Ver el código de «Ecuación diferencial ordinaria»

[[Archivo:Parabolic trajectory.svg|right|thumb|350px|La [[trayectoria]] de un [[proyectil]] lanzado desde un [[cañón (artillería)|cañón]] sigue una curva definida por una ecuación diferencial ordinaria que se deriva de la [[segunda ley de Newton]].]]
En matemáticas, una '''ecuación diferencial ordinaria''' (comúnmente escrita con la sigla '''EDO''') es la [[ecuación diferencial]] que relaciona una función desconocida de '''una''' variable independiente con sus derivadas. Es decir,  una '''''sola''''' variable independiente (a diferencia de las [[Ecuación en derivadas parciales|ecuaciones diferenciales parciales]] que involucran [[Derivada parcial|derivadas parciales]] de varias variables), y una o más de sus [[derivada]]s respecto de tal variable. 

== Introducción ==

Recursos de la [[física]], la [[ingeniería]], la [[economía]], la [[meteorología]], la biología, la química y en aplicaciones como las de modelado en ciencias, se las estudia en diversas áreas (como [[geometría]], [[mecánica]] y [[astronomía]]) y perspectivas. 

Matemáticamente, es de conveniente interés, la obtención de  una familia de funciones que verifican una ecuación y establecen la solución general. Solo las ecuaciones diferenciales más sencillas admiten soluciones dadas por fórmulas explícitas (como las [[ecuación diferencial lineal|lineales]] asociadas a una teoría desarrollada prácticamente por completo). No obstante, pueden determinarse algunas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial sin requerirse su formulación exacta, clave para resolver la mayoría de las ecuaciones diferenciales no lineales de sumo interés en numerosos casos. Casos carentes de una fórmula auto-contenida para su solución que se suple con la aproximada numéricamente con el auxilio crucial de las computadoras.

La matemática «pura» centra el foco «formal» en la solución, su existencia y si es o no única. La «aplicada» controla la validez de los métodos para la solución numéricamente aproximada y el rigor de las justificaciones con que se los sustenta.

La teoría de los sistemas dinámicos prioriza el análisis cualitativo de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales mientras se han venido sumando numerosos métodos numéricos para determinar soluciones con un grado dado de precisión.

En ingeniería, ciencias naturales y sociales hay muchos problemas de interés que, cuando se plantean, exigen la determinación de una función la cual debe verificar una ecuación que involucra derivadas de la función desconocida. Dichas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales. Tal vez el ejemplo más conocido es la ley de Newton:<ref>{{harvsp|Boyce|Di Prima|1991|pp=17}}</ref>

{{ecuación|
<math>m\frac{\mathrm{d}^2u(t)}{\mathrm{d}t^2} =
F\left(t, u(t), \frac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t}\right)</math>
||left}}

=== Importancia ===
[[Isaac Newton]] se daba cuenta de la importancia que tenían las [[ecuaciones diferenciales]] para el análisis de los fenómenos de la naturaleza. En sus renombrados ''[[Principios matemáticos de la filosofía natural]]'' (1687) que engloban [[mecánica newtoniana]], empiezan con la ecuación diferencial del movimiento. Esta ecuación se considera como [[axioma]], mientras que los planteamientos posteriores de la mecánica son, de hecho, teoremas que se derivan de dicho axioma, así como de la [[ley de gravitación universal]] que se deduce de los hechos experimentales ([[leyes de Kepler]]) y del mencionado axioma:<ref>{{harvsp|Zeldovich|Yaglom|1987|pp= 210 y 211}}</ref> 

{{ecuación|<math>m \frac{d^2 s}{dt^2} = F</math>}} 

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) puede plantearse, siendo ''F'' una relación o [[función (matemática)|función]], como
{{ecuación|
<math>\ F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)}) = 0</math>
|1a|left}}
... para representar la EDO en que la función incógnita (también conocida como variable dependiente), lo es de una única variable independiente.

