Ver el código de «Dualidad (matemática)»

{|class="wikitable floatright" width=400px style="font-size:85%; line-height:125%;"
|colspan=2|<br><center>'''Dualidad entre poliedros'''</center><br>
|-
||[[Archivo:Dualdodecaedre.png|x200px|center]]
||[[Archivo:Dualicosaedre.png|x200px|center]]
|-
|colspan=2|Dualidad entre centros de cara y vértices del [[dodecaedro]] y del [[icosaedro]]
|-
||[[Archivo:Dualcube.png|x200px|center]]
||[[Archivo:Dualoctaedre.png|x200px|center]]
|-
|colspan=2|Dualidad entre centros de cara y vértices del [[octaedro]] y del [[cubo]]
|}

En [[matemáticas]], una '''dualidad''', en términos generales, traduce conceptos, teoremas o estructuras matemáticas en otros conceptos, teoremas o estructuras, mediante una correspondencia uno a uno, a menudo (pero no siempre) por medio de una operación de [[Involución (matemática)|involución]]: si el dual de ''A'' es ''B'', entonces el dual de ''B'' es ''A''. Tales involuciones a veces tienen [[Punto fijo|puntos fijos]], de modo que el dual de ''A'' es ''A'' en sí mismo. Por ejemplo, el [[teorema de Desargues]] expresa una condición auto dual en este sentido bajo el ''concepto de [[Dualidad (geometría proyectiva)|dualidad en geometría proyectiva]]''.

En contextos matemáticos, el término ''dualidad'' tiene numerosos significados,<ref name="#1">{{harvnb|Atiyah|2007|page=1}}</ref> aunque es «un concepto muy dominante e importante en matemáticas (modernas)»<ref>{{harvnb|Kostrikin|2001}}{{page needed|date=July 2015}}</ref> y «un tema general de gran interés que tiene manifestaciones en casi todas las áreas de las matemáticas».<ref name="PCM187L">{{harvnb|Gowers|2008|loc=p.&nbsp;187, col.&nbsp;1}}</ref>

Muchas dualidades matemáticas entre objetos de dos tipos corresponden a [[emparejamiento]]s, que mediante [[operador bilineal|operadores bilineales]] relacionan un objeto de un tipo y otro objeto de un segundo tipo a una familia de escalares. Por ejemplo, la «dualidad en álgebra lineal» se corresponde de esta manera con aplicaciones bilineales de pares de espacios de vectores a escalares, la «dualidad entre [[Teoría de distribuciones|distribuciones]] y las [[teoría de distribuciones|funciones de prueba]] asociadas» corresponde al emparejamiento en el que se integra una distribución con una [[función bulto|función de prueba]], y la ''[[dualidad de Poincaré]]'' corresponde de manera similar al [[número de intersecciones]], visto como un emparejamiento entre subvariedades de una colección de objetos matemáticos determinada.<ref name="PCM189R">{{harvnb|Gowers|2008|loc=p.&nbsp;189, col.&nbsp;2}}</ref>

Desde el punto de vista de la [[teoría de categorías]], la dualidad también se puede ver como un [[funtor]], al menos en el ámbito de los espacios vectoriales. Este funtor asigna a cada espacio su espacio dual, y la construcción de [[retorno (teoría de categorías)|retorno]] asigna a cada flecha
::{{nowrap|''f'': ''V'' → ''W''}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;su dual&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;{{nowrap|''f''<sup>∗</sup>: ''W''<sup>∗</sup> → ''V''<sup>∗</sup>}}

En [[teoría de conjuntos]] y en [[lógica matemática]] el concepto de dualidad también desempeña un papel esencial.

==Ejemplos introductorios==
En palabras de [[Michael Atiyah]],
{{Caja de cita|La dualidad en matemáticas no es un teorema, sino un «principio».<ref name="#1"/>|ancho=400px|alineación=center}}

La siguiente lista de ejemplos muestra las características comunes de muchas dualidades, pero también indica que el significado preciso de la dualidad puede variar de un caso a otro.

===Complemento de un subconjunto===
Una dualidad simple, quizás la más simple, surge de considerar [[subconjunto]]s de un conjunto fijo {{math|{{var|S}}}}. Para cualquier subconjunto {{math|{{var|A}} &sube; {{var|S}}}}, su [[Complemento de un conjunto|complemento]] {{math|{{var|A}}<sup>{{var|c}}</sup>}}<ref>Para referirse al complemento, a veces se usa la notación {{math|{{var|S}} \ {{var|A}}}}.</ref> consta de todos los elementos en {{math|{{var|S}}}} que no están contenidos en {{math|{{var|A}}}}. El resultado es nuevamente un subconjunto de {{math|{{var|S}}}}. Tomar el complemento tiene las siguientes propiedades:
* Al aplicarlo dos veces, se obtiene el conjunto original, es decir, {{math|1=({{var|A}}<sup>{{var|c}}</sup>)<sup>{{var|c}}</sup> = {{var|A}}}}. Esto se menciona diciendo que la operación de tomar el complemento es una ''[[Involución (matemática)|involución]]''.
* Una inclusión de conjuntos {{math|{{var|A}} &sube; {{var|B}}}} se convierte en una inclusión en la dirección ''opuesta'' {{math|{{var|B}}<sup>{{var|c}}</sup> &sube; {{var|A}}<sup>{{var|c}}</sup>}}.
* Dado dos subconjuntos {{math|{{var|A}}}} y {{math|{{var|B}}}} de {{math|{{var|S}}}}, {{math|{{var|A}}}} está contenido en {{math|{{var|B}}<sup>{{var|c}}</sup>}} [[bicondicional|si y solo si]] {{math|{{var|B}}}} está contenido en {{math|{{var|A}}<sup>{{var|c}}</sup>}}.

Esta relación aparece en [[topología]] como una dualidad entre [[Conjunto abierto|subconjuntos abiertos]] y [[Conjunto cerrado|cerrados]] de un espacio topológico fijo {{math|{{var|X}}}}: un subconjunto {{math|{{var|U}}}} de {{math|{{var|X}}}} es cerrado si y solo si su complemento en {{math|{{var|X}}}} es abierto. Debido a esto, muchos teoremas sobre conjuntos cerrados son duales a teoremas sobre conjuntos abiertos. Por ejemplo, cualquier unión de conjuntos abiertos es abierta, por lo que cualquier intersección de conjuntos cerrados es cerrada. El [[Interior (topología)|interior]] de un conjunto es el conjunto abierto más grande que contiene, y el [[Clausura topológica|cierre]] del conjunto es el conjunto cerrado más pequeño que contiene. Debido a la dualidad, el complemento del interior de cualquier conjunto {{math|{{var|U}}}} es igual al cierre del complemento de {{math|{{var|U}}}}.

===Cono dual===
[[Archivo:Dual cone illustration.svg|derecha|miniatura|Un conjunto {{math|''C''}} (azul) y su cono dual {{math|''C''<sup>*</sup>}} (rojo)]]

En [[geometría]] existe una construcción denominada [[cono dual]]: dado un conjunto <math>C</math> de puntos en el plano <math>\mathbb R^2</math> (o más generalmente, puntos en {{nowrap|<math>\mathbb R^n</math>),}} su cono dual se define como el conjunto <math>C^* \subseteq \mathbb R^2</math> que consiste en sus puntos <math>(x_1, x_2)</math> tales que satisfacen la condición
::<math>x_1 c_1 + x_2 c_2 \ge 0</math>
para todos los puntos <math>(c_1, c_2)</math> en <math>C</math>, como se ilustra en el diagrama.
A diferencia del complemento de conjuntos mencionado anteriormente, en general no es cierto que la aplicación dos veces de la construcción del cono dual, devuelva el conjunto original <math>C</math>. En cambio, <math>C^{**}</math> es el cono<ref>Más precisamente, <math>C^**</math> es el cono [[conjunto cerrado|cerrado]] [[Convexidad|convexo]] más pequeño que contiene <math>C</math>.</ref> más pequeño que contiene <math>C</math>, que puede ser más grande que <math>C</math>. Por lo tanto, esta dualidad es más débil que la anterior, verificándose que
* La aplicación de la operación dos veces devuelve un conjunto posiblemente más grande: para todos los <math>C</math>, <math>C</math> está contenido en <math>C^{**}</math>. (Para algunos <math>C</math>, es decir, para los propios conos, los dos son en realidad iguales).
Las otras dos propiedades se transfieren sin cambios:
* Todavía es cierto que una inclusión <math>C \subseteq D</math> se convierte en una inclusión en la dirección opuesta (<math>D^* \subseteq C^*</math>).
* Dados dos subconjuntos <math>C</math> y <math>D</math> del plano, <math>C</math> está contenido en <math>D^*</math> si y solo si <math>D</math> está contenido en <math>C^*</math>.

