Ver el código de «Duplicación del cubo»

[[Archivo:01-Würfelverdoppelung-Menaichmos-1.svg|mini|derecha|300px|Cubo inicial (verde) y cubo con el volumen del primero duplicado (azul)]]

La '''duplicación del cubo''', también conocida como el '''problema de Delos''',<ref name=BILE>{{cita libro|título=Boletín de la Institución Libre de Enseñanza, Volumen 12|editorial=La Institución|año=1889|url=https://books.google.es/books?id=r_0sAAAAYAAJ&pg=PA11#v=onepage&q&f=false|página= 11|fechaacceso= 18 de abril de 2021}}</ref> describe una cuestión [[Geometría|geométrica]] que consiste en construir un [[cubo]] que tenga el doble de [[volumen]] que un cubo dado. Es uno de los tres ''[[problemas clásicos de la matemática antigua]]'', que ya había sido formulado en el {{siglo|V|a|s}}  en la [[Antigua Grecia]]. Sería en el {{siglo|XIX||s}} cuando se demostró que el problema no se puede resolver utilizando exclusivamente [[regla y compás]].

==Planteamiento general==
Un cubo inicial con una [[Segmento|arista]] de longitud <math>a=1</math> (denominado [[Cubo|cubo unidad]]) tiene el volumen <math>V=1^3 = 1.</math> Si se define un segundo cubo con longitud de arista <math>x</math> con el doble de volumen, entonces <math>V=x^3=2= 2\cdot 1^3.</math> La nueva longitud de arista <math>x</math> es la [[Radicación|raíz cúbica]] de <math>2</math>, es decir, <math>\sqrt[3]{2} = 1{,}259921\ldots</math>. Este resultado se puede determinar usando el [[cálculo infinitesimal]], pero no se puede construir en un número finito de pasos a partir de un segmento de longitud dada usando exclusivamente un compás y una regla sin marcar. 

El problema de duplicar el cubo exclusivamente con las herramientas que [[Euclides]] usó en sus [[Elementos de Euclides|''Elementos'']], es decir, con [[regla y compás]] se puede traducir al lenguaje [[álgebra|algebraico]], lo que permite [[Demostración en matemática|demostrar]] la imposibilidad de su construcción, tal y como probó por primera vez el matemático francés [[Pierre Wantzel]] en 1837. Sin embargo, es muy probable que [[Carl Friedrich Gauss]] ya conociera la evidencia de este hecho, aunque nunca dejó constancia del mismo.

Existen problemas idénticos cuando el volumen del cubo se incrementa por ejemplo en 3, 4, 5, 6 o 7 veces el volumen original. Por otro lado, la tarea de aumentar 8 veces el volumen de un cubo dado, no sería un problema, porque la raíz cúbica de 8 puede extraerse fácilmente, y la duplicación resultante de la longitud de la arista se obtiene directamente.

Si la restricción se debilita y se permite una ayuda adicional, como introducir marcas en una regla o curvas especiales, entonces es posible la construcción de un cubo con el doble de volumen. Un cierto número de estas posibles soluciones ya se conocían en la [[antigüedad clásica]].

==Historia en el mundo antiguo==
[[Archivo:01-Würfelverdoppelung-4.svg|mini|300px|Relación entre el volumen y la longitud de la arista de un cubo. El cubo inicial es el ''cubo unidad'', con longitud de arista <math>1</math>]]

La fuente antigua más importante sobre la duplicación del cubo es el comentario de [[Eutocio]] sobre el texto de [[Arquímedes]] "[[Acerca de la esfera y el cilindro]]" ("Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου"), en el que se recogen varios enfoques de antiguos matemáticos.<ref>Siehe als englische Übersetzung mit Kommentar: [[ Reviel Netz]]: ''The works of Archimedes. Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, with commentary, and critical edition of the diagrams''. Band 1: ''The Two Books On the Sphere and the Cylinder''. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-66160-9, hier S. 272-306.</ref> Entre otras cosas, el problema se cita literalmente en una carta del erudito [[Eratóstenes]] (alrededor del 275-194 a.{{esd}}C.) a un rey de nombre Ptolomeo (probablemente, [[Ptolomeo III]] o [[Ptolomeo IV]]) (se ha demostrado que la carta es una reproducción auténtica de la carta original) en la que el científico menciona al gobernante la cuestión de doblar el cubo.<ref>Zur Echtheit des bei Eutokios überlieferten Brieftextes W. R. Knorr: ''The Ancient Tradition of Geometric Problems.'' Boston 1986, S. 17-24. Zur Frage, welcher König Ptolemaios gemeint ist, siehe etwa W. R. Knorr: ''Textual Studies in Ancient and Medieval Geometry.'' Boston 1989, S. 144 f.</ref> Como la evidencia más antigua de este problema matemático, Eratóstenes cita a "uno de los viejos poetas de la tragedia" ("τῶν ἀρχαίων τρχαίων τινὰ τραγῳδοποιῶν"), en cuya obra el rey [[Mito|mítico]] [[Minos]] desea aumentar el tamaño de la sepultura de su hijo [[Glauco (hijo de Minos)|Glauco]], y ordena al constructor duplicar el volumen pero manteniendo la forma de cubo original.<ref name="Netz">Reviel Netz: ''The works of Archimedes. Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, with commentary, and critical edition of the diagrams''. Band 1: ''The Two Books On the Sphere and the Cylinder''. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 294</ref> Se sabe que los tres autores atenienses más importantes de tragedias del {{siglo|V|a|s}}, [[Esquilo]], [[Sófocles]] y [[Eurípides]], trataron la leyenda de Minos y Glauco en alguna de sus obras; aunque es posible que la cita provenga de una tragedia de un autor completamente diferente.<ref>[[Richard Kannicht]], [[Bruno Snell]]: ''[[Tragicorum Graecorum Fragmenta]].'' Band 2, 2. Auflage, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2007, S. 62, Fragment Adespota F 166; zur Behandlung des Glaukos-Stoffes bei den Tragödiendichtern siehe (VII,1; 1415-1416; Glaukos 23; [[Georg Weicker]])</ref>

La designación alternativa "Problema de Delos" se remonta a un episodio que Eratóstenes también cita en su carta,<ref name= "Netz" /> pero que también es descrito por varios otros autores antiguos (incluidos [[Plutarco]] y [[Teón de Esmirna]]) y que, desde un punto de vista erudito, bien podría estar basado en un hecho histórico real: durante una grave epidemia, los residentes de la isla de [[Delos]] pidieron consejo al [[oráculo]] sobre lo que podían hacer para mejorar su situación. El oráculo les había ordenado que duplicaran el ''tamaño'' del [[altar]] de [[Cubo|forma cúbica]] existente en el [[Templo de Apolo (Delos)|Templo de Apolo]], es decir, su [[volumen]]. Los arquitectos de Delos, sin embargo, no sabían cómo resolver la cuestión, por lo que pidieron consejo a [[Platón]] (428/427-348/347 a.{{esd}}C.).<ref name= "Netz" /> El problema llegó a oídos de [[Arquitas]], [[Eudoxo de Cnido]] y [[Menecmo]], cada uno de los cuales abrió diferentes enfoques para solucionarlo. Sin embargo, según Plutarco, Platón criticó sus enfoques porque, según él, al utilizar métodos mecánicos destruían la principal "bondad" de la geometría, su elegancia.<ref>Eine ausführliche Analyse des antiken Quellenmaterials zur Delier-Anekdote und den möglichen historischen Grundlagen bietet Claas Lattmann: ''Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid'' (= ''Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures.'' Band 9). De Gruyter, Berlin/Boston 2019, S. 187-206; zu den drei mechanischen Ansätzen und Platons Kritik ebd., S. 220-241.</ref> Curiosamente, en el comentario de Arquímedes de Eutocio, Platón también atribuye su propia solución mecánica al problema de Delos (véase la sección correspondiente). A menos que se trate de un Platón diferente al famoso filósofo, de acuerdo con la opinión predominante de los investigadores, es probable que sea una atribución incorrecta.<ref>Reviel Netz: ''The works of Archimedes. Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, with commentary, and critical edition of the diagrams''. Band 1: ''The Two Books On the Sphere and the Cylinder''. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 273, Anm. 17.</ref>

Problemas similares al de la construcción de altares (pero con el problema de doblar un cuadrado en lugar de un cubo) figuran en los [[Historia de la India|textos védicos]] de la India y dieron lugar a discusiones matemáticas (denominadas ''[[Śulbasūtras]]'').<ref>Zum Beispiel Joseph: ''The crest of the peacock.'' Princeton UP, 2001, S. 330.</ref> En el caso del cuadrado, el problema de su duplicación se puede resolver mediante el [[teorema de Pitágoras]].

