Ver el código de «Ecuación de tercer grado»

[[Archivo:Función cúbica.svg|miniatura|Gráfica de una función cúbica.]]

Una '''ecuación algebraica de tercer grado''' o '''ecuación cúbica''' con una incógnita es una [[ecuación polinómica]] de [[Cubo (aritmética)|grado tres]]<ref>Kurosch, Curso de Álbebra Superior</ref> que se puede poner bajo la forma canónica:
{{teorema
|título= Ecuación de tercer grado
|1= <math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \; , \quad a \neq 0 </math>
|autor=
}}

Donde ''a, b, c'' y ''d'' (con ''a'' ≠ 0) son números que pertenecen a un [[cuerpo (matemática)|cuerpo]],  el [[número real|cuerpo de los números reales]] o el de los [[número complejo|números complejos]], aunque con frecuencia son números racionales.<ref>Leithold, ''Álgebra Superior''.</ref><ref>Hall and Knigt: ''Algebra Superior''</ref>

== Historia ==

Las ecuaciones cúbicas eran conocidas por los antiguos babilonios, griegos, chinos, indios y egipcios.<ref>{{Citation|last = Høyrup|first = Jens|title = Amphora: Festschrift for Hans Wussing on the Occasion of his 65th Birthday|chapter = The Babylonian Cellar Text BM 85200 + VAT 6599 Retranslation and Analysis|pages = 315–358|publisher = [[Birkhäuser]]|year = 1992|doi = 10.1007/978-3-0348-8599-7_16|isbn = 978-3-0348-8599-7}}</ref><ref name="oxf"/><ref name=wae/> Se han encontrado tabletas cuneiformes con tablas para calcular cubos y raíces cúbicas, datadas en el [[imperio babilónico]] (siglos XX a XVI a.{{esd}}C.).<ref>{{cite book|last=Cooke|first=Roger|title=The History of Mathematics|url=https://books.google.com/?id=CFDaj0WUvM8C&pg=PT63|date=8 de noviembre de 2012|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-46029-0|page=63}}</ref><ref name="nen">{{cite book|last= Nemet-Nejat|first=Karen Rhea|title=Daily Life in Ancient Mesopotamia|url=https://books.google.com/?id=lbmXsaTGNKUC&pg=PA306|year=1998|publisher=Greenwood Publishing Group|isbn=978-0-313-29497-6|page=306}}</ref> Los babilonios podrían haber usado las tablas para resolver ecuaciones cúbicas, pero no existe evidencia para confirmar que lo hicieran realmente.<ref name=co>{{cite book|last=Cooke|first=Roger|title=Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses|url=https://books.google.com/?id=JG-skeT1eWAC&pg=PA64|year=2008|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-27797-3|page=64}}</ref> El problema de la [[duplicación del cubo]] involucra la ecuación cúbica más simple y más antigua estudiada, para la que los antiguos egipcios no creían que existiera una solución.<ref>{{Harvtxt|Guilbeau|1930|p=8}} indica que "los egipcios consideraron la solución imposible, pero los griegos llegaron muy cerca de una solución."</ref> En el {{siglo|V|a|s}}, [[Hipócrates de Quíos|Hipócrates]] redujo este problema al encontrar dos medias proporcionales entre un segmento y otro de dos veces su longitud, pero no lo pudo resolver solo con  [[regla y compás]],<ref name=Guilbeau>{{Harvtxt|Guilbeau|1930|pp=8–9}}</ref> una tarea que, ahora se sabe, es imposible. 

Métodos para resolver ecuaciones cúbicas aparecen en el ''[[Jiuzhang Suanshu]]'', un texto [[Matemática china|matemático chino]] compilado alrededor del {{siglo|II|a|s}}, comentado por [[Liu Hui]] en el {{siglo|III||s}}.<ref name="oxf">{{cite book|last=Crossley|first=John|last2=W.-C. Lun|first2=Anthony|title=The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary|url=https://books.google.com/?id=eiTJHRGTG6YC&pg=PA176|year=1999|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-853936-0|page=176}}</ref> En el {{siglo|III||s}}, el [[Matemática helénica|matemático griego]] [[Diofanto de Alejandría]] encontró soluciones enteras o racionales para algunas ecuaciones de tercer grado y dos variables ([[ecuación diofántica|ecuaciones diofánticas]] cúbicas).<ref name=wae>Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 {{ISBN|0-387-12159-5}}</ref><ref>{{cite book|title=Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra|last=Heath|first=Thomas L.|author-link=Thomas_Little_Heath|pages=87–91|url=https://archive.org/details/diophantusofalex00heatiala|date=30 de abril de 2009|isbn=978-1578987542|publisher=Martino Pub}}</ref> [[Hipócrates de Quíos]], [[Menecmo]] y [[Arquímedes]] se acercaron a resolver el problema de duplicar el cubo usando intersección de [[sección cónica|curvas cónicas]],<ref name=Guilbeau/> aunque historiadores como Reviel Netz discuten si los griegos abordaran las ecuaciones cúbicas generales, o si solo consideraban problemas concretos. Algunos otros, como [[Thomas Heath|T. L. Heath]], que tradujo todos los trabajos de [[Arquímedes]], no están de acuerdo y presentan evidencias de que Arquímedes realmente resolvió ecuaciones cúbicas usando intersecciones de dos [[Sección cónica|cónicas]], y que también discutió las condiciones en las que las [[Raíz de una función|raíces]] son 0, 1 o 2.<ref>{{cite book|title=The works of Archimedes|author=Archimedes|author-link=Archimedes|others=Translation by T. L. Heath|date=8 de octubre de 2007|isbn= 978-1603860512|publisher=Rough Draft Printing}}</ref>

[[Imagen:Graph of cubic polynomial.svg|200px|izquierda|miniatura|[[Gráfica de una función|Gráfica]] de la función cúbica ''f''(''x'') = 2''x''<sup>3</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;3''x''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;3''x''&nbsp;+&nbsp;2 = 
 (''x''&nbsp;+&nbsp;1)&nbsp;(2''x''&nbsp;&minus;&nbsp;1)&nbsp;(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;2)]]

En el {{siglo|VII||s}}, el astrónomo y matemático de la [[dinastía Tang]], [[Wang Xiaotong]], en su tratado matemático titulado [[Jigu Suanjing]], estableció y resolvió   [[Análisis numérico|numéricamente]] de forma sistemática 25 ecuaciones cúbicas de la forma {{math|''x''<sup>3</sup> + ''px''<sup>2</sup> + ''qx'' {{=}} ''N''}}, 23 de ellas con {{math|''p'', ''q'' ≠ 0}} y dos de ellas con {{math|''q'' {{=}} 0}}.<ref>{{Citation
 |first= Yoshio
 |last= Mikami
 |author-link= Yoshio Mikami
 |title= The Development of Mathematics in China and Japan
 |chapter= Chapter 8 Wang Hsiao-Tung and Cubic Equations
 |pages= 53-56
 |publisher= Chelsea Publishing Co.
 |location= New York
 |year= 1974
 |edition= 2nd
 |origyear= 1913
 |isbn= 978-0-8284-0149-4
 |doi=}}</ref>...

En el {{siglo|XI||s}}, el poeta-matemático persa, [[Omar Jayam]] (1048-1131), realizó un progreso significativo en la teoría de las ecuaciones cúbicas. En un texto antiguo, descubrió que una ecuación cúbica puede tener más de una solución y declaró que no se puede resolver utilizando solo la regla y el compás. También encontró una [[#Solución de Omar Jayam|solución geométrica]].<ref>A paper of Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), pages 323–337</ref><ref>In {{MacTutor|id=Khayyam|title=Omar Khayyam}} se dice: ''Este problema a su vez llevó a Khayyam a resolver la ecuación cúbica ''{{math|''x''<sup>3</sup> + 200''x'' {{=}} 20''x''<sup>2</sup> + 2000}}'', de la que encontró una raíz positiva al considerar la intersección de una hipérbola equilátera y un círculo. Más adelante se encontró una solución numérica aproximada por interpolación en tablas trigonométricas''. El ''más adelante'' en la última afirmación es erróneo, y debería ser reemplazado por un ''también''. La construcción geométrica fue perfectamente adecuada para Omar Jayam, ya que el problema se reducía a la resolución de la citada construcción geométrica. Al final de su trabajo, solo indica que "para este problema geométrico, si las aproximaciones son suficientes, se puede obtener una solución más simple consultando [[tablas trigonométricas]]". Textualmente, afirma: "Para que quien busca una solución quede satisfecho con una estimación, depende de él mirar en la tabla de cuerdas de Almagesto, o en la tabla de senos y senos versados del Observatorio Mothmed". A continuación añade una breve descripción de este método alternativo (en otras siete líneas).</ref> En su trabajo posterior, el "Tratado sobre la demostración de problemas de álgebra", escribió una clasificación completa de ecuaciones cúbicas con soluciones geométricas generales encontradas mediante la intersección de [[sección cónica|secciones cónicas]].<ref>J. J. O'Connor and E. F. Robertson (1999), [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Khayyam.html Omar Khayyam], [[MacTutor History of Mathematics archive]], states, "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."<!-- quotation is in MacTutor--></ref><ref>{{Harvtxt|Guilbeau|1930|p=9}} states, "Omar Al Hay of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics."</ref>

En el {{siglo|XII||s}}, el matemático indio [[Bhaskara II]] intentó hallar la solución general de ecuaciones cúbicas sin éxito. Sin embargo, dio un ejemplo de una ecuación cúbica: {{math|''x''<sup>3</sup> + 12''x'' {{=}} 6''x''<sup>2</sup> + 35}}.<ref>{{Citation|last = Datta|first = Bibhutibhushan|author-link = Bibhutibhushan Datta|last2 = Singh|first2 = Avadhesh Narayan|title = History of Hindu Mathematics: A Source Book|volume = 2|page = 76|chapter = Equation of Higher Degree|publisher = Bharattya Kala Prakashan|location = Delhi, India|year = 2004|isbn = 81-86050-86-8}}</ref> En el {{siglo|XII||s}}, otro [[Matemática en el islam medieval|matemático persa]], [[Sharaf al-Din al-Tusi]] (1135–1213), escribió el ''Al-Muʿādalāt'' (''Tratado sobre ecuaciones''), en el que describió ocho tipos de ecuaciones cúbicas con soluciones positivas y cinco tipos de ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas. Utilizó lo que luego se conocería como el "método de [[Regla de Ruffini|Ruffini]]-[[Algoritmo de Horner|Horner]]" para aproximar [[Análisis numérico|numéricamente]] las [[Raíz de una función|raíces]] de una ecuación cúbica. También utilizó los conceptos de [[extremos de una función]] para resolver ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas,<ref>{{MacTutor|id=Al-Tusi_Sharaf|title=Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi}}</ref> y entendió la importancia del [[discriminante]] de la ecuación cúbica para encontrar soluciones algebraicas para ciertos tipos de ecuaciones cúbicas.<ref>{{Citation |first=J. L. |last=Berggren |year=1990 |title=Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's Muʿādalāt |journal=Journal of the American Oriental Society |volume=110 |issue=2 |pages=304–309 |doi= 10.2307/604533|jstor = 604533}}</ref>