===Espacio vectorial dual===
Un ejemplo muy importante de dualidad surge en el [[álgebra lineal]] al asociar a cualquier [[espacio vectorial]] {{math|{{var|V}}}} su [[espacio dual]] {{math|{{var|V}}<sup>*</sup>}}. Sus elementos son las {{math|{{var|k}}}}-[[aplicación lineal|aplicaciones lineales]] <math>\varphi: V \to k</math>, donde {{math|{{var|k}}}} es el [[Cuerpo (matemáticas)|campo]] sobre el cual se define {{math|{{var|V}}}}.
Las tres propiedades del cono dual se transfieren a este tipo de dualidad al reemplazar los subconjuntos de <math>\mathbb R^2</math> por el espacio vectorial y las inclusiones de dichos subconjuntos por aplicaciones lineales. Es decir:
* La aplicación de la operación de tomar dos veces el espacio vectorial dual produce otro espacio vectorial {{math|{{var|V}}<sup>**</sup>}}. Siempre existe una aplicación {{math|{{var|V}} &rarr; {{var|V}}<sup>**</sup>}}. Para algunos {{math|{{var|V}}}}, concretamente los [[dimensión de un espacio vectorial|espacios vectoriales de dimensión finita]], esta aplicación es un [[isomorfismo]].
* Una aplicación lineal {{math|{{var|V}} &rarr; {{var|W}}}} da lugar a una aplicación en la dirección opuesta ({{math|{{var|W}}<sup>*</sup> &rarr; {{var|V}}<sup>*</sup>}}).
* Dados dos espacios vectoriales {{math|{{var|V}}}} y {{math|{{var|W}}}}, las aplicaciones de {{math|{{var|V}}}} a {{math|{{var|W}}<sup>*</sup>}} se corresponden con las aplicaciones de {{math|{{var|W}}}} a {{math|{{var|V}}<sup>*</sup>}}.
Una característica particular de esta dualidad es que {{math|{{var|V}}}} y {{math|{{var|V}}<sup>*</sup>}} son isomórficos para ciertos objetos, a saber, espacios vectoriales de dimensión finita. Sin embargo, esto es, en cierto sentido, una coincidencia afortunada, porque dar un isomorfismo de este tipo requiere una cierta elección, por ejemplo, la elección de una [[Base (álgebra)|base]] de {{math|{{var|V}}}}. Esto también es cierto en el caso de que {{math|{{var|V}}}} sea un [[espacio de Hilbert]], a través del [[teorema de representación de Riesz]].

===Teoría de Galois===

En todas las dualidades discutidas anteriormente, el dual de un objeto es del mismo tipo que el objeto mismo. Por ejemplo, el dual de un espacio vectorial es nuevamente un espacio vectorial. Muchas declaraciones de dualidad no son de este tipo. En cambio, tales dualidades revelan una relación cercana entre objetos de naturaleza aparentemente diferente. Un ejemplo de tal dualidad más general es el de la [[teoría de Galois]]. Para una [[extensión de Galois]] {{math|{{var|K}} / {{var|F}}}} fija, se puede asociar el [[grupo de Galois]] {{math|Gal({{var|K}}/{{var|E}})}} a cualquier campo intermedio {{math|{{var|E}}}} (es decir, {{math|{{var|F}} &sube; {{var|E}} &sube; {{var|K}}}}). Este grupo es un subgrupo del grupo de Galois {{math|1={{var|G}} = Gal({{var|K}}/{{var|F}})}}. Por el contrario, para cualquier subgrupo {{math|{{var|H}} &sube; {{var|G}}}} existe el campo fijo {{math|{{var|K}}<sup>{{var|H}}</sup>}} que consiste en elementos fijados por los elementos en {{math|{{var|H}}}}.

Comparado con lo anterior, esta dualidad tiene las siguientes características:
* Una extensión {{math|{{var|F}} &sube; {{var|F}}&prime;}} de campos intermedios da lugar a una inclusión de grupos de Galois en la dirección opuesta: {{math|Gal({{var|K}}/{{var|F}}&prime;) &sube; Gal({{var|K}}/{{var|F}})}}.
* La asociación de {{math|Gal({{var|K}}/{{var|E}})}} a {{math|{{var|E}}}} y {{math|{{var|K}}<sup>{{var|H}}</sup>}} a {{math|{{var|H}}}} es inversa entre sí. Este es el contenido del [[teorema fundamental de la teoría de Galois]].

==Dualidades de inversión de órdenes==
[[Archivo:Upset.svg|miniatura|[[Diagrama de Hasse]] del conjunto de potencias {{math|{1,2,3,4}}}, parcialmente ordenado por {{math|⊂}}. El conjunto de parcialmente ordenado dual, es decir, ordenado por {{math|⊃}}, se obtiene volteando el diagrama de arriba abajo. Los nodos verdes forman una [[sección final|conjunto superior]] y un conjunto inferior en los órdenes original y en el dual, respectivamente.]]
{{AP|Dualidad (teoría del orden)}}
Dado un [[conjunto parcialmente ordenado]] {{math|1={{var|P}} = ({{var|X}}, ≤)}} (abreviatura de conjunto parcialmente ordenado, es decir, un conjunto que tiene una noción de orden, pero en el que dos elementos no pueden colocarse necesariamente en orden relativo entre sí), el conjunto parcialmente ordenado [[Dualidad (teoría del orden)|dual]] {{math|1={{var|P}}<sup>{{var|d}}</sup> = ({{var|X}}, ≥)}} comprende el mismo conjunto de suelo pero con la [[relación transpuesta]]. Ejemplos familiares de órdenes parciales dobles incluyen;
* Las relaciones subconjunto y superconjunto {{math|⊂}} y {{math|⊃}} en cualquier colección de conjuntos, como los subconjuntos de un conjunto fijo {{math|{{var|S}}}}. Esto da lugar al primer ejemplo de una dualidad mencionada [[#Complemento de un subconjunto|arriba]].
* Las relaciones ''divisor'' y ''múltiplo'' en los [[número entero|números enteros]].
* Las relaciones ''descendiente de'' y ''ancestro de'' en el conjunto de humanos.

Una "transformación de dualidad" es un [[antiautomorfismo involutivo]] {{math|{{var|f}}}} de un [[conjunto parcialmente ordenado]] {{math|{{var|S}}}}, es decir, una involución de [[Teoría del orden|orden inverso]] {{math|{{var|f}} : {{var|S}} &rarr; {{var|S}}}}.<ref>{{harvnb|Artstein-Avidan|Milman|2007}}</ref><ref>{{harvnb|Artstein-Avidan|Milman|2008}}</ref> En varios casos importantes, estas propiedades simples determinan la transformación de forma única hasta algunas simetrías simples. Por ejemplo, si {{math|{{var|f}}<sub>1</sub>}}, {{math|{{var|f}}<sub>2</sub>}} son dos transformaciones duales, entonces su [[función compuesta|composición]] es un [[isomorfismo de orden|automorfismo de orden]] de {{math|{{var|S}}}}; por lo tanto, cualesquiera dos transformaciones de dualidad difieren solo por un automorfismo de orden. Por ejemplo, todos los automorfismos de un [[conjunto potencia]] {{math|1={{var|S}} = 2<sup>{{var|R}}</sup>}} son inducidos por permutaciones de {{math|{{var|R}}}}.

