de en el eje ''x''. Entonces la cuadratriz viene dada por la siguiente función:<ref name="Underwood"/><ref name="MactTutor1"/>

:: <math> f(x)=x \cdot \cot \left(\frac{\pi}{2a} \cdot x \right)</math>

==Trisección angular==
[[Archivo:Mechanical Quadratrix or Quadratrixzirkel.svg|thumb|right|upright=1.0|Compás para dibujar una cuadratriz]]
[[Archivo:Angle trisection quadratix hippias.svg|thumb|right|upright=1.25|Trisección de un ángulo]]

La trisección de un ángulo arbitrario usando solo [[regla y compás]] es imposible. Sin embargo, si se permite utilizar la cuadratriz como una herramienta adicional, es posible dividir un ángulo arbitrario en ''n'' segmentos iguales, y por lo tanto, es posible efectuar una trisección (para ''n''&nbsp;=&nbsp;3). En términos prácticos, la cuadratriz se puede dibujar con la ayuda de una [[Estarcido|plantilla]] o un compás cuadratriz (véase el dibujo).<ref name="Hischer"/><ref name="Henn"/>

Dado que, según la definición de la cuadratriz, el ángulo atravesado es proporcional al segmento atravesado del lado de los cuadrados asociados que divide ese segmento del lado en ''n'' partes iguales, análogamente produce una partición del ángulo asociado también. Y dividir el segmento en ''n'' partes iguales con regla y compás es posible como se comprueba el [[teorema de Tales]].

Para un ángulo dado ''BAE'' (&nbsp;≤&nbsp;90°) constrúyase un cuadrado ''ABCD'' sobre uno de sus lados {{Overline|''AB''}}. El otro tramo del ángulo interseca la cuadratriz del cuadrado en un punto ''G'' y la línea paralela al tramo {{Overline|''AB''}} a través de ''G'' cruza el lado {{Overline|''AD''}} del cuadrado en ''F''. Ahora el segmento {{Overline|''AF''}} corresponde al ángulo ''BAE'' y debido a la definición de la cuadratriz cualquier división del segmento {{Overline|''AF''}} en ''n'' partes equidistantes produce una división correspondiente del ángulo ''BAE'' en ''n'' partes de igual tamaño. Para dividir el segmento {{Overline|''AF''}} en n partes equidistantes, procédase de la siguiente manera. Dibújese un rayo ''a'' con origen en ''A'' y luego dibújense ''n'' segmentos equidistantes (de longitud arbitraria) sobre él. Conéctese el punto final ''O'' del último segmento con ''F'' y dibujar líneas paralelas a {{Overline|''OF''}} a través de todos los puntos finales de los ''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1 segmentos restantes en {{Overline|''AO''}}. Estas líneas paralelas dividen el segmento {{Overline|''AF''}} en {{Overline|''AD''}} en  ''n'' segmentos equidistantes. Ahora, dibújense rectas paralelas a {{Overline|''AB''}} a través de los puntos finales de esos segmentos en {{Overline|''AF''}}. Estas líneas paralelas intersecarán a la trisectriz. Al conectar esos puntos de intersección con ''A'' se obtiene una partición del ángulo ''BAE'' en ''n'' partes de igual tamaño.<ref name="Underwood"/>

Como no todos los puntos del trisectriz pueden construirse solo con regla y compás, es realmente necesario como una herramienta adicional junto a estas anteriormente nombradas. Sin embargo, es posible construir un subconjunto denso de la trisectriz con regla y compás, por lo que si bien no puede asegurarse una división exacta de un ángulo en n partes sin una trisectrix dada, puede construir una aproximación arbitrariamente cercana de este modo.<ref name="Henn"/><ref name="Jahnke"/>

==Cuadratura del círculo==
[[Archivo:Circle quadrature quadratix hippias2.svg|thumb|right|upright=1.25|Cuadratura de un cuarto de círculo de radio 1]]

Cuadrar el círculo solo con regla y compás es imposible. Sin embargo, si se permite utilizar la cuadratriz de Hipias como una herramienta de construcción adicional, la cuadratura del círculo se hace posible debido al [[teorema de Dinostrato]], que permite convertir un cuarto de círculo en un cuadrado de la misma área. En consecuencia, un cuadrado con el doble de longitud de su lado tiene la misma área que el círculo completo.

