Ver el código de «Distribución exponencial»

{{Ficha de distribución de probabilidad
|nombre     = Distribución exponencial
|pdf_image  = [[Archivo:exponential pdf.svg|300px]]
|cdf_image  = [[Archivo:exponential cdf.svg|300px]]
|parámetros = <math>\lambda > 0 \,</math>
|dominio    = <math>[0,\infty)\!</math>
|pdf        = <math>\lambda e^{-\lambda x}</math>
|cdf        = <math>1 - e^{-\lambda x}</math>
|media      = <math>1/\lambda\,</math>
|mediana    = <math>\ln(2)/\lambda\,</math>
|moda       = <math>0\,</math>
|varianza   = <math>1/\lambda^2\,</math>
|simetría   = <math>2\,</math>
|curtosis   = <math>9\,</math>
|entropía   = <math>1 - \ln(\lambda)\,</math>
|mgf        = <math>\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,</math>
|car        = <math>\left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,</math>
}}
En [[Teoría de la probabilidad|Teoría de Probabilidad]] y [[Estadística]], la distribución exponencial es una distribución continua que se utiliza para modelar tiempos de espera para la ocurrencia de un cierto evento. Esta distribución al igual que la [[distribución geométrica]] tiene la propiedad de pérdida de memoria. La distribución exponencial es un caso particular de la [[distribución gamma]]. 

== Definición ==

=== Función de Densidad ===
Se dice que una variable aleatoria continua <math>X</math> tiene una '''distribución exponencial''' con parámetro <math>\lambda > 0</math> y escribimos <math>X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)</math> si su [[función de densidad]] es

:<math>f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}</math>
para <math>x\geq0</math>.

=== Función de Distribución ===
Su [[función de distribución]] acumulada está dada por

:<math>F_X(x)=1-e^{-\lambda x}</math>
para <math>x\geq0</math>.

=== Parametrización Alternativa ===
La distribución exponencial en ocasiones se parametriza en términos del parámetro de escala <math>\beta=1/\lambda</math> en cuya caso, la función de densidad será

:<math>f_X(x)=\frac{1}{\beta}\;e^{-\frac{x}{\beta}}</math>
para <math>x\geq0</math>.

=== Función de Supervivencia ===
De forma adicional esta distribución presenta una función adicional que es función Supervivencia  (S), que representa el complemento de la [[Función de distribución]].

:<math>
  S(x)
=\operatorname{P}[X>x]
=\left\{
\begin{matrix}
    1 & \text{para }x < 0 \\
    e^{-\lambda x} & \text{para }x\geq0
\end{matrix}
\right.
</math>

== Propiedades ==
Si <math>X</math> es una [[variable aleatoria]] tal que <math>X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)</math> entonces

La [[valor esperado|media]] de la [[variable aleatoria]] <math>X</math> es

:<math>\operatorname{E}[X]=\frac{1}{\lambda}</math>
La [[varianza]] de la [[variable aleatoria]] <math>X</math> es
:<math>\operatorname{Var}[X]=\frac{1}{\lambda^2}</math>
El <math>n</math>-ésimo momento de la variable aleatoria <math>X</math> es
:<math>\operatorname{E}[X^n]=\frac{n!}{\lambda^n}</math>
La [[función generadora de momentos]] de <math>X</math> para <math>\lambda>t</math> está dada por
:<math>M_X(t)=\left(1-\frac{t}{\lambda}\right)^{-1}=\frac{\lambda}{\lambda-t}</math>

=== Escala ===
Si <math>X</math> es una variable aleatoria tal que <math>X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)</math> y <math>c>0</math> una constante entonces

:<math>cX\sim\operatorname{Exp}\left(\frac{\lambda}{c}\right)</math>

=== Pérdida de Memoria ===
Sea <math>X</math> una [[variable aleatoria]] tal que <math>X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)</math> entonces para cualesquiera <math>x,y\geq0</math>