En su libro "Flos", Leonardo de Pisa, también conocido como [[Leonardo de Pisa|Fibonacci]] (1170–1250), pudo aproximar la solución positiva de la ecuación cúbica {{math|''x''<sup>3</sup> + 2''x''<sup>2</sup> + 10''x'' {{=}} 20}}. Escribiendo en [[numeración babilónica|numeración sexagesimal]] dio el resultado como 1,22,7,42,33,4,40 (equivalente a 1&nbsp;+&nbsp;22/60&nbsp;+&nbsp;7/60<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;42/60<sup>3</sup>&nbsp;+&nbsp;33/60<sup>4</sup>&nbsp;+&nbsp;4/60<sup>5</sup>&nbsp;+&nbsp;40/60<sup>6</sup>), que tiene un [[error de aproximación]] del orden de 10<sup>−9</sup>.<ref>{{MacTutor|id=Fibonacci|title=Fibonacci}}</ref>

A principios del {{siglo|XVI||s}}, el matemático italiano [[Scipione del Ferro]] (1465-1526) encontró un método para resolver una clase de ecuaciones cúbicas, a saber, las de la forma {{math|''x''<sup>3</sup> + ''mx'' {{=}} ''n''}}. De hecho, todas las ecuaciones cúbicas se pueden reducir a esta forma si se permite que {{mvar|m}} y {{mvar|n}} sean negativas, pero por entonces se desconocían los [[número negativo|números negativos]]. Del Ferro mantuvo su logro en secreto hasta justo antes de su muerte, cuando se lo reveló a su estudiante [[Antonio Maria Del Fiore]].

[[Imagen:Niccolò Tartaglia.jpg|miniatura|160px|Niccolò Fontana ''Tartaglia'']]

En 1530, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] (1500-1557) recibió dos problemas en ecuaciones cúbicas remitidos por [[Zuanne da Coi]] y anunció que podía resolverlos. Pronto fue desafiado por Antonio Fiore, lo que llevó a un famoso concurso disputado entre los dos en 1535. Cada concursante tenía que aportar una cierta cantidad de dinero y proponer una serie de problemas para que su rival los resolviera. Quien resolviera más problemas en 30 días obtendría todo el dinero. Tartaglia recibió preguntas en la forma {{math|''x''<sup>3</sup> + ''mx'' {{=}} ''n''}}, ecuaciones para las que había elaborado un método general. Fiore recibió preguntas en la forma {{math|''x''<sup>3</sup> + ''mx''<sup>2</sup> {{=}} ''n''}}, que resultaron ser demasiado difíciles de resolver para él, y Tartaglia ganó el concurso.

Posteriormente, Tartaglia fue persuadido por [[Gerolamo Cardano]] (1501–1576) para que le revelara su método secreto de resolver ecuaciones cúbicas. En 1539, Tartaglia lo hizo solo con la condición de que Cardano nunca lo revelara y de que si escribía un libro sobre cúbicas, le daría tiempo a Tartaglia para publicar su descubrimiento. Algunos años después, Cardano se enteró de la existencia del trabajo anterior de Scipione del Ferro, y publicó el método de este último en su libro ''[[Ars magna|Ars Magna]]'' en 1545, lo que significaba que Cardano le concediera a Tartaglia seis años para publicar sus resultados (con crédito otorgado a Tartaglia por una solución independiente). La promesa de Cardano a Tartaglia decía que no publicaría el trabajo de Tartaglia, pero Cardano defendió que estaba publicando el procedimiento de Del Ferro, justificando así evitar cumplir su promesa. Sin embargo, Tartaglia retó a Cardano a un concurso matemático, a lo que este se negó. El desafío fue finalmente aceptado por el estudiante de Cardano [[Lodovico Ferrari]] (1522-1565). Ferrari lo hizo mejor que Tartaglia en la competición, y Tartaglia perdió tanto su prestigio como sus ingresos.<ref>{{Cite book |last=Katz |first=Victor |title=A History of Mathematics |page=[https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/220 220] |location=Boston |publisher=Addison Wesley |year=2004 |isbn=9780321016188 |url=https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/220 }}</ref>

Cardano notó que el método de Tartaglia a veces requería que extrajera la [[raíz cuadrada]] de un número negativo. Incluso incluyó un cálculo con estos [[número complejo|números complejos]] en su ''Ars Magna'', pero realmente no lo entendió. [[Rafael Bombelli]] estudió este tema en detalle<ref name="Bombelli">{{Citation|last2 = Mazur|first2 = Barry|author2-link = Barry Mazur|last = La Nave|first = Federica|journal = [[The Mathematical Intelligencer]]|title = Reading Bombelli|volume = 24|issue = 1|pages = 12–21|year = 2002|doi = 10.1007/BF03025306}}</ref> y por lo tanto, a menudo se le considera el descubridor de los números complejos.

[[François Viète]] (1540–1603) obtuvo de forma independiente la solución trigonométrica para la ecuación cúbica con tres raíces reales, y [[René Descartes]] (1596–1650) amplió el trabajo de Viète.<ref name=Nickalls/>

== Función cúbica ==
[[Archivo:Polynomialdeg3.svg|miniatura|derecha|250px|Gráfico de la función cúbica ''y = 1/4·(x+4)·(x+1)·(x-2)'' en el [[plano cartesiano]]. Las [[raíz de una función|raíces]] son los lugares donde la curva cruza el eje ''x'' (''y'' = 0), esto es: ''x1 = -4, x2 = -1'' y ''x3 = 2''.]]
La función cúbica es una [[función polinómica]] de tercer [[grado (polinomio)|grado]]. Se escribe de la siguiente manera:
: <math>
   f(x) =
   ax^3 + bx^2 + cx + d \,
</math>

donde los [[coeficiente (matemáticas)|coeficientes]] son números racionales y siempre ''a'' es distinto de 0.<ref>Álgebra de Pontriaguin</ref>

Tanto el [[dominio de definición]] como el [[conjunto imagen]] de estas funciones tienen como elementos a los [[número real|números reales]].

La [[derivada]] de una función cúbica es una [[función cuadrática]] y su [[integral]],  una [[Ecuación de cuarto grado|función cuártica]].

=== Ecuación cúbica ===
La ecuación cúbica es la [[ecuación]] que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la [[forma canónica]]:
{{ecuación|
<math>ax^3 + bx^2 + cx + d = 0</math>

|1}}

donde ''a, b, c'' y ''d'' (''a'' ≠ 0) son números que pertenecen a un anillo (enteros) o [[cuerpo (matemática)|campo]], usualmente el [[número real|campo de los números reales]] o el de los [[número complejo|números complejos]]. Las soluciones están generalmente en un cuerpo que incluye al anillo de los coeficientes.<ref>Kurosch: Álgebra superior, Editorial Mir, Moscu, varias impresiones. </ref>

=== Discriminante ===
Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica (1) con coeficientes [[número real|reales]] tiene al menos una solución ''x'' sobre los números reales; esta es una consecuencia del [[teorema del valor intermedio]]. Se pueden distinguir varios posibles casos, usando para ello el [[discriminante]],

:: <math> \Delta = 18abcd -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2. \,</math>

Los siguientes casos necesitan ser considerados:<ref>{{citation
|title=Integers, polynomials, and rings
|first1=Ronald S.
|last1=Irving
|publisher=Springer-Verlag New York, Inc.
|year=2004
|isbn=0-387-40397-3
|url=http://books.google.com/?id=B4k6ltaxm5YC}}, [http://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154 Chapter 10 ex 10.14.4 and 10.17.4, pp. 154–156]</ref>

* Si <math>\Delta > 0 </math>,  entonces la ecuación tiene tres raíces reales distintas.
* Si <math>\Delta = 0 </math>, entonces la ecuación tiene [[Multiplicidad|raíces múltiples]] y todas sus raíces son reales (puede ser una raíz triple o una doble y otra simple).
* Si <math>\Delta < 0 </math>, entonces la ecuación tiene una raíz real y dos raíces complejas -no reales-  conjugadas.

== El caso real ==
Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentaron resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es [[Cuerpo algebraicamente cerrado|algebraicamente cerrado]], por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en <math>\mathbb{C}</math>, [[extensión algebraica]] cerrada de <math> \mathbb{R}</math>. La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. Se puede notar que siempre hay por lo menos una solución real, independientemente de que el discriminante <math> \Delta</math> sea mayor, menor o igual a cero. Se debe a que las [[función polinomial|funciones polinomiales]] no constantes tienen [[límite de una función|límites]] infinitos en <math>+\infty</math> y <math>-\infty</math> y las de [[función impar|grado impar]] tienen límites de signos contrarios. Como son [[función continua|funciones continuas]], tienen que pasar por cero, por el [[teorema del valor intermedio|teorema de los valores intermedios]].

Dado que se sabe que al menos habrá una solución real, también es posible resolverla aproximadamente con métodos numéricos, como por ejemplo el [[método de Newton-Raphson]].

=== Factorización ===

Si los coeficientes de una ecuación cúbica son [[número racional|números racionales]], se puede obtener una ecuación equivalente con coeficientes enteros, multiplicando todos los coeficientes por un [[mínimo común múltiplo]] de sus denominadores. Tal ecuación

: <math>ax^3+bx^2+cx+d=0,</math> (Ejemplo)

con coeficientes enteros, se dice que es [[Polinomio irreducible|reducible]] si el polinomio del lado izquierdo es el producto de polinomios de grados inferiores. Por el [[lema de Gauss]], si la ecuación es reducible, se puede suponer que los factores tienen coeficientes enteros.

Encontrar las raíces de una ecuación cúbica reducible es más fácil que resolver el caso general. De hecho, si la ecuación es reducible, uno de los factores debe tener el grado uno y, por lo tanto, tener la forma
: <math>qx-p</math>
con {{mvar|q}} y {{mvar|p}} siendo [[números coprimos]]. El [[teorema de la raíz racional]] permite encontrar {{mvar|q}} y {{mvar|p}} examinando un número finito de casos (porque {{mvar|q}} debe ser un divisor de {{mvar|a}} y {{mvar|p}} debe ser un divisor de {{mvar|d}}).

Por lo tanto, una raíz es <math>\textstyle x_1= \frac pq,</math> y las otras raíces son las raíces del otro factor, que pueden encontrarse por [[división polinomial]]. Este otro factor es
: <math>\frac aq x^2+ \frac{bq+ap}{q^2}x+\frac{cq^2+bpq+ap^2}{q^3}</math>
(Los coeficientes parecen no ser enteros, pero deben ser enteros si {{math|''p'' / ''q''}} es una raíz del polinomio).

