Ver el código de «Diagrama de Coxeter-Dynkin»

[[Image:Finite coxeter.svg|400px|right|thumb|Diagramas de Coxeter-Dynkin para los grupos fundamentales finitos de Coxeter]]
[[File:Affine coxeter.svg|400px|right|thumb|Diagramas de Coxeter-Dynkin para los grupos afines fundamentales de Coxeter]]

En [[geometría]], un '''diagrama de Coxeter-Dynkin''' (también '''diagrama de Coxeter''' o '''gráfico de Coxeter''') es un [[grafo]] con enlaces etiquetados s (o [[hiperplano]]s reflectores). Describe una constru[[Caleidoscopio|caleidoscópica]]: ca dominio de una [[Faceta (geometría)|faceta]]) y la etiqueta ligada a una rama codifica el orden del [[ángulo diedro]] entre cada dos espejos (en un dominio de una [[Cara (geometría)|cara]]), es decir, la cantidad por la que se tiene que multiplicar el ángulo entre los planos reflectantes para obtener 180 grados. Una rama sin etiquetar representa implícitamente el orden 3 (60 grados).

Cada diagrama representa un [[grupo de Coxeter]], que se clasifican por sus diagramas asociados.

Los [[Diagrama de Dynkin|diagramas de Dynkin]] son objetos estrechamente relacionados, que difieren de los diagramas de Coxeter en dos aspectos: en primer lugar, las ramas etiquetadas como "4" o mayores están [[Grafo dirigido|dirigidas]], mientras que los diagramas de Coxeter son [[Grafo|no dirigidos]]; en segundo lugar, los diagramas de Dynkin deben satisfacer una restricción adicional (la [[Teorema de restricción cristalográfica|restricción cristalográfica]]), a saber, que las únicas etiquetas de rama permitidas son 2, 3, 4 y 6. Los diagramas de Dynkin guardan una correspondencia directa con los [[sistemas raíz]], por lo que se usan para clasificarlos. Esto implica a su vez que forman [[álgebra de Lie semisimple|álgebras de Lie semisimples]].<ref>{{citation |first=Brian C. |last=Hall |title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction |publisher=Springer |year=2003 |isbn=978-0-387-40122-5}}</ref>

== Descripción ==
Las ramas de un diagrama de Coxeter-Dynkin están etiquetadas con un [[número racional]] ''p'', que representa un [[ángulo diedro]] de 180°/''p''. Cuando {{math|''p'' {{=}} 2}} el ángulo es de 90° y los espejos no tienen interacción, entonces la rama puede omitirse del diagrama. Si una rama no está etiquetada, se supone que tiene {{math|''p'' {{=}} 3}}, que representa un ángulo de 60°. Dos espejos paralelos tienen una rama marcada con "&infin;". En principio, los ''n'' espejos pueden representarse mediante un [[grafo completo]] en el que se dibujan todas las {{math|''n''(''n'' − 1) / 2}} ramas. En la práctica, casi todas las configuraciones interesantes de los espejos incluyen varios ángulos rectos, por lo que debe tenerse en cuenta que las ramas correspondientes se omiten.

Los diagramas se pueden etiquetar por su estructura gráfica. Las primeras formas estudiadas por [[Ludwig Schläfli]] son los [[ortoesquema de Schläfli|'''ortoesquemas''']], que poseen gráficos lineales que generan [[politopo regular|politopos regulares]] y [[panal regular|panales regulares]]. Los '''plagioesquemas''' son [[símplex]] representados por gráficos ramificados, y los '''cicloesquemas''' son símplex representados por gráficos cíclicos.

== Matriz de Schläfli ==
Cada diagrama de Coxeter tiene su correspondiente '''matriz de Schläfli''' (llamada así por [[Ludwig Schläfli]]), con elementos de matriz {{math|''a<sub>i,j</sub>'' {{=}} ''a<sub>j,i</sub>'' {{=}} −2cos (''π'' / ''p'')}}, donde ''p'' es el orden de las ramas entre los pares de espejos. Al igual que una ''matriz de cosenos'', también se denomina ''[[matriz de Gram]]'', en referencia al matemático danés [[Jørgen Pedersen Gram]] (1850-1916). Todas las matrices de Schläfli del [[grupo de Coxeter]] son simétricas porque sus vectores raíz están normalizados. Se relaciona estrechamente con la [[matriz de Cartan]], utilizada en los [[Diagrama de Dynkin|diagramas de Dynkin]], gráficos similares (aunque dirigidos) en los casos limitados a p = 2,3,4 y 6, que NO son simétricos en general.

El determinante de la matriz de Schläfli (llamado '''schläfliano''') y su signo determinan si el grupo es finito (positivo), afín (cero), o indefinido (negativo). Esta regla se llama '''criterio de Schläfli'''.<ref>Coxeter, [[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]'', (3rd edition, 1973), Dover edition, {{ISBN|0-486-61480-8}}, Sec 7.7. page 133, ''Schläfli's Criterion''</ref>

Los [[vector propio y valor propio|autovalores]] de la matriz de Schläfli determinan si un grupo de Coxeter es de ''tipo finito'' (todo positivo), ''tipo afín'' (todo no negativo, y al menos uno es cero) o ''tipo indefinido'' (de otra manera). El tipo indefinido a veces se subdivide aún más, en hiperbólicos y otros grupos de Coxeter. Sin embargo, existen múltiples definiciones no equivalentes para los grupos hiperbólicos de Coxeter. Se usa la siguiente definición: un grupo de Coxeter con diagrama conectado es ''hiperbólico'' si no es de tipo finito ni afín, pero cada subdiagrama conectado es de tipo finito o afín. Un grupo de Coxeter hiperbólico es '''compacto''' si todos los subgrupos son finitos (es decir, tienen determinantes positivos) y '''paracompacto''' si todos sus subgrupos son finitos o afines (es decir, tienen determinantes no negativos).

Los grupos finitos y afines también se denominan ''elípticos'' y ''parabólicos'' respectivamente. Los grupos hiperbólicos también se llaman grupos de Lannér, en referencia a F. Lannér, que enumeró los grupos hiperbólicos compactos en 1950,<ref>Lannér F., ''On complexes with transitive groups of automorphisms'', Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. [Comm. Sem. Math. Univ. Lund], 11 (1950), 1–71</ref> y también grupos de Koszul (o cuasi-Lannér) para los grupos paracompactos.

=== Grupos de Coxeter de rango 2 ===
Para el rango 2, el tipo de un grupo Coxeter está completamente fijado por el determinante de la matriz de Schläfli, ya que es simplemente el producto de sus valores propios: tipo finito (determinante positivo), tipo afín (determinante cero) o hiperbólico (determinante negativo). Coxeter usa una [[notación de Coxeter|notación de corchetes]] equivalente, que enumera las secuencias de órdenes de ramas como un sustituto de los diagramas gráficos de ramas y nodos. También existen soluciones racionales [p/q], {{DCD|node|p|rat|q|node}}, con [[máximo común divisor]] (p, q) = 1, que definen dominios fundamentales superpuestos. Por ejemplo, 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4. y 6/5.
{| class=wikitable
!Tipo
!colspan=5|Finito
!Afín
!colspan=2|Hiperbólico
|- align=center
!Geometría
|[[File:Dihedral_symmetry_domains_1.png|80px]]
|[[File:Dihedral_symmetry_domains_2.png|80px]]
|[[File:Dihedral_symmetry_domains_3.png|80px]]
|[[File:Dihedral_symmetry_domains_4.png|80px]]
|...
|[[File:Dihedral_symmetry_domains_infinity.png|80px]]
|[[File:Horocycle_mirrors.png|80px]]
|[[File:Dihedral_symmetry_ultra.png|80px]]
|- align=center
!Coxeter
|{{DCD|node_c1}}<br />[ ]
|{{DCD|node_c1|2|node_c3}}<br />[2]
|{{DCD|node_c1|3|node_c1}}<br />[3]
|{{DCD|node_c1|4|node_c3}}<br />[4]
|{{DCD|node|p|node}}<br />[p]
|{{DCD|node_c1|infin|node_c3}}<br />[&infin;]
|{{DCD|node_c2|infin|node_c3}}<br />[&infin;]
|{{DCD|node_c2|ultra|node_c3}}<br />[i&pi;/&lambda;]
|-
![[Orden (teoría de grupos)|Orden]]
!2
!4
!6
!8
!2''p''
!colspan=3|&infin;
|- align=center
|colspan=9 style="font-size:85%; line-height:125%;"|Los ejes de simetría especular están coloreados para corresponder con los nodos del diagrama de Coxeter.<br />Los dominios fundamentales están coloreados alternativamente
|}
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="width:720px;"
!colspan=8| Diagramas de grupos de Coxeter de rango 2
|-
!rowspan=2|[[Orden (teoría de grupos)|Orden]]<br />''p''
!rowspan=2|Grupo
!rowspan=2 colspan=2|Diagrama de Coxeter
!colspan=2|Matriz de Schläfli
|-
!<math>\left [\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}\right ]</math>
!Determinante<br />(4-a<sub>21</sub>*a<sub>12</sub>)
|- align=center
!colspan=7|[[Diagrama de Dynkin|Finito]] (Determinante>0)

|- align=center
!2
!I<sub>2</sub>(2) = A<sub>1</sub>xA<sub>1</sub>
|{{DCD|node|2|node}}||[2]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|4

|- align=center
!3
!I<sub>2</sub>(3) = A<sub>2</sub>
|{{DCD|node|3|node}}||[3]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|rowspan=2|3

|- align=center
!3/2
!
|{{DCD|node|3x|rat|2x|node}}||[3/2]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}\right ]</math>

|- align=center
!4
!I<sub>2</sub>(4) = B<sub>2</sub>
|{{DCD|node|4|node}}||[4]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{2}\\-\sqrt{2}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|rowspan=2|2
|- align=center
!4/3
!
|{{DCD|node|4|rat|3x|node}}||[4/3]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&\sqrt{2}\\\sqrt{2}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>

|- align=center
!5
!I<sub>2</sub>(5) = H<sub>2</sub>
|{{DCD|node|5|node}}||[5]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\phi\\-\phi&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|rowspan=2|<math>(5-\sqrt{5})/2</math><br />~1.38196601125
|- align=center
!5/4
!
|{{DCD|node|5|rat|4|node}}||[5/4]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&\phi\\\phi&2\end{smallmatrix}\right ]</math>

|- align=center
!5/2
!
|{{DCD|node|5-2|node}}||[5/2]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&1-\phi\\1-\phi&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|rowspan=2|<math>(5+\sqrt{5})/2</math><br />~3.61803398875
|- align=center
!5/3
!
|{{DCD|node|5-3|node}}||[5/3]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&\phi-1\\\phi-1&2\end{smallmatrix}\right ]</math>

|- align=center
!6
!I<sub>2</sub>(6) = G<sub>2</sub>
|{{DCD|node|6|node}}||[6]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{3}\\-\sqrt{3}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|rowspan=2|1
|- align=center
!6/5
!
|{{DCD|node|6|rat|5|node}}||[6/5]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&\sqrt{3}\\\sqrt{3}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>

|- align=center
!8
!I<sub>2</sub>(8)
|{{DCD|node|8|node}}||[8]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{2+\sqrt2}\\-\sqrt{2+\sqrt2}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>2-\sqrt{2}</math><br />~0.58578643763
|- align=center
!10
!I<sub>2</sub>(10)
|{{DCD|node|10|node}}||[10]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{(5+\sqrt5)/2}\\-\sqrt{(5+\sqrt5)/2}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>(3-\sqrt{5})/2</math>

~0.38196601125
|- align=center
!12
!I<sub>2</sub>(12)
|{{DCD|node|12|node}}||[12]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{2+\sqrt3}\\-\sqrt{2+\sqrt3}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>2-\sqrt{3}</math><br />
~0.26794919243
|- align=center
!''p''
!I<sub>2</sub>(p)
|{{DCD|node|p|node}}||[p]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/p)\\-2\cos(\pi/p)&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>4\sin^2(\pi/p)</math>
|- align=center
!colspan=6|[[Diagrama de Dynkin|Afín]] (Determinante=0)
|- align=center
!∞
!I<sub>2</sub>(∞) = <math>{\tilde{I}}_1</math> = <math>{\tilde{A}}_1</math>
|{{DCD|node|infin|node}}||[&infin;]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|0
|- align=center
!colspan=6|Hiperbólico (Determinante≤0)
|- align=center
!∞
!
|{{DCD|node|infin|node}}||[&infin;]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|0
|- align=center
!∞
!
|{{DCD|node|ultra|node}}||[i&pi;/&lambda;]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2cosh(2\lambda)\\-2cosh(2\lambda)&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>-4\sinh^2(2\lambda) \le 0</math>
|}

=== Visualizaciones geométricas ===
El diagrama de Coxeter-Dynkin puede verse como una descripción gráfica del [[dominio fundamental]] de los espejos. Un espejo representa un [[hiperplano]] dentro de un espacio euclídeo, esférico o hiperbólico de una dimensión dada. En espacios 2D, un espejo es una recta, y en 3D un espejo es un plano.

Estas visualizaciones muestran los dominios fundamentales para grupos euclídeos 2D y 3D, y grupos esféricos 2D. Para cada uno, el diagrama de Coxeter puede deducirse identificando los espejos del hiperplano y etiquetando su conectividad, ignorando los ángulos diédricos de 90 grados (orden 2).

{| class="wikitable" style="width:720px; font-size:85%; line-height:125%;"
|colspan=2|[[Image:Coxeter-dynkin plane groups es.png|720px|center]]<br />Grupos de Coxeter en el plano euclídeo con sus diagramas equivalentes. Las reflexiones se etiquetan como nodos gráficos ''R''1, ''R''2, etc. y se colorean por su orden de reflexión. Las reflexiones a 90 grados están inactivas y, por lo tanto, se suprimen del diagrama. Las simetrías especulares paralelas están conectadas por una rama etiquetada con ∞. El grupo prismático <math>{\tilde{I}}_1</math>x<math>{\tilde{I}}_1</math> se muestra como una duplicación de <math>{\tilde{C}}_2</math>, pero también se puede crear en forma de dominios rectangulares al duplicar los triángulos <math>{\tilde{G}}_2</math>. <math>{\tilde{A}}_2</math> es una duplicación del triángulo <math>{\tilde{G}}_2</math>.
|- valign=top
|colspan=2|[[File:Hyperbolic kaleidoscopes es.png|720px|center]]<br />Muchos grupos de Coxeter en [[geometría hiperbólica]] pueden extenderse de los casos euclídeos como una serie de soluciones hiperbólicas.
|- valign=top
|[[Image:Coxeter-Dynkin 3-space groups es.png|x220px|center]]<br />Grupos de Coxeter en el espacio 3d con sus diagramas. Los espejos (caras triangulares) están etiquetados por el vértice opuesto 0..3. Las ramas se colorean por su orden de reflexión.<br /><math>{\tilde{C}}_3</math> llena 1/48 del cubo. <math>{\tilde{B}}_3</math> llena 1/24 del cubo. <math>{\tilde{A}}_3</math> llena 1/12 del cubo.
|[[Image:Coxeter-Dynkin sphere groups es.png|x220px|center]]<br />Grupos de Coxeter en la esfera, con sus diagramas equivalentes. El dominio fundamental se describe en amarillo. Los vértices del dominio (y las ramas del gráfico) están coloreados por su orden de reflexión.
|}

== Grupos de Coxeter finitos ==
: Véase también [[familias de politopos]] para obtener una tabla de los politopos uniformes de nodo final asociados con estos grupos.
* Se utilizan indistintamente tres simbologías diferentes para definir los mismos grupos: como una letra/número, como un conjunto de números entre corchetes y como el diagrama de Coxeter.
* Los grupos D<sub>''n''</sub> bifurcados son versiones ''semi'' o ''alternadas'' de los grupos C<sub>''n''</sub> regulares.
* Los grupos bifurcados D<sub>''n''</sub> y E<sub>''n''</sub> también están etiquetados con un superíndice [3<sup>''a'',''b'',''c''</sup>] donde ''a'', ''b'', y ''c'' son los números de segmentos en cada una de las tres ramas.

