Ver el código de «Decimonoveno problema de Hilbert»

El '''problema decimonoveno de Hilbert''' (uno de los conocidos como veintitrés [[Problemas de Hilbert]], publicados en 1900 por el matemático alemán [[David Hilbert]]),<ref>Véase {{harv|Hilbert|1900}} o, equivalentemente, una de sus traducciones.</ref> pregunta si las soluciones de problemas regulares en el cálculo de variaciones son siempre [[Función analítica|analíticas]].<ref>"''Sind die Lösungen regulärer Variationsprobleme stets notwendig analytisch?''" (Traducción inglesa por [[Mary Frances Winston Newson]]:-"''Are the solutions of regular problems in the calculus of variations always necessarily analytic?''"), formulando el problema con las mismas palabras de {{harvtxt|Hilbert|1900|p=288}}.</ref> Informalmente, y quizás menos directamente, dado que el concepto de Hilbert de un ''"problema variacional regular"'' identifica precisamente un [[Cálculo de variaciones|problema variacional]] cuyas [[ecuaciones de Euler-Lagrange]] son una [[ecuación diferencial parcial elíptica]] con coeficientes analíticos,<ref>Véase {{harv|Hilbert|pp=288–289|1900}}, o la sección correspondiente sobre el decimonoveno problema en cualquiera de sus traducciones o reimpresiones, o la subsección "[[El decimonoveno problema de Hilbert#Los orígenes del problema|Los orígenes del problema]]" en la sección histórica de esta entrada.</ref> El decimonoveno problema de Hilbert, a pesar de su afirmación aparentemente técnica, simplemente pregunta si, en esta clase de [[ecuación en derivadas parciales]], cualquier función solución hereda la estructura relativamente simple y bien entendida de la ecuación resuelta. El decimonoveno problema de Hilbert fue resuelto de forma independiente a finales de la década de 1950 por [[Ennio de Giorgi]] y [[John Forbes Nash]].

==Historia==

===Los orígenes del problema===

{{cita
|''"Uno de los hechos más notables en los elementos de la teoría de las funciones analíticas me parece ser este: que existen ecuaciones diferenciales parciales cuyas integrales son todas necesariamente funciones analíticas de las variables independientes, es decir, en resumen, ecuaciones que solo son susceptibles de soluciones analíticas."''
|[[David Hilbert]] {{harv|Hilbert|1900|p=288}} (traducción por Mary Frances Winston Newson)
}}

David Hilbert presentó el ahora llamado problema decimonoveno de Hilbert en su discurso en el segundo [[Congreso Internacional de Matemáticos]].<ref>Para obtener un análisis histórico detallado, consulte la entrada correspondiente sobre los "[[Problemas de Hilbert]]".</ref> En {{harv|Hilbert|1900|p=288}} afirma que, en su opinión, uno de los hechos más destacables de la teoría de las funciones analíticas es que existen clases de [[Ecuación diferencial|ecuaciones diferenciales]] parciales que admiten solo ese tipo de funciones como soluciones, aduciendo la [[ecuación de Laplace]], la [[ecuación de Liouville]],<ref>Hilbert no cita explícitamente a [[Joseph Liouville]] y considera la constante {{math|''K''}} (la [[curvatura de Gauss]]) es igual a {{math|-1/2}}: compárese la entrada relevante con {{harv|Hilbert|1900|p=288}}.</ref> la [[superficie minimal]] y una clase de ecuaciones diferenciales parciales lineales estudiadas por [[Charles Émile Picard]] como ejemplos.<ref>Contrariamente al trabajo de Liouville, el trabajo de Picard es citado explícitamente por {{harvtxt|Hilbert|1900|loc=p. 288 y nota al pie 1 en la misma página}}.</ref> Luego observa el hecho de que la mayoría de las ecuaciones diferenciales parciales que comparten esta propiedad son la ecuación de Euler-Lagrange de un tipo de problema variacional bien definido, que presenta las siguientes tres propiedades:<ref name="Hilbertp288">See {{harv|Hilbert|1900|p=288}}.</ref>
: {{EquationRef|1|(1){{spaces|5}}}}<math>{\iint F(p,q,z;x,y) dx dy} = \text{Mínimo} \qquad 
\left[ \frac{\partial z}{\partial x}=p \quad;\quad \frac{\partial z}{\partial y}=q \right]</math>,
: {{EquationRef|2|(2){{spaces|5}}}}<math>\frac{\partial^2 F}{\partial^2 p}\cdot\frac{\partial^2 F}{\partial^2 q} - \left(\frac{\partial^2 F}{{\partial p}{\partial q}}\right)^2 > 0</math>,
:{{EquationRef|3|(3){{spaces|5}}}} <math>F</math> es una función analítica en todos sus argumentos {{math|''p'', ''q'', ''z'', ''x''}} e {{math|''y''}}.

