Ver el código de «Descomposición de Jordan-Chevalley»

En matemáticas, la '''descomposición de Jordan-Chevalley''', llamada así por los matemáticos [[Camille Jordan]] y [[Claude Chevalley]], es una expresión de un [[Aplicación lineal|operador lineal]] como la suma de su parte [[Operador semisimple|semisimple]] y de su parte [[nilpotente]], que [[Conmutatividad|conmutan]]. También hay una descomposición multiplicativa relacionada, que expresa un operador invertible como el producto de sus partes semisimple y unipotente, que también conmutan. La descomposición es fácil de describir cuando se tiene la [[forma canónica de Jordan]] del operador, pero existe bajo hipótesis más débiles que la existencia de una forma canónica de Jordan. Hay descomposiciones análogas a la de Jordan-Chevalley para elementos de [[Grupo algebraico lineal|grupos algebraicos lineales]], [[Álgebra de Lie|álgebras de Lie]] y [[Grupo de Lie|grupos de Lie]], y la descomposición es una herramienta importante en el estudio de dichos objetos.

== Descomposición de un operador lineal ==
Se consideran los operadores lineales en un [[espacio vectorial]] de dimensión finita sobre un cuerpo. Un operador ''T'' se dice semisimple si cada subespacio invariante por ''T'' tiene un complementario invariante por ''T'' (si el cuerpo subyacente es [[Cuerpo algebraicamente cerrado|algebraicamente cerrado]], esto equivale a requerir que el operador sea [[Matriz diagonalizable|diagonalizable]]). Un operador <math>x</math> se dice ''[[nilpotente]]'' si alguna potencia <math>x^m</math> de él es el operador cero, ''y se dice [[unipotente]]'' si <math>x-1</math> es nilpotente.

Sea pues <math>x</math> cualquier operador. Una descomposición de Jordan-Chevalley de <math>x</math> es una expresión del operador como una suma

: <math>x = x_n + x_s</math>

donde <math>x_s</math> es semisimple, <math>x_n</math> es nilpotente y <math>x_s</math> y <math>x_n</math> conmutan. Sobre un [[cuerpo perfecto]],{{ refn| group="nota" | De hecho, la demostración funciona si <math>k[x]/\text{nil}</math> es un álgebra separable; ver [[Descomposición de Jordan-Chevalley#Prueba corta usando álgebra abstracta|#Prueba corta usando álgebra abstracta]].}} siempre existe tal descomposición y es única (véase #Prueba de unicidad y existencia ), y <math>x_s</math> y <math>x_n</math> son polinomios en <math>x</math> sin términos constantes.<ref name="Humphreys">{{Harvsp|Humphreys|1972|loc=Prop. 4.2, p. 17}} for the algebraically closed field case.</ref><ref>{{Harvsp|Waterhouse|loc=Ch. 9, Exercise 1.}}</ref> En particular, para cualquier descomposición de este tipo sobre un cuerpo perfecto, un operador que conmuta con <math>x</math> también conmuta con <math>x_s</math> y <math>x_n</math>.

De manera similar, si <math>x</math> es un operador invertible, entonces una descomposición multiplicativa de Jordan-Chevalley expresa <math>x</math> como un producto

: <math>x = x_s \cdot x_u</math>

donde <math>x_s</math> es semisimple, <math>x_u</math> es unipotente y <math>x_s</math> y <math>x_u</math> conmutan. De nuevo, sobre un cuerpo perfecto, tal descomposición existe y es única y tanto <math>x_s</math> como <math>x_n</math> son polinomios en <math>x</math>. La versión multiplicativa de la descomposición se obtiene de la aditiva ya que, como es fácil ver que <math>x_s</math> es invertible:

: <math>x = x_s + x_n = x_s\left(1 + x_s^{-1}x_n\right)</math>

y <math>1 + x_s^{-1}x_n</math> es unipotente. (Recíprocamente, con un argumento parecido, uno puede deducir la versión aditiva de la multiplicativa).

Si <math>x</math> está escrito en [[forma canónica de Jordan]] (con respecto a alguna base), entonces <math>x_s</math> es el endomorfismo cuya matriz consiste solo de los términos diagonales de <math>x</math>, y <math>x_n</math>  es el endomorfismo cuya matriz consiste solo de los términos de fuera de la diagonal; <math>x_u</math> es el endomorfismo cuya matriz se obtiene de la forma canónica de Jordan dividiendo todas las entradas de cada bloque de Jordan por su elemento diagonal.

