Ver el código de «Cuadrilátero»

{{otros usos|Cuadrilátero (desambiguación)}}
{{Ficha de polígono
| nombre        = Cuadrilátero
| imagen        = Six Quadrilaterals.svg
| pie           = Varios tipos de cuadriláteros
| lados         = 4
| vértices      = 4
| Schläfli      = {4} (para el cuadrado)
| área          = varios métodos;<br />[[#Área de un cuadrilátero convexo|véase artículo]]
| ángulo         = 90° (para el cuadrado y el rectángulo)
}}
En [[Geometría euclidiana|geometría del plano euclídeo]], un '''cuadrilátero''' es un [[polígono]] con cuatro [[Arista (geometría)|aristas]] y cuatro [[Vértice (geometría)|vértices]] (o de forma coloquial, con cuatro lados y cuatro esquinas). A veces se usa el término '''cuadrángulo''' por analogía con [[triángulo]], al igual que '''tetrágono''' por consistencia con [[pentágono]] (5 lados),  [[hexágono]] (6 lados), y en general, con los polígonos de ''n'' lados (en este caso, con ''n''=4 lados).

La palabra ''cuadrilátero'' se deriva de las palabras latinas "quadri", una variante de cuatro, y "latus", que significa "lado".

Los cuadriláteros son [[Polígono simple|polígonos simples]] (no autointersecantes) o [[polígono complejo|complejos]] (autointersecantes), también llamados cruzados. Los cuadriláteros simples también pueden clasificarse como [[Polígono convexo|convexos]] o [[Polígono cóncavo|cóncavos]].

Los [[Ángulo interior|ángulos interiores]] de un cuadrilátero simple (y plano) ''ABCD'', suman 360 [[grado sexagesimal|grados]], es decir
: <math>\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}.</math>

Es un caso especial de la fórmula de la suma de los ángulos interiores un ''n''-gono, cuyo valor es (''n''-2)×180°.

Todos los cuadriláteros cuyos lados no se cruzan entre sí, automáticamente [[Teselado|recubren el plano]] mediante la rotación repetida alrededor de los puntos medios de sus lados.

== Elementos de un cuadrilátero ==
Los elementos de un cuadrilátero son los siguientes:
* 4 vértices: puntos de [[intersección (geometría)|intersección]] de los lados que conforman el cuadrilátero.
* 4 lados: [[segmento]]s que unen los vértices contiguos.
* 2 [[diagonal]]es: segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos.
* 4 [[ángulo interior|ángulos interiores]]: el determinado por dos lados contiguos.
* 4 [[Ángulo exterior de un polígono|ángulos exteriores]]: el determinado por la prolongación de uno de los lados sobre un vértice y el contiguo en el mismo vértice.

== Proposiciones generales ==
[[Archivo:Cuadrilátero_07.svg|260px|mini|Nomenclatura de los elementos de un cuadrilátero]]

* Los cuadriláteros tienen dos [[diagonal]]es.
* Las diagonales de un cuadrilátero se cortan en un punto interior, si y solamente si este es convexo.
* Poseen cuatro ángulos.
* La suma de las medidas de los ángulos de un cuadrilátero <math>ABCD</math> convexo es 360° o 2π [[Radián|radianes]].

::<math>\angle A + \angle B+\angle C+\angle D = 360^\circ</math>

* Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia la suma de la medida de sus ángulos opuestos es igual a 180°.
* Sea ABCD un cuadrilátero inscrito en una circunferencia de diámetro <math>AB</math>, entonces las proyecciones de los lados AD y BC sobre la recta CD son iguales.<ref>Aplicando simetría.</ref>
* Si se unen con cuatro segmentos los puntos medios de todos los lados de un cuadrilátero, entonces dichos segmentos forman un paralelogramo.
*Si un cuadrilátero está circunscrito entonces la suma de sus lados opuestos son iguales. <math> AB + CD = BC + DA</math>.<ref>M. '''García Ardura'''. Problemas gráficos y numéricos de Geometría. Madrid</ref>
*Para un cuadrilátero convexo se cumple <math> a^2+b^2+c^2+d^2 = d_1^2+d_2^2+4m^2 </math> donde <math>a, b, c, d </math> son los lados; <math>d_1,  d_2 </math>,las diagonales y '''m''', la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales. 
* También se verifica: <math> d_1^2+d_2^2 = m_1^2 + m_2^2</math> donde <math> d_1, d_2  </math> son las diagonales y <math> m_1, m_2  </math> son los segmentos, que unen los puntos medios de lados opuestos, llamados simedianas.<ref> '''García Ardura'''. Obra citada. </ref>

== Clasificación ==
[[Archivo:TIPOS DE PARALELOGRAMOS.png|mini|450px|Tipos de Paralelogramos]]
[[Archivo:Deltoid.svg|thumb|Deltoides]]

Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados, sus longitudes y sus ángulos interiores:
* [[Paralelogramo]]: sus lados opuestos son [[Paralelismo (matemática)|paralelos]].
** [[Cuadrado]]: todos sus lados son iguales, todos sus ángulos interiores son rectos, sus diagonales son iguales y perpendiculares entre sí, tiene una circunferencia inscritas y otra circunscrita, además todos los cuadrados son semejantes entre sí .
** [[Rombo]]: todos sus lados son iguales, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus diagonales son distintas y perpendiculares entre sí, son bisectrices, tiene una circunferencia inscrita.
** [[Rectángulo]]: sus lados opuestos son iguales dos a dos y los paralelos, todos sus ángulos interiores son rectos, sus dos diagonales son iguales pero no son perpendiculares entre sí y tiene una circunferencia circunscrita.
** [[Romboide]]: sus lados opuestos son iguales dos a dos, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus dos diagonales son de distinta longitud y no son perpendiculares entre sí.
* [[Trapecio (geometría)|Trapecio]]: En geometría, se llama trapecio a un cuadrilátero que tiene dos lados no consecutivos paralelos llamados bases del trapecio, y el segmento perpendicular entre las dos bases y su propia longitud son llamadas altura del trapecio
* [[Trapezoide]]: En geometría euclídea plana, un trapezoide es un cuadrilátero convexo sin lados paralelos.

== Nomenclatura de los cuadriláteros ==
<imagemap>
Archivo: Cuadriáteros 01.svg|360px|derecha|borde

circle 500  100 100 [[Cuadrilátero]]
circle 250  200 100 [[Cuadrilátero complejo]]
circle 750  150 100 [[Cuadrilátero simple]]
circle 950  300 100 [[Cuadrilátero cóncavo]]
circle 550  350 100 [[Trapezoide]]
circle 150  500 100 [[Trapecio (geometría)]]
circle 750  500 100 [[Cuadrilátero cíclico]]
circle 950  500 100 [[Cuadrilátero tangencial]]
circle 400  550 100 [[Trapecio isósceles]]
circle 200  750 100 [[Trapecio rectángulo]]
circle 600  700 100 [[Trapecio tres lados iguales]]
circle 850  700 100 [[Cuadrilátero bicentrico]]
circle 150  950 100 [[Romboide]]
circle 400  850 100 [[Rectángulo]]
circle 750  900 100 [[Cuadrado]]
circle 950  950 100 [[Deltoide]]
circle 550 1100 100 [[Rombo]]

default [[Polígono]]

</imagemap>

En el gráfico ilustrativo de la [[taxonomía]] de los cuadriláteros se pasa de las definiciones más generales a las más específicas siguiendo el sentido de las [[flecha (geometría)|flechas]].

Así se parte de un cuadrilátero definido como un [[polígono]] cerrado de cuatro lados, sin más restricciones, para diferenciar a continuación los cuadriláteros compuestos de los simples.

En un [[polígono complejo|cuadrilátero complejo]], dos de sus lados se cortan. En uno [[polígono simple|simple]] los lados no se cruzan.

