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En [[matemáticas]], más concretamente en [[álgebra abstracta]] y [[teoría de anillos]], un '''dominio euclídeo''' o '''anillo euclídeo''' (usualmente abreviado '''DE''') es un [[anillo conmutativo]] sobre el que se puede definir una función euclidea (explicada más adelante) que permite generalizar la noción de [[división euclidea]] usual de los [[números enteros]]. Este [[algoritmo de Euclides]] generalizado se puede utilizar para los mismos fines que el algoritmo de [[Euclides]] original en el [[Anillo de los números enteros|anillo de los enteros]]: en un dominio euclídeo se puede utilizar este algoritmo para calcular el [[máximo común divisor]] de dos elementos cualesquiera. En particular, el máximo común divisor de dos elementos siempre existe —lo cual no es en general cierto para un [[Anillo (matemáticas)|anillo]] arbitrario—, y puede ser expresado como una [[combinación lineal]] de ellos ([[identidad de Bezout]]).<ref name="Cohn_2012_112" /> Además, todo [[Ideal (teoría de anillos)|ideal]] de un dominio euclídeo es [[Ideal principal|principal]],<ref name="Artin_2010_362" /> lo que implica que se puede generalizar el [[teorema fundamental de la aritmética]]: todo dominio euclídeo es un [[dominio de factorización única]].<ref name="Artin_2010_365" />
 
== Definición ==

Un '''dominio euclídeo''' es un par <math>(A,\phi)</math> donde <math>A</math> es un [[dominio de integridad]] y <math>\phi</math> es una [[Función matemática|aplicación]] <math>\phi: A \setminus \{0\} \longrightarrow \mathbb{N} \cup \{0\}</math> que cumple las siguientes dos condiciones:{{Harvnp|Gallian|2012|p=337}}

1. Para cualquier <math>a,b \in A</math> tales que <math>b \neq 0</math> se cumple que existen <math>q,r \in A</math> de manera que 
{{Ecuación|::<math>a = bq + r</math>; \ tales que <math>r = 0</math>, o bien <math>\ \phi(r) < \phi(b)</math>|1}}
2  Para dos elementos cualesquiera <math>a,b \in A \setminus \{0\}</math>:
{{Ecuación|::<math>\phi(a) \leq \phi(a \cdot b)</math>|2}}

A los elementos <math>q</math> y <math>r</math> se les denomina respectivamente [[cociente]] y [[resto]], como en la división usual.

=== Definiciones alternativas ===

Algunos autores consideran que la {{Eqnref|segunda condición}} es redundante y puede ser omitida de la definición. En efecto, si en un dominio íntegro se puede definir una función <math>\phi</math> que cumple la primera condición, entonces siempre es posible definir otra que cumpla también la segunda, en particular:<ref>{{Cita publicación | apellido = Rogers | nombre = Kenneth | título = The Axioms for Euclidean Domains | url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1971-12_78_10/page/1127 | publicación = [[American Mathematical Monthly]] | volumen = 78 | número = 10 | páginas = 1127–1128 | año = 1971 | doi = 10.2307/2316324 | editorial = [[Mathematical Association of America]] | jstor = 2316324 | zbl=0227.13007 }}</ref>
:<math>\phi^*(x) = Min \{ \phi(ax) : a \in A \setminus \{0\} \}</math>
Puesto que la unicidad no es imprescindible, la condición {{Eqnref|1}} por sí sola implica que el dominio es euclídeo.

=== Terminología ===

Diversos autores se refieren a la función <math>\phi</math> —que define un dominio euclídeo—, con diferentes nombres: «aplicación (o función) euclídea», «función de medida» (o de tamaño),<ref>{{Harvtxt|Gallian|2012}} y {{Harvtxt|Artin|2010}} la llaman «medida» (''the measure'') y «tamaño» (''size function'') respectivamente.</ref> «grado» o «función de norma».<ref>{{Harvtxt|Cohn|2012}} se refiere a ella como ''norm function''.</ref> En algunos contextos se habla de «norma euclídea»,<ref>Por ejemplo {{Harvtxt|Jackson|1995}}.</ref> si bien esta denominación puede inducir a confusión con la [[norma vectorial]] que define la [[Distancia euclidiana|distancia usual]].

Es importante destacar que la función de norma solamente toma valores enteros, aun cuando en algún caso particular pueda extenderse <math>\phi</math> a todo el conjunto de los [[números reales]].

== Ejemplos ==

Los siguientes son ejemplos de [[Anillo (matemáticas)|anillos]] que son dominios euclídeos:
* Si tomamos el conjunto de los [[números enteros]] <math>\mathbb{Z}</math> y como norma euclídea tomamos la aplicación [[valor absoluto]] <math>| \cdot |</math>, tenemos un dominio euclídeo, pues <math>|a| \leq |ab|</math> para todo <math>a,b \in \mathbb{Z}</math> con <math>b \neq 0</math>. Usando esta definición, la propiedad {{Eqnref|1}} equivale al [[División euclídea|algoritmo de división]] usual entre enteros. 

