Ver el código de «Cuadratura del rectángulo»

[[File:Cuadratura del rectángulo.svg|mini|450px|'''Cuadratura de un rectángulo de lados ''a'' y ''b'' (Método de las alturas):''' para hallar el lado del cuadrado con la misma área, basta dibujar una circunferencia de radio ''R=(a+b)/2'' centrada en el segmento ''b+a'', y trazar una perpendicular al segmento anterior por el punto por donde se unen sus dos partes. La distancia ''c'' de este punto al corte de la perpendicular con la circunferencia es el lado del cuadrado buscado, de forma que ''(c·c=a·b)''. En el ejemplo de la imagen, se puede comprobar fácilmente que con ''a=2'' y ''b=8'', entonces ''R=5'' y ''c=4'', verificándose que {{nowrap|1=''R²=c²+(R-a)²''}}]]

La '''cuadratura del rectángulo''' es una tarea de la [[geometría]] clásica. Consiste en obtener un [[cuadrado]] con la misma área que un [[rectángulo]] dado, utilizando exclusivamente una regla y un compás. A diferencia de la [[cuadratura del círculo]], que no tiene solución, el rectángulo se puede cuadrar de diferentes maneras.
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==Proposiciones de partida==
[[File:Quadratur rechteck ausgangslage.svg|mini|upright=1.2|Triángulo rectángulo]]

El punto de partida para las siguientes dos construcciones son dos propiedades matemáticas de los [[Triángulo rectángulo|triángulos rectángulos]] que se remontan a [[Euclides]]: el [[teorema de la media geométrica]] y el [[teorema del cateto]].

Sean ''a'' y ''b'' los [[cateto]]s de un [[triángulo rectángulo]] y sea ''c'' su [[hipotenusa]]. Sea ''h''&nbsp;la [[Altura (geometría)|altura]] perpendicular al lado&nbsp;''c'', y sean ''p'' y ''q'' las dos secciones en las que divide la hipotenusa. Entonces se aplican las siguientes relaciones:

<math> h^2 = p \cdot q \;\;\;</math> (teorema de las alturas de Euclides)

<math> a^2 = c \cdot p \;\;\;</math> y <math>\;\;\; b^2 = c \cdot q \;\;\;</math> (teorema del cateto de Euclides)
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==Método de las alturas==
[[File:Quadratur rechteck hoehensatz.svg|mini|upright=1.2|Cuadratura usando el teorema de las alturas]]

Independientemente de las proporciones del rectángulo dado (aquí, en color verde), se asume que un lado es la sección de la hipotenusa ''p'' y el otro lado es la sección de la hipotenusa ''q'' de un triángulo rectángulo. Luego, se pivota el lado más corto del ángulo recto y se obtiene la base de un triángulo rectángulo. Sobre esta base se aplica el [[teorema de Tales]]. La extensión del lado más corto del triángulo rectángulo interseca la circunferencia de Tales y proporciona la altura del triángulo rectángulo con las secciones de hipotenusa ''p'' y ''q''. Si ahora se construye un cuadrado (aquí naranja) por encima de esta altura, entonces tiene exactamente la misma área que el rectángulo dado.
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==Método de los catetos==
[[File:Quadratur rechteck kathetensatz.svg|mini|upright=1.2|Cuadratura con los catetos]]

El segundo método asume que el lado más largo del rectángulo (aquí de color verde) se extiende sobre toda la base ''c'' de un triángulo rectángulo. Luego, el lado más corto del rectángulo se gira 90° hacia adentro; y se obtiene la sección de hipotenusa ''q'' y el punto base de altura ''h''. Luego se aplica el [[teorema de Tales]] sobre la base ''c''. El punto de intersección de la altura con la circunferencia da como resultado el tercer punto del triángulo, que da como resultado el cateto ''b''. Si ahora se construye un cuadrado (aquí de color naranja) sobre b, este último tiene exactamente la misma área que el rectángulo dado.
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==Método de la secante y la tangente==
[[File:Squared-rectangle-using-secant-tangent-theorem.svg|mini|upright=1.2|Cuadratura con la tangente y la secante]]