{| class="wikitable"
|+ Diagramas de Coxeter-Dynkin finitos conectados (rangos de 1 a 9)
|- align=center
!rowspan=2|Rank
!colspan=3|[[Grupo de Lie simple|Grupos de Lie simples]]
!colspan=3|[[Grupo de Lie excepcional|Grupos de Lie excepcionales]]
!colspan=2|&nbsp;
|-
!height=35|<math>{A}_{1+}</math>
!<math>{B}_{2+}</math>
!<math>{D}_{2+}</math>
![[En (Lie algebra)|<math>{E}_{3-8}</math>]]
![[F4 (mathematics)|<math>{F}_{3-4}</math>]]
![[G2 (mathematics)|<math>{G}_{2}</math>]]
!<math>{H}_{2-4}</math>
!<math>{I}_{2}(p)</math>
|- align=center
!1
|A<sub>1</sub>=[ ]<br />{{DCD|node}}
|colspan=7|&nbsp;
|- align=center
!2
|A<sub>2</sub>=[3]<br />{{DCD|node|3|node}}
|B<sub>2</sub>=[4]<br />{{DCD|node|4|node}}
|D<sub>2</sub>=A<sub>1</sub>A<sub>1</sub><br />{{DCD|nodes}}
|colspan=2|&nbsp;
|G<sub>2</sub>=[6]<br />{{DCD|node|6|node}}
|H<sub>2</sub>=[5]<br />{{DCD|node|5|node}}
|I<sub>2</sub>[p]<br />{{DCD|node|p|node}}
|- align=center
!3
|A<sub>3</sub>=[3<sup>2</sup>]<br />{{DCD|node|3|node|3|node}}
|B<sub>3</sub>=[3,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node}}
|D<sub>3</sub>=A<sub>3</sub><br />{{DCD|nodes|split2|node}}
|E<sub>3</sub>=A<sub>2</sub>A<sub>1</sub><br />{{DCD|nodea|3a|nodea}}&nbsp;{{DCD|nodeb}}
|F<sub>3</sub>=B<sub>3</sub><br />{{DCD|node|3|node|4|node}}
|rowspan=8|
|H<sub>3</sub>&nbsp;<br />{{DCD|node|5|node|3|node}}
|rowspan=8|
|- align=center
!4
|A<sub>4</sub>=[3<sup>3</sup>]<br />{{DCD|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>4</sub>=[3<sup>2</sup>,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node}}
|D<sub>4</sub>=[3<sup>1,1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node}}
|E<sub>4</sub>=A<sub>4</sub><br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
|F<sub>4</sub><br />{{DCD|node|3|node|4|node|3|node}}
|H<sub>4</sub>&nbsp;<br />{{DCD|node|5|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!5
|A<sub>5</sub>=[3<sup>4</sup>]<br />{{DCD|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>5</sub>=[3<sup>3</sup>,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>5</sub>=[3<sup>2,1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node}}
|E<sub>5</sub>=D<sub>5</sub><br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}
|rowspan=6|&nbsp;
|rowspan=6|&nbsp;
|- align=center
!6
|A<sub>6</sub>=[3<sup>5</sup>]<br />{{DCD|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>6</sub>=[3<sup>4</sup>,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>6</sub>=[3<sup>3,1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>6</sub>=[3<sup>2,2,1</sup>]<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center
!7
|A<sub>7</sub>=[3<sup>6</sup>]<br />{{DCD|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>7</sub>=[3<sup>5</sup>,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>7</sub>=[3<sup>4,1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>7</sub>=[3<sup>3,2,1</sup>]<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center
!8
|A<sub>8</sub>=[3<sup>7</sup>]<br />{{DCD|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>8</sub>=[3<sup>6</sup>,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>8</sub>=[3<sup>5,1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>8</sub>=[3<sup>4,2,1</sup>]<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center
!9
|A<sub>9</sub>=[3<sup>8</sup>]<br />{{DCD|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>9</sub>=[3<sup>7</sup>,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>9</sub>=[3<sup>6,1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|rowspan|&nbsp;
|- align=center
!10+
|..
|..
|..
|..
|}

== Aplicación con politopos uniformes ==
{| class="wikitable floatright" width=480 style="font-size:85%; line-height:125%; background:Azure;"
|- valign=top style="background:White;"
|[[File:Coxeter node markup1.svg|200px|center]]
|[[File:Kaleidoscopic_construction_of_square_es.png|240px|center]]
|-valign=top
||Al construir politopos uniformes, los nodos se marcan como "activos" mediante un anillo si un punto generador está fuera del espejo, creando una nueva arista entre un punto generador y su imagen reflejada. Un nodo sin anillo representa un espejo "inactivo", que no genera puntos nuevos.
||Se pueden usar dos espejos ortogonales para generar un cuadrado, {{DCD|node_1|2|node_1}}, visto aquí con un punto generador rojo y 3 copias virtuales a través de los espejos. El generador tiene que estar fuera de ambos espejos en este caso ortogonal para generar un interior. El marcado del anillo supone que los anillos activos tienen generadores a la misma distancia de todos los espejos, mientras que un [[rectángulo]] también puede representar una solución no uniforme.
|}

Los diagramas de Coxeter-Dynkin pueden enumerar explícitamente casi todas las clases de [[politopo uniforme|politopos uniformes]] y de [[teselado uniforme|teselados uniformes]]. Cada politopo uniforme con simetría reflexiva pura (todos, menos algunos casos especiales, tienen simetría reflexiva pura) puede representarse mediante un diagrama de Coxeter-Dynkin con permutaciones de "márgenes". Cada politopo uniforme puede generarse usando tales espejos y un único punto generador: las imágenes especulares crean nuevos puntos como reflejos, y entonces se pueden definir las [[Arista (geometría)|aristas]] del polítopo como segmentos entre cada punto y sus imágenes en los espejos. Las [[Cara (geometría)|caras]] se generan por el reflejo repetido de las aristas que finalmente envuelven al generador original; la forma final, así como las facetas de dimensiones superiores, también se crean cuando la cara se refleja para encerrar un área.

Para especificar los vértices generadores, se marcan uno o más nodos con anillos, lo que significa que el vértice ''no'' está en el espejo(s) representado por el nodo(s) anillado (si se marcan dos o más espejos, el vértice es equidistante de ellos). Un espejo está "activo" (crea reflejos) solo con respecto a los puntos que no están en él. Un diagrama necesita al menos un nodo activo para representar un politopo. Un diagrama no conectado (subgrupos separados por ramas de orden 2 o espejos ortogonales) requiere al menos un nodo activo en cada subgrafo.

Todos los [[politopo regular|politopos regulares]], representados por los [[Símbolo de Schläfli|símbolos de Schläfli]] {{(}}{{math|''p'', ''q'', ''r'', ...}}{{)}}, pueden tener sus [[dominio fundamental|dominios fundamentales]] representados por un conjunto de ''n'' espejos con un diagrama de Coxeter-Dynkin relacionado con una línea de nodos y ramas etiquetadas por {{math|''p'', ''q'', ''r'', ...,}} con el primer nodo anillado.

Los politopos uniformes con un anillo corresponden a puntos generadores en las esquinas del dominio fundamental simplex. Dos anillos corresponden a los bordes de simplex y tienen un grado de libertad, con solo el punto medio como la solución uniforme para longitudes de arista iguales. En general, los ''k'' puntos generadores con anillo están situados sobre las ''(k-1)'' caras del símplex, y si todos los nodos están anillados, el punto del generador está en el interior del símplex.

El caso especial de politopos uniformes con simetría no reflexiva está representado por un marcado secundario en el que se elimina el punto central de un nodo anillado (llamado "agujero"). Estas formas son [[Alternancia (geometría)|alternancias]] de politopos con simetría reflexiva, lo que implica que los nodos alternativos se eliminan. El politopo resultante tendrá una subsimetría del [[grupo de Coxeter]] original. Una alternancia truncada se llama [[achatado (geometría)|''achatada'']].
* Un solo nodo representa un solo espejo. Esto se llama grupo A<sub>1</sub>. Si está anillado, esto crea un [[segmento]] perpendicular al espejo, representado como {}.
* Dos nodos no conectados representan dos espejos [[perpendicularidad|perpendiculares]]. Si ambos nodos están anillados, se puede crear un [[rectángulo]] o un [[cuadrado]] cuando el punto está a la misma distancia de ambos espejos.
* Dos nodos unidos por una rama de orden ''n'' pueden crear un [[Polígono|''n''-ágono]] si el punto está en un espejo y un 2''n''-ágono si el punto está fuera de ambos espejos. Esto forma el grupo I<sub>1</sub>(n).
* Dos espejos paralelos pueden representar un grupo de polígonos infinitos I<sub>1</sub>(∞), también llamado Ĩ<sub>1</sub>.
* Tres espejos formando un triángulo generan imágenes como las vistas en un [[caleidoscopio]] tradicional y pueden representarse por tres nodos conectados en un triángulo. Los ejemplos repetidos tendrán ramas etiquetadas como (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), aunque las dos últimas se pueden dibujar como una línea (con las ramas ''2'' omitidas). Estas configuraciones generarán [[Teselado regular|teselados uniformes]].
* Tres espejos pueden generar [[Poliedro de aristas uniformes|poliedros uniformes]]; incluyendo números racionales se genera el conjunto de los [[triángulo de Schwarz|triángulos de Schwarz]].
* Tres espejos, con uno perpendicular a los otros dos, pueden formar un [[Prisma (geometría)|prisma uniforme]].

{| class=wikitable width=800 style="font-size:85%; line-height:125%; background:Azure;"
|- valign=top style="background:White;"
|[[File:Wythoffian construction diagram.svg|400px]]
|[[File:Polyhedron truncation example3 es.png|400px]]
|- valign=top
||Hay 7 construcciones uniformes reflexivas dentro de un triángulo general, basadas en 7 posiciones del generador topológico dentro del dominio fundamental. Cada espejo activo genera una arista, con dos espejos activos se tienen generadores en los lados del dominio y con tres espejos activos se tiene el generador en su interior. Se pueden resolver uno o dos grados de libertad para una posición única imponiendo iguales longitudes de arista del poliedro o teselado resultante.
||Ejemplo de 7 generadores en la [[simetría octaedral]], triángulo de dominio fundamental (4 3 2), con la octava generación de achatado como [[alternancia (geometría)|alternancia]]
|}

Los duales de los politopos uniformes a veces están marcados con una barra perpendicular que reemplaza a los nodos anillados y una barra con un orificio para los nodos de los achatados. Por ejemplo, {{DCD|node_1|2|node_1}} representa un [[rectángulo]] (como dos espejos ortogonales activos), y {{DCD|node_f1|2|node_f1}} representa su [[polígono dual]], el [[rombo]].

=== Ejemplo de poliedros y teselados ===
Por ejemplo, el [[grupo de Coxeter]] B<sub>3</sub> tiene un diagrama {{DCD|node|4|node|3|node}}. Esta configuración también se denomina [[simetría octaédrica]].

Hay 7 [[poliedro de aristas uniformes|poliedros de aristas uniformes]] convexos que pueden construirse a partir de este grupo de simetría y otros 3 a partir de sus subsimetrías [[Alternancia (geometría)|alternantes]], cada uno con un diagrama de Coxeter-Dynkin marcado de forma única. El [[símbolo de Wythoff]] representa un caso especial del diagrama de Coxeter para gráficos de rango 3, con las 3 órdenes de rama nombradas, en lugar de omitir las ramas de orden 2. El símbolo de Wythoff puede contemplar la forma de "achatado", pero no las alternancias generales sin todos los nodos anillados.
{| class="wikitable collapsible collapsed"
! colspan=11|[[Poliedro de aristas uniformes|Poliedros octaédricos uniformes]]
|- style="text-align:center;"
!colspan=7|[[Anexo:Lista de grupos de simetría esférica|Simetría]]: [4,3], [[Simetría octaédrica|(*432)]]
![4,3]<sup>+</sup><BR>(432)
!colspan=2|[1<sup>+</sup>,4,3] = [3,3]<BR>[[Simetría tetraédrica|(*332)]]
![3<sup>+</sup>,4]<BR>[[Simetría piritoédrica|(3*2)]]

|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|[[Cubo|{4,3}]]
|[[Cubo truncado|t{4,3}]]
|[[Cuboctaedro|r{4,3}]]<BR>r{3<sup>1,1</sup>}
|[[Octaedro truncado|t{3,4}]]<BR>t{3<sup>1,1</sup>}
|[[Octaedro|{3,4}]]<BR>{3<sup>1,1</sup>}
|[[Rombicuboctaedro|rr{4,3}]]<BR>s<sub>2</sub>{3,4}
|[[Cuboctaedro truncado|tr{4,3}]]
|[[Cubo romo|sr{4,3}]]
|[[Tetraedro|h{4,3}]]<BR>{3,3}
|[[Tetraedro truncado|h<sub>2</sub>{4,3}]]<BR>t{3,3}
|[[Icosaedro|s{3,4}]]<BR>s{3<sup>1,1</sup>}

|- style="vertical-align:top;"
|{{DCD|node_1|4|node|3|node}}
|{{DCD|node_1|4|node_1|3|node}}
|{{DCD|node|4|node_1|3|node}}
|{{DCD|node|4|node_1|3|node_1}}
|{{DCD|node|4|node|3|node_1}}
|{{DCD|node_1|4|node|3|node_1}}
|{{DCD|node_1|4|node_1|3|node_1}}
|{{DCD|node_h|4|node_h|3|node_h}}
|
|
|{{DCD|node_h|3|node_h|4|node}}
|- style="vertical-align:top;"
|
|
|{{DCD|node_h0|4|node_1|3|node}}<BR>= {{DCD|nodes_11|split2|node}}
|{{DCD|node_h0|4|node_1|3|node_1}}<BR>= {{DCD|nodes_11|split2|node_1}}
|{{DCD|node_h0|4|node|3|node_1}}<BR>= {{DCD|nodes|split2|node_1}}
|{{DCD|node_1|4|node_h|3|node_h}}
|
|
|{{DCD|node_h1|4|node|3|node}} =<BR>{{DCD|nodes_10ru|split2|node}} or {{DCD|nodes_01rd|split2|node}}
|{{DCD|node_h1|4|node|3|node_1}} =<BR>{{DCD|nodes_10ru|split2|node_1}} or {{DCD|nodes_01rd|split2|node_1}}
| style="text-align:left;" |{{DCD|node_h|3|node_h|4|node_h0}} =<BR>{{DCD|node_h|split1|nodes_hh}}
|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|[[File:Uniform polyhedron-43-t0.svg|40px]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t01.svg|40px]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t1.svg|40px]]<BR>[[File:Uniform_polyhedron-33-t02.svg|40px]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t12.svg|40px]]<BR>[[File:Uniform_polyhedron-33-t012.png|40px]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t2.svg|40px]]<BR>[[File:Uniform_polyhedron-33-t1.svg|40px]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t02.png|40px]]<BR>[[File:Rhombicuboctahedron_uniform_edge_coloring.png|40px]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t012.png|40px]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-s012.png|40px]]
| style="vertical-align:bottom;" |[[File:Uniform_polyhedron-33-t0.png|30px]][[File:Uniform_polyhedron-33-t2.png|30px]]
| style="vertical-align:bottom;" |[[File:Uniform_polyhedron-33-t01.png|30px]][[File:Uniform_polyhedron-33-t12.png|30px]]
|[[File:Uniform_polyhedron-43-h01.svg|40px]]<BR>[[File:Uniform_polyhedron-33-s012.svg|40px]]
|- style="text-align:center;"
!colspan=11|Duales a los poliedros uniformes
|- style="text-align:center;"
|[[Octaedro|V4<sup>3</sup>]]
|[[Triaquisoctaedro|V3.8<sup>2</sup>]]
|[[Rombododecaedro|V(3.4)<sup>2</sup>]]
|[[Tetraquishexaedro|V4.6<sup>2</sup>]]
|[[Cubo|V3<sup>4</sup>]]
|[[Icositetraedro deltoidal|V3.4<sup>3</sup>]]
|[[Hexaquisoctaedro|V4.6.8]]
|[[Icositetraedro pentagonal|V3<sup>4</sup>.4]]
|[[Tetraedro|V3<sup>3</sup>]]
|[[Triaquistetraedro|V3.6<sup>2</sup>]]
|[[Dodecaedro|V3<sup>5</sup>]]

|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|{{DCD|node_f1|4|node|3|node}}
|{{DCD|node_f1|4|node_f1|3|node}}
|{{DCD|node|4|node_f1|3|node}}
|{{DCD|node|4|node_f1|3|node_f1}}
|{{DCD|node|4|node|3|node_f1}}
|{{DCD|node_f1|4|node|3|node_f1}}
|{{DCD|node_f1|4|node_f1|3|node_f1}}
|{{DCD|node_fh|4|node_fh|3|node_fh}}
|{{DCD|node_fh|4|node|3|node}}
|{{DCD|node_fh|4|node|3|node_f1}}
|{{DCD|node_fh|3|node_fh|4|node}}
|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|
|
|{{DCD|node_f1|3|node|3|node_f1}}
|{{DCD|node_f1|3|node_f1|3|node_f1}}
|{{DCD|node|3|node_f1|3|node}}
||{{DCD|node_f1|4|node_fh|3|node_fh}}
|
|
|{{DCD|node_f1|3|node|3|node}}
|{{DCD|node|3|node_f1|3|node_f1}}
|{{DCD|node_fh|3|node_fh|3|node_fh}}
|- style="text-align:center;"
|[[File:Octahedron.svg|40px]]
|[[File:Triakisoctahedron.jpg|40px]]
|[[File:Rhombicdodecahedron.jpg|40px]]
|[[File:Tetrakishexahedron.jpg|40px]]
|[[File:hexahedron.svg|40px]]
|[[File:Deltoidalicositetrahedron.jpg|40px]]
|[[File:Disdyakisdodecahedron.jpg|40px]]
|[[File:Pentagonalicositetrahedronccw.jpg|40px]]
|[[File:Tetrahedron.svg|40px]]
|[[File:Triakistetrahedron.jpg|40px]]
|[[File:Dodecahedron.svg|40px]]
|}

Se pueden generar las mismas construcciones en grupos de Coxeter desarticulados (ortogonales) como el [[Prisma (geometría)|prisma]] uniforme, y se pueden ver más claramente como teselados de [[diedro]]s y [[hosoedro]]s en la esfera, como esta familia [6]×[] o [6,2]:
{| class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=15| Poliedros esféricos diédricos hexagonales uniformes
|- style="text-align:center;"
!colspan=7|[[Anexo:Lista de grupos de simetría esférica|Simetría]]: [[Grupo diedral|[6,2]]], (*622)
![6,2]<sup>+</sup>, (622)
![6,2<sup>+</sup>], (2*3)
|- style="text-align:center;"
| [[File:Hexagonal dihedron.png|50px]]
| [[File:Dodecagonal dihedron.png|50px]]
| [[File:Hexagonal dihedron.png|50px]]
| [[File:Spherical hexagonal prism.svg|50px]]
| [[File:Spherical hexagonal hosohedron.svg|50px]]
| [[File:Spherical truncated trigonal prism.png|50px]]
| [[File:Spherical dodecagonal prism2.png|50px]]
| [[File:Spherical hexagonal antiprism.svg|50px]]
| [[File:Spherical trigonal antiprism.svg|50px]]
|- style="text-align:center;"
!{{DCD|node_1|6|node|2|node}}
!{{DCD|node_1|6|node_1|2|node}}
!{{DCD|node|6|node_1|2|node}}
!{{DCD|node|6|node_1|2|node_1}}
!{{DCD|node|6|node|2|node_1}}
!{{DCD|node_1|6|node|2|node_1}}
!{{DCD|node_1|6|node_1|2|node_1}}
!{{DCD|node_h|6|node_h|2x|node_h}}
!{{DCD|node|6|node_h|2x|node_h}}
|- style="text-align:center;"
|[[diedro|{6,2}]]
|[[diedro|t{6,2}]]
|[[diedro|r{6,2}]]
|[[prisma hexagonal|t{2,6}]]
|[[hosoedro|{2,6}]]
|[[prisma hexagonal|rr{6,2}]]
|[[prisma dodecagonal|tr{6,2}]]
|[[Antiprisma hexagonal|sr{6,2}]]
|[[Octaedro|s{2,6}]]

|-
!colspan=10|Duales a los uniformes
|- style="text-align:center;"
| [[File:Spherical hexagonal hosohedron.svg|50px]]
| [[File:Spherical dodecagonal hosohedron.svg|50px]]
| [[File:Spherical hexagonal hosohedron.svg|50px]]
| [[File:Spherical hexagonal bipyramid.svg|50px]]
| [[File:Hexagonal dihedron.png|50px]]
| [[File:Spherical hexagonal bipyramid.svg|50px]]
| [[File:Spherical dodecagonal bipyramid.svg|50px]]
| [[File:Spherical hexagonal trapezohedron.svg|50px]]
| [[File:Spherical trigonal trapezohedron.svg|50px]]
|- style="text-align:center;"
|[[hosoedro|V6<sup>2</sup>]]
|[[hosoedro|V12<sup>2</sup>]]
|[[hosoedro|V6<sup>2</sup>]]
|[[bipirámide hexagonal|V4.4.6]]
|[[diedro|V2<sup>6</sup>]]
|[[bipirámide hexagonal|V4.4.6]]
|[[Bipirámide|V4.4.12]]
|[[trapezoedro hexagonal|V3.3.3.6]]
|[[Cubo|V3.3.3.3]]
|}