Un concepto definido para un orden parcial {{math|{{var|P}}}} corresponderá a un «concepto dual» en el conjunto parcialmente ordenado dual {{math|{{var|P}}<sup>{{var|d}}</sup>}}. Por ejemplo, un [[elemento maximal y minimal|elemento minimal]] de {{math|{{var|P}}}} será un [[elemento maximal y minimal|elemento maximal]] de {{math|{{var|P}}<sup>{{var|d}}</sup>}}: la minimización y la maximización son conceptos duales en la teoría del orden. Otros pares de conceptos duales son [[mayorante|borde superior e inferior]]; [[sección final|conjunto inferior]] y [[sección final|superior]]; e [[ideal (teoría del orden)|ideales]] y [[Filtro (matemáticas)|filtros]].

En topología, [[conjunto abierto|conjuntos abiertos]] y [[conjunto cerrado|conjuntos cerrados]] son conceptos duales: el complemento de un conjunto abierto está cerrado, y viceversa. En la teoría [[matroide]], la familia de conjuntos complementarios a los conjuntos independientes de un matroide dado forman ellos mismos otro matroide, llamado [[matroide dual]].

==Dualidades de inversión de la dimensión==
[[Archivo:Dual Cube-Octahedron.svg|miniatura|200px|Las características de un cubo y de su poliedro dual, el octaedro, se corresponden una a una con sus dimensiones invertidas.]]

Existen muchas dualidades distintas pero interrelacionadas en las que los objetos geométricos o topológicos se corresponden con otros objetos del mismo tipo, pero con una inversión de las dimensiones de las características de los objetos. Un ejemplo clásico de esto es la dualidad de los [[sólidos platónicos]], en los cuales el cubo y el octaedro forman un par dual, el dodecaedro y el icosaedro forman otro par dual, y el [[tetraedro]] es «autodual». El [[poliedro conjugado]] de cualquiera de estos poliedros puede formarse como la [[envolvente convexa]] de los puntos centrales de cada cara del poliedro primario, por lo que los [[Vértice (geometría)|vértices]] del dual se corresponden uno a uno con las caras del primero. De manera similar, cada arista del dual se corresponde a una arista del primario, y cada cara del dual se corresponde con un vértice del primario. Estas correspondencias preservan la relación de incidencia: si dos partes del poliedro primario se tocan entre sí, también lo hacen las dos partes correspondientes del [[poliedro conjugado]]. Más generalmente, usando el concepto de [[Recta polar|reciprocidad polar]], cualquier [[poliedro convexo]], o más generalmente cualquier [[politopo convexo]], corresponde a un [[poliedro conjugado]] o politopo dual, con una característica {{math|{{var|i}}}}-dimensional de un politopo de dimensión {{math|{{var|n}}}} correspondiente a una característica {{math|({{var|n}} &minus; {{var|i}} &minus; 1)}}-dimensional del politopo dual. La naturaleza preservadora de la incidencia de la dualidad se refleja en el hecho de que las [[retícula de cara|retículas de cara]] de los poliedros o politopos primarios y duales son ellas mismas duales de orden teorético. La dualidad de los politopos y la dualidad de orden-teorético son ambas [[Involución (matemática)|involuciones]]: el politopo dual del politopo dual de cualquier politopo es el politopo original, y al invertir todas las relaciones de orden dos veces, vuelven al orden original. Elegir un centro de polaridad diferente conduce a politopos duales geométricamente diferentes, pero todos tienen la misma estructura combinatoria.

[[Archivo:Duals graphs.svg|derecha|miniatura|240px|Un [[grafo plano]] en azul, y su [[grafo dual]] en rojo]]

A partir de cualquier poliedro tridimensional, puede formarse un [[grafo plano]]: la gráfica de la relación de sus vértices y aristas. El poliedro dual tiene un [[grafo dual]], un gráfico con un vértice para cada cara del poliedro y con una arista por cada dos caras adyacentes. El mismo concepto de dualidad gráfica plana se puede generalizar a gráficos que se dibujan en el plano pero que no provienen de un poliedro tridimensional, o más generalmente a [[grafo embebido|grafos embebidos]] en superficies correspondientes a elementos de género superior: se puede dibujar un gráfico dual colocando un vértice dentro de cada región delimitada por un recinto de aristas en la gráfica, y dibujando un vínculo que conecte dos regiones cualesquiera que compartan una arista. Un ejemplo importante de este tipo proviene de la [[geometría computacional]]: la dualidad para cualquier conjunto finito {{math|{{var|S}}}} de puntos en el plano entre la [[triangulación de Delaunay]] de {{math|{{var|S}}}} y los [[polígonos de Thiessen]] de {{math|{{var|S}}}}. Al igual que con poliedros duales y politopos duales, la dualidad de gráficos en superficies es una involución de inversión de la dimensión: cada vértice en el gráfico embebido del primario se corresponde con una región del grafo em embebido del dual, cada arista en el primario está cruzada por una arista en el dual, y cada región del primaario se corresponde con un vértice del dual. El grafo dual depende de cómo este embebido el grafo del primario: diferentes embebidos en el plano de un solo grafo pueden conducir a diferentes grafos duales. La dualidad de [[matroide]]s es una extensión algebraica de la dualidad entre grafos planos, en el sentido de que el matroide dual del matroide gráfico de un grafo plano, es isomorfo al matroide gráfico del grafo dual.

También se produce una especie de dualidad geométrica en la [[Optimización (matemática)|teoría de la optimización]], pero no una que invierta las dimensiones. Una [[programación lineal]] puede ser especificada por un sistema de variables reales (las coordenadas de un punto en el espacio euclidiano {{nowrap|<math>\mathbb R^n</math>),}} un sistema de restricciones lineales (especificando que el punto se encuentre en un [[semiespacio]]; la intersección de estos semiespacios es un politopo convexo, la región factible del programa), y una función lineal (que se debe optimizar). Cada programa lineal tiene un [[problema dual]] con la misma solución óptima, pero las variables en el problema dual se corresponden a restricciones en el problema primario y viceversa.

==Dualidad en lógica y teoría de conjuntos==
En lógica, las funciones o relaciones {{math|{{var|A}}}} y {{math|{{var|B}}}} se consideran duales si {{math|1={{var|A}}(¬{{var|x}}) = ¬{{var|B}}({{var|x}})}}, donde el símbolo ¬ indica la [[negación lógica]]. La dualidad básica de este tipo es la dualidad de los [[Cuantificador|cuantificadores]] ∃ y ∀ de la lógica clásica. Estos dos conceptos son duales porque {{math|∃{{var|x}}.¬{{var|P}}({{var|x}})}} y {{math|¬∀{{var|x}}.{{var|P}}({{var|x}})}} son equivalentes para todos los predicados {{var|P}} en la lógica clásica: si existe un {{var|x}} para el cual {{var|P}} no puede afirmarse, entonces es falso que {{var|P}} sea válido para todos los {{var|x}} (pero el inverso no se sostiene de manera constructiva). De esta dualidad lógica fundamental, se deducen otras:

* Se dice que una fórmula es «satisfactoria» en un determinado modelo si hay asignaciones a sus variables libres que la hacen verdadera; es ''válida'' si ''cada'' asignación a sus variables libres la hacen verdadera. La satisfacibilidad y la validez son dobles porque las fórmulas inválidas son precisamente aquellas cuyas negaciones son satisfactorias, y las fórmulas insatisfactorias son aquellas cuyas negaciones son válidas. Esto puede verse como un caso especial del ítem anterior, con los cuantificadores variando en las interpretaciones.
* En lógica clásica, los operadores {{math|∧}} y {{math|∨}} son duales en este sentido, porque {{math|(¬{{var|x}} ∧ ¬{{var|y}})}} y {{math|¬({{var|x}} ∨ {{var|y}})}} son equivalentes. Esto significa que para cada teorema de la lógica clásica existe un teorema dual equivalente. Las [[leyes de De Morgan]] son ejemplos. Más generalmente, {{math|1=∧ (¬ {{var|x}}<sub>{{var|i}}</sub>) = ¬∨ {{var|x}}<sub>{{var|i}}</sub>}}. El lado izquierdo es verdadero si y solo si {{math|∀{{var|i}}.¬{{var|x}}<sub>{{var|i}}</sub>}}, y el lado derecho si y solo si ¬∃''i''.''X''<sub>''i''</sub>.
* En [[lógica modal]], {{math|&#9633;&thinsp;{{var|p}}}} significa que la proposición {{math|{{var|p}}}} es ''necesariamente'' verdadera, y {{math|&loz;&thinsp;{{var|p}}}} que {{math|{{var|p}}}} es ''posiblemente'' verdadera. La mayoría de las interpretaciones de la lógica modal asignan significados dobles a estos dos operadores. Por ejemplo, en la [[semántica de Kripke]], «{{math|{{var|p}}}} es posiblemente cierto» significa «existe un {{math|{{var|W}}}} universal tal que {{math|{{var|p}}}} es verdadero en {{math|{{var|W}}}}», mientras que «{{math|{{var|p}}}} es necesariamente verdadero» significa «para todos los universos {{math|{{var|W}}}}, {{math|{{var|p}}}} es verdadero en {{math|{{var|W}}}}». La dualidad de {{math|&#9633;}} y {{math|&loz;}} se sigue de la dualidad análoga de {{math|∀}} y {{math|∃}}. Otros operadores modales duales se comportan de manera similar. Por ejemplo, la [[lógica temporal]] tiene operadores que denotan «será cierto en algún momento en el futuro» y «será cierto en todo momento en el futuro», que son igualmente duales.

Otras dualidades análogas se derivan de estas:

* La unión e intersección teórica de conjuntos son duales bajo el operador [[complemento de un conjunto]] {{math|⋅<sup>{{var|C}}</sup>}}. Es decir, {{math|1={{var|A}}<sup>{{var|C}}</sup> ∩ {{var|B}}<sup>{{var|C}}</sup> = ({{var|A}} ∪ {{var|B}})<sup>{{var|C}}</sup>}}, y más generalmente, {{math|1=∩ {{var|A}}<sub>{{var|α}}</sub><sup>{{var|C}}</sup> = (∪ {{var|A}}<sub>{{var|α}}</sub>)<sup>{{var|C}}</sup>}}. Esto se deduce de la dualidad de {{math|∀}} y {{math|∃}}: un elemento {{math|{{var|x}}}} es miembro de {{math|∩ {{var|A<sub>{{var|α}}</sub><sup>{{var|C}}</sup>}}}} si y solo si es {{math|∀{{var|α}}.¬{{var|x}} ∈ {{var|A}}<sub>{{var|α}}</sub>}}, y es miembro de {{math|(∪ {{var|A}}<sub>{{var|α}}</sub>)<sup>{{var|C}}</sup>}} si y solo si es {{math|¬∃{{var|α}}.{{var|x}} ∈ {{var|A}}<sub>{{var|α}}</sub>}}.

==Objetos duales==
Un grupo de dualidades se puede describir dotando, para cualquier objeto matemático {{math|{{var|X}}}}, del conjunto de morfismos {{math|Hom ({{var|X}}, {{var|D}})}} en un objeto fijo {{math|{{var|D}}}}, con una estructura similar a la de {{math|{{var|X}}}}. Esto a veces se llama [[homomorfismo interno]]. En general, esto produce una dualidad verdadera solo para elecciones específicas de {{math|{{var|D}}}}, en cuyo caso {{math|1={{var|X}}<sup>*</sup> = Hom ({{var|X}}, {{var|D}})}} se conoce como el ''dual'' de {{math|{{var|X}}}}. Siempre hay una aplicación desde {{math|{{var|X}}}} hasta el ''bidual'', es decir, el dual del dual,
::<math>X \to X^{**} := (X^*)^* = \operatorname{Hom}(\operatorname{Hom}(X, D), D).</math>
Asigna a {{math|{{var|x}} &isin; {{var|X}}}} la aplucación que asocia a cualquier aplicación {{math|{{var|f}}:{{var|X}} &rarr; {{var|D}}}} (es decir, un elemento en {{math|Hom({{var|X}}, {{var|D}})}}) el valor {{math|{{var|f}}({{var|x}})}}.
Dependiendo de la dualidad concreta considerada y también dependiendo del objeto {{math|{{var|X}}}}, esta aplicación puede o no ser un isomorfismo.

===Espacios vectoriales duales revisados===
La construcción del espacio dual de vectores
::<math>V^* = \operatorname{Hom}(V, K)</math>
mencionado en la introducción es un ejemplo de tal dualidad. De hecho, el conjunto de morfismos, es decir, las [[aplicación lineal|aplicaciones lineales]], forma un espacio vectorial en sí mismo. La aplicación {{math|{{var|V}} → {{var|V}}<sup>**</sup>}} mencionada anteriormente siempre es inyectiva. Es suprayectiva, y por lo tanto un isomorfismo, si y solo si la [[Dimensión de un espacio vectorial|dimensión]] de {{math|{{var|V}}}} es finita. Este hecho caracteriza los espacios vectoriales de dimensión finita sin referirse a una base.

====Isomorfismos de {{math|''V''}} y {{math|''V''<sup>∗</sup>}} y espacios con producto interno====

Un espacio vectorial {{math|''V''}} es isomorfo a {{math|''V''<sup>∗</sup>}} precisamente si {{math|''V''}} es de dimensión finita. En este caso, tal isomorfismo es equivalente a una [[forma bilineal]] no degenerada
::<math>\varphi: V \times V \to K</math>
En este caso, {{math|''V''}} se llama [[espacio prehilbertiano]].
Por ejemplo, si {{math|''K''}} es el campo de los [[Número real|números reales]] o de los [[número complejo|números complejos]], cualquier forma bilineal [[positivo definido|positiva definida]] da lugar a dicho isomorfismo. En [[geometría de Riemann]], se toma {{math|''V''}} como el [[espacio tangente]] de una [[variedad (matemáticas)|variedad]] y tales formas bilineales positivas se llaman [[Variedad de Riemann|variedades de Riemann]]. Su propósito es medir ángulos y distancias. Por lo tanto, la dualidad es una base fundamental de esta rama de la geometría. Otra aplicación de espacios con producto interno es el [[dual de Hodge]], que proporciona una correspondencia entre los elementos del [[álgebra exterior]]. Para un espacio vectorial de dimensión {{math|''n''}}, el operador en estrella de Hodge aplica [[Forma diferencial|{{math|''k''}}-formas]] en {{math|(''n'' &minus; ''k'')}}-formas. Esta propiedad se puede usar por ejemplo para formular las [[ecuaciones de Maxwell]]. De esta forma, la dualidad inherente a un espacio con producto interno permite intercambiar los roles del [[campo magnético]] y del [[campo eléctrico]].

====Dualidad en geometría proyectiva====
[[Archivo:Complete-quads.svg|miniatura|240px|Un [[cuadrángulo completo]], configuración de cuatro puntos y seis rectas en el plano proyectivo (izquierda) y su configuración dual, el cuadrilátero completo, con cuatro líneas y seis puntos (derecha).]]
En algunos [[plano proyectivo|planos proyectivos]], es posible encontrar [[Transformación (geometría)|transformaciones geométricas]] que apliquen cada punto del plano proyectivo a una línea, y cada línea del plano proy.ectivo a un punto, de forma que se conservan las relaciones de incidencia.<ref>{{harvnb|Veblen|Young|1965}}.</ref> Para tales planos surge un principio general de [[Dualidad (geometría proyectiva)|dualidad proyectiva]]: dado cualquier teorema en dicha geometría proyectiva plana, el intercambio de los términos «punto» y «recta» en todas partes da como resultado un nuevo teorema igualmente válido.<ref>{{cita Harvard|Veblen|Young|1965|p = Ch. I, Theorem 11}}</ref> Un ejemplo simple es que la afirmación «dos puntos determinan una recta única, que pasa por estos puntos», tiene la declaración dual de que «dos rectas determinan un punto único, el [[Intersección de dos rectas|punto de intersección]] de estas dos líneas rectas». Para ver más ejemplos, véase [[Dualidad (geometría proyectiva)|teoremas duales]].