; Soluciones antiguas con herramientas adicionales
[[Archivo:Doble proporcionalidad.svg|mini|300px|Enfoque de [[Hipócrates de Quíos]]: una media proporcional aplicada dos veces entre los segmentos a y b, permite determinar <math>x= a \sqrt [3]{2}</math> cuando <math>b=2a</math>]]

* [[Hipócrates de Quíos]] (segunda mitad del {{siglo|V|a|s}}) fue el primero en mostrar el enfoque clave para dar una solución teórica al problema. Estableció que: ''El problema de duplicar el cubo es equivalente al de determinar dos medias proporcionales de dos cantidades dadas''.<ref name="HHischer">{{cita web|autor=[[Horst Hischer]] |url=https://www.math.uni-sb.de/PREPRINTS/preprint86.pdf#page=6&zoom=auto,-73,590 |título=Moritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent |editor=Universität Saarland |páginas=74 |fecha=2003 |format=PDF |fechaacceso=2020-12-02}}</ref><ref>Rey Pastor. Babini: "Historia de la matemática" (2006)</ref> Esto significa que para una medida dada <math>a</math>, se deben hallar otras dos medidas <math>x</math> e <math>y</math>, de modo que
: <math> \frac{a}{x} = \frac{x}{y} = \frac{y}{2a}.</math>
: Esto implica que <math> x = \sqrt[3]{2} \cdot a</math>.

* Platón (428/427-348/347 a.{{esd}}C.) fue nombrado por Eutocio como el primero en idear un mecanismo para resolver la duplicación del cubo.<ref name="Claas" /> Como ya se mencionó anteriormente, esta solución posiblemente no corresponda al filósofo, y debería ser obra de otro autor del mismo nombre.

* [[Eudoxo de Cnido|Eudoxo]] (397/390-345/338 a.{{esd}}C.) encontró una solución, según se informa, al construir las ''dos medias proporcionales'' con la ayuda de curvas desconocidas y sus intersecciones.<ref>François Lasserre (Hrsg.): ''Die Fragmente des Eudoxos von Knidos'', Berlin 1966, S. 20-22, 163-166.</ref>

* [[Arquitas|Arquitas de Tarento]] (fallecido alrededor del 355-350 a.{{esd}}C.) fue el primero en resolver el teorema de Hipócrates antes mencionado con la ayuda de la curva que lleva su nombre, descrita en la sección [[#Curva de Arquitas|''curva de Arquitas'']].<ref name="HHischer" />

* [[Menecmo]] (alrededor de 380-320 a.{{esd}}C.) encontró dos soluciones: una en la que una [[Parábola (matemática)|parábola]] se cruza con una [[hipérbola]], y una segunda, descrita en detalle en la sección dedicada a las curvas especiales, como la intersección de dos parábolas.<ref name="HHischer" />

* [[Filón de Bizancio]] (alrededor de 280-220 a.{{esd}}C.), para resolver el problema se valió de una sencilla construcción que lleva su nombre, la denominada [[recta de Filón]].<ref>{{mathworld | title = Philo Line | urlname = PhiloLine}}</ref>

* [[Eratóstenes]] (alrededor de 278-194 a.&nbsp;C.) describe en su carta al rey Tolomeo, después de su introducción a la historia del problema de Delos, su propio [[Duplicación del cubo|método mecánico]]<ref>Reviel Netz: ''The works of Archimedes. Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, with commentary, and critical edition of the diagrams''. Band 1: ''The Two Books On the Sphere and the Cylinder''. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 295</ref> utilizando un aparato que llamó el ''mesolabio''.<ref name="HHischer" />

* [[Diocles (matemático)|Diocles]] (alrededor de 240-180 a.{{esd}}C.) usó la [[Cisoide de Diocles|cisoide]] que lleva su nombre para resolver el problema.<ref>{{cita web |autor=Hermann Schmdt |url=https://download.uni-mainz.de/mathematik/Algebraische%20Geometrie/Lehre/Sem-Ausgewaehlte-hoehere-Kurven-WS2016-17/Literatur_HSchmidt-Ausgewaehlte-hoehere-Kurven.pdf#page=4&zoom=110,208,512 |título=Ausgewählte höhere Kurven |editor=Universität Mainz |fecha=1949-03 |fechaacceso=2020-12-20}}</ref>

==Prueba de la irresolubilidad mediante regla y compás==
===Historia de la demostración===
Los matemáticos de la antigüedad no solo usaban la regla y el compás para resolver problemas. La suposición de que existía tal restricción metodológica ha resultado ser un mito moderno.<ref>A. D. Steele: ''Über die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik.'' In: ''Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik.'' Band B 3, 1936, S. 287-369 (auch speziell zum Problem der Würfelverdopplung).</ref> La [[Demostración en matemática|demostración]] de que la tarea de duplicar el cubo no se puede resolver usando solo la regla y el compás, data de 1837 y se debe al matemático [[Pierre Wantzel]].<ref>{{cita libro | autor=Pierre Wantzel | título=[http://visualiseur.bnf.fr/ConsulterElementNum?O=NUMM-16381&Deb=374&Fin=380&E=PDF Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas] | serie=Journal de mathématiques pures et appliquées (Liouville’s Journal) | número=2 | fecha=1837 | páginas=366-372}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=[[Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant]] |url=http://www.numdam.org/article/NAM_1848_1_7__321_0.pdf#page=2&zoom=auto,-97,512 |título=Biographie Wantzel |capítulo= [http://www.numdam.org/article/NAM_1848_1_7__321_0.pdf#page=10&zoom=auto,-97,546 Journal des mathématiques pures (Liouville]). |editor=Nouvelles Annales de Mathématiques |fecha=1848 |páginas=329 |fechaacceso=2020-12-29 |idioma=fr}}</ref> Su demostración se basó en las siguientes consideraciones algebraicas:<ref>Jesper Lützen: ''Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result'', Historia Mathematica 36, 2009, S. 378-379.</ref>

: 1. En la primera parte de la demostración, sostiene que si un problema geométrico se puede resolver con una regla y un compás, “la incógnita del problema se puede obtener resolviendo una serie de [[Ecuación de segundo grado|ecuaciones cuadráticas]] cuyos coeficientes son funciones racionales de los parámetros <math>p, q, r, ...</math> del problema y de las raíces de las ecuaciones anteriores”.

:La "incógnita del problema" en este caso es obtener <math>x = \sqrt[3]{2}</math> según las restricciones dadas.

: 2. Luego demostró que cada [[número algebraico]] <math>x_n^0</math>, es la solución de la última ecuación <math>x_n^2 + A_{n-1} x_n + B_{n-1} = 0</math> del conjunto de polinomios de segundo grado sucesivos (que representan una serie de operaciones consecutivas con regla y compás) 
:: <math> \begin{align} & x_1^2 + A x_1 + B = 0 \\ & x_2^2 + A_1 x_2 + B_1 = 0 \\ & \vdots \\ & x_n^2 + A_{n-1} x_n + B_{n-1} = 0\end{align} </math>
: cuyos coeficientes <math>A_m, B_m</math> forman parte de [[adjunción (álgebra)|adjunciones]] sucesivas en el [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] <math>\Q(p, q, r, ..., x_1^0,...x_{m-1}^0)</math>. En consecuencia, siempre es la solución de un polinomio de grado <math>2^n</math> con coeficientes en <math>\Q(p, q, r, ...)</math>. <math>x_j^0</math>, es decir, permite resolver la ecuación <math>x_j^2 + A_{j-1}x_j + B_{j-1} = 0</math> con <math>p, q, r, ...</math> siendo los parámetros dados del problema.

: 3. Wantzel sabía que todo número algebraico es la solución de un polinomio cuyo grado es una [[potencia de dos]] si se elige que esta sea lo suficientemente grande. Por lo tanto, su principal resultado fue demostrar que si el número de ecuaciones requeridas se reduce al mínimo, el polinomio resultante es irreducible sobre <math>\Q(p,q,r...)</math>.

La imposibilidad de la construcción se sigue ahora como [[corolario]] de las tres proposiciones anteriores: si, comenzando con el cubo unidad, fuera posible la construcción de duplicar el cubo con regla y compás, entonces <math>\sqrt[3]{2}</math> tendría que ser el cero de un polinomio irreducible sobre <math>\Q(0,1) = \Q</math>, con una potencia de dos como grado. El polinomio <math>x^3 - 2</math> es irreducible sobre <math>\Q</math>, pero tiene grado 3. Esto es una contradicción, lo que implica la irresolubilidad del problema.

Cabe señalar que el matemático [[Jesper Lützen]] considera que la publicación original de Wantzel es incompleta y difícil de entender; en especial la "prueba" de la proposición principal 3. Lützen cerró posteriormente las lagunas en los razonamientos y en los resultados, como se describió anteriormente, y formuló la demostración en lenguaje técnico moderno.<ref>Jesper Lützen: ''Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result'', Historia Mathematica 36, 2009, S. 379.</ref> La prueba de Wantzel de la imposibilidad de construir la duplicación del cubo y la [[trisección del ángulo]] con una regla y un compás fue olvidada durante casi un siglo después de su publicación en 1837. Según Lützen, esto se debió a la "falta de notoriedad del autor", al "hecho de que algunos de sus contemporáneos consideraran el resultado como conocido o incluso probado", y a que "el resultado no se consideró como un logro matemático importante en el momento de su publicación''.<ref>Jesper Lützen: ''Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result'', Historia Mathematica 36, 2009, S. 391.</ref>

[[Archivo:Bendixen - Carl Friedrich Gauß, 1828.jpg|mini|180px|Carl Friedrich Gauss, 1828]]