En comparación, la familia [6,3], {{DCD|node|6|node|3|node}}, produce un conjunto paralelo de 7 teselados uniformes del plano euclídeo, y sus duales. De nuevo hay 3 alternancias y alguna versión de semi simetría.
{| class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=12| Teselados hexagonales
|- style="vertical-align:top;"
!colspan=7|[[Anexo:Lista de grupos de simetría planos|Simetría]]: [[Plantilla:Tabla de simetría 632|[6,3], (*632)]]
![6,3]<sup>+</sup><BR>(632)
![6,3<sup>+</sup>]<BR>(3*3)

|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|{6,3}
|t{6,3}
|r{6,3}
|t{3,6}
|{3,6}
|rr{6,3}
|tr{6,3}
|sr{6,3}
|s{3,6}

|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|{{DCD|node_1|6|node|3|node}}
|{{DCD|node_1|6|node_1|3|node}}
|{{DCD|node|6|node_1|3|node}}
|{{DCD|node|6|node_1|3|node_1}}
|{{DCD|node|6|node|3|node_1}}
|{{DCD|node_1|6|node|3|node_1}}
|{{DCD|node_1|6|node_1|3|node_1}}
|{{DCD|node_h|6|node_h|3|node_h}}
|{{DCD|node|6|node_h|3|node_h}}

|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|[[File:Uniform tiling 63-t0.svg|60px]]
|[[File:Uniform tiling 63-t01.svg|60px]]
|[[File:Uniform tiling 63-t1.svg|60px]]
|[[File:Uniform tiling 63-t12.svg|60px]]
|[[File:Uniform tiling 63-t2.svg|60px]]
|[[File:Uniform tiling 63-t02.png|60px]]
|[[File:Uniform tiling 63-t012.svg|60px]]
|[[File:Uniform tiling 63-snub.png|60px]]
|[[File:Uniform_tiling_63-h12.svg|60px]]
|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|[[Teselado hexagonal|6<sup>3</sup>]]
|[[Truncated hexagonal tiling|3.12<sup>2</sup>]]
|[[Trihexagonal tiling|(3.6)<sup>2</sup>]]
|[[Teselado hexagonal|6.6.6]]
|[[Teselado triangular|3<sup>6</sup>]]
|[[rhombitrihexagonal tiling|3.4.6.4]]
|[[Truncated trihexagonal tiling|4.6.12]]
|[[Snub trihexagonal tiling|3.3.3.3.6]]
|[[Teselado triangular|3.3.3.3.3.3]]

|- style="vertical-align:top;"
!colspan=11|Uniform duals
|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|[[File:1-uniform 1 dual.svg|60px]]
|[[File:1-uniform 4 dual.svg|60px]]
|[[File:1-uniform 7 dual.svg|60px]]
|[[File:1-uniform 1 dual.svg|60px]]
|[[File:1-uniform 11 dual.svg|60px]]
|[[File:1-uniform 6 dual.svg|60px]]
|[[File:1-uniform 3 dual.svg|60px]]
|[[File:1-uniform 10 dual.svg|60px]]
|[[File:1-uniform 11 dual.svg|60px]]
|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|[[Teselado triangular|V6<sup>3</sup>]]
|[[Triakis triangular tiling|V3.12<sup>2</sup>]]
|[[Rhombille tiling|V(3.6)<sup>2</sup>]]
|[[Teselado triangular|V6<sup>3</sup>]]
|[[Teselado hexagonal|V3<sup>6</sup>]]
|[[Deltoidal trihexagonal tiling|V3.4.6.4]]
|[[Kisrhombille tiling|V.4.6.12]]
|[[Floret_pentagonal_tiling|V3<sup>4</sup>.6]]
|[[Teselado hexagonal|V3<sup>6</sup>]]
|}

En el plano hiperbólico [7,3], la familia {{DCD|node|7|node|3|node}} produce un conjunto paralelo de teselados uniformes y sus duales. Solo hay 1 alternancia ([[achatado (geometría)|achatado]]) ya que todos los órdenes de las ramas son impares. Se pueden ver muchas otras familias hiperbólicas de teselados uniformes en [[teselados uniformes en el plano hiperbólico]].
{| class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=12|Teselado hiperbólico
|-
!colspan=7|Simetría: [[Simetría 732|[7,3], (*732)]]
![7,3]<sup>+</sup>, (732)
|- style="text-align:center;"
!{{DCD|node_1|7|node|3|node}}
!{{DCD|node_1|7|node_1|3|node}}
!{{DCD|node|7|node_1|3|node}}
!{{DCD|node|7|node_1|3|node_1}}
!{{DCD|node|7|node|3|node_1}}
!{{DCD|node_1|7|node|3|node_1}}
!{{DCD|node_1|7|node_1|3|node_1}}
!{{DCD|node_h|7|node_h|3|node_h}}
|- style="text-align:center;"
|[[File:Heptagonal tiling.svg|60px]]
|[[File:Truncated heptagonal tiling.svg|60px]]
|[[File:Triheptagonal tiling.svg|60px]]
|[[File:Truncated order-7 triangular tiling.svg|60px]]
|[[File:Order-7 triangular tiling.svg|60px]]
|[[File:Rhombitriheptagonal tiling.svg|60px]]
|[[File:Truncated triheptagonal tiling.svg|60px]]
|[[File:Snub triheptagonal tiling.svg|60px]]
|- style="text-align:center;"
![[Teselado heptagonal|{7,3}]]
![[Teselado heptagonal truncado|t{7,3}]]
![[Teselado triheptagonal|r{7,3}]]
![[Teselado triangular de orden 7 truncado|t{3,7}]]
![[Teselado triangular de orden 7|{3,7}]]
![[Teselado rombotriheptagonal|rr{7,3}]]
![[Teselado rombotriheptagonal truncado|tr{7,3}]]
![[Teselado triheptagonal achatado|sr{7,3}]]
|-
!colspan=11|Duales uniformes
|- style="text-align:center;"
!{{DCD|node_f1|7|node|3|node}}
!{{DCD|node_f1|7|node_f1|3|node}}
!{{DCD|node|7|node_f1|3|node}}
!{{DCD|node|7|node_f1|3|node_f1}}
!{{DCD|node|7|node|3|node_f1}}
!{{DCD|node_f1|7|node|3|node_f1}}
!{{DCD|node_f1|7|node_f1|3|node_f1}}
!{{DCD|node_fh|7|node_fh|3|node_fh}}
|- style="text-align:center;"
|[[File:Order-7 triangular tiling.svg|60px]]
|[[File:Order-7 triakis triangular tiling.svg|60px]]
|[[File:7-3 rhombille tiling.svg|60px]]
|[[File:Heptakis heptagonal tiling.svg|60px]]
|[[File:Heptagonal tiling.svg|60px]]
|[[File:Deltoidal triheptagonal tiling.svg|60px]]
|[[File:3-7 kisrhombille.svg|60px]]
|[[File:7-3 floret pentagonal tiling.svg|60px]]
|- style="text-align:center;"
|[[Order-7 triangular tiling|V7<sup>3</sup>]]
|V3.14.14
|V3.7.3.7
|V6.6.7
|[[Heptagonal tiling|V3<sup>7</sup>]]
|V3.4.7.4
|[[Order 3-7 kisrhombille|V4.6.14]]
|V3.3.3.3.7
|}

== Grupos afines de Coxeter ==
Las familias de teselaciones euclídeas uniformes convexas están definidas por los [[grupo de Coxeter afín|grupos de Coxeter afines]]. Estos grupos son idénticos a los grupos finitos con la inclusión de un nodo agregado. Para estos casos, se mantienen las asignaciones de letras, con una virgulilla ("~") por encima de la letra. El índice se refiere al grupo finito, por lo que el rango es el índice más 1. Los [[Ernst Witt|símbolos de Witt]] para los grupos afines figuran a continuación precedidos con la palabra ''también'':

#<math>{\tilde{A}}_{n-1}</math>: los diagramas de este tipo son ciclos (también P<sub>n</sub>)
#<math>{\tilde{C}}_{n-1}</math> está asociado con la familia de [[panal hipercúbico|teselaciones regulares hipercúbicas]] {{(}}{{math|4, 3, ...., 4}}{{)}} (también R<sub>n</sub>)
#<math>{\tilde{B}}_{n-1}</math> relacionado con C por un espejo eliminado (también S<sub>n</sub>)
#<math>{\tilde{D}}_{n-1}</math> relacionado con C por dos espejos eliminados (también <sub>n</sub>X)
#<math>{\tilde{E}}_6</math>, <math>{\tilde{E}}_7</math>, <math>{\tilde{E}}_8</math> (también T<sub>7</sub>, T<sub>8</sub>, T<sub>9</sub>)
#<math>{\tilde{F}}_4</math> forma la teselación regular {3,4,3,3} (también U<sub>5</sub>)
#<math>{\tilde{G}}_2</math> forma los dominios fundamentales triangulares 30-60-90 (también V<sub>3</sub>)
#<math>{\tilde{I}}_1</math> son dos espejos paralelos (= <math>{\tilde{A}}_1</math> = <math>{\tilde{C}}_1</math>) (también W<sub>2</sub>)

Los grupos compuestos también se pueden definir como proyecciones ortogonales. El uso más común de <math>{\tilde{A}}_1</math>, como <math>{\tilde{A}}_1^2</math>, {{DCD|node|infin|node|2|node|infin|node}} representa dominios cuadrados o rectangulares (''[[tablero de damas|tableros de ajedrez]]'') en el plano euclídeo. Y <math>{\tilde{A}}_1 {\tilde{G}}_2</math> {{DCD|node|infin|node|2|node|split1|branch}} representa los dominios fundamentales con forma de [[prisma triangular]] en el espacio euclídeo tridimensional.

{| class="wikitable"
|+ Gráficos afines de Coxeter entre 2 y 10 nodos
!Rango
!<math>{\tilde{A}}_{1+}</math> (P<sub>2+</sub>)
!<math>{\tilde{B}}_{3+}</math> (S<sub>4+</sub>)
!<math>{\tilde{C}}_{1+}</math> (R<sub>2+</sub>)
!<math>{\tilde{D}}_{4+}</math> (Q<sub>5+</sub>)
! <math>{\tilde{E}}_n</math> (T<sub>n+1</sub>) / <math>{\tilde{F}}_4</math> (U<sub>5</sub>) / <math>{\tilde{G}}_2</math> (V<sub>3</sub>)
|- align=center valign=top
!2
|<math>{\tilde{A}}_1</math>=[∞]<br />{{DCD|node|infin|node}}
|rowspan=2|&nbsp;
|<math>{\tilde{C}}_1</math>=[∞]<br />{{DCD|node|infin|node}}
|rowspan=2|&nbsp;
|&nbsp;
|- align=center valign=top
!3
|<math>{\tilde{A}}_{2}</math>=[3<sup>[3]</sup>]<br />[[:File:DynkinA2Affine.svg|*]] {{DCD|branch|split2|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{2}</math>=[4,4]<br />[[:File:DynkinC2Affine.svg|*]] {{DCD|node|4|node|4|node}}
|<math>{\tilde{G}}_{2}</math>=[6,3]<br />[[:File:DynkinG2Affine1.svg|*]] {{DCD|node|6|node|3|node}}
|- align=center valign=top
!4
|<math>{\tilde{A}}_{3}</math>=[3<sup>[4]</sup>]<br />[[:File:DynkinA3Affine.svg|*]] {{DCD|node|split1|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{3}</math>=[4,3<sup>1,1</sup>]<br />[[:File:DynkinB3Affine.svg|*]] {{DCD|nodes|split2|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{3}</math>=[4,3,4]<br />[[:File:DynkinC3Affine.svg|*]] {{DCD|node|4|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{3}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>−1</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br />{{DCD|node|split1|nodes|split2|node}} = <math>{\tilde{A}}_{3}</math>
|
|- align=center valign=top
!5
|<math>{\tilde{A}}_{4}</math>=[3<sup>[5]</sup>]<br />[[:File:DynkinA4Affine.svg|*]] {{DCD|branch|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{4}</math>=[4,3,3<sup>1,1</sup>]<br />[[:File:DynkinB4Affine.svg|*]] {{DCD|nodes|split2|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{4}</math>=[4,3<sup>2</sup>,4]<br />[[:File:DynkinC4Affine.svg|*]] {{DCD|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{4}</math>=[3<sup>1,1,1,1</sup>]<br />[[:File:DynkinD4Affine.svg|*]] {{DCD|nodes|split2|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{F}}_{4}</math>=[3,4,3,3]<br />[[:File:DynkinF4Affine.svg|*]] {{DCD|node|3|node|4|node|3|node|3|node}}
|- align=center valign=top
!6
|<math>{\tilde{A}}_{5}</math>=[3<sup>[6]</sup>] <br />[[:File:DynkinA5Affine1.svg|*]] {{DCD|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{5}</math>=[4,3<sup>2</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br />[[:File:DynkinB5Affine.svg|*]] {{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{5}</math>=[4,3<sup>3</sup>,4]<br />[[:File:DynkinC5Affine.svg|*]] {{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{5}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>1,1</sup>]<br />[[:File:DynkinD5Affine.svg|*]] {{DCD|nodes|split2|node|3|node|split1|nodes}}
|&nbsp;
|- align=center valign=top
!7
|<math>{\tilde{A}}_{6}</math>=[3<sup>[7]</sup>]<br />[[:File:AffineA6.svg|*]] {{DCD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{6}</math>=[4,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{6}</math>=[4,3<sup>4</sup>,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{6}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>2</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{E}}_{6}</math>=[3<sup>2,2,2</sup>]<br />{{DCD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node}}
|- align=center valign=top
!8
|<math>{\tilde{A}}_{7}</math>=[3<sup>[8]</sup>]<br />[[:File:AffineA7.svg|*]] {{DCD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{7}</math>=[4,3<sup>4</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br />[[:File:AffineB7.svg|*]] {{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{7}</math>=[4,3<sup>5</sup>,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{7}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br />[[:File:AffineD7.svg|*]] {{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{E}}_{7}</math>=[3<sup>3,3,1</sup>]<br />[[:File:AffineE7.svg|*]] {{DCD|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|- align=center valign=top
!9
|<math>{\tilde{A}}_{8}</math>=[3<sup>[9]</sup>]<br />[[:File:AffineA8.svg|*]] {{DCD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{8}</math>=[4,3<sup>5</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{8}</math>=[4,3<sup>6</sup>,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{8}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>4</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{E}}_{8}</math>=[3<sup>5,2,1</sup>]<br />[[:File:E9-AffineE8.svg|*]] {{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center valign=top
!10
|<math>{\tilde{A}}_{9}</math>=[3<sup>[10]</sup>]<br />[[:File:AffineA9.svg|*]] {{DCD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{9}</math>=[4,3<sup>6</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{9}</math>=[4,3<sup>7</sup>,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{9}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>5</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|- align=center valign=top
!11
|...
|...
|...
|...
|}

== Grupos hiperbólicos de Coxeter ==
Hay muchos [[Grupo de Coxeter|grupos de Coxeter]] hiperbólicos infinitos. Los grupos hiperbólicos se clasifican como compactos o no, y los grupos compactos tienen dominios fundamentales delimitados. Los grupos hiperbólicos simples compactos ('''símplices de Lannér''') existen de rango 3 a 5. Los grupos simples compactos ('''símplices de Koszul''') existen hasta el rango 10. Los grupos hipercompactos ('''politopos de Vinberg''') se han explorado pero no se han determinado completamente. En 2006, Allcock demostró que hay infinitos politopos compactos de Vinberg para dimensiones de hasta 6, e infinitos politopos de volumen finito de Vinberg para dimensiones de hasta 19,<ref>{{cite journal|last=Allcock|first=Daniel|title=Infinitely many hyperbolic Coxeter groups through dimension 19|journal=Geometry & Topology|date=11 de julio de 2006|volume=10|issue=2|pages=737–758|doi=10.2140/gt.2006.10.737|arxiv=0903.0138}}</ref> por lo que no es posible una enumeración completa. Todos estos dominios reflexivos fundamentales, tanto simples como no simples, a menudo se denominan '''[[politopo]]s de Coxeter''' o, a veces, con menos precisión '''[[poliedro]]s de Coxeter'''.