Entonces, las otras raíces son las raíces de esta [[ecuación cuadrática]] y se pueden encontrar usando la [[Ecuación de segundo grado#Soluciones de la ecuación de segundo grado|fórmula cuadrática]].

=== Forma reducida ===
Los polinomios de la forma
:<math>z^3+pz+q</math>
se dice que están reducidos. Son mucho más simples que las ecuaciones cúbicas generales, pero son fundamentales, porque el estudio de cualquier cúbica puede reducirse por un simple [[cambio de variable]] al de una cúbica reducida.

Sea
: <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>
una ecuación cúbica. El cambio de variable
:<math>x=z-\frac b{3a}</math>
da como resultado una cúbica que no tiene término en {{math|''z''<sup>2</sup>}}. Después de dividir por {{mvar|a}} se obtiene la ''ecuación cúbica reducida''
:<math>z^3+pz+q=0,</math>
con
:<math>\begin{align}
z=&x+\frac b{3a}\\
p=&\frac{3ac-b^2}{3a^2} \\
q=&\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}.
\end{align}
</math>

Las [[Raíz de una función|raíces]] <math>x_1, x_2, x_3</math> de la ecuación original están relacionadas con las raíces <math>z_1,z_2,z_3</math> de la ecuación reducida por las relaciones

::<math>x_k = z_k - \frac b{3a},</math>
para {{math|1=''k'' = 1, 2, 3}}

=== Raíces reales de la ecuación cúbica ===

Partiendo de la ecuación polinómica

: <math>ax^3 + bx^2 + cx + d = 0</math>

dividiendo entre ''a'' y haciendo una [[transformación de Tschirnhaus]] (sustituyendo <math>x = z-\tfrac{b}{3a}</math>) se elimina de la ''forma normal'' el término cuadrático, y como ya se ha señalado, se obtiene la ''forma reducida'':

: <math>z^3 +pz + q=0,</math>

con lo cual,

:<math> \begin{align}
p=&\frac{3ac-b^2}{3a^2}\\
q=&\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}.
\end{align}
</math>

Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante de la ecuación auxiliar <math>\Delta = (-4p^3 - 27q^2)\,</math>.<ref>[http://books.google.es/books?id=Fge-BwqhqIYC&pg=PA193&dq=discriminant+cubic&hl=es&sa=X&ei=VM4aUdGIDtK20QXRh4CwCw&ved=0CDwQ6AEwAg#v=onepage&q=discriminant%20cubic&f=false Cubic discriminant - Algebra]</ref> La ecuación cúbica incompleta <math>z^3+pz+q=0 \,</math> posee tres raíces reales cuando el discriminante <math> \Delta>0 \,</math>. Tales raíces se calculan en función de [[Radián|radianes]] utilizando la siguiente fórmula:

:<math>z_{k+1}=2 \sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{3}\right)</math> ,     para  <math> k = 0, 1, 2  \,</math>

Mientras que el argumento <math>\theta\,</math> está dado por la siguiente fórmula:

:<math>\theta = \arccos{\left( \frac{3q}{2p}\sqrt{-\frac{3}{p}}\right)}</math>

De modo que si se quieren calcular las tres raíces de la ecuación cúbica completa <math>ax^3+bx^2+cx+d=0 \,</math>, entonces se puede obtenerlas fácilmente como

:<math>x_{k}=z_{k}-\frac{b}{3a}</math>  ,  para  <math> k = 1, 2, 3 \,</math>

=== Raíces múltiples ===
En cualquier ecuación cúbica es posible que se presenten raíces múltiples, es decir, raíces de [[multiplicidad]] dos y tres, esto es, que dos o tres de las raíces sean iguales entre sí. Las raíces de multiplicidad unitaria ya fueron descritas antes, ahora la raíz doble se puede presentar [[si y sólo si]] se cumple la condición de que

:<math>\Delta=0, p\not=0, q\not=0 \, </math>

y las raíces de la ecuación cúbica incompleta serán

:<math>z_{1}=-2z_{2}=-2z_{3}=2 \sqrt[3]{-\frac{q}{2}} \,</math>

mientras que las raíces triples se presentan cuando se cumpla la condición de que

:<math>\Delta=p=q=0 \,</math>

con lo que las raíces de la ecuación cúbica completa se calcularán fácilmente como

:<math>x_{1}=x_{2}=x_{3}=-\frac{b}{3a} \, </math>.

== El caso general ==
Sea <math>K \,</math> un cuerpo [[conmutatividad|conmutativo]], donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la ecuación.

En un cuerpo '''algebraicamente cerrado''' se sabe que todo polinomio de tercer grado (o ecuación cúbica) tiene tres raíces. Este es el caso, por ejemplo, del cuerpo de los números complejos, según el [[Teorema Fundamental del Álgebra]].

La solución de la ecuación algebraica cúbica fue dada por primera vez en el libro ''[[Ars Magna]]'' (del [[latín]], que significa 'Gran Arte' o 'Arte Magno') por el matemático italiano [[Gerolamo Cardano]] (1501-1576) que publicó en el año de 1545, razón por la cual se le da la denominación [[método de Cardano]].

Dada la ecuación cúbica

<math>x^3+a_1x^2+a_2x+a_3 = 0</math>

Se calculan las siguientes cantidades:

<math>Q = \frac{3a_2 - a^2_1}{9}</math>                             

<math>R = \frac{9a_1a_2 - 27a_3 - 2a^3_1}{54}  </math>

Con base en los valores calculados de Q y de R, se calcula la Discriminante, que definirá las posibles soluciones de la ecuación:

<math>D = Q^3 + R^2</math>

Al ser D, la discriminante, se tiene:

i) Si D>0 entonces una de las raíces es real y dos de ellas son complejas.

ii) Si D=0 entonces todas las raíces son reales y al menos dos son iguales.

iii) Si D<0 entonces todas las raíces son reales y distintas.

Para el caso i)

Calcular:

<math>S_1 = \sqrt[3]{R + \sqrt{Q^3 + R^2}}</math>

<math>S_2 = \sqrt[3]{R - \sqrt{Q^3 + R^2}}</math>

La primera raíz real se pueden calcular simplemente como:

<math>x_1 = S_1 + S_2 -  \frac{a_1}{3} </math>

Las dos raíces imaginarias se pueden calcular de la siguiente manera:

<math>x_2 = - \frac{S_1 + S_2}{2} - \frac{a_1}{3} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\bigl(S_1 - S_2\bigr) </math>

<math>x_3 = - \frac{S_1 + S_2}{2} - \frac{a_1}{3} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\bigl(S_1 - S_2\bigr) </math>

Para los casos ii) y iii)

El cálculo de las tres raíces reales se simplifica un poco si se reescriben las soluciones mediante las siguientes fórmulas trigonométricas:

<math>x_1 = - 2 \sqrt{-Q}\cos\biggl(\frac{\theta}{3}\biggr) - \frac{a_1}{3} </math>

<math>x_2 = - 2 \sqrt{-Q}\cos\biggl(\frac{\theta+2\pi}{3}\biggr) - \frac{a_1}{3} </math>

<math>x_3 = - 2 \sqrt{-Q}\cos\biggl(\frac{\theta+4\pi}{3}\biggr) - \frac{a_1}{3} </math>

donde:

<math>\cos \theta = - \frac {R}{\sqrt{-Q^3}} </math>

* En el caso ii) , dos de las tres raíces calculadas, serán iguales.

== Fórmula de Cardano ==

Se le acredita a [[Gerolamo Cardano]] por el primer método  para resolver ecuaciones cúbicas. El método aplica para las ecuaciones cúbicas reducidas, pero, por lo enseñado en la forma reducida, permite resolver todas las ecuaciones cúbicas.

El resultado original de Cardano es que, si

:<math>z^3+pz+q=0</math>

es una ecuación cúbica tal que {{mvar|p}} y {{mvar|q}} son números reales tales que su discriminante <math>\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}</math> sea positivo, entonces la ecuación tiene una única raíz real

:<math>z = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}</math>,

donde para simplificar un poco la expresión, asignaremos cada raíz a dos variables respectivamente:

: <math>\begin{cases} u=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}} \\ v=\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}} \end{cases}</math>,

de dicha acción obtenemos:

:<math>z=u+v</math>

mientras las otras dos raíces son complejas conjugadas en este caso. Se sabía que las otras dos raíces son obtenidas al multiplicar cada una de las raíces cúbicas por las raíces cúbicas primitivas de la unidad, es decir, obtenemos una raíz compleja multiplicando una raíz cúbica <math>(u)</math> por <math>-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> y la otra <math>(v)</math> por <math>-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i</math>, luego sumando ambos productos, mientras que obtenemos la otra multiplicando cada raíz cúbica por los conjugados de dichas raíces primitivas respectivamente. Entonces obtenemos las tres raíces resultantes:

:<math>\begin{cases} z_1 = u + v \\ z_2 = \left[ -\frac{1}{2}(u+v) \right] + \left[ \frac{\sqrt{3}}{2}(u-v) \right]i \\ z_3 = \left[ -\frac{1}{2}(u+v) \right] - \left[ \frac{\sqrt{3}}{2}(u-v) \right]i \end{cases}</math>,

Si <math>\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}</math> es negativo, hay tres raíces reales, pero la teoría de Galois permite demostrar que éstas no pueden ser expresadas algebraicamente involucrando números reales, por lo que la ecuación no puede ser resuelta en este caso con el conocimiento de la época de Cardano. Este caso se ha llamado así "casus irreduciblis", significando "caso irreducible" en latín. 

En el "casus irreduciblis", aunque el método de Cardano aún puede ser utilizado, algo de cuidado es necesario en el uso de raíces cúbicas. Una primera alternativa es definir los símbolos <math>\sqrt{{~}^{~}}</math> y <math>\sqrt[3]{{~}^{~}}</math> como representar el [[valor principal]] de la función raíz (que es la raíz que representa la parte real más larga). Con este convenio, el método de Cardano para las tres raíces reales permanece válido, pero no es puramente algebraico, dado que la definición de una parte principal no es puramente algebraica, desde que involucra desigualdades para comparar partes reales. También, el uso de la raíz cúbica principal puede dar un resultado erróneo si los coeficientes son números complejos. Además, si los coeficientes pertenecen a otro campo, la raíz cúbica principal no está definida en general.

La segunda manera para hacer que el método de Cardano sea siempre correcto es volver a expresar que el producto de dos raíces cúbicas debe ser <math>-\frac{p}{3}</math>. Resulta que una raíz de la ecuación es:

:<math>z = u - \frac{p}{3u}</math>

En esta fórmula, los símbolos <math>\sqrt{{~}^{~}}</math> y <math>\sqrt[3]{{~}^{~}}</math> denotan cualquier raíz cuadrada y cualquier raíz cúbica, mientras las otras dos raíces se obtienen al cambiar de raíz cúbica o, equivalentemente, al multiplicar la raíz cúbica por una raíz cúbica primitiva de la unidad, que es <math>\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}</math>.