En general, una [[ecuación diferencial lineal]] de orden ''n'' puede formularse, siendo cada <math>a_i</math> una función dependiente de ''t'', como:
{{ecuación|
<math>\ a_n(t)y^{(n)}+a_{n-1}(t) y^{(n-1)}+\ldots+a_1(t) y'+a_0(t) y = g(t)</math>
|1b|left}}
Una solución de la ecuación {{eqnref|1a}} o {{eqnref|1b}} será una "familia" de curvas o funciones del tipo <math>y = f(t)\,</math> que substituida dentro de la ecuación la convierte en una igualdad en la que todos los términos son conocidos.

En la formulación más simple, la función incógnita es una función para cierto valor real o complejo pero con mayor generalidad, puede serlo para el valor de un vector o matriz, lo que lleva a considerar un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) para una única función.

== Definiciones ==

Sea <math>y= f(x)</math>, tal que <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>,  <math>y^{(n)}</math> la n-ésima [[derivada]] de <math>y</math>, entonces una '''ecuación diferencial ordinaria (EDO)''' de '''orden''' ''n'' tiene la siguiente forma:

{{caja de ecuación
|sangría=:
|ecuación= <math>F(x,y,y',\ \dots \, y^{(n-1)})=y^{(n)}</math>
|ref=2}}

Para [[función vectorial|funciones vectoriales]],
:<math>y: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m</math>,
la ecuación {{notaEcuación|2|(2)}} es llamada un '''sistema de ecuaciones lineales diferenciales''' de '''dimensión''' ''m''.

Cuando una ecuación diferencial de orden ''n'' tiene la forma
:<math>F(x, y, y', y'',\ \dots,\ y^{(n)}) = 0</math>
es llamada una ecuación diferencial '''implícita''', mientras que en la forma
:<math>F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n-1)}) = y^{(n)}</math>
es llamada una ecuación diferencial '''explícita'''.

Una ecuación diferencial que no depende de ''x'' es denominada '''autónoma'''.

Se dice que una ecuación diferencial es '''[[ecuación diferencial lineal|lineal]]''' si ''F'' puede ser escrita como una [[combinación lineal]] de las derivadas de ''y''

:<math>y^{(n)} = \sum_{i=0}^{n-1} a_i(x) y^{(i)} + r(x)</math>

siendo, tanto <math>a_i(x)</math>como <math>r(x)</math>funciones continuas de ''x''. La función ''r''(''x'') es llamada el '''término fuente''' (traducido del inglés ''source term''); si ''r''(''x'')=0 la ecuación diferencial lineal es llamada '''homogénea''', de lo contrario es llamada '''no homogénea'''.


=== Soluciones ===
Dada una ecuación diferencial
:<math>F(x, y, y', \dots, y^{(n)}) = 0 ,</math>
una función {{nowrap|''u'': ''I'' ⊂ '''R''' → '''R'''}} es llamada la [[Ecuación diferencial#Solución de una ecuación diferencial|''solución'']], y su gráfica se llama [[curva integral]] de ''F'',<ref>{{harvsp|Kiseliov|Krasnov|Makarenko|1987|p=10}}</ref> si ''u'' es ''n'' veces derivable en ''I'', y
:<math>F(x,u,u',\ \dots,\ u^{(n)})=0 \quad x \in I.</math>

Dadas dos soluciones {{nowrap|''u'': ''J'' ⊂ '''R''' → '''R'''}} y {{nowrap|''v'': ''I'' ⊂ '''R''' → '''R'''}}, ''u'' es llamada una '''extensión''' de ''v'' si {{nowrap|''I'' ⊂ ''J''}}, y
:<math>u(x) = v(x) \quad x \in I.\,</math>

Una solución que no tiene extensión es llamada una '''solución general'''.{{cr}}

Una '''solución general''' de una ecuación de orden ''n'' es una solución que contiene ''n'' variables arbitrarias, correspondientes a ''n'' [[constante de integración|constantes de integración]]. Una '''solución particular''' es derivada de la solución general mediante la fijación de valores particulares para las constantes, a menudo elegidas para cumplir [[Problema de Cauchy|condiciones iniciales]]. Una [[Ecuación diferencial#Soluci.C3.B3n singular|solución singular]] es la que no puede derivarse de la general.