:<math>\operatorname{P}[X>x+y|X>y]=\operatorname{P}[X>x]</math>

Esto puede demostrarse fácilmente pues 

:<math>\begin{align}
    \operatorname{P}[X>x+y|X>y]
    &=\frac{\operatorname{P}[X>x+y\cap X>y]}{\operatorname{P}[X>y]} \\
    &=\frac{\operatorname{P}[X>x+y]}{\operatorname{P}[X>y]} \\
    &=\frac{e^{-\lambda(x+y)}}{e^{-\lambda y}} \\
    &=e^{-\lambda x} \\
    &=\operatorname{P}[X>x]
\end{align}</math>

=== Cuantiles ===
La [[función cuantil]] (inversa de la función de distribución acumulada) para una variable aleatoria <math>X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)</math> está dada por

:<math>F^{-1}(p)=\frac{-\ln(1-p)}{\lambda} \qquad 0\leq p<1</math>

por lo que los [[Cuantil|cuantiles]] son: 

El primer cuartil es

:<math>F^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{\ln\left(\frac{3}{4}\right)}{\lambda}=\frac{1}{\lambda}\ln\left(\frac{4}{3}\right)</math>

La [[Mediana (estadística)|mediana]] es

:<math>F^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\lambda}=\frac{\ln(2)}{\lambda}</math>

Y el tercer cuartil está dado por

:<math>F^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)=-\frac{\ln\left(\frac{1}{4}\right)}{\lambda}=\frac{\ln(4)}{\lambda}</math>
===Valor en riesgo condicional (pérdida esperada)===
El valor condicional en riesgo (CVaR) también conocido como [[déficit esperado]] o supercuantil para Exp(''λ'') se obtiene de la siguiente manera:<ref name="norton">{{cite journal |last1=Norton |first1=Matthew |last2=Khokhlov |first2=Valentyn |last3=Uryasev |first3=Stan |year=2019 |title=Calculating CVaR and bPOE for common probability distributions with application to portfolio optimization and density estimation |journal=Annals of Operations Research |volume=299 |issue=1- 2 |pages=1281-1315 |publisher=Springer |doi=10.1007/s10479-019-03373-1 |url=http://uryasev.ams.stonybrook.edu/wp-content/uploads/2019/10/Norton2019_CVaR_bPOE.pdf |access-date=2023-02-27 |fechaarchivo=31 de marzo de 2023 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20230331230821/http://uryasev.ams.stonybrook.edu/wp-content/uploads/2019/10/Norton2019_CVaR_bPOE.pdf |deadurl=yes }}</ref>

<math display="block">\begin{align}
\bar{q}_\alpha (X) &=  \frac{1}{1-\alpha} \int_{\alpha}^{1} q_p (X) dp \\
&=  \frac{1}{(1-\alpha)} \int_{\alpha}^{1} \frac{-\ln (1 - p )}{\lambda}  dp \\
&=  \frac{-1}{\lambda(1-\alpha)} \int_{1-\alpha}^{0} -\ln (y )  dy \\
&=  \frac{-1}{\lambda(1-\alpha)} \int_{0}^{1 - \alpha} \ln (y )  dy \\
&=   \frac{-1}{\lambda(1-\alpha)}  [  ( 1-\alpha) \ln(1-\alpha) - (1-\alpha) ] \\
&=   \frac{ - \ln(1-\alpha) + 1 } { \lambda} \\
\end{align}
</math>

===Probabilidad de superación amortiguada (bPOE) ===
La probabilidad amortiguada de superación es uno menos el nivel de probabilidad en el que el CVaR es igual al umbral <math>x</math>.  Se obtiene de la siguiente manera:<ref name="norton"/>

