Ver el código de «Espinor»

[[File:Spinor on the circle.png|thumb|right|upright=1.5|Un espinor visualizado como un vector que apunta a lo largo de una [[banda de Möbius]], exhibiendo una inversión de signo cuando el círculo (el "sistema físico") se gira continuamente durante un giro completo de 360°.<ref group="nota">Los espinores en tres dimensiones son puntos de un [[haz de rectas]] sobre una cónica en el plano proyectivo. En esta imagen, que está asociada a los espinores de un espacio de pseudo-euclídeo tridimensional de signatura (1,2), la cónica es una cónica real ordinaria (aquí el círculo), el haz de líneas es el haz de Möbius y el giro el grupo es SL<sub>2</sub> ('''R'''). En la signatura euclídea, el plano proyectivo, el haz cónico y el conjunto de líneas están sobre el espacio complejo, y esta imagen es solo una porción real.</ref>]]
En [[geometría]] y [[física]], los '''espinores''' son elementos de un [[espacio vectorial]] ([[Número complejo|complejo]]) que pueden ponerse en correspondencia o asociarse a vectores de un [[espacio euclídeo]].<ref group="nota">Los espinores siempre se pueden definir sobre los números complejos. Sin embargo, para algunas signaturas existen [[Espín|espines]] reales. Los detalles se pueden encontrar en [[representación de giro]].</ref> Al igual que los [[Vector#Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales|vectores físicos]] y los [[cálculo tensorial|tensores]] de forma más general, los espinores se [[Aplicación lineal|transforman linealmente]] cuando el espacio euclídeo se somete a una leve rotación.<ref group="nota">Una definición formal de los espinores en este nivel es que el espacio de los espinores es una [[representación lineal]] del [[álgebra de Lie]] de las [[Matriz de rotación|matrices de rotación]] de un [[Representación de espín|cierto tipo]].</ref>
== Introducción ==
{{Imagen múltiple
|foto1=Belt trick 2.gif
|foto2=Belt trick 1.gif
|ancho1=213
|ancho2=200
|texto=Una rotación gradual se puede visualizar como una cinta en el espacio.<ref group="nota">El [[marco TNB]] de la cinta define una rotación continua para cada valor del parámetro de longitud de arco.</ref> Dos rotaciones graduales con diferentes clases, una a 360° y una a 720° se ilustran aquí en la prueba del ''[[truco del plato]]''. Una solución de la prueba es una manipulación continua del cinturón, que fijando los puntos finales, lo desenrosca. Esto es imposible con la rotación de 360°, pero es posible con la rotación de 720°. Una solución, mostrada en la segunda animación, da una [[homotopía]] explícita en el grupo de rotación entre la rotación de 720° y la rotación identidad de 0°
}}

[[File:Belt Trick.ogv|thumb|Un objeto unido por cinturones o cuerdas puede girar continuamente sin enredarse. Obsérvese que después de que el cubo complete una rotación de 360°, la espiral se invierte desde su configuración inicial. Las ligaduras vuelven a su configuración original después de girar un total de 720°]]
[[File:Antitwister.ogv|thumb|Un ejemplo más extremo que demuestra que este principio funciona con cualquier número de ligaduras. En el límite, una pieza de espacio sólido continuo puede girar en su propio emplazamiento sin rasgarse o intersecarse]]
Tanto los espinores como los [[vector]]es son elementos de un espacio vectorial, la diferencia radica en como se comportan sus componentes al considerar un cambio de referencia o de cambio de base. Además en las aplicaciones prácticas los espinores se toman como elementos de un espacio vectorial sobre <math>\mathbb{C}</math>, mientras que los vectores físicos se definen sobre <math>\mathbb{R}</math>. Para entender esto de los cambios de componentes consideremos como se transforman las componentes de tensores y espinores al rotar la base vectorial en la se expresan. Considérese aplicar una rotación a las coordenadas de un sistema. Ningún objeto en el propio sistema se ha movido, solo las coordenadas lo han hecho, por lo que siempre habrá un cambio compensatorio en esos valores de coordenadas cuando se apliquen a cualquier objeto del sistema. Los vectores geométricos, por ejemplo, tienen componentes que experimentarán ''la misma'' rotación que las coordenadas. Más ampliamente, cualquier [[cálculo tensorial]] asociado con el sistema (por ejemplo, la [[Tensor tensión|tensión]] de algún medio) también tiene descripciones de coordenadas que se ajustan para compensar los cambios en el sistema de coordenadas en sí. Los espinores no aparecen en este nivel de la descripción de un sistema físico, cuando uno se ocupa solo de las propiedades de una sola rotación aislada de las coordenadas. Más bien, aparecen cuando se imagina que, en lugar de una sola rotación, el sistema de coordenadas se rota gradualmente ([[Función continua|continuamente]]) entre alguna configuración inicial y otra final. Para cualquiera de las cantidades familiares e intuitivas (''tensoriales'') asociadas con el sistema, la ley de transformación no depende de los detalles precisos de cómo llegaron las coordenadas a su configuración final. Los espinores, por otro lado, están construidos de tal manera que los hace "sensibles" a cómo llegó allí la rotación gradual de las coordenadas: exhiben dependencia del camino. 
Resulta que, para cualquier configuración final de las coordenadas, en realidad hay (''[[Topología|topológicamente]]'') dos rotaciones ''graduales'' (equivalentes) desiguales del sistema de coordenadas que resultan en esta misma configuración. Esta ambigüedad se llama [[homotopía]] de la rotación gradual. El ejemplo del [[truco del plato|cinturón enredado]] es un caso famoso en el que dos rotaciones diferentes, una a través de un ángulo de 2π y la otra a través de un ángulo de 4π, que tienen las mismas configuraciones finales pero diferentes clases. Los espinores en realidad muestran una inversión de signo que realmente depende de esta clase de homotopía. Esto los distingue de los vectores y otros tensores, ninguno de los cuales son sensibles al giro acumulado.