;Solución de una EDO de primer orden
Si se considera una ecuación diferencial de la forma:
{{ecuación|<math>y' = f(x,y</math>)||left}}
una ecuación de primer orden resuelta con respecto a la derivada, se llama su '''solución general''' de la anterior ecuación diferencial, será una función del tipo:
{{ecuación|<math>y = \varphi(x, C)</math>||left}}
que depende de una constante arbitraria C. Satisface ecuación diferencial para cualquier valor de la constante C. Además cualquiera que sea la condición inicial
{{ecuación|<math>y(x_0) = y_0</math>||left}}
siempre se puede asignar un valor ''C''<sub>0</sub> a la constante ''C'', tal que la función ''y'' = φ(''x, C''<sub>0</sub>) satisfaga la condición inicial dada. Se presume que el punto (x<sub>0</sub>,  y<sub>0</sub>) está en un intervalo donde se cumplen las condiciones de existencia y de unicidad de la solución.<ref>{{harvsp|Kiseliov|Krasnov|Makarenko|1987|pp=11-12}}</ref> Las soluciones se pueden encontrar con auxilio de transformaciones idénticas y de cambios de variables.<ref name="filippov2007">{{harvsp|Filíppov|2007}}</ref>

=== Condiciones iniciales ===
{{ap|Problema de Cauchy}}
En general si no se especifican ciertos valores iniciales o de contorno, que debe satisfacer la solución de una ecuación diferencial como {{eqnref|1}} entonces no existirá una solución [particular] única, es decir, una única función que satisfaga la ecuación diferencial. Para una ecuación diferencial lineal de orden n por ejemplo se requieren ''n'' condiciones iniciales o de contorno, para que exista una única función que cumpla simultáneamente la ecuación diferencia y las condiciones de contorno. Si solo se especifican condiciones iniciales el problema de encontrar una función que satisfaga la ecuación diferencial y las condiciones iniciales se denomina [[problema de Cauchy]]. Si se especifican condiciones que no son solo condiciones de contorno pueden tenerse problemas diferentes como los [[Teoría de Sturm-Liouville|problemas de Sturm-Liuville]].

== Tipos y forma de resolución ==
Existen diversos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias, cada una con una forma de resolución distinta; para clasificarlas, hay que hacer la diferencia entre ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones de orden superior (ya que las primeras son, por lo general, de más fácil resolución).

=== Existencia y unicidad de soluciones ===
Dado el [[Problema de Cauchy]] {{ecuación|<math>\begin{cases}x'=f(t, x), \\ x(t_{0})=x_{0}, \end{cases}</math>||center}} el '''[[Teorema de existencia de Peano|Teorema de Peano]]''' garantiza la existencia local de sus soluciones cuando <math>f</math> es continua. Es importante notar que la solución dada por este teorema no tiene por qué ser única.

Si además <math>f</math> es localmente [[Función lipschitziana|Lipschitz]] respecto a <math>x</math>, entonces el '''[[Teorema de Picard-Lindelöf]]''' garantiza también la unicidad local de la solución.

=== Soluciones analíticas ===
Existen métodos de resolución generales para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales que permiten encontrar soluciones analíticas. En particular si los coeficientes de la ecuación lineal son constantes o periódicos la solución es casi siempre fácil de construir. Para coeficientes no constantes o no periódicos, pero que son desarrollables en [[serie de Taylor]] o [[serie de Laurent]] es aplicable con ciertas restricciones el método de [[Método de Frobenius|Frobenius]]. Otra posibilidad es reducir una ecuación diferencial lineal de orden ''n'' a un [[Sistema de ecuaciones diferenciales|sistema de ''n'' ecuaciones diferenciales lineales]] de primer orden.

Para las ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales no existen métodos generales.

=== Soluciones numéricas ===
Algunos de los métodos de solución numérica de ecuaciones diferenciales son el [[método de Runge-Kutta]], los métodos multipaso y los métodos de extrapolación.

== Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden ==
{{AP|Ecuación diferencial ordinaria de primer orden}}
Una ecuación diferencial de primer orden con el [[problema de valor inicial|valor inicial]] se expresa de la siguiente forma:
{{ecuación|
<math>[L] = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {\cfrac{{dy}}{{dt}} = f(t,y)}  \\
   {y(t_0 ) = y_0 }  \\ \end{array} } \right.
</math>
||center}}
Donde <math>y(t_0) = y_0\,</math> es la condición inicial.

Entre los tipos de EDO de primer orden se encuentran:<ref>{{harvsp|Aranda Iriarte|2008}} [http://jacobi.fis.ucm.es/pparanda/EDNpdf/ppED1.pdf Capítulo 1 (ecuaciones de primer orden)] {{Wayback|url=http://jacobi.fis.ucm.es/pparanda/EDNpdf/ppED1.pdf |date=20190819162428 }}</ref>

=== Ecuación de variables separables ===
Son EDO de la forma:
{{ecuación|<math>\frac{dy}{dt} = f(t,y)</math>||left}}
Estas se pueden expresar en la forma: 
{{ecuación|<math>\ g(y)dy=h(t)dt</math>||left}}
En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación
{{ecuación|<math>\int g(y)dy=\int h(t)dt</math>||left}}
De la anterior es posible obtener la solución general. Se  supondrá que las funciones g y h son continuas.<ref name="filippov2007" />

=== Ecuación exacta ===
{{AP|Ecuación diferencial exacta}}
Una ecuación de la forma:
{{ecuación|<math>M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy = 0, \,\!</math>||left}}
se dice exacta si existe una función ''F'' que cumpla:
{{ecuación|<math>\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = M</math>||left}}
y
{{ecuación|<math>\frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = N.</math>||left}}
Su solución es entonces:
{{ecuación|<math>F(x, y) = C.\,</math>||left}}

=== EDO de primer orden y ''homogénea'' ===
{{AP|Ecuación diferencial ordinaria de primer orden|2b=Ecuaciones homogéneas}}
La ecuación diferencial ordinaria de primer orden:
{{ecuación|
<math>y' = f(x,y), \qquad \mbox{con}\ f(tx,ty)=tf(x,y), \forall t\ne 0</math>
||left}}
Para resolver se usa la sustitución y=xv, siendo v= v(x) una función desconocida. Sin embargo, la palabra 'homogénea' asume otro significado, dentro del estudio de las EDO, fuera de este contexto.

=== Ecuación lineal ===
{{AP|Ecuación diferencial lineal}}
Una ecuación diferencial es '''lineal''' si presenta la forma:
{{ecuación|<math>y'+ P(x)y = Q(x)\,</math>||left}}
Y que tienen por solución:
{{ecuación|<math>y(x) =e^{ - \int P(x) dx } . \left( C + \int Q(x) e^{ \int P(x) dx } dx \right)</math>||left}}
Como se puede apreciar, esta ecuación es una ecuación diferencial de Bernoulli, con '''n=0'''.

=== Ecuación de Bernoulli ===
{{AP|Ecuación diferencial de Bernoulli}}
Una ecuación diferencial de Bernoulli, que es a su vez una generalización de la ecuación diferencial lineal, fue formulada por [[Jakob Bernoulli]] y resuelta por su hermano, [[Johann Bernoulli]] y presenta la forma:
{{ecuación|<math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,</math>||left}}
En la cual, si se hace la sustitución <math> z=y^{1-n}</math>, la ecuación se transforma en una ecuación lineal con ''z'' como variable dependiente, resolviéndose de manera análoga.

=== Ecuación de Riccati ===
{{AP|Ecuación de Riccati}}
Esta ecuación diferencial introducida por [[Jacopo Francesco Riccati]] presenta la estructura:
{{ecuación|<math>y'(x) + P(x)y^2 + Q(x)y + R(x)=0\,</math>||left}}
Para resolverla, se debe hacer la sustitución <math> y=y_{p}+ \frac{1}{z}</math>, donde <math> y_{p}</math> es una solución particular cualquiera de la ecuación.

