Ver el código de «Ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff»

En [[astrofísica]], la '''ecuación Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV)''' restringe la estructura de un cuerpo esféricamente simétrico de material isotrópico que se encuentra en equilibrio gravitatorio estático, según lo modelado por la [[relatividad general]]. La ecuación<ref name="ov">
{{Cita publicación|título=On Massive Neutron Cores|url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1939-02-15_55_4/page/n50|apellidos=Oppenheimer|nombre=J. R.|apellidos2=Volkoff|nombre2=G. M.|fecha=1939|publicación=[[Physical Review]]|volumen=55|número=4|páginas=374–381|bibcode=1939PhRv...55..374O|doi=10.1103/PhysRev.55.374}}</ref> es

: <math>\frac{dP}{dr}=-\frac{G m}{r^2}\rho\left(1+\frac{P}{\rho c^2}\right)\left(1+\frac{4\pi r^3P}{mc^2}\right)\left(1-\frac{2Gm}{rc^2}\right)^{-1}</math>

Aquí, <math display="inline">r</math> es la coordenada radial, y <math display="inline">\rho(r)</math> y <math display="inline">P(r)</math> son la densidad y la presión, respectivamente, del material en el radio <math display="inline">r</math>. La cantidad <math display="inline">m(r)</math>, la masa total dentro <math display="inline">r</math>, se analiza a continuación.

La ecuación se obtiene resolviendo las [[Ecuaciones del campo de Einstein|ecuaciones de Einstein]] para una métrica general invariante en el tiempo, esféricamente simétrica. Para una solución a la ecuación Tolman-Oppenheimer-Volkoff, esta métrica tomará la forma<ref name="ov">
{{Cita publicación|título=On Massive Neutron Cores|url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1939-02-15_55_4/page/n50|apellidos=Oppenheimer|nombre=J. R.|apellidos2=Volkoff|nombre2=G. M.|fecha=1939|publicación=[[Physical Review]]|volumen=55|número=4|páginas=374–381|bibcode=1939PhRv...55..374O|doi=10.1103/PhysRev.55.374}}</ref>

: <math>ds^2=e^{\nu} c^2 \,dt^2 - \left(1-\frac{2Gm}{rc^2}\right)^{-1} \,dr^2 - r^2\left(d\theta^2 + \sin^2 \theta \,d\phi^2\right) </math>

donde <math display="inline">\nu(r)</math> está determinada por la restricción<ref name="ov">
{{Cita publicación|título=On Massive Neutron Cores|url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1939-02-15_55_4/page/n50|apellidos=Oppenheimer|nombre=J. R.|apellidos2=Volkoff|nombre2=G. M.|fecha=1939|publicación=[[Physical Review]]|volumen=55|número=4|páginas=374–381|bibcode=1939PhRv...55..374O|doi=10.1103/PhysRev.55.374}}</ref>

: <math>\frac{d\nu}{dr}=- \left(\frac{2}{P+\rho c^2} \right) \frac{dP}{dr} </math>

Cuando se complementa con una [[ecuación de estado]], <math display="inline">F(\rho,P)=0</math>, que relaciona la densidad con la presión, la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff determina completamente la estructura de un cuerpo esféricamente simétrico de material isotrópico en equilibrio. Si los términos de la orden <math display="inline">1/c^2</math> se desprecian, la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff se convierte en la [[Hidrostática|ecuación hidrostática]] de Newton, que se utiliza para encontrar la estructura de equilibrio de un cuerpo esféricamente simétrico de material isotrópico cuando las correcciones de la relatividad general no son importantes.

Si la ecuación se usa para modelar una esfera limitada de material en el vacío, la condición de presión cero <math display="inline">P(r)=0</math> y la condición <math display="inline">e^{\nu} = 1 - 2 G m/c^2 r</math> debe imponerse en la superficie exterior de la esfera. La segunda condición límite se impone de manera que la métrica en el límite sea continua con la única solución estática esféricamente simétrica de las [[Ecuaciones del campo de Einstein|ecuaciones del campo de vacío]], la [[métrica de Schwarzschild]] :

: <math>ds^2=\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right) c^2 \,dt^2 - \left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)^{-1} \,dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta \,d\phi^2) </math>