El espacio vectorial dual ofrece una explicación conceptual de este fenómeno en algunos planos (especialmente en los planos de campo). De hecho, los puntos en el plano proyectivo <math>\mathbb{RP}^2</math> corresponden a subespacios vectoriales unidimensionales,<math>V \subset \mathbb R^3</math><ref>Más generalmente, se pueden considerar los planos proyectivos sobre cualquier campo, como el de los números complejos, [[cuerpo finito|cuerpos finitos]] o [[anillo de división|anillos de división]].</ref> mientras que las líneas en el plano proyectivo corresponden a subespacios vectoriales <math>W</math> de dimensión 2. La dualidad en tales geometrías proyectivas se deriva de la asignación a un <math>V</math> unidimensional del subespacio de <math>(\mathbb R^3)^*</math> que consiste en esas aplicaciones lineales <math>f: \mathbb R^3 \to \mathbb R</math> que satisfacen <math>f (V) = 0</math>. Como consecuencia de la [[fórmula de dimensión]] del [[álgebra lineal]], este espacio es bidimensional, es decir, corresponde a una línea recta en el plano proyectivo asociado a <math>(\mathbb R^3)^*</math>.

La forma bilineal (definida positiva)
::<math>\langle - , - \rangle : \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \to \mathbb R, \langle x , y \rangle = \sum_{i=1}^3 x_i y_i</math>
produce una identidad de este plano proyectivo con el <math>\mathbb{RP}^2</math>. Concretamente, la dualidad asigna a <math>V \subset \mathbb R^3</math> su [[Ortogonalidad (matemáticas)|ortogonal]] <math>\{w \in \mathbb R^3, \langle v, w \rangle = 0 \text{ for all } v \in V\}</math>. Las fórmulas explícitas de la [[Dualidad (geometría proyectiva)|dualidad en la geometría proyectiva]] surgen por medio de esta identidad.

===Espacios vectoriales topológicos y espacios de Hilbert===
En el ámbito de los [[espacio vectorial topológico|espacios vectoriales topológicos]], existe una construcción similar, reemplazando el dual por el espacio vectorial [[Espacio dual|dual topológico]]. Un espacio vectorial topológico que es canónicamente isomorfo a su bidual se llama [[espacio reflexivo]]. Por ejemplo, el dual de un [[Espacios Lp|espacio-{{math|{{var|L}}<sup>{{var|p}}</sup>}}]] es {{math|{{var|L}}<sup>{{var|q}}</sup>}} donde {{math|1=1/{{var|p}} + 1/{{var|q}} = 1}} proporciona ese {{math|1 &le; {{var|p}} < &infin;}}, pero el dual de {{math|{{var|L}}<sup>&infin;</sup>}} es más grande que {{math|{{var|L}}<sup>1</sup>}}. Por lo tanto, {{math|{{var|L}}<sup>1</sup>}} no es reflexivo.

Los [[Espacio de Hilbert|espacios de Hilbert]] {{math|{{var|H}}}} están equipados con un [[espacio prehilbertiano|producto interno]] {{math|〈-, -〉}}. Como en el caso de dimensiones finitas, permite definir una aplicación
::<math>H \to H^*, v \mapsto (w \mapsto \langle v, w \rangle).</math>
El [[teorema de representación de Riesz]] afirma que esta aplicación es un isomorfismo, es decir, cada espacio de Hilbert es isomorfo a su dual.

Las [[Teoría de distribuciones|distribuciones]] son funcionales lineales sobre espacios de funciones apropiados. Son un medio técnico importante en la teoría de [[ecuación en derivadas parciales|ecuaciones en derivadas parciales]]: en lugar de resolverlas directamente, puede ser más fácil primero hallar soluciones en el "sentido débil", es decir, encontrar una distribución que las satisfaga y, segundo, demostrar que la solución debe ser, de hecho, una función.<ref>Véase [[regularidad elíptica]].</ref>

===Otros objetos duales===
La [[red recíproca]] de una [[Red (grupo)|retícula]] {{math|{{var|L}}}} viene dada por
::<math display="inline">\operatorname{Hom} (L, \mathbf{Z})</math>,
que se usa en la construcción de [[variedad tórica|variedades tóricas]].<ref>{{Cita Harvard|Fulton|1993}}</ref> La [[dualidad de Pontryagin]] de [[compacidad local]] sobre [[grupo topológico|grupos topológicos]] ''G'' viene dada por
::<math display="inline">\operatorname{Hom} (G, S^1)</math>,
[[homomorfismo de grupos]] continuo con valores en el círculo (con la multiplicación de números complejos como operación de grupo).

==Categorías duales ==
{{AP|Dual (teoría de categorías)}}

===Categoría opuesta y funtores adjuntos===
En otro grupo de dualidades, los objetos de una teoría se traducen en objetos de otra teoría y las aplicaciones entre objetos en la primera teoría se traducen en morfismos en la segunda teoría, pero con la dirección invertida. Usando el lenguaje de la [[teoría de categorías]], esto equivale a un [[funtor]] entre dos [[Categoría (matemáticas)|categorías]] {{math|{{var|C}}}} y {{math|{{var|D}}}}:
::{{math|{{var|F}}: {{var|C}} → {{var|D}}}}
que para dos objetos cualesquiera ''X'' e ''Y'' de ''C'' da una aplicación
::{{math|Hom<sub>{{var|C}}</sub>({{var|X}}, {{var|Y}}) → Hom<sub>{{var|D}}</sub>({{var|F}}({{var|Y}}), {{var|F}}({{var|X}}))}}
Ese funtor puede ser o no ser una [[equivalencia de categorías]]. Hay varias situaciones, donde dicho funtor es una equivalencia entre una [[categoría opuesta]] {{math|{{var|C}}<sup>op</sup>}} de {{math|{{var|C}}}} y {{math|{{var|D}}}}. Utilizando una dualidad de este tipo, cada enunciado de la primera teoría puede traducirse en una declaración ''dual'' en la segunda teoría, donde la dirección de todas las flechas debe invertirse.<ref>{{Harvnb|Mac Lane|1998|loc=Ch. II.1}}.</ref> Por lo tanto, cualquier dualidad entre las categorías {{math|{{var|C}}}} y {{math|{{var|D}}}} es formalmente la misma que una equivalencia entre {{math|{{var|C}}}} y {{math|{{var|D}}<sup>op</sup>}} ({{math|{{var|C}}<sup>op</sup>}} y {{math|{{var|D}}}}). Sin embargo, en muchas circunstancias, las categorías opuestas no tienen un significado inherente, lo que hace que la dualidad sea un concepto adicional separado.<ref>{{Cita Harvard|Lam|1999|p=§19C}}</ref>

Una categoría que es equivalente a su dual se llama ''auto-dual''. Un ejemplo de categoría autodual es la categoría de los [[Espacio de Hilbert|espacios de Hilbert]].<ref name="AdamekRosicky1994">{{Cita libro|autor1=Jiří Adámek|autor2=J. Rosicky|título=Locally Presentable and Accessible Categories|url=https://books.google.com/books?id=iXh6rOd7of0C&pg=PA62|año=1994|editorial=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-42261-1|página=62}}</ref>