Hilbert llama a este tipo de problema variacional un ''"problema variacional regular"'': la propiedad<ref>"''Reguläres Variationsproblem''", en sus palabras exactas. La definición de Hilbert de un problema variacional regular es más fuerte que la que se usa actualmente, que se encuentra, por ejemplo, en {{harv|Gilbarg|Trudinger|2001|p=289}}.</ref> {{EquationNote|(1)}} significa que ese tipo de problemas variacionales son [[Extremos de una función|problemas de mínimo]], la propiedad {{EquationNote|(2)}} es la [[Ecuación diferencial parcial elíptica|condición de elipticidad]] en las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas al [[Funcional (matemática)|funcional]] dado, mientras que la propiedad {{EquationNote|(3)}} es un supuesto simple de regularidad de la función {{math|''F''}}.<ref>Mientras que Hilbert considera todas las [[derivada]]s en el sentido "clásico", es decir, no en el sentido [[Derivada débil|débil]], incluso antes del enunciado de su analiticidad en {{EquationNote|(3)}}, la función {{math|''F''}} es asumida como al menos {{math|{{SubSup|C||2}}}}, como implica el uso de la [[matriz hessiana]] en {{EquationNote|(2)}}.</ref> Habiendo identificado la clase de problemas a tratar, entonces plantea la siguiente pregunta: - "'' ... ¿tiene cada ecuación diferencial parcial de Lagrange de un problema de variación regular la propiedad de admitir integrales analíticas exclusivamente?''"<ref>Traducción al inglés de Mary Frances Winston Newson: [[ #{{harvid|Hilbert|1900}}|Hilbert's (1900]], p. 288) sus palabras exactas son:-"''... d. h. ob jede Lagrangesche partielle Differentialgleichung eines reguläres Variationsproblem die Eigenschaft at, daß sie nur analytische Integrale zuläßt''" ([[Bastardilla|cursivas]] incluidas por el propio Hilbert).</ref> y pregunta además si este es el caso incluso cuando se requiere que la función asuma, como sucede con el [[problema de Dirichlet]] en la [[Teoría del potencial|función potencial]], valores de frontera que son continuos, pero no analíticos.<ref name="Hilbertp288" />

===El camino hacia la solución completa===
Hilbert planteó su decimonoveno problema como un [[problema de regularidad]] para una clase de ecuación diferencial parcial elíptica con coeficientes analíticos,<ref name="Hilbertp288" /> por lo tanto los primeros esfuerzos de los investigadores que buscaron resolverlo se dirigieron a estudiar la regularidad de las [[solución clásica|soluciones clásicas]] de las ecuaciones pertenecientes a esta clase. Para las soluciones {{math|[[Función diferenciable|{{SubSup|C||3}}]]}}, el problema de Hilbert fue respondido positivamente por {{harvtxt|Sergei Natanovich Bernstein|1904}} en su tesis: demostró que las soluciones {{math|{{SubSup|C||3}}}} de ecuaciones analíticas elípticas no lineales en 2 variables son analíticas. El resultado de Bernstein fue mejorado en los años por varios autores, como {{harvtxt|Petrowsky|1939}}, que redujeron los requisitos de diferenciación de la solución necesarios para demostrar que es analítica. Por otro lado, los métodos directos en el cálculo de variaciones mostraron la existencia de soluciones con propiedades de diferenciabilidad muy débiles. Durante muchos años hubo una brecha entre estos resultados: se sabía que las soluciones que podían construirse tenían segundas derivadas integrables cuadráticas, que no eran lo suficientemente fuertes para alimentar la maquinaria que podía demostrar que eran analíticas, puesto que necesitaban la continuidad de las primeras derivadas. Este vacío fue llenado de forma independiente por {{harvtxt|Ennio de Giorgi|1956-1957}} y {{harvtxt|John Forbes Nash|1957-1958}}. Pudieron demostrar que las soluciones tenían primeras derivadas que eran [[continuidad de Hölder|continuas de Hölder]], lo que por resultados anteriores implicaba que las soluciones son analíticas siempre que la ecuación diferencial tenga coeficientes analíticos, completando así la solución del decimonoveno problema de Hilbert.