Los espinores se pueden exhibir como objetos concretos usando una elección de [[coordenadas cartesianas]]. En tres dimensiones euclidianas, por ejemplo, los espinores pueden construirse haciendo una elección de [[matrices de Pauli]] correspondientes a (por ejemplo, [[angular momentum operator|momentos angulares]] respecto a) los tres ejes de coordenadas. Estas son matrices de 2×2 con [[Número complejo|números complejos]], y los [[vector columna|vectores columna]] complejos de dos componentes en los que actúan estas matrices por [[multiplicación de matrices]] son los espinores. En este caso, el grupo de giro es isomorfo al grupo de 2×2 de [[Matriz unitaria|matrices unitarias]] con [[determinante (matemática)|determinante]] uno, que naturalmente se encuentra dentro del álgebra matricial. Este grupo actúa por conjugación en el espacio vectorial real abarcado por las matrices de Pauli,<ref group="nota">Este es el conjunto de [[Matriz hermitiana|matrices hermíticas]] complejas [[Traza (álgebra lineal)|sin traza]] de orden 2×2.</ref> estructurándolo como un grupo de rotaciones entre ellas,<ref group="nota">Excepto para un [[kernel (álgebra)|kernel]] de <math>\{\pm 1\}</math> correspondiente a los dos elementos diferentes del grupo de espín que corresponden a la misma rotación.</ref> pero también actúa sobre los vectores columna (es decir, sobre los espinores).

Más generalmente, un álgebra de Clifford puede construirse a partir de cualquier espacio vectorial ''V'' dotado de una [[forma cuadrática]] (no degenerada), como el [[espacio euclídeo]] con su producto escalar estándar, o el [[espacio-tiempo de Minkowski]] con su métrica de Lorentz estándar. El [[Grupo espinorial|espacio de los espinores]] es el conjunto de vectores columna con componentes <math>2^{\lfloor\dim V/2\rfloor}</math>. El álgebra ortogonal de Lie (es decir, las "rotaciones" infinitesimales) y el grupo de espín asociado a la forma cuadrática están ambos (canónicamente) contenidos en el álgebra de Clifford, por lo que cada representación del álgebra de Clifford también define una representación del álgebra de Lie y del grupo de espín.<ref group="nota">Por lo tanto, la ambigüedad en la identificación de los propios espines persiste desde el punto de vista de la teoría de grupos y aún depende de las elecciones realizadas.</ref> Dependiendo de la dimensión y de la [[signatura métrica]], esta realización de los espinores como vectores columna puede ser [[irreducible representation|irreducible]] o puede descomponerse en un par de las denominadas ''medias vueltas'' o representaciones de Weyl.<ref group="nota">El álgebra de Clifford puede recibir una calificación par/impar [[Álgebra graduada|graduada]] de la paridad en las gammas, y el grupo de espín y su álgebra de Lie se encuentran en la parte par. Ya sea aquí por "representación", aquí se habla de las representaciones del grupo de espín o al álgebra de Clifford que afectará a la determinación de su reducibilidad. También pueden existir otras estructuras además de esta división; los criterios precisos se cubren en los artículos dedicados a la [[representación de espín]] y al [[Álgebra de Clifford]].</ref> Cuando el espacio vectorial ''V'' es de cuatro dimensiones, el álgebra se describe mediante [[matrices gamma]].

== Tipos de espinores ==
En la práctica existen varios tipos de objetos denominados informalemente espinor cuyas leyes de transformación bajo cambios de coordenadas o sistemas de referencia son ligeramente diferentes. Con el fin de clarificar esto enumeramos los tipos antes de proceder a la discusión detallada:

* '''[[Espinor de Pauli|Espinores de Pauli]]''' son elementos de un espacio vectorial <math>\mathbb{C}^2</math>, cuyas componentes se transforman al cambiar de [[sistema de referencia]] mediante el [[grupo de Lie|grupo]] [[Grupo unitario especial|SU(2)]], isomorfo al [[grupo espinorial]] Sp(3). Sirven para representar de forma matemáticamente conveniente vectores tridimensonales de <math>\mathbb{R}^3</math> y para definir su estructura matemática se emplea un [[producto interno]] relacionado con el [[producto escalar]] euclídeo, que condiciona la forma correcta en que se transforman bajo cambios de referencia las componentes. Este tipo de espinores surgió en el contexto de la [[mecánica cuántica]] no relativista.
* '''[[Espinor de Weyl|Espinores de Weyl]]''' son también elementos del espacio vectorial <math>\mathbb{C}^2</math>, pero dotado de una estructura diferente En este caso las componentes se transforman al cambiar de sistema de referencia mediante el grupo [[Grupo lineal especial|SL(2,'''C''')]], isomorfo al grupo espinorial Sp(3,1). Sirven para representar [[cuadrivector]]es del [[espacio de Minkowski]] y se usan en aplicaciones relativistas, su estructura matemática usa una [[variedad simpléctica|forma simpléctica]] que se puede relacionar con el producto interno asociado a [[métrica de Minkowski]] de <math>\mathbb{R}^4</math>. Nuevamente ese último hecho condiciona las propiedades transformación de componentes bajo cambios de referencia. Este tipo de espinores es el más ampliamente usado en física y se emplean en la mecánica cuántica relativista, mejor conococida como [[teoría cuántica de campos]].
* '''[[Espinor de Diract|Espinores de Dirac]]''' o biespinores, son elementos del espacio vectorial <math>\mathbb{C}^2\times\mathbb{C}^2</math> y, en realidad, no son estrictamente un nuevo tipo de espinor ya que un espinor de Dirac realmente equivale a un par de espinores de Weyl, razón por la cual a veces se les llama biespionores.
Así, la diferencia esencial de los vectores y los espinores de la física es cómo se transforman sus componentes cuando representamos dicho objeto en diferentes bases vectoriales. Así las componentes de un mismo vector tridimensional expresadas en dos bases vectoriales diferentes, se relacionan mediante una matriz de rotación o elemento del [[grupo de Lie]] [[grupo ortogonal|SO(3)]], mientras que las componentes de un espinor se relacionan mediante una matriz que representa un elemento del grupo SU(2) (en el caso de espinores de Pauli) o [[Grupo lineal especial|SL(2,'''C''']].

Matemáticamente se podrían definir nuevos tipos de espinores pensando en las representaciones fundamentales del grupo espinoral Sp(''n''). De hecho los dos tipos espinoriales básicos de la física actual se basan en el grupo de rotaciones del espacio euclídeo y el grupo de transformaciones de Lorentz del espacio de Minkowski.
=== Vectores tridimensionales y espinores de Pauli ===
Esto implica, por ejemplo que para el caso de espinores, cuando se compone una secuencia de pequeñas rotaciones ([[producto integral|integradas]]) para formar una rotación final general, la transformación del espinor resultante depende de la secuencia de rotaciones pequeñas que se hayan aplicado: al contrario que los vectores y los tensores, un espinor se transforma en su opuesto cuando el espacio se gira continuamente a través de un giro completo de 0° a 360° (véase la imagen). Esta propiedad caracteriza a los espinores: se pueden ver como las ''raíces cuadradas'' de los vectores. En términos rigurosos, un vector tridimensional ordinario se puede expresar como una combinación cuadrática de las componentes de un espinor.

=== Cuadrivectores y espinores de Weyl ===
También es posible definir un tipo de espinor similar al anterior en un [[espacio-tiempo de Minkowski]], en cuyo caso las [[transformación de Lorentz]] de la [[teoría de la relatividad especial]] desempeñan el papel de las rotaciones. Los espinores fueron introducidos en geometría por [[Élie Cartan]] en 1913.<ref>{{Harvnb|Cartan|1913}}.</ref><ref name="cartan-1966-quote">Cita de Elie Cartan: "The Theory of Spinors", Hermann, París, 1966, primera frase de la sección Introducción del comienzo del libro (antes de que comiencen los números de página): "Los espinores se usaron por primera vez con ese nombre, por los físicos, en el campo de la mecánica cuántica. En su forma más general, los espinores fueron descubiertos en 1913 por el autor de este trabajo, en sus investigaciones sobre las representaciones lineales de grupos simples*; proporcionan una representación lineal del grupo de rotaciones en un espacio con cualquier número <math>n</math> de dimensiones, cada espinor tiene <math>2^\nu</math> componentes, donde <math> n = 2\nu + 1</math> o <math>2\nu</math>". El asterisco (*) se refiere a Cartan 1913.</ref> En la década de 1920, los físicos descubrieron que los espinores son esenciales para describir el [[espín]] del [[electrón]] y otras partículas subatómicas.<ref group="nota">Más precisamente, son los [[Fermión|fermiones]] de [[spin-1/2]] los que son descritos por los espinores, lo cual es cierto tanto en la teoría relativista como en la no relativista. La función de onda del electrón no relativista tiene valores en espinores de 2 componentes que se transforman bajo rotaciones infinitesimales tridimensionales. La [[ecuación de Dirac]] relativista para el electrón es una ecuación para los espinores de 4 componentes que se transforman bajo las transformaciones de Lorentz infinitesimales para las cuales existe una teoría de los espinores sustancialmente similar.</ref>
Los espinores se caracterizan por la forma específica en como se comportan ante las rotaciones. Cambian de diferentes maneras dependiendo no solo de la rotación final general, sino también de los detalles de cómo se logró esa rotación (mediante una trayectoria continua en el [[grupo ortogonal]]). Hay dos clases topológicamente distinguibles ([[homotopía|homotópicas]]) de trayectorias a través de rotaciones que dan como resultado la misma rotación general, como se ilustra en el famoso movimiento de contorsión denominado [[truco del plato]]. Estas dos clases distintas producen transformaciones espinoriales de signo opuesto. El [[grupo espinorial]] es el grupo de todas las rotaciones que se mantienen en la clase.<ref group="nota">Formalmente, el grupo de [[espín]] es el grupo de [[homotopía]] con puntos finales fijos en el grupo de rotación.</ref> Recubre doblemente el grupo de rotación, ya que cada rotación se puede obtener de dos maneras desiguales como el punto final de una ruta. El espacio de los espinores está equipado por definición con una [[representación lineal]] (compleja) del grupo de espines, lo que significa que los elementos del grupo de espines [[Acción (matemática)|actuantes]] son transformaciones lineales en el espacio de los espinores, de una manera que realmente depende de la clase de homotopía.<ref group = "nota">Más formalmente, el espacio de los espinores se puede definir como una representación ([[representación irreducible|irreducible]]) del grupo de espín que no se factoriza a través de una representación del grupo de rotación (en general, el componente conexo de la identidad del [[grupo ortogonal]]).</ref> En términos matemáticos, los espinores se describen mediante una [[representación proyectiva]] de doble valor del grupo de rotación SO(3).