Los historiadores dudan de que Wantzel fuera el primero en ''conocer'' la evidencia, ya que el joven [[Carl Friedrich Gauss]] probablemente también debió deducirla.<ref>Jesper Lützen: ''Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result'', Historia Mathematica 36, 2009, S. 387.</ref> Una gran parte de su obra ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'', publicada en 1801, está dedicada a la cuestión de qué condiciones debe cumplir un [[polinomio]] para que pueda resolverse mediante radicales cuadrados. Allí también figuran distintos postulados que llevan el nombre de Gauss, con la ayuda de las cuales se puede demostrar la imposibilidad de resolver con regla y compás numerosos problemas. Con las técnicas que desarrolló, Gauss demostró, por ejemplo, que el [[heptadecágono]] se puede construir con regla y compás. Los historiadores de las matemáticas [[Christoph Scriba]] y [[Peter Schreiber (matemático)|Peter Schreiber]] atribuyen el hecho de que, a pesar de ello, muchos autores nombran y citan a Wantzel como el autor de la demostración a las "dificultades de comunicación" de la ciencia del {{siglo|XIX||s}}.<ref>Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: ''5000 Jahre Geometrie'', Springer-Verlag, Dritte Auflage, 2010, S. 405.</ref>

En el lenguaje técnico actual, la prueba es una aplicación de la [[teoría de Galois]] (desarrollada por el matemático francés [[Évariste Galois]])<ref>{{Cita libro|apellidos=Courant|nombre=Richard|enlaceautor=|título=¿Qué Son Las Matemáticas?|url=|fechaacceso=|año=2002|editorial=Fondo de Cultura Económica|isbn=|editor=|ubicación=|página=|idioma=|capítulo=|separador=|apellidos2=Robbins|nombre2=Herbert}}</ref> y esencialmente se reduce al hecho de que el [[número irracional]] <math>\sqrt[3]{2} = 1{,}259921 \ldots</math> no puede ser expresado mediante las cuatro operaciones con [[números enteros]] ni tampoco con sus [[Raíz cuadrada|raíces cuadradas]].

===Prueba algebraica===
[[Archivo:01-Würfelverdoppelung-3.svg|mini|320px|Un cubo unidad y un cubo con volumen 2: este último tiene la longitud de arista <math>\sqrt[3]{2} = 1{,}2599210498948732...</math> Se puede demostrar que no es posible obtener este número a partir de números enteros utilizando exclusivamente sumas, productos, cocientes y raíces cuadradas, que son precisamente los números que se pueden construir usando un compás y una regla a partir de una unidad dada]]

La prueba de la imposibilidad se puede llevar a cabo en detalle a través de los siguientes conceptos de [[álgebra]]. Sea <math>M</math> un [[conjunto]] de puntos (sobre los [[Número complejo|números complejos]]) que contenga al menos 0 y 1, y un punto arbitrario <math>z</math>. Para estas consideraciones, es importante que los números complejos puedan entenderse como un plano; en cambio, los números reales simplemente se entienden como una línea recta. Entonces se aplica que el punto <math>z</math> se puede construir a partir de los puntos de <math>M</math> con un compás y una regla si y solo si se encuentran en un [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] <math>E \subset \mathbb{C}</math> (donde <math>\C</math> es el cuerpo de los números complejos), que a través de [[adjunción (álgebra)|adjunción]] de una raíz cuadrada al cuerpo

: <math> K := \mathbb{Q}(M \cup \overline{M}) \subset \C</math>

En términos generales, <math>\mathbb{Q}(M \cup \overline{M})</math> es el conjunto que surge de formar todas las sumas, productos y cocientes de números racionales con <math>M \cup \overline{M}</math>. Aquí <math>\overline{M} = \{\overline{m} \mid m \in M\}</math> es el conjunto de [[Conjugado (matemática)|conjugados complejos]] de <math>M</math> y el símbolo <math>\cup</math> representa la [[Conjunto|unión]] de los dos conjuntos. La adjunción de una raíz cuadrada significa que debe haber un <math>w^2 \in K</math> tal que <math>E = K(w)</math>. Por ejemplo, <math>\Q(\sqrt{2})</math> resulta de la adjunción de una raíz cuadrada de números racionales, ya que <math>(\sqrt{2})^2 = 2</math> es un número racional; en consecuencia, <math>\Q(\sqrt{2})</math> es el conjunto de todas las sumas, productos y cocientes de números racionales con el número <math>\sqrt{2}</math>. En consecuencia,<math>E|K</math> es la denominada [[Extensión de cuerpos|extensión del cuerpo]]. El problema de duplicar el cubo usando un compás y una regla puede, por lo tanto, reducirse a la cuestión de si el número <math>\sqrt[3]{2}</math> se encuentra en un cuerpo parcial de <math>\mathbb{C}</math> que se pueda obtener de <math>\Q</math> mediante la adjunción sucesiva de raíces cuadradas. Sin embargo, eso significa que el [[Extensión de cuerpos|grado del desarrollo]] de <math>E</math> relativo a <math>\Q</math> debe ser una potencia de 2. Pero

: <math> [\Q(\sqrt[3]{2}) : \Q] = 3 \not= 2^n \qquad \text{para todo} \, n \in \mathbb{N},</math>

permite concluir que es imposible duplicar el cubo utilizando exclusivamente regla y compás.<ref>Falko Lorenz: ''Algebra Volume I: Fields and Galois Theory'', Springer, S. 6-13.</ref> Que la expansión del cuerpo <math>\Q(\sqrt[3]{2})|\Q</math> es de grado 3 se puede ver de la siguiente manera: el polinomio <math>p(x) = x^3 - 2</math> es [[Polinomio irreducible|irreducible]] sobre los números enteros y tiene el coeficiente 1 en su potencia más alta. De acuerdo con el lema de Gauss, <math>p(x)</math> es irreducible sobre los números racionales. Entonces <math>p(x)</math> es un [[polinomio mínimo]] de <math>\sqrt[3]{2}</math> con [[Grado (polinomio)|grado]] 3. Esto da como resultado el conocimiento de que cada elemento del conjunto <math>\Q(\sqrt[3]{2})</math>, que consiste en todos los números racionales que fueron arbitrariamente "mezclados" con la raíz cúbica de 2 mediante las operaciones aritméticas básicas, que se pueden escribir como <math>a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4}</math> siendo <math>a,b,c</math> números racionales. Por ejemplo

: <math> \frac{\sqrt[3]{2} + 2}{\sqrt[3]{2}-1} = 4 + 3 \cdot \sqrt[3]{2} + 3 \cdot \sqrt[3]{4}.</math>

Esto implica que <math>\Q(\sqrt[3]{2})</math> forme un [[espacio vectorial]] "tridimensional" sobre <math>\Q</math>.

Con el mismo argumento, se puede demostrar que aumentar <math>n</math> veces el volumen de un cubo (siendo <math>n</math> un número natural que "no" sea un [[Cubo (aritmética)|cubo]]), no se puede lograr exclusivamente con regla y compás.

==Construcciones con utensilios==
Si, además de las herramientas clásicas (euclídeas), las reglas sin marcar y los compases, se necesitan otros procedimientos adicionales, como un dispositivo mecánico especial<ref name="Lattmann" /> o una regla marcada, la longitud de la arista necesaria para duplicar el cubo puede ser teóricamente determinada con exactitud.

===Con la ayuda de una regla marcada===
Las construcciones con la ayuda de una "inserción" en una regla,<ref>{{cita web |autor=Klaus Volkert |url=http://www2.math.uni-wuppertal.de/~volkert/SkriptKonstruktionsprobleme.pdf#page=20&zoom=80,-146,815 |título=Geschichte der geometrischen Konstruktionsprobleme I |obra=Vorlesung, Universität zu Köln im WS 06/07; […] Siebeneck |editor=Universität Wuppertal |páginas=20 |fecha=2006 |format=PDF |fechaacceso=2018-09-15}}</ref> también conocidas como [[Método neusis|''neusis'']], además del compás utilizan una regla en la que se realiza una marca para fijar una medida como ayuda adicional.

* La siguiente construcción de neusis, denominada por [[Heinrich Dörrie]] ''construcción de tiras de papel'',<ref>{{Internetquelle |autor=[[ Heinrich Dörrie]] |url=https://archive.org/details/100GreatProblemsOfElementaryMathematicsDoverHeinrichDrrie/page/n179 |título=35. The Delian Cube-doubling Problem |obra=100 Great Problems of Elementary Mathematics |editor=New York, Dover Publications, Inc. |páginas=170-171 |fecha=1965 |fechaacceso=2019-05-05}}</ref> es una de las más famosas.

[[Archivo:01 Würfelverdoppelung-Newton-1_es.svg|mini|300px|Figura 1: Construcción de neusis con regla marcada <br /> <math>k=</math> Arista del cubo inicial]]

: Se marca la medida de la arista del cubo dado mediante un [[segmento]] de longitud <math>k</math>, como se muestra en la Figura 1. Luego, se construye un [[triángulo equilátero]] con los vértices <math>ABC</math>. Se duplica el segmento <math>\overline{AC}</math> a partir de <math>A,</math> lo que da como resultado el punto <math>D.</math> Ahora, se extiende la línea recta <math>\overline{AB}</math> desde <math>B</math>, y se traza desde <math>D</math> la [[semirrecta]] que pasa por <math>B</math>. A continuación, se coloca una regla marcada con el punto <math>Q</math> situado de forma que la distancia desde la esquina <math>P</math> al punto <math>Q</math> corresponde a <math>k</math> según el dibujo. Para ello, se debe girar y deslizar la regla hasta que su esquina <math>P</math> esté situada sobre la extensión de la línea recta <math>\overline{AB}</math>, el punto <math>Q</math> esté en la extensión de la línea recta <math>\overline{BD}</math> y el borde de la regla pase por el punto <math>C</math>. Finalmente, conectar el punto <math>C</math> con <math>Q.</math>
: El segmento <math>\overline{CQ} = k\cdot\sqrt[3]{2}</math> es la longitud de la arista buscada, que permite duplicar el volumen del cubo inicial.

