Ver el código de «Cubo»

{{Otros usos}}
{{Ficha de poliedro
|nombre        = Cubo
|familia       = [[sólidos platónicos]]
|imagen        = Hexahedron.svg
|imagen_tamaño = 200px
|caras         = 6
|confcara      = [[Cuadrado]]s 
|aristas       = 12
|vértices      = 8
|simetría      = Octaédrico (''O<sub>h</sub>'')
|dual          = [[Octaedro]]
}}
[[File:Cubo desarrollo.gif|thumb|Desarrollo de un cubo|299x299px]]
[[File:Hexahedron.stl|thumb|Modelo de un cubo en 3D]]
[[Archivo:El cubo con sus esquinas, aristas y diagonales.png|alt=La imagen de un cubo 100% hecho en Microsoft Word.|miniaturadeimagen|El cubo con sus [[Esquina|esquinas]], [[Arista (geometría)|aristas]] y [[Diagonal|diagonales]].]]
'''Cubo''' o '''hexaedro regular''' es un [[poliedro]] limitado por [[seis]] caras [[Cuadrado|cuadradas]] congruentes. Es uno de los denominados [[sólidos platónicos]].

Un cubo, además de ser un [[hexaedro]], puede ser clasificado también como [[paralelepípedo]] recto y rectangular, (brevemente ortoedro)<ref> {{DRAE|ortoedro}}</ref> pues todas sus caras son cuadradas y paralelas dos a dos. Incluso, se puede entender como un [[prisma (geometría)|prisma]] recto, cuya base es un cuadrado y su altura equivalente al lado de la base.

El hexaedro regular, al igual que el resto de los [[Sólidos platónicos]], cumple el [[teorema de Euler para poliedros]], resumido en la fórmula <math>C+V = A+2</math>, pues tiene seis caras, ocho vértices y doce aristas (6+8 = 12+2).

El cubo es el [[poliedro dual|dual]] del [[octaedro]]. Tiene simetría cúbica u [[octaédrica]].

El cubo es el único poliedro convexo cuyas caras son todas [[Cuadrado|cuadradas]].
==Proyecciones ortogonales==
El ''cubo'' tiene cuatro [[Proyección ortogonal| proyecciones ortogonale]]s especiales, centradas, en un vértice, aristas, cara y normal a su [[figura de vértice]]. La primera y la tercera corresponden al [[plano de Coxeter]] <math>A_2</math> y <math>B_2</math>.
{|class=wikitable width=360
|+ Proyecciones ortogonales
|-
!Centrado en
!Cara
!Vértice
|- align=center
!Planos de Coxeter
|'''B<sub>2</sub>'''<BR>[[File:2-cube.svg|100px]]
|'''A<sub>2</sub>'''<BR>[[File:3-cube t0.svg|100px]]
|- align=center
!Proyectiva<BR>simetría
|[4]
|[6]
|-
!Vistas inclinadas
|[[File:Cube t0 e.png|100px]]
|[[File:Cube t0 fb.png|100px]]
|}
== Cubo esférico ==
El cubo también puede representarse como un [[poliedro esférico]], y proyectarse sobre el plano mediante una [[proyección estereográfica]]. Esta proyección es [[Transformación conforme|conforme]], preservando los ángulos pero no las áreas ni las longitudes. Las rectas de la esfera se proyectan como arcos de círculo en el plano.
{|class=wikitable
|- align=center valign=top
|[[File:Uniform tiling 432-t0.png|160px]]
|[[File:Cube stereographic projection.svg|160px]]
|-
![[Proyección ortográfica]]
![[Proyección estereográfica]]
|}
==Coordenadas cartesianas==
Para un cubo centrado en el origen, con aristas paralelas a los ejes y con una longitud de arista de 2, las [[coordenadas cartesianas]] de los vértices son
:<math>(\pm1, \pm1, \pm1)</math>

mientras que el interior está formado por todos los puntos <math>(x_0, x_1, x_2)</math> con <math>-1 < x_i < 1</math> para todo <math>i</math>.
==Ecuación en el espacio tridimensional==
En [[geometría analítica]], la superficie de un cubo con centro <math>(x_0, y_0, z_0)</math> y longitud de arista de <math>2a</math> es el [[lugar geométrico]] de todos los puntos <math>(x, y, z)</math> tales que
:<math> \max\{ |x-x_0|,|y-y_0|,|z-z_0| \} = a.</math>