Los cuadriláteros simples se dividen en:
* [[Polígono cóncavo|Cóncavo]]s. En un cuadrilátero cóncavo al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180°.
* [[Polígono convexo|Convexo]]s. Un cuadrilátero convexo no tiene ángulos interiores que midan más de 180°. El cuadrilátero convexo general sería el [[trapezoide]]. Los convexos se subdividen en:

# [[Cuadrilátero cíclico]], si se puede trazar una circunferencia que pase por sus vértices.
# [[Cuadrilátero tangencial]], si se puede trazar una [[circunferencia]] [[tangente (geometría)|tangente]] a cada uno de sus lados.
# [[Trapecio (geometría)|Trapecios]], si tienen dos lados paralelos. Se diferencian:
## [[Romboide]], como caso más general de [[paralelogramo]], si los lados son paralelos dos a dos.
## [[Trapecio (geometría)|Trapecio rectángulo]], que tiene un lado [[perpendicular]] a sus [[base (geometría)|bases]].
## [[Trapecio isósceles]], cuyos lados no paralelos son de igual medida. Este trapecio también es cíclico.

A un cuadrilátero que al mismo tiempo sea cíclico y tangencial se le denomina [[cuadrilátero bicéntrico]]. El [[deltoide]] es tangencial con dos pares de lados iguales.

Un caso particular de trapecio isósceles es cuando la longitud de una de las bases es igual que la de sus lados, por lo cual se configura un [[trapecio (geometría)|trapecio de tres lados iguales]].

== Cuadriláteros simples ==
[[Archivo:Euler diagram of quadrilateral types es.svg|thumb|300px|[[Diagrama de Euler]] de diversos tipos de cuadriláteros simples]]

Cualquier cuadrilátero que no se autointerseca es un cuadrilátero simple.

=== Cuadriláteros convexos ===

En un cuadrilátero convexo, todos los ángulos interiores son inferiores a 180° y las dos diagonales se encuentran dentro del cuadrilátero.
Trapezoide o cuadrilátero irregular: ninguno de sus lados son paralelos entre sí
* [[Trapecio (geometría)|Trapecio]]: Al menos un par de lados opuestos son [[Paralelismo (matemática)|paralelos]]. Los trapecios incluyen a los paralelogramos.
<!--Please do NOT define an isosceles trapezoid as having legs equal.  Doing so would make all parallelograms isosceles trapezoids, which we know is wrong.-->
* [[Trapecio isósceles]]: Un par de lados opuestos son paralelos y los [[ángulo]]s de cada base son iguales entre sí. Otras definiciones alternativas son: un cuadrilátero con un eje de simetría que divide un par de lados opuestos; o un trapecio con diagonales de igual longitud.
* [[Paralelogramo]]: Un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. Condiciones equivalentes son que los lados opuestos sean de igual longitud; que los ángulos opuestos sean iguales; o que las diagonales se bisequen entre sí (es decir, se corten en sus puntos medios). Al conjunto de los paralelogramos pertenecen los rombos (incluidos los que tienen sus ángulos rectos, es decir, los cuadrados) y los romboides (incluidos los que tienen sus ángulos rectos, los rectángulos). En otras palabras, los paralelogramos incluyen todos los romboides y todos los rombos, y por lo tanto también incluyen todos los rectángulos y todos los cuadrados.
* [[Rombo]]: Sus cuatro lados tienen la misma longitud. Una condición equivalente es que las diagonales se bisecan perpendicularmente entre sí. Informalmente: "un cuadrado cizallado" (pero estrictamente, incluyendo un cuadrado también).
* [[Romboide]]: Un paralelogramo en el que los lados adyacentes tienen longitudes distintas y algunos de sus ángulos son [[Ángulo|oblicuos]] (equivalentemente, sin ángulos rectos). Informalmente: "un rectángulo cizallado". No todas las referencias están de acuerdo, y en algunas se define un romboide como un paralelogramo que no es un rombo.<ref>{{cite web|url=http://www.cimt.plymouth.ac.uk/resources/topics/art002.pdf |title=Archived copy |accessdate=20 de junio de 2013 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140514200449/http://www.cimt.plymouth.ac.uk/resources/topics/art002.pdf |archivedate=14 de mayo de 2014 }}</ref>
* [[Rectángulo]]: Sus cuatro ángulos son ángulos rectos. Una condición equivalente es que las diagonales se corten entre sí y que los cuatro segmentos resultantes tengan la misma longitud. Los rectángulos incluyen a los cuadrados.
* [[Cuadrado]] (cuadrilátero regular): Sus cuatro lados tienen la misma longitud (es equilátero) y los cuatro ángulos son ángulos rectos. Una condición equivalente es que los lados opuestos sean paralelos (un cuadrado es un paralelogramo), que las diagonales se bisequen perpendicularmente entre sí y que tengan la misma longitud. Un cuadrilátero es un cuadrado si y solo si es tanto un rombo como un rectángulo (cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales).
* ''Oblongo'': Es un término que a veces se usa en textos en lengua inglesa para denominar a un rectángulo que tiene lados adyacentes desiguales (es decir, para referirse estrictamente a ''un rectángulo que '''no''' es un cuadrado'').<ref>http://www.cleavebooks.co.uk/scol/calrect.htm</ref>
* [[Deltoide]]: Posee dos pares de lados adyacentes de igual longitud. Esto implica que una diagonal divide el deltoide en dos partes [[congruencia (geometría)|congruentes]], por lo que los ángulos comprendidos entre los dos pares de lados desiguales son iguales en medida. También implica que las diagonales son perpendiculares entre sí. Los deltoides también incluyen a los rombos.
 [[Archivo:Quadrilaterals es.svg|750px]]
* [[Cuadrilátero circunscrito]]: Los cuatro lados son tangentes a una circunferencia inscrita. Un cuadrilátero convexo es tangencial si y solo si las sumas de las longitudes de los lados opuestos son iguales entre sí.
* [[Trapecio tangencial]]: Es un trapecio en el que los cuatro lados son [[tangente (geometría)|tangentes]] a una [[circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo|circunferencia inscrita]].
* [[Cuadrilátero cíclico]]: Los cuatro vértices se encuentran en un [[circunferencia circunscrita]]. Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si los ángulos opuestos suman 180°.
* [[Deltoide recto]]: Un deltoide con dos ángulos rectos opuestos. Es un tipo de cuadrilátero cíclico.
* [[Cuadrilátero armónico]]: Los productos de las longitudes de los lados opuestos son iguales. Es un tipo de cuadrilátero cíclico.
* [[Cuadrilátero bicéntrico]]: Es tangencial y cíclico a la vez.
* [[Cuadrilátero ortodiagonal]]: Sus diagonales se cruzan en [[ángulo recto]].
* [[Cuadrilátero equidiagonal]]: Las diagonales son de igual longitud.
* [[Cuadrilatero extangencial]]: Las cuatro extensiones de los lados son tangentes a una [[circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo]].
* ''Cuadrilátero equílico'': Es aquel que tiene dos lados iguales opuestos que, cuando se extienden, se encuentran a 60°.
* ''Cuadrilátero de Watt'': Posee un par de lados opuestos de igual longitud.<ref>{{cite journal |first=G. |last=Keady |first2=P. |last2=Scales |first3=S. Z. |last3=Németh |title=Watt Linkages and Quadrilaterals |journal=[[The Mathematical Gazette]] |volume=88 |issue=513 |year=2004 |pages=475–492 }}</ref>
* ''Cuadrilátero cuadrático'': Es un cuadrilátero convexo cuyos cuatro vértices se encuentran en el perímetro de un cuadrado.<ref>{{cite journal |first=A. K. |last=Jobbings |title=Quadric Quadrilaterals |journal=The Mathematical Gazette |volume=81 |issue=491 |year=1997 |pages=220–224 }}</ref>
* ''Cuadrilátero diametral'': Aquel cuadrilátero cíclico que tiene uno de sus lados como [[diámetro]] de su circunferencia circunscrita.<ref>{{cite journal |first=R. A. |last=Beauregard |title=Diametric Quadrilaterals with Two Equal Sides |journal=College Mathematics Journal |volume=40 |issue=1 |year=2009 |pages=17–21 }}</ref>
* ''Cuadrilátero de Hjelmslev'': Es un cuadrilátero con dos ángulos rectos en vértices opuestos.<ref>{{cite book |first=R. |last=Hartshorne |title=Geometry: Euclid and Beyond |location= |publisher=Springer |year=2005 |pages=429–430 |isbn=978-1-4419-3145-0 }}</ref>

=== Cuadriláteros cóncavos ===
En un cuadrilátero cóncavo, un ángulo interior es mayor de 180° y una de las dos diagonales se encuentra fuera del cuadrilátero.
* Un ''dardo'' (o punta de flecha) es un cuadrilátero [[Polígono cóncavo|cóncavo]] con simetría bilateral como un [[deltoide]], pero con un ángulo interior mayor de 180°.