Muchas nociones de [[teoría de categorías]] vienen en pares en el sentido de que se corresponden entre sí al considerar la categoría opuesta. Por ejemplo, el [[producto cartesiano]] {{math|{{var|Y}}<sub>1</sub> × {{var|Y}}<sub>2</sub>}} y la [[unión disjunta]] {{math|{{var|Y}}<sub>1</sub> ⊔ {{var|Y}}<sub>2</sub>}} de conjuntos son duales entre sí en el sentido de que
::{{math|1=Hom ({{var|X}}, {{var|Y}}<sub>1</sub> &times; {{var|Y}}<sub>2</sub>) = Hom ({{var|X}}, {{var|Y}}<sub>1</sub>) &times; Hom ({{var|X}}, {{var|Y}}<sub>2</sub>)}}
y
::{{math|1=Hom ({{var|Y}}<sub>1</sub> ⊔ {{var|Y}}<sub>2</sub>, {{var|X}}) = Hom ({{var|Y}}<sub>1</sub>, {{var|X}}) &times; Hom ({{var|Y}}<sub>2</sub>, {{var|X}})}}
para cualquier conjunto {{math|{{var|X}}}}. Este es un caso particular de un fenómeno de dualidad más general, según el cual los [[Límite (teoría de categorías)|límites]] en una categoría {{math|{{var|C}}}} corresponde al [[límite (teoría de categorías)|límite]] en la categoría opuesta {{math|{{var|C}}<sup>op</sup>}}; otros ejemplos concretos de esto son los [[epimorfismo]] frente a los [[monomorfismo]]s; el [[módulo factor]] en relación con el [[módulo (matemática)|módulo]]; el [[producto directo]] frente a la [[suma directa de grupos|suma directa]] (también llamado [[coproducto (teoría de categorías)|coproducto]] para enfatizar el aspecto de dualidad). Por lo tanto, en algunos casos, las pruebas de ciertas declaraciones se pueden reducir a la mitad, utilizando dicho fenómeno de dualidad. Otras nociones que muestran una dualidad categórica relacionada son el [[módulo proyectivo]] y el [[módulo inyectivo]] en [[álgebra homológica]],<ref>{{Cita Harvard|Weibel |1994}}</ref> la [[fibración]] y la [[cofibración]] en topología y, en general, a la [[categoría de modelos]].<ref>{{Cita Harvard|Dwyer|Spaliński|1995}}</ref>

Dos [[funtor]]es {{math|{{var|F}}: {{var|C}} → {{var|D}}}} y {{math|{{var|G}}: {{var|D}} → {{var|C}}}} son [[Funtores adjuntos|adjuntos]] si para todos los objetos ''c'' en ''C'' y ''d'' en ''D''
::{{math|Hom<sub>{{var|D}}</sub>(F({{var|c}}), {{var|d}}) ≅ Hom<sub>{{var|C}}</sub>({{var|c}}, {{var|G}}({{var|d}}))}},
de forma natural. En realidad, la correspondencia de límites y colímites es un ejemplo de adjuntos, ya que hay una adjunción

::{{math|colim: {{var|C}}<sup>{{var|I}}</sup> &harr; {{var|C}}: {{var|Δ}}}}

del funtor colímite que asigna a cualquier diagrama en {{math|{{var|C}}}} indexado por alguna categoría {{math|{{var|I}}}} su colímite y el funtor diagonal que asigna cualquier objeto {{math|{{var|c}}}} de {{math|{{var|C}}}} al diagrama constante que tiene {{math|{{var|c}}}} en todos los lugares. Dualmente,

::{{math|{{var|Δ}}: {{var|C}} &harr; {{var|C}}<sup>{{var|I}}</sup>: lim}}.

===Espacios y funciones===

La [[dualidad de Gelfand]] es una dualidad entre [[C*-álgebra]]s conmutativas ''A'' y [[Espacio de Hausdorff|espacios de Hausdorff]] [[Espacio compacto|compactos]] ''X'' con las mismas características: asigna a ''X'' el espacio de funciones continuas (que desaparecen en el infinito) de ''X'' a '''C''', los números complejos. Por el contrario, el espacio ''X'' se puede reconstruir a partir de ''A'' como el [[espectro de un anillo|espectro]] de ''A''. Tanto la dualidad de Gelfand como la de Pontryagin se pueden deducir de una manera en gran parte formal, principalmente teórica, por categorías.<ref>{{Harvnb|Negrepontis|1971}}.</ref>

En una línea similar hay una dualidad en [[geometría algebraica]] entre [[anillo conmutativo|anillos conmutativos]] y sus [[espectro de un anillo|espectros]]: para cada anillo conmutativo ''A'' hay un espectro afín, [[Espectro de un anillo|Espec ''A'']]. Por el contrario, dado un esquema afín ''S'', se recupera un anillo tomando secciones globales del [[espacio localmente anillado]] O<sub>''S''</sub>. Además, los [[homomorfismo de anillos]] están en correspondencia uno a uno con morfismos de esquemas afines, y por lo tanto hay una equivalencia
: (Anillos conmutativos)<sup>op</sup> ≅ (esquemas afines)<ref>{{Cita Harvard|Hartshorne|1966 |p=Ch. II.2, esp. Prop. II.2.3}}</ref>
Los esquemas de afinidad son los componentes locales de estos [[Esquema (matemática)|esquemas]]. El resultado anterior, por lo tanto, dice que la teoría local de los esquemas es la misma que el [[álgebra conmutativa]], el estudio de los anillos conmutativos.

La [[geometría no conmutativa]] se inspira en la dualidad de Gelfand y estudia las C*-algebras no conmutativas como si fueran funciones en un espacio imaginario. La [[dualidad de Tannaka-Krein]] es un análogo no-conmutativo de la dualidad de Pontryagin.<ref>{{Cita Harvard|Joyal |Street|1991}}</ref>

===Conexiones de Galois===
En una serie de situaciones, las dos categorías que son duales entre sí surgen realmente de los [[conjunto parcialmente ordenado|conjuntos parcialmente ordenados]], es decir, existe una noción de que un objeto es "más pequeño" que otro. Una dualidad que respeta los citados conceptos se conoce como una [[conexión de Galois]]. Un ejemplo es la dualidad estándar en la [[teoría de Galois]] mencionada en la introducción: una extensión de campo más grande corresponde -bajo la aplicación que asigna a cualquier extensión ''L'' ⊃ ''K'' (dentro de un campo fijo más grande Ω) el grupo de Galois Gal (Ω/''L'') - a un grupo más pequeño.<ref>Véase {{Cita Harvard|Lang|2002|p=Theorem VI.1.1}} para extensiones finitas de Galois.</ref>

La colección de todos los subconjuntos abiertos de un espacio topológico ''X'' forma un [[álgebra de Heyting]] completa. Existe una dualidad, conocida como [[dualidad de Stone]], que conecta ''[[espacio sobrio|espacios sobrios]]'' y espacios [[local (matemáticas)|locales]].

* El [[teorema de representación de Birkhoff]] está relacionado con [[retículo distributivo|retículos distributivos]] y con [[conjunto parcialmente ordenado|conjuntos parcialmente ordenados]].

===Dualidad de Pontryagin===
La [[dualidad de Pontryagin]] se aplica sobre la categoría de [[grupo abeliano|grupos abelianos]] de [[compacidad local]]: dado cualquier grupo ''G'' de ese tipo, el [[grupo carácter]]
: χ (''G'') = Hom (''G'', ''S''<sup>1</sup>)
dado por los homomorfismos grupales continuos de ''G'' sobre el [[grupo circular]] ''S''<sup>1</sup> puede ser dotado con una [[topología abierta compacta]]. La dualidad de Pontryagin afirma que el grupo de caracteres es de nuevo localmente compacto abeliano y que
: ''G'' ≅ χ (χ (''G'')).<ref>{{Cita Harvard|Loomis|1953|p=151, section 37D}}</ref>
Además, los [[grupo discreto|grupos discretos]] corresponden a [[grupo compacto|grupos compactos abelianos]]; los grupos finitos corresponden a grupos finitos. Por un lado, la dualidad de Pontryagin es un caso especial de dualidad de Gelfand. Por otro lado, es la razón conceptual del [[análisis de Fourier]], que figura a continuación.