Esta fórmula siempre es correcta excepto cuando <math>p=q=0,</math> bajo la condición, si <math>q=0</math>, de elegir la raíz cuadrada para tener <math>u \neq 0</math>. Sin embargo, la fórmula no funciona en estos casos dado que las raíces pueden ser expresadas sin ninguna raíz cúbica. De forma similar, la fórmula tampoco funciona en los otros casos donde ninguna raíz cúbica se necesita, cuando <math>\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}</math> es igual a cero, y cuando la ecuación cúbica no es irreducible. Esta fórmula también es correcta cuando <math>p</math> y <math>q</math> pertenecen a cualquier campo de característica 2 o 3.

== Fórmula cúbica general ==
Una ''fórmula cúbica'' para las raíces de la ecuación cúbica general con <math>a \neq 0</math>

:<math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>

puede ser deducida de toda variante de la fórmula de Cardano por reducción a una ecuación cúbica reducida. Esta variante es presentada aquí no solo para coeficientes reales, sino para los coeficientes <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> y <math>d</math>, perteneciendo a cualquier campo de característica 2 o 3.

La fórmula siendo muy complicada, vale ser repartida en fórmulas más compactas:

Sean

:<math>\Delta_1 = b^2-3ac</math>,
:<math>\Delta_2 = 2b^3-9abc+27a^2d</math>

y

:<math>W = \sqrt[3]{\frac{\Delta_2\pm\sqrt{{\Delta_2}^2-4{\Delta_1}^3}}{2}}</math>,

donde los símbolos <math>\sqrt{{~}^{~}}</math> y <math>\sqrt[3]{{~}^{~}}</math> denotan cualquier raíz cuadrada y cualquier raíz cúbica respectivamente. El signo <math>\pm</math> precedido de la raíz cuadrada es + o -; la selección es casi arbitraria. Sin embargo, si una selección conduce a <math>W=0</math>, el otro signo debe ser seleccionado. Entonces, una de las raíces es

:<math>x = -\frac{1}{3a} \left(b + W + \frac{\Delta_1}{W}\right)</math>.

Las otras dos raíces se pueden obtener al cambiar la selección de la raíz cúbica en definición de <math>W</math>, o, equivalentemente al multiplicar <math>W</math> por una raíz cúbica primitiva de la unidad (que es <math>\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}</math>). En otros términos, las raíces son:

:<math>x_{k+1} = -\frac{1}{3a} \left(b + \omega^k W + \frac{\Delta_1}{\omega^k W}\right), \qquad k \in \{0,1,2\}</math>

donde <math>\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}</math>.

Sin embargo, si <math>{\Delta_2}^2-4{\Delta_1}^3<0</math>, las tres raíces son reales, que toman la siguiente forma:

:<math>x_{k+1} = -\frac{b}{3a} + \frac{2}{3a}\sqrt{\Delta_1} \cos{\left(\frac{\theta + 2k\pi}{3}\right)}, \qquad k \in \{0,1,2\}</math>

donde <math>\theta = \arccos{\left(\frac{\Delta_2}{2\sqrt{{\Delta_1}^3}}\right)}</math>.

== Soluciones trigonométricas e hiperbólicas ==
=== Solución trigonométrica para tres raíces reales ===

Cuando una ecuación cúbica con coeficientes reales tiene tres raíces reales, las fórmulas que expresan estas raíces en términos de radicales involucran números complejos. La [[teoría de Galois]] permite probar que cuando las tres raíces son reales y ninguna es racional (presentándose el ''[[casus irreducibilis]]''), no se pueden expresar las raíces en términos de radicales reales. Sin embargo, se pueden obtener expresiones puramente reales de las soluciones usando [[Trigonometría|funciones trigonométricas]], específicamente en términos de [[coseno]]s y [[arcocoseno]]s.<ref>Zucker, I. J., "The cubic equation — a new look at the irreducible case", ''Mathematical Gazette'' 92, July 2008, 264–268.</ref> Más precisamente, una raíz real de la ecuación [[#Forma reducida|cúbica reducida]] <math>z^3+pz+q=0</math>
es<ref name="crc">{{citation
|title=CRC Standard Mathematical Tables
|first=Samuel
|last=Shelbey
|publisher=CRC Press
|year=1975
|isbn=0-87819-622-6
|url=https://archive.org/details/crcstandardmathe00selb
}}</ref>

: <math>z_{k+1} = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)+\frac{2k\pi}{3}\right) \quad \text{para} \quad k=\{0,1,2\}.</math>

Esta fórmula se debe al matemático francés [[François Viète]].<ref name=Nickalls>{{Citation |last=Nickalls |first=R. W. D. |title=Viète, Descartes and the cubic equation |url=http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/descartes2006.pdf |journal=[[Mathematical Gazette]] |volume=90 |issue=518 |date=July 2006 |pages=203–208 |doi= 10.1017/S0025557200179598}}</ref> La raíz es puramente real cuando la ecuación tiene tres raíces reales (es decir, <math>4p^3+27q^2 < 0</math>). De lo contrario, sigue siendo correcto, pero la resolución involucra utilizar cosenos y arcocosenos complejos cuando solo hay una raíz real, y pierde sentido (al presentarse la división entre cero) cuando <math>p=0</math>.

La expresión se puede transformar directamente en una fórmula para las raíces reales de una ecuación cúbica general, utilizando la sustitución inversa descrita en la [[#Forma reducida|ecuación cúbica reducida]].

{{Demostración|título=Obtención de la fórmula para tres raíces reales<ref>{{Cita web|url=https://matematics.wordpress.com/2014/06/10/viete-y-su-solucion-de-la-cubica/|título=Viète y su solución de la cúbica|fechaacceso=3 de julio de 2020|fecha=10 de junio de 2014|sitioweb=Blog de Matemática y TIC's|idioma=es-ES}}</ref>
|1=Partiendo de la ecuación cúbica reducida

: <math>z^3+pz+q=0</math>,

se establecen las siguientes igualdades

: <math>p=-3m^2, q=-m^2n</math>,

con lo cual en consecuencia obtenemos

: <math>z^3-3m^2z-m^2n=0 \quad (1)</math>,

y a la vez obtenemos

: <math>m=\sqrt{-\frac{p}{3}}, n=\frac{3q}{p}</math>.

Ahora, vamos a establecer la igualdad

: <math>z=2m\cos\theta \quad (2)</math>,

de la cual se hace la suposición de que es una de las raíces reales de la ecuación cúbica reducida, donde el objetivo principal es elegirla para coincidir con la identidad trigonométrica

: <math>4\cos^3\theta-3\cos\theta-\cos(3\theta)=0 \quad (3)</math>.

Para esto, despejamos <math>\cos\theta</math> en '''(2)''':

: <math>\cos\theta=\frac{z}{2m}</math>.

Reemplazamos <math>\cos\theta</math> en '''(3)''':

: <math>\frac{z^3}{2m^3}-\frac{3z}{2m}-\cos\left(3\theta\right)=0</math>.

Multiplicamos el resultado por <math>2m^3</math>:

: <math>z^3-3m^2z-2m^3\cos\left(3\theta\right)=0 \quad (4)</math>.

Igualando '''(1)''' y '''(4)''', obtenemos lo siguiente:

: <math>m^2n=2m^3\cos\left(3\theta\right)</math>.

Haciendo algunos despejes, obtenemos un valor para <math>\theta</math>:

: <math>\theta = \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{n}{2m}\right)</math>.

donde reemplazando <math>m</math> y <math>n</math> obtenemos

: <math>\theta = \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)</math>.

Una vez hemos obtenido los valores de <math>m</math> y <math>\theta</math>, reemplazamos en '''(2)''':

: <math>z = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)\right)</math>.

Sin embargo, solo hemos hallado una raíz real de la ecuación cúbica reducida, por lo que se agrega <math>\frac{2k\pi}{3}</math> para <math>k=\{0,1,2\}</math> con el objetivo de hallar las otras dos raíces reales. Por tanto, las raíces toman la siguiente forma:

: <math>z_{k+1} = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)+\frac{2k\pi}{3}\right) \quad \text{para} \quad k=\{0,1,2\}.</math>

Por lo tanto, las tres raíces reales de la ecuación cúbica reducida son:

: <math>z_1 = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)\right) \quad \text{para} \quad k=0.</math>
: <math>z_2 = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)+\frac{2\pi}{3}\right) \quad \text{para} \quad k=1.</math>
: <math>z_3 = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)+\frac{4\pi}{3}\right) \quad \text{para} \quad k=2.</math>
}}

=== Solución hiperbólica para una raíz real ===

Cuando solo hay una raíz real (y {{math|''p'' ≠ 0}}), esta raíz se puede representar de manera similar usando una [[función hiperbólica]], como<ref>Estas son las Fórmulas (80) y (83) de Weisstein, Eric W. 'Cubic Formula'. Procedente de MathWorld-A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html, rewritten for having a coherent notation.</ref><ref>Holmes, G. C., "The use of hyperbolic cosines in solving cubic polynomials", ''[[Mathematical Gazette]]'' 86. November 2002, 473–477.</ref>
:<math>\begin{align}z_1&=-2\frac{|q|}{q}\sqrt{-\frac{p}{3}}\cosh\left(\frac{1}{3}\operatorname{arcosh}\left(\frac{-3|q|}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)\right) \quad \text{si } \quad 4p^3+27q^2>0 \text{ y } p<0\,,\\
z_1&=-2\sqrt{\frac{p}{3}}\sinh\left(\frac{1}{3}\operatorname{arsinh}\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{3}{p}}\right)\right) \quad \text{si } \quad p>0\,.\end{align}</math>

Si {{math|''p'' ≠ 0}} y las desigualdades de la derecha no se satisfacen (el caso de tres raíces reales), las fórmulas siguen siendo válidas pero implican cantidades complejas.

Cuando {{math|''p'' {{=}} ±3}}, los valores anteriores de {{math|''z''<sub>1</sub>}} a veces se denominan "raíces cúbicas de Chebyshev".<ref>Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'', Dover (1965), chap. 22 p. 773</ref> Más precisamente, los valores que involucran cosenos y cosenos hiperbólicos definen, cuando {{math|''p'' {{=}} −3}}, la misma [[función analítica]] denota {{math|''C''<sub>1/3</sub>(''q'')}}, que es la raíz cúbica de Chebyshev propia. El valor que involucra senos hiperbólicos se denota de manera similar a {{math|''S''<sub>1/3</sub>(''q'')}}, cuando {{math|''p'' {{=}} 3}}.