== Cuadriláteros complejos ==
[[Archivo:DU21 facets.png|thumb|upright=0.8|Un antiparalelogramo]]

Un cuadrilátero [[Anexo:Polígonos autointersecantes|autointersecante]] se puede denominar de varias formas: '''cuadrilátero cruzado''', '''cuadrilátero [[Rhopalocera|mariposa]]''' o '''[[corbata de lazo|lazo de pajarita]]'''. En un cuadrilátero cruzado, los cuatro ángulos ''interiores'' a cada lado del cruce (dos [[Ángulo|agudos]] y dos [[Ángulo|obtusos]], todos a la izquierda o todos a la derecha a medida que se traza la figura) suman 720°.<ref>{{Cita web |url=http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/stars.pdf |título=Stars: A Second Look |fechaacceso=7 de marzo de 2020 |fechaarchivo=3 de marzo de 2016 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20160303182521/http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/stars.pdf |deadurl=yes }}</ref>

* Un [[Trapecio isósceles#Auto-interseciones|trapecio cruzado]]<ref>{{cite web | url=https://blogs.adelaide.edu.au/maths-learning/2016/04/06/the-crossed-trapezium/ | title=The crossed trapezium | last=Butler | first=David | date=6 de abril de 2016 | website=Making Your Own Sense | access-date=13 de septiembre de 2017}}</ref> es un cuadrilátero autointersecante en el que (como en el caso de un [[trapecio (geometría)|trapecio]]), un par de lados no adyacentes son paralelos entre sí.
* [[Antiparalelogramo]]: Es un cuadrilátero cruzado en el que (como en un [[paralelogramo]]) cada par de lados no adyacentes tienen la misma longitud.
* [[Rectángulo|Rectángulo cruzado]]: Es un antiparalelogramo cuyos lados son dos lados opuestos y las dos diagonales de un [[rectángulo]], y por lo tanto, tienen un par de lados opuestos paralelos.
* [[Cuadrado|Cuadrado cruzado]]: Se trata de un caso especial de un rectángulo cruzado, donde dos de los lados se cruzan en ángulo recto.

== Cuadriláteros simétricos ==
[[Archivo:Symmetries_of_square es.svg|300px|thumb|Cuadriláteros convexos según sus simetrías]]

Los cuadriláteros también pueden clasificarse de acuerdo con sus propiedades de [[simetría (geometría)|simetría]]:

=== Cuadriláteros simples ===
'''Ejes de simetría:'''
* 4 Ejes: el [[cuadrado]] presenta cuatro ejes de simetría: sus dos diagonales y sus dos bimedianas
* 2 Ejes: el [[rombo]] (sus dos diagonales) y el [[rectángulo]] (sus dos bimedianas)
* 1 Eje: el [[trapecio isósceles]] (la bimediana entre las dos caras paralelas) y el [[deltoide]], tanto cóncavo como convexo (una diagonal)
'''Simetría rotacional:'''
* El cuadrado es [[figura isotoxal|isotoxal]] ante giros de 90°.
* El rombo y el rectángulo son isotoxales con respecto a giros de 180°.

Estos criterios también son aplicables a los cuadriláteros complejos:

=== Cuadriláteros complejos ===
'''Ejes de simetría:'''
* 2 Ejes: los [[antiparalelogramo]]s del cuadrado y del rectángulo poseen dos ejes: una bimediana y su perpendicular por el centro.
* 1 Eje: el antiparalelogramo del trapecio isósceles es simétrico respecto a la bimediana entre las caras paralelas.
'''Simetría rotacional:'''
* Los [[antiparalelogramo]]s del cuadrado y del rectángulo son [[figura isotoxal|isotoxal]] ante giros de 180°.

El resto de los cuadriláteros carece de simetrías.

== Fórmulas diversas ==
[[Archivo:Tetragon measures.svg|thumb|275px|Los cuatro lados de un cuadrilátero: ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' ;<br />los cuatro [[Vértice (geometría)|vértice]]s: ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' ;<br />las dos diagonales: ''e'', ''f''.]]

* La suma de los ángulos internos es igual a 360°:
<center><math>\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ</math></center>

* Si las diagonales son perpendiculares, se cumple la relación siguiente:
<center><math>\theta = 90^\circ \Longleftrightarrow a^2+c^2 = b^2+d^2</math></center>

* El área de un cuadrilátero se puede calcular mediante cualquiera de estas seis fórmulas:
<center><math>A=\frac {e f \sin \theta}{2}</math></center>
<center><math>A=\frac {a d \sin \alpha + b c \sin \gamma}{2} = \frac {a b \sin \beta + c d \sin \delta}{2}</math></center>
<center><math>A=\frac{1}{4}\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right) \tan \theta</math></center>
<center><math>A=\frac{1}{4}\sqrt{4e^2f^2-\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right)^2}</math></center>
<center><math>A=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec e|^2 |\vec f|^2 - (\vec e \cdot \vec f)^2}</math></center>
<math>A=\tfrac{1}{2}ad\cdot\sin{\alpha}+\tfrac{1}{4}\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2-d^2+2ad\cdot\cos{\alpha})^2}</math> (para un cuadrilátero con concavidad en C cambiar el primer signo + por -).

=== Teorema de Arquímedes-Faure ===
Sea el cuadrilátero inscrito de lados ''a,b,c'' y ''d''; de diagonales perpendiculares que al intersecarse determinan los segmentos ''m'' y ''n'' en uno de ellos, y ''p'' y ''q'' en el otro, y cuyo radio de la circunferencia circunscrita se denomina ''R''. En tal caso, son válidas las igualdades siguientes:<ref>Heddy '''Ilasaca'''.''Formulario de Matemáticas y Ciencia'' </ref>

{{Ecuación|<math>a^2+c^2 = b^2+d^2 = 4R^2  </math> }}
{{Ecuación|<math> m^2+n^2+p^2+q^2 = 4R^2 </math> |1| }}

== Segmentos especiales ==
[[Archivo:Geometrie quadrilataire.png|miniaturadeimagen|Geometrías cuadriláteras.]]
Las dos [[diagonal]]es de un cuadrilátero convexo son los [[segmento]]s que conectan vértices opuestos.

Las dos '''bimedianas''' de un cuadrilátero convexo son los segmentos rectilíneos que conectan los puntos medios de los lados opuestos.<ref>{{cite web |author=E.W. Weisstein |title=Bimedian |url=http://mathworld.wolfram.com/Bimedian.html |publisher=MathWorld – A Wolfram Web Resource}}</ref> Se cruzan en el ''centroide de vértices'' del cuadrilátero.

