Ver el código de «Ecuación en derivadas parciales»

[[Archivo:BendingCircularPlate.png|thumb|300px|Flexión elástica de una placa circular empotrada en su contorno bajo la acción de una carga vertical distribuida uniformemente, que es solución de la [[teoría de placas y láminas#Ecuación de Lagrange para placas delgadas|ecuación de Lagrange de placas]]; la solución mostrada fue obtenida numéricamente mediante [[Ansys]].]]
[[Archivo:Heat_eqn.gif|thumb|300px|right|Variación del perfil de temperaturas solución de la [[ecuación del calor]] en un problema bidimensional]]
En [[matemáticas]], una '''ecuación en derivadas parciales''' (en ocasiones abreviada como '''EDP''') es aquella [[ecuación diferencial]] cuyas [[Incógnita|incógnitas]] son [[funciones]] de diversas variables independientes, con la peculiaridad de que en dicha [[ecuación]] figuran no solo las propias funciones sino también sus derivadas. Tienen que existir funciones de por lo menos dos variables independientes.<ref>Mijáilov: "Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales", Editorial Mir, Moscú</ref> O bien una ecuación que involucre una [[función (matemática)|función]] ''<math>u</math>'' de varias [[variable independiente|variables independientes]] ''x'', ''y'', ''z'', …, y las [[derivada parcial|derivadas parciales]] de ''u'' respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del [[sonido]] o del [[calor]], la [[electrostática]], la [[electrodinámica]], la [[dinámica de fluidos]], la [[Elasticidad (mecánica de sólidos)|elasticidad]], la [[mecánica cuántica]] y muchos otros. Se las conoce también como ''ecuaciones diferenciales parciales''. Participaron, al inicio, en su estudio los franceses [[Jean le Rond d'Alembert|d'Alembert]], [[Jean-Baptiste Joseph Fourier|Fourier]], matemáticos de la época napoleónica.

A menudo se piensa en la función como una "incógnita" que hay que resolver, de forma similar a como se piensa en {{mvar|x}} como un número desconocido que hay que resolver en una ecuación algebraica como {{math|1=''x''<sup>2</sup> - 3''x'' + 2 = 0}}. Sin embargo, normalmente es imposible escribir fórmulas explícitas para las soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales. Existe, en consecuencia, una gran cantidad de investigación matemática y científica moderna sobre métodos para [[Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales|aproximar numéricamente]] soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales parciales utilizando ordenadores. Las ecuaciones diferenciales parciales ocupan también un amplio sector de la [[matemática pura|investigación matemática pura]], en el que las cuestiones habituales versan, a grandes rasgos, sobre la identificación de características cualitativas generales de las soluciones de diversas ecuaciones diferenciales parciales, tales como existencia, unicidad, regularidad y estabilidad.{{Citation needed|date=September 2020}} Entre las muchas cuestiones abiertas se encuentra la [[existencia y suavidad de Navier-Stokes|existencia y suavidad]] de soluciones de las [[ecuaciones de Navier-Stokes]], nombrada como uno de los [[Millennium Prize Problems]] en 2000.

Las ecuaciones diferenciales parciales son omnipresentes en campos científicos orientados a las matemáticas, como la [[física]] y la [[ingeniería]]. Por ejemplo, son fundamentales en la comprensión científica moderna del [[sonido]], el [[calor]], la [[difusión]], la [[electrostática]], el [[electromagnetismo|electrodinámica]], la [[termodinámica]], la [[dinámica de fluidos]], la [[elasticidad (física)|elasticidad]], la [[relatividad general]] y la [[mecánica cuántica]] ([[ecuación de Schrödinger]], [[ecuación de Pauli]], etc.). También surgen de muchas consideraciones puramente matemáticas, como la [[geometría diferencial]] y el [[cálculo de variaciones]]; entre otras aplicaciones notables, son la herramienta fundamental en la demostración de la [[conjetura de Poincaré]] de la [[topología geométrica]].