==Dualidades analíticas==
En [[Análisis matemático|análisis]], los problemas se resuelven con frecuencia pasando a la descripción dual de funciones y operadores.

La [[transformada de Fourier]] alterna entre funciones en un espacio vectorial y su dual:
: <math>\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx, </math>
y por el contrario
: <math>f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i x \xi}\,d\xi.</math>
Si ''f'' es una [[integral de Lebesgue|función ''L''<sup>2</sup>]] en '''R''' o '''R'''<sup>''N''</sup>, por ejemplo, entonces también lo son <math>\hat{f}</math> y <math>f(-x) = \hat{\hat{f}}(x)</math>. Además, la transformación intercambia operaciones de multiplicación y [[convolución]] en los [[espacio funcional|espacios funcionales]] correspondientes. Una explicación conceptual de la transformada de Fourier se obtiene mediante la dualidad de Pontryagin antes mencionada, aplicada a los grupos localmente compactos '''R''' (o '''R''' <sup>''N''</sup> etc.): cualquier carácter de '''R''' está dado por ξ↦ e<sup>−2πi''x''ξ</sup>. El carácter dualizante de la transformada de Fourier tiene muchas otras manifestaciones, por ejemplo, en las descripciones alternativas de los sistemas de [[mecánica cuántica]] en términos de representaciones de coordenadas y momento.

* La [[transformada de Laplace]] es similar a la transformada de Fourier e intercambia [[Aplicación lineal|operadores]] de multiplicación polinómicos, por [[operador diferencial|operadores diferenciales]] con coeficientes constantes.

* La [[transformada de Legendre]] es una dualidad analítica importante que alterna entre [[velocidad]]es en [[mecánica lagrangiana]] y [[Cantidad de movimiento|momentos]] en [[mecánica hamiltoniana]].

==Homología y cohomología==
Los teoremas que muestran que ciertos objetos de interés son los [[espacio dual|espacios duales]] (en el sentido del álgebra lineal) de otros objetos de interés a menudo se llaman ''dualidades''. Muchas de estas dualidades están dadas por un [[operador bilineal]] de dos ''K''-espacios vectoriales
: '' A '' ⊗ '' B '' → '' K ''.
Para [[forma bilineal|formas bilineales]], hay, por lo tanto, un isomorfismo de ''A'' al [[Espacio dual|dual]] de ''B''.

===Dualidad de Poincaré===
La [[dualidad de Poincaré]] de una [[variedad compleja]] compacta y uniforme ''X'' está dada por un emparejamiento de cohomología singular con '''C'''-coeficientes (equivalentemente, el [[haz cohomólogo]] del [[haz constante]] '''C''')
: H<sup>''i''</sup> (X) ⊗ H<sup>2''n''&minus;''i''</sup> (X) → '''C''',
donde ''n'' es la dimensión (compleja) de ''X''.<ref>{{Cita Harvard|Griffiths|Harris|1994|p= 56}}</ref> La dualidad de Poincaré también se puede expresar como una relación de [[homología singular]] y de [[cohomología de De Rham]], al afirmar que la aplicación
: <math>(\gamma, \omega) \mapsto \int_\gamma \omega</math>
(integrando una forma diferencial ''k'' sobre un ciclo 2''n''&minus;''k''-(real)-dimensional) es un emparejamiento perfecto.

La dualidad de Poincaré también invierte dimensiones; corresponde al hecho de que, si una [[variedad (matemáticas)|variedad]] topológica se representa como un [[cW-complejo]], entonces el dual del complejo (una generalización de mayor dimensión del gráfico planar dual) representa la misma variedad. En la dualidad de Poincaré, este homeomorfismo se refleja en un isomorfismo del grupo [[Homología (matemática)|homología]] y del grupo [[cohomología]].

===Dualidad en geometría algebraica y aritmética===
El mismo patrón de dualidad se cumple para una [[variedad projectiva]] uniforme sobre una [[clausura algebraica]], utilizando una [[cohomología|cohomología l-ádica]] con coeficientes '''Q'''<sub>ℓ</sub> en su lugar.<ref>{{Cita Harvard|Milne|1980|p=Ch. VI.11}}</ref> Esto se generaliza más en las [[variedad singular|variedades singulares]], usando [[cohomología de intersección]], una dualidad llamada [[dualidad de Verdier]].<ref>{{Cita Harvard|Iversen|1986|p=Ch. VII.3, VII.5}}</ref> La [[dualidad de Serre]] o [[dualidad coherente]] son similares a las declaraciones anteriores, pero se aplica a la cohomología de [[haces coherentes]] en su lugar.<ref>{{Cita Harvard|Hartshorne|1966|p=Ch. III.7}}</ref>

Con el aumento del nivel de generalidad, resulta que una cantidad cada vez mayor de conocimientos técnicos es útil o necesaria para comprender estos teoremas: la formulación moderna de estas dualidades se puede llevar a cabo utilizando [[categoría derivada|categorías derivadas]] y ciertos [[funtores de imagen para haces|funtores de haces directos e inversos]] (con respecto a la topología analítica clásica de variedades para la dualidad de Poincaré, haces l-ádicos y [[topología de propagación]] en el segundo caso, y con respecto a haces coherentes para la dualidad coherente).

Otro grupo de declaraciones de dualidad similares se encuentra en la [[aritmética]]: la cohomología de propagación [[Cuerpo finito|finita]], [[local field|local]] y de [[campos globales]] (también conocida como [[cohomología de Galois]], ya que la cohomología de propagación sobre un campo es equivalente a la [[cohomología de grupo]] del campo del [[grupo de Galois]] absoluto) admite emparejamientos similares. El grupo de Galois absoluto ''G'' ('''F''' <sub>''q''</sub>) de un campo finito, por ejemplo, es isomorfo a <math>\hat {\mathbf Z}</math>, el [[grupo profinito]] de '''Z''', los números enteros. Por lo tanto, el emparejamiento perfecto (para cualquier [[G-módulo|''G''-módulo]] ''M'')
: H<sup>''n''</sup> (''G'', ''M'') × H<sup>1−''n''</sup> (''G'', Hom (''M'', '''Q'''/'''Z''')) → '''Q'''/'''Z''' <ref>{{Cita Harvard|Milne|2006|p=Example I.1.10}}</ref>
es una consecuencia directa de la [[dualidad de Pontryagin]] de grupos finitos. Para los campos locales y globales, existen sentencias similares (como la [[dualidad local de Tate]] y la [[dualidad de Poitou-Tate]]).<ref>{{Cita Harvard|Mazur|1973}}; {{Cita Harvard|Milne|2006}}</ref>

==Véase también==
{{Lista de columnas|3|
* [[Anexo:Lista de dualidades]]
* [[Dual (teoría de categorías)]]
* [[Categoría autónoma]]
* [[Norma dual]]
* [[Número dual]], para cierta [[álgebra asociativa]]. El término ''dual'' aquí es sinónimo de ''doble'', y no está relacionado con las nociones dadas anteriormente.
* [[Dualidad (circuitos eléctricos)]]
* [[Dualidad (optimización)]]
* [[Dualidad de Koszul]]
* [[Dual de Langlands]]
* [[Polígono de Petrie|Dualidad de Petrie]]
* [[Dualidad-T]], [[Simetría especular homológica|Simetría especular]]
* [[Dualidad-S]]
* [[Programación lineal]]
* [[Código dual]]
* [[Red recíproca]]
* [[Base dual]]
* [[Variedad abeliana dual]]
* [[Funtores adjuntos]]
* [[Módulo dualizador]]
* [[Dualidad de Matlis]]
* [[Haz dualizador]]
}}