===Contraejemplos a varias generalizaciones del problema===
La respuesta afirmativa al decimonoveno problema de Hilbert dada por Ennio De Giorgi y John Forbes Nash planteó la cuestión de si la misma conclusión es válida también para las ecuaciones de Euler-Lagrange de [[Funcional (matemática)|funcional]] más generales: a finales de la década de 1960,{{harvtxt|Maz'ya|1968}},<ref>Véase {{harv|Giaquinta|1983|p=59}},{{harv|Giusti|1994|loc=p. 7 nota 7 y p. 353}},{{harv|Gohberg|1999|p=1}},{{harv|Hedberg|1999|pp=10–11}},{{harv|Kristensen|Mingione|2011|loc=p. 5 and p. 8}}, y {{harv|Mingione|2006|p=368}}.</ref>{{harvtxt|De Giorgi|1968}} y {{harvtxt|Giusti|Miranda|1968}} se construyeron de forma independiente varios [[contraejemplo]]s,<ref>Véase {{harv|Giaquinta|1983|pp=54–59}},{{harv|Giusti|1994|loc=p. 7 y pp. 353}}.</ref> que muestran que, en general, no hay esperanzas de probar este tipo de resultados de regularidad sin agregar más hipótesis.

Precisamente,{{harvtxt|Maz'ya|1968}} dio varios contraejemplos que involucran una sola ecuación elíptica de orden mayor que dos con coeficientes analíticos:<ref>Véase {{harv|Hedberg|1999|pp=10–11}},{{harv|Kristensen|Mingione|2011|loc=p. 5 y p. 8}} y {{harv|Mingione|2006|p=368}}.</ref> para los expertos, el hecho de que este tipo de ecuaciones pudieran tener soluciones no analíticas e incluso no suaves causó sensación.<ref>De acuerdo con {{harv|Gohberg|1999|p=1}}.</ref>{{harvtxt|De Giorgi|1968}} y {{harvtxt|Giusti|Miranda|1968}} dieron contraejemplos que muestran que en el caso de que la solución tenga un valor vectorial en lugar de un valor escalar, no es necesario que sea analítica: el ejemplo de De Giorgi consiste en un sistema elíptico con coeficientes acotados, mientras que el de Giusti y Miranda tiene coeficientes analíticos.<ref>Véase {{harv|Giaquinta|1983|pp=54–59}} y {{harv|Giusti|1994|loc=p. 7, pp. 202–203 y pp. 317–318}}.</ref> Más tarde,{{harvtxt|Nečas|1977}} proporcionó otros ejemplos más refinados para el problema de valores vectoriales.<ref>Para más información acerca del trabajo de [[Jindřich Nečas]] véase el trabajo de {{harvtxt|Kristensen|Mingione|2011|loc=§3.3, pp. 9–12}} y {{harv|Mingione|loc=§3.3, pp. 369–370|2006}}.</ref>

==Teorema de De Giorgi==
El teorema clave demostrado por De Giorgi es una [[estimación a priori]] que establece que si ''u'' es una solución de una ecuación en derivadas parciales lineal de segundo orden estrictamente elíptica adecuada de la forma
: <math> D_i(a^{ij}(x)\,D_ju)=0</math>
y <math>u</math> tiene primeras derivadas integrables cuadradas, entonces <math>u</math> es continua de Hölder.