=== Prueba de unicidad y existencia. ===
{{Demostración|1=
La unicidad se deriva del hecho de que <math>x_s,x_n</math> son polinomios en <math>x</math>: si 
<math>x=x_s'+x_n'</math> es otra descomposición tal que 
<math>x_s'</math> y <math>x_n'</math> conmutan, entonces 
<math> x_s - x_s' = x_n - x_n' </math>, y tanto 
<math>x_s'</math>como <math>x_n'</math>conmutan con <math>x</math>, 
luego también con <math>x_s</math> y con <math>x_n</math>. 
La suma de dos endomorfismos nilpotentes que conmutan es nilpotente, y sobre un cuerpo perfecto la suma de dos endomorfismos semisimples que conmutan vuelve a ser semisimple. Dado que el único operador que es a la vez semisimple y nilpotente es el operador cero, se sigue que 
<math>x_s=x_s'</math> y 
<math>x_n=x_n'</math>.|plegada=no|título=Demostración de unicidad}}

{{Demostración|Demostración de existencia. Sea 
<math>V</math> un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo perfecto <math>k</math> y sea <math> x:V \to V </math> un endomorfismo.

* Supongamos primero que el cuerpo base <math>k</math> es algebraicamente cerrado. En ese caso, el espacio vectorial <math>V</math> se descompone en la suma directa <math display="inline">V = \bigoplus_{i=1}^r V_i</math> donde cada <math>V_i</math> es el núcleo de <math>(x - \lambda_i I)^{m_i}</math>, es decir, el [[espacio propio generalizado]], y ''x'' estabiliza <math>V_i</math>, ó sea, <math>x \cdot V_i \subset V_i</math> para cada <math>i</math>. Ahora, se define <math>x_s : V \to V</math> de manera que, en cada <math>V_i</math>, sea el producto por el escalar <math>\lambda_i</math>. Se representa por una matriz diagonal en una base que respete la descomposición en suma directa{{refn|group="nota"|Escogiendo una base cuidadosamente en cada <math>V_i</math>, se puede poner <math>x</math> en forma canónica de Jordan. Entonces, <math>x_s, x_n</math> serían respectivamente las partes diagonal y de fuera de la diagonal de la forma canónica. Pero aquí esto no es necesario. }}; por lo tanto, es un endomorfismo semisimple. Puesto que <math>x - x_s : V_i \to V_i</math> es entonces <math>x - \lambda_i I : V_i \to V_i</math> cuya <math>m_i</math>-ésima potencia es cero, también tenemos que <math>x_n := x - x_s</math> es nilpotente, demostrando la existencia.
El hecho de que <math>x_s, x_n</math> son polinomios en <math>x</math> se deriva del [[teorema chino del resto]]. Llamemos <math>f(t) = \operatorname{det}(t I - x)</math> al [[polinomio característico]] de ''x''. <math>f</math> coincide con el producto de los polinomios característicos de las restricciones <math>x : V_i \to V_i</math> ; es decir, <math display="inline">f(t) = \prod_{i=1}^r (t - \lambda_i)^{d_i}, d_i = \dim V_i.</math> Además, <math>d_i \ge m_i</math> (porque, en general, una matriz nilpotente muere cuando se eleva al tamaño de la matriz). Aplicando el teorema chino del resto al anillo de polinomios <math>k[t]</math> obtenemos un polinomio <math>p(t)</math> que satisface las condiciones: 
<math>p(t) \equiv 0 \bmod t,\, p(t) \equiv \lambda_i \bmod (t - \lambda_i)^{d_i}</math> (para todo i).{{refn|group="nota"| Hay una redundancia en las condiciones si alguna <math>\lambda_i</math> es cero pero eso no es un problema; simplemente se puede eliminar de las condiciones. }}
La condición <math>p(t) \equiv \lambda_i \bmod (t - \lambda_i)^{d_i}</math> significa que <math>p(t) - \lambda_i = g_i(t) (t - \lambda_i)^{d_i}</math> para algún polinomio <math>g_i(t)</math> . Ya que <math>(x - \lambda_i I)^{d_i}</math> es el operador nulo en <math>V_i</math>, <math>p(x)</math> y <math>x_s</math> x_s coinciden en cada <math>V_i</math> ; es decir, <math>p(x) = x_s</math>. Entonces, <math>q(x) = x_n</math> con <math>q(t) = t - p(t)</math>. La condición <math>p(t) \equiv 0 \bmod t</math> asegura que <math>p(t)</math> y <math>q(t)</math> no tienen términos constantes. Esto completa la demostración en el caso de un cuerpo algebraicamente cerrado.