Las cuatro ''m-alturas'' de un cuadrilátero convexo son las perpendiculares a un lado a través del punto medio del lado opuesto.<ref>{{cite web |author=E.W. Weisstein |title=Maltitude |url=http://mathworld.wolfram.com/Maltitude.html |publisher=MathWorld – A Wolfram Web Resource}}</ref>

== Área de un cuadrilátero convexo ==
Existen varias fórmulas generales para el [[área]] ''K'' de un cuadrilátero convexo ''ABCD'' con lados {{nobreak|''a'' {{=}}  ''AB'', ''b'' {{=}} ''BC'', ''c'' {{=}} ''CD'' y ''d'' {{=}} ''DA''}}.

=== Fórmulas trigonométricas ===
El área se puede expresar en términos trigonométricos como

: <math>K = \tfrac{1}{2} pq \cdot \sin \theta,</math>

donde las longitudes de las diagonales son ''p'' y ''q'' y el ángulo entre ellas es ''θ''.<ref>Harries, J. "Area of a quadrilateral," ''Mathematical Gazette'' 86, July 2002, 310–311.</ref> En el caso de un cuadrilátero ortodiagonal (por ejemplo, rombo, cuadrado o deltoide), esta fórmula se reduce a <math>K=\tfrac{1}{2}pq</math> ya que ''θ'' es 90°.

El área también se puede expresar en términos de las bimedianas como<ref name=Josefsson4/>

: <math>K = mn \cdot \sin \varphi,</math>

donde las longitudes de las bimedianas son ''m'' y ''n'' y el ángulo entre ellos es ''φ''.

La [[fórmula de Bretschneider]]<ref>R. A. Johnson, ''Advanced Euclidean Geometry'', 2007, [[Dover Publications|Dover Publ.]], p. 82.</ref> expresa el área en términos de la longitud de los lados y del valor de dos ángulos opuestos:

: <math>\begin{align}
K &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{2} abcd \; [ 1 + \cos (A + C) ]} \\
&= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \left[ \cos^2 \left( \tfrac{A + C}{2} \right) \right]}
\end{align}</math>

donde los lados (denominados consecutivamente) son ''a'', ''b'', ''c'' y ''d'', donde ''s'' es el semiperímetro, y donde ''A'' y ''C'' son dos (de hecho, cualesquiera dos) ángulos opuestos. Esto se reduce a la [[fórmula de Brahmagupta]] para el área de un cuadrilátero cíclico cuando {{nobreak|''A'' + ''C'' {{=}} 180°}}.

Otra fórmula del área en función de la longitud de los lados y del valor de los ángulos, con el ángulo ''C'' entre los lados ''b'' y ''c'', y ''A'' entre los lados ''a'' y ''d'', es
: <math>K = \tfrac{1}{2}ad \cdot \sin{A} + \tfrac{1}{2}bc \cdot \sin{C}.</math>

En el caso de un cuadrilátero cíclico, la última fórmula se convierte en <math>K = \tfrac{1}{2}(ad+bc)\sin{A}.</math>

En un paralelogramo, donde ambos pares de lados opuestos y ángulos son iguales, esta fórmula se reduce a <math>K=ab \cdot \sin{A}.</math>

Alternativamente, se puede determinar el área en términos de los lados y el ángulo de intersección ''θ'' de las diagonales, siempre que este ángulo no sea 90°:<ref name=Mitchell>Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral," ''Mathematical Gazette'' 93, July 2009, 306–309.</ref>

: <math>K = \frac{|\tan \theta|}{4} \cdot \left| a^2 + c^2 - b^2 - d^2 \right|.</math>

En el caso de un paralelogramo, la última fórmula se convierte en <math>K = \tfrac{1}{2}|\tan \theta|\cdot \left| a^2 - b^2 \right|.</math>

Otra fórmula del área que incluye los lados ''a'', ''b'', ''c'' y ''d'', es:<ref name=Josefsson4>{{citation
 | last = Josefsson | first = Martin
 | journal = Forum Geometricorum
 | pages = 17–21
 | title = Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201304.pdf
 | volume = 13
 | year = 2013}}.</ref>

: <math>K=\tfrac{1}{2}\sqrt{((a^2+c^2)-2x^2)((b^2+d^2)-2x^2)}\sin{\varphi}</math>

donde ''x'' es la distancia entre los puntos medios de las diagonales y ''φ'' es el ángulo entre las bimedianas.

La última fórmula del área trigonométrica que incluye los lados ''a'', ''b'', ''c'' y ''d'' y el ángulo ''α'' entre ''a'' y ''b'', es:{{citation needed|date=April 2015}}
: <math>K=\tfrac{1}{2}ab\cdot\sin{\alpha}+\tfrac{1}{4}\sqrt{4c^2d^2-(c^2+d^2-a^2-b^2+2ab\cdot\cos{\alpha})^2} ,</math>
que también se puede usar para el área de un cuadrilátero cóncavo (que tiene la parte cóncava opuesta al ángulo ''α'') simplemente cambiando el primer signo + por un -.

=== Fórmulas no trigonométricas ===
Las siguientes dos fórmulas expresan el área en términos de los lados ''a'', ''b'', ''c'' y ''d''; del [[semiperímetro]] ''s'' y de las diagonales ''p'' y ''q'':

: <math>K = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)},</math><ref>J. L. Coolidge, "A historically interesting formula for the area of a quadrilateral", ''American Mathematical Monthly'', 46 (1939) 345–347.</ref>

: <math>K = \tfrac{1}{4} \sqrt{4p^{2}q^{2}- \left( a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2} \right) ^{2}}.</math> <ref>{{cite web |author=E.W. Weisstein |title=Bretschneider's formula |url=http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html |publisher=MathWorld – A Wolfram Web Resource}}</ref>

La primera se reduce a la fórmula de Brahmagupta en el caso del cuadrilátero cíclico, dado que entonces ''pq'' = ''ac'' + ''bd''.

El área también se puede expresar en términos de las bimedianas ''m'' y ''n''; y de las diagonales ''p'' y ''q'':

: <math>K=\tfrac{1}{2}\sqrt{(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)},</math> <ref>Archibald, R. C., "The Area of a Quadrilateral", ''American Mathematical Monthly'', 29 (1922) pp. 29–36.</ref>

: <math>K=\tfrac{1}{2}\sqrt{p^2q^2-(m^2-n^2)^2}.</math> <ref name=Josefsson3>{{citation
 | last = Josefsson | first = Martin
 | journal = Forum Geometricorum
 | pages = 155–164
 | title = The Area of a Bicentric Quadrilateral
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf
 | volume = 11
 | year = 2011}}.</ref>{{rp|Thm. 7}}

De hecho, tres de los cuatro valores ''m'', ''n'', ''p'' y ''q'' son suficientes para la determinación del área, ya que en cualquier cuadrilátero los cuatro valores están relacionados por <math>p^2+q^2=2(m^2+n^2).</math><ref name=Altshiller-Court/>{{rp|p. 126}} Las expresiones correspondientes son:<ref name=Josefsson6>Josefsson, Martin (2016) ‘100.31 Heron-like formulas for quadrilaterals’, ''The Mathematical Gazette'', '''100''' (549), pp. 505–508.</ref>

: <math>K=\tfrac{1}{2}\sqrt{[(m+n)^2-p^2]\cdot[p^2-(m-n)^2]},</math>

si se dan las longitudes de dos bimedianas y de una diagonal, y<ref name=Josefsson6/>

: <math>K=\tfrac{1}{4}\sqrt{[(p+q)^2-4m^2]\cdot[4m^2-(p-q)^2]},</math>

si se dan las longitudes de dos diagonales y de una bimediana.

