Ver el código de «Dominio (análisis matemático)»

[[Archivo:Domain 1.png|thumb|500px|Dominios conexos (de izquierda a derecha): conexo (o mono-conexo), tri-conexo y tetra-conexo]]

En [[análisis matemático]], un '''dominio''' o '''región''' es un [[conjunto abierto]] [[Conjunto conexo|conexo]] [[Conjunto vacío|no vacío]] definido en un [[espacio topológico]], en particular cualquier [[subconjunto]] abierto conexo no vacío del [[espacio de coordenadas reales]] {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} o del [[espacio de coordenadas complejas]] {{math|'''C'''<sup>''n''</sup>}}. Este es un concepto diferente al del [[dominio de una función]], aunque a menudo se usa para ese propósito, como por ejemplo, en [[ecuación en derivadas parciales|ecuaciones en derivadas parciales]] y en el [[espacio de Sóbolev]].

La idea básica de un subconjunto conexo de un espacio data del {{siglo|XIX||s}}, pero las definiciones precisas varían ligeramente de una generación a otra, de un autor a otro y de una edición a otra, a medida que los conceptos se desarrollaron y los términos se tradujeron entre obras en alemán, francés e inglés. En inglés, algunos autores usan el término ''dominio'',<ref>Por ejemplo {{Harv|Sveshnikov|Tikhonov|1978|loc=[https://archive.org/details/SveshnikovTikhonovTheTheoryOfFunctionsOfAComplexVariable/page/n24/ §1.3 pp. 21–22]}}.</ref> otros usan el término ''región'',<ref>Por ejemplo {{Harv|Churchill|1948|loc=[https://archive.org/details/introductiontoco00chur/page/16 §1.9 pp. 16–17]}};{{Harv|Ahlfors|1953|loc=[https://archive.org/details/complexanalysisi00ahlf/page/58/ §2.2 p. 58]}};{{Harv|Rudin|1974|loc=[https://archive.org/details/realcomplexanaly00rudi_0/page/213/ §10.1 p. 213]}} reserva el término "dominio" para el dominio de una función;{{Harv|Carathéodory|1964|loc=[https://archive.org/details/theoryoffunction0001cara/page/97/ p. 97]}} utiliza el término ''región'' para un conjunto abierto conexo y el término ''continuo'' para un conjunto cerrado conexo.</ref> algunos otros usan ambos términos indistintamente,<ref>por ejemplo {{Harv|Townsend|1915|loc=[https://archive.org/details/functionsofcompl00towniala/page/20/ §10, p. 20]}};{{Harv|Carrier|Krook|Pearson|1966|loc=[https://archive.org/details/functionsofcompl00carr/page/32/ §2.2 p. 32]}}.</ref> y otros definen los dos términos de manera ligeramente diferente;<ref>Por ejemplo {{Harv|Churchill|1960|loc=[https://archive.org/details/isbn_9780070108530/page/17/ §1.9 p. 17]}}, que no requiere que una ''región'' sea conexa o abierta.</ref> algunos evitan la ambigüedad al ceñirse a una frase como "subconjunto abierto conexo no vacío".<ref>Por ejemplo {{Harv|Dieudonné|1960|loc=[https://archive.org/details/foundationsofmod00dieu/page/64/ §3.19 pp. 64–67]}} generalmente usa la frase ''conjunto conexo abierto'', pero luego define dominio ''[[Conjunto simplemente conexo|simplemente conexo]]'' ([https://archive.org/details/foundationsofmod00dieu/page/215 §9.7 p. 215]); {{cite web |last=Tao |first=Terence |author-link= Terence Tao |date=2016 |title=246A, Notes 2: complex integration |url=https://terrytao.wordpress.com/2016/09/27/246a-notes-2-complex-integration/}}</ref> Una convención común es definir un "dominio" como un conjunto abierto conexo, pero una "región" como la [[Unión de conjuntos|unión]] de un dominio con ninguno, algunos o todos sus [[punto de acumulación|puntos de acumulación]].<ref>Por ejemplo {{Harv|Fuchs|Shabat|1964|loc=[https://archive.org/details/functionsofcompl0001fuks/page/22/ §6 pp. 22–23]}};{{Harv|Kreyszig|1972|loc=[https://archive.org/details/advancedengineer00krey/page/469/ §11.1 p. 469]}};{{Harv|Kwok|2002|loc=§1.4, p. 23.}}</ref> Una '''región cerrada''' o '''dominio cerrado''' es la unión de un dominio y de todos sus puntos límite.