Aunque los espinores se pueden definir puramente como elementos de un espacio de representación del grupo de espines (o su [[álgebra de Lie]] de rotaciones infinitesimales), típicamente se definen como elementos de un espacio vectorial que lleva asociada una representación lineal del [[álgebra de Clifford]]. El álgebra de Clifford es un [[álgebra asociativa]] que se puede construir a partir del espacio euclidiano y su [[producto interno]] de forma independiente de la base. Tanto el grupo de espín como su álgebra de Lie están incrustados dentro del álgebra de Clifford de manera natural, y en las aplicaciones, el álgebra de Clifford es a menudo el más fácil de trabajar.<ref group="nota">[[Álgebra geométrica]] es un nombre para el álgebra de Clifford en una configuración aplicada.</ref> Después de elegir una base ortonormal del espacio euclídeo, se genera una representación del álgebra de Clifford mediante [[matrices gamma]], matrices que satisfacen un conjunto de relaciones canónicas de anti-conmutación. Los espinores son los vectores columna sobre los que actúan estas matrices. En tres dimensiones euclídeas, por ejemplo, las [[matrices de Pauli]] es un conjunto de matrices gamma,<ref group = "nota"> las matrices de Pauli corresponden a [[operador de momento angular|operadores momento angular]] sobre los tres ejes de coordenadas. Esto los convierte en matrices gamma ligeramente típicas porque además de su relación anti conmutativa, también satisfacen las relaciones conmutativas.</ref> y los [[vector columna|vectores columna]] complejos de dos componentes sobre los que actúan estas matrices son espinores. Sin embargo, la representación matricial particular del álgebra de Clifford, por lo que precisamente constituye un ''vector columna'' (o espinor), implica la elección de las matrices base y gamma de una manera esencial. Como una representación del grupo de espines, esta realización de los espinores como vectores columna (complejos)<ref group="nota">La [[firma métrica]] también es relevante si interesan los espines reales. Véase la [[representación del espín]].</ref> será [[representación irreducible|irreducible]] si la dimensión es impar, o se descompondrá en un par de los llamados ''semi-espines'' o representaciones de Weyl si la dimensión es par.<ref group="nota">Si la representación se descompone depende de si se consideran representaciones del grupo de espín (o su álgebra de Lie), en cuyo caso se descompone en dimensiones pares pero no impares, o en el álgebra de Clifford cuando es al revés. También pueden existir otras estructuras distintas de esta descomposición; los criterios precisos se analizan en los artículos dedicados a la [[representación del espín]] y al [[álgebra de Clifford]].</ref>

== Definición matemática ==

El espacio de los espinores se define formalmente como la [[representación fundamental]] del [[álgebra de Clifford]] (que puede o no descomponerse en representaciones irreducibles). El espacio de los espinores también se puede definir como una [[representación de espín]] del [[grupo ortogonal]]. Estas representaciones de espín también se caracterizan como representaciones proyectivas de dimensión finita del grupo ortogonal especial que no tienen en cuenta las representaciones lineales. De manera equivalente, un espinor es un elemento de una [[representación de grupo]] de dimensión finita del [[grupo espinorial]] en el que el [[Centro de un grupo|centro]] actúa de manera no trivial.