* [[Isaac Newton]] ideó una construcción mediante neusis menos conocida (Fig. 2), notable por su simplicidad.<ref>{{cita web |autor=Skip Lester |url=http://skip.wtf/legacy/History%20of%20Mathematics.pdf#page=11&zoom=auto,-39,2589 |título=History of Mathematics |capítulo=7. Isaac Newton (1642-1727) suggested the following construction for duplicating the cube |editor=University of Washington |páginas=11 |format=PDF |fechaacceso=2019-11-08}}</ref>

[[Archivo:01 Würfelverdoppelung-Newton-2_es.svg|mini|x300px|Figura 2: Construcción mediante neusis con regla marcada<br /><math> a = </math> arista del cubo inicial<br /><math>a:x = b:y = c:a = \sqrt[3]{2}</math>]]

: Comienza con la construcción de una [[Ortogonalidad (matemáticas)|perpendicular]] <math>\overline{AB}</math> desde <math>B</math>. A continuación, se traza una semirrecta formando un [[ángulo]] de <math>30^\circ</math> en el vértice <math>B</math>. A continuación, se coloca una regla marcada con el punto <math>C</math> (la distancia desde la esquina <math>D</math> al punto <math>C</math> corresponde a la arista <math>a</math> del cubo inicial) en el dibujo. Girar y deslizar la regla hasta que su esquina <math>D</math> se encuentre en el lado del ángulo, el punto de la marca <math>C</math> esté en la línea recta horizontal que pasa por <math>B</math> y el borde de la regla pase por el punto <math>A</math>. Finalmente, la longitud buscada es la distancia entre <math>A</math> y <math>C.</math> El punto dibujado <math>E</math> solo sirve para facilitar la siguiente comprobación.
: El segmento <math>\overline{AC} = a\cdot\sqrt[3]{2}</math> es la longitud de la arista del cubo buscado, que duplica el volumen del cubo inicial.

: '''Demostración'''
: La Figura 2 muestra los [[triángulo rectángulo|triángulos rectángulos]] <math>ABC</math> (azul) y <math>CDE</math> (verde), semejantes entre sí al compartir un ángulo opuesto por el vértice. Aplicando el [[teorema de Tales]]
:: (1) <math>a:x = b:y = c:a,</math>
: el triángulo rectángulo <math>BDE</math> y la recta a <math>30^\circ </math>
:: (2) <math>\tan\left(30^\circ\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{BE}} = \frac{x}{b+y}=\frac{a^2}{b\left(a+c \right)},</math>
: Elevando la ecuación (2) al cuadrado
:: (3) <math>\frac{1}{3} = \frac{a^4}{b^2\left(a+c\right)^2},</math>
: y operando
:: (4) <math>b^2\left(a+c \right)^2 = 3a^4,</math>
: el triángulo rectángulo <math>ABC,</math> de acuerdo con el [[teorema de Pitágoras]]
:: (5) <math>b^2 = c^2-a^2</math>
: Con el valor de (5) insertado en (4) se obtiene
:: (6) <math>\left(c^2-a^2\right)\left(a+c \right)^2 = 3a^4</math>
::: <math>= \left(c^2-a^2\right)\left(a^2+2ac+c^2\right)</math>
::: <math>=\left( c^2a^2+2ac^3+c^4-a^4-2a^3c-a^2c^2\right)</math>
: que se opera para obtener
:: (7) <math>2ac^3+c^4 = 3a^4+a^4+2a^3c = 4a^4+2a^3c</math>
: después de la simplificación
:: (8) <math>c^3\left(2a+c \right) = 2a^3\left(2a+c \right)</math>
: finalmente se deduce que
:: (9) <math>c^3=2a^3.</math>
: En otras palabras:
: El volumen del cubo <math>c^3</math> con la longitud de la arista <math>c</math> es igual al doble del volumen <math>2a^3</math> del cubo inicial con la longitud de la arista <math>a.</math>

===Con dispositivos mecánicos===
El uso de las dos herramientas mecánicas que se describen a continuación proporciona las llamadas ''dos medias proporcionales'' <math>x</math> e <math>y </math> establecidas por Hipócrates de Quíos<ref name="Hischer" /> para duplicar el cubo inicial de longitud de arista <math>a</math>. La media proporcional <math>x</math> corresponde a la longitud de arista buscada del cubo duplicado, <math>a\cdot\sqrt[3]{2}</math>.

El teorema de Hipócrates de Quíos se describe en la sección dedicada a la construcción mediante curvas.

====Método mecánico de Platón====
[[Archivo:01 Würfelverdoppelung-Platon-Animation.gif|mini|upright=2.1|Duplicación del cubo según Platón (diagrama esquemático),<br /><math>a</math> = longitud de arista del cubo inicial, <math>b=2a</math> y <math>x</math> = longitud de arista del cubo duplicado]]

Como se mencionó en la introducción, Eutocio nombra a Platón como el primero en utilizar el siguiente método para resolver el problema de duplicar el cubo. Los comentaristas modernos consideran poco probable que este método sea atribuible al célebre filósofo Platón debido a su vehemente rechazo de las ayudas mecánicas,<ref name="Claas">{{cita libro
| autor=Claas Lattmann
| título=Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid
| capítulo=5.3 Platons Würfelverdopplung und der mechanische Beweis
| serie=Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures
| número=9 {{Google books |ID=KXecDwAAQBAJ&lpg=PA177&hl=de&pg=PA215|página=215}}
| editorial=Walter de Gruyter GmbH
| ubicación=Berlin/Boston
| fecha=2019
| ISBN=978-3-11-061382-7
| páginas=215 ff
}}</ref> aunque Lattmann describe en su estudio ''Modelado matemático de Platón entre Tales y Euclides'' de 2019 en detalle por qué la solución podría atribuirse correctamente a Platón.<ref>{{cita libro
| autor=Claas Lattmann
| título=Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid
| capítulo=5.23 Die archäologische und historische Perspektive
| serie=Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures
| número=9 {{Google books |ID=KXecDwAAQBAJ&lpg|página=199}}
| editorial=Walter de Gruyter GmbH
| ubicación=Berlin/Boston
| fecha=2019
| ISBN=978-3-11-061382-7
| páginas=199-212
}}</ref>
{{cita|Contrariamente a la "communis opino", está claro que la anécdota del problema de Delos no es ni total ni parcialmente ficticia, pero es con toda probabilidad históricamente correcta. Sobre esta base, en un segundo paso, el enfoque del problema de Delos atribuido a Platón en la tradición puede ser examinado como un testimonio de Platón potencialmente genuino, aunque indirectamente transmitido.|Claas Lattmann<ref>Claas Lattmann: ''Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid, 5 Platon und das Delische Problem, 5.2.4 Fazit'', Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, S. 207 ({{Google books |ID= KXecDwAAQBAJ&lpg| página= 207}})</ref>}}

La herramienta mecánica (sin evidencias materiales que permitan saber exactamente cómo era) consiste, por ejemplo, en dos reglas en forma de U. Para que la regla suelta pueda moverse exactamente en paralelo a su homóloga, está guiada convenientemente en las dos partes laterales.<ref name="Lattmann">{{cita libro
| autor=Claas Lattmann
| título=Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid
| capítulo=5.3 Platons Würfelverdopplung und der mechanische Beweis
| serie=Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures
| número=9 {{Google books |ID=KXecDwAAQBAJ&lpg=PA177&hl=de&pg=PA213|página=213}}
| editorial=Walter de Gruyter GmbH
| ubicación=Berlin/Boston
| fecha=2019
| ISBN=978-3-11-061382-7
| páginas=213
}}</ref> Para una mejor descripción general, la herramienta se muestra en la animación adjunta, en la que se utilizan las designaciones originales de los puntos del modelo mediante el [[alfabeto griego]].

;Procedimiento
Primero, las dos variables dadas <math>a=\overline{B\Gamma}</math> y <math>b=2a=\overline{AB}</math> se dibujan perpendiculares entre sí, prolongándose desde el punto <math>B</math>.

La herramienta se mueve de la siguiente manera (véase la animación) hasta que se encuentran las dos medias proporcionales <math>x</math> e <math>y</math>:

El borde interior del elemento base <math>\overline{H \Theta}</math> siempre pasa por el punto <math>\Gamma</math> y el punto <math>H</math> siempre está en la extensión de la línea <math>\overline{AB},</math> antes de que el punto <math>K</math> de la regla <math>\overline{K \Lambda}</math> sea empujado a la extensión de la línea <math>\overline{\Gamma B}</math>.