==Aplicación del teorema de De Giorgi al problema de Hilbert==
El problema de Hilbert pregunta si los minimizadores <math>w</math> de una energía funcional como
: <math>\int_UL(Dw)\,\mathrm{d}x</math>
son analíticos. Aquí <math>w</math> es una función en algún conjunto compacto <math>U</math> de '''R''' <sup>''n''</sup>, <math>Dw</math> es su vector [[gradiente]] y <math>L</math> es el [[Lagrangiano]], una función de las derivadas de <math>w</math> que satisface ciertas condiciones de crecimiento, suavidad y convexidad. La suavidad de <math>w</math> se puede demostrar usando el teorema de De Giorgi como sigue. Las [[ecuaciones de Euler-Lagrange]] para este problema variacional son la ecuación no lineal
: <math> \sum\limits_{i=1}^n(L_{p_i}(Dw))_{x_i} = 0</math>
y diferenciar esto con respecto a <math>x_k</math> da
: <math> \sum\limits_{i=1}^n(L_{p_ip_j}(Dw)w_{x_jx_k})_{x_i} = 0</math>
Esto significa que <math>u=w_{x_k}</math> satisface la ecuación lineal
: <math> D_i(a^{ij}(x)D_ju)=0</math>
con
: <math>a^{ij} = L_{p_ip_j}(Dw)</math>
así que según el resultado de De Giorgi, la solución ''w'' tiene primeras derivadas continuas de Hölder, siempre que la matriz <math>L_{p_ip_j}</math> esté acotada. Cuando este no es el caso, se necesita un paso más: se debe demostrar que la solución <math>w</math> es continua de Lipschitz, es decir, el gradiente <math>Dw</math> es una función <math>L^\infty</math>.

Una vez que se sabe que ''w'' tiene (''n''+1) derivadas continuas de Hölder para algún ''n''≥1, entonces los coeficientes ''a''<sup>''ij''</sup> tienen ''n'' derivadas continuas de Hölder, por lo que un teorema de Schauder implica que las (''n''+2) derivadas también son continuas de Hölder, por lo que repetir esto infinitamente a menudo demuestra que la solución ''w'' es suave.

==Teorema de Nash==

Nash dio una estimación de continuidad para las soluciones de la ecuación parabólica
: <math> D_i(a^{ij}(x)D_ju)=D_t(u)</math>
donde ''u'' es una función acotada de ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>, ''t'', definida para ''t''≥0. Según su estimación, Nash pudo deducir una estimación de continuidad para soluciones de la ecuación elíptica
: <math> D_i(a^{ij}(x)D_ju)=0</math> considerando el caso especial en el que ''u'' no depende de ''t''.