El [[teorema de la tangente y la secante]] también se puede usar para cuadrar el rectángulo. Así, en un rectángulo dado (aquí de color verde) con longitud ''p'' y ancho ''q'', hacer que la longitud ''p'' también se pueda usar como el segmento marcado ''{{Overline|PR}}''. Ahora, se toma el segmento ''{{Overline|QR}}'' de forma que sea igual al ancho ''q'' y quede dentro de ''{{Overline|PR}}''. Sea ahora ''M<sub>1</sub>'' el punto medio del segmento ''{{Overline|PQ}}''. Sea ''k<sub>1</sub>'' la circunferencia de diámetro ''{{Overline|PQ}}'' y '' k<sub>2</sub>'' otra circunferencia de diámetro ''{{Overline|M<sub>1</sub>R}}'', y sea ''T'' una intersección de las dos circunferencias. El ángulo ''M<sub>1</sub>TR'' es recto según el teorema de Tales, y por lo tanto, ''{{Overline|RT}}'' es una tangente a ''k<sub>1</sub>''. Según el teorema de la secante y de la tangente, entonces ''({{Overline|RT}})''<sup>2</sup>=''pq''.
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==Método de las cuerdas==
[[File:01-Quadratur Rechteck-Sehnensatz.svg|mini|upright=1.5|Método de las cuerdas.<br />El rectángulo gris ''bc'' y las líneas discontinuas no son necesarios para la solución, y solo están destinados a aclararla. El segmento ''{{Overline|BG}}'' es el lado ''a'' del cuadrado de la misma área]]

Una de las cuatro soluciones más conocidas para cuadrar el rectángulo se basa en el [[teorema de las cuerdas secantes]].<ref>{{Internetquelle |autor=Emese Vargyas, Ysette Weiss-Pidstrygach |url=http://www.mathematica-didactica.com/altejahrgaenge/md_2015/md_2015_Vargyas_Weiss-Pidstrygach_Sehnensatz.pdf#page=7&zoom=90,-130,115 |título=5 Geschichte der Mathematik im Unterricht am Beispiel des Sehnensatzes S. 279–283, siehe S. 281, Abb. 4 |obra=Um welche Flächen geht es beim Sehnensatz? |editor=mathematica-didactica.com |fecha=2015 |format=PDF |fechaacceso=2019-04-28}}</ref><br />
Para la cuadratura de un rectángulo dado (aquí en color azul) con longitud ''p'' y ancho ''q'', primero se designan las dos esquinas de un lado largo como ''A'' y ''B''. A continuación se extiende sobre el segmento ''{{Overline|AB}}'' el ancho ''q'' con la ayuda del cuarto de círculo, lo que da como resultado el segmento ''{{Overline|AC}}''. Después de dibujar la [[mediatriz]] ''{{Overline|AC}}'', el punto libremente seleccionable ''M'' se determina en la línea central vertical. Ahora, se dibuja una circunferencia alrededor del punto ''M'' con el radio |''MA''|; lo que hace que el segmento ''{{Overline|AC}}'' sea la primera cuerda del círculo. Se continúa dibujando el diámetro del círculo a través del punto ''B''. La línea resultante ''{{Overline|EF}}'' genera la segunda cuerda de la circunferencia. Ambas cuerdas se cruzan en el punto ''B'', que a su vez tiene el segmento ''{{Overline|AC}}'' en ''p'' y ''q'' y el segmento ''{{Overline|EF}}'' en ''b'' y en ''c''. Finalmente, se traza una línea vertical en la recta ''{{Overline|EB}}'', que va desde el punto ''B'' a la circunferencia para generar el punto de intersección ''G''. Esto da como resultado que la línea ''{{Overline|BG}}'' sea el lado ''a'' del cuadrado buscado con la misma área (aquí en verde).

Como se describe, la cuerda ''{{Overline|EF}}'' se traza a través del centro de la circunferencia en el dibujo adyacente. Debido a esto, existe la posibilidad (como se muestra) de aclarar y justificar el resultado, además del área rectangular ''bc'' para la conversión en el área cuadrada ''a<sup>2</sup>'',<ref>{{cita libro |autor=John M. Lee |editor=American Mathematical Society |título=Axiomatic Geometry |ubicación=Rhode Island |fecha=2013 |página=303 ff. |url=[https://books.google.de/books?id=9Z0xAAAAQBAJ&pg=PA303#v=onepage&q&f=false Construction Problem 16.20 (Rectangle with a Given Area and Edge)] |fechaacceso=2017-05-05}}</ref> también el triángulo rectángulo EFG con la altura ''h=a'' y el área del cuadrado ''h<sup>2</sup>''. Visto en conjunto, el [[teorema de las cuerdas secantes]] es claramente reconocible.