=== Visión general ===
En esencia, se dispone de dos marcos para interpretar la noción de un espinor.
* Uno es la [[teoría de la representación|representación de grupos]]. Desde este punto de vista, se sabe de antemano que hay algunas representaciones del [[álgebra de Lie]] del [[grupo ortogonal]] que no pueden estar formadas por las construcciones tensoriales habituales. Estas representaciones que faltan se etiquetan como ''[[representación de espín|representaciones de espín]]'', y sus componentes como ''espines''. Desde este punto de vista, un espinor debe pertenecer a una [[Representación de grupo|representación]] del [[Espacio recubridor|doble recubrimiento]] del [[Grupo ortogonal|grupo de rotación]] {{nowrap|SO(''n'', '''R''')}}, o más generalmente, del doble recubrimiento del [[grupo ortogonal especial generalizado]] {{nowrap|SO<sup>+</sup>(''p'', ''q'', '''R''')}} en espacios con [[signatura métrica]] {{nowrap|(''p'', ''q'')}}. Estos recubrimientos dobles forman un tipo de [[grupo de Lie]], denominados [[grupo espinorial|grupos espinoriales]] {{nowrap|Spin(''n'')}} o {{nowrap|Spin(''p'', ''q'')}}. Todas las propiedades de los espinores, y sus aplicaciones y objetos derivados, se manifiestan primero en el grupo de espín. Las representaciones de los recubrimientos dobles de estos grupos producen la [[representación proyectiva]] de doble valor de los grupos mismos (lo que significa que la acción de una rotación particular en vectores en el espacio cuántico de Hilbert solo se define sin signo).
* El otro punto de vista es geométrico. Se pueden construir explícitamente los espines y luego examinar cómo se comportan bajo la acción de los grupos de Lie relevantes. Este último enfoque tiene la ventaja de proporcionar una descripción concreta y elemental de lo que es un espinor. Sin embargo, tal descripción se vuelve difícil de manejar cuando se necesitan propiedades complicadas de los espinores, como las descritas según las [[identidad de Fierz|identidades de Fierz]].

=== Álgebras de Clifford ===
{{AP|Álgebra de Clifford}}

El lenguaje de las [[Álgebra de Clifford|álgebras de Clifford]]<ref>En referencia a [[William Kingdon Clifford]]</ref> (a veces llamadas [[álgebra geométrica|álgebras geométricas]]) proporciona una imagen completa de las representaciones de espín de todos los grupos de espines y las diversas relaciones entre esas representaciones, a través de la [[clasificación de álgebras de Clifford]]. En gran medida elimina la necesidad de construcciones "ad hoc".

En detalle, sea ''V'' un espacio vectorial complejo de dimensión finita con [[forma bilineal]] no degenerada ''g''. El álgebra de Clifford {{nowrap|Cℓ(''V'', ''g'')}} está generada por ''V'' junto con la relación de conmutación previa {{nowrap|1=''xy'' + ''yx'' = 2''g''(''x'', ''y'')}}. Es una versión abstracta del álgebra generada por las [[matrices gamma]] o por las [[matrices de Pauli]]. Si ''V'' = '''C'''<sup>''n''</sup>, con la fórmula estándar {{nowrap|1=''g''(''x'', ''y'') = ''x''<sup>t</sup>''y'' = ''x''<sub>1</sub>''y''<sub>1</sub> + ... + ''x''<sub>n</sub>''y''<sub>''n''</sub>}} se denota el álgebra de Clifford por Cℓ<sub>''n''</sub> ('' 'C' ''). Dado que por la elección de una base ortonormal, todo espacio vectorial complejo con forma no degenerada es isomorfo a este ejemplo estándar, esta notación se usa impropiamente de manera más general si {{nowrap|1=dim<sub>'''C'''</sub>(''V'') = ''n''}}. Si {{nowrap|1=''n'' = 2''k''}} es par, Cℓ<sub>''n''</sub> ('' 'C' '') es isomorfo como un álgebra (de una manera no única) para el álgebra {{nowrap|Mat(2<sup>''k''</sup>, '''C''')}} de las matrices complejas {{nowrap|2<sup>''k''</sup> × 2<sup>''k''</sup>}} (por el [[teorema de Artin-Wedderburn]] y por el hecho fácil de demostrar de que el álgebra de Clifford es [[Álgebra simple central|central simple]]). Si {{nowrap|1=''n'' = 2''k'' + 1}} es impar, Cℓ<sub>2''k''+1</sub> ('' 'C' '') es isomorfo al álgebra {{nowrap|Mat(2<sup>''k''</sup>, '''C''') ⊕ Mat(2<sup>''k''</sup>, '''C''')}} de dos copias de las matrices complejas {{nowrap|2<sup>''k''</sup> × 2<sup>''k''</sup>}}. Por lo tanto, en cualquier caso, {{nowrap|Cℓ(''V'', ''g'')}} tiene una representación irreducible única (hasta el isomorfismo) (también llamada [[Representaciones de álgebras de Clifford|representación del álgebra de Clifford]] simple), comúnmente denominada Δ, de dimensión 2<sup>[''n''/2]</sup>. Como el álgebra de Lie {{nowrap|'''so'''(''V'', ''g'')}} está incrustada como subalgebra de Lie en {{nowrap|Cℓ(''V'', ''g'')}}, dotado con el álgebra de Clifford [[conmutador de dos operadores]] como corchete de Lie, el espacio Δ es también una representación del álgebra de Lie de {{nowrap|'''so'''(''V'', ''g'')}} llamada [[representación de espín]]. Si ''n'' es impar, esta representación del álgebra de Lie es irreducible. Si ''n'' es par, se divide aún más en dos representaciones irreducibles {{nowrap|1=Δ = Δ<sub>+</sub> ⊕ Δ<sub>−</sub>}} denominadas '' representaciones de medio giro'' o de Weyl.