Un cubo también puede considerarse el caso límite de un [[superelipsoide]] 3D a medida que los tres exponentes se aproximan al infinito.
== Duplicación del cubo ==
El [[duplicación del cubo]], o el ''problema de Deliano'', era el problema planteado por [[matemática griega|matemáticos de la antigua Grecia]] de utilizar sólo un [[regla y compás]] para partir de la longitud de la arista de un cubo dado y construir la longitud de la arista de un cubo con el doble del volumen del cubo original. No pudieron resolver este problema, que en 1837 [[Pierre Wantzel]] demostró que era imposible porque la [[raíz cúbica]] de 2 no es un [[número construible]].
== Coloraciones uniformes y simetría ==
[[File:Octahedral subgroup tree.png|thumb|Árbol de [[simetría octaédrica]]]]
El cubo tiene tres coloraciones uniformes, denominadas por los colores únicos de las caras cuadradas alrededor de cada vértice: 111, 112, 123.

El cubo tiene cuatro clases de simetría, que pueden representarse coloreando las caras [[vértice-transitivo]]. La simetría octaédrica más alta O<sub>h</sub> tiene todas las caras del mismo color. La [[simetría diédrica en tres dimensiones|simetría diédrica]] D<sub>4h</sub> proviene de que el cubo es un sólido, con las seis caras de distinto color. El subconjunto prismático D<sub>2d</sub> tiene la misma coloración que el anterior y D<sub>2h</sub> tiene colores alternos para sus caras para un total de tres colores, emparejados por caras opuestas. Cada forma de simetría tiene un [[símbolo de Wythoff]] diferente.

{|class="wikitable"
|- align=center
!Nombre
!Hexaedro<BR>regular
!Prisma cuadrado
!Trapezoprisma<BR>rectangular
![[cuboide rectangular |Cuboide<BR>rectangular]]
!Prisma<BR>[[Rombo|rómbico]]
![[Trapezoedro]]<BR>trigonal
|- align=center
![[Símbolo de Schläfli|símbolo de<BR>Schläfli]]
|{4,3}
|{4}×{ }<BR>rr{4,2}
|s<sub>2</sub>{2,4}
|{ }<sup>3</sup><BR>tr{2,2}
|{ }×2{ }
|
|- align=center
![[Símbolo de Wythoff|símbolo de<BR>Wythoff]]
|3 &#124; 4 2
|4 2 &#124; 2
|
|2 2 2 &#124;
|
|
|- align=center
![[Anexo:Grupos de simetría esférica|Simetría]]
|O<sub>h</sub><br>[4,3]<BR>(*432)
|D<sub>4h</sub><br>[4,2]<BR>(*422)
|D<sub>2d</sub><br>[4,2<sup>+</sup>]<BR>(2*2)
|colspan=2|D<sub>2h</sub><br>[2,2]<BR>(*222)
|D<sub>3d</sub><br>[6,2<sup>+</sup>]<BR>(2*3)
|- align=center
!Orden de<BR>simetría
|24
|16
|8
|colspan=2|8
|12
|- align=center
!Imagen<br>(colores<BR>uniformes)
|[[Image:Hexahedron.png|80px]]<br>(111)
|[[Image:Tetragonal prism.png|80px]]<br>(112)
|[[File:Cube rotorotational symmetry.png|80px]]<BR>(112)
|[[Image:Uniform polyhedron 222-t012.png|80px]]<br>(123)
|[[File:Cube_rhombic_symmetry.png|80px]]<BR>(112)
|[[File:Trigonal trapezohedron.png|80px]]<br>(111), (112)
|}

== Relaciones geométricas ==
[[File:The 11 cubic nets.svg|thumb|250px|right|Los 11 desarrollos del cubo]]
[[File:Stone Dice 17.JPG|right|thumb|150px|Estos conocidos [[dados]] de seis caras tienen forma de cubo.]]
Un cubo tiene once [[Desarrollo de un poliedro|redes]] (una se muestra arriba): es decir, hay once maneras de aplanar un cubo hueco cortando siete aristas.<ref>{{cite book
 | last = Uehara | first = Ryuhei
 | contribution = Figure 1.1
 | doi = 
 | isbn = 978-981-15-4469-9
 | location = Singapore
 | mr = 4215620
 | page = 4
 | publisher = Springer
 | title = Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry
 | year = 2020| s2cid = 220150682
 }}</ref>
Para colorear el cubo de forma que ninguna cara adyacente tenga el mismo color, se necesitarían al menos tres colores.