== Masa total ==
<math display="inline">m(r)</math> es la masa total contenida dentro del radio <math display="inline">r</math>, medido por el campo gravitacional sentido por un observador distante. Satisface <math display="inline">m(0) = 0</math> .<ref name="ov">
{{Cita publicación|título=On Massive Neutron Cores|url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1939-02-15_55_4/page/n50|apellidos=Oppenheimer|nombre=J. R.|apellidos2=Volkoff|nombre2=G. M.|fecha=1939|publicación=[[Physical Review]]|volumen=55|número=4|páginas=374–381|bibcode=1939PhRv...55..374O|doi=10.1103/PhysRev.55.374}}</ref>

: <math>\frac{dm}{dr}=4 \pi r^2 \rho </math>

Aquí, <math display="inline">M</math> es la masa total del objeto, nuevamente, medida por el campo gravitacional percibido por un observador distante. Si el límite está en <math display="inline">r = R</math>, la continuidad de la métrica y la definición de <math display="inline">m(r)</math> exigir que

: <math>M=m(R)=\int_0^{R} 4\pi r^2 \rho \, dr </math>

Calculando la masa integrando la densidad del objeto sobre su volumen, por otro lado, producirá un valor mayor

: <math>M_1=\int_0^{R} \frac{4\pi r^2 \rho}{\sqrt{1-\frac{2Gm}{rc^2}}} \, dr</math>

La diferencia entre estas dos cantidades,

: <math>\delta M=\int_0^{R} 4\pi r^2 \rho \left(1-\frac{1}\sqrt{1-\frac{2Gm}{rc^2}}\right) \, dr</math>

será la [[energía de cohesión gravitacional]] del objeto (dividida por <math display="inline">c^2</math>) y será negativa.

== Derivación a partir de la relatividad general ==
Supongamos un fluido perfecto estático, esféricamente simétrico. Los componentes de la métrica son similares a los de la [[métrica de Schwarzschild]] :<ref>{{Cita libro|nombre=Charles W.|apellidos=Misner|nombre2=Kip S.|apellidos2=Thorne|nombre3=John Archibald|apellidos3=Wheeler|capítulo=Coordinates and Metric for a Static, Spherical System|título=Gravitation|editorial=Princeton University Press|año=2017|páginas=594–595|isbn=978-0-691-17779-3|chapter-url=https://books.google.com/books?id=zAAuDwAAQBAJ&pg=PA594}}
</ref>

: <math>c^2 \,d\tau^2 = g_{\mu\nu} \,dx^\mu \,dx^\nu = e^{\nu} c^2 \,dt^2 - e^{\lambda} \,dr^2 - r^2 \,d\theta^2 - r^2 \sin^2 \theta \,d\phi^2 </math>

Por la suposición de fluido perfecto, el [[tensor]] de tensión-energía es diagonal (en el sistema de coordenadas propio del fluido), con valores propios de [[densidad de energía]] y presión:

: <math>T_0^0 = \rho c^2</math>

y

: <math>T_i^j = - P \delta_i^j </math>

donde <math display="inline">\rho(r)</math> es la densidad del fluido y <math display="inline">P(r)</math> es la presión del fluido.

Para continuar, resolvemos las ecuaciones de campo de Einstein:

: <math>\frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu} = G_{\mu\nu} </math>

Consideremos primero la componente <math display="inline">G_{00}</math>:

: <math>\frac{8 \pi G}{c^4} \rho c^2 e^\nu = \frac{e^\nu}{r^2} \left(1 - \frac{d}{dr} r e^{-\lambda} \right) </math>

Integrando esta expresión de 0 a <math display="inline">r</math>, obtenemos

: <math>e^{-\lambda} = 1 - \frac{2 Gm}{r c^2}</math>

donde <math display="inline">m(r)</math> es como se define en el apartado anterior. A continuación, consideramos la componente <math display="inline">G_{11}</math>. Explícitamente, tenemos

: <math>- \frac{8 \pi G}{c^4} P e^{\lambda} = \frac{- r \nu' + e^{\lambda} - 1}{r^2} </math>

que podemos simplificar (usando nuestra expresión para <math display="inline">e^{\lambda}</math>)

: <math> \frac{d \nu}{d r} = \frac{1}{r}\left(1 - \frac{2 G m}{c^2 r}\right)^{-1} \left(\frac{2 G m}{c^2 r} + \frac{8 \pi G}{c^4} r^2 P\right) </math>

