Ver el código de «Dodecaedro truncado»

{| border="1" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px" width="250"
!bgcolor=#D78B40 colspan=2|'''Dodecaedro truncado'''
|-
|align=center colspan=2|[[Archivo:TruncatedDodecahedron.svg|245px]]
|-
|bgcolor=#d78b40|Grupo||[[Sólidos de Arquímedes]]
|-
|bgcolor=#d78b40|Número de [[Cara (Geometría)|caras]]||32
|-
|bgcolor=#d78b40|[[Polígono]]s que forman las caras||20 [[Triángulo|triángulos equiláteros]]<br />12 [[Decágono|decágonos equiláteros]]
|-
|bgcolor=#d78b40|Número de [[Arista (Geometría)|aristas]]||90
|-
|bgcolor=#d78b40|Número de [[Vértice (Geometría)|vértices]]||60 
|-
|bgcolor=#d78b40|Tipo de Vértice||Uniforme de orden 3
|-
|bgcolor=#d78b40|Caras relacionadas en los vértices||2 [[decágono]]s<br />1 [[triángulo]]
|-
|bgcolor=#d78b40|Simetría||Icosaédrica ''(I<sub>h</sub>)''
|-
|bgcolor=#d78b40|[[Poliedro dual]]||[[Triaquisicosaedro]]
|-
|bgcolor=#d78b40|Propiedades||Poliedro convexo, de [[poliedro de vértices uniformes|vértices uniformes]]
|-
|align=center colspan=2|[[Archivo:Truncated dodecahedron flat.png|245px]]<br />Desarrollo del dodecaedro truncado
|}

El '''dodecaedro truncado''' es un sólido de Arquímedes que se obtiene truncando cada vértice de un dodecaedro. Posee 12 caras regulares [[decágono|decagonales]], 20 caras regulares [[triángulo|triangulares]], 60 vértices y 90 aristas.

==Relaciones geométricas==
Este [[poliedro]] se puede formar a partir de un [[dodecaedro regular]] mediante [[Truncamiento (geometría)|truncado]] (cortando sus esquinas), de modo que las caras [[pentágono|pentagonales]] se conviertan en [[decágono]]s y las esquinas se conviertan en [[triángulo equilátero|triángulos equiláteros]].

Se utiliza en el teselado [[figura isoedral|celdas-transitivo]] que llena el espacio hiperbólico, el [[panal icosaédrico bitruncado]].

==Área y volumen==
El área ''A'' y el [[volumen]] ''V'' de un dodecaedro truncado de longitud de arista ''a'' son:
:<math>\begin{align}
A &= 5 \left(\sqrt{3}+6\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right) a^2 &&\approx 100.990\,76a^2 \\
V &= \tfrac{5}{12} \left(99+47\sqrt{5}\right) a^3 &&\approx 85.039\,6646a^3
\end{align}</math>

==Coordenadas cartesianas==
Las [[coordenadas cartesianas]] para los vértices de un [[dodecaedro]] [[Truncamiento (geometría)|truncado]] con longitud de arista 2''φ''&nbsp;−&nbsp;2, centrado en el origen,<ref>{{mathworld|title=Icosahedral group|urlname=IcosahedralGroup}}</ref> son todas las permutaciones pares de:
:(0, ±{{sfrac|1|''φ''}}, ±(2&nbsp;+&nbsp;''φ''))
:(±{{sfrac|1|''φ''}}, ±''φ'', ±2''φ'')
:(±''φ'', ±2, ±(''φ''&nbsp;+&nbsp;1))

donde ''φ''&nbsp;=&nbsp;{{sfrac|1 + {{sqrt|5}}|2}} es el [[número áureo]].

==Proyecciones ortogonales==
El ''dodecaedro truncado'' tiene cinco [[operador de proyección|proyecciones ortogonales]] especiales, centradas en: un vértice, en dos tipos de aristas y dos tipos de caras. Los dos últimos corresponden a los [[plano de Coxeter|planos de Coxeter]] A<sub>2</sub> y H<sub>2</sub>.
{|class=wikitable
|+ Proyecciones ortogonales
|-
!Centradas en
!Vértices
!Arista<br />3-3
!Arista<br />10-10
!Cara<br />triangular
!Cara<br />Decagonal
|-
!Sólido
|
|
|[[File:Polyhedron truncated 12 from blue max.png|120px]]
|[[File:Polyhedron truncated 12 from yellow max.png|120px]]
|[[File:Polyhedron truncated 12 from red max.png|120px]]
|-
!Alámbrico
|[[File:Dodecahedron_t01_v.png|120px]]
|[[File:Dodecahedron_t01_e3x.png|120px]]
|[[File:Dodecahedron_t01_exx.png|120px]]
|[[File:Dodecahedron_t01_A2.png|120px]]
|[[File:Dodecahedron_t01_H3.png|120px]]
|- align=center
!Simetría<br />proyectiva
|[2]
|[2]
|[2]
|[6]
|[10]
|-
!Dual
|[[File:Dual dodecahedron_t12_v.png|120px]]
|[[File:Dual dodecahedron_t12_e3x.png|120px]]
|[[File:Dual dodecahedron_t12_exx.png|120px]]
|[[File:Dual dodecahedron_t12_A2.png|120px]]
|[[File:Dual dodecahedron_t12_H3.png|120px]]
|}

==Teselaciones esféricas y diagramas de Schlegel==
El dodecaedro truncado también se puede representar como un [[poliedro esférico]] y proyectarse sobre el plano a través de una [[proyección estereográfica]]. Esta proyección es [[Transformación conforme|conforme]], preservando los ángulos pero no las áreas ni las longitudes. Las líneas rectas sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.