Según el teorema de Dinóstrato, la cuadratriz divide uno de los lados del cuadrado asociado en una proporción de <math>\tfrac{2}{\pi}</math>.<ref name="Hischer"/> Para un cuarto de círculo dado con radio ''r'' se construye el cuadrado asociado ''ABCD'' con longitud de lado ''r''. La cuadratriz se cruza con el lado {{Overline|''AB''}} en ''J'' con <math>\left|\overline{AJ}\right|=\tfrac{2}{\pi}r</math>. Ahora se construye un segmento de línea {{Overline|''JK''}} de longitud ''r'' que es perpendicular a {{Overline|''AB''}}. Entonces, la línea a través de ''A'' y ''K'' interseca la extensión del lado {{Overline|''BC''}} en ''L''; y según el [[teorema de Tales]] se deduce que <math>\left|\overline{BL}\right|=\tfrac{\pi}{2}r</math>. Extendiendo {{Overline|AB}} a la derecha por un nuevo segmento, <math>\left|\overline{BO}\right|=\tfrac{r}{2}</math> produce el rectángulo ''BLNO'' con los lados {{Overline|''BL''}} y {{Overline|''BO''}}, cuya área coincide con el área del cuarto de círculo. Este rectángulo se puede transformar en un cuadrado de la misma área con la ayuda del [[teorema de la media geométrica]]. Ahora, se extiende el lado {{Overline|''ON''}} mediante un segmento <math>\left|\overline{OQ}\right|=\left|\overline{BO}\right|=\tfrac{r}{2}</math> y se dibuja un semicírculo a la derecha de {{Overline|''NQ''}}, que tiene {{Overline|''NQ''}} como diámetro. La extensión de {{Overline|''BO''}} se encuentra con el semicírculo en ''R'' y debido al [[teorema de Tales]], el segmento {{Overline|''OR''}} es la altura del triángulo rectángulo ''QNR''. Por lo tanto, se puede aplicar el teorema de la media geométrica, lo que significa que {{Overline|''OR''}} forma el lado de un cuadrado ''OUSR'' con la misma área que el rectángulo ''BLNO'', y por lo tanto, con la misma área que el cuarto de círculo.<ref name="Holme"/>

Téngase en cuenta que el punto ''J'', donde la cuadratriz se encuentra con el lado {{Overline|''AB''}} del cuadrado asociado, es uno de los puntos de la cuadratriz que no se puede construir solo con regla y compás y ni siquiera con la ayuda del compás basándose en la cuadratriz en la definición geométrica original (véase el dibujo). Esto se debe al hecho de que las dos líneas que se mueven uniformemente coinciden y, por lo tanto, no existe un punto de intersección único. Sin embargo, confiar en la definición generalizada de la cuadratriz como una función o curva plana permite que ''J'' sea un punto de la cuadratriz.<ref name="Delahaye"/><ref name="MactTutor2"/>

==Fuentes históricas==
La cuadratriz se menciona en los trabajos de [[Proclo]] (412–485), [[Papo de Alejandría]] (siglos III y IV) y [[Jámblico]] (c.&nbsp;240&nbsp;-&nbsp;c.&nbsp;325). Proclo nombra a Hipias como el inventor de una curva llamada cuadratriz y describe en otro lugar cómo Hipias había aplicado la curva al problema de la trisección. Papo solo menciona cómo Dinostrato, [[Nicomedes (matemático)|Nicomedes]] y otros utilizaron una curva llamada cuadratriz para cuadrar el círculo, pero no mencionan a Hipias ni atribuyen la invención de la cuadratriz a una persona en particular. [[Jámblico]] simplemente escribe en una sola línea, que Nicomedes utilizó una curva llamada cuadratriz para cuadrar el círculo.<ref name="Van der Waerden"/><ref name="Gow"/><ref name="Heath"/>

Aunque basándose en el nombre utilizado por Proclo para denominar la curva, es concebible que el propio Hipias la usara para cuadrar el círculo o alguna otra figura curvilínea. La mayoría de los historiadores de las matemáticas asumen que Hipias inventó la curva, pero la usó solo para la trisección de ángulos. Su uso para cuadrar el círculo solo se produciría décadas después y se debió a matemáticos como Dinóstrato y Nicomedes. Esta interpretación de las fuentes históricas se remonta al matemático e historiador alemán [[Moritz Cantor]].<ref name="Gow"/><ref name="Heath"/>

