Ver el código de «Desigualdad matemática»

{{distinguir|inecuación}}
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En [[matemáticas]], una '''desigualdad''' es una [[relación de orden]] que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una [[igualdad matemática|igualdad]]).<ref name=":0">{{Cite web|url=https://www.mathsisfun.com/definitions/inequality.html|title=Inequality Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)|website=www.mathsisfun.com|access-date=2019-12-03}}</ref>

Si los valores en cuestión son elementos de un [[conjunto ordenado]], como los [[Numeros enteros|enteros]] o los [[Número real|reales]], entonces pueden ser comparados.
* La notación ''a'' < ''b'' significa ''a'' es '''[[Signo menos que|menor que]]''' ''b'';
* La notación ''a'' > ''b'' significa ''a'' es '''[[Signo mayor que|mayor que]]''' ''b''

Estas relaciones se conocen como '''desigualdades estrictas''', puesto que ''a'' no puede ser igual a ''b''; también puede leerse como «estrictamente menor que» o «estrictamente mayor que» 

* La notación ''a'' ≤ ''b'' significa ''a'' es '''menor o igual que''' ''b'';
* La notación ''a'' ≥ ''b'' significa ''a'' es '''mayor o igual que''' ''b'';
este tipo de desigualdades reciben el nombre de '''desigualdades amplias''' (o ''no estrictas'').

En las ciencias de la ingeniería, el uso menos formal de la notación es afirmar que una cantidad es «mucho mayor» que otra, normalmente en varios [[Orden de magnitud|órdenes de magnitud]].
* La notación ''a'' {{Unicode|≪}} ''b'' significa ''a'' es '''mucho menor que''' ''b'';<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/MuchLess.html|title=Much Less|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-03}}</ref>
* La notación ''a'' {{Unicode|≫}} ''b'' significa ''a'' es '''mucho mayor que''' ''b'';<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/MuchGreater.html|title=Much Greater|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-03}}</ref>  esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.<ref name="Polyanin2006">{{cite book | last1=Polyanin | first1=A.D. | last2=Manzhirov | first2=A.V. | title=Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists | publisher=CRC Press | year=2006 | isbn=978-1-4200-1051-0 | url=https://books.google.com/books?id=ge6nk9W0BCcC&pg=PR29 | access-date=2021-11-19 | page=29}}</ref>

* La notación ''a'' ≠ ''b'' significa que ''a'' '''no es igual''' a ''b''. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.<ref name=":1">{{Cite web|url=http://www.learnalberta.ca/content/memg/Division03/Inequality/index.html| title=Inequality| website=www.learnalberta.ca|access-date=2019-12-03}}</ref>

Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento '''mayor'''. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento '''menor'''.

La relación ''a'' '''no mayor que''' ''b'' también puede representarse con ''a'' ≯ ''b'', con el símbolo de «mayor que» cortado con una barra, «no». Lo mismo ocurre con ''a'' '''no menor que''' ''b'' y la notación ''a'' ≮ ''b''.

== Propiedades ==

Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades de transitividad, [[adición]], [[sustracción]], [[multiplicación]] y [[División (matemática)|división]], la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).
=== Inversa ===
Las relaciones ≤ y ≥ son entre sí [[Relación inversa|conversa]], lo que significa que para cualquier [[número real]] ''a'' y ''b'': ''a'' ≤ ''b'' y ''b'' ≥ ''a'' son equivalentes.

=== Transitividad ===

* Para [[números reales]] arbitrarios ''a'', ''b'' y ''c'':
:* Si ''a > b'' y ''b > c'' entonces ''a > c''.
:* Si ''a < b'' y ''b < c'' entonces ''a < c''.
:* Si ''a > b'' y ''b = c'' entonces ''a > c''.
:* Si ''a < b'' y ''b = c'' entonces ''a < c''.<ref>{{cite book |last1=Drachman |first1=Bryon C. |last2=Cloud |first2=Michael J. |title=Inequalities: With Applications to Engineering |date=2006 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=0-3872-2626-5 |pages=2–3 |url=https://books.google.com/books?id=sIbfBwAAQBAJ}}</ref>

=== Adición y sustracción ===
[[File:Translation invariance of less-than-relation.svg|thumb|300px|Si ''x'' < ''y'', entonces ''x'' + ''a'' < ''y'' + ''a''.]]
* Para [[números reales]] arbitrarios ''a'',''b'' y ''c'':

:* Si ''a < b'' entonces ''a + c < b + c'' y ''a − c < b − c''.
:* Si ''a > b'' entonces ''a + c > b + c'' y ''a − c > b − c''.