== Soluciones geométricas ==

=== Solución de Omar Jayam ===
[[Archivo:Omar Kayyám - Geometric solution to cubic equation.svg|miniatura|derecha|200px|La solución geométrica de Omar Jayam de una ecuación cúbica, para el caso {{math|''m'' {{=}} 2}}, {{math|''n'' {{=}} 16}}, dando la raíz {{math|2}}. La intersección de la línea vertical en el eje {{mvar|x}} en el centro del círculo es una propiedad casual del ejemplo ilustrado]]

Para resolver la ecuación cúbica {{math|''x''<sup>3</sup> + ''m''<sup>2</sup>''x'' {{=}} ''n''}} donde {{math|''n'' > 0}}, [[Omar Jayam]] construyó la parábola {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>2</sup>/''m''}}, el círculo que tiene como [[diámetro]] el [[segmento]] {{math|[0, ''n''/''m''<sup>2</sup>]}} en el eje {{mvar|x}} positivo, y una línea vertical a través del punto donde el círculo y la parábola se cruzan por encima del eje {{mvar|x}}. La solución viene dada por la longitud del segmento de línea horizontal desde el origen hasta la intersección de la línea vertical y el eje {{mvar|x}} (véase la figura).

Una prueba moderna simple es la siguiente: multiplicar la ecuación por {{mvar|x}} y reagrupar los términos, resulta
: <math>\frac{x^4}{m^2}= x\left(\frac{n}{m^2}-x\right).</math>
El lado izquierdo es el valor de {{math|''y''<sup>2</sup>}} en la parábola. La ecuación del círculo es {{math|''y''<sup>2</sup> + ''x''(''x'' − {{sfrac|''n''|''m''<sup>2</sup>}}) {{=}} 0}}, el lado derecho es el valor de {{math|''y''<sup>2</sup>}} en el círculo.

=== Solución con el ángulo trisector ===
Una ecuación cúbica con coeficientes reales se puede resolver geométricamente usando [[regla y compás]], y un [[trisección del ángulo|ángulo trisector]] si y solo si tiene tres raíces reales.<ref name="Gleason">{{cite journal|last=Gleason|first=Andrew Mattei|title=Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon |journal=The American Mathematical Monthly|date=March 1988|volume=95|issue=3 |pages=185–194|url=http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/1.pdf#3 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20151219180208/http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/7.pdf#3 |doi= 10.2307/2323624|archivedate=19 de diciembre de 2015|jstor=2323624}}</ref>{{rp|Thm. 1}}

Una ecuación cúbica se puede resolver mediante una construcción con regla y compás (sin trisector) si y solo si tiene una raíz [[Número racional|racional]]. Esto implica que los viejos problemas de la [[trisección del ángulo]] y de la [[duplicación del cubo]], establecidos por los [[Matemática helénica|antiguos matemáticos griegos]], no pueden resolverse mediante construcciones exclusivamente con regla y compás.

== Interpretación geométrica de las raíces ==

=== Tres raíces reales ===
[[Archivo:Trigonometric interpretation of a cubic equation with three real roots.svg|miniatura|derecha|150px|Para la ecuación cúbica con tres raíces reales '''({{EquationNote|1}})''', las raíces son la proyección sobre el eje {{mvar|x}} de los vértices {{mvar|A}}, {{mvar|B}} y {{mvar|C}} de un [[triángulo equilátero]]. El centro del triángulo tiene la misma [[abscisa]] que el [[punto de inflexión]]]]

La expresión trigonométrica de Viète de las raíces en el caso de las tres raíces reales se presta a una interpretación geométrica en términos de un círculo.<ref name=Nickalls/><ref>{{Citation
 |first= R. W. D.
 |last= Nickalls
 |date= November 1993
 |title= A new approach to solving the cubic: Cardan's solution revealed
 |url= http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/cubic1993.pdf
 |journal= The Mathematical Gazette
 |volume= 77
 |issue= 480
 |pages= 354-359
 |issn= 0025-5572
 |doi=10.2307/3619777
 |jstor= 3619777 }} See esp. Fig. 2.</ref> Cuando el polinomio de tercer grado se escribe de forma reducida '''({{EquationNote|2}})''', {{math|''z''<sup>3</sup> + ''pz'' + ''q'' {{=}} 0}}, como se muestra arriba, la solución se puede expresar como

:<math>z_{k+1}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)+\frac{2k\pi}{3}\right) \quad \text{para} \quad k=\{0,1,2\} \,.</math>

Aquí <math>\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)</math> es un ángulo en el círculo de radio uno; tomando una tercera parte de ese ángulo se determina una raíz cúbica de un número complejo; agregando {{math|{{math|+{{sfrac|2''k''&pi;|3}}}}}} para {{math|''k'' {{=}} 1, 2}} se localizan las otras raíces cúbicas; y multiplicando los cosenos de estos ángulos resultantes por <math>2\sqrt{-\frac{p}{3}}</math> se corrige la escala.

Para el caso no reducido '''({{EquationNote|1}})''' (que se muestra en el gráfico adjunto), el caso reducido como se indicó anteriormente se obtiene definiendo {{mvar|z}} de modo que {{math|''x'' {{=}} ''z'' − {{sfrac|''b''|3''a''}}}} y {{math|''z'' {{=}} ''x'' + {{sfrac|''b''|3''a''}}}}. Gráficamente esto corresponde simplemente a cambiar el gráfico horizontalmente al cambiar entre las variables {{mvar|z}} y {{mvar|x}}, sin cambiar las relaciones de los ángulos. Este cambio mueve el punto de inflexión y el centro del círculo al eje {{mvar|y}}. En consecuencia, las raíces de la ecuación en {{mvar|z}} suman cero.

=== Una sola raíz real ===

==== En el plano cartesiano ====
[[Archivo:Graphical interpretation of the complex roots of cubic equation.svg|miniatura|derecha|300px|La pendiente de la línea RA es el doble que la de RH. Denotando las raíces complejas de la cúbica como {{math|''g'' ± ''hi''}}, {{math|''g'' {{=}} {{overline|''OM''}}}} (negativo aquí) y {{mvar|h}} = {{math|{{sqrt|tan ''ORH''}}}} = {{math|{{sqrt|pendiente de la recta ''RH''}}}} = {{math|{{overline|''BE''}}}} = {{math|{{overline|''DA''}}}}]]

Cuando el gráfico de una [[Ecuación de tercer grado|función cúbica]] se traza en [[coordenadas cartesianas]], si solo hay una raíz real, entonces coincide con la [[abscisa]] (coordenada {{mvar|x}}) de la intersección del eje horizontal con la curva (punto R en la figura). Además,<ref>{{Citation 
|last=Henriquez |
|first=Garcia 
|title=The graphical interpretation of the complex roots of cubic equations 
|journal=[[American Mathematical Monthly]] 
|volume=42 
|issue=6 
|pages=383–384 
|date=June–July 1935 
|doi=10.2307/2301359 
|jstor=2301359 
}}</ref><ref>{{Citation 
|last=Barr 
|first=C. F.
|title= Discussions: Relating to the Graph of a Cubic Equation Having Complex Roots
|journal=[[American Mathematical Monthly]] 
|volume=25 
|issue=6 
|pages=268–269
|year=1918 
|doi= 10.2307/2972885
|jstor=2972885
}}</ref><ref>{{Citation 
|last1=Irwin 
|first1=Frank
|last2=Wright
|first2=H. N. 
|journal=Annals of Mathematics 
|volume=19 
|issue=2
|page=152–158 
|year=1917 
|doi= 10.2307/1967772 
|title=Some Properties of Polynomial Curves.
|jstor=1967772
}}</ref> si las raíces conjugadas complejas se escriben como {{math|''g'' ± ''hi''}}, entonces la parte real {{mvar|g}} del [[número complejo]] anterior es la abscisa del punto de tangencia H de la [[tangente (geometría)|tangente]] a la cúbica, que pasa a través de la intersección R del eje {{mvar|x}} con la cúbica (que es la longitud marcada como RM, negativa en la figura). Las [[número complejo|partes imaginarias]] {{mvar|±h}} son las raíces cuadradas de la tangente del ángulo entre esta línea tangente y el eje horizontal.

==== En el plano complejo ====

Con una raíz real y dos raíces complejas, las tres raíces se pueden representar como puntos en el plano complejo, al igual que las dos raíces de la derivada cúbica. Existe una interesante relación geométrica entre todas estas raíces.

Los puntos en el plano complejo que representan las tres raíces sirven como vértices de un [[triángulo isósceles]]. El triángulo es isósceles porque una raíz está en el eje horizontal (real) y las otras dos raíces, que son conjugados complejos, aparecen simétricamente arriba y debajo del eje real.

El [[teorema de Marden]] afirma que los puntos que representan las raíces de la derivada de la cúbica son los [[Foco (geometría)|focos]] de la [[inelipse de Steiner]] del triángulo, la única elipse que es tangente al triángulo en los puntos medios de sus lados. Si el ángulo en el vértice en el eje real es menor que {{math|{{sfrac|&pi;|3}}}}, entonces el eje principal de la elipse se encuentra en el eje real, al igual que sus focos y, por lo tanto, las raíces de la derivada. Si ese ángulo es mayor que {{math|{{sfrac|&pi;|3}}}}, el eje mayor es vertical y sus focos, las raíces de la derivada, son conjugados complejos. Y si ese ángulo es {{math|{{sfrac|&pi;|3}}}}, el triángulo es equilátero, la inelipse de Steiner es simplemente el [[incírculo]] del triángulo, sus focos coinciden entre sí en el incentro, que se encuentra en el eje real y, por lo tanto, la derivada tiene raíces reales duplicadas.

== Grupo de Galois ==

Dado un [[polinomio irreducible]] cúbico sobre un campo {{mvar|k}} de [[Característica (matemática)|característica]] diferente de 2 y 3, el [[Teoría de Galois|grupo de Galois]] sobre {{mvar|k}} es el grupo del [[automorfismo]] que fija {{mvar|k}} de la extensión más pequeña de {{mvar|k}} ([[cuerpo de descomposición]]). Como estos automorfismos deben permutar las raíces de los polinomios, este grupo es el grupo {{math|''S''<sub>3</sub>}} de las seis [[Permutación|permutaciones]] de las tres raíces o el grupo {{math|''A''<sub>3</sub>}} de las tres permutaciones circulares.

El discriminante {{math|Δ}} de la cúbica es el cuadrado de
: <math>\sqrt \Delta =a^2(r_1-r_2)(r_1-r_3)(r_2-r_3),</math>
donde {{mvar|a}} es el coeficiente principal de la cúbica, y {{math|''r''<sub>1</sub>}}, {{math|''r''<sub>2</sub>}} y {{math|''r''<sub>3</sub>}} son las tres raíces de la cúbica. A medida que <math>\sqrt \Delta</math> cambia de signo si se intercambian dos raíces, <math>\sqrt \Delta</math> es fijado por el grupo de Galois solo si el grupo de Galois es {{math|''A''<sub>3</sub>}}. En otras palabras, el grupo de Galois es {{math|''A''<sub>3</sub>}} si y solo si el discriminante es el cuadrado de un elemento de {{mvar|k}}.