Como resultado, la herramienta mecánica facilita la determinación de

[[Archivo:01 Würfelverdoppelung-Platon.svg|mini|Método mecánico de Platón,<br />Demostración]]

: <math>\overline{\Delta E}=\sqrt{y^2+x^2},\,\,\overline{AE} = \sqrt{4a^2+y^2},\,\,x=a\cdot\sqrt[3]2\,\,</math> y <math>\,\,y =\frac{2a}{\sqrt[3]2}.</math>

; Demostración<ref name= "Claas" />
Debido al paralelismo <math>\overline{AE}\parallel\overline{\Gamma \Delta}</math> y a los cuatro ángulos rectos en el vértice <math>B</math>, los siguientes triángulos tienen los mismos ángulos y, por lo tanto, son semejantes entre sí:

[[Euclides]], [[Elementos de Euclides|Elementos]], 1, 29:<ref>{{cita libro
 | autor=Rudolf Haller (Übersetzer)
 | título= Euklid: Elemente Stoicheia
 | capítulo=[http://opera-platonis.de/euklid/Buch1.pdf#page=17&zoom=auto,-15,105 Buch 1, Proposition 29]
 | editorial=Edition Opera-Platonis 
 | ubicación=Markgröningen
 | fecha=2017 
 | idioma=de 
}}</ref>
: <math>\triangle{BAE}\sim\triangle{B\Delta \Gamma}\sim\triangle{B\Delta E}</math>

Dado que el vértice <math>E</math> tiene un ángulo recto, los siguientes ángulos son los mismos:

Euclides, Elementos, 1, 32:<ref>{{cita libro
 | autor=Rudolf Haller (Übersetzer)
 | título= Euklid: Elemente Stoicheia
 | capítulo=[http://opera-platonis.de/euklid/Buch1.pdf#page=19&zoom=auto,-15,728 Buch 1, Proposition 32] 
 | editorial=Edition Opera-Platonis 
 | ubicación=Markgröningen
 | fecha=2017 
 | idioma=de 
}}</ref>
: <math>\angle{\Delta EB} = \angle{EAB} = \angle{\;\Gamma\Delta B}</math>

Debido a que el vértice <math>\Delta</math> tiene un ángulo recto, los siguientes ángulos también son iguales:
: <math>\angle{B\Delta E} = \angle{B\;\Gamma\Delta} = \angle{BEA}</math>

Según Euclides, Elementos 6, 4; las proporciones son:<ref>{{cita libro
 | autor=Rudolf Haller (Übersetzer)
 | título= Euklid: Elemente Stoicheia
 | capítulo=[http://opera-platonis.de/euklid/Buch6.pdf#page=4&zoom=auto,-15,613 Buch 6, Proposition 4]
 | editorial=Edition Opera-Platonis 
 | ubicación=Markgröningen
 | fecha=2017 
 | idioma=de 
}}</ref>
: <math>\overline{B\Delta}:\overline{B\Gamma} = \overline{AB}:\overline{BE} = \overline{BE}:\overline{B\Delta} = \sqrt[3]{2}</math>

====Método mecánico de Eratóstenes====
[[Eratóstenes|Eratóstenes de Cirene]] ideó (basado en el teorema de Hipócrates) una herramienta mecánica que describió en la carta al rey Ptolomeo como:

{{cita|[…] un dispositivo mecánico para la determinación, mediante el cual no solo encontraremos dos proporciones medias entre dos rectas dadas, sino tantas como sea necesario encontrar.<ref> Traducción según Claas Lattmann: ''Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid.'' Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, S. 182, ISBN 978-3-11-061382-7,({{Google books |ID= KXecDwAAQBAJ&lpg|página= 182}}).</ref>}}

El ''dispositivo mecánico'' se puede imaginar como una caja de madera, bronce o marfil, con tres tabletas muy delgadas en forma de triángulos rectángulos idénticos, que se pueden mover hacia la derecha o hacia la izquierda con la ayuda de ranuras. En una tarea en la que se buscan más de dos proporciones medias para dos variables, el número requerido de triángulos es siempre "uno más" que el número de proporciones medias buscadas.<ref name="Reviel Netz">{{cita libro |autor=Reviel Netz |título=The Works of Archimedes |capítulo=Eutocius’ Commentary To On The Sphere And The Cylinder II, As Eratosthenes |editor=Cambridge University Press |editorial=University Press |ubicación=New York |fecha=2004 |idioma=en |ISBN=978-0-521-66160-7 |páginas=294-298 |url=https://books.google.de/books/about/The_Works_of_Archimedes_Volume_1_The_Two.html?id=msyO12v3tqcC&redir_esc=y |fechaacceso=2020-12-10|traductor=Reviel Netz (del griego original)}}</ref> Eratóstenes ideó su solución para duplicar el cubo tallado en piedra en el templo de los Ptolomeos en Alejandría.<ref>[[Bartel Leendert van der Waerden]]: ''Science Awakening.'' 1956, 230 f. Drei Rechtecke oder Dreiecke, die längs eines Lineals verschoben werden konnten, dessen eine Seite frei drehbar war.</ref>

[[Archivo:01 Würfelverdoppelung-Eratosthenes-Animation.gif|mini|upright=2.5|Duplicación del cubo según Eratóstenes (diagrama esquemático), <br /><math>a</math> = longitud de arista del cubo inicial, <math>b=2a</math> y <math>x</math> = longitud de arista del cubo duplicado]]

El "dispositivo mecánico", como lo llama Eratóstenes, que se muestra en forma esquemática en el diagrama adjunto muestra dos [[Semirrecta|semirrectas]] <math>s_1</math> y <math>s_2;</math> paralelas, que simbolizan las dos guías sobre las que deslizan tres triángulos rectángulos. El primero está fijo en el punto <math>E,</math>, mientras que los otros dos se pueden mover hasta <math>E</math>. Alternativamente, también se pueden utilizar dos triángulos rectángulos y una diagonal dibujada. El lado vertical de los triángulos mide <math>b=2a=\overline{AE}</math>, mientras que el otro cateto tiene una longitud libremente seleccionable (en el diagrama se ha tomado <math>1{,}5a</math>). La línea recta <math>s_1</math> es cortada en el punto <math>D</math> por la línea vertical del tercer triángulo <math>\overline{HQ}</math>, de forma que la longitud del segmento <math>\overline{HD}</math> debe coincidir con el valor de la variable <math>a</math>.<ref name="Heath">{{cita libro
 | autor=Thomas Heath
 | título=A History of Greek Mathematics
 | url=https://archive.org/details/cu31924008704219/page/n280/mode/1up The Duplication Of The Cube, (ζ) Eratosthenes
 | editor=Internet Archive
 | editorial=The Clarendon Press
 | ubicación=Oxford
 | fecha=1921
 | idioma=en
 | páginas=259
}}</ref> Una recta (no mostrada) desde el punto <math>A</math> hasta <math>D</math> cruza la línea <math>K</math> en <math>s_1</math>, genera el segmento <math>\overline{AK}</math> y, por lo tanto, revela la idea básica del dispositivo, de acuerdo con el [[teorema de Tales]].

;Procedimiento
Solo se requieren unos pocos pasos si, por ejemplo, el segundo triángulo (azul) y el tercer triángulo (amarillo) se mueven entre las reglas de la siguiente manera, hasta que se encuentren las dos proporciones medias <math>x</math> e <math>y</math> (véase la animación):

Mover en primer lugar el segundo triángulo (azul) hacia el punto <math>E</math> para que su [[hipotenusa]] <math>\overline{GM'}</math>, la línea <math>\overline{AK}</math> (roja) y la vertical <math>\overline{FM}</math> se crucen en el punto <math>B</math>. Solo en el siguiente paso, empujar el tercer triángulo (amarillo) de tal manera que su hipotenusa <math>\overline{HN'}</math>, la línea <math>\overline{AK}</math> (roja) y la vertical <math>\overline{FM}</math> se crucen en el punto <math>C</math>. Las repeticiones de estos pasos generan las dos proporciones medias <math>x=\overline{FB}</math> e <math>y=\overline{GC}.</math>

; Demostración<ref name="Heath" />
Si las dos rectas se cruzan a través de <math>\overline{AD}</math> o a través de <math>\overline{EH}</math> en <math>K</math>, entonces es

[[Archivo:01 Würfelverdoppelung-Eratosthenes-Nachweis.svg|mini|upright=2.5|Duplicación del cubo según Eratóstenes (diagrama esquemático). Demostración]]

: <math>\overline{EK}:\overline{KF} = \overline{AK}:\overline{KB} = \overline{FK}:\overline{KG}</math>

y

: <math>\overline{EK}:\overline{KF} = \overline{AE}:\overline{BF}</math>,

al tiempo que

: <math>\overline{FK}:\overline{KG} = \overline{BF}:\overline{CG};</math>

y por lo tanto
: <math>\overline{AE}:\overline{BF} = \overline{BF}:\overline{CG}.</math>

Por semejanza de triángulos
: <math>\overline{BF}:\overline{CG} = \overline{CG}:\overline{DH}.</math>

Esto significa que <math>\overline{AE},\; \overline{BF},\; \overline{CG}</math> y <math>\overline{DH}</math> están en proporción continua y <math>\overline{BF}</math> y <math>\overline{CG}</math> son las dos proporciones medias.