Se requieren varios grados de suavidad del límite del dominio para que se mantengan varias propiedades de funciones definidas en el dominio, como teoremas integrales ([[teorema de Green]], [[teorema de Stokes]]), propiedades de [[espacio de Sóbolev]] y para definir [[medida (matemáticas)|medidas]] en el límite y los espacios de [[operador traza|trazas]] (funciones generalizadas definidas en el límite). Los tipos de dominios comúnmente considerados son dominios con límite [[Función continua|continuo]], límite de [[Dominio de Lipschitz|contorno de Lipschitz]], [[Función infinitamente diferenciable|{{math|''C''<sup>1</sup>}}]], etc.

Un '''dominio acotado''', como su nombre indica, es aquel que está [[acotado]], mientras que un '''dominio exterior''' o '''dominio externo''' es el [[Interior (topología)|interior]] del [[Complemento de un conjunto|complemento]] de un dominio acotado.

En [[análisis complejo]], un '''dominio complejo''' (o simplemente '''dominio''') es cualquier subconjunto abierto conexo del [[plano complejo]] {{math|'''C'''}}. Por ejemplo, todo el plano complejo es un dominio, al igual que el [[disco unidad]] abierto, el [[semiplano|semiplano superior]] abierto, etc. A menudo, un dominio complejo sirve como [[Dominio de una función|dominio de definición]] de una [[función holomorfa]]. En el estudio de [[múltiples variables complejas]], la definición de un dominio se amplía para incluir cualquier subconjunto abierto conexo de {{math|'''C'''<sup>''n''</sup>}}.

== Notas históricas ==
{{quote
|'''Definición'''. Eine offene Punktmenge heißt zusammenhängend, wenn man sie nicht als Summe von zwei offenen Punktmengen darstellen kann. Eine offene zusammenhängende Punktmenge heißt ein Gebiet.|col2="Un conjunto abierto es conexo si no puede expresarse como la suma de dos conjuntos abiertos. Un conjunto conexo abierto se denomina dominio"
|[[Constantin Carathéodory]] {{Harv|Carathéodory|1918|p=222}}
}}