Los [[diagrama de Schlegel|diagramas de Schlegel]] son similares, con una [[perspectiva|proyección perspectiva]] y aristas rectas.
{|class=wikitable
|-
![[Proyección ortogonal]]
!colspan=2|[[Proyección estereográfica|Proyecciones estereográficas]]
|- align=center valign=top
|[[Image:Uniform tiling 532-t01.png|160px]]
|[[Image:truncated dodecahedron stereographic projection decagon.png|160px]]<br />Centrada en [[decágono]]
|[[Image:truncated dodecahedron stereographic projection triangle.png|160px]]<br />Centrada en [[triángulo]]
|-
|[[File:Truncated_dodecahedron_ortho-color.png|160px]]
|[[File:Truncated_dodecahedron_schlegel.png|160px]]
|[[File:Truncated_dodecahedron_schlegel-tricenter.png|160px]]
|}

==Disposición de vértices==
Comparte su [[disposición de vértices]] con tres [[poliedros uniformes estrellados]]:
{|class="wikitable" width="400" style="vertical-align:top;text-align:center"
|[[Image:Truncated dodecahedron.png|100px]]<br />Dodecaedro truncado
|[[Image:Great icosicosidodecahedron.png|100px]]<br />[[Gran icosicosidodecaedro]]
|[[Image:Great ditrigonal dodecicosidodecahedron.png|100px]]<br />[[Gran dodecicosidodecaedro ditrigonal]]
|[[Image:Great dodecicosahedron.png|100px]]<br />[[Gran dodecicosaedro]]
|}

==Poliedros y teselados relacionados==

Es parte de un proceso de truncamiento entre un dodecaedro y un icosaedro:
{{Icosahedral truncations}}

Este poliedro está topológicamente relacionado como parte de la secuencia de poliedros uniformes [[Truncamiento (geometría)|truncados]] con [[configuración de vértices]] (3.2''n''.2''n'') y simetría [''n'',3] del [[grupo de Coxeter]].

{{Truncated figure1 small table}}

==Grafo del dodecaedro truncado==
{{Ficha de grafo
|nombre= Grafo del dodecaedro truncado
|imagen= [[File:Truncated dodecahedral graph.png|240px]]
|imagen_pie= [[Diagrama de Schlegel]], con simetría de 5 lóbulos
|namesake= 
|vértices= 60
|aristas= 90
|automorfismos= 120
|número_cromático= 2
|propiedades= [[Grafo cúbico|Cúbico]], [[Camino hamiltoniano|hamiltoniano]], [[Grafo regular|regular]], [[grafo cero-simétrico|cero-simétrico]]
}}
En el campo de la [[teoría de grafos]], el '''grafo del dodecaedro truncado''' es el [[N-esqueleto|esquema de vértices y aristas]] del ''dodecaedro truncado'', uno de los [[sólidos arquimedianos]]. Tiene 60 [[Vértice (teoría de grafos)|vértices]] y 90 líneas, y es un [[grafo arquimediano]] [[Grafo cúbico|cúbico]].<ref>{{citation|last1=Read|first1=R. C.|last2=Wilson|first2=R. J.|title=An Atlas of Graphs|publisher=[[Oxford University Press]]|year= 1998|page=269}}</ref>

{|class=wikitable
|- align=center
|[[File:Truncated Dodecahedral Graph.svg|240px]]<br />Circular
|}
{{clear}}

== Véase también ==
* [[Sólidos platónicos]]
* [[Sólidos de Johnson]]
* [[Sólidos de Catalan]]
* [[Poliedro dual]]
* [[Poliedro]]s

==Referencias==
{{listaref}}

==Bibliografía==
*{{The Geometrical Foundation of Natural Structure (book)}} (Sección 3-9)
*{{cite book|author=Cromwell, P.|year=1997|title=Polyhedra|url=https://archive.org/details/polyhedra0000crom|location=United Kingdom|publisher=Cambridge|pages=[https://archive.org/details/polyhedra0000crom/page/79 79]–86 ''Archimedean solids''|isbn=0-521-55432-2}}

==Enlaces externos==
*{{mathworld|urlname= TruncatedDodecahedron|title= Truncated dodecahedron|urlname2=  ArchimedeanSolid|title2=  Archimedean solid}}
**{{mathworld|urlname= TruncatedDodecahedralGraph|title= Truncated dodecahedral graph}}
*{{KlitzingPolytopes|polyhedra.htm|3D convex uniform polyhedra|o3x5x - tid}}
*[http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=1e9V3YL5nW2MMkIcdn0TdMHHhXMiuoCQGqz2g3IjH7orIJ5iBy9LQ80CKQP1GAP9MmtklgzVBcF5ZfK9LsPLcjTfCVtbQW JrpIJTarRzJGitPNEnHrk3rNm5pr6Gzui1P5MD7RwSrFu6TKzjy5qQl5PYokM9mcFWcoPivzjQxlRGa1eVpVmZl5Uv2nXTaX5RSgc2N5B3daPbsAUEsCGxrnbgMLCKvMvztIjl44GGTstwl3pC589 OwhVUTHvkTzg6b4dpshGHQn4ajtxQA8ch==W1wKBsKuMpbqE4oCXbIi2sfEgppN1tcDBWVOJUXQfPiEglU1jtQi7fUj5xDW2PpZtdwQDmwpC3Lk&name=Truncado+Dodecaedro#applet Red imprimible editable de un dodecaedro truncado con vista 3D interactiva]
*[http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ Los poliedros uniformes]
*[http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Poliedros de realidad virtual] La enciclopedia de poliedros

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Sólidos arquimedianos]]
[[Categoría:Poliedros uniformes]]
[[Categoría:Teselados truncados]]