<math display="block">\begin{align}
\bar{p}_x (X) &=  \{ 1 - \alpha | \bar{q}_\alpha (X) = x \} \\
&=  \{ 1 - \alpha |\frac{ - \ln(1-\alpha) + 1 } { \lambda} = x \} \\
&=  \{ 1 - \alpha |  \ln(1-\alpha)  =  1-\lambda x \} \\
&=  \{ 1 - \alpha |  e^{\ln(1-\alpha)}  =  e^{1-\lambda x} \} =  \{ 1 - \alpha |  1-\alpha =  e^{1-\lambda x} \} = e^{1-\lambda x} 
\end{align}
</math>
===Divergencia de Kullback-Leibler===
La [[divergencia de Kullback-Leibler]] dirigida en [[nat (unidad)|nats]] de 
<math>e^\lambda</math> (distribution de aproximación) de <math>e^{\lambda_0}</math> (distribución "verdadera") viene dada por
<math display="block">\begin{align}
\Delta(\lambda_0 \parallel \lambda) 
&= \mathbb{E}_{\lambda_0}\left( \log \frac{p_{\lambda_0}(x)}{p_\lambda(x)}\right)\\
&= \mathbb{E}_{\lambda_0}\left( \log \frac{\lambda_0 e^{\lambda_0 x}}{\lambda e^{\lambda x}}\right)\\
&= \log(\lambda_0) - \log(\lambda) - (\lambda_0 - \lambda)E_{\lambda_0}(x)\\
&= \log(\lambda_0) - \log(\lambda) + \frac{\lambda}{\lambda_0} - 1.
\end{align}
</math>
===Distribución de máxima entropía===
Entre todas las distribuciones de probabilidad continuas con [[Soporte (matemáticas)#En teoría de la probabilidad y de la medida|soporte]] cerrada-abierta 0, ∞ y media ''μ'', la distribución exponencial con ''λ'' = 1/''μ'' tiene la mayor entropía diferencial. En otras palabras, es la distribución de probabilidad de máxima entropía para una variante aleatoria ''X'' que es mayor o igual que cero y para la que E[''X''] es fija.<ref>{{cite journal |last1=Park |first1=Sung Y. |last2=Bera |first2=Anil K. |year=2009 |title=Modelo de heteroscedasticidad condicional autorregresiva de entropía máxima |journal=Journal of Econometrics |volume=150 |issue=2 |pages=219-230 |publisher=Elsevier |doi=|url=http://www.wise.xmu.edu.cn/Master/Download/..%5C..%5CUploadFiles%5Cpaper-masterdownload%5C2009519932327055475115776.pdf |access-date=2011-06-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160307144515/http://wise.xmu.edu.cn/uploadfiles/paper-masterdownload/2009519932327055475115776.pdf |archive-date=2016-03-07 |url-status= }}</ref>
===Distribución del mínimo de variables aleatorias exponenciales===
Sean ''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub> variables aleatorias exponencialmente distribuidas con parámetros de tasa ''λ''<sub>1</sub>, ..., ''λ<sub>n</sub>''.  Entonces
<math display="block">\min\left\{X_1, \dotsc, X_n \right\}</math>
también se distribuye exponencialmente, con el parámetro
<math display="block">\lambda = \lambda_1 + \dotsb + \lambda_n.</math>

Esto puede verse considerando la [[Función de distribución acumulativa#Función de distribución acumulativa complementaria (distribución de colas)|función de distribución acumulativa complementaria]]:

<math display="block">\begin{align}
      &\Pr\left(\min\{X_1, \dotsc, X_n\} > x\right) \\
  ={} &\Pr\left(X_1 > x, \dotsc, X_n > x\right) \\
  ={} &\prod_{i=1}^n \Pr\left(X_i > x\right) \\
  ={} &\prod_{i=1}^n \exp\left(-x\lambda_i\right) = \exp\left(-x\sum_{i=1}^n \lambda_i\right).
\end{align}</math>

El índice de la variable que alcanza el mínimo se distribuye según la distribución categórica
<math display="block">\Pr\left(X_k = \min\{X_1, \dotsc, X_n\}\right) = \frac{\lambda_k}{\lambda_1 + \dotsb + \lambda_n}.</math>

