Ver el código de «Ecuación del calor»

[[Archivo:Heat eqn.gif|derecha|La ecuación del calor predice que si un cuerpo a una temperatura T se sumerge en una caja con agua a menor temperatura, la temperatura del cuerpo disminuirá, y finalmente (teóricamente después de un tiempo finito, y siempre que no existan fuentes de calor externas) la temperatura del cuerpo y la del agua serán iguales (estarán en equilibrio térmico).]]
La '''ecuación del calor''' es una importante [[ecuación diferencial]] en [[ecuación diferencial en derivadas parciales|derivadas parciales]] del tipo [[Ecuación parabólica en derivadas parciales|parabólica]] que describe la [[Teoría de distribuciones|distribución]] del [[calor]] (o variaciones de la [[temperatura]]) en una región a lo largo del transcurso del tiempo. 

==Definición==
Para el caso de una [[Función matemática|función]] de tres variables <math>(x,y,z) \in \R^3</math> y de la variable temporal <math>t</math>, el enunciado clásico es<ref>{{Harvsp|Ibarra|2012|p=3}}</ref> para el caso en que no existe una fuente de energía

:<math>\frac{\partial T}{\partial t} -\alpha\left(\frac{\partial^2T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2T}{\partial z^2}\right)=0</math>

donde <math>\alpha</math> es la [[difusividad térmica]], que es una propiedad del material.

En forma general, para utilizar en cualquier [[sistema de coordenadas]], la ecuación es:

{{Caja de ecuación
|ecuación=<math>\frac{\partial u}{\partial t} - \alpha \nabla^2 u=0 </math>
|sangría=:
|color de borde = #50C878
|color de fondo=#ECFCF4}}

donde <math>\alpha</math> es una constante positiva, y  <math>\nabla^2</math> es el [[operador de Laplace]]. En el problema físico de variación de temperatura, <math>u(x,y,z,t)</math> es la temperatura y <math>\alpha</math> es la [[difusividad térmica]].  En tratados matemáticos es común considerar el caso en que <math>\alpha=1</math>.

Considerando la [[ecuación de estado]], de la [[primera ley de la termodinámica]] (es decir, la conservación de la energía), se escribe de la siguiente forma (asumiendo que no hay [[transferencia de masa]], o fuentes de radiación, pero si una fuente de energía <math>Q</math>). Esta forma es más general y particularmente útil para analizar cómo las diversas propiedades (<math>c_p</math> o <math>\rho</math>) influyen sobre cada término.

<math>\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} - \nabla \cdot \left( k \nabla T \right) = Q </math>

La ecuación del calor es de una importancia fundamental en numerosos y diversos campos de la ciencia. En el ámbito de las [[matemáticas]], son las [[Ecuación parabólica en derivadas parciales|ecuaciones parabólicas en derivadas parciales]] por antonomasia. En el campo de la [[estadística]], la ecuación del calor está vinculada con el estudio del [[movimiento browniano]] a través de la [[Ecuación de Fokker-Planck|ecuación de Fokker–Planck]]. La [[ecuación de difusión]], es una versión más general de la ecuación del calor, y se relaciona principalmente con el estudio de procesos de difusión química.

== El problema físico y la ecuación ==

===Caso unidimensional===

La ecuación de calor se obtiene a partir de la [[Conducción de calor#Ley de Fourier|ley de Fourier]] y del principio de [[conservación de la energía]].<ref>{{harvsp|Cannon|1984}}</ref>  
Según la ley de Fourier, la razón de cambio del flujo de energía calórica por unidad de área a través de una superficie es proporcional al [[gradiente]] de temperatura negativo en la superficie,

:<math>\mathbf{q} = - k \, \nabla u \ </math>

donde <math>k</math> es la [[conductividad térmica]] y <math>u</math> es la temperatura.  En una dimensión, el gradiente es una derivada espacial ordinaria, y así la ley de Fourier es,