=== Ecuación de Lagrange ===

Una ecuación diferencial de Lagrange {{cr}} presenta la forma:
{{ecuación|<math>y=g(y')x + f(y')\,</math>||left}}
Resolviéndose con la sustitución <math> y'=p </math>, diferenciando y sustituyendo ''dy'' por ''pdx'', se convierte a otra considerada en x como función de p, es lineal. Resolviendo está última <math> x = s(p, C)</math>,  se halla la solución general de la ecuación inicial en forma paramétrica: 

# <math> x= s(p, C)</math>
# <math> y= s(p, C)g(p) + f(p)</math>  donde ''p'' es un parámetro.

Además la ecuación de Lagrange puede tener soluciones singulares de la forma <math> y= xg(c) + f(c)</math>, siendo ''c'' una raíz  de la ecuación <math>c= g(c)</math>.<ref>{{harvsp|Kiseliov|Krasnov|Makarenko|1987}}</ref>

=== Ecuación de Clairaut ===
{{AP|Ecuación diferencial de Clairaut}}
Una ecuación diferencial de Clairaut, llamada así en honor a [[Alexis-Claude Clairaut]], tiene la forma:
{{ecuación|<math>y= xy' + f(y')\,</math>||left}}
Como se puede apreciar, esta ecuación es una forma particular de la ecuación diferencial de Lagrange, con <math> g(y')=y' </math>, por lo cual, su resolución es análoga a la anterior.

=== Ecuación de Jacobi ===
{{AP|Ecuación de Jacobi}}

== Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden ==
Muchos problemas físicos importantes tanto en [[mecánica]] como en [[electromagnetismo]] conllevan la resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden.

=== Ecuación lineal con coeficientes constantes ===
La ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma:
{{ecuación|
<math>a\frac{d^2 y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = f(x)</math>
||left}}
La resolución de esta ecuación depende de las [[Raíz de una función|raíces]] del [[polinomio característico]]:
{{ecuación|<math>a\lambda^2 + b\lambda + c = 0\,</math>||left}}
En función de cómo sean las raíces de dicho polinomio se distinguen tres casos posibles y distintos:
* '''Caso 1: dos raíces reales y distintas''' <math>(\lambda_1 \ne \lambda_2)\,</math>, en este caso la solución general tiene la forma:
{{ecuación|
<math>y(x) = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x} +
\frac{e^{\lambda_1x}}{\lambda_1 - \lambda_2}\int_{x_0}^x e^{-\lambda_1u}f(u)du +
\frac{e^{\lambda_2x}}{\lambda_2 - \lambda_1}\int_{x_0}^x e^{-\lambda_2u}f(u)du</math>
||left}}
* '''Caso 2: dos raíces reales e iguales''' <math>(\lambda_1 = \lambda_2)\,</math>, en este caso la solución general tiene la forma:
{{ecuación|
<math>y(x) = C_1e^{\lambda_1x} + C_2xe^{\lambda_1x} +
xe^{\lambda_1x}\int_{x_0}^x e^{-\lambda_1u}f(u)du -
e^{\lambda_1x}\int_{x_0}^x xe^{-\lambda_2u}f(u)du</math>
||left}}
* '''Caso 3: dos raíces complejas conjugadas''' <math>(\lambda_1 = p+qi, \lambda_2 = p-qi)\,</math>, en este caso la solución general tiene la forma:
{{ecuación|
<math>y(x) = e^{px}(C_1\cos qx + C_2\sin qx) +
\frac{e^{px}\sin qx}{q} \int_{x_0}^x e^{-pu}f(u)\cos qu\ du -
\frac{e^{px}\cos qx}{q} \int_{x_0}^x e^{-pu}f(u)\sin qu\ du</math>
||left}}
El último término de esta última ecuación está relacionado con la [[Duhamel%27s_integral|integral de Duhamel]].

=== Ecuación diferencial de Euler-Cauchy ===
Esta ecuación tiene la forma:
{{ecuación|
<math>x^2\frac{d^2y}{dx^2}+ax\frac{dy}{dx}+by= g(x)</math>
||left}}
Y puede resolverse mediante el [[cambio de variable]] <math>x = e^t\,</math> que transforma la ecuación anterior en una ecuación de coeficientes constantes resoluble por los métodos de la sección anterior:
{{ecuación|
<math>\frac{d^2\bar{y}}{dt^2}+(a-1)\frac{d\bar{y}}{dt}+b\bar{y}= g(e^t),
\qquad \bar{y}(t) = y(e^t)</math>
||left}}

=== Ecuaciones de Bessel ===
{{VT|Función de Bessel}}
La ecuación diferencial de Bessel, aparece con frecuencia en la resolución del [[problema de Dirichlet]] en [[coordenadas cilíndricas]]. Dicha ecuación tiene la forma:
{{ecuación|
<math>x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-n^2)y=0 </math>
||left}}
Esta ecuación es resoluble mediante las llamadas [[función de Bessel|funciones de Bessel]]:
{{ecuación|<math>y(x) = C_1 J_n(x) + C_2 Y_n(x)\,</math>||left}}
Además de esta ecuación existe otra ecuación resoluble mediante funciones de Bessel.
La ecuación diferencial de Bessel modificada, aparece con frecuencia en la resolución del [[problema de Dirichlet]] en [[coordenadas cilíndricas]]. Dicha ecuación tiene la forma:
{{ecuación|
<math>x^2\frac{d^2y}{dx^2}+(2p+1)x\frac{dy}{dx}+(\alpha x^{2r}+\beta^2)y=0 </math>
||left}}
Cuya solución viene dada por:
{{ecuación|
<math>y(x) = x^{-p}\left[C_1 J_{q/r}\left(\frac{\alpha}{r}x^r\right) +
C_2 Y_{q/r}\left(\frac{\alpha}{r}x^r\right)\right], \qquad q:=\sqrt{p^2-\beta^2}</math>
||left}}

=== Ecuación de Legendre ===
{{VT|Polinomios de Legendre}}
La ecuación diferencial de Legendre, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en [[coordenadas esféricas]]. La ecuación tiene la forma:
{{ecuación|
<math>(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+n(n+1)y=0 </math>
||left}}
Cuando ''n'' es un entero una de las dos soluciones independientes que conforman la solución general de la ecuación anterior es el [[polinomio de Legendre]] de grado n:
{{ecuación|
<math>P_n(x) = \frac{1}{2^nn!}\ \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n</math>
||left}}
Las solución general puede expresarse en la forma:
{{ecuación|
<math>y(x) = C_1 U_n(x) + C_2 V_n(x)\,</math>, o bien,
<math>= y(x) = \bar{C}_1 P_n(x) + \bar{C}_2 Q_n(x)</math>||left}}
Donde:
{{ecuación|
<math>\begin{cases}
U_n(x) = 1- \cfrac{n(n+1)}{2!}x^2 + \cfrac{n(n-2)(n+1)(n+3)}{4!}x^4 - \ldots \\
V_n(x) = x- \cfrac{(n-1)(n+2)}{3!}x^3 + \cfrac{(n-1)(n-3)(n+2)(n+4)}{5!}x^5 - \ldots
\end{cases}</math>
||left}}
{{ecuación|
<math>P_n(x) = \begin{cases}
U_n(x)/U_n(1) & n = 0,2,4, \ldots \\
V_n(x)/V_n(1) & n = 1,3,5, \ldots \end{cases}</math>, y 
<math>Q_n(x) = \begin{cases}
V_n(x)U_n(1) & n = 0,2,4, \ldots \\
-U_n(x)V_n(1) & n = 1,3,5, \ldots \end{cases}</math>
||left}}

== Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior ==

=== Ecuación lineal de orden ''n'' con coeficientes constantes ===
{{AP|Ecuación diferencial lineal}}
La ecuación diferencial lineal de orden ''n'' con coeficientes constantes es de la siguiente forma:
{{ecuación|
<math>\ a_ny^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_1y'+a_0 y = g(t)</math>
||left}}
Donde los términos <math>a_i\,</math> representan constantes <math> \forall i \in \mathbb{N}</math>
En el caso homogéneo cuando el segundo miembro es idénticamente nulo, las soluciones de esta ecuación se pueden obtener a partir de la raíces del polinomio característico de la ecuación:
{{ecuación|
<math>\ a_n\lambda^{n}+a_{n-1} \lambda^{n-1}+\ldots+a_1\lambda+a_0 = 0</math>
||left}}
En el caso de que todas las raíces sean diferentes la solución viene dada por:
{{ecuación|
<math>y(x) = C_1 e^{\lambda_1x}+ \ldots + C_n e^{\lambda_nx} =
\sum_{i=1}^n C_i e^{\lambda_i x}</math>
||left}}
En el caso de que existan varias raíces múltiples, existiendo solo ''k'' raíces diferentes y siendo <math>m_i</math> la multiplicidad de la raíz ''i''-ésima, la solución general es de la forma:
{{ecuación|
<math>y(x) = \sum_{i=1}^k \left(C_{i,0} +C_{i,1}x+\ldots + C_{i,m_i-1}x^{m_i-1}\right) e^{\lambda_i x} = \sum_{i=1}^k \left(\sum_{j=0}^{m_i-1} C_{i,j}x^j \right) e^{\lambda_i x},
\quad k \le n,\ \sum_{j=1}^k m_j = n</math>
||left}}
Las multiplicidades de cada raíz son el exponente de la siguiente descomposición:
{{ecuación|
<math>a_n(\lambda-\lambda_1)^{m_1}\ldots(\lambda-\lambda_k)^{m_k} =
a_n\lambda^{n}+a_{n-1} \lambda^{n-1}+\ldots+a_1\lambda+a_0 = 0</math>
||left}}

== Véase también ==
* [[Ecuación diferencial]]
* [[Ecuaciones en derivadas parciales]]
* [[Teorema de Picard]]
* [[Campo de direcciones]]

== Referencias ==
{{listaref|2}}

=== Bibliografía ===
{{refcomienza}}
* {{cita libro|nombre=José Ignacio|apellido= Aranda Iriarte|año=2009|url=https://teorica.fis.ucm.es/pparanda/EDNpdf/apEDI9.pdf|título=Apuntes de ecuaciones diferenciales I|editorial=[[Universidad Complutense de Madrid]]}}
* {{cita libro|apellido1=Boyce|apellido2=Di Prima|título=Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera|año=1991| isbn=968-18-0107-5|oclc=991704064}}
* {{cita libro|apellido=Bronson|nombre=Richard|título=Ecuaciones diferenciales modernas|año=1990|editorial=Mc Graw-Hill|ubicación=Impreso en Editorial Nomos, Bogotá|isbn=9684513186|oclc=634286982}}
* {{cita libro|apellido=Filíppov|nombre=A. F.|título=Introducción a la teoría de ecuaciones diferenciales|editorial=URSS|año=2007|ubicación=Moscú|isbn=978-5-484-00999-2|oclc=630590315}}
* {{cita libro|apellido1=Kiseliov|nombre1=A.|apellido2=Krasnov|nombre2=M.|apellido3=Makarenko|nombre3=G.|título=Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias|editorial=Mir|ubicación=Moscú|año=1987}}
* {{GSM|140}}
*{{cita libro|apellido1=Zeldovich|nombre1=Iakov Borisovich|apellido2=Yaglom|nombre2=Isaak Moiseevich|título=Matemáticas superiores: para los físicos y técnicos principiantes|editorial=Mir|ubicación=Moscú|año=1987}}
* {{cita libro|apellido= Gutermuth |nombre= Denise |título=Picard’s existence and uniqueness theorem|url=https://ptolemy.berkeley.edu/projects/embedded/eecsx44/lectures/Spring2013/Picard.pdf}}
{{reftermina}}

== Enlaces externos ==
{{wikibooks|en:Ordinary Differential Equations|Ecuaciones Diferenciales Ordinarias}} (en inglés).
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm Soluciones exactas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias]
* [http://mna.wikidot.com/ode Métodos de resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Ecuaciones diferenciales ordinarias| ]]