==Construcciones mediante curvas especiales==
[[Archivo:01-Würfelverdoppelung-2.svg|derecha]]

Si un cubo con la longitud de arista dada <math>a</math> debe duplicarse en términos de su volumen <math>a^3</math>, con <math>x</math> como la longitud de la arista del cubo más grande, entonces el teorema de Hipócrates de Quíos se aplica a la determinación de las dos proporciones medias <math>x</math> e <math>y</math>:<ref name="Hischer">{{cita web|autor=Horst Hischer |url=https://www.math.uni-sb.de/PREPRINTS/preprint86.pdf#page=8&zoom=auto,-50,576 |título=Moritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent |editor=Universität Saarland |páginas=76 |fecha=2003 |format=PDF |fechaacceso=2020-10-30}}</ref>
: <math>a:x=x:y=y:2a</math>
La eliminación de <math>y</math> da como resultado:
: <math>x^3=2a^3,</math>
de lo que se sigue que:<ref name="Hischer" />
: (1)&nbsp;<math>x=a\cdot\sqrt[3]{2}.</math>
La eliminación de <math>x</math> da como resultado:
: <math>y =\frac{2a^2}{a\cdot\sqrt[3]2},</math>
y por lo tanto:
: (2)&nbsp;<math>y =\frac{2a}{\sqrt[3]2}.</math>

La solución al problema con la ayuda de la [[Arquitas|curva de Arquitas]] (descubierta en la primera mitad del {{siglo|IV|a|s}}), implica el uso de elementos tridimensionales. Debido a su grado especial de dificultad, se describe en detalle a continuación.

===Curva de Arquitas===
[[Archivo:01 Würfelverdoppelung-Archytas-Bausteine.png|mini|upright=1.5|'''Situación:''' Se han encontrado las ''dos proporciones medias''.<br /> Se caracteriza por el punto de cruce <math>K</math> (verde) de las dos curvas de penetración, que son creadas por la interacción de las tres figuras: medio cilindro con la curva de Arquitas (punteado rojo), octavo de toro de revolución (negro) y sección cónica <math>DPP'A</math> (amarillo) con una superficie de corte triangular (azul). Diámetro <math>b=2a.</math>]]

Unas décadas antes que Arquitas, [[Hipócrates de Quíos]] había logrado asimilar la cuestión de duplicar el cubo a un problema de construcción de proporciones.<ref name="HHischer" /> [[Arquitas]] tuvo éxito en su construcción [[Teoría|teórica]] mediante una curva especial que lleva su nombre. Para su visualización o aplicación se requieren las siguientes tres figuras<ref name="Horst" /> (ver diagrama adjunto):
* [[Cilindro|Medio cilindro]], inscrito en el semicírculo <math>ADB</math> con radio <math>a</math> y diámetro <math>b.</math> La altura del semicilindro es de aproximadamente <math>2{,}5a.</math>
* Un octavo de un [[Toro (geometría)|toro de revolución]] sin orificio central con radio <math>a.</math>
* Un cuarto de un [[Cono (geometría)|cono]] <math>DPP'A</math> con radio <math>r=\overline{DP}</math> y altura <math>h=\overline{DA}</math>, con el triángulo <math>DP'A</math> como intersección. La sección del cono alcanza su tamaño máximo, es decir, una cuarta parte del cono total, cuando el triángulo <math>DP'A</math> encierra un ángulo de <math>DPA</math> con el triángulo de <math>90^\circ</math> y, por lo tanto, se encuentra sobre la superficie rectangular del semicilindro.

La curva de Arquitas es una [[Geometría descriptiva|construcción descriptiva]], que se obtiene cuando un semicilindro penetra un octavo de un toro de revolución sin orificio. Como se puede ver en el diagrama, el cuarto del cono <math>DPP''A</math> penetra las dos figuras vecinas y crea así una segunda curva de intersección que se cruza con la curva de Arquitas.

Las ''dos proporciones medias'' se encuentran cuando la hipotenusa <math>\overline{AP'}</math> de la sección triangular (azul) del cono se cruza con la curva de Arquitas en el punto (verde) <math>K</math>. El punto <math>K</math> se encuentra en la superficie lateral del semicilindro (en la curva de Arquitas), en la línea triangular en la superficie de la sección cónica y en la superficie de la sección semicircular del toro de revolución sin orificio.

====Consideraciones geométricas previas====
[[Archivo:01 Würfelverdoppelung-Kurve-Archytas.png|mini|upright=0.9|Consideraciones geométricas con respecto a las dos proporciones medias, <math>x</math> (rojo) e <math>y</math> (azul)]]

La imagen adyacente y la imagen similar en la siguiente sección muestran el enfoque geométrico que usó Arquitas para describir la curva que encontró con la ayuda de dos [[Media geométrica|medias proporcionales]].<ref name="Stopfer">{{Internetquelle |autor=Rudolf Stopfer |url=http://did.mat.uni-bayreuth.de/studium/seminar/antike/stopfer/wuerfelverdoppelung.html |título=Die Verdoppelung des Würfels, 5. Lösung nach Archytas |capítulo=Seminar: Klassische Probleme der Antike |editor=Universität Bayreuth |fecha=1997-06-08 |fechaacceso=2020-10-30 |fechaarchivo=27 de febrero de 2021 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20210227064114/http://did.mat.uni-bayreuth.de/studium/seminar/antike/stopfer/wuerfelverdoppelung.html |deadurl=yes }}</ref> La figura incluye dos [[Triángulo rectángulo|triángulos rectángulos]] semejantes entre sí <math>AD'K</math> y <math>AIM</math> de acuerco con el [[teorema de Tales]]. El semicírculo perpendicular a la base del semicilindro y giratorio alrededor del punto <math>A</math> - con las dos proporciones intermedias <math>x</math> e <math>y</math> - tiene el diámetro <math>\overline{AD'},</math> y el diámetro del semicilindro (véase la curva de la imagen) es <math>\overline{AD}.</math>

Con los valores insertados de (1) y (2), según Hipócrates de Quíos se aplica lo siguiente:
: (3)&nbsp;<math>\overline{AM} = \overline{AB} = a;\;\;\overline{AD} = \overline{AD'} = b</math>
: (4)&nbsp;<math>\overline{AI} = x;\;\;\overline{AK} = y</math>

Imponiendo las siguientes condiciones de paso:
: (5)&nbsp;<math>\overline{AD'}:\overline{AM} = b:a = 2:1</math>
: (6)&nbsp;<math>\overline{AD'}:\overline{AK} = \overline{AI}:\overline{AM} = \overline{AK}:\overline{AI} = y:x = \sqrt[3]{2}</math>

====Construcción de la arista del cubo duplicado====
[[Archivo:01 Würfelverdoppelung-Archytas-Animation.gif|mini|upright=2.1|Cubo duplicado con parte de la ''curva de Arquitas'' (rojo);<br /> En aras de la claridad, el toro de rotación se muestra en la sección [[#Curva de Arquitas|''Curva de Arquitas'']]. Si se alcanza <math>\overline{AI} = \sqrt[3]{2}</math> en la animación, esto corresponde al enfoque geométrico de Arquitas que se muestra en el esquema pequeño.<br /><math> \Rightarrow </math> Véase la [[:File:01 Würfelverdoppelung-Archytas-Animation-3.gif|animación de la construcción]]]]

Para generar una representación gráfica, como en la imagen adyacente, se requiere utilizar un programa de geometría dinámica.<ref name="Horst">{{cita web |autor=Horst Hischer |url=https://www.math.uni-sb.de/PREPRINTS/preprint86.pdf#page=11&zoom=auto,-50,576 |título=Moritz Cantor und die krumme Linie des Archytas von Tarent |editor=Universität Saarland |páginas=79 ff. |fecha=2003 |format=PDF |fechaacceso=2020-11-01}}</ref>

Se comienza dibujando el círculo unitario con diámetro <math>\overline{AD} = b = 2</math>. El radio subsiguiente <math>a=1</math> alrededor de <math>A</math> corta el círculo en <math>B.</math> A continuación, se traza una tangente a <math>D</math> y la extensión de la línea <math>\overline{AB};</math> se cruza en <math>P.</math> Las paralela a <math>\overline{DP}</math> por <math>B</math> corta el diámetro <math>\overline{AD}</math> en <math>E</math> y la circunferencia en <math>Z.</math>

A continuación, se dibuja un arco circular corto alrededor de <math>A</math> con el radio <math>\overline{AD}</math> y se define el punto <math>D'</math> con una posición de libre elección. Después de conectar el punto <math>A</math> con <math>D'</math>, esto da como resultado los puntos de intersección <math>T</math> en <math>\overline{BZ}</math> y <math>I</math> en el semicírculo <math>ADB.</math> A continuación, se traza un semicírculo sobre <math>\overline{AD'}</math> y una perpendicular a <math>\overline{AD'}</math> en <math>I,</math> dando como resultado el punto de intersección <math>K</math> en la semicircunferencia sobre <math>\overline{AD'.}</math> El siguiente semicírculo sobre <math>\overline{BZ}</math> y una perpendicular a <math>\overline{BZ}</math> en <math>T</math> da como resultado la intersección <math>M</math> en la semicircunferencia sobre <math>\overline{BZ}.</math> A continuación se muestra la construcción del semicilindro (altura aproximada de 2,5) sobre el semicírculo <math>ADB</math>.