Las representaciones irreducibles sobre los [[Número real|números reales]] en el caso en que ''V'' es un espacio vectorial real son mucho más complejas, y el lector debe remitirse al artículo sobre el [[álgebra de Clifford]] para obtener más detalles.

=== Grupos de espín ===
[[File:Spin representations do not lift.svg|thumb|right|La representación del espín Δ es un espacio vectorial dotado de una representación del grupo de espín que no se factoriza a través de una representación del grupo ortogonal (especial). Las flechas verticales representan una [[sucesión exacta]]]]

Los espinores forman un [[espacio vectorial]], generalmente sobre los [[número complejo|números complejos]], dotado con una [[representación de grupo]] lineal del [[grupo espinorial]] que no se factoriza a través de una representación del grupo de rotaciones (véase el diagrama). El grupo de espín es el [[Grupo ortogonal|grupo de rotaciones]] ligado a la clase de homotopía. Los espinores son necesarios para codificar información básica sobre la topología del grupo de rotaciones, porque ese grupo no es un [[conjunto simplemente conexo]], pero el grupo de espines simplemente conexo es su [[Grupo de recubrimiento|doble recubrimiento]]. Así que para cada rotación hay dos elementos del grupo de espín que lo representan. Los [[vector]]es y otros [[cálculo tensorial|tensores]] no pueden dar cuenta de la diferencia entre estos dos elementos, pero producen signos "opuestos" cuando afectan a cualquier espín bajo la representación. Pensando en los elementos del grupo de espín como [[homotopía]] de familias de un solo parámetro de rotaciones, cada rotación está representada por dos clases de homotopía distintas de rutas hasta la identidad. Si una familia de rotaciones de un solo parámetro se visualiza como una cinta en el espacio, con el parámetro de la longitud del arco de esa cinta (el marco de su tangente, normal, binormal en realidad da la rotación), entonces estas dos clases de homotopía distintas se visualizan en los dos estados del [[truco del plato|''truco del cinturón'']] (arriba). El espacio de los espinores es un espacio vectorial auxiliar que puede construirse explícitamente en coordenadas, pero en última instancia, solo existe hasta el isomorfismo en el sentido de que no se dispone de una construcción ''natural'' que no se base en elecciones arbitrarias como los sistemas de coordenadas. Se puede asociar una noción de los espinores, como un objeto matemático auxiliar, con cualquier espacio vectorial dotado de una [[forma cuadrática]] como el [[espacio euclídeo]] con su [[producto escalar]] estándar, o el [[espacio-tiempo de Minkowski]] con su [[variedad pseudoriemanniana]]. En este último caso, las ''rotaciones'' incluyen la [[transformación de Lorentz]], pero por lo demás la teoría es sustancialmente similar.

=== Terminología en física ===
Se puede considerar que las construcciones dadas anteriormente, en términos del álgebra de Clifford o de la teoría de la representación, definen a los espinores como objetos geométricos en el [[espacio-tiempo]] de dimensión cero. Para obtener los espines de la física, como el [[espinor de Dirac]], se extiende la construcción para obtener una [[estructura de espines]] en el espacio-tiempo de 4 dimensiones ([[espacio-tiempo de Minkowski]]). Efectivamente, se comienza con el [[fibrado tangente]] del espacio-tiempo, cada punto del cual es un espacio vectorial de 4 dimensiones con simetría ''SO''(3,1), y luego se construye el [[grupo espinorial]] en cada punto. Los entornos de los puntos están dotados de las propiedades de suavidad y diferenciabilidad: la construcción estándar es la de un [[fibrado]], cuyas fibras son espacios afines que se transforman bajo el grupo de espín. Después de construir el paquete de fibras, se pueden considerar ecuaciones diferenciales, como la [[ecuación de Dirac]] o la [[ecuación de Weyl]] en el paquete de fibras. Estas ecuaciones (Dirac o Weyl) tienen soluciones que son [[onda plana|ondas planas]], que poseen las simetrías características de las fibras, es decir, que tienen las simetrías de los espinores, según se obtuvieron de la teoría de representación del álgebra/giro de Clifford (cero dimensiones) descrita anteriormente. Dichas soluciones de onda plana (u otras soluciones) de las ecuaciones diferenciales se pueden llamar adecuadamente ''[[fermión|fermiones]]'', porque estas partículas tienen las cualidades algebraicas de los espinores. Por convención general, los términos "fermión" y "espinor" a menudo se usan indistintamente en física, como sinónimos entre sí.