=== Grupos hiperbólicos en H<sup>2</sup> ===
{{AP|Teselados uniformes en el plano hiperbólico}}

{| class="wikitable" style="float:right;"
|+ [[Disco de Poincaré]] de dominios fundamentales [[Grupo triangular|triangulares]]
|-
!colspan=5|Ejemplos de triángulos rectángulos [p,q]
|- align=center
|[[Archivo:H2checkers 237.png|80px]]<br />[3,7]
|[[Archivo:H2checkers 238.png|80px]]<br />[3,8]
|[[Archivo:Hyperbolic domains 932 black.png|80px]]<br />[3,9]
|[[Archivo:H2checkers 23i.png|80px]]<br />[3,&infin;]
|- align=center
|[[Archivo:H2checkers 245.png|80px]]<br />[4,5]
|[[Archivo:H2checkers 246.png|80px]]<br />[4,6]
|[[Archivo:H2checkers 247.png|80px]]<br />[4,7]
|[[Archivo:H2checkers 248.png|80px]]<br />[4,8]
|[[Archivo:H2checkers 24i.png|80px]]<br />[&infin;,4]
|- align=center
|[[Archivo:H2checkers 255.png|80px]]<br />[5,5]
|[[Archivo:H2checkers 256.png|80px]]<br />[5,6]
|[[Archivo:H2checkers 257.png|80px]]<br />[5,7]
|[[Archivo:H2checkers 266.png|80px]]<br />[6,6]
|[[Archivo:H2checkers 2ii.png|80px]]<br />[&infin;,&infin;]
|- align=center
!colspan=5|Ejemplos de triángulos generales [(p,q,r)]
|- align=center
|[[Archivo:H2checkers 334.png|80px]]<br />[(3,3,4)]
|[[Archivo:H2checkers 335.png|80px]]<br />[(3,3,5)]
|[[Archivo:H2checkers 336.png|80px]]<br />[(3,3,6)]
|[[Archivo:H2checkers 337.png|80px]]<br />[(3,3,7)]
|[[Archivo:H2checkers 33i.png|80px]]<br />[(3,3,&infin;)]
|- align=center
|[[Archivo:H2checkers 344.png|80px]]<br />[(3,4,4)]
|[[Archivo:H2checkers 366.png|80px]]<br />[(3,6,6)]
|[[Archivo:H2checkers 3ii.png|80px]]<br />[(3,&infin;,&infin;)]
|[[Archivo:H2checkers 666.png|80px]]<br />[(6,6,6)]
|[[Archivo:Infinite-order triangular tiling.svg|80px]]<br />[(&infin;,&infin;,&infin;)]
|}
Los [[grupo triangular|grupos triangulares]] hiperbólicos bidimensionales existen como diagramas de Coxeter de rango 3, definidos por un triángulo (p q r) para:
: <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}<1.</math>

Hay infinitos grupos de Coxeter hiperbólicos triangulares compactos, que incluyen grafos lineales y triangulares. Los gráficos lineales existen para triángulos rectángulos (con r = 2).<ref>[http://www.math.ohio-state.edu/~mdavis/davisbook.pdf ''The Geometry and Topology of Coxeter Groups'', Michael W. Davis, 2008] p. 105 Table 6.2. Hyperbolic diagrams</ref>

{| class="wikitable"
|+ Grupos de Coxeter hiperbólicos compactos
|-
! valign=top|Lineal
! valign=top|Cíclico
|-
| valign=top|'''[[Teselado hiperbólico regular|∞]]''' [p,q], {{DCD|node|p|node|q|node}}: <br />2(p+q)&lt;pq<br />
{{DCD|node|7|node|3|node}}<br />
{{DCD|node|8|node|3|node}}<br />
{{DCD|node|9|node|3|node}}<br />
...<br />
{{DCD|node|5|node|4|node}}<br />
{{DCD|node|6|node|4|node}}<br />
...<br />
{{DCD|node|5|node|5|node}}<br />
{{DCD|node|6|node|5|node}}<br />
...<br />
| valign=top|∞ [(p,q,r)], {{DCD|pqr}}: p+q+r&gt;9<br />
{| class=wikitable
|- valign=top
| 
{{DCD|3|node|4|node|3|node|3}}<br />
{{DCD|3|node|4|node|4|node|3}}<br />
{{DCD|3|node|4|node|4|node|4}}<br />
|
{{DCD|3|node|5|node|3|node|3}}<br />
{{DCD|3|node|5|node|4|node|3}}<br />
{{DCD|3|node|5|node|4|node|4}}<br />
{{DCD|3|node|5|node|5|node|3}}<br />
{{DCD|3|node|5|node|5|node|4}}<br />
{{DCD|3|node|5|node|5|node|5}}
|
{{DCD|3|node|6|node|3|node|3}}<br />
{{DCD|3|node|6|node|4|node|3}}<br />
{{DCD|3|node|6|node|4|node|4}}<br />
{{DCD|3|node|6|node|5|node|3}}<br />
{{DCD|3|node|6|node|5|node|4}}<br />
{{DCD|3|node|6|node|5|node|5}}<br />
{{DCD|3|node|6|node|6|node|3}}<br />
{{DCD|3|node|6|node|6|node|4}}<br />
{{DCD|3|node|6|node|6|node|5}}<br />
{{DCD|3|node|6|node|6|node|6}}
|
{{DCD|3|node|7|node|3|node|3}}<br />
...
|}
|}

Los grupos de Coxeter paracompactos de rango 3 existen como límites a los compactos.

{| class=wikitable
|-
!Grafos lineales
!Grafos cíclicos
|- valign=top
|
*[p,∞] {{DCD|node|p|node|infin|node}}
*[∞,∞] {{DCD|node|infin|node|infin|node}}
|
*[(p,q,∞)] {{DCD|3|node|p|node|q|node|infin|3}}
*[(p,∞,∞)] {{DCD|3|node|p|node|infin|node|infin|3}}
*[(∞,∞,∞)] {{DCD|3|node|infin|node|infin|node|infin|3}}
|}
{{Clear}}

==== Grupo triangular aritmético ====

Los [[grupo triangular|grupos triangulares]] hiperbólicos que también son [[grupo aritmético|grupos aritméticos]] forman un subconjunto finito. Mediante búsqueda por ordenador, la lista completa fue determinada por "Kisao Takeuchi" en su artículo de 1977 "Grupos de triángulos aritméticos".<ref>{{cite journal|url=http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.jmsj/1240433796 |title=TAKEUCHI : Arithmetic triangle groups |journal=Journal of the Mathematical Society of Japan |volume=29 |issue=1 |pages=91–106 |publisher=Projecteuclid.org |date= January 1977|accessdate=5 de julio de 2013|doi=10.2969/jmsj/02910091 |last1=Takeuchi |first1=Kisao }}</ref> Hay 85 en total, 76 compactos y 9 paracompactos.

{| class=wikitable
|-
!Triángulos rectángulos (p q 2)
!Triángulos generales (p q r)
|-
|Grupos compactos: (76)
: {{DCD|node|3|node|7|node}}, {{DCD|node|3|node|8|node}}, {{DCD|node|3|node|9|node}}, {{DCD|node|3|node|10|node}}, {{DCD|node|3|node|11|node}}, {{DCD|node|3|node|12|node}}, {{DCD|node|3|node|14|node}}, {{DCD|node|3|node|16|node}}, {{DCD|node|3|node|18|node}}, {{DCD|node|3|node|2x|4|node}}, {{DCD|node|3|node|3x|0x|node}}
: {{DCD|node|4|node|5|node}}, {{DCD|node|4|node|6|node}}, {{DCD|node|4|node|7|node}}, {{DCD|node|4|node|8|node}}, {{DCD|node|4|node|10|node}}, {{DCD|node|4|node|12|node}}, {{DCD|node|4|node|18|node}}
: {{DCD|node|5|node|5|node}}, {{DCD|node|5|node|6|node}}, {{DCD|node|5|node|8|node}}, {{DCD|node|5|node|10|node}}, {{DCD|node|5|node|20|node}}, {{DCD|node|5|node|3x|0x|node}}
: {{DCD|node|6|node|6|node}}, {{DCD|node|6|node|8|node}}, {{DCD|node|6|node|12|node}}, {{DCD|node|7|node|7|node}}, {{DCD|node|7|node|14|node}}
: {{DCD|node|8|node|8|node}}, {{DCD|node|8|node|16|node}}, {{DCD|node|9|node|18|node}}, {{DCD|node|10|node|10|node}}, {{DCD|node|12|node|12|node}}, {{DCD|node|12|node|2x|4|node}}, {{DCD|node|15|node|3x|0x|node}}, {{DCD|node|18|node|18|node}}
Triángulos rectángulos paracompactos: (4)
: {{DCD|node|3|node|infin|node}}, {{DCD|node|4|node|infin|node}}, {{DCD|node|6|node|infin|node}}, {{DCD|node|infin|node|infin|node}}
|Triángulos generales: (39)
: {{DCD|3|node|3|node|3|node|4}}, {{DCD|3|node|3|node|3|node|5}}, {{DCD|3|node|3|node|3|node|6}}, {{DCD|3|node|3|node|3|node|7}}, {{DCD|3|node|3|node|3|node|8}}, {{DCD|3|node|3|node|3|node|9}}, {{DCD|3|node|3|node|3|node|12}}, {{DCD|3|node|3|node|3|node|15}}
: {{DCD|3|node|3|node|4|node|4}}, {{DCD|3|node|3|node|4|node|6}}, {{DCD|3|node|3|node|4|node|12}}, {{DCD|3|node|3|node|5|node|5}}, {{DCD|3|node|3|node|6|node|6}}, {{DCD|3|node|3|node|6|node|18}}, {{DCD|3|node|3|node|8|node|8}}, {{DCD|3|node|3|node|8|node|2x|4}}, {{DCD|3|node|3|node|10|node|3x|0x}}, {{DCD|3|node|3|node|12|node|12}}
: {{DCD|3|node|4|node|4|node|4}}, {{DCD|3|node|4|node|4|node|5}}, {{DCD|3|node|4|node|4|node|6}}, {{DCD|3|node|4|node|4|node|9}}, {{DCD|3|node|4|node|5|node|5}}, {{DCD|3|node|4|node|6|node|6}}, {{DCD|3|node|4|node|8|node|8}}, {{DCD|3|node|4|node|16|node|16}}
: {{DCD|3|node|5|node|5|node|5}}, {{DCD|3|node|5|node|5|node|10}}, {{DCD|3|node|5|node|5|node|15}}, {{DCD|3|node|5|node|10|node|10}}
: {{DCD|3|node|6|node|6|node|6}}, {{DCD|3|node|6|node|12|node|12}}, {{DCD|3|node|6|node|2x|4|node|2x|4}}, {{DCD|3|node|7|node|7|node|7}}, {{DCD|3|node|8|node|8|node|8}}, {{DCD|3|node|9|node|9|node|9}}, {{DCD|3|node|9|node|18|node|18}}, {{DCD|3|node|12|node|12|node|12}}, {{DCD|3|node|15|node|15|node|15}}
Triángulos generales paracompactos: (5)
: {{DCD|3|node|3|node|3|node|infin}}, {{DCD|3|node|3|node|infin|node|infin}}, {{DCD|3|node|4|node|4|node|infin}}, {{DCD|3|node|6|node|6|node|infin}}, {{DCD|3|node|infin|node|infin|node|infin}}
|-
|
: (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9), (2 3 10), (2 3 11), (2 3 12), (2 3 14), (2 3 16), (2 3 18), (2 3 24), (2 3 30) 
: (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7), (2 4 8), (2 4 10), (2 4 12), (2 4 18), 
: (2 5 5), (2 5 6), (2 5 8), (2 5 10), (2 5 20), (2 5 30)
: (2 6 6), (2 6 8), (2 6 12)
: (2 7 7), (2 7 14), (2 8 8), (2 8 16), (2 9 18)
: (2 10 10) (2 12 12) (2 12 24), (2 15 30), (2 18 18)

: (2 3 ∞) (2,4 ∞) (2,6 ∞) (2 ∞ ∞) 
|
: (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6), (3 3 7), (3 3 8), (3 3 9), (3 3 12), (3 3 15)
: (3 4 4), (3 4 6), (3 4 12), (3 5 5), (3 6 6), (3 6 18), (3 8 8), (3 8 24), (3 10 30), (3 12 12)
: (4 4 4), (4 4 5), (4 4 6), (4 4 9), (4 5 5), (4 6 6), (4 8 8), (4 16 16)
: (5 5 5), (5 5 10), (5 5 15), (5 10 10)
: (6 6 6), (6 12 12), (6 24 24) 
: (7 7 7) (8 8 8) (9 9 9) (9 18 18) (12 12 12) (15 15 15)

: (3,3 ∞) (3 ∞ ∞) 
: (4,4 ∞) (6 6 ∞) (∞ ∞ ∞)
|}

==== Polígonos de Coxeter hiperbólicos sobre triángulos ====
{| class="wikitable" style="float:right;"
|+ Dominios fundamentales de los grupos cuadriláteros
|- align=center valign=top
|[[Archivo:Hyperbolic domains 3222.png|100px]]<br />{{DCD|node|infin|node|3|node|infin|node}} or {{DCD|branch|2a2b-cross|nodes}}<br />[&infin;,3,&infin;]<br />[i&pi;/&lambda;<sub>1</sub>,3,i&pi;/&lambda;<sub>2</sub>]<br />(*3222)
|[[Archivo:Hyperbolic domains 2233.png|100px]]<br />{{DCD|labelinfin|branch|split2|node|infin|node}} or {{DCD|branch|3a2b-cross|nodes}}<br />[((3,&infin;,3)),&infin;]<br />[((3,i&pi;/&lambda;<sub>1</sub>,3)),i&pi;/&lambda;<sub>2</sub>]<br />(*3322)
|[[Archivo:H2chess 246a.png|100px]]<br />{{DCD|labelinfin|branch|3ab|branch|labelinfin}} or {{DCD|branch|2a2b-cross|branch}}<br />[(3,&infin;)<sup>[2]</sup>]<br />[(3,i&pi;/&lambda;<sub>1</sub>,3,i&pi;/&lambda;<sub>2</sub>)]<br />(*3232)
|[[Archivo:H2chess 248a.png|100px]]<br />{{DCD|labelinfin|branch|4a4b|branch|labelinfin}} or {{DCD|label4|branch|2a2b-cross|branch|label4}}<br />[(4,&infin;)<sup>[2]</sup>]<br />[(4,i&pi;/&lambda;<sub>1</sub>,4,i&pi;/&lambda;<sub>2</sub>)]<br />(*4242)
|[[Archivo:H2chess 246b.png|100px]]<br />{{DCD|branch|3a3b-cross|branch}}<br /><br /><br />(*3333)
|- align=center
!colspan=4|Dominios con vértices ideales
|- align=center valign=top
|[[Archivo:Hyperbolic domains i222.png|100px]]<br />{{DCD|labelinfin|branch|2a2b-cross|nodes}}<br />[i&pi;/&lambda;<sub>1</sub>,&infin;,i&pi;/&lambda;<sub>2</sub>]<br />(*∞222)
|[[Archivo:Hyperbolic domains ii22.png|100px]]<br />{{DCD|labelinfin|branch|ia2b-cross|nodes}}<br /><br />(*∞∞22)
|[[Archivo:H2chess 24ia.png|100px]]<br />{{DCD|labelinfin|branch|2a2b-cross|branch|labelinfin}}<br />[(i&pi;/&lambda;<sub>1</sub>,&infin;,i&pi;/&lambda;<sub>2</sub>,&infin;)]<br />(*2∞2∞)
|[[Archivo:H2chess 24ib.png|100px]]<br />{{DCD|labelinfin|branch|iaib-cross|branch|labelinfin}}<br /><br />(*∞∞∞∞)
|[[Archivo:H2chess 248b.png|100px]]<br />{{DCD|label4|branch|4a4b-cross|branch|label4}}<br /><br />(*4444)
|}
Se pueden construir otros caleidoscopios hiperbólicos H<sup>2</sup> a partir de polígonos de orden superior. Al igual que los [[grupo triangular|grupos triangulares]], estos caleidoscopios pueden identificarse mediante una secuencia cíclica de órdenes de intersección de espejos alrededor del dominio fundamental, como (abcd ...), o de manera equivalente en [[notación orbifold]] como *''abcd''... Los diagramas de Coxeter-Dynkin para estas configuraciones poligonales caleidoscópicas se pueden ver como dominios fundamentales degenerados (n-1)-[[símplex]], con un [[orden cíclico]] de ramas a, b, c ... y las n*(n-3)/2 ramas restantes se etiquetan como infinito (∞), lo que representa los espejos no intersecantes. El único ejemplo no hiperbólico es la simetría euclídea de cuatro espejos en un [[teselado cuadrado]] o rectángular como {{DCD|node|infin|node|2|node|infin|node}}, [&infin;, 2, &infin;] (orbifold *2222). Otra notación de las ramas para los espejos no intersecantes ideada por [[Ernest Borisovich Vinberg|Vinberg]], representa las ramas infinitas como líneas punteadas o discontinuas, por lo que este diagrama puede mostrarse como {{DCD|nodes|2a2b-cross|nodes}}, con las cuatro ramas de orden 2 suprimidas alrededor del perímetro.

Por ejemplo, un dominio cuadrilátero (a b c d) tendrá dos ramas de orden infinito que conectan espejos ultra paralelos. El ejemplo hiperbólico más pequeño es {{DCD|node|infin|node|3|node|infin|node}}, [&infin;, 3, &infin;] o [i&pi;/&lambda;<sub>1</sub>, 3, i&pi;/&lambda;<sub>2</sub>] (orbifold *3222), donde (λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>) son la distancia entre los espejos ultraparalelos. La expresión alternativa es {{DCD|branch|2a2b-cross|nodes}}, con tres ramas de orden 2 omitidas alrededor del perímetro. Del mismo modo (2 3 2 3) (orbifold *3232) puede representarse como {{DCD|branch|2a2b-cross|branch}} y (3 3 3 3), (orbifold *3333) puede representarse como un gráfico completo {{DCD|branch|3a3b-cross|branch}}.

El dominio cuadrilátero más alto (∞ ∞ ∞ ∞) es un cuadrado infinito, representado por un gráfico [[Tetraedro|tetraédrico]] completo con 4 ramas perimetrales como vértices ideales y dos ramas diagonales como infinito (se muestran como líneas de puntos) para los espejos [[teorema de las ultraparalelas|ultraparalelos]]: {{DCD|labelinfin|branch|iaib-cross|branch|labelinfin}}.

=== Compactos (grupos de símplex de Lannér) ===
Los grupos hiperbólicos compactos se denominan grupos de Lannér, en relación con [[Folke Lannér]], que los estudió por primera vez en 1950.<ref>Folke Lannér, On complexes with transitive groups of automorphisms, Comm. Sém., Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] 11 (1950) [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0042129]</ref> Solo existen como gráficos de rango 4 y 5. Coxeter estudió los grupos de Coxeter hiperbólicos lineales en su artículo de 1954 "Panales regulares en el espacio hiperbólico",<ref>[http://www.mathunion.org/ICM/ICM1954.3/Main/icm1954.3.0155.0169.ocr.pdf Regular Honeycombs in hyperbolic space] {{Wayback|url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1954.3/Main/icm1954.3.0155.0169.ocr.pdf |date=20160610043106 }}, Coxeter, 1954</ref> que incluía [[Panales con 5 celdas de orden 5|dos soluciones racionales en espacios hiperbólicos de 4 dimensiones]]: [5/2,5,3,3] = {{DCD|node|5|rat|2x|node|5|node|3|node|3|node}} y [5,5/2,5,3] = {{DCD|node|5|node|5|rat|2x|node|5|node|3|node}}.