==Referencias==
{{reflist|2}}

==Bibliografía==
*{{Citation
 | last = Bernstein
 | first = S.
 | author-link = Sergei Natanovich Bernstein
 | title = Sur la nature analytique des solutions des équations aux dérivées partielles du second ordre
 | journal = [[Mathematische Annalen]]
 | issn = 0025-5831
 | volume = 59
 | issue = 1–2
 | pages = 20–76 (s2cid: 121487650)
 | year = 1904
 | language = fr
 | url = http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN00225977X
 | doi = 10.1007/BF01444746
 | jfm = 35.0354.01
 }}.
*{{Citation
 |last             = Bombieri
 |first            = Enrico
 |author-link      = Enrico Bombieri
 |contribution     = Variational problems and elliptic equations
 |contribution-url = http://www.mathunion.org/ICM/ICM1974.1/Main/icm1974.1.0053.0064.ocr.pdf
 |title            = Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vancouver, B.C., 1974, Vol. 1
 |series           = ICM Proceedings
 |year             = 1975
 |pages            = 53–63
 |place            = Montreal
 |publisher        = Canadian Mathematical Congress
 |url              = http://www.mathunion.org/ICM/ICM1974.1/
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 |access-date      = 2011-01-29
 |archive-url      = https://web.archive.org/web/20131231000521/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1974.1/
 |archive-date     = 2013-12-31
 }}. Reprinted in {{Citation
 | last=Bombieri
 | first=Enrico 
 | author-link=Enrico Bombieri
 | editor-last=Browder
 | editor-first=Felix E.
 | editor-link= Felix Browder
 | contribution = Variational problems and elliptic equations
 | title=Mathematical developments arising from Hilbert problems
 | series=[[American Mathematical Society]]
 | volume=XXVIII
 | year=1976
 | pages=525–535
 | place=Providence, Rhode Island
 | publisher=[[American Mathematical Society]]
 | url=https://books.google.com/books?isbn=0821814281
 | isbn=978-0-8218-1428-4
 | mr=0425740
 | zbl=0347.35032
}}.
*{{Citation
 | last=De Giorgi
 | first=Ennio
 | author-link=Ennio De Giorgi
 | title=Sull'analiticità delle estremali degli integrali multipli
 | journal=Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali
 | series=Serie VIII
 | volume=20
 | pages=438–441
 | year=1956
 | language=it
 | mr=0082045
 | zbl=0074.31503
}}. "''On the analyticity of extremals of multiple integrals''" (English translation of the title) is a short research announcement disclosing the results detailed later in {{harv|De Giorgi|1957}}. While, according to the [[ #{{harvid|De Giorgi|2006}}|Complete list of De Giorgi's scientific publication (De Giorgi 2006]], p.&nbsp;6), an English translation should be included in {{harv|De Giorgi|2006}}, it is unfortunately missing.
*{{Citation
 | last=De Giorgi
 | first=Ennio
 | title=Sulla differenziabilità e l'analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari
 | journal=Memorie della Accademia delle Scienze di Torino. Classe di Scienze Fisiche, Matematicahe e Naturali
 | series = Serie III
 | volume=3
 | pages=25–43
 | year=1957
 | language=it
 | mr=0093649
 | zbl=0084.31901
}}. Translated in English as "''On the differentiability and the analyticity of extremals of regular multiple integrals''" in {{harv|De Giorgi|2006|pp=149–166}}.
*{{Citation
 | last=De Giorgi
 | first=Ennio
 | title=Un esempio di estremali discontinue per un problema variazionale di tipo ellittico
 | journal=Bollettino dell'Unione Matematica Italiana
 | series = Serie IV 
 | volume=1
 | pages=135–137
 | year=1968
 | language=it
 | mr=0227827
 | zbl=0084.31901
}}. Translated in English as "''An example of discontinuous extremals for a variational problem of elliptic type''" in {{harv|De Giorgi|2006|pp=285–287}}.
*{{Citation
 | last=De Giorgi
 | first=Ennio
 | editor-last=Ambrosio
 | editor-first=Luigi
 | editor-link=Luigi Ambrosio
 | editor2-last=Dal Maso
 | editor2-first=Gianni
 | editor2-link=Gianni Dal Maso
 | editor3-last=Forti
 | editor3-first=Marco
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 | editor4-link=Mario Miranda (mathematician)
 | editor5-last=Spagnolo
 | editor5-first=Sergio
 | title=Selected papers
 | place=Berlin–New York
 | publisher=[[Springer Science+Business Media]]
 | year=2006
 | pages=x+889
 | url=https://www.springer.com/mathematics/analysis/book/978-3-540-26169-8
 | isbn=978-3-540-26169-8
 | mr=2229237
 | zbl=1096.01015
| doi=10.1007/978-3-642-41496-1
 | series=Springer Collected Works in Mathematics
 }}.
*{{Citation
 | last = Giaquinta
 | first = Mariano