Parece que todas las [[partícula elemental|partículas elementales]] en la naturaleza que poseen espín-1/2 se describen mediante la ecuación de Dirac, con la posible excepción del [[neutrino]]. No parece haber ninguna razón ''a priori'' por la que este fuera el caso. Una opción perfectamente válida para los espinores sería la versión no compleja de {{nowrap|Cℓ<sub>''2'',''2''</sub>('''R''')}}, el [[Ecuación de Majorana|espinor de Majorana]].<ref>Named after [[Ettore Majorana]].</ref> Tampoco parece haber ninguna prohibición particular de que los [[espinor de Weyl|espinores de Weyl]] aparezcan en la naturaleza como partículas fundamentales.

Los espinores de Dirac, Weyl y Majorana están interrelacionados, y su vinculación se puede dilucidar sobre la base del álgebra geométrica real. Los espinores<ref>Matthew R. Francis, Arthur Kosowsky: ''The Construction of Spinors in Geometric Algebra'', submitted 20 March 2004, version of 18 October 2004 [https://arxiv.org/abs/math-ph/0403040v2 arXiv:math-ph/0403040]</ref> de Dirac y Weyl son representaciones complejas, mientras que los espinores de Majorana son representaciones reales.

Los espinores de Weyl son insuficientes para describir partículas masivas, como los [[electrón|electrones]], ya que las soluciones de onda plana de Weyl viajan necesariamente a la velocidad de la luz. Para partículas masivas se necesita utilizar la [[ecuación de Dirac]]. La construcción inicial del [[modelo estándar de la física de partículas]] comienza tanto con el electrón como con el neutrino como espinores de Weyl sin masa; el [[mecanismo de Higgs]] da a los electrones una masa; el [[neutrino]] clásico se concibió sin masa y, por lo tanto, fue un ejemplo de un espinor de Weyl.<ref>More precisely, the electron starts out as two massless Weyl spinors, left and right-handed. Upon symmetry breaking, both gain a mass, and are coupled to form a Dirac spinor.</ref> Sin embargo, debido a la [[oscilación de neutrinos]] observada, ahora se cree que no son espinores de Weyl, sino tal vez espinores de Majorana.<ref>{{cite journal|ref=harv|last=Wilczek|first=Frank|authorlink=Frank Wilczek|title=Majorana returns|journal=Nature Physics|volume=5|issue=9|year=2009|doi=10.1038/nphys1380|pages=614–618|publisher=[[Macmillan Publishers]]|issn=1745-2473|bibcode = 2009NatPh...5..614W }}</ref> No se sabe cuántos de los espinores de Weyl existen entre las partículas fundamentales de la naturaleza.

La situación para la [[física de la materia condensada]] es diferente: se pueden construir "espacio-tiempos" tridimensionales en una gran variedad de materiales físicos diferentes, desde los [[semiconductor]]es hasta materiales mucho más exóticos. En 2015, un equipo internacional liderado por científicos de la [[Universidad de Princeton]] anunció que había encontrado una [[cuasipartícula]] que se comporta como un fermión de Weyl.<ref>{{cite journal|last=Xu|first=Yang-Su|title=Discovery of a Weyl Fermion semimetal and topological Fermi arcs|journal=Science Magazine|publisher=[[Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia|AAAS]]|issn=0036-8075|year=2015|doi=10.1126/science.aaa9297|display-authors=etal|arxiv = 1502.03807 |bibcode = 2015Sci...349..613X|volume=349|issue=6248|pages=613–617}}</ref>

=== Espinores en la teoría de la representación ===
{{AP|Representación de espín}}

Una de las principales aplicaciones matemáticas de la construcción de espinores es hacer posible la construcción explícita de las [[representación lineal|representaciones lineales]] de las [[Álgebra de Lie|álgebras de Lie]] de los [[grupo ortogonal|grupos ortogonales]] y, en consecuencia, las representaciones de los propios grupos. En un nivel más profundo, se ha encontrado que los espinores están en el corazón de los enfoques del [[teorema del índice de Atiyah-Singer]], y proporcionan construcciones en particular para las representaciones de [[series discretas]] de [[grupo reductivo|grupos semisimples]].

Las representaciones de espín de las álgebras de Lie ortogonales especiales se distinguen de las representaciones del [[cálculo tensorial]] dadas por la [[simetrizador de Young|construcción de Weyl]] por [[peso (teoría de la representación)|pesos]]. Mientras que los pesos de las representaciones tensoriales son [[Combinación lineal|combinaciones lineales]] enteras de las raíces del álgebra de Lie, los de las representaciones de espín son combinaciones lineales semienteras de las mismas. Los detalles explícitos se pueden encontrar en el artículo dedicado a la [[representación de espín]].