* En todo [[Cuerpo (matemática)|cuerpo]] <math>\mathbb{K}</math> puede definirse una norma euclídea, tomándose ésta como la [[Función (matemática)|aplicación]] constante <math>1</math>, ya que, para cualquier elemento <math>a</math> y <math>b</math> de <math>\mathbb{K}</math>, se satisfacen las dos propiedades de forma trivial, a saber:
# tomando <math>q = a/b</math> se tiene que <math>r=0</math>.
# <math>1 = \phi(a) \leq \phi(a \cdot b) = 1</math>.

* Considerando el [[anillo de polinomios]] en una variable <math>\mathbb{K}[x]</math> con coeficientes en un [[cuerpo (matemática)|cuerpo]] <math>\mathbb{K}</math> y como norma euclídea la aplicación
::<math>\mathrm{grad}:\mathbb{K}[x] - \{0\} \longrightarrow\mathbb{N} \cup \{0\} </math>
:que a cada [[polinomio]] no nulo de <math>\mathbb{K}[x]</math> le asigna su [[Grado (polinomio)|grado]], el resultado es un dominio euclídeo.

* en el anillo de los [[enteros gaussianos]], si para cada elemento <math>\alpha = a +bi</math>, donde <math>a,b \in \mathbb{Z}</math>, definimos su norma como <math>N(\alpha) = a^2 + b^2</math>, tenemos un dominio euclídeo.

Los siguientes son ejemplos de anillos que '''no''' son dominios euclideos:
* En general, el [[anillo de polinomios]] con coeficientes en un anillo <math>A</math> no es un dominio euclídeo, incluso aun cuando el propio <math>A</math> es un dominio euclideo. Por ejemplo <math>\mathbb{Z}[X]</math> no es un dominio euclídeo aunque <math>\mathbb{Z}</math> sí lo es.
 
== Propiedades ==

En un dominio euclideo, la identidad multiplicativa —el elemento <math>1_A</math>— siempre tiene la norma más pequeña posible, es decir, <math>\phi(1_A)=1</math>. Misma propiedad tienen todas las [[Unidad (álgebra)|unidades del anillo]]: <math>\forall u \in A: u \ es\ unidad \implies \phi(u)=1</math>.{{Harvnp|Jackson|1995|p=145}}

Todo dominio euclídeo <math>A</math> satisface las siguientes propiedades:
* Todo par de elementos <math>a,b \in A</math> tienen [[mínimo común múltiplo]] y [[máximo común divisor]], y se verifica la [[identidad de Bezout]].<ref name="Cohn_2012_112">{{Cita Harvard|Cohn|2012|p=112}}</ref>
* Todo ideal de <math>A</math> es principal, es decir, <math>A</math> es un [[dominio de ideales principales]].<ref name="Artin_2010_362">{{Cita Harvard|Artin|2010|p=362}}</ref>
* Todo elemento <math>a \in A</math> tiene una descomposición única en factores irreducibles, es decir, <math>A</math> es un [[dominio de factorización única]].<ref name="Artin_2010_365">{{Cita Harvard|Artin|2010|p=365}}</ref>
* En un dominio euclídeo todo [[elemento irreducible]] es [[Elemento primo|primo]].{{Harvnp|Gallian|2012|p=330}}

== Véase también ==

*[[Dominio de integridad|Dominio íntegro]].
*[[Algoritmo de la división]].
*[[Cuerpo (matemática)|Cuerpo]].
*[[Anillo (matemática)|Anillo]].
*[[Anillo de polinomios]].

== Referencias ==
=== Notas ===
{{Listaref|2}}
===Bibliografía ===
* {{Cita libro
 | apellido = Artin
 | nombre = M.
 | título = Algebra
 | edición = 2ª
 | editorial = Pearson
 | año = 2010
}}
* {{Cita libro
 | apellido = Cohn
 | nombre = Paul M. 
 | título = Introduction to Ring Theory
 | editorial = Springer Science & Business Media
 | año = 2012
 | isbn = 1447104757
}}
* {{Cita libro
 | apellido = Gallian
 | nombre = Joseph A.
 | título = Contemporary Abstract Algebra
 | edición = 8ª
 | editorial = Brooks/Cole
 | año = 2012
 | isbn = 1-133-59970-2
}}
* {{Cita libro
 | título = From Polynomials to Sums of Squares
 | url = https://archive.org/details/frompolynomialst0000jack
 | apellido = Jackson
 | nombre = T.H.
 | editor = CRC Press
 | año = 1995
 | isbn = 0750303298
}}
== Enlaces externos ==

*{{MathWorld|EuclideanDomain|Euclidean Domain}}
*{{PlanetMath|EuclideanRing|Euclidean Ring}}.

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de anillos]]
[[Categoría:Euclides]]
[[Categoría:Álgebra conmutativa]]