El cubo es la celda del único mosaico regular del [[espacio euclídeo]] tridimensional. También es único entre los sólidos platónicos por tener caras con un número par de lados y, en consecuencia, es el único miembro de ese grupo que es un [[zonoedro]] (cada cara tiene simetría puntual).

El cubo puede cortarse en seis [[Pirámide cuadrada| pirámides cuadradas]] idénticas. Si estas pirámides cuadradas se unen a las caras de un segundo cubo, se obtiene un [[dodecaedro rómbico]] (con pares de triángulos coplanares combinados en caras rómbicas).

== Elementos ==
[[Archivo:Hexahedron.stl|miniatura|270px| Modelo 3D de un cubo]]
[[Archivo:Cubo (Matemateca - IME USP).jpg|miniatura|270px|Cubo ([[Matemateca_IME-USP|Matemateca Ime-Usp]])]]

* '''Cara''' es cada una de las regiones cuadradas que limitan el cubo. En total son 6. Cada par de caras tienen un lado común. Cada cara tiene otras 4 caras adyacentes, con lados comunes, excepto con una que se llama '''cara opuesta'''. Hay tres pares de caras opuestas. Hay '''caras consecutivas''' de modo que algunas de sus aristas son lados consecutivos de un mismo cuadrado cara; las caras consecutivas, que vienen en juego de 4, están encerradas entre 2 caras paralelas; imaginando una sala las caras consecutivas serían las paredes de la sala.
* '''Arista''' es un lado común a 2 caras. En total hay 12 aristas del cubo. Para cada arista hay otras aristas que son concurrentes, paralelas o que se cruzan.
* '''Vértice'''.  3{{esd}}caras (respectivamente tres aristas) tiene un punto común que se llama '''vértice''' del cubo. Por todo, hay 8 vértices.
* '''Diagonal''' o '''diagonal espacial'''. Sean dos caras opuestas que permiten definir una correspondencia biyectiva. Del vértice de la primera cara se traza un segmento al vértice opuesto de su homólogo en la cara opuesta. Dicho segmento se llama '''diagonal''' del cubo. En total hay cuatro diagonales del cubo. Se cortan en un punto único. 
* '''Centro''' es la intersección de las diagonales del cubo. También es el baricentro de la distribución de carga superficial es uniforme. Es centro de simetría.

== Medidas y simetría ==
=== Volumen ===
[[File:Revolução de um cubo (IME-USP).webm|miniatura|[[Sólido de revolución|Revolución de un cubo]]]]

De un cubo de arista ''a'', podemos calcular el [[Volumen (geometría)|volumen]] <math>V</math> mediante la siguiente fórmula: 
: <math>V = a \cdot a \cdot a = a^3</math>

=== Área ===
El [[área]] total <math>A_T</math> (que es 6{{esd}}veces el área de una de sus caras <math>A_c</math>) puede ser calculada mediante la fórmula:
: <math>A_T = 6 \ a^2 </math>

Considerado como prisma, tiene área lateral:
: <math>A_L = 4 \cdot A_c = 4a^2</math>

=== Longitud de la diagonal ===
De un cubo con longitud de arista <math>a</math>:

Se puede calcular la longitud de su [[diagonal facial]] (la distancia entre vértices opuestos de una misma cara) <math>d</math>, usando el [[teorema de Pitágoras]]:
: <math>d = \sqrt {a^2 + a^2} = \sqrt {2 a^2} = \sqrt 2 a</math>.

La longitud de la [[diagonal espacial]] (la distancia entre vértices opuestos en el cubo) <math>D</math> se puede calcular de la misma manera, usando la fórmula anterior, dado que la diagonal espacial es igual a la diagonal de un [[rectángulo]] de longitudes <math>d</math> y <math>a</math> respectivamente:
: <math>D = \sqrt {d^2 + a^2} = \sqrt {2 a^2 + a^2} = \sqrt {3 a^2} = \sqrt 3 a</math>.

=== Optimización ===
Entre los ortoedros de área total constante el cubo es el que tiene mayor volumen. Si se conoce el área total <math>k</math>, entonces la arista <math>a</math> del cubo es <math>\sqrt \frac {k}{6}</math> <ref>Adaptación de ''Métodos de resolución y demostración de desigualdades'' de Valeri Pávlovich SUPRUN/ 2015, Moscú </ref>

=== Simetría ===
Un hexaedro regular (o cubo) tiene 3{{esd}}[[ejes de simetría]] de orden cuatro: las rectas perpendiculares a cada par de caras paralelas por su punto medio; cuatro ejes de simetría de orden tres: las rectas que unen los centros de los vértices opuestos; 6{{esd}}ejes de simetría de orden 2 que unen los centros de las aristas opuestos; 9 [[plano de simetría|planos de simetría]]; 3 paralelos a cada par de caras paralelas por el punto medio de las aristas que las unen, y 6 formados por los pares de aristas opuestas; y un [[centro de simetría]]. Esto hace que este cuerpo tenga un [[orden de simetría]] total de '''48''': 2x(3x4+6x2).

Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría octaédricos de segunda base, el denominado '''O<sub>h</sub>''' según la [[notación de Schöenflies]].

=== Poliedro conjugado ===
El [[poliedro conjugado]] de un hexaedro regular de arista <math>a</math> es un [[octaedro]] regular de arista <math>b</math>, tal que: <math> \frac{a}{b}= \sqrt{2} </math>

==  Resumen de fórmulas ==
Para un cubo de longitud de arista <math>a</math>:
{|class="wikitable"
|-
|[[área]] de la superficie
|align=center|<math>6 a^2\,</math>
|[[volumen]]
|align=center|<math>a^3\,</math>
|-
|[[diagonal facial]]
|align=center|<math>\sqrt 2a</math>
|[[diagonal espacial]]
|align=center|<math display="inline">\sqrt 3a</math>
|-
|radio de la [[esfera circunscrita]]
|align=center|<math>\frac{\sqrt 3}{2} a</math>
|radio de la esfera tangente a los bordes
|align=center|<math>\frac{a}{\sqrt 2}</math>
|-
|radio de la [[esfera inscrita]]
|align=center|<math>\frac{a}{2}</math>
|[[ángulo diedro|ángulos entre caras]] (en [[radian]]es)
|align=center|<math>\frac{\pi}{2}</math>
|}
Como el volumen de un cubo es la tercera potencia de sus lados <math>a \times a \times a</math>, las terceras potencias se llaman ''[[cubo (álgebra)|cubo]]''', por analogía con [[cuadrado (álgebra)|cuadrado]]s y segundas potencias.

Un cubo tiene el mayor volumen entre los [[cuboides]] (cajas rectangulares) con una superficie dada. Además, un cubo tiene el mayor volumen entre cuboides con el mismo tamaño lineal total (largo + ancho + alto).
===Punto en el espacio===
Para un cubo cuya esfera circunscripta tiene radio <math>R</math>, y para un punto dado en su espacio tridimensional con distancias <math>d_i</math> desde los 8 vértices del cubo, tenemos:<ref>Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", [[Forum Geometricorum]] 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf {{Wayback|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf|date=20201106015327}}</ref>

:<math>\frac{\sum_{i=1}^8 d_i^4}{8} + \frac{16R^4}{9} = \left(\frac{\sum_{i=1}^8 d_i^2}{8} + \frac{2R^2}{3}\right)^2</math>.

==Relación con la esfera y el octaedro==

==== Esfera inscrita ====
En cualquier cubo se puede inscribir una esfera, cuyo centro coincide con el del cubo y su radio es igual a la mitad de la arista del cubo.
:radio de la esferas inscrita es <math>r = \frac{a}{2}</math>; y el volumen de esta esfera es <math>V_e = \pi \frac {a^3}{6}</math>, <math>a</math> = arista del cubo

==== Esfera circunscrita ====
Cualquier cubo puede inscribirse en una esfera, de modo que los centros de los sólidos sean el mismo punto. En este caso a la esfera se nombra ''esfera circunscrita'' al cubo.
: radio de la esfera circunscrita es <math>R = \frac{d}{2}</math>, y el volumen es <math>V_e = \pi \frac {d^3}{6}</math>, <math>d</math> = diagonal del cubo inscrito.

==== Octaedro inscrito ====
En un cubo se puede inscribir un octaedro regular cuyos cuatro vértices están en cuatro caras consecutivas y los otros dos en caras opuestas y perpendiculares a las anteriores.
: Si <math>a</math> = arista del cubo, resulta el volumen del octaedro, <math>V = \frac {a^3} {4}</math>  .<ref>Para calcular se considera como una bipirámide cuadrada </ref>

==Topología del cubo==

==== Convexidad ====
En principio, un cubo es un sólido convexo; esto significa que respecto a un plano que contiene a cualquiera de sus caras el cubo queda en un uno solo de los semiespacios que determina dicho plano.