En esta definición, Carathéodory considera obviamente conjuntos [[Conjunto vacío|no vacíos]] [[Conjuntos disjuntos|disjuntos]]. Según [[Hans Hahn]],<ref>See {{harv|Hahn|1921|loc=[https://archive.org/details/theoriederreelle01hahnuoft/page/85 p. 85 footnote 1]}}.</ref> el concepto de dominio como un conjunto conexo abierto fue introducido por [[Constantin Carathéodory]] en su famoso libro {{harv|Carathéodory|1918}}. Hahn también comenta que la palabra "''Gebiet''" ("''Dominio ''") se usó anteriormente de vez en cuando como [[sinónimo]] de [[conjunto abierto]].<ref>{{harvtxt|Hahn|1921|loc=[https://archive.org/details/theoriederreelle01hahnuoft/page/61/ p. 61 footnote 3]}}, comentando la definición recién dada de conjunto abierto ("offene Menge"), establece con precisión:-"''Vorher war, für diese Punktmengen die Bezeichnung "Gebiet" in Gebrauch, die wir (§ 5, S. 85) anders verwenden werden.''" (Traducción libre al español: -"''Anteriormente, el término "Gebiet" se usaba ocasionalmente para tales conjuntos de puntos, y lo usaremos en (§ 5, p. 85) con un significado diferente.''"</ref> El concepto aproximado es más antiguo. En el siglo XIX y principios del XX, los términos "dominio" y "región" a menudo se usaban de manera informal (a veces indistintamente) sin una definición explícita.<ref>Por ejemplo {{Harv|Forsyth|1893}} utiliza el término '' región '' informalmente en todas partes (p. ej. [https://archive.org/details/theoryoffunction00fors/page/21/ §16, p. 21]) junto con la expresión informal ''parte del plano {{mvar|z}}'', y define el ''dominio'' de un punto {{mvar|a}} para una función {{mvar|f}} para ser el [[Entorno (matemática)|entorno {{mvar|r}}]] más grande de {{mvar|a}} en el que {{mvar|f}} es [[Función holomorfa|holomorfa]] ([https://archive.org/details/theoryoffunction00fors/page/52/ §32, p. 52]). La primera edición de ''A Course of Modern Analysis'' {{Harv|Whittaker|1902}} usa los términos "dominio" y "región" de manera informal y aparentemente intercambiable. En la segunda edición,{{Harv|Whittaker|Watson|1915|loc=[https://archive.org/details/courseofmodernan00whituoft/page/44/ §3.21, p. 44]}} define una ''región abierta'' como el [[Teorema de la curva de Jordan|interior de una curva simple cerrada]], y una ''región cerrada'' o ''dominio'' como la región abierta junto con su curva límite.{{Harv|Goursat|1905|loc=[https://archive.org/details/courseinmathemat02gouruoft/page/10/ §262, p. 10]}} define ''région'' [región] o ''aire'' [área] como una parte conexa del plano.{{Harv|Townsend|1915|loc=[https://archive.org/details/functionsofcompl00towniala/page/20/ §10, p. 20]}} define una "región" o "dominio" como una parte conexa del plano complejo que consta solo de puntos internos.</ref>

Sin embargo, el término "dominio" se utilizó ocasionalmente para identificar conceptos estrechamente relacionados pero ligeramente diferentes. Por ejemplo, en su influyente [[monografía]] sobre [[ecuación diferencial parcial elíptica|ecuaciones diferenciales parciales elípticas]], [[Carlo Miranda]] usa el término "región" para identificar un conjunto conexo abierto,<ref name="M&Mp1">See {{harv|last= Miranda|year1=1955|year2=1970|loc1=p. 1|loc2=p. 2}}.</ref><ref>Precisamente, en la primera edición de su monografía,{{harvtxt|Miranda|1955|p=1}} utiliza el término italiano "''campo''", que tiene literalmente el significado utilizado en agricultura: en la segunda edición del libro, Zane C. Motteler traduce apropiadamente este término como "región".</ref> y reserva el término "dominio" para identificar un<ref>Un conjunto internamente conexo es un conjunto cuyo interior está conectado.</ref> [[conjunto perfecto]] internamente conexo, cada punto del cual es un punto de acumulación de puntos interiores,<ref name="M&Mp1"/> siguiendo a su antiguo maestro [[Mauro Picone]]:<ref>Véase {{harv|Picone|1923|p=66}}.</ref> de acuerdo con esta convención, si un conjunto {{math|''A''}} es una región, entonces su [[Clausura topológica|clausura]] {{math|''{{overline|A}}''}} es un dominio.<ref name="M&Mp1" />

== Ejemplos ==
[[Archivo:Obszar z punktami niedostepnymi.png|thumb|Un ejemplo de un dominio (área gris) cuyo contorno incluye puntos no accesibles]]