=== Multiplicación y división ===
[[File:Invariance of less-than-relation by multiplication with positive number.svg|thumb|Si ''x'' < ''y'' y ''a'' > 0, entonces ''ax'' < ''ay''.]]
[[File:Inversion of less-than-relation by multiplication with negative number.svg|thumb|Si ''x'' < ''y'' y ''a'' < 0, entonces ''ax'' > ''ay''.]]
* Para números reales arbitrarios ''a'' y ''b'', y ''c'' diferente de cero:

:* Si ''c'' es positivo y ''a < b'' entonces ''ac < bc'' y ''a/c < b/c''.
:* Si ''c'' es negativo y ''a < b'' entonces ''ac > bc'' y ''a/c > b/c''.

=== Opuesto ===
* Para números reales arbitrarios ''a'' y ''b'':

:* Si ''a < b'' entonces ''−a'' > ''−b''.
:* Si ''a > b'' entonces ''−a'' < ''−b''.

=== Recíproco ===
* Para números reales ''a'' y ''b'' distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:

:* Si ''a < b'' entonces ''1/a'' > ''1/b''.
:* Si ''a > b'' entonces ''1/a'' < ''1/b''.

* Si a y b son de distinto signo:

:* Si ''a < b'' entonces ''1/a'' < ''1/b''.
:* Si ''a > b'' entonces ''1/a'' > ''1/b''.

=== Función monótona ===

Al aplicar una [[función monótona]] creciente, a ambos lados, la desigualdad se mantiene. Si se aplica una función monótona decreciente, la desigualdad se invierte.
;Ejemplo:
:<math>a < b \Leftrightarrow e^a < e^b</math>
al aplicar la [[función exponencial]] a ambos miembros de la desigualdad, esta se mantiene.

=== Valor absoluto ===

Se puede definir el [[valor absoluto]] por medio de desigualdades:
:* <math>|a| \le b \iff -b \le a \le b</math>
:* <math>|a| \ge b \iff -b \ge a \vee a \ge b </math>
=== Aplicar una función a ambos lados ===
[[File:Log.svg|right|thumb|Grafo de ''y'' = ln ''x'']]
Cualquier [[función (matemática)|función]] creciente [[función (matemática)|monotónica]], por su definición,<ref>{{Cite web | url=http://www.cs.yale.edu/homes/aspnes/pinewiki/ProvingInequalities.html|title=ProvingInequalities | website=www.cs.yale.edu | access-date=2019-12-03}}</ref> puede aplicarse a ambos lados de una desigualdad sin romper la relación de desigualdad (siempre que ambas expresiones estén en el [[Dominio de una función|dominio]] de esa función). Sin embargo, aplicar una función monotónicamente decreciente a ambos lados de una desigualdad significa que la relación de desigualdad se invertiría. Las reglas de la inversa aditiva y la inversa multiplicativa para números positivos son ejemplos de aplicación de una función monótonamente decreciente.

Si la desigualdad es estricta (''a'' < ''b'', ''a'' > ''b'') ''y'' la función es estrictamente monótona, entonces la desigualdad sigue siendo estricta. Si sólo una de estas condiciones es estricta, la desigualdad resultante no lo es. De hecho, las reglas de inversión aditiva y multiplicativa son ejemplos de aplicación de una función ''estrictamente'' monótona decreciente.

Algunos ejemplos de esta regla son: 
* Elevar ambos lados de una desigualdad a una potencia ''n'' > 0 (equiv., -''n'' < 0), cuando ''a'' y ''b'' son números reales positivos:
* 0 ≤ ''a'' ≤ ''b'' ⇔ 0 ≤ ''a<sup>n</sup>'' ≤ ''b<sup>n</sup>''.
* 0 ≤ ''a'' ≤ ''b'' ⇔ ''a''<sup>−''n''</sup> ≥ ''b''<sup>−''n''</sup> ≥ 0.
* Tomando el [[logaritmo natural]] en ambos lados de una desigualdad, cuando ''a'' y ''b'' son números reales positivos: 
* 0 < ''a'' ≤ ''b'' ⇔ ln(''a'') ≤ ln(''b'').
* 0 < ''a'' < ''b'' ⇔ ln(''a'') < ln(''b'').
(esto es cierto porque el logaritmo natural es una función estrictamente creciente).