=== Fórmulas vectoriales ===
El área de un cuadrilátero ''ABCD'' se puede calcular usando [[vector]]es. Sean los vectores '''AC''' y '''BD''' correspondientes a las diagonales desde ''A'' hasta ''C'' y desde ''B'' hasta ''D''. El área del cuadrilátero es entonces

: <math>K = \tfrac{1}{2} |\mathbf{AC}\times\mathbf{BD}|,</math>

que es la mitad de la magnitud del [[producto vectorial]] de los vectores '''AC''' y '''BD'''. En el [[Espacio euclídeo|espacio euclidiano]] bidimensional, expresando el vector '''AC''' como un vector libre en el espacio cartesiano igual a ('''''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>''') y '''BD''' como ('''''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>'''), esto puede reescribirse como:

: <math>K = \tfrac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|.</math>

== Diagonales ==
=== Propiedades de las diagonales en algunos cuadriláteros ===
En la siguiente tabla se enumera si las diagonales en algunos de los cuadriláteros más básicos se bisecan entre sí, si sus diagonales son [[perpendicularidad|perpendiculares]] y si sus diagonales tienen la misma longitud.<ref>Kahle, Jennifer, Geometry: Basic ideas, [http://www.math.okstate.edu/geoset/Projects/Ideas/QuadDiags.htm], accessed 28 December 2012.</ref> La lista se aplica a los casos más generales:

{| class="wikitable"
|-
! Cuadrilátero || Diagonales bisecantes|| Diagonales perpendiculares || Diagonales iguales
|-
! [[Trapecio (geometría)|Trapecio]] 
|| No || ''Véase nota 1'' || No
|-
! [[Trapecio isósceles]] 
|| No || ''Véase nota 1'' || Sí
|-<!--
! [[Trapecio (geometría)|Trapecio]]
|| ''Véase nota 3'' || ''Véase nota 1'' || No
|--->
! [[Paralelogramo]] 
|| Si || No || No
|-
! [[Deltoide]] 
|| ''Véase nota 2'' || Si || ''Véase nota 2''
|-
! [[Rectángulo]] 
|| Sí || No || Sí
|-
! [[Rombo]] 
|| Sí || Sí || No
|-
! [[Cuadrado]] 
|| Sí || Sí || Sí
|}

'' Nota 1: Los trapecios (incluidos los trapecios isósceles), en general no tienen diagonales perpendiculares, pero hay un número infinito de trapecios (no semejantes entre sí) y de trapecios isósceles, que tienen diagonales perpendiculares y no son ningún otro tipo de cuadrilátero''.

'' Nota 2: En un deltoide, una diagonal divide a la otra. El deltoide más general tiene diagonales desiguales, pero hay un número infinito de deltoides (no similares) en los que las diagonales tienen la misma longitud (y que no se ajustan a la definición de otro cuadrilátero).

=== Longitudes de las diagonales ===
Las longitudes de las diagonales en un cuadrilátero convexo ''ABCD'' se pueden calcular usando el [[teorema del coseno]] en cada triángulo formado por una diagonal y dos lados del cuadrilátero. Así

: <math>p=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos{B}}=\sqrt{c^2+d^2-2cd\cos{D}}</math>

y

: <math>q=\sqrt{a^2+d^2-2ad\cos{A}}=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos{C}}.</math>

Otras fórmulas más simétricas para las longitudes de las diagonales son:<ref>Rashid, M. A. & Ajibade, A. O., "Two conditions for a quadrilateral to be cyclic expressed in terms of the lengths of its sides", ''Int. J. Math. Educ. Sci. Technol.'', vol. 34 (2003) no. 5, pp. 739–799.</ref>

: <math>p=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos{B}+\cos{D})}{ab+cd}}</math>

y

: <math>q=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos{A}+\cos{C})}{ad+bc}}.</math>

=== Generalizaciones de la ley del paralelogramo y del teorema de Ptolomeo ===
En cualquier cuadrilátero convexo ''ABCD'', la suma de los cuadrados de los cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales más cuatro veces el cuadrado de la longitud del segmento que conecta los puntos medios de las diagonales. Así

: <math> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = p^2 + q^2 + 4x^2 </math>

donde ''x'' es la distancia entre los puntos medios de las diagonales.<ref name=Altshiller-Court/>{{rp|p.126}} Esto a veces se conoce como el [[teorema del cuadrilátero de Euler]] y es una generalización de la [[ley del paralelogramo]].

El matemático alemán [[Carl Anton Bretschneider]] dedujo en 1842 la siguiente generalización del [[Teorema de Ptolomeo]] con respecto al producto de las diagonales en un cuadrilátero convexo:<ref>Andreescu, Titu & Andrica, Dorian, ''Complex Numbers from A to...Z'', Birkhäuser, 2006, pp. 207–209.</ref>

: <math> p^2q^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\cos{(A+C)}.</math>

Esta relación puede considerarse como equivalente al [[teorema del coseno]] para un cuadrilátero. En un [[cuadrilátero cíclico]], donde ''A''+''C''=180°, se reduce a ''pq=ac+bd''. Como cos(''A''+''C'')≥&minus;1, también proporciona una prueba de la desigualdad de Ptolomeo.

=== Otras relaciones métricas ===
Si ''X'' e ''Y'' son los pies de las normales desde ''B'' y ''D'' hasta la diagonal ''AC''=''p'' en un cuadrilátero convexo ''ABCD'' con lados ''a''=''AB'', ''b''=''BC'', ''c''=''CD'' y ''d''=''DA'', entonces<ref name=Josefsson/>{{rp|p.14}}

: <math>XY=\frac{|a^2+c^2-b^2-d^2|}{2p}.</math>

En un cuadrilátero convexo ''ABCD'' con lados ''a''=''AB'', ''b''=''BC'', ''c''=''CD'' y ''d''=''DA'', y donde las diagonales se cruzan en ''E'',

: <math> efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d) = (agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)</math>

donde ''e''=''AE'', ''f''=''BE'', ''g''=''CE'', y ''h''=''DE''.<ref>{{citation
 | last = Hoehn | first = Larry
 | journal = Forum Geometricorum
 | pages = 211–212
 | title = A New Formula Concerning the Diagonals and Sides of a Quadrilateral
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201122.pdf
 | volume = 11
 | year = 2011}}.</ref>

La forma y el tamaño de un cuadrilátero convexo están completamente determinados por las longitudes de sus lados en secuencia y de una diagonal entre dos vértices especificados. Las dos diagonales ''p, q'' y las cuatro longitudes laterales ''a, b, c, d'' de un cuadrilátero están relacionadas<ref>{{cite web |author=E.W. Weisstein |title=Quadrilateral |url=http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html |publisher=MathWorld - A Wolfram Web Resource}}</ref> por el [[determinante (matemática)|determinante]] de [[Determinantes de Cayley-Menger|Cayley-Menger]], de la siguiente manera:
: <math> \det \begin{bmatrix} 
   0 & a^2 & p^2 & d^2 & 1 \\
 a^2 &   0 & b^2 & q^2 & 1 \\
 p^2 & b^2 &   0 & c^2 & 1 \\
 d^2 & q^2 & c^2 &   0 & 1 \\
   1 &   1 &   1 & 1   & 0
\end{bmatrix} = 0. </math>

== Bisectrices ==
Las [[bisección|bisectrices]] internas de un cuadrilátero convexo forman un [[cuadrilátero cíclico]]<ref name=Altshiller-Court/>{{rp|p.127}} (es decir, los cuatro puntos de intersección de las bisectrices adyacentes son [[Puntos cocíclicos|cocíclicos]]) o son [[Líneas concurrentes|concurrentes]]. En el último caso, se trata de un [[cuadrilátero circunscrito]].