* En la recta real <math>\mathbb{R} = \mathbb{R}^1</math>, los dominios son [[Intervalo (matemática)|intervalos numéricos]]. El borde de tales dominios siempre son un conjunto de dos puntos como máximo.<ref name="ReferenceA">Математическая энциклопедия, t. 3, Коо-Од, op. cit., s. 1098.</ref>
* Un dominio infinitamente conexo se puede obtener quitando de un [[Disco (topología)|disco]] de radio 2 círculos cerrados disjuntos con radios <math>1, \frac{1}{4}, \frac{1}{4^2}, \dots, \frac{1}{4^n}, \dots</math> El borde de este dominio es la [[circunferencia]] del círculo de radio 2 y las circunferencias que delimitan los círculos eliminados.
* La región conexa simple <math>\mathfrak{O}</math> puede tener un borde bastante complicado, que contiene puntos inaccesibles en el siguiente sentido: no hay una curva continua <math>f\colon \langle a; b \rangle \rightarrow \overline\mathfrak{O},</math> donde <math>\langle a; b \rangle</math> es un intervalo cerrado en el eje real de modo que las imágenes de todos los puntos del intervalo, excepto el punto <math>X = f(b)</math> (perteneciente al borde de <math>\mathfrak{O}</math>), pertenecen al área <math>\mathfrak{O}.</math> Dichos puntos serán, por ejemplo, los puntos del lado derecho del cuadrado en el dibujo adyacente, en el que se han eliminado segmentos perpendiculares alternados desde la parte inferior y superior quitando también los puntos de los lados del cuadrado, acercándose al lado derecho y con longitudes que tienden a la longitud del lado del cuadrado.<ref>{{cita libro| autor = А.И. Маркушевич | título = Теория аналитических функций | editor = ГИТТЛ | año = 1950 | ubicación = Москва-Ленинград | volumen = 1 | edición = 1 | páginas = 406}}</ref>
* Cada dos puntos de un dominio ubicados en el plano complejo se pueden unir mediante una [[cadena poligonal]].
: Sea un área dada. Para cada <math>X \in \mathfrak{O}</math>, sea <math>\mathfrak{F}_X</math> el conjunto de sus puntos en la región <math>\mathfrak{O},</math> que son parte del polígono <math>X</math>. Para cada <math>X \in \mathfrak{O}</math> el conjunto <math>\mathfrak{F}_X</math> es abierto, porque si <math>A \in \mathfrak{F}_X,</math> entonces con el punto <math>X</math> se puede conectar cualquier punto del polígono en la esfera <math>k(A, r) \subset \mathfrak{O}.</math> Por otro lado, el conjunto:
: <math>\mathfrak{O} \setminus \mathfrak{F}_X = \bigcup_{Y \in \mathfrak{O} \setminus \mathfrak{F}_X} \mathfrak{F}_Y</math>
: también es una colección abierta, por lo tanto, debido a al carácter conexo del conjunto <math>\mathfrak{O}</math>, el conjunto <math>\mathfrak{O} \setminus \mathfrak{F}_X = \varnothing,</math> o <math>\mathfrak{F}_X = \mathfrak{O}</math>.<ref>Kuratowski, op. cit., s. 257.</ref>
* Esta propiedad es válida para regiones en el espacio euclídeo <math>\mathbb{R}^n, n \geqslant 1</math> y para regiones del espacio complejo <math>\mathbb{C}^n, n \geqslant 1,</math>, donde hay una poligonal que consta de un número finito de segmentos que conecta dos puntos cualesquiera del dominio.<ref name="ReferenceA" />
* La propiedad anterior también es válida para el dominio de cada [[espacio vectorial]] topológico.
* Cada colección abierta <math>\mathfrak{O} \subset \mathbb{C}</math> es la suma de áreas, porque:
: <math>\mathfrak{O} = \bigcup_{X \in \mathfrak{O}} \mathfrak{F}_X.</math>

== Véase también ==
* [[Poliedro analítico]]
* [[Conjunto de Caccioppoli]]
* [[Dominio de Lipschitz]]