== Definiciones formales y generalizaciones ==
Un '''orden parcial''' (no estricto) es una [[relación binaria]] ≤ sobre un [[Conjunto (matemáticas)|conjunto]] ''P'' que es [[Relación reflexiva|reflexiva]], [[Relación antisimétrica|antisimétrica]], y [[Relación transitiva|transitiva]].<ref>{{cite book|title=Herramientas matemáticas para la minería de datos: Set Theory, Partial Orders, Combinatorics|author1=Simovici, Dan A.|author2=Djeraba, Chabane|publisher=Springer|year=2008|isbn=9781848002012|chapter=Conjuntos parcialmente ordenados|chapter-url=https://books. google.com/books?id=6i-F3ZNcub4C&pg=PA127|name-list-style=}}</ref> Es decir, para todo ''a'', ''b'', y ''c'' en ''P'', debe satisfacer las tres cláusulas siguientes:

# ''a'' ≤ ''a'' ([[Relación reflexiva|reflexividad]])
# si ''a'' ≤ ''b'' y ''b'' ≤ ''a'', entonces ''a'' = ''b'' ([[Relación antisimétrica|antisimetría]])
# si ''a'' ≤ ''b'' y ''b'' ≤ ''c'', entonces ''a'' ≤ ''c'' ([[Relación transitiva|transitividad]])

Un conjunto con un orden parcial se denomina '''[[conjunto parcialmente ordenado]]'''.<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/PartiallyOrderedSet.html|title=Conjunto Parcialmente Ordenado|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-03}}</ref> Esos son los axiomas muy básicos que todo tipo de orden tiene que satisfacer. Otros axiomas que existen para otras definiciones de órdenes sobre un conjunto ''P'' incluyen:

# Para todo ''a'' y ''b'' en ''P'', ''a'' ≤ ''b'' o ''b'' ≤ ''a'' ([[orden total]]).
# Para todo ''a'' y ''b'' en ''P'' para el cual ''a'' < ''b'', hay un ''c'' en ''P'' tal que ''a'' < ''c'' < ''b'' ([[orden denso]]).
# Todo [[Conjunto|subconjunto]] no vacío de ''P'' con un [[límite superior]] tiene un [[Elemento supremo e ínfimo| límite superior mínimo]] (supremum) en ''P'' ([[propiedad del límite superior mínimo]]).

=== Cuerpo ordenado ===

Si (''F'', +, &times;) es un [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] y ≤ es un [[orden total]] sobre ''F'', entonces (''F'', +, &times;, ≤) es un ''cuerpo ordenado'' si y solo si:

* ''a'' ≤ ''b'' implica ''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c'';
* 0 ≤ ''a'' y 0 ≤ ''b'' implica 0 ≤ ''a'' &times; ''b''.

Los cuerpos ('''Q''', +, &times;, ≤) y ('''R''', +, &times;, ≤) son ejemplos comunes de cuerpo ordenado, pero ≤ no puede definirse en los [[Número complejo|complejos]] para hacer de ('''C''', +, &times;, ≤) un cuerpo ordenado. 

Las desigualdades en sentido amplio ≤ y ≥ sobre los números reales son [[Relación de orden|relaciones de orden total]], mientras que las desigualdades estrictas < y > sobre los números reales son relaciones de orden estricto.

== Notación encadenada ==

La notación '''a < b < c''' establece que a < b (a menor que b) y que b < c (b menor que c) y aplicando la propiedad transitiva anteriormente citada, puede deducirse que a < c (a menor que c). Obviamente, aplicando las leyes anteriores, puede sumarse o restarse el mismo número real a los tres términos, así como multiplicarlos o dividirlos todos por el mismo número (distinto de cero) invirtiendo las inecuaciones según su signo. Así, ''a < b + e < c'' es equivalente a ''a - e < b < c - e''.

Esta notación se puede extender a cualquier número de términos: por ejemplo, '''a<sub>1</sub> ≤ a<sub>2</sub> ≤ ... ≤ a<sub>n</sub>''' establece que a<sub>i</sub> ≤ a<sub>i+1</sub> para i = 1, 2, ..., n−1. Según la propiedad transitiva, esta condición es equivalente a ''a<sub>i</sub> ≤ a<sub>j</sub>'' para cualesquiera ''1 ≤ i ≤ j ≤ n''.

Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con inecuaciones en diferentes direcciones. En ese caso el significado es la [[conjunción lógica]] de las desigualdades entre los términos adyacentes. Por ejemplo:
: a < b = c ≤ d 
significa que a < b, b = c, y c ≤ d (y por transitividad: a < d). Esta notación es utilizada en algunos [[lenguajes de programación]] tales como [[Python]]..<ref>{{cite book | isbn=0131103628 | author=Brian W. Kernighan and Dennis M. Ritchie | title=The C Programming Language | edition=2nd | location=Englewood Cliffs/NJ | publisher=Prentice Hall | series=Prentice Hall Software Series | date=Apr 1988 }} Here: Sect.A.7.9 ''Relational Operators'', p.167: Quote: "a<b<c is parsed as (a<b)<c"</ref>

==Desigualdades agudas==

Se dice que una desigualdad es ''aguda'' si no puede ser ''relajada'' y seguir siendo válida en general. Formalmente, una desigualdad [[Cuantificador universal| universalmente cuantificada]] ''φ'' se llama aguda si, para cada desigualdad válida universalmente cuantificada ''ψ'', si {{nowrap|''ψ''' [[condicional material|⇒]] ''φ''}} tiene, entonces {{nowrap|''ψ''' [[equivalencia (lógica)|⇔]] ''φ''}} también se cumple. Por ejemplo, la desigualdad {{nowrap|[[cuantificación universal|∀]]''a'' ∈ [[número real|'''R'']]. ''a''<sup>2</sup> ≥ 0}} es aguda, mientras que la desigualdad {{nowrap|∀''a'' ∈ '''R''''. ''a''<sup>2</sup> ≥ -1}} no es aguda.
== Desigualdades entre medias ==
{{vt|Desigualdad de las medias aritmética y geométrica}}

Las distintas [[Media (matemáticas)|medias]] pueden relacionarse utilizando desigualdades. Por ejemplo, para números positivos ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, …, ''a''<sub>''n''</sub>, si
:{| style="height:200px"
|-
|<math>H = \frac{n}{1/a_1 + 1/a_2 + \cdots + 1/a_n}</math> &emsp; || ([[Media armónica]]),
|-
|<math>G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n} </math> || ([[Media geométrica]]),
|-
|<math>A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}</math> || ([[Media aritmética]]),
|-
|<math>Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}</math> || ([[Media cuadrática]]),
|}
entonces: <math>H \le G \le A \le Q </math>.

==Desigualdad de Cauchy-Schwarz==
{{véase también|Desigualdad de Cauchy-Schwarz}}
La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para todos los vectores ''u'' y ''v'' de un [[espacio de producto interior]] se cumple que:
<math display="block">|\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle| ^2 \leq \langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle \cdot \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle,</math>

donde <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> es el [[producto interior]]. Ejemplos de productos internos incluyen el [[producto punto]] real y el [[producto punto]] complejo; En el [[espacio euclídeo]] ''R''<sup>''n''</sup> con el producto interno estándar, la desigualdad de Cauchy-Schwarz es

<math display="block">\left(\sum_{i=1}^n u_i v_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n u_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right).</math>
== Desigualdades de poder ==
Una desigualdad de potencia es una desigualdad que contiene términos de la forma ''a''<sup>''b''</sup>, donde ''a'' y ''b'' son números reales positivos o expresiones variables. Suelen aparecer en ejercicios de [[Olimpiada Internacional de Matemática| olimpiadas matemáticas]].
===Ejemplos===