Puede verse una prueba dejando que
<math>I = \operatorname{argmin}_{i \in \{1, \dotsb, n\}}\{X_1, \dotsc, X_n\}</math>. Entonces,
<math display="block">\begin{align}
\Pr (I = k) &= \int_{0}^{\infty} \Pr(X_k = x) \Pr(\forall_{i\neq k}X_{i} > x ) \,dx \\
      &= \int_{0}^{\infty} \lambda_k e^{- \lambda_k x} \left(\prod_{i=1, i\neq k}^{n} e^{- \lambda_i x}\right) dx \\
      &= \lambda_k \int_{0}^{\infty}  e^{- \left(\lambda_1 + \dotsb  +\lambda_n\right) x}  dx \\
      &= \frac{\lambda_k}{\lambda_1 + \dotsb + \lambda_n}.
\end{align}</math>

Nótese que 
<math display="block">\max\{X_1, \dotsc, X_n\}</math>

<math display="block">\max\{X_1, \dotsc, X_n\}</math>
no es una distribución exponencial, si ''X''<sub>1</sub>, …, ''X''<sub>''n''</sub> no todos tienen parámetro 0.<ref>{{cite web|last1=Michael|first1=Lugo|title=The expectation of the maximum of exponentials| url=http://www.stat.berkeley.edu/~mlugo/stat134-f11/exponential-maximum.pdf|access-date=2016-12-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20161220132822/https://www.stat.berkeley.edu/~mlugo/stat134-f11/exponential-maximum.pdf |archive-date=2016-12-20|url-status=}}</ref>

===Momentos conjuntos de estadísticos de orden exponencial i.i.d===

Sean <math> X_1, \dotsc, X_n </math> <math> n </math> [[Variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas|independent and identically distributed]] variables aleatorias exponenciales con parámetro de tasa ''λ''. 
Sean <math> X_{(1)}, \dotsc, X_{(n)} </math> los correspondientes [[estadísticos de orden]]. 
Para <math> i < j </math> , el momento conjunto <math> \operatorname E\left[X_{(i)} X_{(j)}\right] </math> de los estadísticos de orden <math> X_{(i)} </math> y <math> X_{(j)} </math> viene dado por

<math display="block">\begin{align}
  \operatorname E\left[X_{(i)} X_{(j)}\right]
    &= \sum_{k=0}^{j-1}\frac{1}{(n - k)\lambda} \operatorname E\left[X_{(i)}\right] + \operatorname E\left[X_{(i)}^2\right] \\
    &= \sum_{k=0}^{j-1}\frac{1}{(n - k)\lambda}\sum_{k=0}^{i-1}\frac{1}{(n - k)\lambda} + \sum_{k=0}^{i-1}\frac{1}{((n - k)\lambda)^2} + \left(\sum_{k=0}^{i-1}\frac{1}{(n - k)\lambda}\right)^2.
\end{align}</math>
Esto puede verse invocando la [[ley de la expectativa total]] y la propiedad sin memoria:
<math display="block">\begin{align}
  \operatorname E\left[X_{(i)} X_{(j)}\right]
    &= \int_0^\infty \operatorname E\left[X_{(i)} X_{(j)} \mid X_{(i)}=x\right] f_{X_{(i)}}(x) \, dx \\
    &= \int_{x=0}^\infty x \operatorname E\left[X_{(j)} \mid X_{(j)} \geq x\right] f_{X_{(i)}}(x) \, dx
      &&\left(\textrm{since}~X_{(i)} = x \implies X_{(j)} \geq x\right) \\
    &= \int_{x=0}^\infty x \left[ \operatorname E\left[X_{(j)}\right] + x \right] f_{X_{(i)}}(x) \, dx
      &&\left(\text{by the memoryless property}\right) \\
    &= \sum_{k=0}^{j-1}\frac{1}{(n - k)\lambda} \operatorname E\left[X_{(i)}\right] + \operatorname E\left[X_{(i)}^2\right].
\end{align}</math>

La primera ecuación se sigue de la [[ley de la expectativa total]].
La segunda ecuación explota el hecho de que una vez que condicionamos en <math> X_{(i)} = x </math>, debe seguirse que <math> X_{(j)} \geq x </math>. La tercera ecuación se basa en la propiedad sin memoria para reemplazar <math>\operatorname E\left[ X_{(j)} \mid X_{(j)} \geq x\right]</math> con <math>\operatorname E\left[X_{(j)}\right] + x</math>.