 | author-link = Mariano Giaquinta
 | title = Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic systems
 | place = Princeton, New Jersey
 | publisher =Princeton University Press
 | series = [[ Annals of Mathematics Studies]]
 | volume = 105
 | year = 1983
 | pages = vii+297
 | url = https://books.google.com/books?id=JwSAewaYsdMC
 | isbn = 978-0-691-08330-8
 | mr = 0717034
 | zbl = 0516.49003
}}.
*{{Citation
 | last1 = Gilbarg
 | first1 = David
 | author-link = David Gilbarg
 | last2 = Trudinger
 | first2 = Neil S. 
 | author2-link = Neil Trudinger
 | title = Elliptic partial differential equations of second order
 | place = Berlin – Heidelberg – New York
 | publisher = Springer Verlag
 | series = Classics in Mathematics
 | year = 2001 (1ª ed. 1998)
 | edition = Revised 3rd printing of 2nd 
 | pages = xiv+517
 | url = https://books.google.com/books?id=eoiGTf4cmhwC
 | isbn = 978-3-540-41160-4
 | mr = 1814364 
 | zbl = 1042.35002
}}.
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| last = Giusti
| first = Enrico
| author-link = Enrico Giusti
| title = Metodi diretti nel calcolo delle variazioni
| place = [[Bolonia]]
| publisher = [[ Unione Matematica Italiana]]
| year = 1994
| language = it
| series = Monografie Matematiche
| pages = VI+422
| mr = 1707291
| zbl = 0942.49002}}, translated in English as {{Citation
| title = Direct Methods in the Calculus of Variations
| place = [[River Edge]] – London – Singapore
| publisher = World Scientific Publishing
| year = 2003
| pages = viii+403
| url = https://books.google.com/books?id=FofhcvUZo9YC
| isbn = 978-981-238-043-2
| mr = 1962933
| zbl = 1028.49001
| doi = 10.1142/9789812795557
| last1 = Giusti
| first1 = Enrico
}}.
*{{Citation
 | last1=Giusti
 | first1=Enrico
 | author-link=Enrico Giusti
 | last2=Miranda
 | first2=Mario
 | author2-link=Mario Miranda (mathematician)
 | title=Un esempio di soluzioni discontinue per un problema di minimo relativo ad un integrale regolare del calcolo delle variazioni
 | journal=[[ Bollettino dell'Unione Matematica Italiana]]
 | series = Serie IV 
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 | pages=1–8
 | year=1968
 | language=it
 | mr=0232265
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}}.
*{{Citation
| first = Israel
| last = Gohberg
| author-link = Israel Gohberg
| editor-last = Rossman
| editor-first = Jürgen
| editor2-last = Takáč
| editor2-first = Peter
| editor3-last = Wildenhain
| editor3-first = Günther
| contribution = Vladimir Maz'ya: Friend and Mathematician. Recollections
| title = The Maz'ya anniversary collection. Vol. 1: On Maz'ya's work in functional analysis, partial differential equations and applications. Based on talks given at the conference, Rostock, Germany, August 31 – September 4, 1998
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| pages = 1–5
| place = Basel
| publisher = Birkhäuser Verlag
| url = https://books.google.com/books?id=9xPz9Mg2c_EC
| mr = 1747861 
| zbl = 0939.01018
| isbn = 978-3-7643-6201-0
}}.
*{{Citation
 | first = Lars Inge 
 | last =Hedberg
 | editor-last =Rossmann
 | editor-first =Jürgen
 | editor2-last =Takáč
 | editor2-first =Peter
 | editor3-last =Wildenhain
 | editor3-first =Günther
 | contribution =On Maz'ya's work in potential theory and the theory of function spaces
 | title =The Maz'ya Anniversary Collection. Volume 1: On Maz'ya's work in functional analysis, partial differential equations and applications
 | volume =109
 | series =Operator Theory: Advances and Applications
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 | pages =7–16
 | place =[[Basilea]]
 | publisher =Birkhäuser Verlag
 | doi =10.1007/978-3-0348-8675-8_2
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| isbn =978-3-0348-9726-6
 }}
*{{Citation
 | last = Hilbert
 | first = David
 | author-link = David Hilbert
 | title = Mathematische Probleme
 | journal = [[ Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse]]
 | issue = 3
 | pages = 253–297
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 | language = de
 | url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN252457811_1900&DMDID=DMDLOG_0037
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}}.<br/>– Reprinted as {{Citation|ref=none
 | title = Mathematische Probleme
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 | series = dritte reihe
 | volume = 1
 | pages = 44–63 and 253–297
 | year = 1900
 | language = de
 | url = https://archive.org/stream/archivdermathem02unkngoog#page/n61/mode/1up