* Para cualquier real ''x'',<math display="block">e^x \ge 1+x.</math>
* Si ''x'' > 0 y ''p'' > 0, entonces <math display="block">\frac{x^p - 1}{p} \ge \ln(x) \ge \frac{1 - \frac{1}{x^p}}{p}.</math> En el límite de ''p'' → 0, los límites superior e inferior convergen a ln(''x''). 
* Si ''x'' > 0, entonces <math display="block">x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^\frac{1}{e}.</math>
* Si ''x'' > 0, entonces <math display="block">x^{x^x} \ge x.</math>
* Si ''x'', ''y'', ''z'' > 0, entonces <math display="block">\left(x+y\right)^z + \left(x+z\right)^y + \left(y+z\right)^x > 2.</math>
* Para cualesquiera números reales distintos ''a'' y ''b'', <math display="block">\frac{e^b-e^a}{b-a} > e^{(a+b)/2}.</math>
* Si ''x'', ''y'' > 0 y 0 < ''p'' < 1, entonces <math display="block">x^p+y^p > \left(x+y\right)^p.</math>
* Si ''x'', ''y'', ''z'' > 0, entonces <math display="block">x^x y^y z^z \ge \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.</math>
* Si ''a'', ''b'' > 0, entonces <math display="block">a^a + b^b \ge a^b + b^a.</math> <ref>{{Cite journal |jstor = 2324012|last1 = Laub|first1 = M.|last2 = Ilani|first2 = Ishai|title = E3116|journal = The American Mathematical Monthly|year = 1990|volume = 97|issue = 1|pages = 65–67|doi = 10.2307/2324012}}</ref>
* Si ''a'', ''b'' > 0, entonces <math display="block">a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}.</math><ref>{{cite journal|first=S.|last=Manyama|title=Solution of One Conjecture on Inequalities with Power-Exponential Functions|journal=Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications|url=https://ajmaa.org/searchroot/files/pdf/v7n2/v7i2p1.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://ajmaa.org/searchroot/files/pdf/v7n2/v7i2p1.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=|volume=7|issue=2|page=1|date=2010}}</ref>
* Si ''a'', ''b'', ''c'' > 0, entonces <math display="block">a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}.</math>
* Si ''a'', ''b'' > 0, entonces <math display="block">a^b + b^a > 1.</math>

== Véase también ==
* [[Desigualdad lineal]]
* [[Inecuación]]
* [[Programación lineal]]
* [[Teoría del orden]]
* [[:Categoría:Desigualdades]] (para una lista de desigualdades conocidas)

==Referencias==
{{Listaref}}

== Bibliografía ==
* Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). ''Inequalities'', Cambridge Mathematical Library, [[Cambridge University Press]]. ISBN 0-521-05206-8.
* Beckenbach, E.F., Bellman, R. (1975). ''Introduction to Inequalities'', Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2.
* Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). ''Inequalities: With Applications to Engineering'', Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.
* [[Aurelio Baldor]], (1975) ''[[Álgebra de Baldor]]'', Edime organización gráfica S.S. Madrid. ISBN 84-399-0259-X
* {{Citation | last1=Grinshpan | first1=A. Z. | title=General inequalities, consequences, and applications | doi=10.1016/j.aam.2004.05.001 | year=2005 | 
journal=Advances in Applied Mathematics | volume=34 | issue=1 | pages=71–100 | doi-access= }}
* {{cite journal |title='Quickie' inequalities |author=Murray S. Klamkin |url=https://www.math.ualberta.ca/pi/issue7/page26-29.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.math.ualberta.ca/pi/issue7/page26-29.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status= |journal=Math Strategies}}
* {{cite web |title=Introduction to Inequalities |url=http://www.mediafire.com/file/1mw1tkgozzu |author=Arthur Lohwater |year=1982 |publisher=Online e-book in PDF format}}
* {{cite web |title=Mathematical Problem Solving |url=http://www.math.kth.se/math/TOPS/index.html |author=Harold Shapiro |date=2005 |publisher=Kungliga Tekniska högskolan |work=The Old Problem Seminar}}
* {{cite web |title=3rd USAMO |url=http://www.kalva.demon.co.uk/usa/usa74.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20080203070350/http://www.kalva.demon.co.uk/usa/usa74.html |archive-date=2008-02-03 |url-status= }}
* {{cite book
 | last = Pachpatte
 | first = B. G.
 | title = Mathematical Inequalities
 | publisher = [[Elsevier]]
 | series = North-Holland Mathematical Library
 | volume = 67
 | edition = first
 | year = 2005
 | location = Amsterdam, The Netherlands
 | isbn = 0-444-51795-2
 | issn = 0924-6509
 | mr = 2147066
 | zbl = 1091.26008}}
* {{cite book | author=Ehrgott, Matthias| title=Multicriteria Optimization| publisher=Springer-Berlin| year=2005| isbn=3-540-21398-8}}
* {{cite book | last=Steele | first=J. Michael | author-link=J. Michael Steele | title=The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities | publisher=Cambridge University Press | year=2004 | isbn=978-0-521-54677-5 | url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html}}

== Enlaces externos ==
* {{Traducido ref|en|Inequality (mathematics)|trad=parcial}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Desigualdades| ]]
[[Categoría:Álgebra elemental]]