== Ejemplo ==
Ejemplos para la distribución exponencial es la distribución de la longitud de los intervalos de una variable continua que transcurren entre dos sucesos, que se distribuyen según la [[distribución de Poisson]].

* El tiempo transcurrido en un [[call center|centro de llamadas]] hasta recibir la primera llamada del día se podría modelar como una exponencial.
* El intervalo de tiempo entre terremotos (de una determinada magnitud) sigue una distribución exponencial.
* Supongamos una máquina que produce hilo de alambre, la cantidad de metros de alambre hasta encontrar una falla en el alambre se podría modelar como una exponencial.
* En [[fiabilidad de sistemas]], un dispositivo con tasa de fallo constante sigue una distribución exponencial.

== Distribuciones Relacionadas ==

* Si <math>X\sim\operatorname{Laplace}(\mu,\beta^{-1})</math> entonces <math>|X-\mu|\sim\operatorname{Exp}(\beta)</math>.
* Si <math>X\sim\operatorname{Pareto}(1,\lambda)</math> entonces <math>\ln(X)\sim\operatorname{Exp}(\lambda)</math>.
* Si <math>X\sim\Gamma(1,\lambda)</math> entonces <math>X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)</math>.
* Si <math>X_1,X_2,\dots,X_n</math> son variables aleatorias independientes tales que <math>X_i\sim\operatorname{Exp}(\lambda)</math>entonces <math>\sum\limits_{i=1}^nX_i\sim\Gamma\left(n,\lambda\right)</math>, donde <math>\Gamma\left(n,\lambda\right)</math> es la distribución de Erlang con parámetros <math>n\in\mathbb{N}</math> y <math>\lambda</math>, esto es <math>\sum\limits_{i=1}^nX_i\sim\operatorname{Erlang}\left(n,\lambda\right)</math>. Es decir, la suma de <math>n</math> variables aleatorias independientes con distribución exponencial con parámetro <math>\lambda</math> es una variable aleatoria con [[distribución de Erlang]].
[[File:FitExponDistr.tif|thumb|260px|Distribución cumulativa ajustada a máximos anuales de lluvias diarias<ref>Cumfreq, a free computer program for cumulative frequency analysis and probability distribution fitting. [https://www.waterlog.info/cumfreq.htm]</ref>]]

== Inferencia Estadística ==
Suponga que <math>X</math> es una variable aleatoria tal que <math>X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)</math> y <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math> es una muestra proveniente de <math>X</math>.

=== Estimación de Parámetros ===
El estimador por [[máxima verosimilitud]] de <math>\lambda</math> se construye como sigue:

La [[función de verosimilitud]] está dada por

:<math>\begin{align}
    \mathcal{L}(\lambda)
    &=\prod_{i=1}^n\lambda e^{-\lambda x_i} \\
    &=\lambda^n\operatorname{exp}\left(-\lambda\sum_{i=1}^nx_i\right) \\
    &=\lambda^n\operatorname{exp}(-\lambda n\bar{x})
\end{align}</math>

donde

:<math>\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i</math>

es la media muestral.

Tomando logaritmos a la función de verosimilitud 

:<math>\begin{align}
    \ln\mathcal{L}(\lambda)
    &= \ln\left(\lambda^n\operatorname{exp}(-\lambda n\bar x)\right) \\
    &=n\ln\lambda-\lambda n\bar x
\end{align}</math>

derivando respecto a <math>\lambda</math> obtenemos

:<math>\begin{align}
    \frac{d\ln\mathcal{L}}{d\lambda}
    &=\frac{d}{d\lambda}(n\ln\lambda-\lambda n\bar x) \\
    &=\frac{n}{\lambda}-n\bar x 
\end{align}</math> 

Si igualamos a <math>0</math> obtenemos el estimador <math>\hat\lambda</math> dado por