==== Interior ====
Tomemos tres sendos puntos en tres aristas perpendiculares a una de las caras y tracemos un plano por estos puntos. Dicho plano al intersecar al cubo determina un cuadrilátero. Cualquier punto del cuadrilátero se llama ''punto interior'' del cubo y el conjunto de todos los puntos interiores se denomina'' Interior'' del cubo.<ref>Topología de José Tola Pasquel. </ref>

==== Frontera ====
Ningún punto de cara cualquiera está en el interior del cubo, y todos estos puntos forma un conjunto llamado ''frontera'', de tal manera que la unión de las seis caras son la ''frontera'' del cubo.

==== Exterior ====
Un punto que no está en la frontera ni en el interior del cubo se llama ''punto exterior'' y el conjunto de todos estos puntos es el ''exterior'' del cubo. La unión del interior, exterior y frontera del cubo es igual a todo el espacio. Además estos conjuntos son disjuntos.

==== Abierto ====
Un conjunto de puntos del espacio se llama ''abierto'' si para cualquier punto de él se puede trazar una esfera de tal manera que la esfera quede contenida totalmente en dicho conjunto. Tanto el interior y el exterior de un cubo son abiertos.<ref> Milton Donaire: '' Formas y números'', ediciones de UCH, Lima  </ref>

==== Conexidad ====
El cubo es una figura conexa, esto es, de una sola pieza. Pues no puede haber dos abiertos de intersección vacía y su unión sea igual al cubo.

== Hipercubo ==
[[Archivo:From Point to Tesseract (Looped Version).gif|160px|miniatura|Animación que muestra la formación de los primeros cuatro hipercubos como una extensión de cada uno hacia la siguiente dimensión.]]
El [[hipercubo]] es el análogo del cubo en cualquier número de dimensiones. Este tipo de figuras son todas [[Hiperrectángulo|ortotopos]] [[Politopo regular|regulares]].

Todos los hipercubos de más de cero dimensiones se pueden construir a través de la duplicación de otro hipercubo, uniendo todos los vértices con aristas de manera que todas las nuevas [[Cara_(geometría)#Facetas|facetas]] sean regulares.

Según el número de dimensiones, los nombres de los hipercubos son:
* [[Punto (geometría)|punto]] (0{{esd}}dimensiones),
* [[segmento]] (1{{esd}}dimensión),
* [[cuadrado]] (2{{esd}}dimensiones),
* cubo (3{{esd}}dimensiones),
* [[teseracto]] o hipercubo (4{{esd}}dimensiones),
* [[penteracto]] (5{{esd}}dimensiones), etc.
También se puede usar el nombre ''n''-cubo, para ''n''{{esd}}dimensiones.

== Relación en otras áreas ==
=== En la cultura popular ===
[[Archivo:dice01.jpg|miniatura|Dados típicamente cúbicos: estilo occidental, estilo asiático y dados usados en casinos.]]
El cubo es una figura de apariencia frecuente en juguetes y otros objetos recreativos. Ejemplos notables son los [[dado]]s y el [[cubo de Rubik]].
=== En Teología ===
Los cubos aparecen en las [[religiones abrahámicas]]. La [[Kaaba]] en La Meca es un ejemplo que en árabe significa "el cubo". También aparecen en el judaísmo como [[Filacteria]] y la [[Nueva Jerusalén]] en el Nuevo Testamento también se la describe como un Cubo.<ref>{{cite web | url=https://www.deilataylor.com/symbolism-of-the-cube/ | title=Simbolismo del Cubo - Eva Fuera del Jardín | date=30 Octubre 2020 }}</ref>

== Véase también ==
* [[Cuadrado]]
* [[Cubo unitario]]
* [[Cubo de Rubik]]
* [[Cubo Soma]]
* [[Dado]]
* [[Ortoedro]]
* [[Policubo]]

==Referencias==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==
{{commonscat|cube|cubo}}
*[https://web.archive.org/web/20071009235233/http://polyhedra.org/poly/show/1/cube Cube: Interactive Polyhedron Model]*
*[http://www.mathopenref.com/cubevolume.html Volume of a cube], with interactive animation
*[http://www.software3d.com/Cube.php Cube] (Robert Webb's site)

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Figuras geométricas]]
[[Categoría:Sólidos platónicos]]
[[Categoría:Prismatoides]]
[[Categoría:Volumen]]
[[Categoría:Formas elementales]]
[[Categoría:Teselados cuadrados]]
[[Categoría:Geometría elemental]]
[[Categoría:Poliedros uniformes]]
[[Categoría:Zonoedros]]
[[Categoría:Poliedros que rellenan el espacio]]