==== Rangos 4–5 ====
{{AP|Panales uniformes en el espacio hiperbólico}}
El dominio fundamental de cualquiera de los dos grupos bifurcantes, [5,3<sup>1,1</sup>] y [5,3,3<sup>1,1</sup>], es el doble que el de un grupo lineal correspondiente, [5,3,4] y [5,3,3,4 ] respectivamente. [[Norman Johnson|Johnson]] asigna las letras de cada elemento con el mismo criterio que los [[Ernst Witt|símbolos de Witt]] extendidos<ref name=johnson2018/>

{| class="wikitable"
|+ Grupos de Coxeter hiperbólicos compactos
|-
! valign=top|Dimensión<br />'''H<sup>d</sup>'''
! valign=top|Rango
! valign=top|Cuenta total
! valign=top|Lineal
! valign=top|Bifurcante
! valign=top|Cíclico
|-
!'''H<sup>3</sup>'''
!4
!9
| valign=top align=right|<center>'''[[Anexo:Lista de politopos regulares|3:]]'''</center>
<math>{\overline{BH}}_3</math> = [4,3,5]: {{DCD|node|4|node|3|node|5|node}}<br />
<math>{\overline{K}}_3</math> = [5,3,5]: {{DCD|node|5|node|3|node|5|node}}<br />
<math>{\overline{J}}_3</math> = [3,5,3]: {{DCD|node|3|node|5|node|3|node}}
| valign=top align=right|
<math>{\overline{DH}}_3</math> = [5,3<sup>1,1</sup>]: {{DCD|node|5|node|split1|nodes}}
| valign=top align=right|
<math>{\widehat{AB}}_3</math> = [(3<sup>3</sup>,4)]: {{DCD|label4|branch|3ab|branch}}&nbsp;<br />
<math>{\widehat{AH}}_3</math> = [(3<sup>3</sup>,5)]: {{DCD|label5|branch|3ab|branch}}&nbsp;<br />
<math>{\widehat{BB}}_3</math> = [(3,4)<sup>[2]</sup>]: {{DCD|label4|branch|3ab|branch|label4}}<br />
<math>{\widehat{BH}}_3</math> = [(3,4,3,5)]: {{DCD|label4|branch|3ab|branch|label5}}<br />
<math>{\widehat{HH}}_3</math> = [(3,5)<sup>[2]</sup>]: {{DCD|label5|branch|3ab|branch|label5}}
|-
!'''H<sup>4</sup>'''
!5
!5
| valign=top align=right|<center>'''[[Order-5 5-cell honeycomb|3:]]'''</center>
<math>{\overline{H}}_4</math> = [3<sup>3</sup>,5]: {{DCD|node|3|node|3|node|3|node|5|node}}<br />
<math>{\overline{BH}}_4</math> = [4,3,3,5]: {{DCD|node|4|node|3|node|3|node|5|node}}<br />
<math>{\overline{K}}_4</math> = [5,3,3,5]: {{DCD|node|5|node|3|node|3|node|5|node}}
| valign=top align=right|
<math>{\overline{DH}}_4</math> = [5,3,3<sup>1,1</sup>]: {{DCD|node|5|node|3|node|split1|nodes}}
| valign=top align=right|
<math>{\widehat{AF}}_4</math> = [(3<sup>4</sup>,4)]: {{DCD|label4|branch|3ab|nodes|split2|node}}
|}

=== Paracompacto (grupos de símplex de Koszul) ===
[[Archivo:Hyperbolic apeirogon example es.png|thumb|Un ejemplo de un [[teselado apeirogonal de orden 3]], {&infin;,3}, con el [[apeirógono]] (en verde) y su [[horociclo]] circunscrito]]

Los grupos de Coxeter hiperbólicos paracompactos (también llamados no compactos) contienen subgrupos afines y tienen dominios fundamentales simplex asintóticos. El grupo de Coxeter hiperbólico paracompacto más alto es el de rango 10. Estos grupos llevan el nombre del matemático francés [[Jean-Louis Koszul]].<ref>J. L. Koszul, ''Lectures on hyperbolic Coxeter groups'', University of Notre Dame (1967)</ref> También se denominan grupos cuasi-Lannér, porque extienden los grupos compactos de Lannér. La lista se completó mediante búsqueda con ordenador por M. Chein, y se publicó en 1969.<ref>M. Chein, Recherche des graphes des matrices de Coxeter hyperboliques d’ordre ≤10, Rev. Française Informat. Recherche Opérationnelle 3 (1969), no. Ser. R-3, 3–16 (French). [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0294181]</ref>

De acuerdo con Vinberg, todos menos ocho de estos 72 simplex compactos y paracompactos son aritméticos. Dos de los grupos no aritméticos son compactos: {{DCD|label4|branch|3ab|branch|label5}} y {{DCD|label4|branch|3ab|nodes|split2|node}}. Los otros seis grupos no aritméticos son todos paracompactos, con cinco grupos tridimensionales {{DCD|node|5|node|3|node|6|node}}, {{DCD|node|5|node|split1|branch}}, {{DCD|node|3|node|3|node|6|node}}, {{DCD|label4|branch|3ab|branch|label6}} y {{DCD|label5|branch|3ab|branch|label6}}, y un grupo 5-dimensional {{DCD|label4|branch|3ab|nodes|3ab|branch}}.

==== Símplices ideales ====
[[Archivo:Infinite-order triangular tiling.svg|thumb|Dominios fundamentales ideales de {{DCD|labelinfin|branch|split2-ii|node}}, [(&infin;,&infin;,&infin;)], representados sobre un [[disco de Poincaré]]]]

Hay 5 grupos de Coxeter hiperbólicos que expresan '''símplices ideales''', grafos en los que la eliminación de cualquier nodo da como resultado un grupo de Coxeter afín. Por lo tanto, todos los vértices de este símplex ideal están en el infinito.<ref>[https://arxiv.org/abs/1012.1046 Subalgebras of hyperbolic Kay-Moody algebras], Figure 5.1, p.13</ref>
{| class=wikitable
|-
!Rango
!colspan=2|Grupo ideal
!colspan=2|Subgrupos afines
|- align=center
!3
| [(&infin;,&infin;,&infin;)]||{{DCD|labelinfin|branch|split2-ii|node}}
|[&infin;]||{{DCD|node|infin|node}}
|- align=center
!4
| [4<sup>[4]</sup>]||{{DCD|label4|branch|4-4|branch|label4}}
|[4,4]||{{DCD|node|4|node|4|node}}
|- align=center
!4
| [3<sup>[3,3]</sup>]||{{DCD|tet}}
| [3<sup>[3]</sup>]||{{DCD|node|split1|branch}}
|- align=center
!4
| [(3,6)<sup>[2]</sup>]||{{DCD|label6|branch|3ab|branch|label6}}
|[3,6]||{{DCD|node|3|node|6|node}}
|- align=center
!6
| [(3,3,4)<sup>[2]</sup>]||{{DCD|label4|branch|3ab|nodes|3ab|branch|label4}}
|[4,3,3,4], [3,4,3,3]||{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}, {{DCD|node|3|node|4|node|3|node|3|node}}
|}

==== Rangos 4–10 ====
[[Archivo:633 honeycomb one cell horosphere.png|thumb|Las celdas euclídeas infinitas, como un [[teselado hexagonal]], adecuadamente escaladas, convergen a un único punto ideal en el infinito, como el [[panal de teselado hexagonal]], {6,3,3}, como muestra este patrón monocelular en una proyección sobre el [[disco de Poincaré]]]]
{{AP|Panales uniformes paracompactos}}

Hay un total de 58 grupos de Coxeter hiperbólicos paracompactos de rango 4 a 10. Los 58 se agrupan a continuación en cinco categorías. [[Norman Johnson|Johnson]] asigna las letras como los "símbolos Witt extendidos", utilizando PQRSTWUV de los símbolos de Witt afines y agregando LMNOXYZ. A estos grupos hiperbólicos se les asigna un sobrelineado, o un ''sombrero'', en los cicloesquemas. La [[notación de Coxeter|notación de corchetes]] de Coxeter es una representación linealizada del grupo de Coxeter.

{| class=wikitable
|+ Grupos paracompactos hiperbólicos 
|- align=center
!Rango !!Cuenta total !!colspan=4|Grupos
|- align=center
!4 !!23
|align=right|
<math>{\widehat{BR}}_3</math> = [(3,3,4,4)]: {{DCD|label4|branch|4-3|branch|2}}<br />
<math>{\widehat{CR}}_3</math> = [(3,4<sup>3</sup>)]: {{DCD|label4|branch|4-3|branch|label4}}<br />
<math>{\widehat{RR}}_3</math> = [4<sup>[4]</sup>]: {{DCD|label4|branch|4-4|branch|label4}}<br />
<math>{\widehat{AV}}_3</math> = [(3<sup>3</sup>,6)]: {{DCD|label6|branch|3ab|branch|2}}<br />
<math>{\widehat{BV}}_3</math> = [(3,4,3,6)]: {{DCD|label6|branch|3ab|branch|label4}}<br />
<math>{\widehat{HV}}_3</math> = [(3,5,3,6)]: {{DCD|label6|branch|3ab|branch|label5}}<br />
<math>{\widehat{VV}}_3</math> = [(3,6)<sup>[2]</sup>]: {{DCD|label6|branch|3ab|branch|label6}}
|align=right|
<math>{\overline{P}}_3</math> = [3,3<sup>[3]</sup>]: {{DCD|branch|split2|node|3|node}}<br />
<math>{\overline{BP}}_3</math> = [4,3<sup>[3]</sup>]: {{DCD|branch|split2|node|4|node}}<br />
<math>{\overline{HP}}_3</math> = [5,3<sup>[3]</sup>]: {{DCD|branch|split2|node|5|node}}<br />
<math>{\overline{VP}}_3</math> = [6,3<sup>[3]</sup>]: {{DCD|branch|split2|node|6|node}}<br />
<math>{\overline{DV}}_3</math> = [6,3<sup>1,1</sup>]: {{DCD|nodes|split2|node|6|node}}<br />
<math>{\overline{O}}_3</math> = [3,4<sup>1,1</sup>]: {{DCD|nodes|split2-44|node|3|node}}<br />
<math>{\overline{M}}_3</math> = [4<sup>1,1,1</sup>]: {{DCD|nodes|split2-44|node|4|node}}
|align=right|
<math>{\overline{R}}_3</math> = [3,4,4]: {{DCD|node|4|node|4|node|3|node}}<br />
<math>{\overline{N}}_3</math> = [4<sup>3</sup>]: {{DCD|node|4|node|4|node|4|node}}<br />
<math>{\overline{V}}_3</math> = [3,3,6]: {{DCD|node|3|node|3|node|6|node}}<br />
<math>{\overline{BV}}_3</math> = [4,3,6]: {{DCD|node|4|node|3|node|6|node}}<br />
<math>{\overline{HV}}_3</math> = [5,3,6]: {{DCD|node|5|node|3|node|6|node}}<br />
<math>{\overline{Y}}_3</math> = [3,6,3]: {{DCD|node|3|node|6|node|3|node}}<br />
<math>{\overline{Z}}_3</math> = [6,3,6]: {{DCD|node|6|node|3|node|6|node}}
|align=right|
<math>{\overline{DP}}_3</math> = [3<sup>[]x[]</sup>]: {{DCD|node|split1|branch|split2|node}}<br />
<math>{\overline{PP}}_3</math> = [3<sup>[3,3]</sup>]: {{DCD|tet}}
|- align=center
!5 !!9
|align=right|
<math>{\overline{P}}_4</math> = [3,3<sup>[4]</sup>]: {{DCD|node|split1|nodes|split2|node|3|node}}<br />
<math>{\overline{BP}}_4</math> = [4,3<sup>[4]</sup>]: {{DCD|node|split1|nodes|split2|node|4|node}}<br />
<math>{\widehat{FR}}_4</math> = [(3<sup>2</sup>,4,3,4)]: {{DCD|branch|4-4|nodes|split2|node}}<br />
<math>{\overline{DP}}_4</math> = [3<sup>[3]x[]</sup>]: {{DCD|node|split1|branchbranch|split2|node}}
|align=right|
<math>{\overline{N}}_4</math> = [4,3,((4,2,3))]: {{DCD|nodes|split2-43|node|3|node|4|node}}<br />
<math>{\overline{O}}_4</math> = [3,4,3<sup>1,1</sup>]: {{DCD|nodes|split2|node|4|node|3|node}}<br />
<math>{\overline{S}}_4</math> = [4,3<sup>2,1</sup>]: {{DCD|nodes|split2-43|node|3|node|3|node}}
|align=right|
<math>{\overline{R}}_4</math> = [(3,4)<sup>2</sup>]: {{DCD|node|4|node|3|node|4|node|3|node}}
|align=right|<math>{\overline{M}}_4</math> = [4,3<sup>1,1,1</sup>]: {{DCD|node|branch3|splitsplit2|node|4|node}}
|- align=center
!6 !!12
|align=right|
<math>{\overline{P}}_5</math> = [3,3<sup>[5]</sup>]: {{DCD|branch|3ab|nodes|split2|node|3|node}}<br />
<math>{\widehat{AU}}_5</math> = [(3<sup>5</sup>,4)]: {{DCD|label4|branch|3ab|nodes|3ab|branch}}<br />
<math>{\widehat{AR}}_5</math> = [(3,3,4)<sup>[2]</sup>]: {{DCD|label4|branch|3ab|nodes|3ab|branch|label4}}
|align=right|
<math>{\overline{S}}_5</math> = [4,3,3<sup>2,1</sup>]: {{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|4a|nodea}}<br />
<math>{\overline{O}}_5</math> = [3,4,3<sup>1,1</sup>]: {{DCD|nodes|split2|node|3|node|4|node|3|node}}<br />
<math>{\overline{N}}_5</math> = [3,(3,4)<sup>1,1</sup>]: {{DCD|node|3|node|split1|nodes|4a4b|nodes}}
|align=right| 
<math>{\overline{U}}_5</math> = [3<sup>3</sup>,4,3]: {{DCD|node|3|node|3|node|3|node|4|node|3|node}}<br />
<math>{\overline{X}}_5</math> = [3,3,4,3,3]: {{DCD|node|3|node|3|node|4|node|3|node|3|node}}<br />
<math>{\overline{R}}_5</math> = [3,4,3,3,4]: {{DCD|node|3|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}
|align=right|<math>{\overline{Q}}_5</math> = [3<sup>2,1,1,1</sup>]: {{DCD|node|branch3|splitsplit2|node|3|node|3|node}}<br />
<math>{\overline{M}}_5</math> = [4,3,3<sup>1,1,1</sup>]: {{DCD|node|branch3|splitsplit2|node|3|node|4|node}}<br />
<math>{\overline{L}}_5</math> = [3<sup>1,1,1,1,1</sup>]: {{DCD|node|branch3|splitsplit2|node|split1|nodes}}
|- align=center
!7 !!3
|align=right|
<math>{\overline{P}}_6</math> = [3,3<sup>[6]</sup>]:<br />{{DCD|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|align=right|<math>{\overline{Q}}_6</math> = [3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>2,1</sup>]:<br />{{DCD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|<math>{\overline{S}}_6</math> = [4,3<sup>2</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}
|
|- align=center
!8 !!4
|align=right|<math>{\overline{P}}_7</math> = [3,3<sup>[7]</sup>]:<br />{{DCD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|align=right|<math>{\overline{Q}}_7</math> = [3<sup>1,1</sup>,3<sup>2</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br /> {{DCD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|<math>{\overline{S}}_7</math> = [4,3<sup>3</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br /> {{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}
|align=right|<math>{\overline{T}}_7</math> = [3<sup>3,2,2</sup>]:<br />{{DCD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!9 !!4
|align=right|<math>{\overline{P}}_8</math> = [3,3<sup>[8]</sup>]:<br />{{DCD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|align=right|<math>{\overline{Q}}_8</math> = [3<sup>1,1</sup>,3<sup>3</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br />{{DCD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|<math>{\overline{S}}_8</math> = [4,3<sup>4</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}
|align=right|<math>{\overline{T}}_8</math> = [3<sup>4,3,1</sup>]:<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center
!10 !!3
|align=right|<math>{\overline{P}}_9</math> = [3,3<sup>[9]</sup>]:<br />{{DCD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|align=right|<math>{\overline{Q}}_9</math> = [3<sup>1,1</sup>,3<sup>4</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br />{{DCD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|<math>{\overline{S}}_9</math> = [4,3<sup>5</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}
|align=right|<math>{\overline{T}}_9</math> = [3<sup>6,2,1</sup>]:<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|}

===== Relaciones de los subgrupos de los grupos hiperbólicos paracompactos =====
Estos árboles representan las relaciones de los subgrupos de los grupos hiperbólicos paracompactos. Los índices de los subgrupos en cada conexión figuran en color rojo.<ref>{{cite journal|doi=10.1016/S0024-3795(01)00477-3|title=Commensurability classes of hyperbolic Coxeter groups|journal=Linear Algebra and Its Applications|volume=345|issue=1–3|pages=119–147|year=2002|last1=Johnson|first1=N.W.|last2=Kellerhals|first2=R.|last3=Ratcliffe|first3=J.G.|last4=Tschantz|first4=S.T.}}</ref> Los subgrupos de índice 2 representan una eliminación de espejo y una duplicación del dominio fundamental. Otros pueden inferirse por [[conmensurabilidad]] (relación de volúmenes enteros) para los dominios tetraédricos.

{| class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=4|Árboles de subgrupos
|-
!H<sup>3</sup>
|[[Archivo:Hyperbolic subgroup tree 36.png|320px]]
|[[Archivo:Hyperbolic subgroup tree 336-direct.png|x230px]]
|[[Archivo:Hyperbolic subgroup tree 363.png|x230px]]
|[[Archivo:Hyperbolic subgroup tree 344.png|x230px]]
|-
!H<sup>4</sup>
|[[Archivo:Hyperbolic subgroup tree 3434.png|320px]]
|-
!H<sup>5</sup>
|[[Archivo:Hyperbolic subgroup tree 33343.png|320px]]
|}

=== Grupos de Coxeter hipercompactos (politopos de Vinberg) ===
Al igual que el plano hiperbólico H<sup>2</sup> tiene dominios poligonales no triangulares, también existen dominios hiperbólicos reflexivos de dimensiones superiores. Estos dominios no simples pueden considerarse simplíces degenerados con espejos no intersecantes de orden infinito. En un diagrama de Coxeter, tales ramas se representan con líneas punteadas o discontinuas. Estos dominios ''no simples'' se llaman '''politopos de Vinberg''', en referencia a [[Ernest Vinberg]], creador del [[algoritmo de Vinberg]] para encontrar el dominio fundamental no simple de un grupo de reflexión hiperbólica. Geométricamente, estos dominios fundamentales se pueden clasificar como [[Pirámide (geometría)|pirámides]], o [[Prisma (geometría)|prismas]] cuadriláteros u otros [[politopo]]s con aristas como la intersección de dos espejos que tienen un [[ángulo diedro]] de π/n para n = 2,3,4 ...

En un dominio basado en simplex, hay ''n''+1 espejos para el espacio n-dimensional. En dominios no simples, hay más de ''n''+1 espejos. La lista es finita, pero no completamente conocida. En cambio, las listas parciales se han enumerado como ''n''+''k'' espejos para k como 2,3 y 4.