Según la ley de las cuerdas:

: <math>\overline{AB} \cdot \overline{BC} = \overline{EB} \cdot \overline{BF} </math>

o también

: <math> p \cdot q = b \cdot c,</math>

y entonces (como en el teorema de las alturas de Euclides)

: <math> a^2 = p \cdot q,</math>

si se extrae la raíz cuadrada de esta expresión, la longitud del lado ''a'' del cuadrado es igual a la [[media geométrica]] de la longitud<ref name="Magdeburg">Universität Magdeburg [http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/var/pdf/pa14.pdf A.14 Mittelwerte. Mittlere Proportionale, Seite 2, Punkt u. Bild: b)] (PDF) abgerufen am 7. Mai 2017</ref> p+q, y por lo tanto:

: <math>a = \sqrt{pq}</math>

==División en cuadrados==
De forma análoga a la ''[[cuadratura del cuadrado]]'', también puede considere el problema de dividir un rectángulo en cuadrados de diferentes tamaños (''cuadrar el rectángulo''). La primera solución la encontró en 1925 el matemático polaco [[Zbigniew Morón]] (1904-1971). Dividió un rectángulo de 33&nbsp;×&nbsp;32 en 9 cuadrados con lados 1,4,7,8,9,10, 14, 15, 18 y un rectángulo de 65&nbsp;×&nbsp;47 en 10 cuadrados con lados 3, 5, 6, 11, 17, 19, 22, 23, 24, y 25.<ref>Clifford Pickover: ''The Math Book''. Sterling Publ. 2012, S. 352</ref> La primera cuadratura de un cuadrado data de 1939, conseguida por [[Roland Sprague]], seguida en 1940 por los resultados obtenidos por [[William Thomas Tutte]] y sus colegas.

==Véase también==
* [[Cuadratura del cuadrado]]
* [[Cuadratura de polígonos]]

==Referencias==
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==Bibliografía==
* ''Schülerduden – Mathematik I''. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S.&nbsp;193, 212, 415–417
* Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen''. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. [https://books.google.de/books?id=EG6qCAAAQBAJ&pg=PA31 31–32]

==Enlaces externos==
{{Commonscat|Rectangle squaring}}
* [https://www.gaussianos.com/la-cuadratura-del-rectangulo/#:~:text=C%C3%B3mo%20cuadrar%20un%20rect%C3%A1ngulo,-Bien%2C%20como%20hemos&text=Como%20la%20primera%20parte%20de,)%2C%20tenemos%20demostrada%20nuestras%20construcci%C3%B3n.&text=La%20cuadratura%20del%20rect%C3%A1ngulo%20va,art%C3%ADculo%20que%20veremos%20m%C3%A1s%20adelante. ''Cómo cuadrar un rectángulo''] (Gaussianos)
* [http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/calculo4_2015_1/Introduccion_2015_1.pdf ''Cuadratura del rectángulo''] (UNAM)
* {{MathWorld |id=RectangleSquaring |title=Rectangle Squaring}}
* [http://www.e-rara.ch/zut/content/zoom/2675549?zoom=1&lat=998.48413&lon=1493.69048&layers=B Euclid's Elements Second Book, The 14th Movement.] - Cuadratura del rectángulo en los [[Elementos de Euclides]]
* [http://mathematik.bildung-rp.de/fileadmin/user_upload/mathematik.bildung-rp.de/Sinus_und_Sinus-Transfer/4.2_OA_8-10__pdf_/Vom_Rechteck__das_ein_Quadrat_haben_wollte.pdf Acerca del rectángulo a cuadrar] en PDF)
* [http://www.mathematische-basteleien.de/rechteck.htm ''Cuadratura del rectángulo''] en mathische-basteleien.de

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Cuadratura del círculo]]
[[Categoría:Geometría euclidiana plana]]