Como la mayoría de los enteros no son cuadrados, cuando se trabaja sobre el campo {{math|'''Q'''}} de los [[número racional|números racionales]], el grupo de Galois de la mayoría de los polinomios cúbicos irreducibles es el grupo {{math|''S''<sub>3</sub>}} con seis elementos. {{math|''A''<sub>3</sub>}} da un ejemplo de un grupo {{math|''p''(''x'') {{=}} ''x''<sup>3</sup> − 3''x'' − 1}} de Galois con tres elementos, cuyo discriminante es {{math|81 {{=}} 9<sup>2</sup>}}.

== Recopilación de métodos para la obtención de las raíces ==
[[Archivo:Cardano.jpg|miniaturadeimagen|Ilustración de Cardano, uno de los principales investigadores de la resolución de ecuaciones de tercer grado.]]
En esta sección se reagrupan varios métodos para deducir la [[#Fórmula de Cardano|Fórmula de Cardano]]:

=== [[Método de Cardano]] ===
Este método se debe a [[Scipione del Ferro]] y [[Niccolò Fontana Tartaglia|Tartaglia]], pero lleva el nombre de [[Gerolamo Cardano]], quien lo publicó por primera vez en su libro [[Ars magna|''Ars Magna'']] (1545).

Se aplica a un polinomio cúbico reducido, del tipo {{math|''z''<sup>3</sup> + ''pz'' + ''q'' {{=}} 0}}. La idea es introducir dos variables {{mvar|u}} y {{mvar|v}} de modo que {{math|''z'' {{=}} ''u'' + ''v''}}. Al aplicar el cambio a la cúbica reducida, se obtiene
: <math>u^3 + v^3 + (3uv + p)(u+v)+ q= 0.</math>

En este punto, Cardano impuso la condición de que {{math|3''uv'' + ''p'' {{=}} 0}}. Esto elimina el tercer término en la igualdad previa, lo que lleva al sistema de ecuaciones
:<math>\begin{cases}u^3 + v^3 =-q \\ uv = -\frac p3\end{cases}</math>

Conociendo la suma y el producto de {{math|''u''<sup>3</sup>}} y {{math|''v''<sup>3</sup>}}, se deduce que son las dos soluciones de la [[ecuación de segundo grado]]
: <math> (z - u^3)(z - v^3) = 0 </math>
: <math> z^2 - (u^3 + v^3)z + u^3v^3 = 0 </math>
: <math> z^2 - (u^3 + v^3)z + (uv)^3 = 0.</math>
Por lo tanto,
: <math>z^2 + qz - \frac {p^3}{27} = 0.</math>
El discriminante de esta ecuación es <math>\Delta = q^2 + \frac{4p^3}{27}</math>, y suponiendo que sea positivo, las soluciones reales a estas ecuaciones son (después de la división por 4 debajo de la raíz cuadrada):
:<math>z_{1,2} = -\frac q2 \pm \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}</math>
Entonces (sin perder generalidad al elegir {{math|''u''}} o {{math|''v''}}):
: <math>u = \sqrt[3]{-\frac q2 + \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}}.</math>
: <math>v = \sqrt[3]{-\frac q2 - \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}}.</math>
Como {{math|''z'' {{=}} ''u'' + ''v''}}, la suma de las raíces cúbicas de estas soluciones es una raíz de la ecuación. Es decir
:<math>z=\sqrt[3]{-{q\over 2}+\sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} +\sqrt[3]{-{q\over 2}-\sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}</math>
es una raíz de la ecuación. Esta expresión es la fórmula de Cardano.

Funciona correctamente cuando <math>4p^3+27q^2 > 0,</math> pero si <math>4p^3+27q^2 < 0,</math> la raíz cuadrada que aparece en la fórmula no es real. Como un [[número complejo]] tiene tres raíces cúbicas, usar la fórmula de Cardano sin cuidado proporcionaría nueve raíces, mientras que una ecuación cúbica no puede tener más de tres raíces. Esto fue aclarado por [[Rafael Bombelli]] en su libro ''"L'Algebra"'' (1572). La solución es utilizar el hecho de que {{math|1=''uv'' = {{sfrac|–''p''|3}}}}, es decir {{math|1=''v'' = {{sfrac|–''p''|3''u''}}}}. Esto significa que solo se necesita calcular una raíz cúbica, y conduce a la segunda fórmula dada en el epígrafe dedicado a la [[fórmula de Cardano]].

Las otras raíces de la ecuación se pueden obtener cambiando la raíz cúbica o, de manera equivalente, multiplicando la raíz cúbica por cada una de las dos [[Raíz de la unidad|raíces cúbicas primitivas de la unidad]], que son <math>\frac {-1\pm\sqrt{3}i}2.</math>

==== Estrategia general del método ====

Dada la ecuación cúbica

: <math>ax^3 + bx^2 + cx + d = 0</math>

Se calculan las siguientes cantidades:

: <math>\begin{matrix} p=\cfrac{3ac-b^2}{3a^2}, & q=\cfrac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3} \\ \\
u = \sqrt[3]{ -\cfrac{q}{2} + \sqrt{\Delta} }, & v = \sqrt[3]{ -\cfrac{q}{2} - \sqrt{\Delta} }
\end{matrix}</math>

En ese caso las tres raíces se pueden escribir simplemente como:

: <math>\begin{cases} x_1 = u + v - \cfrac{b}{3a} \\
x_2 = \left[ -\cfrac{1}{2}(u+v) - \cfrac{b}{3a} \right] + \left[ \cfrac{\sqrt{3}}{2}(u-v) \right]i \\
x_3 = \left[ -\cfrac{1}{2}(u+v) - \cfrac{b}{3a} \right] - \left[ \cfrac{\sqrt{3}}{2}(u-v) \right]i  
\end{cases}</math>

Al ser el discriminante <math>\Delta = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} </math> se tiene:
:a) Una de las raíces es real y dos de ellas son complejas si <math>\Delta > 0</math>.
:b) Todas las raíces son reales y al menos dos son iguales si <math>\Delta = 0</math>.
:c) Todas las raíces son reales y distintas si <math>\Delta < 0</math>.

En este último caso el cálculo de las raíces se simplifica un poco si se reescriben las soluciones mediante fórmulas trigonométricas:

: <math>\begin{cases} x_1 = 2\sqrt{-\frac{p}{3}} \cos\left(\frac{\theta}{3}\right) - \cfrac{b}{3a} \\
x_2 = 2\sqrt{-\frac{p}{3}} \cos\left(\frac{\theta+2\pi}{3}\right) - \cfrac{b}{3a} \\
x_3 = 2\sqrt{-\frac{p}{3}} \cos\left(\frac{\theta+4\pi}{3}\right) - \cfrac{b}{3a}
\end{cases}</math>

donde

:<math>\theta = \arccos{\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)}</math>

=== Sustitución de Viète ===
La sustitución de Viète es un método introducido por [[François Viète]] en un texto publicado póstumamente en 1615, que proporciona directamente la segunda fórmula del método de Cardano y evita el problema de calcular dos raíces cúbicas diferentes.<ref>{{Citation|last = van der Waerden|first = Bartel Leenert|author-link = Bartel Leendert van der Waerden|title = A History of Algebra: From al-Khwārizmī to Emmy Noether|publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|year = 1985|chapter = From Viète to Descartes|isbn = 3-540-13610-X}}</ref>

A partir de la cúbica reducida {{math|''z''<sup>3</sup> + ''pz'' + ''q'' {{=}} 0}}, la sustitución de Vieta consiste en hacer la sustitución {{math|''z'' {{=}} ''w'' – {{sfrac|''p''|3''w''}}}}.<ref>Más precisamente, Vieta introdujo una nueva variable {{mvar|w}} e impuso la condición de que {{math|''w''(''t'' + ''w'') {{=}} {{sfrac|''p''|3}}}}. Esto es equivalente a la sustitución {{math|''t'' {{=}} {{sfrac|''p''|3''w''}} – ''w''}}, y difiere de la sustitución usada aquí solo por el cambio de signo de {{mvar|w}}, que permite obtener directamente las fórmulas de Cardano.</ref>

La sustitución {{math|''z'' {{=}} ''w'' – {{sfrac|''p''|3''w''}}}} transforma la cúbica reducida en
: <math>w^3+q-\frac{p^3}{27w^3}=0.</math>

Multiplicando por {{math|''w''<sup>3</sup>}}, se obtiene una ecuación cuadrática en {{mvar|w<sup>3</sup>}}:
: <math>(w^3)^2+q(w^3)-\frac{p^3}{27}=0.</math>

pudiendo ser
:<math>w^3 =-\frac q 2\pm\sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}</math>
cualquier raíz distinta de cero de esta ecuación cuadrática. Si {{math|''w''<sub>1</sub>}}, {{math|''w''<sub>2</sub>}} y {{math|''w''<sub>3</sub>}} son las tres [[raíz cúbica|raíces cúbicas]] de {{mvar|w}}, entonces las raíces de la cúbica reducida original son {{math|''w''<sub>1</sub> − {{sfrac|''p''|3''w''<sub>1</sub>}}}}, {{math|''w''<sub>2</sub> − {{sfrac|''p''|3''w''<sub>2</sub>}}}} y {{math|''w''<sub>3</sub> − {{sfrac|''p''|3''w''<sub>3</sub>}}}}. La otra raíz de la ecuación cuadrática es <math>\textstyle -\frac {p^3}{27w^3}.</math> Esto implica que cambiar el signo de la raíz cuadrada intercambia {{math|''w''<sub>''n''</sub>}} y {{math|− {{sfrac|''p''|3''w''<sub>''n''</sub>}}}} por {{math|1=''n'' = 1, 2, 3}}, y por lo tanto no cambia las raíces. Este método solo falla cuando ambas raíces de la ecuación cuadrática son cero, es decir, cuando {{math|''p'' {{=}} ''q'' {{=}} 0}}, en cuyo caso la única raíz de la cúbica reducida es {{math|0}}.