En el cuadrilátero ''ABCD'', si las [[Bisección|bisectrices]] de ''A'' y ''C'' coinciden con la diagonal ''BD'', entonces las bisectrices de ''B'' y ''D'' se encuentran sobre la diagonal ''AC''.<ref>Leversha, Gerry, "A property of the diagonals of a cyclic quadrilateral", ''Mathematical Gazette'' 93, March 2009, 116–118.</ref>

== Bimedianas ==
{{AP|Teorema de Varignon}}
[[Archivo:Varignon theorem convex.png|300px|thumb|Paralelogramo de Varignon (''EFGH'')]]

Las [[bimediana]]s de un cuadrilátero son los segmentos de línea que conectan los [[punto medio|puntos medios]] de los lados opuestos. La intersección de las bimedianas es el [[centroide]] de los vértices del cuadrilátero.<ref>Weisstein, Eric W. "Quadrilateral." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html</ref>

Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero (convexo, cóncavo o cruzado) son los vértices de un [[paralelogramo]], llamado [[Teorema de Varignon|paralelogramo de Varignon]]. Tiene las siguientes propiedades:
* Cada par de lados opuestos del paralelogramo de Varignon son paralelos a una diagonal en el cuadrilátero original.
* Un lado del paralelogramo de Varignon es la mitad de largo que la diagonal del cuadrilátero original a la que es paralelo.
* El área del paralelogramo de Varignon es igual a la mitad del área del cuadrilátero original. Esto es cierto para los cuadriláteros convexos, cóncavos y cruzados, siempre que el área de estos últimos se defina como la diferencia de las áreas de los dos triángulos de los que está compuesto.<ref>H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer, Geometry Revisited, MAA, 1967, pp.&nbsp;52–53.</ref>
* El [[perímetro]] del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero original.
* Las diagonales del paralelogramo de Varignon son las bimedianas del cuadrilátero original.

Las dos bimedianas de un cuadrilátero y el segmento que une los puntos medios de las diagonales de ese cuadrilátero son [[Líneas concurrentes|concurrentes]], y todas quedan divididas en dos partes iguales por su punto de intersección.<ref name=Altshiller-Court>Altshiller-Court, Nathan, ''College Geometry'', Dover Publ., 2007.</ref>{{rp|p.125}}

En un cuadrilátero convexo con lados ''a'', ''b'', ''c'' y ''d'', la longitud de la bimediana que conecta los puntos medios de los lados ''a'' y ''c'' es

: <math>m=\tfrac{1}{2}\sqrt{-a^2+b^2-c^2+d^2+p^2+q^2}</math>

donde ''p'' y ''q'' son las longituded de las diagonales.<ref>{{Cita web |url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=363253 |título=Mateescu Constantin, Answer to ''Inequality Of Diagonal'' |fechaacceso=7 de marzo de 2020 |fechaarchivo=24 de octubre de 2014 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20141024134419/http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=363253 |deadurl=yes }}</ref> La longitud de la bimediana que conecta los puntos medios de los lados ''b'' y ''d'' es

: <math>n=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2-b^2+c^2-d^2+p^2+q^2}.</math>

Por lo tanto,<ref name=Altshiller-Court/>{{rp|p.126}}

: <math>\displaystyle p^2+q^2=2(m^2+n^2).</math>

Este también es un [[corolario]] a la [[ley del paralelogramo]] aplicada sobre el paralelogramo de Varignon.

Las longitudes de las bimedianas también se pueden expresar en términos de dos lados opuestos y la distancia ''x'' entre los puntos medios de las diagonales. Esto es posible cuando se usa el teorema del cuadrilátero de Euler en las fórmulas anteriores. Entonces<ref name=Josefsson3/>

: <math>m=\tfrac{1}{2}\sqrt{2(b^2+d^2)-4x^2}</math>

y

: <math>n=\tfrac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-4x^2}.</math>

Téngase en cuenta que los dos lados opuestos en estas fórmulas son los dos que no conecta la bimediana.

En un cuadrilátero convexo, existe la siguiente conexión [[Dualidad (matemáticas)|dual]] entre las bimedianas y las diagonales:<ref name=Josefsson>{{citation
 | last = Josefsson | first = Martin
 | journal = Forum Geometricorum
 | pages = 13–25
 | title = Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf
 | volume = 12
 | year = 2012}}.</ref>
* Las dos bimedianas tienen la misma longitud [[bicondicional|si y solo si]] cuando las dos diagonales son [[perpendicularidad|perpendiculares]] entre sí.
* Las dos bimedianas son perpendiculares si y solo si las dos diagonales tienen la misma longitud.

== Identidades trigonométricas ==
Los cuatro ángulos de un cuadrilátero simple '' ABCD '' satisfacen las siguientes identidades:<ref>C. V. Durell & A. Robson, ''Advanced Trigonometry'', Dover, 2003, p. 267.</ref>
: <math>\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}+\sin{D}=4\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A+C}{2}}\sin{\frac{A+D}{2}}</math>
y
: <math>\frac{\tan{A}\tan{B}-\tan{C}\tan{D}}{\tan{A}\tan{C}-\tan{B}\tan{D}}=\frac{\tan{(A+C)}}{\tan{(A+B)}}.</math>

Además,<ref>''MathPro Press'', "Original Problems Proposed by Stanley Rabinowitz 1963–2005", p. 23, [http://www.mathpropress.com/archive/RabinowitzProblems1963-2005.pdf]</ref>
: <math>\frac{\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}+\tan{D}}{\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}+\cot{D}}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\tan{D}.</math>

En las últimas dos fórmulas, no se permite que ningún ángulo sea un [[ángulo recto]], dado que tan&nbsp;90° (la [[tangente (trigonometría)|función trigonométrica tangente]] de un ángulo recto), no está definida.

== Desigualdades ==
=== Área ===
Si un cuadrilátero convexo tiene los lados consecutivos ''a'', ''b'', ''c'' y ''d''; y las diagonales ''p'' y ''q''; entonces su área ''K'' satisface<ref>O. Bottema, ''Geometric Inequalities'', Wolters–Noordhoff Publishing, The Netherlands, 1969, pp. 129, 132.</ref>

: <math>K\le \tfrac{1}{4}(a+c)(b+d)</math> (siendo una igualdad solo para un [[rectángulo]])
: <math>K\le \tfrac{1}{4}(a^2+b^2+c^2+d^2)</math> (siendo una igualdad solo para un [[cuadrado]])
: <math>K\le \tfrac{1}{4}(p^2+q^2)</math> (siendo una igualdad solo si las diagonales son perpendiculares e iguales)

: <math>K\le \tfrac{1}{2}\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+d^2)}</math> (siendo una igualdad solo para un rectángulo)<ref name=Josefsson4/>

De la [[fórmula de Bretschneider]] se deduce directamente que el área de un cuadrilátero satisface que

: <math>K \le \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math>

dándose la igualdad [[bicondicional|si y solo si]] el cuadrilátero es [[Cuadrilátero cíclico|cíclico]] o degenerado, de tal manera que la longitud de un lado es igual a la suma de los otros tres (es decir, ha colapsado en un [[segmento]], por lo que su área es cero).

El área de cualquier cuadrilátero también satisface la desigualdad<ref name=Alsina>{{citation|last1=Alsina|first1=Claudi|last2=Nelsen|first2=Roger|title=When Less is More: Visualizing Basic Inequalities|publisher=Mathematical Association of America|year=2009|page=68}}.</ref>

: <math>\displaystyle K\le \tfrac{1}{2}\sqrt[3]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}.</math>

Denotando el perímetro como ''L'', se tiene que<ref name=Alsina/>{{rp|p.114}}

: <math>K\le \tfrac{1}{16}L^2,</math>

con igualdad solo en el caso de un cuadrado.

El área de un cuadrilátero convexo también satisface que

: <math>K \le \tfrac{1}{2}pq</math>

para longitudes de las diagonales ''p'' y ''q'', verificándose la igualdad si y solo si las diagonales son perpendiculares.

Sean ''a'', ''b'', ''c'' y ''d'' las longitudes de los lados de un cuadrilátero convexo ''ABCD'' con el área ''K'' y diagonales ''AC=p'' y ''BD=q''. Entonces<ref>Dao Thanh Oai, Leonard Giugiuc, Problem 12033, American Mathematical Monthly, March 2018, p. 277</ref>

: <math> K \leq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2+p^2+q^2+pq-ac-bd}{8} </math> cumpliéndose la igualdad solo para un cuadrado.