:<math>\hat{\lambda}=\frac{1}{\bar{x}}</math>

El [[estimador]] <math>\hat\lambda</math> es un estimador NO insesgado pues

:<math>\operatorname{E}[\hat\lambda]\neq\lambda</math>

==Aplicación==

En la [[hidrología]], la distribución exponencial se emplea para analizar [[Variable aleatoria|variables aleatorias]] extremos de variables como máximos mensuales y anuales de la precipitación diaria.<ref>{{cite book|last=Ritzema (ed.)|first=H.P.|title=Frequency and Regression Analysis|year=1994|publisher=Chapter 6 in: Drainage Principles and Applications, Publication 16, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands|pages=175–224|url=http://www.waterlog.info/pdf/freqtxt.pdf|isbn=90-70754-33-9}}</ref>
*La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución exponencial a lluvias máximas diárias anuales ordenadas, mostrando también la franja de 90% de  [[Intervalo de confianza|confianza]], basada en la [[distribución binomial]]. Las observaciones presentan los [[Gráfico Q-Q|marcadores de posición]], como parte del análisis de [[Frecuencia estadística|frecuencia acumulada]].

== Métodos computacionales ==

=== Generador de números pseudoaleatorios ===
Para obtener números pseudoaleatorios la [[variable aleatoria]] <math>X</math> con distribución exponencial y parámetro <math>\lambda</math>, se utiliza un algoritmo basado en el [[método de la transformada inversa]].

Para generar un valor de <math>X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)</math> a partir de una variable aleatoria <math>U\sim\operatorname{U}(0,1)</math> se utiliza el siguiente algoritmo

:<math>X=-\frac{1}{\lambda}  \ln (1-U)</math>

utilizando el hecho de que si <math>U\sim\operatorname{U}(0,1)</math> entonces <math>1-U\sim\operatorname{U}(0,1)</math> por lo que una versión más eficiente del algoritmo es

:<math>X=-\frac{1}{\lambda}  \ln (U)</math>

==Véase también==
* [[Proceso de Poisson]]
*[[Distribución gamma|Distribución Gamma]]
*[[Distribución de Erlang]]
*[[Distribución χ²]]
* [[Distribución de Poisson|Distribución Poisson]]

== Software ==
Se puede usar [[software]] y un [[programa de computadora]] para el ajuste de una [[distribución de probabilidad]], incluyendo la exponencial, a una serie de datos:
* [http://www.mathwave.com/articles/distribution_fitting.html Easy fit] {{Wayback|url=http://www.mathwave.com/articles/distribution_fitting.html |date=20180223085046 }}, "data analysis & simulation"
* {{enlace roto|1=[http://www.mathworks.nl/products/statistics/demos.html?file=/products/demos/shipping/stats/cfitdfitdemo.html MathWorks Benelux] |2=http://www.mathworks.nl/products/statistics/demos.html?file=%2Fproducts%2Fdemos%2Fshipping%2Fstats%2Fcfitdfitdemo.html |bot=InternetArchiveBot }}
* [http://www.vosesoftware.com/ ModelRisk], "risk modelling software"
* Ricci distributions, [http://cran.r-project.org/doc/contrib/Ricci-distributions-en.pdf fitting distrubutions with R] , Vito Ricci, 2005
* Risksolver, [http://www.solver.com/risksolver8.htm automatically fit distributions and parameters to samples]
* [http://www.statsoft.com/textbook/distribution-fitting/ StatSoft distribution fitting] {{Wayback|url=http://www.statsoft.com/textbook/distribution-fitting/ |date=20120830155148 }}
* CumFreq [http://www.waterlog.info/cumfreq.htm] , libre sin costo, incluye [[intervalo de confianza|intervalos de confianza]] a base de la [[distribución binomial]]

== Referencias ==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==
* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/ex.php?language=espanol Calculadora Distribución exponencial]
* [{{Enlace roto|1=http://cajael.com/mestadisticos/T7DContinuas/node20.php |2=http://cajael.com/mestadisticos/T7DContinuas/node20.php |bot=InternetArchiveBot }}] Calcular la probabilidad de una distribución exponencial con [[R (lenguaje de programación)]]

{{ORDENAR:Exponencial}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Distribuciones continuas]]
[[Categoría:Exponenciales]]