=== Método de Lagrange ===
En su artículo ''"Réflexions sur la résolution algébrique des équations" (Reflexiones sobre la resolución algebraica de ecuaciones)'', el matemático italiano<ref>{{Citation|last = Lagrange|first = Joseph-Louis|author-link = Joseph Louis Lagrange|chapter = Réflexions sur la résolution algébrique des équations|title = Œuvres de Lagrange|editor-last = Serret|editor-first = Joseph-Alfred|editor-link = Joseph Alfred Serret|year = 1869|origyear = 1771|publisher = Gauthier-Villars|pages = 205–421|volume = III}}</ref> [[Joseph-Louis Lagrange]] introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones de grado bajo de manera uniforme, con la esperanza de que pudiera generalizarse para grados más altos. Este método funciona bien para ecuaciones cúbicas y [[ecuación de cuarto grado|cuárticas]], pero Lagrange no logró aplicarlo a la [[ecuación de quinto grado]], porque requiere abordar un polinomio resolutivo de al menos de sexto grado.<ref name="efei">{{citation
|title=Elliptic functions and elliptic integrals
|first1=Viktor
|last1=Prasolov
|first2=Yuri
|last2=Solovyev
|publisher=AMS Bookstore
|year=1997
|isbn=978-0-8218-0587-9
|url=https://books.google.com/?id=fcp9IiZd3tQC
}}, [https://books.google.com/?id=fcp9IiZd3tQC&pg=PA134#PPA134,M1 §6.2, p. 134]</ref><ref>{{citation
|first=Morris
|last=Kline
|title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times
|publisher=Oxford University Press US
|year=1990
|isbn=978-0-19-506136-9
|url=https://books.google.com/?id=aO-v3gvY-I8C
}}, [https://books.google.com/?id=aO-v3gvY-I8C&printsec=frontcover#PPA597,M1 Algebra in the Eighteenth Century: The Theory of Equations]</ref><ref name="laz">Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", in [[Olav Arnfinn Laudal]], [[Ragni Piene]], ''The Legacy of Niels Henrik Abel'', pp.&nbsp;207–225, Berlin, 2004. {{ISBN|3-540-43826-2}}</ref> Excepto que nadie había logrado resolver el problema antes, esta fue la primera indicación de la inexistencia de fórmulas algebraicas para grados quinto y superiores. Esto se demostró más tarde y se denominó [[Teorema de Abel-Ruffini]]. Sin embargo, los métodos modernos para resolver ecuaciones quínticas solucionables se basan principalmente en el método de Lagrange.<ref name="laz" />

En el caso de las ecuaciones cúbicas, el método de Lagrange ofrece la misma solución que el de Cardano. El método de Lagrange se puede aplicar directamente a la ecuación cúbica general {{math|''ax''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d'' {{=}} 0}}, pero el cálculo es más simple con la ecuación cúbica reducida, {{math|''z''<sup>3</sup> + ''pz'' + ''q'' {{=}} 0}}.

La idea principal de Lagrange era trabajar con la [[transformada de Fourier discreta]] de las raíces en lugar de con las raíces mismas. Más precisamente, sea {{mvar|ξ}} una [[Raíz de la unidad|raíz cúbica primitiva de la unidad]], que es un número tal que {{math|''ξ''<sup>3</sup> {{=}} 1}} y {{math|''ξ''<sup>2</sup> + ''ξ'' + 1 {{=}} 0}} (cuando se trabaja en el espacio de los [[número complejo|números complejos]], se tiene que <math>\textstyle \xi=\frac{-1\pm \sqrt{3} i}2=e^{i \frac{2\pi}{3}},</math> pero esta interpretación compleja no se usa aquí). Denotando {{math|''x''<sub>0</sub>}}, {{math|''x''<sub>1</sub>}} y {{math|''x''<sub>2</sub>}} las tres raíces de la ecuación cúbica a resolver, sea entonces
: <math>\begin{align}
s_0 &= x_0 + x_1 + x_2,\\
s_1 &= x_0 + \xi x_1 + \xi^2 x_2,\\
s_2 &= x_0 + \xi^2 x_1 + \xi x_2,
\end{align}</math>
la transformada discreta de Fourier de las raíces. Si se conocen {{math|''s''<sub>0</sub>}}, {{math|''s''<sub>1</sub>}} y {{math|''s''<sub>2</sub>}}, las raíces pueden recuperarse de ellos con la transformada inversa de Fourier, que consiste en invertir esta [[Aplicación lineal|transformación lineal]]; es decir,
: <math>\begin{align}
x_0 &= \tfrac13(s_0 + s_1 + s_2),\\
x_1 &= \tfrac13(s_0 + \xi^2 s_1 + \xi s_2),\\
x_2 &= \tfrac13(s_0 + \xi s_1 + \xi ^2 s_2).
\end{align}</math>

Por las [[relaciones de Cardano-Vieta]], se sabe que {{math|''s''<sub>0</sub>}} es cero en el caso de una cúbica reducida, y {{math|−{{sfrac|''b''|''a''}}}} para una cúbica general. Entonces, solo {{math|''s''<sub>1</sub>}} y {{math|''s''<sub>2</sub>}} necesitan ser calculados. No son [[Polinomio simétrico|funciones simétricas]] de las raíces (intercambiando {{math|''x''<sub>1</sub>}} y {{math|''x''<sub>2</sub>}} así como {{math|''s''<sub>1</sub>}} y {{math|''s''<sub>2</sub>}}), pero algunas funciones simétricas simples de {{math|''s''<sub>1</sub>}} y {{math|''s''<sub>2</sub>}} también son simétricas en las raíces de la ecuación cúbica a resolver. Por lo tanto, estas funciones simétricas se pueden expresar en términos de los coeficientes (conocidos) de la cúbica original, y esto finalmente permite expresar {{mvar|s<sub>k</sub>}} como raíces de un polinomio con coeficientes conocidos.

En el caso de una ecuación cúbica, {{math|1=''P''=''s''<sub>1</sub>''s''<sub>2</sub>}} y {{math|1=''S''=''s''<sub>1</sub><sup>3</sup> + ''s''<sub>2</sub><sup>3</sup>}} son polinomios simétricos (véase más adelante). Se deduce que {{math|''s''<sub>1</sub><sup>3</sup>}} y {{math|''s''<sub>2</sub><sup>3</sup>}} son las dos raíces de la ecuación cuadrática {{math|''z''<sup>2</sup> − ''Sz'' + ''P''<sup>3</sup> {{=}} 0}}. Por lo tanto, la resolución de la ecuación se puede determinar exactamente como con el método de Cardano, con {{math|''s''<sub>1</sub>}} y {{math|''s''<sub>2</sub>}} en lugar de {{mvar|u}} y {{mvar|v}}.

En el caso de una cúbica reducida, se tiene que {{math|''x''<sub>0</sub> {{=}} {{sfrac|1|3}}(''s''<sub>1</sub> + ''s''<sub>2</sub>)}} y {{math|''s''<sub>1</sub>''s''<sub>2</sub> {{=}} −3''p''}}, mientras que en el método de Cardano se ha establecido que {{math|''x''<sub>0</sub> {{=}} ''u'' + ''v''}} y {{math|''uv'' {{=}} −{{sfrac|1|3}}''p''}}. Así se tiene que, hasta el intercambio de {{mvar|u}} y {{mvar|v}}, {{math|''s''<sub>1</sub> {{=}} 3''u''}} y {{math|''s''<sub>2</sub> {{=}} 3''v''}}. En otras palabras, en este caso, el método de Cardano y el método de Lagrange calculan exactamente las mismas cosas, hasta un factor de tres en las variables auxiliares. La diferencia principal es que el método de Lagrange explica por qué estas variables auxiliares aparecen en el problema.

==== Cálculo de {{mvar|P}} y {{mvar|S}} ====
Se llega a un cálculo sencillo utilizando las relaciones {{math|''ξ''<sup>3</sup> {{=}} 1}} y {{math|''ξ''<sup>2</sup> + ''ξ'' + 1 {{=}} 0}} da
: <math>\begin{align}
P&=s_1s_2=x_0^2+x_1^2+x_2^2-(x_0x_1+x_1x_2+x_2x_0),\\
S&=s_1^3+s_2^3=2(x_0^3+x_1^3+x_2^3)-3(x_0^2x_1+x_1^2x_2+x_2^2x_0+x_0x_1^2+x_1x_2^2+x_2x_0^2)+12x_0x_1x_2.
\end{align}</math>
Esto demuestra que {{mvar|P}} y {{mvar|S}} son funciones simétricas de las raíces. Usando las [[identidades de Newton]], es sencillo expresarlos en términos de [[polinomio simétrico elemental|funciones elementales simétricas]] de las raíces, dando
: <math>\begin{align}
P&=e_1^2-3e_2,\\
S&=2e_1^3-9e_1e_2+27e_3,
\end{align}</math>
con {{math|''e''<sub>1</sub> {{=}} 0}}, {{math|''e''<sub>2</sub> {{=}} ''p''}} y {{math|''e''<sub>3</sub> {{=}} −''q''}} en el caso de una cúbica reducida, y {{math|''e''<sub>1</sub> {{=}} −{{sfrac|''b''|''a''}}}}, {{math|''e''<sub>2</sub> {{=}} {{sfrac|''c''|''a''}}}} y {{math|''e''<sub>3</sub> {{=}} −{{sfrac|''d''|''a''}}}}, en el caso general.

== Ejemplos ==

=== Ejemplo 1 ===
Sea la ecuación cúbica <math> 2t^3 + 6t^2 + 12t + 10 = 0 \,</math>, se procederá a [[resolución de ecuaciones|resolverla]], para ello, se siguen los siguientes pasos.

1) Se divide la ecuación entre 2:

: <math>t^3 + 3t^2 + 6t + 5 = 0 \,</math>.

2) Con <math>t = x-1</math>, es decir <math>x = t+1</math>, reemplazando:

: <math>(x - 1)^3 + 3(x - 1)^2 + 6(x - 1) + 5 = 0 \,</math>.

3) Desarrollando, se obtiene la ecuación en forma reducida

<math>x^3 + 3x + 1 = 0 \,</math>.

4) Se procede a calcular <math>x=u+v</math>, estableciendo las siguientes sustituciones:

<math>U=u^3, V=v^3</math>.

5) Se impone <math>U+V=-1</math>  y <math>UV=-1</math>. <math>U</math> y <math>V</math> son las raíces de la ecuación

<math>x^2+x-1=0</math>.

6) Se despeja <math>U</math>, <math>V</math> y <math>t</math>.

:<math>U = \frac {-1 - \sqrt {5}} {2} \,</math> y <math>V = \frac {-1 + \sqrt {5}} {2} \,</math>

7) Deshacemos la sustitución y se soluciona para <math>u</math> y <math>v</math>:

<math>u = \sqrt[3]{\frac {-1 + \sqrt {5}} {2}} \,</math> y <math>v = \sqrt[3]{\frac {-1 - \sqrt {5}} {2}} \,</math>.

Por lo tanto, la única solución real de <math>t^3 + 3t^2 + 6t + 5 = 0 \,</math> es:

: <math>t = x-1 = u+v-1 = \sqrt[3]{\frac {-1 + \sqrt {5}} {2}} + \sqrt[3]{\frac {-1 - \sqrt {5}} {2}} - 1 \approx -1,3221853546</math>.

=== Ejemplo 2 ===
Este ejemplo es histórico porque fue el que tomó [[Rafael Bombelli]] quien fue, con [[Gerolamo Cardano|Cardano]], el primero en resolver ecuaciones del tercer y cuarto grado por el [[método de Cardano|método ya expuesto]] (en la [[Italia]] del renacimiento, en pleno {{siglo|XVI||s}}).

La ecuación dada es <math>x^3-15x=4</math>.

Estudiando la [[función matemática|función]] <math>f(x)=x^3-15x-4</math> o calculando el discriminante <math>\Delta = 13068 > 0</math>, se puede comprobar que esta ecuación tiene tres raíces reales. Por lo tanto debería ser más fácil que en el primer ejemplo encontrar una.

Puesto que está en forma reducida se sustituye <math>x = u+v</math>, <math>U=u^3</math>, <math>V=v^3</math>.