* Si ''k'' es ahora un cuerpo perfecto arbitrario, llamamos <math>\Gamma = \operatorname{Gal}\left(\overline{k}/k\right)</math> al grupo absoluto de Galois de ''k''. Por la primera parte, podemos elegir polinomios <math>p, q</math> sobre <math>\overline{k}</math> tales que <math>x = p(x) + q(x)</math> es la descomposición en la parte semisimple y nilpotente. Para cada <math>\sigma</math> en <math>\Gamma</math> , <math>x = \sigma(x) = \sigma(p(x)) + \sigma(q(x)) = p(x) + q(x).</math>
Ahora bien, <math>\sigma(p(x)) = \sigma(p)(x)</math> es un polinomio en ''x'', al igual que <math>\sigma(q(x))</math>. Por lo tanto, <math>\sigma(p(x))</math> y <math>\sigma(q(x))</math> conmutan. Asimismo, la aplicación <math>\sigma</math> evidentemente conserva la semisimplicidad y la nilpotencia. De este modo, por unicidad de la descomposición (sobre <math>\overline{k}</math>), <math>\sigma(p(x)) = p(x)</math> y <math>\sigma(q(x)) = q(x)</math>. Por eso <math>x_s = p(x), x_n = q(x)</math> son <math>\Gamma</math>-invariantes; es decir, son endomorfismos (representados por matrices) sobre ''k''. Finalmente, ya que <math>\left\{1, x, x^2, \dots\right\}</math> contiene una <math>\overline{k}</math>-base que genera el espacio que contiene a <math>x_s, x_n</math>, por el mismo argumento, también vemos que <math>p, q</math> tienen coeficientes en ''k'' . Esto completa la demostración. <math>\square</math>
|título=Demostración de existencia|plegada=no}}

=== Prueba corta usando álgebra abstracta ===
{{ Cita Harvard | Jacobson | 1979 }} demuestra la existencia de la descomposición como consecuencia del teorema principal de Wedderburn. Obtiene así una demostración más corta, y que muestra más claramente el rol que juega la perfección del cuerpo base.
{{Demostración |
Sea <math>V</math> un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo perfecto <math>k</math>, <math>x</math> un endomorfismo y <math>A</math> la subálgebra generada por <math>x</math>. Obsérvese que <math>A</math> es un [[anillo artiniano]] conmutativo. El '''teorema principal de Wedderburn''' establece: {{ teorema | 1=Para un álgebra <math>A</math> de dimensión finita con radical de Jacobson <math>J</math>, si <math>A/J</math> es separable, entonces <br>la sobreyección natural <math>p: A \to A/J</math> tiene inversa por la derecha; es decir, <math>A</math> contiene una <br>subálgebra semisimple <math>B</math> tal que <math>p|_B : B \overset{\sim} \to A/J</math> es un isomorfismo.<ref>{{Cita libro|url=https://books.google.com/books?id=ZKGq4IQHhHUC&q=wedderburn+principal+theorem&pg=PA143|título=Ring Theory|fecha=1972-04-18|isbn=9780080873572}}</ref> }}
En nuestro caso, <math>A/J</math> es separable ya que el cuerpo base es perfecto (por lo que el teorema es aplicable) y <math>J</math> es también el nilradical de <math>A</math>. Así, tenemos la descomposición en el espacio vectorial <math>A = B \oplus J</math>. En particular, el endomorfismo <math>x</math> se puede escribir como <math>x = x_s + x_n</math> donde <math>x_s</math> está en B y <math>x_n</math> en <math>J</math>. Ahora bien, la imagen de <math>x</math> genera <math>A/J = B</math>; por lo tanto <math>x_s</math> es semisimple y es un polinomio en x. Por último, <math>x_n</math> es nilpotente ya que <math>J</math> es nilpotente y es un polinomio en <math>x</math> ya que <math>x_s</math> es. 
}}