Los grupos de Coxeter hipercompactos en un espacio tridimensional o superior difieren de los grupos bidimensionales en un aspecto esencial. Dos n-ágonos hiperbólicos que tienen los mismos ángulos en el mismo [[orden cíclico]] pueden tener diferentes longitudes de arista y, en general, no son [[Congruencia (geometría)|congruentes]] entre sí. En contraste, los ''politopos de Vinberg'' en 3 dimensiones o más están completamente determinados por los ángulos diédricos. Este hecho se basa en el [[teorema de rigidez de Mostow]], que implica que dos grupos isomórficos generados por reflexiones en H<sup>n</sup> para n>=3, definen dominios fundamentales congruentes (politopos de Vinberg).

==== Politopos de Vinberg con rango n+2 para un espacio n dimensional ====

F. Esselmann enumeró la lista completa de politopes hiperbólicos compactos de Vinberg con espejos de rango ''n+2'' para dimensión n en 1996.<ref>F. Esselmann, ''The classification of compact hyperbolic Coxeter d-polytopes with d+2 facets.'' Comment. Math. Helvetici 71 (1996), 229–242. [https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02566418]</ref> Una lista parcial fue publicada en 1974 por I. M. Kaplinskaya.<ref>I. M. Kaplinskaya, ''Discrete groups generated by reflections in the faces of simplicial prisms in Lobachevskian spaces. ''Math. Notes,15 (1974), 88–91. [https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01153552]</ref>

La lista completa de soluciones paracompactas fue publicada por P. Tumarkin en 2003, con dimensiones de 3 a 17.<ref>[https://arxiv.org/abs/math/0301133.pdf P. Tumarkin, ''Hyperbolic Coxeter n-polytopes with n+2 facets'' (2003)]</ref>

La forma paracompacta más pequeña en H<sup>3</sup> se puede representar mediante {{DCD|node|ultra|node|3|node|3|node|ultra|node}}, o [&infin;, 3,3, &infin;] que se puede construir mediante la eliminación del espejo del grupo hiperbólico paracompacto [3,4,4] como [3,4,1<sup>+</sup>,4]. El dominio fundamental duplicado cambia de un [[tetraedro]] a una pirámide cuadrilátera. Otras pirámides incluyen [4,4,1<sup>+</sup>, 4] = [&infin;, 4,4, &infin;], {{DCD|node|4|node|4|node_h0|4|node}} = {{DCD|node|ultra|node|4|node|4|node|ultra|node}}. Al quitar un espejo de algunos de los gráficos de Coxeter hiperbólicos cíclicos, se convierten en gráficos de ''lazo de corbata'': [(3,3,4,1<sup>+</sup>, 4)] = [(((3, &infin;, 3)), ((3, &infin;, 3))] o {{DCD|branchu|split2|node|split1|branchu}}, [(3,4,4,1<sup>+</sup>, 4)] = [((4, &infin;, 3)), ((3, &infin;, 4))] o {{DCD|branchu|split2-43|node|split1-43|branchu}} , [(4,4,4,1<sup>+</sup>, 4)] = [((4, &infin;, 4)), ((4, &infin;, 4))] o {{DCD|branchu|split2-44|node|split1-44|branchu}}.

Otros gráficos paracompactos válidos con dominios fundamentales de la pirámide cuadrilátera, incluyen:
{| class=wikitable
|-
!Dimensión
!Rango
!Grafos
|-
!H<sup>3</sup>
!5
|
: {{DCD|node|ultra|node|3|node|3|node|ultra|node}}, {{DCD|node|ultra|node|3|node|4|node|ultra|node}}, {{DCD|node|ultra|node|4|node|4|node|ultra|node}}, {{DCD|node|ultra|node|3|node|5|node|ultra|node}}, {{DCD|node|ultra|node|3|node|6|node|ultra|node}}
: {{DCD|branchu|split2|node|3|node|ultra|node}}, {{DCD|branchu|split2|node|4|node|ultra|node}}, {{DCD|branchu|split2-43|node|3|node|ultra|node}}, {{DCD|branchu|split2-43|node|4|node|ultra|node}}, {{DCD|branchu|split2-44|node|3|node|ultra|node}}, {{DCD|branchu|split2-44|node|4|node|ultra|node}}
: {{DCD|branchu|split2-53|node|3|node|ultra|node}}, {{DCD|branchu|split2-54|node|3|node|ultra|node}}, {{DCD|branchu|split2-55|node|3|node|ultra|node}}, {{DCD|branchu|split2-63|node|3|node|ultra|node}}, {{DCD|branchu|split2-64|node|3|node|ultra|node}}, {{DCD|branchu|split2-65|node|3|node|ultra|node}}, {{DCD|branchu|split2-66|node|3|node|ultra|node}}
: {{DCD|branchu|split2|node|split1|branchu}}, {{DCD|branchu|split2-43|node|split1|branchu}}, {{DCD|branchu|split2-53|node|split1|branchu}}, {{DCD|branchu|split2-44|node|split1|branchu}}, {{DCD|branchu|split2-43|node|split1-43|branchu}}, {{DCD|branchu|split2-44|node|split1-43|branchu}}, {{DCD|branchu|split2-44|node|split1-44|branchu}}, {{DCD|branchu|split2-54|node|split1|branchu}}, {{DCD|branchu|split2-55|node|split1|branchu}}, {{DCD|branchu|split2-63|node|split1|branchu}}, {{DCD|branchu|split2-64|node|split1|branchu}}, {{DCD|branchu|split2-65|node|split1|branchu}}, {{DCD|branchu|split2-66|node|split1|branchu}}
|}

Otro subgrupo [1<sup>+</sup>, 4<sup>1,1,1</sup>] = [&infin;, 4,1<sup>+</sup>, 4, &infin;] = [&infin; <sup>[6]</sup>]. {{DCD|node|4|node_h0|split1-44|nodes}} = {{DCD|node|ultra|node|4|node_h0|4|node|ultra|node}} = {{DCD|node|split1-uu|nodes|2a2b-cross|nodes|split2-uu|node}}.<ref>Norman W. Johnson and Asia Ivic Weiss, ''Quadratic Integers and Coxeter Groups'', Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336 [http://cms.math.ca/cjm/v51/weisscox8.pdf] {{Wayback|url=http://cms.math.ca/cjm/v51/weisscox8.pdf |date=20140326074634 }}</ref>

==== Politopos de Vinberg con rango n+3 para un espacio n dimensional ====

Hay un número finito de símplex fundamentales degenerados que existen hasta 8 dimensiones. P. Tumarkin enumeró la lista completa de politopos compactos de Vinberg con espejos de rango ''n+3'' para ''n'' dimensiones en 2004. Estos grupos están etiquetados mediante líneas punteadas/discontinuas para ramas ultra paralelas. Mike Roberts ha enumerado la lista completa de politopos de Vinberg no compactos con espejos de rango ''n+3'' y con un vértice no simple para n-dimensiones.<ref>[https://arxiv.org/abs/1511.08451] A Classification of Non-Compact Coxeter Polytopes with ''n+3'' Facets and One Non-Simple Vertex</ref>

Para 4 a 8 dimensiones, los grupos de Coxeter de rango 7 a 11 se cuentan como 44, 16, 3, 1 y 1 respectivamente.<ref>[http://arxiv-web3.library.cornell.edu/pdf/math/0406226v2.pdf P. Tumarkin, Compact hyperbolic Coxeter (2004)]</ref> El más alto fue descubierto por Bugaenko en 1984 en la dimensión 8 y rango 11.<ref>V. O. Bugaenko, ''Groups of automorphisms of unimodular hyperbolic quadratic forms over the ring Zh√5+12'' i. Moscow Univ. Math. Bull. 39 (1984), 6-14.</ref>

{| class=wikitable style="text-align:center;"
|-
!Dimensiones
!Rango
!Casos
!colspan=3|Grafos
|-
!H<sup>4</sup>
!7
||44||colspan=3|...
|-
!H<sup>5</sup>
!8
||16||colspan=3|..
|-
!H<sup>6</sup>
!9
|3
|{{DCD|node|5|node|split1-43|nodes|ua3b|nodes u0|ua3b|nodes|split2-43|node|5|node}}
|{{DCD|node|5|node|3|node|3|node|split1|nodes|3aub|branch|3a|10a|nodea}}
|{{DCD|nodea|5a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3aub|nodes|splitcross|branch|label5}}
|-
!H<sup>7</sup>
!10
|1
|colspan=3|{{DCD|node|split1-53|nodes|3ab|branch|ua3b|branch|3ab|nodes|split2-53|node}}
|-
!H<sup>8</sup>
!11
|1
|colspan=3|{{DCD|nodea|5a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3aub|nodes 0u|3aub|branch|3a|nodea|3a|nodea|5a|nodea}}
|}

==== Politopos de Vinberg con rango n+4 para un espacio n dimensional ====

Hay un número finito de simplificadores fundamentales degenerados que existen hasta 8 dimensiones. Los politopos compactos de Vinberg con espejos de rango ''n+4'' para n-dimensiones han sido explorados por A. Felikson y P. Tumarkin en 2005.<ref>Anna Felikson, Pavel Tumarkin, ''On compact hyperbolic Coxeter d-polytopes with d+4 facets'', 2005  [https://arxiv.org/abs/math/0510238]</ref>

== Grupos lorentzianos ==
{| class=wikitable align=right width=240px
|+ Panales regulares con grupos lorentzianos
|- valign=top
|[[File:Hyperbolic honeycomb 3-3-7 poincare cc.png|120px]]<br />[[Panal tetraédrico de orden 7|{3,3,7}]] visto fuera del modelo de la bola de Poincare
|[[File:Hyperbolic honeycomb 7-3-3 poincare vc.png|120px]]<br />[[Panal de teselado heptagonal|{7,3,3}]] visto fuera del modelo de la bola de Poincare
|}
[[File:6333 coxeter diagrams.png|thumb|Grupos lorentzianos de rango 5 organizados como subgrupos de [6,3,3,3], y [6,3,6,3]. El grupo altamente simétrico {{DCD|pent}}, [3<sup>[3,3,3]</sup>] es un subgrupo de índice 120 de [6,3,3,3] ]]

Los grupos lorentzianos para dominios simplex pueden definirse como gráficos más allá de las formas hiperbólicas paracompactas. A veces se denominan símplices súper ideales y también están relacionados con la [[Variedad pseudoriemanniana|geometría lorentziana]], llamada así por el trabajo de [[Hendrik Antoon Lorentz]] sobre el espacio-tiempo en el campo de la [[teoría de la relatividad especial]] y de la [[relatividad general]], que contiene uno (o más) componentes dimensionales ''similares al tiempo'' cuyos productos escalares por sí mismos son negativos.<ref name=johnson2018>Norman Johnson, ''Geometries and Transformations'' (2018), Chapter 13: Hyperbolic Coxeter groups, 13.6 Lorentzian lattices</ref> [[Danny Calegari]] los denomina grupos de Coxeter ''cocompactos convexos'' en el espacio hiperbólico n-dimensional.<ref>[http://www.cornell.edu/video/danny-calegari-random-groups-diamonds-glass Random groups, diamonds and glass], Danny Calegari of the University of Chicago, June 25, 2014 at the Bill Thurston Legacy Conference</ref><ref>[https://arxiv.org/abs/1411.1506 Coxeter groups and random groups],  Danny Calegari, last revised 4 Apr 2015</ref>

Un artículo de 1982 de George Maxwell, "Empacamiento de Esferas y Grupos de Reflexión Hiperbólica", enumera la lista finita de grupos lorentzianos de rango 5 a 11. Los llama de "nivel 2", lo que significa que la eliminación de cualquier permutación de 2 nodos deja un grafo finito o euclídeo. Su enumeración está completa, pero no enumeró los grafos que son un subgrupo de otro. Todos los grupos de Coxeter con ramas de orden superior al rango 4 son lorentzianos, terminando en el límite como un ''Diagrama de Coxeter-Dynkin'' de [[grafo completo]] 3-[[símplex]] y con 6 ramas de orden infinito, que se pueden expresar como [&infin; <sup>[3,3]</sup>]. Los rangos 5-11 tienen un número finito de grupos lorentzianos (186, 66, 36, 13, 10, 8 y 4 respectivamente).<ref>{{cite journal|doi=10.1016/0021-8693(82)90318-0|title=Sphere packings and hyperbolic reflection groups|journal=Journal of Algebra|volume=79|pages=78–97|year=1982|last1=Maxwell|first1=George}}</ref> Un artículo de 2013 de H. Chen y J.-P. Labbé, ''Lorentzian Coxeter groups and Boyd - Maxwell ball packings'', recalculó y publicó la lista completa.<ref>Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, ''Lorentzian Coxeter groups and Boyd-Maxwell ball packings'', https://arxiv.org/abs/1310.8608</ref>

Para los rangos más altos 8-11, las listas completas son:
{| class=wikitable
|+ Grupos de Coxeter lorentzianos 
|- align=center
!Rango
!Cuenta<br />total
!colspan=4|Grupos
|- align=center
!4
!∞
| colspan="4" style="text-align:left;"| [3,3,7] ... [&infin;,&infin;,&infin;]: {{DCD|node|3|node|3|node|7|node}}... {{DCD|node|infin|node|infin|node|infin|node}}<br />
[4,3<sup>[3]</sup>] ... [&infin;,&infin;<sup>[3]</sup>]: {{DCD|node|4|node|split1|branch}}... {{DCD|node|infin|node|split1-ii|branch|labelinfin}}<br />
[5,4<sup>1,1</sup>] ... [&infin;<sup>1,1,1</sup>]: {{DCD|node|5|node|split1-44|nodes}}... {{DCD|node|infin|node|split1-ii|nodes}}<br />
... [(5,4,3,3)] ... [&infin;<sup>[4]</sup>]: ... {{DCD|label5|branch|4a3b|branch}}... {{DCD|labelinfin|branch|iaib|branch|labelinfin}}<br />
... [4<sup>[]×[]</sup>] ... [&infin;<sup>[]×[]</sup>]: ... {{DCD|node|split1-ii-i|branch|split2-ii|node}}<br />
... [4<sup>[3,3]</sup>] ... [&infin;<sup>[3,3]</sup>]
|- align=center
!5
!186
|...[3<sup>[3,3,3]</sup>]:{{DCD|pent}}...
| colspan="4" style="text-align:left;"|
|- align=center
!6
!66
| colspan="4" style="text-align:left;"|
|- align=center
!7
!36
| colspan="4" style="text-align:left;"|[3<sup>1,1,1,1,1,1</sup>]: {{DCD|node|branch3|splitsplit2|node|splitsplit1|branch3|node}}...
|- align=center
!8
!13
|align=right|
[3,3,3<sup>[6]</sup>]:{{DCD|node|3|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node}}<br />
[3,3<sup>[6]</sup>,3]:{{DCD|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}<br />
[3,3<sup>[2+4]</sup>,3]:{{DCD|nodea|3a|branch|3ab|nodes|3ab|branch|3a|nodea}}<br />
[3,3<sup>[1+5]</sup>,3]:{{DCD|nodes|3ab|branch|3ab|nodes|3ab|branch}}<br />
[3<sup>[&nbsp;]e×[3]</sup>]:{{DCD|node|splitsplit1|nodeabc|3abc|nodeabc|splitsplit2|node}}

|align=right|
[4,3,3,3<sup>3,1</sup>]:{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}<br />
[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>3,1</sup>]:{{DCD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}<br />
[3,(3,3,4)<sup>1,1</sup>]:{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br />
{{DCD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br />
{{DCD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|branch|3a|nodea}}<br />
[3<sup>2,1</sup>,3,3<sup>2,1</sup>]:{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}<br />
|align=right|

|align=right|
[4,3,3,3<sup>2,2</sup>]:{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes}}<br />
[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>2,2</sup>]:{{DCD|nodes|split2|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes}}

|- align=center
!9
!10
|align=right|
[3,3<sup>[3+4]</sup>,3]:{{DCD|nodea|3a|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}<br />
[3,3<sup>[9]</sup>]:{{DCD|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|branch}}<br />
[3,3<sup>[2+5]</sup>,3]:{{DCD|nodea|3a|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split5b|nodes}}

|align=right|[3<sup>2,1</sup>,3<sup>2</sup>,3<sup>2,1</sup>]:{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|[3<sup>3,1</sup>,3<sup>3</sup>,4]:{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br />
[3<sup>3,1</sup>,3,3,3<sup>1,1</sup>]:{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}

|align=right|[3<sup>3,3,2</sup>]:{{DCD|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node}}<br />
[3<sup>2,2,4</sup>]:{{DCD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br />
[3<sup>2,2</sup>,3<sup>3</sup>,4]:{{DCD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}<br />
[3<sup>2,2</sup>,3,3,3<sup>1,1</sup>]:{{DCD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node|split1|nodes}}

|- align=center
!10
!8
|align=right|[3,3<sup>[8]</sup>,3]:{{DCD|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}<br />
[3,3<sup>[3+5]</sup>,3]:{{DCD|nodea|3a|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|branch|3a|nodea}}<br />
[3,3<sup>[9]</sup>]:{{DCD|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|branch}}
|align=right|[3<sup>2,1</sup>,3<sup>3</sup>,3<sup>2,1</sup>]:{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|[3<sup>5,3,1</sup>]:{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}<br />
[3<sup>3,1</sup>,3<sup>4</sup>,4]:{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br />
[3<sup>3,1</sup>,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]:{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}

|align=right|[3<sup>4,4,1</sup>]:{{DCD|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|- align=center
!11
!4
|
|align=right|[3<sup>2,1</sup>,3<sup>4</sup>,3<sup>2,1</sup>]:{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|[3<sup>2,1</sup>,3<sup>6</sup>,4]:{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br />
[3<sup>2,1</sup>,3<sup>5</sup>,3<sup>1,1</sup>]:{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}
|align=right|[3<sup>7,2,1</sup>]:{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|}

=== Diagramas de Coxeter muy extendidos ===
La definición del [[diagrama de Dynkin]] considera los grupos afines como '''extendidos''', los grupos hiperbólicos como '''sobre extendidos''', y con un tercer nodo, los grupos simples, como '''muy extendidos'''. Estas extensiones generalmente están marcadas por un exponente de 1, 2 o 3 símbolos ''+'' según el número de nodos extendidos. Esta serie de extensión se puede ampliar hacia atrás, eliminando secuencialmente los nodos de la misma posición en el gráfico, aunque el proceso se detiene después de eliminar un nodo de ramificación. La familia extendida [[En (álgebra de Lie)|E<sub>8</sub>]] es el ejemplo más comúnmente mostrado, que se extiende hacia atrás hasta E<sub>3</sub>, y hacia adelante hasta E<sub>11</sub>.