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}}.<br/>– Translated to English by [[ Mary Frances Winston Newson]] as {{Citation|ref=none
 | last = Hilbert
 | first = David
 | author-link = David Hilbert
 | title = Mathematical Problems
 | journal = [[ Bulletin of the American Mathematical Society]]
 | volume = 8
 | issue = 10
 | pages = 437–479
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 | mr = 1557926
}}.<br/>– Reprinted as {{Citation|ref=none
 | last = Hilbert
 | first = David
 | author-link = David Hilbert
 | title = Mathematical Problems
 | journal = [[ Bulletin of the American Mathematical Society]]
 | series = New Series
 | volume = 37
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 | mr = 1779412
 | zbl = 0979.01028
}}.<br/>– Translated to French by M. L. Laugel (with additions of Hilbert himself) as {{Citation|ref=none
 | last = Hilbert
 | first = David
 | author-link = David Hilbert
 | editor-last = Duporcq
 | editor-first = E.
 | contribution = Sur les problèmes futurs des Mathématiques
 | contribution-url = http://www.mathunion.org/ICM/ICM1900/Main/icm1900.0058.0114.ocr.pdf
 | title = Compte Rendu du Deuxième Congrès International des Mathématiciens, tenu à Paris du 6 au 12 août 1900. Procès-Verbaux et Communications
 | series = ICM Proceedings
 | year = 1902
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 | url = http://www.mathunion.org/ICM/ICM1900/
 | jfm = 32.0084.06
 | access-date = 2013-12-28
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20131231002929/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1900/
 | archive-date = 2013-12-31
}}.<br/>– There exists also an earlier (and shorter) resume of Hilbert's original talk, translated in French and published as {{Citation|ref=none
 | last = Hilbert
 | first = D.
 | author-link = David Hilbert
 | title =Problèmes mathématiques
 | journal =[[ L'Enseignement Mathématique]]
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 |title        = Sketches of Regularity Theory from The 20th Century and the Work of Jindřich Nečas
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 | title = Примеры нерегулярных решений квазилинейных эллиптических уравнений с аналитическими коэффициентами
 | journal =[[ Funktsional'nyĭ Analiz I Ego Prilozheniya]]
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 | author-link = Vladimir Gilelevich Maz'ya
 | title = Examples of nonregular solutions of quasilinear elliptic equations with analytic coefficients 
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| title= Multiple integrals in the calculus of variations 
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 | title=Parabolic equations
 | journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences]]
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*{{Citation
 | last1=Nash
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 | author1-link=John Forbes Nash
 | title=Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations
 | year=1958
 | journal=[[American Journal of Mathematics]]
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*{{Citation
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 | last = Nečas
 | author-link =Jindřich Nečas
 | editor-last =Kluge
 | editor-first =Reinhard
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 | editor2-first =Wolfdietrich
 | contribution = Example of an irregular solution to a nonlinear elliptic system with analytic coefficients and conditions for regularity
 | title = Theory of nonlinear operators: constructive aspects. Proceedings of the fourth international summer school, held at Berlin, GDR, from September 22 to 26, 1975 
 | series = Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften der DDR
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*{{Citation
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 | first1=I. G.
 | author-link=Ivan Georgievich Petrovsky
 | title= Sur l'analyticité des solutions des systèmes d'équations différentielles
 | url= http://mi.mathnet.ru/eng/msb5769
 | year=1939
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 | journal = [[ Matematicheskii Sbornik|Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik)]] 
 | volume = 5
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 | pages = 3–70
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{{Problemas de Hilbert}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Problemas de Hilbert|#19]]
[[Categoría:Ecuaciones en derivadas parciales]]
[[Categoría:Cálculo de variaciones]]