:<math>q = -k \frac{\partial u}{\partial x} \,</math>

En ausencia de trabajo realizado, un cambio en la [[energía interna]] por unidad de volumen en el material, <math>\Delta Q</math>, es proporcional al cambio de la temperatura, <math>\Delta u</math> (en esta sección, <math>\Delta</math> es el [[Diferencia finita|operador de diferencia]] ordinario, no el Laplaciano). Entonces,

:<math>\Delta Q = c_p\rho \, \Delta u \,</math>

donde <math>c_p</math> es la [[Capacidad calorífica|capacidad calórica específica]] y <math>\rho</math> es la densidad de masa del material. Definiendo que la energía es nula cuando la temperatura es el [[cero absoluto]], se puede reescribir como:

<math>Q = c_p\rho u. \,</math>

El incremento en energía interna en una pequeña región espacial del material

:<math>x-\Delta x \le \xi \le x+\Delta x</math>

sobre un lapso de tiempo

:<math>t-\Delta t\le \tau \le t+\Delta t</math>

está dado por<ref group="n.">Se asume que el material tiene una  densidad de masa y capacidad calórica constante, tanto en el espacio como en el tiempo, aunque las generalizaciones se dan después.</ref>

:<math>c_p\rho \int_{x-\Delta x}^{x+\Delta x} [u(\xi,t+\Delta t)-u(\xi,t-\Delta t)]\, d\xi = c_p\rho\int_{t-\Delta t}^{t+\Delta t}\int_{x-\Delta x}^{x+\Delta x} \frac{\partial u}{\partial\tau}\,d\xi \, d\tau</math>

donde se utilizó el [[teorema fundamental del cálculo]].  Si no hay trabajo realizado, y no hay fuentes de calor, el cambio en la energía interna en el intervalo <math>[x-\Delta x,x+\Delta x]</math> queda completamente definido por el flujo de calor que atraviesa los contornos. Según la ley de Fourier, esto es

:<math>k\int_{t-\Delta t}^{t+\Delta t}\left[\frac{\partial u}{\partial x}(x+\Delta x,\tau)-\frac{\partial u}{\partial x}(x-\Delta x,\tau)\right]\,d\tau = k\int_{t-\Delta t}^{t+\Delta t}\int_{x-\Delta x}^{x+\Delta x}\frac{\partial^2u}{\partial\xi^2}\,d\xi\, d\tau</math>

otra vez por el teorema fundamental del cálculo.<ref group="n.">En dimensiones mayores, se utiliza en su lugar el [[teorema de la divergencia]].</ref>  Aplicando [[conservación de la energía]],

:<math>\int_{t-\Delta t}^{t+\Delta t}\int_{x-\Delta x}^{x+\Delta x} [c_p\rho u_\tau - k u_{\xi\xi}]\, d\xi \, d\tau = 0.</math>

Esto es verdadero para cualquier región rectangular <math>[t-\Delta t,t+\Delta t] \times [x-\Delta x,x+\Delta x]</math>.  Por el lema fundamental del [[Cálculo de variaciones|cálculo variacional]], el integrando debe desvanecer a:

:<math>c_p\rho u_t - k u_{xx} = 0. \,\!</math>

El cual puede reescribirse como:

:<math>u_t = \frac{k}{c_p\rho}u_{xx},</math>

o:

:<math>\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{k}{c_p\rho} \left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right) </math>

el cual es la ecuación del calor, donde el coeficiente (comúnmente denominado α)

:<math>\alpha = \frac{k}{c_p\rho}\,\!</math>

se conoce como la [[difusividad térmica]].