En parte debido a esta variedad de fuentes, existe un amplio espectro de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales parciales, y se han desarrollado métodos para tratar muchas de las ecuaciones individuales que surgen. Como tal, por lo general se reconoce que no existe una "teoría general" de las ecuaciones diferenciales parciales, con el conocimiento especializado siendo algo dividido entre varios subcampos esencialmente distintos.<ref>{{cite book |authorlink= |last=Klainerman |first=Sergiu |year=2010 |chapter=PDE as a Unified Subject |editor-last=Alon |editor-first=N. |editor2-last=Bourgain |editor2-first=J. |editor3-last=Connes |editor3-first=A. |editor4-last=Gromov |editor4-first=M. |editor5-last=Milman |editor5-first=V. |title=Visiones en Matemáticas |series=Modern Birkhäuser Classics |publisher=Birkhäuser |pages=279-315 |isbn=978-3-0346-0421-5 |doi= }}</ref>

Las [[ecuaciones diferenciales ordinarias]] forman una subclase de ecuaciones diferenciales parciales, correspondientes a funciones de una sola variable. Las [[ecuaciones diferenciales parciales estocásticas]] y la [[Cálculo fraccional|ecuación no local]] son, a partir de 2020, extensiones particularmente estudiadas de la noción de "EDP". Temas más clásicos, en los que todavía hay mucha investigación activa, incluyen [[Ecuación diferencial parcial elíptica|elíptica]] y [[ecuaciónEcuación parabólica en derivadas parciales|parabólica]] ecuaciones diferenciales parciales, [[mecánica de fluidos]], [[ecuación de Boltzmann]], y [[ecuación diferencial parcial dispersiva|dispersiva]] ecuaciones diferenciales parciales.

== Introducción ==
Una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) para la función <math>u(x_1, x_2, \ldots, x_n)\,</math> tiene la siguiente forma:

<math> F(x_1, x_2, \ldots, x_n, u, \frac{\partial u}{\partial x_1}, \frac{\partial u}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial u}{\partial x_n},\frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_1}, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_2}, \cdots ) = 0 \,</math>

donde <math>\scriptstyle F</math> es una [[función lineal]] de <math>u\,</math> y sus derivadas si:
{{ecuación|
<math>F(\lambda u+\mu w)=\lambda F(u)+\mu F(w),</math>
||left}}
Si <math>F\,</math> es una función lineal de <math>u\,</math> y sus derivadas, entonces la EDP es lineal. Ejemplos comunes de EDP son la [[ecuación del calor]], la [[ecuación de onda]] y la [[ecuación de Laplace]]. Una ecuación diferencial en derivadas parciales simple puede ser:
:<math>\frac{\partial u}{\partial x} (x,y)=0\, </math>
donde ''u'' es una función de ''x'' e ''y''. Esta relación implica que los valores de ''u''(''x'', ''y'') son completamente independientes de ''x''. Por lo tanto la [[solución general]] de esta [[ecuación diferencial]] es:
{{ecuación|
<math>u(x,y) = f(y),\,</math>
||left}}
donde ''f'' es una función arbitraria de ''y''. La [[ecuación diferencial ordinaria]] (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es
{{ecuación|
<math>\frac{du}{dx}=0,\,</math>
||left}}
que tiene la siguiente solución
{{ecuación|
<math>u(x) = c,\,</math>
||left}}
Donde ''c'' es cualquier valor [[Constante (matemática)|constante]] (independiente de ''x''). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es [[Unicidad|única]]; de tal forma que se tienen que proporcionar [[Problema de condición de frontera|condiciones adicionales de contorno]] capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función ''f'' (''y'' ) puede determinarse si ''u'' se especifica sobre la línea ''x'' = 0.

=== Notación y ejemplos ===
En las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales es muy común denotar las [[derivada parcial|derivadas parciales]] empleando sub-índices (Notación tensorial). Esto es:
{{ecuación|
<math>u'_x = {\partial u \over \partial x}, \qquad u''_{xy} = {\partial^2 u \over \partial y\, \partial x} = {\partial \over \partial y } \left({\partial u \over \partial x}\right)</math>
||left}}
Especialmente en la [[física matemática]], se suele preferir el [[operador nabla]] (que en [[coordenadas cartesianas]] se escribe como <math>\nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z)</math> para las [[derivada]]s espaciales y un punto (<math>\dot u</math>) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la [[Ecuación de onda]] (véase más abajo) como
:<math>\ddot u=c^2\Delta u \,</math> ([[notación matemática]])

:<math>\ddot u=c^2\nabla^2u \,</math> (notación física)

=== Solución general y solución completa ===
Toda ecuación diferencial en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente '''solución general''' de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas '''soluciones completas''', que frecuentemente pueden obtenerse por el [[método de separación de variables]].

Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en la [[ecuación de Hamilton-Jacobi]] requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.

=== Existencia y unicidad ===
Si u(x) es una función con derivadas continuas en un conjunto U de Rn es solución única del problema de valor de frontera:

-∆u=f en U

u(x)=h(x) en la frontera de U.

Así mismo, se puede calcular la solución fundamental para la ecuación del calor en dimensión n.

Aunque el asunto de la existencia y unicidad de las soluciones de las [[Ecuación diferencial ordinaria|ecuaciones diferenciales ordinarias]] tiene una respuesta muy satisfactoria resumida en el [[teorema de Picard-Lindelöf]], el mismo asunto para las ecuaciones en derivadas parciales está lejos de estar satisfactoriamente resuelto. Aunque existe un teorema general, el [[teorema de Cauchy-Kovalevskaya]], que afirma que para una EDP, que es [[función analítica|analítica]] en la función incógnita y sus derivadas, tiene una única solución analítica. Aunque este resultado que parece establecer la existencia y unicidad de la soluciones, aparecen ejemplos de EDP de [[Ecuación diferencial#Orden de la ecuación|primer orden]] cuyos coeficientes tienen derivadas de cualquier orden (aunque sin ser analíticas) pero que no tienen solución.<ref>Lewy, 1957.</ref> Incluso si la solución de una EDP existe y es única, ésta puede tener propiedades indeseables.

Un ejemplo de comportamiento patológico es la secuencia de [[problema de Cauchy|problemas de Cauchy]] dependientes del parámetro ''n'' para la [[ecuación de Laplace]]:
{{ecuación|
<math> \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0,\, </math>
||left}}
con [[condición inicial|condiciones iniciales]]
{{ecuación|
<math>u(x,0) = 0, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}(x,0) = \frac{\sin n x}{n},\,</math>
||left}}
Donde ''n'' es un entero. La derivada de ''u'' con respecto a ''y'' se aproxima a 0 [[convergencia uniforme|uniformemente]] en ''x'' a medida que ''n'' se incrementa, pero la solución es:
{{ecuación|
<math>u(x,y) = \frac{(\sinh ny)(\sin nx)}{n^2}.\,</math>
||left}}
Esta solución se aproxima a infinito si ''nx'' no es un entero múltiplo de π para cualquier valor de ''y''. El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace se denomina ''mal propuesto'' o ''[[Problema bien definido|mal definido]]'', puesto que la solución no depende continuamente de los datos del problema. Estos problemas mal definidos no son usualmente satisfactorios para las aplicaciones físicas.

== Clasificación de las EDP de segundo orden ==
Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cinco tipos de EDP que son de interés fundamental; a continuación se dan ejemplos de estos cinco tipos:
<center>
{| class="wikitable col1cen"
! Ecuación
! Nombre
! Tipo
|-----
|-bgcolor="#EFEFEF"
|<math>\nabla^2 u = 0</math>
| Laplace
| Elíptica
|-----
| <math>\nabla^2 u = f</math>
| Poisson
| Elíptica
|-----
|-bgcolor="#EFEFEF"
| <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u</math>
| Onda
| Hiperbólica
|-----
| <math>\frac{\partial u}{\partial t} = k \nabla^2 u</math>
| Difusión
| Parabólicas
|-bgcolor="#EFEFEF"
| <math>\nabla^2 u = ku</math>
| Helmholtz
| Elíptica
|}
</center>

Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo:
{{ecuación| 
<math> Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_{x} + Eu_{y} + F = 0 \quad </math>
|*|left}}
Con estos coeficientes se monta la siguiente matriz:
{{ecuación|
<math>Z=\begin{bmatrix}B&A\\C&B\end{bmatrix}</math>
||left}}
En función del [[determinante (matemática)|determinante]] la ecuación {{eqnref|*}}:
* se dice que es ''elíptica'' si la matriz ''Z'' tiene un determinante menor a 0.
* se dice que es ''parabólica'' si la matriz ''Z'' tiene un determinante igual a 0.
* se dice que es ''hiperbólica'' si la matriz ''Z'' tiene un determinante mayor a 0.
Nombres de objetos de la [[geometría analítica]] y se llaman cónicas.

== EDP de orden superior ==
Si bien las EDP de segundo orden se aplican a una inmensa cantidad de fenómenos físicos; otra cantidad menor de procesos físicos hallan solución en EDP de órdenes superiores, como ejemplos podemos citar:
:* [[Flexión mecánica]] de una [[teoría de placas y láminas|placa]] elástica:
{{ecuación|
<math>\frac{\partial^4 w}{\partial x^4}+2\frac{\partial^4 w}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4 w}{\partial y^4}=\frac{q(x,y)}{D}</math> 
||left}}
:* [[Vibración]] flexional de una viga:
{{ecuación|
<math>\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left[ EI\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \right] + \rho A \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = p(x,t) </math>
||left}}
:* [[Ecuación de Korteweg-de Vries]], que tiene soluciones de tipo [[solitón]],
{{ecuación|
<math>\frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial x} + \mu \frac{\partial^3 v}{\partial x^3} = 0</math>
||left}}

== Véase también ==
* [[Ecuación hiperbólica en derivadas parciales]]
* [[Ecuación parabólica en derivadas parciales]]
* [[Ecuación elíptica en derivadas parciales]]
* [[Diferencia finita|Ecuación en diferencias finitas]]
* [[Ecuación diferencial estocástica]]

== Referencias ==
{{listaref|2}}

=== Bibliografía ===
{{refcomienza|2}}
*{{cita libro|apellido1=Aranda Iriarte|nombre1=José Ignacio|año=2011|título=Apuntes de ecuaciones diferenciales II (EDPs)|url=https://teorica.fis.ucm.es/pparanda/EDPdf/EDii/edii-pp11.pdf|lugar=[[Universidad Complutense de Madrid]]}}
* Ireneo Peral, ''[http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ireneo/libro.pdf Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales]''. Departamento de Matemáticas, [[Universidad Autónoma de Madrid]].
* R. Courant and D. Hilbert, ''Methods of Mathematical Physics'', vol II. Wiley-Interscience, New York, 1962.
* {{GSM|19}}
* J. Jost, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 2002.
* Hans Lewy (1957) An example of a smooth linear partial differential equation without solution. Annals of Mathematics, 2nd Series, 66(1),155-158.
* [[Ivan Petrovsky|I.G. Petrovskii]], ''Partial Differential Equations'', W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967.
* Y. Pinchover and J. Rubinstein, ''An Introduction to Partial Differential Equations'', [[Cambridge University Press]], Cambridge, 2005. ISBN 978-0-521-84886-2
* A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Ratón, 2002. ISBN 1-58488-299-9
* A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, ''Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Ratón, 2004. ISBN 1-58488-355-3
* A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations'', Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
* T. Roubíček: ''Nonlinear Partial Differential Equations with Applications.'' Birkhäuser, Basel, 2nd Ed.: 2013, SBN: 978-3-0348-0512-4 (DOI: 10.1007/978-3-0348-0513-1).
* Iório, Valéria, '' EDP un curso de graduación'', Instituto de matemáticas y ciencia afines, UNI, Lima (1999)- lIMA.
* Duff-Naylor, Differential equations and applied mathematics, John New York: Wiley and Sons, 1966.
* D. Zwillinger, ''Handbook of Differential Equations (3rd edition)'', Academic Press, Boston, 1997.
* {{Citation |first1=R. |last1=Courant|author-link=|name-list-style= |first2=D. |last2=Hilbert|author2-link=David Hilbert|title=Methods of Mathematical Physics |volume=II |publisher=Wiley-Interscience |location=New York |year=1962 |isbn=9783527617241|url=https://books.google.com/books?id=fcZV4ohrerwC}}.
* {{Citation |author-link= |first=L. C. |last=Evans |title=Partial Differential Equations |publisher=American Mathematical Society |location=Providence |year=1998 |isbn=0-8218-0772-2 }}.
* {{cite book|last1=Drábek|first1=Pavel|last2=Holubová|first2=Gabriela|title=Elements of partial differential equations|date=2007|publisher=de Gruyter|location=Berlin|isbn=9783110191240|edition= }}
* {{Citation |first=Nail H. |last=Ibragimov |author-link= |title=CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3 |publisher=CRC-Press |location=Providence |year=1993 |isbn=0-8493-4488-3 }}.
* {{Citation |author-link= |first=F. |last=John |title=Partial Differential Equations |location=New York |publisher=Springer-Verlag |year=1982 |edition=4th |isbn=0-387-90609-6 |url-access= |url=https://archive.org/details/partialdifferent00john_0 }}.
* {{Citation |first=J. |last=Jost |author-link= |title=Partial Differential Equations |publisher=Springer-Verlag |location=New York |year=2002 |isbn=0-387-95428-7 }}.
* {{Citation |first=P.J. |last=Olver |author-link= |year=1995 |title=Equivalence, Invariants and Symmetry |publisher=Cambridge Press }}.
* {{Citation |author-link= |first=I. G. |last=Petrovskii |title=Partial Differential Equations |publisher=W. B. Saunders Co. |location=Philadelphia |year=1967 }}.
* {{Citation |first1=Y. |last1=Pinchover |name-list-style= |first2=J. |last2=Rubinstein |title=An Introduction to Partial Differential Equations |publisher=Cambridge University Press |location=New York |year=2005 |isbn=0-521-84886-5 }}.
* {{Citation |first=A. D. |last=Polyanin |author-link= |title=Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists |publisher=Chapman & Hall/CRC Press |location=Boca Raton |year=2002 |isbn=1-58488-299-9 }}.
* {{Citation |first1=A. D. |last1=Polyanin |author-link=Andrei Polyanin |first2=V. F. |last2=Zaitsev |title=Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations |publisher=Chapman & Hall/CRC Press |location=Boca Raton |year=2004 |isbn=1-58488-355-3 }}.
* {{Citation |first1=A. D. |last1=Polyanin |author-link= |first2=V. F. |last2=Zaitsev |name-list-style= |first3=A. |last3=Moussiaux |title=Handbook of First Order Partial Differential Equations |publisher=Taylor & Francis |location=London |year=2002 |isbn=0-415-27267-X }}.
* {{citation|mr=3014456|last=Roubíček|first= T.|title=Nonlinear Partial Differential Equations with Applications |series=International Series of Numerical Mathematics|publisher= Birkhäuser|place= Basel, Boston, Berlin|edition=2nd|year= 2013 |volume=153 |isbn= 978-3-0348-0512-4|doi=10.1007/978-3-0348-0513-1|url=http://cds.cern.ch/record/880983/files/9783764372934_TOC.pdf}}
* {{Citation |first=H. |last=Stephani |author-link= |year=1989 |title=Differential Equations: Their Solution Using Symmetries |editor-first=M. |editor-last=MacCallum |publisher=Cambridge University Press }}.
* {{cite book |title=Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory |first=Abdul-Majid |last=Wazwaz |publisher=Higher Education Press |year=2009 |isbn=978-3-642-00251-9}}
* {{cite book |title=Partial Differential Equations Methods and Applications |first=Abdul-Majid |last=Wazwaz |publisher=A.A. Balkema |year=2002 |isbn=90-5809-369-7}}
* {{Citation |first=D. |last=Zwillinger |title=Handbook of Differential Equations |publisher=Academic Press |location=Boston |year=1997 |edition=3rd |isbn=0-12-784395-7 }}.
* {{Citation |author-link=Neil Gershenfeld |first=N. |last=Gershenfeld |title=The Nature of Mathematical Modeling |location=New York |publisher=Cambridge University Press, New York, NY, USA |year=1999 |edition=1st |isbn=0-521-57095-6 }}.
* {{Citation |first1=I.S. |last1=Krasil'shchik |name-list-style= |first2=A.M., Eds. |last2=Vinogradov |author2-link=Alexandre Mikhailovich Vinogradov |title=Symmetries and Conserwation Laws for Differential Equations of Mathematical Physics |publisher=American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, USA |year=1999 |isbn=0-8218-0958-X }}.
* {{Citation |first1=I.S. |last1=Krasil'shchik |first2=V.V. |last2=Lychagin|name-list-style= |first3=A.M. |last3=Vinogradov |author3-link= |title=Geometry of Jet Spaces and Nonlinear Partial Differential Equations |publisher=Gordon and Breach Science Publishers, New York, London, Paris, Montreux, Tokyo |year=1986 |isbn=2-88124-051-8 }}.
* {{Citation |first=A.M. |last=Vinogradov |author-link= |title=Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus |publisher=American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, USA |year=2001 |isbn=0-8218-2922-X }}.
* {{cite book |title=High Order Difference Methods for Time Dependent PDE|first=Bertil |last=Gustafsson|series=Springer Series in Computational Mathematics|author-link= |publisher=Springer |year=2008 |volume=38 |isbn=978-3-540-74992-9 |doi=10.1007/978-3-540-74993-6}}
{{reftermina}}

== Enlaces externos ==
{{Commonscat|Solutions of PDE}}
{{wikibooks|en:Partial Differential Equations|Partial Differential Equations}} (en inglés).
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/pde-en.htm Partial Differential Equations: Exact Solutions] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/eqindex/eqindex-pde.htm Partial Differential Equations: Index] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/methods/meth-pde.htm Partial Differential Equations: Methods] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [https://web.archive.org/web/20170701144823/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php?title=Partial_Differential_Equations Example problems with solutions] at exampleproblems.com
* {{MathWorld|PartialDifferentialEquation|Partial Differential Equations}}
* [https://web.archive.org/web/20060812140140/http://tosio.math.toronto.edu/wiki/index.php/Main_Page Dispersive PDE Wiki]
* [http://www.primat.mephi.ru/wiki/ NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia] {{Wayback|url=http://www.primat.mephi.ru/wiki/ |date=20181212023755 }}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Ecuaciones en derivadas parciales| ]]
[[Categoría:Conceptos fundamentales de la física]]