Sean ''a'', ''b'', ''c'' y ''d'' las longitudes de los lados de un cuadrilátero convexo ''ABCD'' con el área ''K''. Entonces, se cumple la siguiente desigualdad:<ref>Leonard Mihai Giugiuc, Dao Thanh Oai and Kadir Altintas, ''An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral'', International Journal of Geometry, Vol. 7 (2018), No. 1, pp. 81 - 86, [https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2018/04/81-86.pdf]</ref>

: <math> K \leq \frac{1}{3+\sqrt{3}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)- \frac{1}{2(1+\sqrt{3})^2}(a^2+b^2+c^2+d^2) </math> cumpliéndose la igualdad solo para un cuadrado.

=== Diagonales y bimedianas ===
Un corolario del teorema del cuadrilátero de Euler es la desigualdad

: <math> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ge p^2 + q^2 </math>

donde la igualdad se cumple si y solo si el cuadrilátero es un [[paralelogramo]].

[[Leonhard Euler|Euler]] también generalizó el [[teorema de Ptolomeo]], que es una igualdad para un [[cuadrilátero cíclico]], en una desigualdad para un cuadrilátero convexo. Afirma que

: <math> pq \le ac + bd </math>

donde se verifica la igualdad [[bicondicional|sí y solo si]] el cuadrilátero es cíclico.<ref name=Altshiller-Court/>{{rp|p.128–129}} Esta relación a menudo se denomina [[desigualdad de Ptolomeo]].

En cualquier cuadrilátero convexo, las bimedianas ''m'' y  ''n'', y las diagonales ''p'' y ''q'' están relacionadas por la desigualdad

: <math>pq \leq m^2+n^2,</math>

verificándose la igualdad si y solo si las diagonales son iguales.<ref name=J2014>{{cite journal |last=Josefsson |first=Martin |title=Properties of equidiagonal quadrilaterals |journal=Forum Geometricorum |volume=14 |year=2014 |pages=129–144 |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412index.html }}</ref>{{rp|Prop.1}} Esto se deduce directamente de la identidad del cuadrilátero 
:<math>m^2+n^2=\tfrac{1}{2}(p^2+q^2).</math>

=== Lados ===
Los lados ''a'', ''b'', ''c'' y ''d'' de cualquier cuadrilátero satisfacen que<ref name="Crux">''Inequalities proposed in “[[Crux Mathematicorum]]”'', [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf].</ref>{{rp|p.228,#275}}

: <math>a^2+b^2+c^2 > \frac{d^2}{3}</math>

y además<ref name=Crux/>{{rp|p.234,#466}}
:<math>a^4+b^4+c^4 \geq \frac{d^4}{27}.</math>

== Propiedades de máximos y mínimos ==
Entre todos los cuadriláteros con un [[perímetro]] dado, el que tiene el área más grande es el [[cuadrado]]. Esto se llama ''[[Isoperimetría|teorema isoperimétrico]] para cuadriláteros''. Es una consecuencia directa de la desigualdad del área<ref name = Alsina /> {{rp|p.114}}

:<math> K \le \tfrac {1}{16} L^2 </math>

donde ''K'' es el área de un cuadrilátero convexo con perímetro ''L''. La igualdad se cumple [[bicondicional|sí y solo si]] el cuadrilátero es un cuadrado. El doble teorema establece que de todos los cuadriláteros con un área dada, el cuadrado tiene el perímetro más corto. El cuadrilátero con longitudes laterales dadas que tiene el área [[Extremos de una función|máxima]] es el [[cuadrilátero cíclico]].<ref name=Peter /> De todos los cuadriláteros convexos con diagonales dadas, el [[cuadrilátero ortodiagonal]] tiene el área más grande.<ref name= Alsina /> {{rp|p.119}} Esto es una consecuencia directa del hecho de que el área de un cuadrilátero convexo satisface la condición

: <math> K = \tfrac {1} {2} pq \sin {\theta} \le \tfrac {1} {2} pq, </math>

donde ''θ'' es el ángulo entre las diagonales ''p'' y ''q''. La igualdad se cumple si y solo si ''θ''=90°. Si ''P'' es un punto interior en un cuadrilátero convexo ''ABCD'', entonces

: <math> AP + BP + CP + DP \ge AC + BD. </math>

De esta desigualdad se deduce que el punto dentro de un cuadrilátero que [[Extremos de una función |minimiza]] la suma de distancias a los [[Vértice (geometría)|vértices]] es la intersección de las diagonales. Por lo tanto, ese punto es el [[punto de Fermat]] de un cuadrilátero convexo.<ref name= autogenerated1> {{cite book | last = Alsina | first = Claudi | last2 = Nelsen | first2 = Roger | title = Pruebas encantadoras: A Journey Into Elegant Mathematics | url = https://archive.org/details/charmingproofsjo0000alsi | publisher = Mathematical Association of America | año = 2010 | páginas = [https://archive.org/details/charmingproofsjo0000alsi/page/114 114], 119, 120, 261 | isbn = 978-0-88385-348-1}}</ref> {{rp|p.120}}

== Puntos y líneas notables en un cuadrilátero convexo ==
[[Archivo:Chaukon.png|miniaturadeimagen|Puntos y líneas notables en un cuadrilátero convexo.]]
El centro de un cuadrilátero se puede definir de varias maneras diferentes. El "centroide de vértices" proviene de considerar el cuadrilátero como vacío pero con masas iguales en sus vértices. El "centroide lateral" viene de considerar que los lados tienen masa constante por unidad de longitud. El centro habitual, llamado simplemente [[centroide]] (centro del área), proviene de considerar que la superficie del cuadrilátero tiene una densidad constante. En general, estos tres puntos no son todos el mismo punto.<ref> King, James, "Dos centros de masa de un cuadrilátero", [http://www.math.washington.edu/~king/java/gsp /center-mass-quad.html], consultado el 15/04/2012.</ref> El "centroide de vértices" es la intersección de las dos [[bimediana]]s.<ref> Honsberger, Ross, "Episodios en la geometría euclidiana del siglo XIX y XX", Matemáticas. Asoc. Amer., 1995, pp. 35–41. </ref> Como con cualquier polígono, las coordenadas ''x'' e ''y'' del centroide de vértices son las [[media aritmética|medias aritméticas]] de las coordenadas ''x'' e ''y'' de los vértices. El "centroide del área" del cuadrilátero ''ABCD'' se puede construir de la siguiente manera. Sean ''G<sub>a</sub>'', ''G<sub>b</sub>'', ''G<sub>c</sub>'', ''G<sub>d</sub>'' los centroides de los triángulos ''BCD'', ''ACD'', ''ABD'', ''ABC'' respectivamente. Entonces, el "centroide del área" es la intersección de las rectas ''G<sub>a</sub>G<sub>c</sub>'' y ''G<sub>b</sub>G<sub>d</sub>''.<ref name=Myakishev>{{citation
 | last = Myakishev | first = Alexei
 | journal = Forum Geometricorum
 | pages = 289–295
 | title = On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200634.pdf
 | volume = 6
 | year = 2006}}.</ref>