: <math>U+V=4</math> y <math>UV = 125</math>.

Por tanto, <math>U</math> y <math>V</math> son las raíces de <math>x^2-4x+125=0</math>, ecuación de segundo grado cuyo discriminante es negativo. Por lo tanto no tiene raíces reales. Este método nos permite encontrar las raíces, todas reales, pasando de forma forzada por los [[número complejo|números complejos]].

Esta constatación fue un argumento a favor de los números complejos: son herramientas imprescindibles para resolver ecuaciones, aunque sólo tengan soluciones reales.

Se determinan <math>U=2+11i</math>  y <math>V=2-11i</math>. La extracción de [[raíz cubica|raíces cúbicas]] en los complejos no es lo mismo que en los reales. Hay dos métodos: uno ''geométrico'', que utiliza el argumento y el módulo (se divide el argumento por tres, y se toma la raíz cúbica del módulo), y otro ''algebraico'', que emplea las partes real e imaginaria:

Se escribe <math>U = a+bi</math>. Entonces, <math>u^3=2+11i</math> equivale al sistema:

: <math>a^3-3a^2b = 2 \quad \text{(parte real)}</math> 
: <math>3ab^2-b^3 = 11 \quad \text{(parte imaginaria)}</math> 
: <math>a^2 + b^2 = 5 \quad \text{(módulo)}</math> 

Se obtiene <math>a=2</math> y <math>b=-1</math>, o sea <math>u=2+i</math>, y <math>v=2-i</math>.

En conclusión, <math>x_1 = u+v = (2+i)+(2-i) = 4</math>, lo que se verifica de inmediato.

Las otras raíces son:

: <math>x_2 = \omega(2+i) + \omega^2 (2-i) = -2+\sqrt{3}</math>

y

: <math>x_3 = \omega^2 (2+i) + \omega(2-i) = -2-\sqrt{3}</math>,

donde <math>\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}</math> y <math>\omega^2 = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}</math>.

Cuando <math>\Delta</math> es negativo, <math>U</math> y <math>V</math> son conjugados, y por lo tanto también lo son <math>U</math> y <math>V</math> (con tal de escoger bien la raíz cúbica, recordando que <math>uv=-\frac{p}{3}</math>); así se tiene la seguridad de obtener una raíz real, y de hecho también las otras dos raíces reales.

'''Nota''': Toda ecuación cúbica completa tiene otra equivalente incompleta o completa condicionada (familia de cúbicas), que se puede observar mediante el cambio de variable <math>x=z+k</math>. En consecuencia, es posible encontrar otra [https://es.m.wikiversity.org/wiki/F%C3%B3rmula_general_(matem%C3%A1ticas) fórmula general] para las ecuaciones cúbicas, diferente a las fórmulas de [[Gerolamo Cardano|Cardano]] o de [[Tartaglia]].

=== Ejemplo 3: Hoja de cálculo ===
Las fórmulas utilizadas en la tabla siguiente proceden del libro de [[Julio Rey Pastor]] titulado "[[Análisis matemático|Análisis Matemático]]",<ref>{{cita libro|apellidos1=Julio Rey Pastor; Pedro Pi Calleja y César A. Trejo|título=Análisis Matemático|editorial=Kapelusz|ubicación=Buenos Aires|isbn=950-13-3301-9|páginas=259-262|edición=Octava, 1974|fechaacceso=6 de enero de 2020}},</ref> en el que se desarrollan las expresiones utilizadas en el código de la tabla con todo detalle:

{| class= "wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
|-
!A(x3)||B(x2)||C(x)||D||R1||R2||R3||B1||C1||D1||P||Q||DISCRIM||MODULO||COSENO||ALFA||U||V||X||Y||T||W
|-
|A||B||C||D||=SI(M2=0;2*Q2-H2/3;SI(M2<0; (2*(N2^(1/3))*COS(P2/3)-H2/3);(+Q2+R2)-H2/3))||=SI(M2=0;-Q2-H2/3;SI(M2<0;2*(N2^(1/3))*COS(P2/3+2*PI()/3)-H2/3;TEXTO(-(Q2/2+R2/2+H2/3);"0,000")&TEXTO((RAIZ(3)/2*(Q2-R2));"+0,000i;-0,000i")))||=SI(M2=0;-Q2-H2/3;SI(M2<0;2*(N2^(1/3))*COS(P2/3+4*PI()/3)-H2/3;TEXTO(-(Q2/2+R2/2+H2/3);"0,000")&TEXTO(-(RAIZ(3)/2*(Q2-R2));"+0,000i;-0,000i")))||=+B2/A2||=+C2/A2||=+D2/A2||=+I2-H2*H2/3||=+H2*H2*H2*2/27-I2*H2/3+J2||=+L2*L2/4+K2^3/27||=RAIZ(+K2^3/-27)||=-L2/2/N2||=ACOS(O2)||=(RAIZ(M2)-L2/2)^(1/3)||=(-RAIZ(M2)-L2/2)^(1/3)||1||=+S2^3+S2^2*H2+S2*I2+J2||=+S2+H2/3||=+U2^3+U2*K2+L2
|}

* Las fórmulas contenidas en esta tabla, una vez copiado y pegado su contenido con el cursor sobre la celda <code>A1</code> de una [[Microsoft Excel|hoja de Excel]] en blanco (versión en español), permiten calcular automáticamente las tres raíces de una ecuación cúbica (tanto reales como imaginarias), simplemente introduciendo en las cuatro primeras celdillas de la segunda fila de la hoja Excel los coeficientes numéricos A, B, C y D de la ecuación cuyas raíces se quieren calcular: 
:<math>Ax^3+Bx^2+Cx+D=0</math>
* Los valores de las tres raíces buscadas ('''R1''', '''R2''' y '''R3'''), aparecen automáticamente en las tres celdillas correspondientes de la [[hoja de cálculo]]. 
* Para hacer operativo el código, debe desplegarse primero la tabla adjunta para hacerla visible, y tener cuidado en seleccionar '''TODA LA TABLA''' antes de pegar su contenido en la hoja Excel (de no ser así, solo se traspasa su contenido como texto, y las fórmulas no funcionan). Dado que las fórmulas empleadas utilizan funciones trigonométricas e hiperbólicas, en algunos casos los resultados obtenidos pueden presentar ciertos errores de redondeo.

== Aplicaciones ==
Las ecuaciones cúbicas surgen en varios otros contextos.

=== En matemática ===
* La [[trisección del ángulo]] y la [[duplicación del cubo]] son dos problemas antiguos de [[geometría]] que no se pueden resolver sólo con [[regla y compás]], porque son equivalentes a resolver una ecuación cúbica.
* El [[teorema de Marden]] establece que los [[Foco (geometría)|focos]] de la [[inelipse de Steiner]] de cualquier triángulo se puede encontrar usando la función cúbica cuyas raíces son las coordenadas en el [[plano complejo]] de los tres vértices del triángulo. Las raíces de la [[derivada]] de esta ecuación cúbica son las coordenadas complejas de estos focos.
* El [[área]] de un [[heptágono]] regular se puede expresar en términos de las raíces de una ecuación cúbica. Además, las proporciones de la diagonal larga respecto al lado, del lado respecto a la diagonal corta y el negativo de la diagonal corta respecto a la diagonal larga satisfacen una ecuación cúbica particular. Por otro lado, la relación del [[circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo|inradio]] respecto al [[circunferencia circunscrita|circunradio]] de un [[triángulo heptagonal]] es una de las soluciones de la ecuación cúbica. Los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos relacionados con <math>2\pi/7</math> satisfacen las ecuaciones cúbicas.
* Dado el coseno (u otra función trigonométrica) de un ángulo arbitrario, el coseno del [[Trisección del ángulo|tercio del ángulo]] es una de las raíces de una ecuación cúbica.
* La solución de la [[ecuación de cuarto grado]] general se basa en la solución de su [[cúbica resolvente]].
* Los [[vector propio y valor propio|valores propios]] de una [[Matriz (matemáticas)|matriz]] de 3×3 son las raíces de un polinomio cúbico que es el [[polinomio característico]] de la matriz.
* La [[ecuación característica (cálculo)|ecuación característica]] de una [[ecuación diferencial lineal]] de tercer orden con coeficientes constantes o [[relación de recurrencia]] es una ecuación cúbica.
* Los puntos de intersección de una [[curva de Bézier]] cúbica y de una línea recta se pueden calcular utilizando la ecuación cúbica directa que representa la curva de Bézier.

=== En otras ciencias ===
* En [[química analítica]], la [[ecuación de Charlot]], que se puede usar para encontrar el pH de un [[tampón químico]], se puede resolver usando una ecuación cúbica.
* En [[ingeniería química]] y [[termodinámica]], las [[Ecuación de estado|ecuaciones de estado]] (que relacionan la presión, el volumen y la temperatura de una sustancia) utilizan ecuaciones cúbicas (ejemplo: la [[Ecuación de Van der Waals|ecuación de Van Der Walls]]).
* Las [[Cinemática|ecuaciones cinemáticas]] que implican [[sobreaceleración]] son cúbicas.
* La velocidad de las ondas sísmicas de Rayleigh es una solución de la ecuación cúbica de la [[onda de Rayleigh]].

== Véase también ==
* [[Ecuación]]
* [[Sistema de ecuaciones]]
* [[Curva elíptica]]

* [[Ecuación de primer grado]]
* [[Ecuación de segundo grado]]

* [[Ecuación de cuarto grado]]
* [[Ecuación de quinto grado]]
* [[Ecuación de sexto grado]]
* [[Ecuación de séptimo grado]]
* [[Ecuación de octavo grado]]

== Referencias ==
{{listaref|2}}

== Enlaces externos ==
{{commons category|Cubic polynomials}}
{{Wikibooks|nombre=Matemáticas/Álgebra/Ecuaciones/Ecuaciones de tercer grado|etiqueta=Ecuaciones de tercer grado}}
*Julio Barreto. (2023). Completación de cuadrados y cubos en la deducción geométrica-algebraica de la ecuación de tercer grado.Revista Unión. https://union.fespm.es/index.php/UNION/article/view/1543/1197
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=a+x^3+%2B+b+x^2+%2B+c+x+%2B+d+%3D+0 Fórmulas de las soluciones de la ecuación ax³+bx²+cx+d=0] en [http://www.wolframalpha.com wolframalpha]
* [http://ucientifico.ucoz.es/forum/15-236-1 Cálculo de soluciones de ecuación cúbica ax³+bx²+cx+d=0]
* [http://investigaciones.uniatlantico.edu.co/revistas/index.php/MATUA/article/view/2132 OTRAS SOLUCIONES ALGEBRAICAS A LAS ECUACIONES POLINÓMICAS DE TERCER Y CUARTO GRADO (Luis Alberto Ramírez-Castellanos)]

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[[Categoría:Álgebra elemental]]
[[Categoría:Ecuaciones algebraicas|Ecuación de 3º grado]]