== Criterio de nilpotencia ==
La descomposición de Jordan se puede utilizar para caracterizar la nilpotencia de un endomorfismo. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, <math>E = \operatorname{End}_\mathbb{Q}(k)</math> el anillo de endomorfismos de k sobre los racionales y V un espacio vectorial de dimensión finita sobre k . Dado un endomorfismo <math>x : V \to V</math>, sea <math>x = s + n</math> su descomposición de Jordan. Entonces <math>s</math> es diagonalizable; es decir, <math>V = \bigoplus V_i</math> donde cada <math>V_i</math> es el espacio propio para el valor propio <math>\lambda_i</math> con multiplicidad <math>m_i</math>. Entonces para cualquier <math>\varphi \in E</math> definimos <math>\varphi(s)</math> como el endomorfismo tal que <math>\varphi(s) : V_i \to V_i</math> es el producto por <math>\varphi(\lambda_i)</math>. Chevalley llama a <math>\varphi(s)</math> la '''réplica''' de <math>s</math> dada por <math>\varphi</math>. Por ejemplo, si <math>k = \mathbb{C}</math>, el conjugado de un endomorfismo es un ejemplo de réplica. Se tiene:

{{teorema | 1=<math>x</math> es nilpotente (i.e., <math>s = 0</math>) si y solamente si <math>\operatorname{tr}(x\varphi(s)) = 0</math> para cualquier <math>\varphi \in E</math>. Además, en el caso <math>k = \mathbb{C}</math>, basta con que la condición se satisfaga para <math>\varphi</math> la conjugación compleja.
|2=Criterio de nilpotencia<ref>{{harvsp|Serre|loc=LA 5.17. Lemma 6.7.}}</ref> }}

== Notas ==
{{Listaref|group="nota"}}

== Referencias ==
{{Listaref}}

== Bibliografía ==
* {{citation|title=Théorie des groupes de Lie. Tome II. Groupes algébriques|last=Chevalley|first=Claude|publisher=Hermann|oclc=277477632|year=1951}}
* {{Fulton-Harris}}
* {{citation|title=Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces|last=Helgason|first=Sigurdur|publisher=Academic Press|isbn=0-8218-2848-7|year=1978}}
* {{citation|title=Linear Algebraic Groups|last=Humphreys|first=James E.|publisher=Springer|series=Graduate texts in mathematics|volume=21|isbn=0-387-90108-6|year=1981}}
* {{citation|title=Introduction to Lie Algebras and Representation Theory|last1=Humphreys|first1=James E.|url=https://archive.org/details/introductiontoli00jame|publisher=Springer|isbn=978-0-387-90053-7|year=1972|url-access=registration}}
* {{citation|title=Lie algebras|last1=Jacobson|first1=Nathan|author1-link=Nathan Jacobson|publisher=Dover|isbn=0-486-63832-4|year=1979|año-original=1962}}
* {{citation|title=Théorie des répliques. Critère de Cartan (Exposé No. 6)|last=Lazard|first=M.|url=http://www.numdam.org/numdam-bin/recherche?nci=SSL_1954-1955__1__A9_0&format=short|journal=Séminaire "Sophus Lie"|volume=1|year=1954|archive-url=https://archive.today/20130704093910/http://www.numdam.org/numdam-bin/recherche?nci=SSL_1954-1955__1__A9_0&format=short|archive-date=2013-07-04}}
* {{citation|title=Factor spaces of solvable groups|last=Mostow|first=G. D.|journal=Ann. of Math.|issue=1|volume=60|pages=1–27|doi=10.2307/1969700|year=1954|jstor=1969700}}
* {{citation|title=Strong rigidity of locally symmetric spaces|last=Mostow|first=G. D.|url=https://books.google.com/books?id=xT0SFmrFrWoC|publisher=Princeton University Press|series=Annals of Mathematics Studies|volume=78|isbn=0-691-08136-0|year=1973}}
* {{citation|title=Lie algebras and Lie groups: 1964 lectures given at Harvard University|last=Serre|first=Jean-Pierre|edition=2nd|publisher=Springer-Verlag|series=Lecture Notes in Mathematics|volume=1500|isbn=978-3-540-55008-2|year=1992}}
* {{citation|title=Lie groups, Lie algebras, and their representations|last=Varadarajan|first=V. S.|publisher=Springer-Verlag|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=102|isbn=0-387-90969-9|year=1984}}
* {{Citation|title=Introduction to affine group schemes|last1=Waterhouse|first1=William|author1-link=William_C._Waterhouse|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=66|isbn=978-0-387-90421-4|doi=10.1007/978-1-4612-6217-6|year=1979|mr=0547117}}

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