En un cuadrilátero convexo general ''ABCD'', no existen analogías naturales con la [[circunferencia circunscrita]] y la [[altura (triángulo)|altura]] de un [[triángulo]]. Pero dos de estos puntos se pueden construir de la siguiente manera. Sean  ''O<sub>a</sub>'', ''O<sub>b</sub>'', ''O<sub>c</sub>'', ''O<sub>d</sub>'' los circuncentros de los triángulos ''BCD'', ''ACD'', ''ABD'', ''ABC'' respectivamente; y sean ''H<sub>a</sub>'', ''H<sub>b</sub>'', ''H<sub>c</sub>'' y ''H<sub>d</sub>'' los ortocentros de los mismos triángulos. Entonces, la intersección de las líneas ''O<sub>a</sub> O<sub>c</sub>'' y ''O<sub>b</sub> O<sub>d</sub>'' se denomina [[circuncentro de masas|cuasicircuncentro]], y la intersección de las líneas ''H<sub>a</sub>H<sub>c</sub>'' y ''H <sub>b</sub>H<sub>d</sub>'' se llama el ''cuasiortocentro'' del cuadrilátero convexo.<ref name = Myakishev /> Estos puntos se pueden usar para definir una [[recta de Euler]] de un cuadrilátero. En un cuadrilátero convexo, el cuasiortocentro ''H'', el "centroide de área" ''G'' y el cuasicircuncentro ''O'' son [[colinealidad|colineales]] en este orden, y ''HG''=2''GO''.<ref name=Myakishev /> También se puede definir un ''cuasicentro de nueve puntos'' ''E'' como la intersección de las líneas ''E<sub>a</sub>E<sub>c</sub>'' y ''E<sub>b</sub>E<sub>d</sub>'', donde ''E<sub>a</sub>'', ''E<sub>b</sub>'', ''E<sub>c</sub>'', ''E<sub>d</sub>'' son los [[Circunferencia de los nueve puntos|centros de los nueve puntos]] de los triángulos ''BCD'', ''ACD'', ''ABD'', y ''ABC'' respectivamente. Entonces ''E'' es el [[punto medio]] de ''OH''.<ref name= Myakishev /> Otra línea notable en un cuadrilátero convexo no paralelogramo es la [[línea de Newton]], que conecta los puntos medios de las diagonales, el segmento que conecta estos puntos pasa por el centroide de los vértices. Una línea más interesante (en cierto sentido dual a la [[línea de Newton]]) es la recta que conecta el punto de intersección de las diagonales con el centroide de los vértices. La línea es notable por el hecho de que contiene el centroide (área). El centroide de los vértices divide el segmento que conecta la intersección de las diagonales y el centroide (área) en la proporción 3:1.<ref>https://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2010/May10/TechPaperMiller.pdf</ref>

Para cualquier cuadrilátero ''ABCD'' con puntos ''P'' y ''Q'', construidos como las intersecciones de ''AD'' y ''BC'' y de ''AB'' y ''CD'', respectivamente, los círculos ''(PAB), (PCD), (QAD)'', y ''(QBC)'' pasan a través de un punto común ''M'', llamado punto de Miquel.<ref>{{Cite book|title=Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads|last=Chen|first=Evan|publisher=Mathematical Association of America|year=2016|isbn=9780883858394|location=Washington, D.C.|pages=198}}</ref>

== Otras propiedades de los cuadriláteros convexos ==
* Dibújense los cuadrados exteriores en todos los lados de un cuadrilátero. Los segmentos que conectan los [[Centro (geometría)|centros]] de los cuadrados opuestos son (a) de igual longitud, y (b) [[perpendicularidad|perpendiculares]]. Así, estos centros son los vértices de un [[cuadrilátero ortodiagonal]]. Esto se llama [[teorema de Van Aubel]].
* Para cualquier cuadrilátero simple con longitudes de lado dadas, hay un [[cuadrilátero cíclico]] con las mismas longitudes de lado.<ref name=Peter>Peter, Thomas, "Maximizing the Area of a Quadrilateral", ''The College Mathematics Journal'', Vol. 34, No. 4 (September 2003), pp. 315–316.</ref>
* Los cuatro triángulos más pequeños formados por las diagonales y los lados de un cuadrilátero convexo tienen la propiedad de que el producto de las áreas de dos triángulos opuestos es igual al producto de las áreas de los otros dos triángulos.<ref>Josefsson, Martin, [http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201305.pdf "Characterizations of Trapezoids"], ''Forum  Geometricorum'' 13 (2013) 23–35.</ref>

== Cuadriláteros alabeados ==
{{VT|Polígono alabeado}}
[[Archivo:Disphenoid tetrahedron.png|260px|thumb|Los lados de un [[disfenoide]] (color rojo) representan un cuadrilátero regular alabeado]]

Un cuadrilátero no plano se llama "cuadrilátero alabeado". Las fórmulas para calcular sus ángulos diédricos a partir de las longitudes de los lados y el ángulo entre dos lados adyacentes se utilizan para trabajar en las propiedades de moléculas como el [[ciclobutano]], que contienen un anillo "alabeado" de cuatro átomos.<ref>{{cite journal |first=M. P. |last=Barnett |first2=J. F. |last2=Capitani |title=Modular chemical geometry and symbolic calculation |journal=International Journal of Quantum Chemistry |volume=106 |issue=1 |pages=215–227 |year=2006 |doi=10.1002/qua.20807 }}</ref> Históricamente, el término '''''cuadrilátero gauche''''' (término tomado del francés, con el significado de ''no plano'') también se usó para referirse a un cuadrilátero alabeado.<ref>{{cite journal |last=Hamilton |first=William Rowan |url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Gauche/Gauche1.pdf |title=On Some Results Obtained by the Quaternion Analysis Respecting the Inscription of "Gauche" Polygons in Surfaces of the Second Order |journal=Proceedings of the Royal Irish Academy |volume=4 |year=1850 |issue= |pages=380–387 }}</ref> Un cuadrilátero alabeado junto con sus diagonales forma un [[tetraedro]] (posiblemente no regular), y por el contrario, cada cuadrilátero alabeado proviene de un tetraedro al que se le eliminan un par de [[Arista (geometría)|aristas]] opuestas.

== Véase también ==
* [[Cuadrángulo completo]]
* [[Construcción de un cuadrilátero por mediatrices]]
* [[Cuadrilátero de Saccheri]]
* [[Cuadrángulo (cartografía)]]
* [[Fórmula de Brahmagupta]] (área de un cuadrilátero)

== Referencias ==
{{Listaref|2}}

== Enlaces externos ==
* {{Commonscat|Tetragons}}
* {{wikcionario}}
* {{springer|title=Quadrangle, complete|id=p/q076010}}
* {{MathWorld |urlname=Quadrilateral |title=Quadrilateral}}
* [https://web.archive.org/web/20120819055027/http://www.chrisvantienhoven.nl/mathematics/encyclopedia.html Enciclopedia de Quadri-Figures] por Chris Van Tienhoven
* [http://www.vias.org/comp_geometry/geom_quad_general.html Compendium Geometry] Geometría analítica de cuadriláteros
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PerpBisectQuadri.shtml Cuadriláteros formados por bisectrices perpendiculares], {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PerpBisectQuadri.shtml |date=20080828192340 }} y [https://web.archive.org/web/20190608053213/http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Quadrilaterals.shtml Clasificación interactiva] de cuadriláteros de [[alexander Bogomolny]]
* [https://web.archive.org/web/20190606154109/http://mathopenref.com/tocs/quadrilateraltoc.html Definiciones y ejemplos de cuadriláteros] y [https://web.archive.org/web/20190701120438/http://www.mathopenref.com/tetragon.html Definición y propiedades de los tetragones] de Mathopenref
* [http://dynamicmathematicslearning.com/quad-tree-web.html Un árbol cuadrilateral jerárquico (dinámico)] en [http://dynamicmathematicslearning.com/JavaGSPLinks.htm Bocetos dinámicos de geometría]
* [https://web.archive.org/web/20191230004754/http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/quadclassify.pdf Una clasificación extendida de cuadriláteros] en [https://web.archive.org/web/20180825150046/http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/homepage4.html Dynamic Math Página de inicio de aprendizaje]
* [https://web.archive.org/web/20110907024856/http://comic.socksandpuppets.com/view.php?date=2008-02-08 Diagrama de Venn cuadrilátero] Cuadriláteros expresados en forma de diagrama de Venn, donde las áreas también tienen la forma del cuadrilátero que describen.
* [https://web.archive.org/web/20110719175018/http://mzone.mweb.co.za/residents/profmd/classify.pdf El papel y la función de una clasificación jerárquica de los cuadriláteros] por Michael de Villiers

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