El proceso de extensión puede definir una serie limitada de gráficos de Coxeter que progresan de finitos a afines, y de hiperbólicos a lorentzianos. El determinante de las matrices de Cartan determina dónde cambia la serie de finito (positivo) a afín (cero) y a hiperbólico (negativo); y termina como un grupo lorentziano, que contiene al menos un subgrupo hiperbólico.<ref>[https://arxiv.org/pdf/hep-th/0608161.pdf Kac-Moody Algebras in M-theory]</ref> Los grupos H<sub>n</sub> no cristalográficos forman una serie ''extendida'' donde H<sub>4</sub> se extiende como un compacto hiperbólico y se sobre extiende en un grupo lorentziano.

Los determinantes de la matriz de Schläfli por rango son:<ref>[http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/70011 Cartan–Gram determinants for the simple Lie groups], Wu, Alfred C. T, The American Institute of Physics, Nov 1982</ref>

* det (A<sub>1</sub><sup>n</sup> = [2<sup>n-1</sup>]) = 2<sup>n</sup> (finito para todos los n)
* det (A<sub>n</sub> = [3<sup>n-1</sup>]) = n + 1 (finito para todos los n)
* det (B<sub>n</sub> = [4,3<sup>n-2</sup>]) = 2 (finito para todos los n)
* det (D<sub>n</sub> = [3<sup>n-3,1,1</sup>]) = 4 (finito para todos los n)

Los determinantes de la matriz de Schläfli en series excepcionales son:
* det ([[En (álgebra de Lie)|E<sub>n</sub>]] = [3<sup>n-3,2,1</sup>]) = 9-n (finito para E<sub>3</sub> (= A<sub>2</sub>A<sub>1</sub>), E<sub>4</sub> (= A<sub>4</sub>),E<sub>5</sub> (= D<sub>5</sub>), [[E6 (mathematics)|E<sub>6</sub>]], [[E7 (mathematics)|E<sub>7</sub>]] y [[E8 (matemáticas)|E<sub>8</sub>]], afines en [[retícula E8|E<sub>9</sub>]] (<math>{\tilde{E}}_{8}</math>), hiperbólicos en E<sub>10</sub>)

* det ([3<sup>n-4,3,1</sup>]) = 2 (8-n) (finito para n = 4 a 7, afín (<math>{\tilde{E}}_{7}</math>) e hiperbólico en n = 8)
* det ([3<sup>n-4,2,2</sup>]) = 3 (7-n) (finito para n = 4 a 6, afín (<math>{\tilde{E}}_{6}</math>) e hiperbólico en n = 7)
* det (F<sub>n</sub> = [3,4,3<sup>n-3</sup>]) = 5-n (finito para F<sub>3</sub> (= B<sub>3</sub>) a [[F4 (mathematics)|F<sub>4</sub>]], afinado en [[retícula F4|F<sub>5</sub>]] (<math>{\tilde{F}}_{4}</math>), hiperbólico en F<sub>6</sub>)
* det (G<sub>n</sub> = [6,3<sup>n-2</sup>]) = 3-n (finito para [[G2 (mathematics)|G<sub>2</sub>]], afín en G<sub>3</sub> (<math>{\tilde{G}}_{2}</math>), hiperbólico en G<sub>4</sub>)

{| class=wikitable
|+ Series de extensión baja
|-
!Finito
!<math>A_2</math>
!<math>C_2</math>
![[G2 (matemáticas)|<math>G_2</math>]]
!<math>A_3</math>
!<math>B_3</math>
!<math>C_3</math>
!<math>H_4</math>
|-
!Rango n
![3<sup>[3]</sup>,3<sup>n-3</sup>]
![4,4,3<sup>n-3</sup>]
!G<sub>n</sub>=[6,3<sup>n-2</sup>]
![3<sup>[4]</sup>,3<sup>n-4</sup>]
![4,3<sup>1,n-3</sup>]
![4,3,4,3<sup>n-4</sup>]
!H<sub>n</sub>=[5,3<sup>n-2</sup>]
|-
!2
| style="background:#ffffe0;"|[3]<br />A<sub>2</sub><br />{{DCD|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[4]<br />C<sub>2</sub><br />{{DCD|node|4|node}}
| style="background:#ffffe0;"|[6]<br />G<sub>2</sub><br />{{DCD|node|6|node}}
|
|[2]<br />A<sub>1</sub><sup>2</sup><br />{{DCD|nodes}}
|[4]<br />C<sub>2</sub><br />{{DCD|node|4|node}}
|[5]<br />H<sub>2</sub><br />{{DCD|node|5|node}}
|-
!3
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[3]</sup>]<br />A<sub>2</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_{2}</math><br />{{DCD|branch|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,4]<br />C<sub>2</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{C}}_{2}</math><br />{{DCD|node|4|node|4|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[6,3]<br />G<sub>2</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{G}}_{2}</math><br />{{DCD|node|6|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[3,3]=A<sub>3</sub><br />{{DCD|node|split1|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3]<br />B<sub>3</sub><br />{{DCD|nodes|split2-43|node}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3]<br />C<sub>3</sub><br />{{DCD|node|4|node|3|node}}
|[5,3]<br />H<sub>3</sub><br />{{DCD|node|5|node|3|node}}
|-
!4
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[3]</sup>,3]<br />A<sub>2</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{P}}_3</math><br />{{DCD|branch|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,4,3]<br />C<sub>2</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{R}}_3</math><br />{{DCD|node|4|node|4|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[6,3,3]<br />G<sub>2</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{V}}_3</math><br />{{DCD|node|6|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[4]</sup>]<br />A<sub>3</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_3</math><br />{{DCD|node|split1|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3<sup>1,1</sup>]<br />B<sub>3</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{3}</math><br />{{DCD|nodes|split2-43|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3,4]<br />C<sub>3</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{C}}_{3}</math><br />{{DCD|node|4|node|3|node|4|node_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[5,3,3]<br />H<sub>4</sub><br />{{DCD|node|5|node|3|node|3|node}}
|-
!5
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[3]</sup>,3,3]<br />A<sub>2</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|branch|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,4,3,3]<br />C<sub>2</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|node|4|node|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[6,3,3,3]<br />G<sub>2</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|node|6|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[4]</sup>,3]<br />A<sub>3</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{P}}_4</math><br />{{DCD|node|split1|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3<sup>2,1</sup>]<br />B<sub>3</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{S}}_4</math><br />{{DCD|nodes|split2-43|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3,4,3]<br />C<sub>3</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{R}}_4</math><br />{{DCD|node|4|node|3|node|4|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[5,3<sup>3</sup>]<br />H<sub>5</sub>=<math>{\overline{H}}_4</math><br />{{DCD|node|5|node|3|node|3|node|3|node}}
|-
!6
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[4]</sup>,3,3]<br />A<sub>3</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|node|split1|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3<sup>3,1</sup>]<br />B<sub>3</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|nodes|split2-43|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3,4,3,3]<br />C<sub>3</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|node|4|node|3|node|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[5,3<sup>4</sup>]<br />H<sub>6</sub><br />{{DCD|node|5|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!Det(M<sub>n</sub>)
|3(3-''n'')
|2(3-''n'')
|3-''n''
|4(4-''n'')
|colspan=2|2(4-''n'')
|
|}

{| class=wikitable
|+ Series de extensión media
|-
!Finito
!<math>A_4</math>
!<math>B_4</math>
!<math>C_4</math>
!<math>D_4</math>
![[F4 (mathematics)|<math>F_4</math>]]
!<math>A_5</math>
!<math>B_5</math>
!<math>D_5</math>
|-
!Rango n
![3<sup>[5]</sup>,3<sup>n-5</sup>]
![4,3,3<sup>n-4,1</sup>]
![4,3,3,4,3<sup>n-5</sup>]
![3<sup>n-4,1,1,1</sup>]
![3,4,3<sup>n-3</sup>]
![3<sup>[6]</sup>,3<sup>n-6</sup>]
![4,3,3,3<sup>n-5,1</sup>]
![3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>n-5,1</sup>]
|-
!3
|
|[4,3<sup>−1,1</sup>]<br />B<sub>2</sub>A<sub>1</sub><br />{{DCD|nodea|4a|nodea|2|nodeb}}
|[4,3]<br />B<sub>3</sub><br />{{DCD|node|4|node|3|node}}
|[3<sup>−1,1,1,1</sup>]<br />A<sub>1</sub><sup>3</sup><br />{{DCD|nodeabc}}
|[3,4]<br />B<sub>3</sub><br />{{DCD|node|3|node|4|node}}
|
|[4,3,3]<br />C<sub>3</sub><br />{{DCD|node|4|node|3|node}}
|-
!4
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>3</sup>]<br />A<sub>4</sub><br />{{DCD|branch|3ab|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3,3]<br />B<sub>4</sub><br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3,3]<br />C<sub>4</sub><br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>0,1,1,1</sup>]<br />D<sub>4</sub><br />{{DCD|node|branch3|splitsplit2|node}}
| style="background:#ffffe0;"|[3,4,3]<br />F<sub>4</sub><br />{{DCD|node|3|node|4|node|3|node}}
|
|[4,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br />B<sub>3</sub>A<sub>1</sub><br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>−1,1</sup>]<br />A<sub>3</sub>A<sub>1</sub><br />{{DCD|nodea|3a|branch|2|nodeb}}
|-
!5
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[5]</sup>]<br />A<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_{4}</math><br />{{DCD|branch|3ab|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3,3<sup>1,1</sup>]<br />B<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{4}</math><br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3,3,4]<br />C<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{C}}_{4}</math><br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>1,1,1,1</sup>]<br />D<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_{4}</math><br />{{DCD|node|branch3|splitsplit2|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3,4,3,3]<br />F<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{F}}_{4}</math><br />{{DCD|node|3|node|4|node|3|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>4</sup>]<br />A<sub>5</sub><br />{{DCD|node|split1|nodes|3ab|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3,3,3,3]<br />B<sub>5</sub><br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3]<br />D<sub>5</sub><br />{{DCD|nodea|3a|branch|3a|branch}}
|-
!6
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[5]</sup>,3]<br />A<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{P}}_5</math><br />{{DCD|branch|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3,3<sup>2,1</sup>]<br />B<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{S}}_5</math><br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3,3,4,3]<br />C<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{R}}_5</math><br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|4|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>2,1,1,1</sup>]<br />D<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{Q}}_5</math><br />{{DCD|node|branch3|splitsplit2|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3,4,3<sup>3</sup>]<br />F<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{U}}_5</math><br />{{DCD|node|3|node|4|node|3|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[6]</sup>]<br />A<sub>5</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_5</math><br />{{DCD|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3,3,3<sup>1,1</sup>]<br />B<sub>5</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{5}</math><br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>1,1</sup>]<br />D<sub>5</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_5</math><br />{{DCD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea_c1}}
|-
!7
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[5]</sup>,3,3]<br />A<sub>4</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|branch|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3,3<sup>3,1</sup>]<br />B<sub>4</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3,3,4,3,3]<br />C<sub>4</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>3,1,1,1</sup>]<br />D<sub>4</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|node|branch3|splitsplit2|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3,4,3<sup>4</sup>]<br />F<sub>4</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|node|3|node|4|node|3|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[6]</sup>,3]<br />A<sub>5</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{P}}_6</math><br />{{DCD|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3,3,3<sup>2,1</sup>]<br />B<sub>5</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{S}}_6</math><br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>2,1</sup>]<br />D<sub>5</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{Q}}_6</math><br />{{DCD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
|-
!8
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[6]</sup>,3,3]<br />A<sub>5</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3,3,3<sup>3,1</sup>]<br />B<sub>5</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>3,1</sup>]<br />D<sub>5</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
|- align=center
!Det(M<sub>n</sub>)
|5(5-''n'')
|colspan=2|2(5-''n'')
|4(5-''n'')
|5-''n''
|6(6-''n'')
|4(6-''n'')
|}

{| class=wikitable
|+ Algunas series de extensión alta
|-
!Finito
!<math>A_6</math>
!<math>B_6</math>
!<math>D_6</math>
!<math>E_6</math>
!<math>A_7</math>
!<math>B_7</math>
!<math>D_7</math>
!<math>E_7</math>
![[En (álgebra de Lie)|<math>E_8</math>]]
|-
!Rango n
![3<sup>[7]</sup>,3<sup>n-7</sup>]
![4,3<sup>3</sup>,3<sup>n-6,1</sup>]
![3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>n-6,1</sup>]
![3<sup>n-5,2,2</sup>]
![3<sup>[8]</sup>,3<sup>n-8</sup>]
![4,3<sup>4</sup>,3<sup>n-7,1</sup>]
![3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>n-7,1</sup>]
![3<sup>n-5,3,1</sup>]
!E<sub>n</sub>=[3<sup>n-4,2,1</sup>]
|-
!3
|
|
|
|
|
|
|
|
|[3<sup>−1,2,1</sup>]<br />E<sub>3</sub>=A<sub>2</sub>A<sub>1</sub><br />{{DCD|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|-
!4
|
|
|
|[3<sup>−1,2,2</sup>]<br />A<sub>2</sub><sup>2</sup><br />{{DCD|nodes|3ab|nodes}}
|
|
|
|[3<sup>−1,3,1</sup>]<br />A<sub>3</sub>A<sub>1</sub><br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>0,2,1</sup>]<br />E<sub>4</sub>=A<sub>4</sub><br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
|-
!5
|
|[4,3,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br />B<sub>4</sub>A<sub>1</sub><br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br />D<sub>4</sub>A<sub>1</sub><br />{{DCD|nodea|3a|branch|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>0,2,2</sup>]<br />A<sub>5</sub><br />{{DCD|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|
|
|
|[3<sup>0,3,1</sup>]<br />A<sub>5</sub><br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
|[3<sup>1,2,1</sup>]<br />E<sub>5</sub>=D<sub>5</sub><br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}
|-
!6
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>5</sup>]<br />A<sub>6</sub><br />{{DCD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3<sup>4</sup>]<br />B<sub>6</sub><br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3]<br />D<sub>6</sub><br />{{DCD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>1,2,2</sup>]<br />E<sub>6</sub><br />{{DCD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|
|[4,3,3,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br />B<sub>5</sub>A<sub>1</sub><br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br />D<sub>5</sub>A<sub>1</sub><br />{{DCD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>1,3,1</sup>]<br />D<sub>6</sub><br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}
|[3<sup>2,2,1</sup>]<br />E<sub>6</sub> [[:File:DynkinE6Full.svg|*]]<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
!7
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[7]</sup>]<br />A<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_6</math><br />{{DCD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br />B<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{6}</math><br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>1,1</sup>]<br />D<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_6</math><br />{{DCD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>2,2,2</sup>]<br />E<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{E}}_6</math><br />{{DCD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>6</sup>]<br />A<sub>7</sub><br />{{DCD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3<sup>5</sup>]<br />B<sub>7</sub><br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>0,1</sup>]<br />D<sub>7</sub><br />{{DCD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>2,3,1</sup>]<br />E<sub>7</sub> [[:File:DynkinE7Full.svg|*]]<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|[3<sup>3,2,1</sup>]<br />E<sub>7</sub> [[:File:DynkinE7Full.svg|*]]<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
!8
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[7]</sup>,3]<br />A<sub>6</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{P}}_7</math><br />{{DCD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3<sup>3</sup>,3<sup>2,1</sup>]<br />B<sub>6</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{S}}_7</math><br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>2,1</sup>]<br />D<sub>6</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{Q}}_7</math><br />{{DCD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>3,2,2</sup>]<br />E<sub>6</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{T}}_7</math><br />{{DCD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[8]</sup>]<br />A<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_7</math> [[:File:AffineA7.svg|*]]<br />{{DCD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3<sup>4</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br />B<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{7}</math> [[:File:AffineB7.svg|*]]<br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>1,1</sup>]<br />D<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_7</math> [[:File:AffineD7.svg|*]]<br />{{DCD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>3,3,1</sup>]<br />E<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{E}}_{7}</math> [[:File:AffineE7.svg|*]]<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>4,2,1</sup>]<br />E<sub>8</sub> [[:File:DynkinE8Full.svg|*]]<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
!9
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[7]</sup>,3,3]<br />A<sub>6</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3<sup>3</sup>,3<sup>3,1</sup>]<br />B<sub>6</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>3,1</sup>]<br />D<sub>6</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>4,2,2</sup>]<br />E<sub>6</sub><sup>+++</sup><br />{{DCD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[8]</sup>,3]<br />A<sub>7</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{P}}_8</math> [[:File:HyberbolicAffineA7.svg|*]]<br />{{DCD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3<sup>4</sup>,3<sup>2,1</sup>]<br />B<sub>7</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{S}}_8</math> [[:File:HyberbolicAffineB7.svg|*]]<br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>2,1</sup>]<br />D<sub>7</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{Q}}_8</math> [[:File:HyberbolicAffineD7.svg|*]]<br />{{DCD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>4,3,1</sup>]<br />E<sub>7</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{T}}_8</math> [[:File:HyberbolicAffineE7.svg|*]]<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>5,2,1</sup>]<br />E<sub>9</sub>=E<sub>8</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{E}}_{8}</math> [[:File:E9-AffineE8.svg|*]]<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1}}
|-
!10
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[8]</sup>,3,3]<br />A<sub>7</sub><sup>+++</sup> [[:File:VeryExtendedAffineA7.svg|*]]<br />{{DCD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3<sup>4</sup>,3<sup>3,1</sup>]<br />B<sub>7</sub><sup>+++</sup> [[:File:VeryExtendedAffineB7.svg|*]]<br />{{DCD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>3,1</sup>]<br />D<sub>7</sub><sup>+++</sup> [[:File:VeryExtendedAffineD7.svg|*]]<br />{{DCD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>5,3,1</sup>]<br />E<sub>7</sub><sup>+++</sup> [[:File:VeryExtendedAffineE7.svg|*]]<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>6,2,1</sup>]<br />E<sub>10</sub>=E<sub>8</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{T}}_9</math> [[:File:E10-HyperbolicAffineE8.svg|*]]<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
|-
!11
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>7,2,1</sup>]<br />E<sub>11</sub>=E<sub>8</sub><sup>+++</sup> [[:File:E11-VeryExtendedAffineE8.svg|*]]<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
|- align=center
!Det(M<sub>n</sub>)
|7(7-''n'')
|2(7-''n'')
|4(7-''n'')
|3(7-''n'')
|8(8-''n'')
|2(8-''n'')
|4(8-''n'')
|2(8-''n'')
|9-''n''
|}