==Referencias==
{{listaref|2}}

==Bibliografía==

===Dualidad en general===
* Atiyah, Michael (2007), [http://www.fme.upc.edu/ca/arxius/butlleti-digital/riemann/071218_conferencia_atiyah-d_article.pdf Duality in Mathematics and Physics], notas de la conferencia del Institut de Matematica de la Universitat de Barcelona (IMUB).
* {{Springer|title=Duality|id=D/d034120|first=A. I.|last=Kostrikin|authorlink=Alexei Kostrikin}}.
* {{Obra citada |contribution=III.19 Duality |título=[[The Princeton Companion to Mathematics]] |páginas=187–190 |nombre=Timothy |apellido=Gowers |editorial=Princeton University Press |año=2008}}.
* {{Obra citada | doi=10.1090/S0273-0979-01-00913-2 | apellido1=Cartier | nombre1=Pierre | título=A mad day's work: from Grothendieck to Connes and Kontsevich. The evolution of concepts of space and symmetry | url=http://www.ams.org/bull/2001-38-04/S0273-0979-01-00913-2/ | mr=1848254 | año=2001 | publicación=American Mathematical Society. Bulletin. New Series | issn=0002-9904 | volumen=38 | número=4 | páginas=389–408}} (una descripción no técnica sobre varios aspectos de la geometría, incluidas las dualidades)

===Dualidad en topología algebraica===
* James C. Becker y Daniel Henry Gottlieb, [http://www.math.purdue.edu/~gottlieb/Bibliography/53.pdf Una historia de la dualidad en la topología algebraica]

===Dualidades específicas===
* {{Obra citada | apellido1=Artstein-Avidan | nombre1=Shiri | apellido2=Milman | nombre2=Vitali | enlaceautor2=Vitali Milman | año=2008 | título=The concept of duality for measure projections of convex bodies | publicación=Journal of Functional Analysis | volumen=254 | número=10 | páginas=2648–2666 | doi=10.1016/j.jfa.2007.11.008}}. También [http://www.math.tau.ac.il/~shiri/publications.html sitio del autor].
* {{Obra citada | apellido1=Artstein-Avidan | nombre1=Shiri | apellido2=Milman | nombre2=Vitali | enlaceautor2=Vitali Milman | año=2007 | título=A characterization of the concept of duality | publicación=Electronic research announcements in mathematical sciences | volumen=14 | páginas=42–59 | url=http://www.aimsciences.org/journals/pdfs.jsp?paperID=2887&mode=full | fechaacceso=8 de agosto de 2011 | urlarchivo=https://web.archive.org/web/20110724230910/http://www.aimsciences.org/journals/pdfs.jsp?paperID=2887&mode=full | fechaarchivo=24 de julio de 2011 }}. También [http://www.math.tau.ac.il/~shiri/publications.html sitio del autor].
* {{Obra citada | apellido1=Dwyer | nombre1=William G. | enlaceautor1=William Gerard Dwyer | apellido2=Spaliński | nombre2=Jan | título=Handbook of algebraic topology | url=http://hopf.math.purdue.edu/cgi-bin/generate?%2FDwyer-Spalinski%2Ftheories | editorial=North-Holland | ubicación=Ámsterdam | mr=1361887 | año=1995 | capítulo=Homotopy theories and model categories | páginas=73–126 | fechaacceso=8 de agosto de 2011 | fechaarchivo=9 de febrero de 2021 | urlarchivo=https://web.archive.org/web/20210209105759/https://hopf.math.purdue.edu/cgi-bin/generate?%2FDwyer-Spalinski%2Ftheories | deadurl=yes }}
* {{Obra citada | apellido1=Fulton | nombre1=William | enlaceautor1=William Fulton (mathematician) | título=Introduction to toric varieties | editorial=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-00049-7 | año=1993}}
* {{Obra citada | apellido1=Griffiths | nombre1=Phillip | enlaceautor1=Phillip Griffiths | apellido2=Harris | nombre2=Joseph | enlaceautor2=Joe Harris (mathematician) | título=Principles of algebraic geometry | editorial=[[John Wiley &amp; Sons]] | ubicación=New York | serie=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-05059-9 | mr=1288523 | año=1994}}
* {{Obra citada | apellido1=Hartshorne | nombre1=Robin | enlaceautor1=Robin Hartshorne | título=Residues and Duality | editorial=[[Springer Science+Business Media]] | ubicación=Berlin, New York | serie=Lecture Notes in Mathematics '''20''' | año=1966 | páginas=20–48}}
* {{Obra citada | apellido1=Hartshorne | nombre1=Robin | enlaceautor1=Robin Hartshorne | título=[[Algebraic Geometry (book)|Algebraic Geometry]] | editorial=[[Springer Science+Business Media]] | ubicación=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90244-9 | oclc=13348052 | mr=0463157 | año=1977}}
* {{Obra citada | apellido1=Iversen | nombre1=Birger | título=Cohomology of sheaves | editorial=[[Springer Science+Business Media]] | ubicación=Berlin, New York | serie=Universitext | isbn=978-3-540-16389-3 | mr=842190 | año=1986}}
* {{Obra citada | apellido1=Joyal | nombre1=André | enlaceautor1=André Joyal | apellido2=Street | nombre2=Ross | enlaceautor2=Ross Street | título=Category theory (Como, 1990) | url=http://www.maths.mq.edu.au/~street/CT90Como.pdf | editorial=[[Springer Science+Business Media]] | ubicación=Berlin, New York | serie=Lecture Notes in Mathematics | mr=1173027 | año=1991 | volumen=1488 | capítulo=An introduction to Tannaka duality and quantum groups | páginas=413–492}}
* {{Obra citada | apellido1=Lam | nombre1=Tsit-Yuen | título=Lectures on modules and rings | editorial=[[Springer Science+Business Media]] | ubicación=Berlin, New York | serie=Graduate Texts in Mathematics No. 189 | isbn=978-0-387-98428-5 | mr=1653294 | año=1999}}
* {{Obra citada | apellido1=Lang | nombre1=Serge | enlaceautor1=Serge Lang | título=Álgebra | editorial=[[Springer Science+Business Media]] | ubicación=Berlin, New York | serie=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-95385-4 | mr=1878556 | año=2002 | volumen=211}}
* {{Obra citada | apellido1=Loomis | nombre1=Lynn H. | título=An introduction to abstract harmonic analysis | editorial=D. Van Nostrand Company, Inc. | ubicación=Toronto-New York-London | año=1953 | páginas=x+190}}
* {{Obra citada | apellido1=Mac Lane | nombre1=Saunders | enlaceautor1=Saunders Mac Lane | título=[[Categories for the Working Mathematician]] | editorial=[[Springer Science+Business Media]] | ubicación=Berlin, New York | edición=2nd | isbn=978-0-387-98403-2 | año=1998}}
* {{Obra citada | apellido1=Mazur | nombre1=Barry | enlaceautor1=Barry Mazur | título=Notes on étale cohomology of number fields | mr=0344254 | año=1973 | publicación=Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure |serie=Série 4 | issn=0012-9593 | volumen=6 | páginas=521–552}}
* {{Obra citada | apellido1=Milne | nombre1=James S. | título=Étale cohomology | editorial=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-08238-7 | año=1980 | url=https://archive.org/details/etalecohomology00miln }}
* {{Obra citada | apellido1=Milne | nombre1=James S. | título=Arithmetic duality theorems | url=http://www.jmilne.org/math/Books/adt.html | editorial=BookSurge, LLC | ubicación=Charleston, South Carolina | edición=2nd | isbn=978-1-4196-4274-6 | mr=2261462 | año=2006}}
* {{Obra citada | doi=10.1016/0021-8693(71)90105-0 | apellido1=Negrepontis | nombre1=Joan W. | título=Duality in analysis from the point of view of triples | mr=0280571 | año=1971 | publicación=Journal of Algebra | issn=0021-8693 | volumen=19 | número=2 | páginas=228–253}}
* {{Obra citada | apellido1=Veblen | nombre1=Oswald | enlaceautor1=Oswald Veblen | apellido2=Young | nombre2=John Wesley | título=Projective geometry. Vols. 1, 2 | editorial=Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London | mr=0179666 | año=1965}}
* {{Obra citada | apellido1=Weibel | nombre1=Charles A. | título=An introduction to homological algebra | editorial=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-55987-4 | mr=1269324 | año=1994}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teorías de dualidad|*]]