Se continúa con el trazado de un arco alrededor del punto <math>D</math> con el radio <math>\overline{DP};</math> que interseca en <math>P''</math> la prolongación del borde del semicilindro, que conduce a <math>D</math>. Ahora el punto <math>P''</math> está conectado con <math>A</math>. Una línea recta trazada desde <math>A</math> a través del punto <math>M</math> al arco <math>DPP''</math> da como resultado la intersección <math>P'.</math> La conexión <math>P'</math> con <math>D</math> crea el triángulo <math>ADP</math> que es congruente con el triángulo <math>ADP'.</math>. Esto es posible porque la semicircunferencia sobre <math>\overline{BZ}</math> y el cuarto de círculo <math>DPP''</math> son paralelos entre sí. Si se observan los dos triángulos <math>ADP</math> y <math>ADP''</math> congruentes entre sí, así como el arco <math>DPP''</math> alrededor de <math>D,</math>, puede verse el cuarto de cono con su altura <math>\overline{DA}</math>. Después de conectar los puntos <math>M</math> con <math>I</math> y <math>K</math> con <math>D'</math>, finalmente se obtienen los dos triángulos rectángulos <math>TIM</math> e <math>ID'K.</math>

La semicircunferencia sobre <math>\overline{AD'}</math> - la intersección con un [[Toro (geometría)|toro de revolución]] sin orificio (no dibujado) - ahora debe rotarse en sentido antihorario alrededor del punto <math>A</math> hasta la hipotenusa <math>\overline{AP'}</math> del triángulo <math>ADP'</math>, que también gira en el sentido de las agujas del reloj, corta el semicírculo sobre <math>\overline{AD'}</math> en <math>K</math>. Cabe señalar que las líneas rectas <math>\overline{MT}</math> y <math>\overline{BZ}</math> son perpendiculares entre sí. Según el [[teorema de la media geométrica]] de Euclides, esto da como resultado
: <math> \overline{MT}^2 = \overline{ZT} \cdot \overline{TB} = \overline{AT} \cdot \overline{TI}.</math>
De <math>\overline{MT}^2 = \overline{AT} \cdot \overline{TI}</math> se deduce que el ángulo <math>\angle{AMI}</math> en esta posición es igual a <math>90^\circ</math>. Por lo tanto, los cuatro triángulos <math>AKD'</math>, <math>TIM</math> y <math>ATM</math>, así como <math>AIM</math>, son semejantes entre sí. El segmento <math>\overline{AI}</math> ajustado de esta manera corresponde a la longitud de la arista buscada <math>x=\sqrt[3]{2}</math> del cubo duplicado.

El punto <math>K</math> en el triángulo <math>AD'K</math> determina la ''curva de Archytas'' (roja) en la superficie del medio cilindro durante la rotación del semicírculo a través de <math>\overline{AD'}</math>.

* Para determinar el punto de intersección exacto (el punto <math>K</math> se encuentra con la hipotenusa <math>\overline{AP'}</math> del triángulo <math>ADP'</math>) de la rotación animada del semicírculo sobre <math>\overline{AD'}</math>, la distancia <math>\overline{AI} = \sqrt[3]{2}</math> se determina utilizando el software de geometría dinámica [[GeoGebra]].

===Con la ayuda de cónicas===
{|class="floatright"
||[[Archivo:Menecmo 1.svg|mini|center|Soluciones de Menecmo: Intersección de dos parábolas]]
||[[Archivo:Menecmo 2.svg|mini|center|Intersección de una parábola y de una hipérbola]]
|}
[[Archivo:01-Würfelverdoppelung-Menaichmos.svg|mini|upright=1.5|'''Demostración''': La intersección <math>F</math> de las dos [[Parábola (matemática)|parábolas]] proporciona las dos [[Media geométrica|medias geométricas]] <math>\overline{FD}</math> y <math>\overline{BD},</math><br /> por lo que <math>x : a = y : x = b : y = \sqrt[3]{2}</math><br /> y <math>-2p\cdot (-1)=2p=b</math>&nbsp;y&nbsp;<math>-2q\cdot (-1)=2q=a.</math> también se corresponden]]

[[Menecmo]] resolvió el problema relacionado con la construcción de las dos proporciones medias requeridas como la intersección de dos secciones cónicas (basándose en la transformación del problema de Hipócrates).<ref>{{cita web |autor=Horst Hischer |url=https://www.math.uni-sb.de/PREPRINTS/preprint367.pdf#page=12&zoom=100,-120,3 |título=6.1 Lösungsweg: Schnittpunkt von zwei Parabeln nach Menaichmos |capítulo=Zum Problem der Würfelverdoppelung in der Darstellung durch Johann Sturm 1670 |editor=Universität Saarland |páginas=9-10 |fecha=2015 |formato=PDF |fechaacceso=2019-05-01}}</ref>

El matemático [[Johann Sturm]] dio una demostración detallada de esta construcción.<ref>Johann Christoph Sturm: ''[http://deutsches-textarchiv.de/book/view/sturm_kunst_1670?p=147 Der zweyte kunſtrichtige oder Geometriſche Weg …].'' In: ''Des Unvergleichlichen ARCHJMEDJS Kunſt-Bücher.'' 1670. DTA Deutsches Textarchiv, S. 118 ff., abgerufen am 2. November 2020.</ref>

'''Soluciones de Menecmo'''

[[Menecmo]] fue alumno de [[Eudoxo de Cnido|Eudoxo]]. Vivió a mediados del IV a.{{esd}}C., y halló dos soluciones diferentes al problema de la duplicación del cubo.

<u>''Primera solución''</u>

Usando la notación moderna de la [[geometría analítica]], la solución se obtiene fácilmente como la intersección de dos parábolas.

Considérense dos parábolas de ecuaciones:
: <math>y^2=2ax</math>
y
: <math>x^2=ay</math>
De su intersección se obtiene
: <math>x^4=a^2y^2=2a^3x</math>
por lo tanto, descartando la solución <math>x = 0,</math> se tiene que
: <math>x^3=2a^3</math>
y por lo tanto
: <math>x=a\sqrt[3]{2}.</math>
Al intersecar las dos parábolas se obtiene así un punto cuya abscisa es el lado del [[cubo]] con un volumen que duplica el volumen del cubo dado.

<u>''Segunda solución''</u>

Usando la notación moderna, la segunda solución se obtiene como la intersección de una [[Parábola (matemática)|parábola]] y de una [[hipérbola]].
Considérese la parábola y la hipérbola, respectivamente, de ecuaciones:
: <math>y^2=\frac{a}{2}x</math>
: <math>xy=a^2</math>
De su intersección, se obtiene
: <math>x^3=2a^3</math>
y por lo tanto
: <math>x=a\sqrt[3]{2}.</math>
La intersección de la parábola y de la hipérbola genera un punto cuya abscisa es el lado del cubo con el doble de volumen del cubo dado.

=== Con la ayuda de cisoides ===
{{AP|Concoide de Nicomedes|Cisoide de Diocles}}

Tanto la [[concoide de Nicomedes]] como la [[cisoide de Diocles]] permiten realizar construcciones con las que es posible determinar gráficamente la duplicación del cubo.

{|
||[[Archivo:Duplicación concoide.svg|mini|x300px|center|Duplicación del cubo mediante la [[concoide de Nicomedes]]]]
||[[Archivo:Cissoide Delos Problem.svg|mini|x300px|center|Duplicación del cubo mediante la [[cisoide de Diocles]]]]
|}

==Construcción iterativa de <math>\sqrt[3]{2}</math>==
Por las razones ya descritas anteriormente, el resultado de la raíz cúbica de <math>2</math> no se puede determinar exactamente con un compás y una regla con un número finito de pasos de construcción.

El [[método de Newton]] proporciona una forma de realizar muy buenas aproximaciones.<ref>{{cita web |autor=man |url=https://docuri.com/download/elementary-algebra-aein_59bf3aa4f581716e46c4dc87_pdf |título=Elementary Algebra Aein |editor=Docuri |fecha=2016-07-10 |páginas=61-63 |fechaacceso=2020-12-16 |idioma=en}}</ref> A continuación se utiliza para obtener la [[Raíz de una función|raíz]] real de la [[Función matemática|función]]

: <math>f(x) = x^3 - 2</math><ref>{{Internetquelle |autor=Paul Bamberg |url=https://canvas.harvard.edu/courses/18236/files/2464104/download?verifier=mbbB0Eaf7STlGramBHC2z1vR1AxvLlnMz4Jul775&wrap=1 |título=Differentiability, Newton’s method, inverse functions |editor=canvas.harvard |fecha=2016-07-07 |páginas=31 |fechaacceso=2020-12-16 |idioma=en}}</ref>

como una aproximación mediante unos pocos pasos de [[iteración]].

<math>x_0 = 1</math> se puede utilizar como valor inicial. Los pasos de iteración del [[algoritmo]] se definen a partir de
: <math>x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{x_n^3 - 2}{3 \ x_n^2} = \frac{2 \ x_n^3 + 2}{3 \ x_n^2}</math>

Debido a que la expresión para <math>x_{n+1}</math> solo contiene operaciones aritméticas básicas, el resultado de cada paso de la iteración se puede construir como una construcción con [[regla y compás]].

===Cálculo de los pasos de iteración===
En la fórmula
: <math>x_{n+1} = \frac{2 \ x_n^3 + 2}{3 \ x_n^2}</math>

el término en el lado derecho de la ecuación proporciona el resultado del ''n''-ésimo paso de iteración. Un paso de iteración se compone de seis [[Regla y compás|operaciones algebraicas]] básicas (considerando que para calcular <math>x^2</math> y <math>x^3</math> bastan dos multiplicaciones: primero [x·x], y luego [x·x]·x), de las que cinco corresponden al numerador y una al denominador de una [[Fracción|fracción impropia]].