== Referencias ==
{{listaref|2}}

== Bibliografía ==
* {{Cita libro |enlaceautor=Lars Ahlfors |título=Complex Analysis |url=https://archive.org/details/complexanalysisi00ahlf/ |fecha=1953 |editorial=McGraw-Hill |last=Ahlfors |first=Lars |url-access=limited}}
* {{Cita libro |enlaceautor=Constantin Carathéodory |título=Vorlesungen über reelle Funktionen |fecha=1918 |editorial=B. G. Teubner |idioma=de |last=Carathéodory |first=Constantin |trans-title=Lectures on real functions |mr=0225940 |jfm=46.0376.12}} Reimpreso en 1968 (Chelsea).
* {{Cita libro |título=Theory of Functions of a Complex Variable, vol. I |url=https://archive.org/details/theoryoffunction0001cara/ |fecha=1964 (1ª ed. 1954) |editorial=Chelsea |edición=2nd |last=Carathéodory |first=Constantin |url-access=limited}} traducción al inglés de {{Cita libro |título=Functionentheorie I |fecha=1950 |editorial=Birkhäuser |idioma=de |last=Carathéodory |first=Constantin}}
* {{Cita libro |apellidos=Carrier |nombre=George |título=Functions of a Complex Variable: Theory and Technique |url=https://archive.org/details/functionsofcompl00carr/ |fecha=1966 |editorial=McGraw-Hill |apellidos2=Krook |nombre2=Max |apellidos3=Pearson |nombre3=Carl |author-link1=George F. Carrier |author-link2=Max Krook |url-access=limited}}
* {{Cita libro |enlaceautor=Ruel Vance Churchill |título=Introduction to Complex Variables and Applications |url=https://archive.org/details/introductiontoco00chur/ |fecha=1948 |editorial=McGraw-Hill |edición=1st |last=Churchill |first=Ruel |url-access=limited}}<br />{{Cita libro |título=Complex Variables and Applications |url=https://archive.org/details/isbn_9780070108530/ |fecha=1960 |editorial=McGraw-Hill |isbn=9780070108530 |edición=2nd |last=Churchill |first=Ruel |url-access=limited}}
* {{Cita libro |enlaceautor=Jean Dieudonné |título=Foundations of Modern Analysis |url=https://archive.org/details/foundationsofmod00dieu/ |fecha=1960 |editorial=Academic Press |last=Dieudonné |first=Jean |url-access=limited}}
* {{Cita libro |enlaceautor=Howard Eves |título=Functions of a Complex Variable |url=https://archive.org/details/functionsofcompl0002eves |fecha=1966 |editorial=Prindle, Weber & Schmidt |página=[https://archive.org/details/functionsofcompl0002eves/page/105 105] |last=Eves |first=Howard}}
* {{Cita libro |enlaceautor=Andrew Forsyth |título=Theory of Functions of a Complex Variable |url=https://archive.org/details/theoryoffunction00fors/?q=region |fecha=1893 |editorial=Cambridge |last=Forsyth |first=Andrew |jfm=25.0652.01}}
* {{Cita libro |apellidos=Fuchs |nombre=Boris |título=Functions of a complex variable and some of their applications, vol. 1 |url=https://archive.org/details/functionsofcompl0001fuks/ |fecha=1964 |editorial=Pergamon |apellidos2=Shabat |nombre2=Boris |url-access=limited}} traducción al inglés de {{Cita libro |apellidos=Фукс |nombre=Борис |título=Функции комплексного переменного и некоторые их приложения |url=https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/FuksShabat1964ru.pdf |fecha=1949 |editorial=Физматгиз |idioma=ru |apellidos2=Шабат |nombre2=Борис}} <!-- link goes to 1964 third edition -->
* {{Cita libro |enlaceautor=Édouard Goursat |título=Cours d'analyse mathématique, tome 2 |url=https://archive.org/details/courseinmathemat02gouruoft/ |fecha=1905 |editorial=Gauthier-Villars |idioma=fr |last=Goursat |first=Édouard |trans-title=A course in mathematical analysis, vol. 2}}
