Ver el código de «Espacio F»

{{otros usos|este=espacios F en topología general|espacio substoneano}}

En [[análisis funcional]], un '''espacio F''' (también escrito en ocasiones '''F-espacio''') es un [[espacio vectorial]] <math>X</math> sobre los números [[Número real|reales]] o [[Número complejo|complejos]] junto con una [[Espacio métrico|métrica]] <math>d : X \times X \to \R</math> tal que:

# La multiplicación escalar en <math>X</math> es [[Función continua|continua]] con respecto a <math>d</math> y la métrica estándar en <math>\R</math> o <math>\Complex.</math>
# La suma en <math>X</math> es continua con respecto a <math>d.</math>
# La métrica es [[Espacio métrico|invariante a la traslación]]; es decir, <math>d(x + a, y + a)= d(x, y)</math> para todos los <math>x, y, a \in X.</math>
# El espacio métrico <math>(X, d)</math> es [[Espacio métrico completo|completo]].

La operación <math>x \mapsto \|x\|:= d(0, x)</math> se denomina '''norma F''', aunque en general no es necesario que una norma F sea homogénea. Con [[Simetría traslacional|invariancia a la traslación]], la métrica se puede recuperar de la norma F. Por lo tanto, un espacio F real o complejo es equivalente a un espacio vectorial real o complejo equipado con una norma F completa.

Algunos autores utilizan el término {{enf|[[espacio de Fréchet]]}} en lugar de {{enf|espacio F}}, pero normalmente el término "espacio de Fréchet" está reservado para los espacios F [[Espacio localmente convexo|localmente convexos]].
Algunos otros autores utilizan el término "espacio F" como sinónimo de "espacio de Fréchet", con lo que se refieren a un [[espacio vectorial topológico]] metrizable completo localmente convexo.
La métrica puede ser o no ser necesariamente parte de la estructura en un espacio F. Muchos autores solo requieren que dicho espacio sea [[Espacio vectorial topológico metrizable|metrizable]], de manera que satisfaga las propiedades anteriores.

==Ejemplos==

Todos los [[espacio de Banach|espacios de Banach]] y los [[Espacio de Fréchet|espacios de Fréchet]] son espacios F. En particular, un espacio de Banach es un espacio F con un requisito adicional de que <math>d(a x, 0)=|a|d(x, 0).</math><ref>Dunford N., Schwartz J.T. (1958). Linear operators. Part I: general theory. Interscience publishers, inc., New York. p. 59</ref>

Los [[Espacios Lp|espacios L<sup>p</sup>]] se puede convertir en espacios F para todos los <math>p \geq 0</math> y para <math>p \geq 1</math> se pueden convertir en espacios localmente convexos y, por lo tanto, en espacios de Fréchet e incluso en espacios de Banach.

===Ejemplo 1===

<math>L^{\frac{1}{2}}[0,\, 1]</math> es un espacio F. No admite seminormas continuas ni funcionales lineales continuos; tiene [[espacio dual]] trivial.

===Ejemplo 2===

Sea <math>W_p(\mathbb{D})</math> el espacio de todas las [[serie de Taylor]] con valores complejos

:<math>f(z)= \sum_{n \geq 0} a_n z^n</math>

en el disco unitario <math>\mathbb{D}</math>, de modo que

:<math>\sum_n \left|a_n\right|^p < \infty</math>

entonces, para <math>0 < p < 1,</math>, <math>W_p(\mathbb{D})</math> son espacios F bajo [[espacios Lp]]:

:<math>\|f\|_p= \sum_n \left|a_n\right|^p \qquad (0 < p < 1).</math>

De hecho, <math>W_p</math> es un [[álgebra casi de Banach]]. Además, para cualquier <math>\zeta</math> con <math>|\zeta|\leq 1</math>, la aplicación <math>f \mapsto f(\zeta)</math> es lineal acotada (funcional multiplicativo) en <math>W_p(\mathbb{D}).</math>

==Condiciones suficientes==

{{teorema|título=Teorema{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=35}}<ref name="Klee Inv metrics">{{Cite journal|last1=Klee|first1=V. L.|title=Invariant metrics in groups (solution of a problem of Banach)|year=1952|journal=Proc. Amer. Math. Soc.|volume=3|issue=3|pages=484–487|url=https://www.ams.org/journals/proc/1952-003-03/S0002-9939-1952-0047250-4/S0002-9939-1952-0047250-4.pdf|doi= 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4}}</ref>|nota=Klee (1952)|1=
Sea <math>d</math> una métrica {{enf|cualquiera}}<ref group=nota>No es necesario que sea invariante a la traslación.</ref> en un espacio vectorial <math>X</math> tal que la topología <math>\tau</math> inducida por <math>d</math> en <math>X</math> convierte a <math>(X, \tau)</math> en un espacio vectorial topológico. Si <math>(X, d)</math> es un espacio métrico completo, entonces <math>(X, \tau)</math> es un [[espacio vectorial topológico completo]].
}}

==Propiedades relacionadas==

El [[teorema de la función abierta]] implica que si <math>\tau \text{and } \tau_2</math> son topologías en <math>X</math> que convierten a <math>(X, \tau)</math> y <math>\left(X, \tau_2\right)</math> en [[espacio vectorial topológico metrizable|espacios vectoriales topológicos metrizables]] [[Espacio vectorial topológico completo|completos]] (por ejemplo, de Banach o [[Espacio de Fréchet|de Fréchet]]) y si una topología es [[Comparación de topologías|más fina o más gruesa]] que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si <math>\tau \subseteq \tau_2 \text{or } \tau_2 \subseteq \tau \text{then } \tau= \tau_2</math>).{{sfn|Trèves|2006|pp=166–173}}
  <ul>
  <li> Una aplicación lineal [[casi continua]] en un espacio F cuyo gráfico es cerrado es continua.{{sfn|Husain|Khaleelulla|1978|p=14}} </li>
  <li> Una aplicación lineal [[Aplicación lineal casi abierta|casi abierta]] en un espacio F cuyo gráfico es cerrado es necesariamente una [[funciones abiertas y cerradas|aplicación abierta]].{{sfn|Husain|Khaleelulla|1978|p=14}} </li>
  <li> Una aplicación lineal [[Aplicación lineal casi abierta|casi abierta]] continua de un espacio F es necesariamente una [[funciones abiertas y cerradas|aplicación abierta]].{{sfn|Husain|Khaleelulla|1978|p=15}} </li>
  <li> Una aplicación lineal continua casi abierta de un espacio F cuya imagen es [[conjunto exiguo|exigua]] en el codominio es necesariamente una [[funciones abiertas y cerradas|aplicación abierta]] [[Función sobreyectiva|sobreyectiva]].{{sfn|Husain|Khaleelulla|1978|p=14}} </li>
  </ul>

==Véase también==
{{lista de columnas|3|
*[[Espacio de Banach]]
*[[Espacio barrilado]]
*[[Espacio cuasi barrilado numerable]]
*[[Espacio métrico completo]]
*[[Espacio vectorial topológico completo]]
*[[Espacio DF]]
*[[Espacio de Fréchet]]
*[[Espacio de Hilbert]]
*[[Espacio K (análisis funcional)]]
*[[Espacio LB]]
*[[Espacio LF]]
*[[Espacio vectorial topológico metrizable]]
*[[Espacio nuclear]]
*[[Producto tensorial proyectivo]]
}}

==Notas==
{{reflist|group=nota}}

==Referencias==
{{listaref}}

==Bibliografía==
* {{cita libro|apellido1=Husain|nombre1=Taqdir|apellido2=Khaleelulla|nombre2=S. M.|título=Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces|editorial=[[Springer Science+Business Media]]|ubicación=Berlin, New York, Heidelberg|año=1978|volume=692|series=[[ Lecture Notes in Mathematics]]|isbn=978-3-540-09096-0|oclc=4493665}}
* {{cita libro|apellido=Khaleelulla|nombre=S. M.|título=Counterexamples in Topological Vector Spaces|editorial=[[Springer Science+Business Media]]|ubicación=Berlin, Heidelberg, New York|año=1982|volume=936|series=[[ Lecture Notes in Mathematics]]|isbn=978-3-540-11565-6|oclc=8588370}}
* {{cita libro|apellido=Narici|nombre=Lawrence|apellido2=Beckenstein|nombre2=Edward|título=Topological Vector Spaces|edición=Second|editorial=CRC Press|ubicación=Boca Raton, FL|año=2011|series=Pure and applied mathematics|isbn=978-1584888666|oclc=144216834}}
* {{cita libro|apellido=Rudin|nombre=Walter|enlace-autor=Walter Rudin|título=Real & Complex Analysis|editorial=McGraw-Hill|año=1966|isbn=0-07-054234-1}}
* {{cita libro|apellido=Rudin|nombre=Walter|enlace-autor=Walter Rudin|título=Functional Analysis|edición=Second|volume=8|editorial=[[McGraw Hill Education]]|ubicación=New York, NY|año=1991|series=International Series in Pure and Applied Mathematics|isbn=978-0-07-054236-5|oclc=21163277|url=https://archive.org/details/functionalanalys00rudi}}
* {{cita libro|apellido=Schaefer|nombre=Helmut H.|enlace-autor=Helmut H. Schaefer|apellido2=Wolff|nombre2=Manfred P.|título=Topological Vector Spaces|edición=Second|volume=8|editorial=Springer New York Imprint Springer|ubicación=New York, NY|año=1999|series=[[ Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|isbn=978-1-4612-7155-0|oclc=840278135}}
* {{cita libro|apellido1=Schechter|nombre1=Eric|enlace-autor=Eric Schechter|título=Handbook of Analysis and Its Foundations|editorial=Academic Press|ubicación=San Diego, CA|año=1996|isbn=978-0-12-622760-4|oclc=175294365}}
* {{cita libro|apellido=Trèves|nombre=François|enlace-autor=François Trèves|título=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels|editorial=Dover Publications|ubicación=Mineola, N.Y.|año=2006|año-original=1967|isbn=978-0-486-45352-1|oclc=853623322}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Espacios F|Espacios F]]
[[Categoría:Espacios vectoriales topológicos]]