== Plegado geométrico ==
{| class="wikitable" style="float:right;"
|+ Plegados finitos y afines<ref>''John Crisp'', '[[Función inyectiva|funciones inyectivas]] entre [[grupo de Artin|grupos de Artin]], en Down under group theory, Proceedings of the Special Year on Geometric Group Theory, (Australian National University, Canberra, Australia, 1996), [http://math.u-bourgogne.fr/IMB/crisp/injart.ps Postscript] {{Wayback|url=http://math.u-bourgogne.fr/IMB/crisp/injart.ps |date=20051016143215 }}, pp 13-14, and [https://books.google.com/books?id=RpgZuF7do8kC&lpg=PA134&ots=G5SZEdPFBa&dq=geometric%20folding%20F4%20to%20g2&pg=PP1#v=onepage&q=folding%20description&f=false googlebook, Geometric group theory down under, p 131]</ref>
|-
!colspan=4|φ<sub>A</sub> : A<sub>Γ</sub> --> A<sub>Γ'</sub> para tipos finitos
|- valign=top
!Γ
!Γ'
!Descripción del plegado
!Diagramas de Coxeter-Dynkin 
|- align=center valign=top
|I<sub>2</sub>([[número de Coxeter|h]])
|Γ(h)
|Plegado diedral
|rowspan=9|[[File:Geometric folding Coxeter graphs.png|201px]]
|- align=center
|rowspan=2|B<sub>n</sub>
|A<sub>2n</sub>
|(I,s<sub>n</sub>)
|- align=center
|D<sub>n+1</sub>, A<sub>2n-1</sub>
|(A<sub>3</sub>,+/-ε)
|- align=center
|F<sub>4</sub>
|E<sub>6</sub>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|H<sub>4</sub>
|E<sub>8</sub>
|rowspan=3|(A<sub>4</sub>,±ε)
|- align=center
|H<sub>3</sub>
|D<sub>6</sub>
|- align=center
|H<sub>2</sub>
|A<sub>4</sub>
|- align=center
|rowspan=2|G<sub>2</sub>
|A<sub>5</sub>
|(A<sub>5</sub>,±ε)
|- align=center
|D<sub>4</sub>
|(D<sub>4</sub>,±ε)
|-
!colspan=4|φ: A<sub>Γ</sub><sup>+</sup> --> A<sub>Γ'</sub><sup>+</sup> para tipos afines
|- align=center valign=top
|<math>{\tilde{A}}_{n-1}</math>
|<math>{\tilde{A}}_{kn-1}</math>
|Locally trivial
|rowspan=14|[[File:Geometric folding Coxeter graphs affine.png|212px]]
|- align=center
|rowspan=2|<math>{\tilde{B}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{2n+1}</math>
|(I,s<sub>n</sub>)
|- align=center
|<math>{\tilde{D}}_{n+1}</math>, <math>{\tilde{D}}_{2n}</math>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|rowspan=2|<math>{\tilde{C}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{B}}_{n+1}</math>, <math>{\tilde{C}}_{2n}</math>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|<math>{\tilde{C}}_{2n+1}</math>
|(I,s<sub>n</sub>)
|- align=center
|rowspan=3|<math>{\tilde{C}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{A}}_{2n+1}</math>
|(I,s<sub>n</sub>) & (I,s<sub>0</sub>)
|- align=center
|<math>{\tilde{A}}_{2n}</math>
|(A<sub>3</sub>,ε) & (I,s<sub>0</sub>)
|- align=center
|<math>{\tilde{A}}_{2n-1}</math>
|(A<sub>3</sub>,ε) & (A<sub>3</sub>,ε')
|- align=center
|<math>{\tilde{C}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{n+2}</math>
|(A<sub>3</sub>,-ε) & (A<sub>3</sub>,-ε')
|- align=center
|<math>{\tilde{C}}_{2}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{5}</math>
|(I,s<sub>1</sub>)
|- align=center
|<math>{\tilde{F}}_{4}</math>
|<math>{\tilde{E}}_{6}</math>, <math>{\tilde{E}}_{7}</math>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|rowspan=3|<math>{\tilde{G}}_{2}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{6}</math>, <math>{\tilde{E}}_{7}</math>
|(A<sub>5</sub>,±ε)
|- align=center
|<math>{\tilde{B}}_{3}</math>, <math>{\tilde{F}}_{4}</math>
|(B<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|<math>{\tilde{D}}_{4}</math>, <math>{\tilde{E}}_{6}</math>
|(D<sub>4</sub>,±ε)
|}

Un diagrama de Coxeter-Dynkin (simple) (finito, afín o hiperbólico) que tiene una simetría (que satisface una condición, según se detalla a continuación) puede ser cimentado por la simetría, produciendo un nuevo diagrama generalmente de múltiples rectas, mediante el proceso llamado "plegado".<ref>{{cite journal | title = Generalized Dynkin diagrams and root systems and their folding | journal = Topological Field Theory | cita = 10.1.1.54.3122 | first = Jean-Bernard | last = Zuber | pages = 28–30 | bibcode = 1998tftp.conf..453Z | year = 1998 | arxiv = hep-th/9707046 }}</ref><ref>{{Cite journal| arxiv = 1110.5228 | title = Affine extensions of non-crystallographic Coxeter groups induced by projection | journal = Journal of Mathematical Physics | volume = 54 | issue = 9 | pages = 093508 | first1 = Pierre-Philippe | last1 = Dechant | first2 = Celine | last2 = Boehm | first3 = Reidun | last3 = Twarock | year = 2013 | doi = 10.1063/1.4820441 | bibcode = 2013JMP....54i3508D }}</ref>

Por ejemplo, en D<sub>4</sub> plegado a G<sub>2</sub>, el borde en G<sub>2</sub> apunta desde la clase de los 3 nodos externos (valencia 1) a la clase del nodo central (valencia 3). Y E<sub>8</sub> se pliega en 2 copias de H<sub>4</sub>, la segunda copia escalada por [[Número áureo|&tau;]].<ref>[https://link.springer.com/article/10.1007/s00006-016-0675-9 The E8 Geometry from a Clifford Perspective] ''Advances in Applied Clifford Algebras'',  March 2017, Volume 27, Issue 1, pp 397–421 Pierre-Philippe Dechant</ref>

Geométricamente, esto corresponde a la [[operador de proyección|proyección]] de [[politopo uniforme|politopos uniformes]] y teselaciones. Cabe destacar que cualquier diagrama finito de Coxeter-Dynkin con un simple enlace se puede plegar a I<sub>2</sub>(''h''), donde ''h'' es el [[número de Coxeter]], que corresponde geométricamente a una proyección al [[plano de Coxeter]].
{| class=wikitable 
|-
|[[File:Geometric folding Coxeter graphs hyperbolic.png]]<br />Algunos plegados hiperbólicos
|}

{{-}}

== Reflexiones complejas ==
Los diagramas de Coxeter-Dynkin se han extendido al [[Espacio vectorial|espacio complejo]], C<sup>n</sup> donde los nodos son [[reflexión unitaria|reflexiones unitarias]] de período mayor que 2. Los nodos están etiquetados con un índice, que se supone que es 2 para la reflexión real ordinaria si se omite. Coxeter denota el grupo complejo, p[q]r, como el diagrama {{DCD|pnode|3|q|3|rnode}}.<ref>Coxeter, ''Complex Regular Polytopes'', second edition, (1991)</ref>

Un ''[[politopo complejo]] regular'' unidimensional en <math>\mathbb{C}^1</math> se representa como {{DCD|pnode_1}}, con ''p'' vértices. Su representación real es un [[polígono regular]], {''p''}. Su simetría es <sub>''p''</sub>[] o {{DCD|pnode}}, orden ''p''. Un [[operador unitario]] generador para {{DCD|pnode}} es visto como una rotación en <math>\mathbb{R}^2</math> por 2&pi;/''p'' radianes [[sentido del reloj]], y un borde {{DCD|pnode_1}} es creado por aplicaciones secuenciales de una sola reflexión unitaria. Un generador de reflexión unitaria para un politopo 1 con ''p'' vértices es {{math| ''e''<sup>2&pi;''i''/''p''</sup> {{=}} cos(2&pi;/''p'') + ''i'' sin(2&pi;/''p'')}}. Cuando ''p'' = 2, el generador es ''e''<sup>&pi;''i''</sup> = –1, lo mismo que una [[simetría central]] en el plano real.

En un politopo superior, <sub>''p''</sub> {} o {{DCD|pnode_1}} representa un elemento de ''p'' aristas, con una arista de 2, {} o {{DCD|node_1}}, que representa un lado real ordinario entre dos vértices.

{| class=wikitable width=640
|+ 1-Politopos complejos regulares
|[[File:Complex 1-topes as k-edges es.png|640px]]<br />Politopos complejos 1, {{DCD|pnode_1}}, representados en el [[Plano complejo]] como polígonos regulares para ''p'' = 2, 3, 4, 5 y 6, con vértices negros. El centroide de los vértices ''p'' se muestra en rojo. Los lados de los polígonos representan una aplicación del generador de simetría, asignando cada vértice a la siguiente copia en sentido antihorario. Estos lados poligonales no son elementos de borde del politopo, ya que un politopo complejo 1 no puede tener bordes (a menudo ''es'' un borde complejo) y solo contiene elementos de vértice.
|}

{| class=wikitable width=100 align=right
|- valign=top
|[[File:Rank2_shephard_subgroups_es.png|240px]]<br />Los 12 grupos de Shephard irreducibles con los índices de sus subgrupos relacionados.<ref>Coxeter, Complex Regular Polytopes, p. 177, Table III</ref> El índice 2 de subgrupos se relaciona eliminando una reflexión real:<br /><sub>''p''</sub>[2''q'']<sub>2</sub> --> <sub>''p''</sub>[''q'']<sub>''p''</sub>, índice 2.<br /><sub>''p''</sub>[4]<sub>''q''</sub> --> <sub>''p''</sub>[''q'']<sub>''p''</sub>, índice ''q''.
|[[File:Rank2_shephard_subgroups2_series_es.png|240px]]<br />Subgrupos <sub>''p''</sub>[4]<sub>2</sub>: p=2,3,4...<br /><sub>''p''</sub>[4]<sub>2</sub> --> [''p''], índice ''p''<br /><sub>''p''</sub>[4]<sub>2</sub> --> <sub>''p''</sub>[]×<sub>''p''</sub>[], índice 2
|}

Los [[politopo complejo regular|polígonos complejos regulares]] en <math>\mathbb{C}^2</math>, tienen la forma <sub>''p''</sub> {''q''} <sub>''r''</sub>, equivalente al diagrama de Coxeter {{DCD|pnode_1|3|q|3|rnode}}. El grupo de simetría de un polígono complejo regular {{DCD|pnode|3|q|3|rnode}} no se denomina [[grupo de Coxeter]], sino [[grupo de Shephard]], un tipo de [[grupo de reflexión complejo]]. El orden de <sub>''p''</sub>[''q'']<sub>''r''</sub> es <math>8/q \cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}</math>.<ref>''Unitary Reflection Groups'', p.87</ref>

Los grupos de Shephard de rango 2 son: <sub>2</sub>[''q'']<sub>2</sub>, <sub>''p''</sub>[4]<sub>2</sub>, <sub>3</sub>[3]<sub>3</sub>, <sub>3</sub>[6]<sub>2</sub>, <sub>3</sub>[4]<sub>3</sub>, <sub>4</sub>[3]<sub>4</sub>, <sub>3</sub>[8]<sub>2</sub>, <sub>4</sub>[6]<sub>2</sub>, <sub>4</sub>[4]<sub>3</sub>, <sub>3</sub>[5]<sub>3</sub>, <sub>5</sub>[3]<sub>5</sub>, <sub>3</sub>[10]<sub>2</sub>, <sub>5</sub>[6]<sub>2</sub>, y <sub>5</sub>[4]<sub>3</sub>; o {{DCD|node|q|node}}, {{DCD|pnode|4|node}}, {{DCD|3node|3|3node}}, {{DCD|3node|6|node}}, {{DCD|3node|4|3node}}, {{DCD|4node|3|4node}}, {{DCD|3node|8|node}}, {{DCD|4node|6|node}}, {{DCD|4node|4|3node}}, {{DCD|3node|5|3node}}, {{DCD|5node|3|5node}}, {{DCD|3node|10|node}}, {{DCD|5node|6|node}}, {{DCD|5node|4|3node}},  de órdenes 2''q'', 2''p''<sup>2</sup>, 24, 48, 72, 96, 144, 192, 288, 360, 600, 1200 y 1800 respectivamente.

El grupo de simetría <sub>''p''<sub>1</sub></sub> [''q''] <sub>''p''<sub>2</sub></sub> está representado por 2 generadores R<sub>1</sub> y R<sub>2</sub>, donde: R<sub>1</sub><sup>''p''<sub>1</sub></sup> = R<sub>2</sub><sup>''p''<sub>2</sub></sup> = I. Si ''q'' es par, (R<sub>2</sub>R<sub>1</sub>) <sup>''q''/2</sup> =(R<sub>1</sub>R<sub>2</sub>) <sup>''q''/2</sup>. Si '' q '' es impar, (R<sub>2</sub>R<sub>1</sub>) <sup>(q-1)/2</sup>R<sub>2</sub> = (R<sub>1</sub>R<sub>2</sub>) <sup>(''q''-1)/2</sup>R<sub>1</sub>. Cuando ''q'' es impar, ''p''<sub>1</sub> = ''p''<sub>2</sub>.

El grupo <math>\mathbb{C}^3</math> {{DCD|node|psplit1|branch}} o [1 1 1] <sup>p</sup> se define por 3 reflexiones unitarias del período 2 {R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>, R<sub>3</sub>}: R<sub>1</sub><sup>2</sup> =&nbsp;R<sub>1</sub><sup>2</sup> = R<sub>3</sub><sup>2</sup> = (R<sub>1</sub>R<sub>2</sub>) <sup>3</sup> =&nbsp;(R<sub>2</sub>R<sub>3</sub>) <sup>3</sup> = (R<sub>3</sub>R<sub>1</sub>) <sup>3</sup> = (R<sub>1</sub>R<sub>2</sub>R<sub>3</sub>R<sub>1</sub>) <sup>''p''</sup> = 1. El período ''p'' puede verse como un indicador de [[rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional]] en <math>\mathbb{R}^4</math> real.

Un grupo <math>\mathbb{C}^3</math> similar {{DCD|node|antipsplit1|branch}} o [1 1 1] <sup>(p)</sup> se define por 3 reflexiones unitarias del período 2 {R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>, R<sub>3</sub>}: R<sub>1</sub><sup>2</sup> =
R<sub>1</sub><sup>2</sup> = R<sub>3</sub><sup>2</sup> = (R<sub>1</sub>R<sub>2</sub>) <sup>3</sup> =
(R<sub>2</sub>R<sub>3</sub>) <sup>3</sup> = (R<sub>3</sub>R<sub>1</sub>) <sup>3</sup> = (R<sub>1</sub>R<sub>2</sub>R<sub>3</sub>R<sub>2</sub>) <sup>''p''</sup> = 1.

== Véase también ==
* [[Grupo de Coxeter]]
* [[Triángulo de Schwarz]]
* [[Tetraedro de Goursat]]
* [[Diagrama de Dynkin]]
* [[Politopo uniforme]]
** [[Símbolo de Wythoff]]
** [[Poliedro de aristas uniformes]]
** [[Anexo:Lista poliedros uniformes]]
** [[Anexo:Lista de teselados planos uniformes]]
** [[4-politopo uniforme]]
** [[Panal uniforme convexo]]
** [[Panales uniformes convexos en el espacio hiperbólico]]
* [[Construcción de Wythoff]] y [[Símbolo de Wythoff]]

== Referencias ==
{{Listaref}}
<!--{{Listaref|group=note}}-->

== Lecturas adicionales ==
<!--{{refbegin}}-->
* James E. Humphreys, "Grupos de reflexión y grupos Coxeter", estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas, 29 (1990)
* '''Caleidoscopios: Escritos seleccionados de H.S.M. Coxeter '' ', editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{ISBN|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030 .html], Googlebooks [https://books.google.com/books?id=fUm5Mwfx8rAC&lpg=PP1&dq=Kaleidoscopes%20Coxeter&pg=PP1#v=onepage&q=&f=false]
** (Documento 17) [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter]], "La evolución de los diagramas Coxeter-Dynkin", [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
* [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter]], '' La belleza de la geometría: doce ensayos '', Dover Publications, 1999, {{ISBN|978-0-486-40919-1}} (Capítulo 3: Construcción de Wythoff para politopos uniformes)
* [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter]], '' Polytopes regulares '' (1963), Macmillan Company
** [[Regular Polytopes (book)|''Regular Polytopes'']], Tercera edición, (1973), edición de Dover, {{ISBN|0-486-61480-8}} (Capítulo 5: El caleidoscopio, y Sección 11.3 Representación por gráficos)
* H.S.M. Coxeter y W. O. J. Moser. '' Generadores y relaciones para grupos discretos '' 4a ed, Springer-Verlag. Nueva York. 1980
* [[Norman Johnson]], '' Geometrías y transformaciones '', capítulos 11,12,13, preimpresión 2011
* [[Norman Johnson|N. W. Johnson]], [[Ruth Kellerhals|R. Kellerhals]], JG Ratcliffe, ST Tschantz, '' The size of a hyperbolic Coxeter simplex '', Transformation Groups 1999, Volume 4, Issue 4, pp 329–353 [https://link.springer.com/article/ 10.1007% 2FBF01238563] [https://web.archive.org/web/20140223225217/http://homeweb1.unifr.ch/kellerha/pub/TGarticle.pdf]
* Norman W. Johnson y Asia Ivic Weiss [https://cms.math.ca/cjm/v51/weisscox8.pdf Enteros Cuadráticos y Grupos Coxeter] {{Wayback|url=https://cms.math.ca/cjm/v51/weisscox8.pdf |date=20230326121528 }} [[PDF]] Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp.&nbsp;1307–1336
<!--{{refend}}-->

== Enlaces externos ==
{{Commonscat|Coxeter-Dynkin diagrams}}
* {{MathWorld |urlname=Coxeter-DynkinDiagram |title=Coxeter–Dynkin diagram}}
* [https://ecommons.cornell.edu/handle/1813/17339 Octubre de 1978 discusión sobre la historia de los diagramas de Coxeter] por Coxeter y Dynkin en [[Toronto]], [[Canadá]]; Eugene Dynkin Colección de entrevistas de matemáticas, [[Cornell University Library]].

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Grupos de Coxeter]]
[[Categoría:Diagramas]]
[[Categoría:Teoría de grupos]]
[[Categoría:Politopos]]