==Referencias==
<references><ref name="Henn">Hans-Wolfgang Henn: ''Elementare Geometrie und Algebra''. Verlag Vieweg+Teubner 2003, pp. 45–48 "Die Quadratur des Kreises" ({{Google books|2caZW8KRMtAC|excerpt|page=47}})</ref><ref name="Jahnke">Hans Niels Jahnke: ''A History of Analysis''. [[American Mathematical Society]] 2003, {{ISBN|0821826239}}, pp. 30–31  ({{Google books|CVRZEXFVsZkC|excerpt|page=30}})</ref><ref name="Underwood">Dudley Underwood: ''The Trisectors''. Cambridge University Press 1994, {{ISBN|0883855143}}, pp. 6–8 ({{Google books|tp3kHvbMjqUC|excerpt|page=6}})</ref><ref name="Hischer">Horst Hischer: [http://hischer.de/uds/forsch/publikat/hischer/artikel/scheid60.pdf ''Klassische Probleme der Antike – Beispiele zur "Historischen Verankerung"''] {{Wayback|url=http://hischer.de/uds/forsch/publikat/hischer/artikel/scheid60.pdf |date=20120328072307 }}. In: Blankenagel, Jürgen & Spiegel, Wolfgang (Hrsg.): ''Mathematikdidaktik aus Begeisterung für die Mathematik  —  Festschrift für Harald Scheid''. Stuttgart/Düsseldorf/Leipzig: Klett 2000, pp. 97 – 118</ref><ref name="MactTutor1">{{MacTutor Biography|id=Quadratrix|title=Cuadratriz of Hippias|page=cur}}</ref><ref name="MactTutor2">{{MacTutor Biography|id=Dinostratus|title=Dinostratus|page=bio}}</ref><ref name="MathWorld">{{MathWorld|urlname=QuadratrixofHippias|title=Cuadratriz of Hippias}}</ref><ref name="Holme">Audun Holme: ''Geometry: Our Cultural Heritage''. Springer 2010, {{ISBN|9783642144400}}, pp. 114–116 ({{Google books|zXwQGo8jyHUC|excerpt|page=114}})</ref><ref name="Delahaye">Jean-Paul Delahaye: ''Pi – Die Story''. Springer 1999, {{ISBN|3764360569}}, p. 71 ({{Google books|RNb95MU9fUUC|excerpt|page=71}})</ref><ref name="Van der Waerden">Van der Waerden: ''Science Awakening''. Oxford University Press 1961, p. 146</ref><ref name="Gow">James Gow: ''A Short History of Greek Mathematics''. Cambridge University Press 2010, {{ISBN|9781108009034}}, pp. 162–164  ({{Google books|KSe_ZEmHaXEC|excerpt|page=162}})</ref><ref name="Heath">[[Thomas Heath]]: ''A History of Greek Mathematics. Volume 1. From Thales to Euclid''. Clarendon Press 1921 (Nachdruck Elibron Classics 2006), pp. 182, 225–230 ([https://archive.org/details/historyofgreekma01heat online copy] at [[internet Archive]])</ref>
</references>

==Bibliografía==
*Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics''. MAA 2010, {{ISBN|9780883853481}}, pp.&nbsp;146–147 ({{Google books|mIT5-BN_L0oC|excerpt|page=146}})
*[[Felix Klein]]: ''Famous Problems of Elementary Geometry''. Cosimo 2007 (Nachdruck), {{ISBN|9781602064171}}, pp.&nbsp;57–58 ({{Google books|YJjXmo84DJkC|excerpt|page=57}}) ([https://archive.org/details/famousproblemsof00kleiiala complete online copy] at [[archive.org]])
*Audun Holme: ''Geometry: Our Cultural Heritage''. Springer, 2010, {{ISBN|9783642144400}}, pp.&nbsp;114–116 ({{Google books|zXwQGo8jyHUC|excerpt|page=114}})
*[[Thomas Little Heath]]: ''A History of Greek Mathematics. Volume 1. From Thales to Euclid''. Clarendon Press, 1921 (Nachdruck Elibron Classics 2006), pp.&nbsp;225–230 ([https://archive.org/details/historyofgreekma01heat online copy] at [[archive.org]])
*Horst Hischer: [http://www.horst.hischer.de/publikationen/buch-beitraege/2000-Festschrift_Scheid/Festschrift_Scheid-60.pdf ''Klassische Probleme der Antike – Beispiele zur "Historischen Verankerung"'' ''Klassische Probleme der Antike – Beispiele zur "Historischen Verankerung"'']. In: Blankenagel, Jürgen & Spiegel, Wolfgang (Hrsg.): ''Mathematikdidaktik aus Begeisterung für die Mathematik  —  Festschrift für Harald Scheid''. Stuttgart/Düsseldorf/Leipzig: Klett 2000, pp.&nbsp;97 – 118 (alemán)
*Hans-Wolfgang Henn: ''Elementare Geometrie und Algebra''. Vieweg+Teubner, 2003, pp.&nbsp;45–48 "Die Quadratur des Kreises" ({{Google books|2caZW8KRMtAC|excerpt|page=45}}) (alemán)

==Enlaces externos==
{{Commonscat|Quadratrix of Hippias}}
* Michael D. Huberty, Ko Hayashi, Chia Vang: [http://www.geom.uiuc.edu/~huberty/math5337/groupe/quadratrix.html '' Hippias 'Quadratrix' ']
* {{MathWorld|urlname=QuadratrixofHippias|title=Quadratrix of Hippias}}
* {{MacTutor Biography|id=Quadratrix|title=Quadratrix of Hippias|page=cur}}

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