Obtenemos una segunda ecuación exigiendo la continuidad del tensor tensión-energía: <math display="inline">\nabla_{\mu} T^{\mu}_{\,\nu} = 0</math> . Viendo que <math display="inline">\partial_t \rho = \partial_t P = 0</math> (ya que se supone que la configuración es estática) y que <math display="inline">\partial_{\phi} P = \partial_{\theta} P = 0</math> (dado que la configuración también es isotrópica), obtenemos en particular

: <math>0 = \nabla_\mu T^\mu_1 = - \frac{d P}{d r} - \frac12 \left(P + \rho c^2\right) \frac{d\nu}{d r} \;</math>

Reorganizando términos obtenemos:<ref>{{Cita libro|apellidos=Tolman|nombre=R. C.|fecha=1934|título=Relativity Thermodynamics and Cosmology|url=https://archive.org/details/relativitythermo0000rich_p4l0|editorial=Oxford Press|páginas=[https://archive.org/details/relativitythermo0000rich_p4l0/page/243 243]–244}}</ref>

: <math>\frac{dP}{dr} = - \left( \frac{\rho c^2 + P}{2} \right) \frac{d\nu}{dr} \;</math>

Esto nos da dos expresiones y ambas contienen <math display="inline">d\nu/dr</math> , por lo que eliminando <math display="inline">d\nu/dr</math> obtenemos:

: <math>\frac{dP}{dr} = - \frac{1}{r} \left( \frac{\rho c^2 + P}{2} \right) \left(\frac{2 G m}{c^2 r} + \frac{8 \pi G}{c^4} r^2 P\right) \left(1 - \frac{2 G m}{c^2 r}\right)^{-1} </math>

Sacando un factor común <math display="inline">G/r</math> y reordenando factores de 2 y <math display="inline">c^2</math> da como resultado la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff:
{| style="border:2px solid #ccccff" cellpadding="2"
|<math>\frac{dP}{dr} = - \frac{G}{r^2} \left( \rho + \frac{P}{c^2} \right) \left(m + 4 \pi r^3 \frac{P}{c^2} \right) \left( 1 - \frac{2 G m}{c^2 r} \right)^{-1} </math>
|}