Se puede agregar un término más a la ecuación para tener en cuenta las pérdidas de calor por [[radiación]], fenómeno que depende del exceso de temperatura <math>u=T-T_s</math> en algún punto dado comparado con el entorno. Cuando el exceso de temperatura es relativamente pequeño, la pérdida por radiación es aproximadamente μ''u'', donde resulta la ecuación de transferencia de calor unidimensional de la forma

:<math>\frac{\partial u}{\partial t}= \frac{k}{c_p\rho} \left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right)-\mu u. </math>

Sin embargo, cuando hay exceso de temperatura significativo, según la  [[ley de Stefan-Boltzmann]] la pérdida neta de calor radiado es proporcional a <math>T^4-T_s^4</math>, y la ecuación anterior es errónea. Para grandes excesos de temperatura, <math>T^4 - T_s^4 \approx u^4</math>, queda la ecuación de transferencia de calor para altas temperaturas de la forma:

:<math>\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right)-\ m u^4</math>

donde <math>\ m= \epsilon\sigma p/\rho Ac_p</math>.  Aquí, <math>\sigma</math> es la [[constante de Stefan-Boltzmann]], <math>\epsilon</math> es la constante característica del material, <math>p</math> es el perímetro de la sección de la barra y <math>A</math> es su área de sección. Sin embargo, usando <math>T</math> en vez de <math>u</math> tenemos una mejor aproximación en este caso.

===Caso tridimensional===
En el caso especial de la difusión de calor en un medio [[isotrópico]] y homogéneo en un espacio de tres dimensiones, la ecuación es

:<math>{\partial u\over \partial t} =
\alpha \left({\partial^2 u\over \partial x^2 } +
{\partial^2 u\over \partial y^2 } +
{\partial^2 u\over \partial z^2 }\right)</math>&ensp;<math> = \alpha ( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} ) \quad </math>

donde:

* <math>u = u \left(x, y, z,t\right)</math> es la temperatura como una función del espacio y del tiempo;
* <math>\frac{\partial u}{\partial t}</math> es la razón de cambio de temperatura en un punto respecto del tiempo;
* <math>u_{xx},u_{yy}, u_{zz}</math> son derivadas segundas parciales (conducciones térmicas) de la temperatura respecto de <math>x,y,z</math>, respectivamente;
* <math>\alpha = \frac{k}{c_p\rho}</math> es la [[difusividad térmica]], una cantidad específica del material que depende de la  ''[[conductividad térmica]]'' <math>k</math>, la ''[[densidad|densidad de masa]]'' <math>\rho</math>, y la ''[[calor específico|capacidad de calor específica]]'' <math>c_p</math>.

La ecuación del calor es una consecuencia de la ley de Fourier de conducción (ver [[conducción del calor]]).

Si el medio no es todo el espacio, entonces para resolver la ecuación de calor se necesita solo que se especifiquen las [[condición de contorno|condiciones de contorno]] para ''u''. Para determinar la unicidad de las soluciones en todo el espacio se necesita suponer una cota exponencial sobre el crecimiento de las soluciones.<ref>{{Harvsp|Stojanovic|2003|pp=112–114}}</ref>

Las soluciones de la ecuación del calor se caracterizan por una suavidad gradual de la distribución de temperatura inicial por el flujo de [[calor]] desde las áreas más cálidas hacia las más frías de un objeto. Generalmente, muchos estados diferentes y condiciones iniciales tienden al mismo [[equilibrio termodinámico|equilibrio]] estable. 

La ecuación del calor es un ejemplo prototipo de una [[ecuación diferencial]] en [[ecuación en derivadas parciales|derivadas parciales]] del tipo [[Ecuación parabólica en derivadas parciales|parabólico]]

Usando el [[operador de Laplace]], la ecuación se puede simplificar, y generalizar a ecuaciones similares en el espacio de un número arbitrario de dimensiones:

:<math>u_t = \alpha \nabla^2 u = \alpha \Delta u, \quad \,\!</math>

donde el operador de Laplace puede ser Δ o ∇<sup>2</sup>, la divergencia del gradiente, se toma en las variables espaciales.