=== Intentos de comprensión intuitiva ===
Los espinores se pueden describir, en términos simples, como "vectores de un espacio cuyas transformaciones están relacionadas de una manera particular con las rotaciones en el espacio físico".<ref>Jean Hladik: ''Spinors in Physics'', translated by J. M. Cole, Springer 1999, {{ISBN|978-0-387-98647-0}}, p. 3</ref> Enunciado de manera diferente:
{{cita|Los espinores ... proporcionan una representación lineal del grupo de [[Rotación (matemáticas)|rotaciones]] en un espacio con cualquier número <math> n </math> de dimensiones, teniendo cada espinor <math>2^\nu</math> componentes en los que <math>n = 2\nu+1</math> o <math>2\nu</math>.<ref name="cartan-1966-quote"/>}}

Se han formulado varias formas de ilustrar las analogías cotidianas en términos del [[truco del plato|truco del cinturón]], el juego denominado ''[[Tangloids]]'' y otros ejemplos de [[enredado de la orientación]].

No obstante, el concepto generalmente se considera muy difícil de entender, como lo ilustra la declaración de [[Michael Atiyah]] que narra el biógrafo de Dirac, Graham Farmelo:

{{cita|Nadie entiende completamente los espinores. Su álgebra se entiende formalmente, pero su significado general es misterioso. En cierto sentido, describen la "raíz cuadrada" de la geometría y, al igual que la comprensión de [[unidad imaginaria]] llevó siglos, lo mismo podría ser cierto para los espinores.<ref>Graham Farmelo. ''The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius'', Faber & Faber, 2009, {{ISBN|978-0-571-22286-5}}, p. 430.</ref>}}

== Historia ==
La forma matemática más general de los espinores fue descubierta por [[Élie Cartan]] en 1913.<ref>{{Harvnb|Cartan|1913}}</ref> La palabra "espinor" fue acuñada por [[Paul Ehrenfest]] en su trabajo sobre [[mecánica cuántica]].<ref>{{harvnb|Tomonaga|1998|p=129}}</ref>

Los espinores fueron aplicados a la [[física matemática]] por primera vez por [[Wolfgang Pauli]] en 1927, cuando presentó sus [[Matrices de Pauli|matrices de espín]].<ref>{{Harvnb|Pauli|1927}}.</ref> Al año siguiente, [[Paul Dirac]] descubrió el [[Teoría de la relatividad especial|concepto relativista]] del [[espín]] del [[electrón]], mostrando la conexión entre los espinores y el [[Grupo de Lorentz]].<ref>{{Harvnb|Dirac|1928}}.</ref> En los años treinta, Dirac, [[Piet Hein (danés)|Piet Hein]] y otros científicos ligados al [[Instituto Niels Bohr]] (entonces conocido como el Instituto de Física Teórica de la Universidad de Copenhague) crearon juguetes como ''[[Tangloids]]'' para enseñar y modelizar el cálculo de los espinores.

Los espacios de espín se representaron como [[ideal (teoría de anillos)|ideales izquierdos]] de un álgebra matricial en 1930, por obra de [[Gustave Juvet|G. Juvet]]<ref>G. Juvet: ''Opérateurs de Dirac et équations de Maxwell'', Commentarii Mathematici Helvelvetici, 2 (1930), pp.&nbsp;225–235, {{doi|10.1007/BF01214461}} ([http://www.springerlink.com/content/m7p8j4436220040t/ abstract] in French language)</ref> y por [[Fritz Sauter]].<ref>{{cite journal |first=F. |last=Sauter |title=Lösung der Diracschen Gleichungen ohne Spezialisierung der Diracschen Operatoren |journal=Zeitschrift für Physik |volume=63 |issue=11–12 |pages=803–814 |doi=10.1007/BF01339277 |bibcode=1930ZPhy...63..803S |year=1930}}</ref><ref name="lounesto-1995-p151">Pertti Lounesto: ''[[Albert Crumeyrolle|Crumeyrolle]]'s bivectors and spinors'', pp.&nbsp;137–166, In: Rafał Abłamowicz, Pertti Lounesto (eds.): ''Clifford algebras and spinor structures: A Special Volume Dedicated to the Memory of Albert Crumeyrolle (1919–1992)'', {{ISBN|0-7923-3366-7}}, 1995, [https://books.google.com/books?id=DnyUDg483kEC&pg=PA151 p. 151]</ref> Más específicamente, en lugar de representar los espinores como vectores columna de 2D de valor complejo como Pauli había hecho, los representaron como matrices de 2×2 de valor complejo, en las que solo los elementos de la columna de la izquierda son distintos de cero. De esta manera, el espacio espinorial se convirtió en un [[ideal mínimo|ideal izquierdo mínimo]] sobre {{nowrap|Mat(2, '''C''')}}.<ref>Las matrices de dimensión ''N''×''N'' en las que solo los elementos de la columna izquierda son distintos de cero forman un ''ideal izquierdo'' en el álgebra matricial de orden ''N'' × ''N'' {{nowrap|Mat(''N'', '''C''')}} – multiplicando la matriz ''M'' por la izquierda por una matriz ''A'' de orden ''N''×''N'', dando como resultado ''AM'', que es de nuevo una matriz de orden ''N''×''N'' en el que solo los elementos de la columna izquierda son distintos de cero. