Ver el código de «Decaimiento exponencial»


{{Referencias adicionales|t=20190516014047}} 	


[[Archivo:Plot-exponential-decay.svg|thumb|Una cantidad en decaimiento exponencial. Las constantes de decaimiento más grandes hacen que la cantidad desaparezca mucho más rápidamente. Este gráfico muestra el decaimiento para la constante de desintegración (λ) de 25, 5, 1, 1/5 y 1/25 para x de 0 a 5.]]

Una cantidad está sujeta a un '''decaimiento exponencial''' si se disminuye a una tasa [[Proporcionalidad|proporcional]] con respecto a su valor actual.  Simbólicamente, este proceso puede ser expresado por la siguiente [[ecuación diferencial]], donde ''N'' es la cantidad y λ (lambda) es una tasa positiva llamada ''constante de decaimiento exponencial'':

:<math>\frac{dN}{dt} = -\lambda N.</math>

La solución a esta ecuación (ver [[#Solución_de_la_ecuación_diferencial|derivación]] más abajo) es:

:<math>N(t) = N_0 e^{-\lambda t}, </math>

donde ''N'' (''t'') es la cantidad en el momento ''t'' y ''N''<sub>0</sub> = ''N''(0)  es la cantidad inicial, es decir, la cantidad en el momento ''t'' = 0<ref>{{cita web|apellidos1=Weisstein|nombre1=Eric W. |enlaceautor= Eric W. Weisstein|título=Exponential Decay |títulotrad= Decaimiento Exponencial|url=http://mathworld.wolfram.com/ExponentialDecay.html|sitioweb=de [http://mathworld.wolfram.com MathWorld] - Un Recurso Web Wolfram|idioma=en|fechaacceso=15 de mayo de 2019}}</ref>

== Medición de la velocidad de decaimiento ==

=== Promedio de vida ===
Si la cantidad en decadencia, ''N''(''t''), es el número de elementos discretos en un determinado [[conjunto]], es posible calcular el tiempo medio que un elemento permanece en el conjunto.  A esto se le llama la '''vida media''' (o simplemente la '''vida'''), a menudo es denotada como <math>\tau</math>. La vida media o promedio, <math>\tau</math>, se relaciona con la tasa de decaimiento, &lambda;, de la siguiente manera:

:<math>\tau = \frac{1}{\lambda}.</math>

La vida media se puede considerar como un "tiempo de escala", porque la ecuación de decaimiento exponencial se puede escribir en términos de la vida media, <math>\tau</math>, en lugar de la constante de decaimiento, &lambda;:

:<math>N(t) = N_0 e^{-t/\tau}.</math>

De donde se deduce que <math>\tau</math> es el momento en que la población del conjunto queda reducida a [[número e|1/''e'' ≈ 0.367879441]] multiplicado por su valor inicial.

Por ejemplo, si la población inicial, ''N''(0), es 1000, entonces la población transcurrido un tiempo <math>\tau</math> viene dada por <math>N(\tau) = 1000 / e = 368 </math>.


=== Semivida ===
{{AP|Semivida}}

En algunos casos, una medida más útil del decaimiento exponencial es el tiempo necesario para que la cantidad del producto en decaimiento se reduzca a la mitad de su valor inicial. Este tiempo recibe el nombre de ''[[semivida]]'', o ''[[periodo de semidesintegración]]'' en contextos radioactivos, y a menudo es denotado por el símbolo ''t''<sub>1/2</sub>. La semivida puede escribirse en términos de la constante de decaimiento, &lambda;, o de la vida media, &tau;, como:

:<math>t_{1/2} = \frac{\ln (2)}{\lambda} = \tau \ln (2).</math>

Ecuación que se ha obtenido resolviendo para ''t''<sub>1/2</sub> la ecuación exponencial:

:<math> N_0 e^{-t_{1/2}/\tau} = 1/2.</math> 

Así, la cantidad de sustancia que queda transcurrido un tiempo ''t''<sub>1/2</sub> es 2<sup>−1</sup> =&nbsp;1/2 elevado al número (entero o no) de vidas medias que han transcurrido. Por ememplo, después de 3 vidas medias quedarán 1/2<sup>3</sup>&nbsp;=&nbsp;1/8 del material original.

Por lo tanto, la vida media <math>\tau</math> es igual a la semivida dividida por el logaritmo natural de 2, o:

: <math>\tau = \frac{t_{1/2}}{\ln (2)} \approx 1.44 \cdot t_{1/2}.</math>

Esto es, el período de semidesintegración o semivida de una sustancia es aproximadamente el 69,31 % de su vida media. Por ejemplo, el [[polonio]]-210 tiene una semivida de 138 días, y una vida media de 200 días.

== Solución de la ecuación diferencial ==

La ecuación que describe el decaimiento exponencial es
:<math>\frac{dN}{dt} = -\lambda N</math>
o, por reordenación (aplicando el [[método de separación de variables]]),
:<math>\frac{dN}{N} = -\lambda dt.</math>

Integrando, tenemos
:<math>\ln N = -\lambda t + C \,</math>
donde C es la [[constante de integración]], y por lo tanto
:<math>N(t) = e^C e^{-\lambda t} = N_0 e^{-\lambda t} \,</math>
donde la sustitución final, ''N''<sub>0</sub> = ''e''<sup>''C''</sup>, se obtiene evaluando la ecuación a ''t'' = 0, ya que ''N''<sub>0</sub> se define como la cantidad a ''t'' = 0.

Esta es la forma de la ecuación que se usa más comúnmente para describir el decaimiento exponencial.  Cualquiera de las constante de decaimiento, vida útil media o vidas media es suficiente para caracterizar el decaimiento.  La notación λ para la constante de decaimiento es un remanente de la notación usual para un [[valor propio]].  En este caso, λ es el valor propio del [[opuesto]] del [[operador diferencial]] con ''N''(''t'') como la [[autofunción]] correspondiente. Las unidades de la constante de caída son s<sup>−1</sup>{{Citation needed|date=Mayo de 2019}}.

=== Derivación de la vida útil media ===
Dado un conjunto de elementos, cuyo número disminuye en última instancia a cero, la '''vida útil media''', <math>\tau</math>, (también llamada simplemente '''vida útil''') es el [[Esperanza matemática|valor esperado]] de la cantidad de tiempo que transcurre antes de que un objeto sea retirado del conjunto.  Específicamente, si la "vida útil individual" de un elemento del conjunto es el tiempo transcurrido entre un determinado tiempo de referencia y la retirada de ese elemento del conjunto, la vida útil media es la [[media aritmética]] de los tiempos de vida individuales.

A partir de la fórmula de población

:<math>N = N_0 e^{-\lambda t}, \,</math>

primero deja que ''c'' sea el factor normalizador para convertir a [[función de densidad de probabilidad]]:

:<math>1 = \int_0^\infty c \cdot N_0 e^{-\lambda t}\, dt = c \cdot \frac{N_0}{\lambda}</math>

o, en la reorganización,

:<math>c = \frac{\lambda}{N_0}.</math>

El decaimiento exponencial es un [[multiplicación escalar|escalar múltiple]] de la [[distribución exponencial]]. (es decir, la vida útil individual de cada objeto se distribuye exponencialmente), que tiene un [[Distribución exponencial|valor esperado bien conocido]].  Podemos calcularlo aquí usando [[Métodos de integración#Método de integración por partes|integración por partes]].

:<math>\tau = \langle t \rangle = \int_0^\infty t \cdot c \cdot N_0 e^{-\lambda t}\, dt = \int_0^\infty \lambda t e^{-\lambda t}\, dt = \frac{1}{\lambda}.</math>

=== Decaimiento por dos o más procesos === 
<!-- Esta sección está enlazada desde [[vida media]] -->
{{VT|Fracción de ramificación}}
Una cantidad puede decaer a través de dos o más procesos diferentes simultáneamente. En general, estos procesos (a menudo llamados "modos de decaimiento", "canales de decaimiento", "rutas de decaimiento", etc.) tienen diferentes probabilidades de ocurrir, y por lo tanto ocurren a diferentes velocidades y con diferentes vidas medias, en paralelo. La tasa de decaimiento total de la cantidad&nbsp;''N'' viene dada por la ''suma'' de las rutas de decaimiento; por lo tanto, en el caso de dos procesos:

:<math>-\frac{dN(t)}{dt} = N\lambda _1 + N\lambda _2 = (\lambda _1 + \lambda _2)N.</math>

La solución a esta ecuación se da en la sección anterior, donde la suma de <math>\lambda _1 + \lambda _2\,</math> se trata como una nueva constante de decaimiento total <math>\lambda _c</math>.

:<math>N(t) = N_0 e^{-(\lambda _1 + \lambda _2) t} = N_0 e^{-(\lambda _c) t}.</math>

'''La vida útil parcial''' asociada a los procesos individuales es por definición del [[inverso multiplicativo]] de la correspondiente constante de decaimiento parcial: <math>\tau = 1/\lambda</math>. Una combinación de <math>\tau_c</math> puede ser dada en términos de <math>\lambda</math>s:

:<math>\frac{1}{\tau_c} = \lambda_c = \lambda_1 + \lambda_2 = \frac{1}{\tau_1} + \frac{1}{\tau_2}</math>

:<math>\tau_c = \frac{\tau_1 \tau_2}{\tau_1 + \tau_2}. </math>

Dado que la vida útil difiere de la vida media en un factor constante, la misma ecuación se mantiene en términos de las dos vidas medias correspondientes:

:<math>T_{1/2} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2} </math>

donde <math>T _{1/2}</math> es la vida media combinada o total para el proceso, <math>t_1</math> y <math>t_2</math> se denominan '''vida media parcial''' de los procesos correspondientes. Los términos "vida media parcial" y "vida útil parcial" denotan cantidades derivadas de una constante de decaimiento como si el modo de decaimiento dado fuera el único modo de decaimiento para la cantidad. El término '''vida media parcial''' es engañoso, ya que no puede medirse como un intervalo de tiempo en el que una determinada cantidad se reduce a la [[un medio|mitad]].

En términos de constantes de decaimiento separadas, se puede demostrar que la vida media total <math>T _{1/2}</math> es de

:<math>T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda _c} = \frac{\ln 2}{\lambda _1 + \lambda _2}.</math>

Para un decaimiento por tres procesos exponenciales simultáneos, la vida media total puede calcularse como se indica arriba:

:<math>T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda _c} = \frac{\ln 2}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3} = \frac{t_1 t_2 t_3}{(t_1 t_2) + (t_1 t_3) + (t_2 t_3)}.</math>

== Aplicaciones y ejemplos ==

El decaimiento exponencial ocurre en una amplia variedad de situaciones. La mayoría de éstos caen en el dominio de las [[ciencias naturales]].

Muchos procesos de decaimiento que a menudo se tratan como exponenciales, son realmente exponenciales siempre y cuando la muestra sea grande y la [[ley de los grandes números]] se mantenga.  Para muestras pequeñas, es necesario un análisis más general, que dé cuenta de un [[proceso de Poisson]].

=== Ciencias Naturales ===
<!-- Esta sección está vinculada a [[Staphylococcus aureus resistente a la meticilina]] -->
* '''[[Reacciones químicas]]:''' Las [[velocidad de reacción|velocidades]] de ciertos tipos de [[reacciones químicas]] dependen de la concentración de uno u otro [[reactivo]]. Las reacciones cuya velocidad depende sólo de la concentración de un reactante (conocidas como [[Ecuación de tasas#reacciones de primer orden|reacciones de primer orden]]) siguen consecuentemente el decaimiento exponencial. Por ejemplo, muchas reacciones [[enzima]]-[[catálisis|catalizada]] se comportan de esta manera.
* '''[[Electrostática]]:''' La [[carga eléctrica]] (o equivalente, el [[potencial eléctrico|potencial]]) contenido en un [[condensador eléctrico|condensador]] (capacitancia ''C'') cambia exponencialmente, si el condensador experimenta una constante [[Carga (electricidad)|carga externa]]. (resistencia ''R'').  La constante de tiempo exponencial τ para el proceso es ''R'' ''C'', y la vida media es por lo tanto ''R'' ''C'' ln2. Esto se aplica tanto a la carga como a la descarga, es decir, un condensador carga o descarga de acuerdo con la misma ley. Las mismas ecuaciones pueden aplicarse a la corriente en un inductor. (Además, el caso particular de un condensador o inductor cambiando a través de varios [[Circuitos en serie y en paralelo#Circuitos paralelos|paralelos]] [[resistor]]s hace un ejemplo interesante de múltiples procesos de decaimiento, con cada resistencia representando un proceso separado. De hecho, la expresión para la [[Resistor#Series y circuitos paralelos|resistencia equivalente]] de dos resistencias en paralelo refleja la ecuación para la vida media con dos procesos de decaimiento.)
* '''[[Geofísica]]:''' La [[presión atmosférica]] disminuye aproximadamente exponencialmente con el aumento de la altura sobre el nivel del mar, a una tasa de alrededor del 12% por 1000m.{{cita requerida|date=Mayo del 2019}}
* '''[[Transferencia de calor]]:''' Si un objeto a una [[temperatura]] es expuesto a un medio de otra temperatura, la diferencia de temperatura entre el objeto y el medio sigue una decadencia exponencial (en el límite de los procesos lentos; equivalente a una "buena" conducción de calor dentro del objeto, de modo que su temperatura permanece relativamente uniforme a través de su volumen). Véase también la [[ley del enfriamiento de Newton]].
* '''[[Luminiscencia]]:''' Después de la excitación, la intensidad de emisión – que es proporcional al número de átomos o moléculas excitadas – de un material luminiscente decae exponencialmente. Dependiendo del número de mecanismos involucrados, el decaimiento puede ser mono- o multi-exponencial.<ref>{{cita libro|apellidos1=Lakowicz|nombre1=Joseph R.|título=Principles of Fluorescence Spectroscopy|fecha=5 de diciembre de 2007|editorial=Springer Science & Business Media|ISBN=978-0-387-46312-4|DOI=10.1007/978-0-387-46312-4|fechaacceso=15 de mayo de 2019|idioma=en|título-trad=Principios de la espectroscopia por fluorescencia}}</ref> 
* '''[[Farmacología]] y [[toxicologia]]:''' Se ha descubierto que muchas sustancias administradas se distribuyen y se [[metabolismo|metabolizan]] (Véase ''[[depuración (medicina)|depuración]]'') de acuerdo con patrones de decaimiento exponencial. La [[semivida de eliminación]], "semivida alfa" y la "semivida beta" de una sustancia miden la rapidez con la que se distribuye y elimina una sustancia.
* '''[[Física óptica]]:''' La intensidad de la [[radiación electromagnética]] como la luz, los rayos X o los rayos gamma en un medio absorbente, sigue una disminución exponencial con la distancia al medio absorbente. Esto se conoce como la [[ley de Beer-Lambert]].
* '''[[Radioactividad]]:''' En una muestra de un [[radioisótopo|radionucleido]] que se somete a una [[radioactividad|desintegración radioactiva]] a un estado diferente, el número de átomos en el estado original sigue al decaimiento exponencial, siempre y cuando el número restante de átomos sea grande. El producto de desintegración se denomina [[nucleido radiogénico]].<ref>{{cita web|url=https://www.britannica.com/science/radioactivity/ |título=Radioactivity |fechaacceso=15 de mayo de 2019  |autor=Ellis P. Steinberg |autor2= John O. Rasmussen|sitioweb= britannica.com |editor= |editorial=Enciclopedia Británica |idioma=en}}</ref>
* '''[[Termoelectricidad]]:''' La disminución de la resistencia de un coeficiente negativo de temperatura a medida que aumenta la temperatura.
* '''[[Vibración|Vibraciones]]:''' Algunas vibraciones pueden decaer exponencialmente; esta característica se encuentra a menudo en [[Oscilador armónico|osciladores mecánicos amortiguados]] y se utiliza para crear [[envolvente acustico|envolventes ADSR]] en [[Sintetizador#Sonido básico|sintetizadores]].  Un sistema [[velocidad de amortiguamiento|sobreamortiguado]]  simplemente retornará al equilibrio a través de una decadencia exponencial.
* '''Espuma de cerveza:''' Arnd Leike, de la [[Universidad de Múnich|Universidad Ludwig Maximilian de Múnich]], ganó un [[Anexo:Galardonados con el premio Ig Nobel#2002|Premio Ig Nobel de Física]] en 2002 por demostrar que la espuma de la [[cerveza]] obedece a de la ley de la decadencia exponencial.<ref>{{Cite journal| last1 = Leike | first1 = A.| title = Demonstration of the exponential decay law using beer froth| journal = European Journal of Physics| volume = 23| pages = 21| year = 2002| doi = 10.1088/0143-0807/23/1/304|bibcode = 2002EJPh...23...21L}}</ref>

=== Ciencias sociales ===
* '''Seguridad y servicios sociales:''' Un fondo de retiro se deteriorará exponencialmente al estar sujeto a montos de pago discretos, generalmente mensuales, y a una entrada sujeta a una tasa de interés continua. Una ecuación diferencial dA/dt = entrada - la salida puede ser escrita y resuelta para encontrar el tiempo para alcanzar cualquier cantidad A, que permanezca en el fondo.
* En la simple '''[[glotocronología]]''', la suposición (discutible) de una tasa de decaimiento constante en las lenguas permite estimar la edad de cada una de ellas. (Para calcular el tiempo de división entre ''dos'' idiomas se requieren suposiciones adicionales, independientemente de la decadencia exponencial).

=== Ciencias de la computación ===
* El '''[[encaminamiento|protocolo de enrutamiento]]''' central en [[Internet]], [[BGP]], tiene que mantener una [[tabla de enrutamiento]] para recordar las rutas a las que se puede desviar un [[Paquete de red|paquete]]. Cuando una de estas rutas cambia repetidamente su estado de ''disponible'' a ''no disponible'' (y ''vice versa''), el [[router]] BGP que controla esa ruta tiene que añadir y quitar repetidamente el registro de rutas de su tabla de routing (''aletar'' la ruta), gastando así recursos locales como [[CPU]] y [[RAM]], y aún más, transmitiendo información inútil a los routers de los pares. Para evitar este comportamiento indeseado, un algoritmo llamado ''route flapping damping'' asigna a cada ruta un peso que aumenta cada vez que la ruta cambia de estado y decae exponencialmente con el tiempo. Cuando el peso alcanza un cierto límite, no se hacen más aleteos, suprimiendo así la ruta.

{{wide image|doubling_time_vs_half_life.svg|640px|Gráficos que comparan tiempos de duplicación y vidas medias de crecimientos exponenciales (líneas en negrita) y decadencia (líneas tenues), y sus aproximaciones de 70/''t'' y 72/''t''. En la [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/88/Doubling_time_vs_half_life.svg version SVG], pase el ratón por encima de un gráfico para resaltarlo y su complemento.}}.

== Véase también ==
* [[Fórmula exponencial]]
* [[Crecimiento exponencial]]
* [[radioactividad|Desintegración radioactiva]] para la matemática de cadenas de procesos exponenciales con constantes diferentes

== Referencias ==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==
* [https://www.fxsolver.com/browse/formulas/Exponential+decay Calculadora de decaimiento exponencial] {{en}}
* [http://vam.anest.ufl.edu/simulations/stochasticonecompartment.php Una simulación estocástica de la decadencia exponencial] {{en}}
* [https://web.archive.org/web/20060617205436/http://www.facstaff.bucknell.edu/mastascu/elessonshtml/SysDyn/SysDyn3TCBasic.htm Tutorial sobre constantes de tiempo] {{en}}
{{traducido ref|en|Exponential decay}}

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Exponenciales]]