* {{Cita libro |enlaceautor=Hans Hahn (mathematician) |título=Theorie der reellen Funktionen. Erster Band |url=https://archive.org/details/theoriederreelle01hahnuoft/ |año=1921 |editorial=Springer |idioma=de |last=Hahn |first=Hans |trans-title=Theory of Real Functions, vol. I |jfm=48.0261.09}}
* {{Cita libro |apellidos=Krantz |nombre=Steven |título=The Geometry of Domains in Space |fecha=1999 |editorial=Birkhäuser |apellidos2=Parks |nombre2=Harold |author-link1=Steven G. Krantz |author-link2=Harold R. Parks}}
* {{Cita libro |enlaceautor=Erwin Kreyszig |título=Advanced Engineering Mathematics |url=https://archive.org/details/advancedengineer00krey/ |fecha=1972 (1ª ed. 1962) |editorial=Wiley |isbn=9780471507284 |edición=3rd |last=Kreyszig |first=Erwin |url-access=limited}}
* {{Cita libro |título=Applied Complex Variables for Scientists and Engineers |url=https://archive.org/details/appliedcomplexva0000kwok |fecha=2002 |editorial=Cambridge |last=Kwok |first=Yue-Kuen}}
* {{Cita libro |enlaceautor=Carlo Miranda |título=Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico |año=1955 |editorial=Springer |idioma=it |last=Miranda |first=Carlo |mr=0087853 |zbl=0065.08503}} Traducido como {{Cita libro |enlaceautor=Carlo Miranda |título=Partial Differential Equations of Elliptic Type |fecha=1970 |editorial=Springer |edición=2nd |traductor=Motteler, Zane C. |last=Miranda |first=Carlo |mr=0284700 |zbl=0198.14101}}
* {{Cita libro |enlaceautor=Mauro Picone |título=Lezioni di analisi infinitesimale, vol. I |fecha=1923 |editorial=Circolo matematico di Catania |idioma=it |capítulo=Parte Prima – La Derivazione |last=Picone |first=Mauro |trans-title=Lessons in infinitesimal analysis |chapter-url=http://mathematica.sns.it/media/volumi/462/picone_parte_I.pdf |jfm=49.0172.07}}
* {{Cita libro |enlaceautor=Walter Rudin |título=Real and Complex Analysis |url=https://archive.org/details/realcomplexanaly00rudi_0/ |fecha=1974 (1ª ed. 1966) |editorial=McGraw-Hill |isbn=9780070542334 |edición=2nd |last=Rudin |first=Walter |url-access=limited}}
* {{Cita libro |apellidos=Sveshnikov |nombre=Aleksei |título=The Theory Of Functions Of A Complex Variable |url=https://archive.org/details/SveshnikovTikhonovTheTheoryOfFunctionsOfAComplexVariable/ |fecha=1978 |editorial=Mir |apellidos2=Tikhonov |nombre2=Andrey |author-link1=Aleksei Sveshnikov |author-link2=Andrey Nikolayevich Tikhonov}} traducción al inglés de {{Cita libro |apellidos=Свешников |nombre=Алексей |título=Теория функций комплексной переменной |fecha=1967 |editorial=Наука |idioma=ru |apellidos2=Ти́хонов |nombre2=Андре́й}}
* {{Cita libro |título=Functions of a Complex Variable |url=https://archive.org/details/functionsofcompl00towniala/?q=region |fecha=1915 |editorial=Holt |last=Townsend |first=Edgar}}
* {{Cita libro |enlaceautor=Edmund Taylor Whittaker |título=A Course Of Modern Analysis |url=https://archive.org/details/courseofmoder1st00whituoft/?q=region |fecha=1902 |editorial=Cambridge |edición=1st |last=Whittaker |first=Edmund |jfm=33.0390.01}} <br /> {{Cita libro |apellidos=Whittaker |nombre=Edmund |título=A Course Of Modern Analysis |url=https://archive.org/details/courseofmodernan00whituoft/?q=region |fecha=1915 |editorial=Cambridge |edición=2nd |apellidos2=Watson |nombre2=George |author-link2=George Neville Watson}}

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[[Categoría:Topología]]