Ver el código de «Espacio secuencial»

{{otros usos|para=el uso del término en biología|Espacio secuencial (evolución)}}

En [[análisis funcional]] y en otras áreas relacionadas de las [[matemáticas]], un '''espacio de secuencial''' (también '''espacio de sucesiones''' o '''espacio de secuencias''') es un [[espacio vectorial]] cuyos elementos son [[sucesión (matemática)|sucesiones]] infinitas de [[números reales]] o de [[números complejos]]. De manera equivalente, es un [[espacio funcional]] cuyos elementos son funciones que establecen correspondencias entre los [[números naturales]] y el [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] ''K'' de los números reales o complejos. El conjunto de todas estas funciones se identifica naturalmente con el conjunto de todas las [[sucesión (matemática)|sucesiones]] posibles con elementos en ''K'', y puede convertirse en un [[espacio vectorial]] bajo las operaciones [[adición puntual]] y multiplicación escalar puntual de funciones. Todos los espacios secuenciales son [[subespacio vectorial|subespacios lineales]] de este espacio. Los espacios secuenciales suelen estar equipados con una [[Norma vectorial|norma]], o al menos, con la estructura de un [[espacio vectorial topológico]].

Los espacios secuenciales más importantes en el análisis son los espacios {{math|''ℓ''<sup>''p''</sup>}}, que consisten en sucesiones sumables de potencias {{math|''p''}}, con la norma ''p'', casos especiales de [[Espacios Lp|espacios L<sup>''p''</sup>]] de [[medida numerable]] en el conjunto de los números naturales. Otras clases importantes de sucesiones como las [[límite de una sucesión|sucesiones convergentes]] o las [[#c, c0 y c00|sucesiones nulas]] forman espacios secuenciales, denominados respectivamente ''c'' y ''c''<sub>0</sub> con la [[norma del supremo]]. Cualquier espacio secuencial también puede equiparse con una [[topología]] de [[convergencia puntual]], bajo la que se convierte en un tipo especial de [[espacio de Fréchet]], llamado [[espacio FK]].

==Definición==

Una [[sucesión (matemática)|sucesión]] <math>x_{\bull}= \left(x_n\right)_{n \in \N}</math> en un conjunto <math>X</math> es simplemente una aplicación <math>X</math> valorada en <math>x_{\bull} : \N \to X</math>, cuyo valor en <math>n \in \N</math> se denota por <math>x_n</math> en lugar de la notación habitual entre paréntesis <math>x(n).</math>

===Espacio de todas las secuencias{{ancla|Espacio de todas las sucesiones}}{{ancla|Espacio de todas las sucesiones reales}}===

Sea <math>\mathbb{K}</math> el campo de los números reales o complejos. El conjunto <math>\mathbb{K}^{\N}</math> de todas las [[Sucesión (matemática)|sucesiones]] de elementos de <math>\mathbb{K}</math> es un [[espacio vectorial]] para la suma [[operación por componentes|por componentes]] de

:<math>\left(x_n\right)_{n \in \N} + \left(y_n\right)_{n \in \N}= \left(x_n + y_n\right)_{n \in \N},</math>

y la [[multiplicación escalar]] por componentes

:<math>\alpha\left(x_n\right)_{n \in \N}= \left(\alpha x_n\right)_{n \in \N}.</math>

Un '''espacio secuencial''' es cualquier [[subespacio vectorial]] de <math>\mathbb{K}^{\N}.</math>

Como espacio topológico, <math>\mathbb{K}^{\N}</math> está naturalmente dotado de una [[topología producto]]. Bajo esta topología, <math>\mathbb{K}^{\N}</math> es un [[espacio de Fréchet]], lo que significa que es un [[espacio vectorial topológico]] (EVT) [[Espacio localmente convexo|localmente convexo]], [[Espacio vectorial topológico metrizable|metrizable]] y [[Espacio vectorial topológico completo|completo]]. Sin embargo, esta topología es bastante patológica: no hay normas [[Función continua|continuas]] en <math>\mathbb{K}^{\N}</math> (y por lo tanto, la topología del producto no puede ser [[Espacio vectorial normado|definida]] por ninguna [[Norma vectorial|norma]]).{{sfn|Jarchow|1981|pp=129-130}} Entre los espacios de Fréchet, <math>\mathbb{K}^{\N}</math> es mínimo al no tener normas continuas:

{{teorema
|título= Teorema{{sfn|Jarchow|1981|pp=129-130}}
|1= Sea <math>X</math> un [[espacio de Fréchet]] sobre <math>\mathbb{K}.</math> Entonces, las siguientes expresiones son equivalentes:
 <ol> 
   <li> <math>X</math> no admite norma continua (es decir, cualquier seminorma continua en <math>X</math> tiene un espacio nulo no trivial). </li>
   <li> <math>X</math> contiene un subespacio vectorial EVT-isomorfo a <math>\mathbb{K}^{\mathbb{N} }</math>. </li>
   <li> <math>X</math> contiene un subespacio vectorial complementado EVT-isomorfo a <math>\mathbb{K}^{\mathbb{N} }</math>. </li>
 </ol> 
}}

Pero la topología del producto también es inevitable: <math>\mathbb{K}^{\N}</math> no admite una topología localmente convexa de Hausdorff [[Comparación de topologías|estrictamente más gruesa]].{{sfn|Jarchow|1981|pp=129-130}} Por esa razón, el estudio de sucesiones comienza encontrando un [[subespacio vectorial]] estricto de interés, y dotándolo de una topología ''diferente'' a la [[topología traza|topología del subespacio]].

===Espacios {{math|''ℓ''<sup>''p''</sup>}}===
{{VT|Espacios Lp|l1=Espacios L<sup>p</sup>|Espacio L infinito}}

Para <math>0 < p < \infty,</math> <math>\ell^p</math> es el subespacio de <math>\mathbb{K}^{\N}</math> que consta de todas las sucesiones <math>x_{\bull}= \left(x_n\right)_{n \in \N}</math> que satisfacen
:<math>\sum_n|x_n|^p < \infty.</math>

Si <math>p \geq 1,</math> entonces la función de valor real <math>\|\cdot\|_p</math> en <math>\ell^p</math> definida por

:<math>\|x\|_p ~=~ \left(\sum_n|x_n|^p\right)^{1/p} \qquad \text{for all } x \in \ell^p</math>

define una [[Norma vectorial|norma]] sobre <math>\ell^p.</math> De hecho, <math>\ell^p</math> es un [[espacio métrico completo]] con respecto a esta norma, y por tanto es un [[espacio de Banach]].

Si <math>p= 2</math>, entonces <math>\ell^2</math> también es un [[espacio de Hilbert]] cuando está dotado de su [[espacio prehilbertiano]] canónico, llamado {{nowrap|{{anclavis|'''producto interno euclídeo''',|producto interno euclídeo}}}} definido para todos los <math>x_\bull, y_\bull \in \ell^p</math> por

:<math>\langle x_\bull, y_\bull \rangle ~=~ \sum_n \overline{x_n} y_n.</math>

La norma canónica inducida por este producto interno es la norma <math>\ell^2</math> habitual, lo que significa que <math>\|\mathbf{x}\|_2= \sqrt{\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle}</math> para todo <math>\mathbf{x} \in \ell^p.</math>

Si <math>p= \infty,</math> entonces <math>\ell^{\infty}</math> se define como el espacio de todos los [[ bounded sequence]] dotados de la norma
:<math>\|x\|_\infty ~=~ \sup_n|x_n|,</math>
<math>\ell^{\infty}</math> también es un espacio de Banach.

Si <math>0 < p < 1,</math> entonces <math>\ell^p</math> no conlleva una norma, sino más bien un [[Espacio métrico|metric]] definido por
:<math>d(x,y) ~=~ \sum_n \left|x_n - y_n\right|^p.\,</math>

===''c'', ''c''<sub>0</sub> y ''c''<sub>00</sub>===
{{VT|Espacio c}}

Una {{enf|[[Límite de una sucesión|sucesión convergente]]}} es una secuencia <math>x_{\bull} \in \mathbb{K}^{\N}</math> tal que exista <math>\lim_{n \to \infty} x_n</math>.
El conjunto {{anclavis|<math>c</math>|c}}de todas las secuencias convergentes es un subespacio vectorial de <math>\mathbb{K}^{\N}</math> llamado [[espacio c|{{enf|{{anclavis||espacio de sucesiones convergentes.|espacio de secuencias convergentes}}}}]]Dado que toda secuencia convergente está acotada, <math>c</math> es un subespacio lineal de <math>\ell^{\infty}.</math>. Además, este espacio de secuencia es un subespacio cerrado de <math>\ell^{\infty}</math> con respecto a [[norma del supremo]], por lo que es un espacio de Banach con respecto a esta norma.

Una secuencia que converge a <math>0</math> se llama {{enf|[[límite de una sucesión]] }} y se denomina {{enf|{{anclavis|evanescente.|evanescente}}}} El conjunto de todas las sucesiones que convergen a <math>0</math> es un subespacio vectorial cerrado de <math>c</math> que, cuando está dotado de la [[norma del supremo]], se convierte en un espacio de Banach que se denota por {{anclavis|<math>c_0</math>|c0}}y se llama {{enf|{{anclavis|espacio de sucesiones nulas}}}}o {{enf|{{anclavis|espacio de sucesiones evanescentes.|espacio de sucesiones evanescentes}}}}.

El {{enf|{{anclavis|espacio de sucesiones finalmente cero,|espacio de sucesiones finalmente cero}}}} {{anclavis|<math>c_{00},</math>|c00}}es el subespacio de <math>c_0</math> que consta de todas las secuencias que tienen solo un número finito de elementos distintos de cero. Este no es un subespacio cerrado, y por lo tanto, no es un espacio de Banach con respecto a la norma del infinito. Por ejemplo, la secuencia <math>\left(x_{nk}\right)_{k \in \N}</math> donde <math>x_{nk}= 1/k</math> para las primeras entradas de <math>n</math> (para <math>k= 1, \ldots, n</math>) y es cero en el resto (es decir, <math>\left(x_{nk}\right)_{k \in \N}= \left(1, 1/2, \ldots, 1/(n-1), 1/n, 0, 0, \ldots\right)</math>) es una [[sucesión de Cauchy]], pero no converge a una sucesión en <math>c_{00}.</math>

===Espacio de todas las secuencias finitas===
{{ancla|Espacio de secuencias finitas}}

Sea:
:<math>\mathbb{K}^{\infty}=\left\{\left(x_1, x_2,\ldots\right)\in\mathbb{K}^{\N}:\text{all but finitely many }x_i\text{equal }0\right\}
</math>

que denota el '''espacio de sucesiones finitas sobre''' <math>\mathbb{K}</math>. Como espacio vectorial, <math>\mathbb{K}^{\infty}</math> es igual a <math>c_{00}</math>, pero <math>\mathbb{K}^{\infty}</math> tiene una topología diferente.

Para cada [[número natural]] {{nowrap|<math>n \in \N</math>,}} <math>\mathbb{K}^n</math> denota el [[espacio euclídeo]] habitual dotado con la [[Topología euclidiana|topología euclídea]], y sea <math>\operatorname{In}_{\mathbb{K}^n} : \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^{\infty}</math> denote la inclusión canónica.

:<math>\operatorname{In}_{\mathbb{K}^n}\left(x_1, \ldots, x_n\right)= \left(x_1, \ldots, x_n, 0, 0, \ldots \right)</math>.

La [[Imagen (matemática)|imagen]] de cada inclusión es

:<math>\operatorname{Im} \left( \operatorname{In}_{\mathbb{K}^n} \right) 
= \left\{\left(x_1, \ldots, x_n, 0, 0, \ldots \right) : x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{K} \right\} 
= \mathbb{K}^n \times \left\{(0, 0, \ldots) \right\}</math>

y consecuentemente,

:<math>\mathbb{K}^{\infty}= \bigcup_{n \in \N} \operatorname{Im} \left( \operatorname{In}_{\mathbb{K}^n} \right).</math>

Esta familia de inclusiones le da a <math>\mathbb{K}^{\infty}</math> una [[topología final]] <math>\tau^{\infty}</math>, definida como la [[Comparación de topologías|topología más fina]] en <math>\mathbb{K}^{\infty}</math>, de modo que todas las inclusiones sean continuas (un ejemplo de [[topología coherente]]). Con esta topología, <math>\mathbb{K}^{\infty}</math> se convierte en un [[espacio vectorial topológico]], secuencial, [[Espacio localmente convexo|localmente convexo]], de [[Espacio de Hausdorff|Hausdorff]] y [[Espacio vectorial topológico completo|completo]], es decir, {{enf|no}} es un [[espacio de Fréchet-Urysohn]]. La topología <math>\tau^{\infty}</math> también es [[Comparación de topologías|estrictamente más fina]] que la [[topología traza|topología del subespacio]] inducida en <math>\mathbb{K}^{\infty}</math> por <math>\mathbb{K}^{\N}</math>.

La convergencia en <math>\tau^{\infty}</math> tiene una descripción natural: si <math>v \in \mathbb{K}^{\infty}</math> y <math>v_{\bull}</math> es una sucesión en <math>\mathbb{K}^{\infty}</math>, entonces <math>v_{\bull} \to v</math> en <math>\tau^{\infty}</math> si y solo si <math>v_{\bull}</math> finalmente está contenida en una imagen única <math>\operatorname{Im} \left( \operatorname{In}_{\mathbb{K}^n} \right)</math> y <math>v_{\bull} \to v</math> bajo la topología natural de esa imagen.

A menudo, cada imagen <math>\operatorname{Im} \left( \operatorname{In}_{\mathbb{K}^n} \right)</math> se identifica con el <math>\mathbb{K}^n</math> correspondiente; explícitamente, se identifican los elementos <math>\left( x_1, \ldots, x_n \right) \in \mathbb{K}^n</math> y <math>\left( x_1, \ldots, x_n, 0, 0, 0, \ldots \right)</math>. Esto se ve facilitado por el hecho de que la topología subespacial en <math>\operatorname{Im} \left( \operatorname{In}_{\mathbb{K}^n} \right)</math>, el [[espacio cociente (topología)|espacio cociente]] de la aplicación <math>\operatorname{In}_{\mathbb{K}^n}</math> y la topología euclídea en <math>\mathbb{K}^n</math> coinciden. Con esta identificación, <math>\left( \left(\mathbb{K}^{\infty}, \tau^{\infty}\right), \left(\operatorname{In}_{\mathbb{K}^n}\right)_{n \in \N}\right)</math> es el [[límite directo]] del sistema dirigido <math>\left( \left(\mathbb{K}^n\right)_{n \in \N}, \left(\operatorname{In}_{\mathbb{K}^m\to\mathbb{K}^n}\right)_{m \leq n\in\N},\N \right),</math> donde cada inclusión agrega ceros a la derecha:

:<math>\operatorname{In}_{\mathbb{K}^m\to\mathbb{K}^n}\left(x_1, \ldots, x_m\right)= \left(x_1, \ldots, x_m, 0, \ldots, 0 \right)</math>.

Esto muestra que <math>\left(\mathbb{K}^{\infty}, \tau^{\infty}\right)</math> es un [[espacio LB]].

===Otros espacios de sucesiones===
El espacio de [[Serie (matemática)|series]] acotado, denotado por [[espacio Bs|bs]], es el espacio de sucesiones <math>x</math> para las que

:<math>\sup_n \left\vert \sum_{i=0}^n x_i \right\vert < \infty.</math>

Este espacio, cuando está equipado con la norma

:<math>\|x\|_{bs}= \sup_n \left\vert \sum_{i=0}^n x_i \right\vert,</math>

es un espacio de Banach isométricamente isomorfo a <math>\ell^{\infty},</math> a través de la [[aplicación lineal]]

:<math>(x_n)_{n \in \N} \mapsto \left(\sum_{i=0}^n x_i\right)_{n \in \N}.</math>

El subespacio ''cs'' que consta de todas las series convergentes es un subespacio que pasa al espacio ''c'' bajo este isomorfismo.

El espacio Φ o <math>c_{00}</math> se define como el espacio de todas las sucesiones infinitas con solo un número finito de términos distintos de cero (secuencias con [[soporte (matemática)|soporte finito]]). Este conjunto es [[Conjunto denso|denso]] en muchos espacios de sucesiones.

==Propiedades de los espacios ℓ<sup>''p''</sup> y del espacio ''c''<sub>0</sub>==
{{VT|Espacio c}}

El espacio ℓ<sup>2</sup> es el único espacio ℓ<sup>''p''</sup> que es un [[Espacio de Hilbert|de Hilbert]], ya que cualquier norma inducida por un [[espacio prehilbertiano]] debe satisfacer la [[regla del paralelogramo]].

:<math>\|x+y\|_p^2 + \|x-y\|_p^2= 2\|x\|_p^2 + 2\|y\|_p^2.</math>

Sustituir dos vectores unitarios distintos por ''x'' e ''y'' muestra directamente que la identidad no es verdadera a menos que ''p''&thinsp;=&thinsp;2.

Cada {{math|''ℓ''<sup>''p''</sup>}} es distinto, en el sentido de que {{math|''ℓ''<sup>''p''</sup>}} es un [[subconjunto]] estricto de {{math|''ℓ''<sup>''s''</sup>}} siempre que ''p''&thinsp;<&thinsp;''s''; además, {{math|''ℓ''<sup>''p''</sup>}} no es linealmente de [[isomorfismo|isomorfo]] a {{math|''ℓ''<sup>''s''</sup>}} cuando&nbsp;{{math|''p'' ≠ ''s''}}. De hecho, según el teorema de Pitt {{harv|Pitt|1936}}, todo operador lineal acotado de {{math|''ℓ''<sup>''s''</sup>}} a {{math|''ℓ''<sup>''p''</sup>}} es [[Operador compacto|compacto]] cuando {{math|''p'' < ''s''}}. Ningún operador de este tipo puede ser un isomorfismo; y además, no puede ser un isomorfismo en ningún subespacio de dimensión infinita de {{math|''ℓ''<sup>''s''</sup>}} y, por lo tanto, se dice que es [[estrictamente singular]].

Si 1&thinsp;<&thinsp;''p''&thinsp;<&thinsp;∞, entonces el [[Espacio dual|espacio dual (continuo)]] de ℓ<sup>''p''</sup> es isométricamente isomorfo a ℓ<sup>''q''</sup>, donde ''q'' es el [[conjugado de Hölder]] de ''p'': 1/''p''+ 1/''q''= 1. El isomorfismo específico asocia a un elemento ''x'' de {{math|''ℓ''<sup>''q''</sup>}} el funcional

:<math>L_x(y)= \sum_n x_n y_n</math>

para ''y'' en {{math|''ℓ''<sup>''p''</sup>}}. La [[desigualdad de Hölder]] implica que ''L''<sub>''x''</sub> es un funcional lineal acotado en {{math|''ℓ''<sup>''p''</sup>}} y, de hecho,

:<math>|L_x(y)|\le \|x\|_q\,\|y\|_p</math>

para que la norma del operador satisfaga que

:<math>\|L_x\|_{(\ell^p)^*} \stackrel{\rm{def}}{=}\sup_{y\in\ell^p, y\not=0} \frac{|L_x(y)|}{\|y\|_p} \le \|x\|_q.</math>

De hecho, tomando ''y'' como el elemento de {{math|''ℓ''<sup>''p''</sup>}} con

:<math>y_n= \begin{cases}
0&\text{if}\ x_n=0\\
x_n^{-1}|x_n|^q &\text{if}~ x_n \neq 0
\end{cases}</math>

resulta en que ''L''<sub>''x''</sub>(''y'') = ||''x''||<sub>''q''</sub>, de modo que de hecho

:<math>\|L_x\|_{(\ell^p)^*}= \|x\|_q.</math>

Por el contrario, dada una ''L'' funcional lineal acotada en {{math|''ℓ''<sup>''p''</sup>}}, la secuencia definida por {{math|1=''x''<sub>''n''</sub>= ''L''(''e''<sub>''n''</sub>)}} se encuentra en ℓ<sup>''q''</sup>. Por lo tanto, la aplicación <math>x\mapsto L_x</math> da una isometría

:<math>\kappa_q : \ell^q \to (\ell^p)^*.</math>

La aplicación

:<math>\ell^q\xrightarrow{\kappa_q}(\ell^p)^*\xrightarrow{(\kappa_q^*)^{-1}}</math>

obtenida componiendo κ<sub>''p''</sub> con el inverso de su [[Espacio dual|traspuesto]] coincide con la [[Espacio reflexivo|inyección canónica]] de ℓ<sup>''q''</sup> en su [[espacio dual]]. Como consecuencia, ℓ<sup>''q''</sup> es un [[espacio reflexivo]]. Por un mal uso de la notación, es habitual identificar ℓ<sup>''q''</sup> con el dual de ℓ<sup>''p''</sup>: (ℓ<sup>''p''</sup>)<sup>*</sup>&nbsp;= ℓ<sup>''q''</sup>. Entonces, se entiende por reflexividad la sucesión de identidades (ℓ<sup>''p''</sup>)<sup>**</sup>&nbsp;= (ℓ<sup>''q''</sup>)<sup>*</sup>&nbsp;= ℓ<sup>''p''</sup>.

El espacio ''c''<sub>0</sub> se define como el espacio de todas las secuencias que convergen a cero, con norma idéntica a ||''x''||<sub>∞</sub>. Es un subespacio cerrado de ℓ<sup>∞</sup>, y por lo tanto, un espacio de Banach. El [[Espacio dual|dual]] de ''c''<sub>0</sub> es ℓ<sup>1</sup>; el dual de ℓ<sup>1</sup> es ℓ<sup>∞</sup>. Para el caso del conjunto de índices de números naturales, ℓ<sup>''p''</sup> y ''c''<sub>0</sub> son [[Espacio separable|separables]], con la única excepción de ℓ<sup>∞</sup>. El dual de ℓ<sup>∞</sup> es el [[espacio ba]].

Los espacios ''c''<sub>0</sub> y ℓ<sup>''p''</sup> (para 1&nbsp;≤ ''p''&nbsp;< ∞) tienen una [[base de Schauder]] canónica incondicional {''e''<sub>''i''</sub>&nbsp;| ''i''&nbsp;= 1, 2,...}, donde ''e''<sub>''i''</sub> es la secuencia que es cero excepto por un 1 en la entrada ''i''<sup>&thinsp;th</sup>.

El espacio ℓ<sup>1</sup> cumple la [[propiedad de Schur]]: en ℓ<sup>1</sup>, cualquier sucesión que sea [[convergencia débil (espacio de Hilbert)|débilmente convergente]] también es [[Convergencia débil (espacio de Hilbert)|fuertemente convergente]] {{harv|Schur|1921}}. Sin embargo, dado que la [[topología débil]] en espacios de dimensión infinita es estrictamente más débil que la [[topología fuerte]], hay [[Red (matemática)|redes]] en ℓ<sup>1</sup> que son convergentes débiles pero no convergentes fuertes.

Los espacios ℓ<sup>''p''</sup> pueden ser [[Encaje (matemática)|embebidos]] en numerosos [[espacio de Banach|espacios de Banach]]. La pregunta de si todo espacio de Banach de dimensión infinita contiene un isomorfismo de algún ℓ<sup>''p''</sup> o de ''c''<sub>0</sub>, fue respondida negativamente por la construcción del [[espacio de Tsirelson]] por [[Boris Tsirelson|B. S. Tsirelson]] en 1974. La afirmación recíproca de que todo espacio de Banach separable es linealmente isométrico a un [[Espacio cociente (álgebra lineal)|espacio cociente]] de ℓ<sup>1</sup>, fue respondida afirmativamente por {{harvtxt|Banach|Mazur|1933}}. Es decir, para cada espacio de Banach separable ''X'', existe una función cociente <math>Q:\ell^1 \to X</math>, de modo que ''X'' es isomorfo a <math>\ell^1 / \ker Q</math>. En general, el núcleo ''Q'' no está complementado en ℓ<sup>1</sup>, es decir, no existe un subespacio ''Y'' de ℓ<sup>1</sup> tal que <math>\ell^1= Y \oplus \ker Q</math>. De hecho, ℓ<sup>1</sup> tiene incontables subespacios no complementados que no son isomorfos entre sí (por ejemplo, considérese <math>X=\ell^p</math>; dado que hay muchos no numerables de estos ''X''{{'}}, y dado que ningún ℓ<sup>''p''</sup> es isomorfo a ningún otro, hay, por lo tanto, incontablemente muchos núcleos ''Q''{{'}}s).

Excepto en el caso trivial de dimensión finita, una característica inusual de ℓ<sup>''p''</sup> es que no es [[espacio polinómicamente reflexivo|polinómicamente reflexivo]].

===Incremento de los espacios ℓ<sup>''p''</sup> en ''p''===
Para <math>p\in[1,\infty]</math>, los espacios <math>\ell^p</math> son crecientes en <math>p</math>, siendo el operador de inclusión continuo: para <math>1\le p < q\le\infty</math>, se tiene que <math>\|x\|_q\le\|x\|_p</math>. De hecho, la desigualdad es homogénea en <math>x_i</math>, por lo que es suficiente probarlo bajo el supuesto de que <math>\|x\|_p= 1</math>. En este caso, solo se necesita mostrar que <math>\textstyle\sum|x_i|^q \le 1</math> para <math>q > p</math>. Pero si <math>\|x\|_p= 1</math>, entonces <math>|x_i|\le 1</math> para todos los <math>i</math> y luego <math>\textstyle\sum|x_i|^q \le \textstyle\sum|x_i|^p= 1</math>.

===''ℓ''<sup>2</sup> es isomorfo a todos los espacios de Hilbert separables y de dimensión infinita===
Sea H un [[Espacio de Hilbert|espacio de Hilbert separable]]. Todo conjunto ortogonal en H es, como máximo, numerable (es decir, tiene [[Espacio de Hilbert|dimensión]] o <math>\,\aleph_0\,</math> finito).<ref name="Debnath, Mikusinski-2005">{{cite book|last1= Debnath|first1= Lokenath|last2= Mikusinski|first2= Piotr|title=Hilbert Spaces with Applications|publisher=Elsevier|isbn= 978-0-12-2084386|pages=120-121|year=2005}}</ref> Las dos sentencias siguientes están relacionadas:
* Si H es de dimensión infinita, entonces es isomorfo a ''ℓ''<sup>2</sup>
* Si {{math|1=dim(''H'')= ''N''}}, entonces H es isomorfo a <math>\Complex^N</math>

==Propiedades de los espacios ''ℓ''<sup>1</sup>==
Una sucesión de elementos en ''ℓ''<sup>1</sup> converge en el espacio de sucesiones complejas ''ℓ''<sup>1</sup> si y solo si converge débilmente en este espacio.{{sfn|Trèves|2006|pp=451-458}}
Si ''K'' es un subconjunto de este espacio, entonces las siguientes expresiones son equivalentes:{{sfn|Trèves|2006|pp=451-458}}
# ''K'' es compacto;
# ''K'' es débilmente compacto;
# ''K'' es acotado, cerrado y equipequeño en el infinito.
Aquí, ''K'' es '''equipequeño en el infinito''' significa que para cada <math>\varepsilon > 0</math>, existe un número natural <math>n_{\varepsilon} \geq 0</math> tal que <math display="inline">\sum_{n= n_{\epsilon}}^{\infty}|s_n|< \varepsilon</math> para todo <math>s= \left( s_n \right)_{n=1}^{\infty} \in K</math>.

==Véase también==
*[[Espacios Lp|Espacios L<sup>p</sup>]]
*[[Espacio de Tsirelson]]
*[[Espacio dual beta]]
*[[Espacio secuencial de Orlicz]]
*[[Espacio de Hilbert]]

==Referencias==
{{listaref}}

==Bibliografía==
* {{cita libro|apellido1=Banach|nombre1=Stefan|apellido2=Mazur|nombre2=S.|título=Zur Theorie der linearen Dimension|journal=Studia Mathematica|volume=4|año=1933|pages=100–112}}
* {{cita libro|apellido1=Dunford|nombre1=Nelson|apellido2=Schwartz|nombre2=Jacob T.|título=Linear operators, volume I|editorial=Wiley-Interscience|año=1958}}
* {{cita libro|apellido=Jarchow|nombre=Hans|título=Locally convex spaces|url=https://archive.org/details/locallyconvexspa0000jarc|editorial=B.G. Teubner|ubicación=Stuttgart|año=1981|isbn=978-3-519-02224-4|oclc=8210342}}
* {{cita libro|apellido=Pitt|nombre=H.R.|doi=10.1112/jlms/s1-11.3.174|título=A note on bilinear forms|journal=J. London Math. Soc.|volume=11|issue=3|año=1936|pages=174–180}}
* {{cita libro|apellido=Narici|nombre=Lawrence|apellido2=Beckenstein|nombre2=Edward|título=Topological Vector Spaces|edición=Second|editorial=CRC Press|ubicación=Boca Raton, FL|año=2011|series=Pure and applied mathematics|isbn=978-1584888666|oclc=144216834}}
* {{cita libro|apellido=Schaefer|nombre=Helmut H.|enlace-autor=Helmut H. Schaefer|apellido2=Wolff|nombre2=Manfred P.|título=Topological Vector Spaces|edición=Second|volume=8|editorial=Springer New York Imprint Springer|ubicación=New York, NY|año=1999|series=[[ Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|isbn=978-1-4612-7155-0|oclc=840278135}}
* {{cita libro|apellido=Schur|nombre=J.|título=Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen|journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik|volume=151|año=1921|pages=79–111|doi=10.1515/crll.1921.151.79}}
* {{cita libro|apellido=Trèves|nombre=François|enlace-autor=François Trèves|título=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels|editorial=Dover Publications|ubicación=Mineola, N.Y.|año=2006|año-original=1967|isbn=978-0-486-45352-1|oclc=853623322}}

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