: <math>x_n^2, \ 3 \ x_n^2, \ x_n^3, \ 2 \ x_n^3, \ 2 \ x_n^3 + 2 \; \Rightarrow\;\; \frac{2 \ x_n^3 + 2}{3 \ x_n^2} = x_{n+1}</math>

Primer paso de iteración <math>x_1</math>, para <math>n=0</math> se tienen cinco operaciones, que tomando <math>x_n=x_0=1</math> para <math>x_0^2,</math> genera:
: <math>x_0^2 = 1, \ 3 \ x_0^2 = 3, \ x_0^3 = 1, \ 2 \ x_0^3 = 2, \ 2 \ x_0^3 + 2 = 4\;\;\Rightarrow</math>
: <math> x_1 = \frac{2 \ x_0^3 + 2}{3 \ x_0^2} = \frac{4}{3}</math>

Segundo paso de iteración <math>x_2</math>, para <math>n=1,</math> se tienen cinco operaciones, que tomando <math>x_n=x_1=\frac{4}{3}</math> obtenido del paso anterior para <math>x_1^2,</math> genera:
: <math>x_1^2 = \tfrac{16}{9}, \ 3 \ x_1^2 = \tfrac{16}{3}, \ x_1^3 = \tfrac{64}{27}, \ 2 \ x_1^3 = \tfrac{128}{27}, \ 2 \ x_1^3 + 2 = \tfrac{182}{27}\;\;\Rightarrow</math>
: <math>x_2 = \frac{2 \ x_1^3 + 2}{3 \ x_1^2} = \tfrac{\tfrac{182}{27}}{\tfrac{16}{3}}</math>

{{ord|3.|er}} paso de iteración <math>x_3</math>, para <math>n=2,</math> también se tienen cinco operaciones, que tomando <math>x_n=x_2=\tfrac{91}{72}</math> obtenido del paso anterior para <math>x_2^2,</math> genera:
: <math>x_3 = \frac{2 \ x_2^3 + 2}{3 \ x_2^2} = \frac{1126819}{894348} = 1{,}2599334934\ldots </math>

Este proceso puede repetirse tantas veces como se desee. Posee un [[orden de convergencia]] cuadrático, que hace que el procedimiento sea bastante eficiente.

===Construcción gráfica===
Después de solo dos pasos de iteración, la eficiencia de la aplicación del método de Newton es claramente reconocible, el valor aproximado alcanzado hasta ese punto es <math>x_2 = 1{,}263\overline{8}.</math> Un tercer paso de iteración permite aproximar todavía más el valor buscado calculando <math>x_3</math>.

Primero, la fracción <math>\tfrac{91}{72}</math> para trabajar en una unidad manejable, como centímetros, se escala en el cociente decimal <math>\tfrac{9{,}1}{7{,}2}</math> (aunque se podría trabajar directamente en milímetros) y luego se marca su cociente exacto <math>x_2</math> en un [[recta real|eje de coordenadas]] (Fig. 1). Para este propósito, por ejemplo, se puede utilizar el [[teorema de Tales]]. Debido a las proporciones tan diferentes entre las distintas cantidades, es conveniente mostrar este proceso en su propia imagen.

En el siguiente paso, la longitud <math>x_2</math> (rojo) de la Figura 1 se transfiere a la Figura 2 (verde, número 2). Luego se determinan el cuadrado (número 3) y el número cúbico (número 4) de <math>x_2.</math> En el quinto paso, el número cúbico de <math>x_2</math> se multiplica por el factor <math>2</math> y se suma el número <math>2</math>. Finalmente (número 6) se determina el [[cociente]] <math>x_3</math> (rojo):
: <math>x_3 = \frac{2 \ x_2^3 + 2}{3 \ x_2^2} = \frac{1126819}{894348} = 1{,}259933493\ldots</math>

<div style="float:left;">[[Archivo:01 Würfelverdoppelung-Newton-x2_es.svg|mini|upright=2.1|Figura 1:<br />Construcción del tercer paso de iteración. Operación 1: Obtención de <math>x_2=\tfrac{9,1}{7,2}</math>]]</div>
<div style="float:left;">[[Archivo:01 Würfelverdoppelung-Newton-x3.svg|mini|upright=1.1|Figura 2:<br />Construcción del tercer paso de iteración. Operaciones del 2 al 6 para producir gráficamente <math>x_3=\tfrac{1126819}{894348}</math>]]</div>
{{clear}}

; Ejemplo para mostrar el [[Error experimental|error]] cometido

: <math>\begin{alignat}{2}
 \text{Longitud construida } \qquad x_3 &=  &&1{,}259933\dots \\
 -\text{Solución exacta } \qquad -\sqrt[3]{2} &= -&&1{,}259921\dots \\
 \hline
 \text{Error absoluto } \qquad     F &=  &&0{,}000012\dots \\
\end{alignat}</math>

En el caso de un cubo inicial con una longitud de arista de <math>100</math>&nbsp;m, la arista del cubo unidad aproximadamente duplicado sería del orden de <math>1{,}2</math>&nbsp;mm demasiado larga.

==En teoría musical==
[[Archivo:grosse terz c e.gif|mini]]
[[Archivo:grosse terz c e.ogg|mini]]

En la [[teoría musical]], un análogo natural de la duplicación es el salto de un tono en una [[octava]], es decir, el [[Intervalo (música)|intervalo musical]] que se crea al duplicar la frecuencia del tono. Un análogo natural de un cubo (con volumen 2) es la división de la octava en tres partes, cada una con el mismo intervalo; esto representa las tres aristas iguales del cubo. En este sentido, el problema de doblar el cubo lo resuelve el [[temperamento igual]] mediante una [[tercera]], un intervalo musical que es exactamente un tercio de una octava y que multiplica la frecuencia de un tono por <math>(\sqrt[12]{2})^4 = \sqrt[3]{2}</math>, es decir, exactamente por la longitud del lado del cubo duplicado.<ref>R. C. Phillips: ''The equal tempered scale'', Musical Opinion and Music Trade Review, 29 (337): 41-42, 1905.</ref>

La imagen del lateral muestra la tercera mayor C-E. La relación de las frecuencias de los dos tonos (E:C) corresponde exactamente a <math>\sqrt[3]{2}</math>.
== Véase también ==
* [[Regla y compás#Construcciones imposibles|Construcciones imposibles con regla y compás]]
* [[Cuadratura del círculo]]
* [[Trisección del ángulo]]

==Referencias==
{{listaref}}

==Bibliografía==
* Arthur Donald Steele: ''"Über die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik" (Sobre el papel del compás y la regla en las matemáticas griegas)''. En: ''"Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik (Fuentes y estudios sobre la historia de las matemáticas)'' Abteilung B, Band 3, 1936, S.&nbsp;287-369 ([http://abel.math.harvard.edu/archive/hist_206r_2009/Steele_1936.pdf Digitalizado]).
* Claas Lattmann: ''"Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid" (Modelado matemático en Platón entre Tales y Euclides)'' (= ''Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures.'' Band 9). Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2019, S. 177-270 ({{Google books |ID= KXecDwAAQBAJ&l |página= 177}}).
* Markus Asper: ''Mathematik'' En: [[Bernhard Zimmermann]], [[Antonios Rengakos]] (Hrsg.): ''"Handbuch der griechischen Literatur der Antike" (Ciencia, tecnología y medicina en las culturas antiguas)'' Band 2: ''"Die Literatur der klassischen und hellenistischen Zeit" (La literatura del período clásico y helenístico)'' (= ''[[Handbuch der Altertumswissenschaft]].'' Band 7,2). C.H.Beck, München 2014, S. 459-481 ({{Google books|nombre=Mathematik|ID= MiuwBQAAQBAJ&lpg=PR1&hl=de&pg=PA459|página= 459}}).
* Jesper Lützen: ''"Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result" (¿Por qué se pasó por alto a Wantzel durante un siglo? La importancia cambiante de un resultado de imposibilidad)''. En: ''Historia Mathematica'' 36, 2009, S.&nbsp;374-394 ([https://reader.elsevier.com/reader/sd/pii/S031508600900010X?token=1107578A9218B902E80EA2FE53E36DC0C0962FB2AE5BDC62749A2D6DD19B92E56573E4BCEF2751BB349DEBE8BC0F7A41 en línea]).

==Enlaces externos==
{{Wikibooks|Planimetrie/ Die drei antiken Probleme/ Näherung 2|Verdoppelung des Würfels}}
* [https://de.wikisource.org/wiki/MKL1888:Delisches_Problem El Problema de Delos (en alemán)]
* [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Doubling_the_cube.html Duplicar el cubo, McTutor]
* [https://proyectodescartes.org/escenas-aux/bibliografia/duplica_cubo.pdf '''El problema de la Duplicación del Cubo'''] Juana Contreras y Claudio del Pino; ''(Revista del Instituto de Matemática y Física Artículos)'' Instituto de Matemática y Física. [[Universidad de Talca]]

{{Sectrices}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Álgebra]]
[[Categoría:Problemas matemáticos]]
[[Categoría:Geometría euclidiana plana]]