La ecuación del calor gobierna la difusión de calor, es decir, es otro proceso de difusión, tal como la [[difusión de partículas]] o la propagación del [[potencial de acción]] en células neuronales. Sin embargo no son de naturaleza difusiva, algunos problemas de [[mecánica cuántica]] también están gobernadas por una ecuación análoga a la ecuación del calor (ver más adelante). También puede utilizarse para modelar algunos problemas en finanzas, como por ejemplo en los procesos de [[Black-Scholes]] o  [[Proceso Ornstein-Uhlenbeck|Ornstein-Uhlenbeck]].

== Véase también ==

* [[Ecuación general de transferencia de calor]]

==Notas== 
{{listaref|grupo=n.}}

==Referencias==
{{listaref}}

== Bibliografía ==
{{refcomienza|2}}
* {{cita libro |título=La ecuación de calor de Fourier: resolución mediante métodos de análisis en variable real y en variable compleja|apellidos=Ibarra |nombre=María del Carmen |año=2012 |editorial=II Jornadas de Investigación en Ingeniería del NEA y Países Limítrofes |ubicación=[[UTN Facultad Regional Resistencia]] |url= http://www.frre.utn.edu.ar/IIJCyT/clean/files/get/item/2178 |fechaacceso=20 de febrero de 2016}}
* {{Obra citada|nombre=John|apellido=Cannon|título=The One-Dimensional Heat Equation|editorial=Addison-Wesley|año=1984|series=Encyclopedia of mathematics and its applications|isbn=0-521-30243-9|idioma=inglés}}
*{{citation|title=Computational Financial Mathematics using MATHEMATICA®: Optimal Trading in Stocks and Options|first=Srdjan|last=Stojanovic|publisher=Springer|year=2003|isbn=9780817641979|url=http://books.google.com/books?id=ERYzXjt3iYkC&pg=PA112|contribution=3.3.1.3 Uniqueness for heat PDE with exponential growth at infinity|idioma=inglés}}
* {{Obra citada|nombre=J.|apellido=Crank|apellido2=Nicolson|nombre2=P.|título=A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of the Heat-Conduction Type|publicación=Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|año=1947|volumen=43|páginas=50-67|idioma=inglés}}
* {{Obra citada|apellido=[[Einstein]]|nombre=Albert|título=Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen|publicación=Ann. Phys. Leipzig 17|páginas=549-560|url=http://www.zbp.univie.ac.at/dokumente/einstein2.pdf|año=1905|idioma=alemán|fechaacceso=20 de febrero de 2016|fechaarchivo=18 de julio de 2007|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20070718202731/http://www.zbp.univie.ac.at/dokumente/einstein2.pdf|deadurl=yes}}
* {{Obra citada|nombre=L.C.|apellido=Evans|título=Partial Differential Equations|editorial=American Mathematical Society|ubicación=Providence|año=1998|isbn=0-8218-0772-2|idioma=inglés}}
* {{Obra citada|nombre=Fritz|apellido=John|título=Partial Differential Equations|editorial=Springer|año=1991|edición=4th ed.|isbn=978-0387906096|idioma=inglés|url=https://archive.org/details/partialdifferent00john_0}}
* {{Obra citada|apellido=Wilmott|nombre=P.|apellido2=Howison|nombre2=S.|apellido3=Dewynne|nombre3=J.|año=1995|título=The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction|editorial=[[Cambridge University Press]]|idioma=inglés}}
{{reftermina}}

== Enlaces externos ==
{{Commonscat|Heat equation}}
* [http://www.mathphysics.com/pde/HEderiv.html Deducción de la ecuación del calor]
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/heat-toc.pdf Ecuaciones del calor lineales]: Soluciones particulares y problemas de condición de borde - de EqWorld 
* [http://neher-mcgrath.com/index.html# Neher-McGrath heat equations]: What you need to know about your undergound electrical installation.

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Ecuaciones parabólicas en derivadas parciales|Calor, ecuacion]]
[[Categoría:Calorimetría]]
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