Ver el código de «Dominio en estrella»

[[Image:Star domain.svg|300px|thumb|Un dominio en estrella (equivalentemente, un conjunto convexo estrellado o en forma de estrella) no es necesariamente [[Convexidad|convexo]] en el sentido común del término]]

En [[geometría]], un [[conjunto]] <math>S</math> en un [[espacio euclídeo]] <math>\R^n</math> se denomina '''dominio en estrella''' (o '''conjunto convexo estrellado''', '''conjunto en forma de estrella''' o '''conjunto radialmente convexo''') si existe un <math>s_0 \in S</math> tal que para todos los <math>s \in S,</math> el [[segmento]] de <math>s_0</math> a <math>s</math> se encuentre en <math>S.</math> Esta definición se puede generalizar inmediatamente a cualquier [[espacio vectorial]] [[Número real|real]] o [[Número complejo|complejo]].

Intuitivamente, si se piensa en <math>S</math> como una región rodeada por una pared, <math>S</math> es un dominio estelar si se puede encontrar un punto de vista <math>s_0</math> en <math>S</math> desde el cual cualquier punto <math>s</math> de <math>S</math> esté dentro de su línea de visión. Un concepto similar, pero distinto, es el de [[conjunto radial]].{{contenido|izquierda}}{{clear|right}}

==Definición==
[[Image:Not-star-shaped.svg|thumb|Una [[corona circular]] no es un dominio en estrella]]

Dados dos puntos <math>x</math> e <math>y</math> en un espacio vectorial <math>X</math> (como el [[espacio euclídeo]] <math>\R^n</math>), la [[envolvente convexa]] de <math>\{x, y\}</math> se llama {{enf|intervalo cerrado con puntos finales <math>x</math> e <math>y</math>}} y se denota por

:<math>\left[x, y\right] ~:=~ \left\{t x + (1 - t) y : 0 \leq t \leq 1\right\} ~=~ x + (y - x) [0, 1],</math>

donde <math>z [0, 1] := \{z t : 0 \leq t \leq 1\}</math> para cada vector <math>z</math>.

Un subconjunto <math>S</math> de un espacio vectorial <math>X</math> se dice que tiene {{enf|forma de estrella}} desde <math>s_0 \in S</math> si para cada <math>s \in S,</math> el intervalo cerrado <math>\left[s_0, s\right] \subseteq S.</math>

Un conjunto <math>S</math> tiene {{enf|forma de estrella}} y se llama {{enf|dominio en estrella}} si existe algún punto <math>s_0 \in S</math> tal que <math>S</math> tenga forma de estrella desde <math>s_0.</math>.

Un conjunto que tiene forma de estrella en el origen a veces se denomina {{enf|conjunto en estrella}}.{{sfn|Schechter|1996|p=303}} Estos conjuntos están cerrados en relación con el [[funcional de Minkowski]].

== Ejemplos ==
* Cualquier recta o plano en <math>\R^n</math> es un dominio en estrella.
* Una recta o un plano al que se le ha eliminado un solo punto no es un dominio en estrella.
* Si <math>A</math> es un conjunto en <math>\R^n,</math>, el conjunto <math>B= \{t a : a \in A, t \in [0, 1]\}</math> obtenido al conectar todos los puntos en <math>A</math> con el origen es un dominio en estrella.
* Cualquier [[convexidad|conjunto convexo]] [[Conjunto vacío|no vacío]] es un dominio en estrella. Un conjunto es convexo si y solo si es un dominio en estrella con respecto a cualquier punto de ese conjunto.
* Una figura con forma de [[cruz]] es un dominio en estrella, pero no es convexa.
* Un [[polígono con forma de estrella]] es un dominio en estrella cuyo límite es una secuencia de segmentos rectilíneos conectados entre sí.

== Propiedades ==
* La [[Clausura topológica|clausura]] de un dominio en estrella es también un dominio en estrella, pero el [[Interior (topología)|interior]] de un dominio en estrella no es necesariamente un dominio en estrella.
* Cada dominio en estrella es un conjunto [[Espacio contráctil|contráctil]], a través de una [[Homotopía|homotopía rectilínea]]. En particular, cualquier dominio en estrella es un [[conjunto simplemente conexo]].
* Cada dominio en estrella, y solo un dominio en estrella, puede ''reducirse a sí mismo''; es decir, para cada relación de dilatación <math>r < 1,</math>, el dominio puede dilatarse en una relación <math>r</math> tal que el dominio estelar dilatado esté contenido en el dominio estelar original.<ref>{{cite web|last1=Drummond-Cole|first1=Gabriel C.|title=What polygons can be shrinked into themselves?|url=https://mathoverflow.net/q/182349|website=Math Overflow|accessdate=2014-10-02}}</ref>
* La [[Unión de conjuntos|unión]] y la [[Intersección de conjuntos|intersección]] de dos dominios en estrella no son necesariamente un dominio en estrella.
* Un dominio en estrella abierto no vacío <math>S</math> en <math>\R^n</math> es de [[Difeomorfismo|difeomorfo]] a <math>\R^n.</math>
* Dado <math>W \subseteq X,</math>, el conjunto <math>\bigcap_{|u|=1} u W</math> (donde <math>u</math> abarca todos los escalares de [[vector unitario]]) es un [[conjunto equilibrado]] siempre que <math>W</math> tenga forma de estrella respecto al origen (lo que significa que <math>0 \in W</math> y <math>r w \in W</math> para todos los <math>0 \leq r \leq 1</math> y <math>w \in W</math>).

== Véase también ==
* [[Conjunto absolutamente convexo]]
* [[Problema de la galería de arte]]
* [[Convexidad]]
* [[Estrella (figura geométrica)]]

== Referencias ==
{{listaref}}

== Bibliografía ==
* Ian Stewart, David Tall, ''Complex Analysis''. Prensa de la Universidad de Cambridge, 1983, {{isbn|0-521-28763-4}}, MR 0698076
* C.R. Smith, ''A characterization of star-shaped sets'', [[American Mathematical Monthly]], vol. 75, núm. 4 (abril de 1968). p.386, MR 0227724, {{JSTOR|2313423}}
* Rudin, Walter (1991). ''Functional Analysis''. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277
* Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). ''Topological Vector Spaces''. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135
* Schechter, Eric (1996).''Handbook of Analysis and Its Foundations''. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365

== Enlaces externos ==
* {{commons category|Star-shaped sets}}
* {{mathworld|urlname=StarConvex|title=Star convex|author=Humphreys, Alexis}}

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