Ver el código de «Cubo con asas»

{{referencias|t=20111021|matemáticas}}
En la [[matemática]], en la rama de la [[topología geométrica]], un '''cubo con asas''' es un tipo particular de [[variedad]] topológica. Los '''cubos con asas''' son frecuentemente usados para estudiar a las [[3-variedad]]es, aunque pueden ser definidos en dimensiones arbitrarias.
[[Archivo:Hanbod2.PNG|thumb|300px|'''Cubo con asas''' de [[género musical|género]] tres con algunos [[disco (matemática)|discos]] [[encaje|propiamente encajados]]. Note que quitar algunos de ellos no [[conjunto conexo|desconecta]] al cuerpo. ¿Cuántos discos propiamente encajados en el cubo con asas se pueden quitar para dejar sólo una [[3-bola]]?]]

== Definición general ==
Sea G un [[grafo]] finito y [[conjunto conexo|conexo]] en un espacio euclídeo de dimensión n. Sea V una [[vecindad regular]] [[conjunto cerrado|cerrada]] de G. Entonces V is un '''cubo con asas''' n-dimensional. Al grafo G se le llama la '''espina''' del cubo con asas.

== Ejemplos ==
Note que al pegar una 1-asa a una 3-bola se obtiene un [[toro (matemáticas)|toro]] sólido.

== Más conceptos ==
Se llama '''género del cubo con asas''' al género de la superficie frontera del cubo con asas.

== Propiedades ==
Cualquiera dos cubos con asas que tiene como frontera una superficie del mismo género son [[homeomorfismo|homeomorfos]]. 

Se puede demostrar que cualquier 3-variedad orientable se puede construir a partir de dos cubos con asas del mismo género <math>H_1,\ H_2</math>
pegándolos por su frontera mediante una identificación de las superficies frontera, i.e. mediante un homeomorfismo<math>f\colon \partial H_1\to\partial H_2</math> y así la tres variedad se puede ver como el [[espacio cociente]]
<math>M=H_1\cup_f H_2</math>. Esta es la célebre [[descomposición de Heegaard]] de la 3-variedad.

[[Archivo:Tresdisceltoro.PNG|thumb|200px|tres discos que cortan a un toro]]
En 1987 fue demostrado que también las 3-variedades '''no orientables''' se pueden descomponer en tres cubos con asas orientables. Ejemplos sencillos de esto se pueden visualizar cuando entendemos que cualquier superficie cerrada, ''F'', se puede descomponer en '''tres discos''' 
:::<math>F=D_1\cup D_2\cup D_3</math> 
pegados por arcos de su frontera (en particular las '''no orientables''') y haciendo el [[producto cartesiano]] con la [[1-esfera]], uno obtiene tres toros sólidos que descomponen a la tres variedad <math>F\times S^1</math>,
es:
:::<math>F\times S^1=(D_1\times S^1)\cup (D_2\times S^1)\cup (D_3\times S^1)</math>.

Un '''cubo con asas''' tiene la propiedad de tener [[grupo fundamental]]; <math>\pi_1(H)</math>, igual a la del grafo que lo génera: <math>\pi_1(H)=F_n</math>, que es el [[grupo libre]] de orden ''n''.

== Véase también ==
* [[género de Heegaard]]
* [[tri-género]]
* [[2-asa]]
* [[asa (matemática)]]
* [[triangulación de variedades]]
* [[CW complejo]]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Topología]]
[[Categoría:Topología geométrica]]