== Historia ==
[[Richard Tolman|Richard C. Tolman]] analizó métricas esféricamente simétricas en 1934 y 1939.<ref>
{{Cita publicación|url=http://authors.library.caltech.edu/9466/1/TOLpnas34c.pdf|título=Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models|apellidos=Tolman|nombre=R. C.|fecha=1934|publicación=[[Proceedings of the National Academy of Sciences]]|volumen=20|número=3|páginas=169–176|bibcode=1934PNAS...20..169T|doi=10.1073/pnas.20.3.169|pmc=1076370|pmid=16587869}}</ref><ref>
{{Cita publicación|url=https://authors.library.caltech.edu/4362/1/TOLpr39.pdf|título=Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid|apellidos=Tolman|nombre=R. C.|fecha=1939|publicación=[[Physical Review]]|volumen=55|número=4|páginas=364–373|bibcode=1939PhRv...55..364T|doi=10.1103/PhysRev.55.364}}</ref> La forma de la ecuación dada aquí fue derivada por [[Robert Oppenheimer|J. Robert Oppenheimer]] y George Volkoff en su artículo de 1939, "On Massive Neutron Cores".<ref name="ov">
{{Cita publicación|título=On Massive Neutron Cores|url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1939-02-15_55_4/page/n50|apellidos=Oppenheimer|nombre=J. R.|apellidos2=Volkoff|nombre2=G. M.|fecha=1939|publicación=[[Physical Review]]|volumen=55|número=4|páginas=374–381|bibcode=1939PhRv...55..374O|doi=10.1103/PhysRev.55.374}}</ref> En este artículo, se utilizó la ecuación de estado para un [[gas de Fermi]] degenerado de neutrones para calcular un límite superior de ~0,7&nbsp;[[Masa solar|masas solares]] para la masa gravitatoria de una [[estrella de neutrones]]. Dado que esta ecuación de estado no es realista para una estrella de neutrones, esta masa límite también es incorrecta. Usando observaciones de [[Onda gravitatoria|ondas gravitacionales]] de fusiones de estrellas de neutrones binarias (como [[GW170817]] ) y la información posterior de la [[radiación electromagnética]] ( [[kilonova]] ), los datos sugieren que el límite máximo de masa está cerca de 2,17 [[Masa solar|masas solares]] .<ref name="Margalit2017">{{Cita publicación|título=Constraining the Maximum Mass of Neutron Stars from Multi-messenger Observations of GW170817|apellidos=Margalit|nombre=B.|apellidos2=Metzger|nombre2=B. D.|fecha=2017-12-01|publicación=The Astrophysical Journal|volumen=850|número=2|página=L19|bibcode=2017ApJ...850L..19M|doi=10.3847/2041-8213/aa991c|arxiv=1710.05938}}</ref><ref name="Shibata2017">{{Cita publicación|título=Modeling GW170817 based on numerical relativity and its implications|apellidos=Shibata|nombre=M.|apellidos2=Fujibayashi|nombre2=S.|fecha=2017-12-22|publicación=Physical Review D|volumen=96|número=12|páginas=123012|bibcode=2017PhRvD..96l3012S|doi=10.1103/PhysRevD.96.123012|apellidos3=Hotokezaka|nombre3=K.|apellidos4=Kiuchi|nombre4=K.|apellidos5=Kyutoku|nombre5=K.|apellidos6=Sekiguchi|nombre6=Y.|apellidos7=Tanaka|nombre7=M.|arxiv=1710.07579}}</ref><ref name="Ruiz2018">{{Cita publicación|título=GW170817, general relativistic magnetohydrodynamic simulations, and the neutron star maximum mass|apellidos=Ruiz|nombre=M.|apellidos2=Shapiro|nombre2=S. L.|fecha=2018-01-11|publicación=Physical Review D|volumen=97|número=2|páginas=021501|bibcode=2018PhRvD..97b1501R|doi=10.1103/PhysRevD.97.021501|pmc=6036631|pmid=30003183|apellidos3=Tsokaros|nombre3=A.|arxiv=1711.00473}}</ref><ref name="Rezzolla2018">{{Cita publicación|título=Using Gravitational-wave Observations and Quasi-universal Relations to Constrain the Maximum Mass of Neutron Stars|apellidos=Rezzolla|nombre=L.|apellidos2=Most|nombre2=E. R.|fecha=2018-01-09|publicación=Astrophysical Journal|volumen=852|número=2|páginas=L25|bibcode=2018ApJ...852L..25R|doi=10.3847/2041-8213/aaa401|apellidos3=Weih|nombre3=L. R.|arxiv=1711.00314}}</ref><ref>{{Cita noticia|título=How massive can neutron star be?|url=http://www.goethe-university-frankfurt.de/69949580/003|editorial=[[Goethe University Frankfurt]]|fecha=2018-01-15|fechaacceso=2018-02-19}}</ref> Las estimaciones anteriores para este límite oscilan entre 1,5 y 3,0 masas solares.<ref>
{{Cita publicación|título=The Maximum Mass of a Neutron Star|url=https://archive.org/details/sim_astronomy-and-astrophysics_1996-01_305_3/page/871|apellidos=Bombaci|nombre=I.|fecha=1996|publicación=[[Astronomy and Astrophysics]]|volumen=305|páginas=871–877|bibcode=1996A&A...305..871B}}</ref>

== Aproximación posnewtoniana ==
En la aproximación posnewtoniana, esto es, de campos gravitatorios que se desvían ligeramente del [[Ley de gravitación universal|campo newtoniano]], la ecuación se puede expandir en potencias de <math display="inline">1/c^2</math> . En otras palabras, tenemos

: <math>\frac{dP}{dr}=-\frac{G m}{r^2}\rho\left(1+\frac{P}{\rho c^2}+\frac{4\pi r^3P}{mc^2}+\frac{2Gm}{rc^2}\right) + O(c^{-4}).</math>

== Véase también ==

* [[Hidrostática|Ecuación hidrostática]]
* [[Límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff]]

== Referencias ==
{{Listaref|30em}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Astrofísica]]
[[Categoría:Wikipedia:Páginas con traducciones sin revisar]]
[[Categoría:Robert Oppenheimer]]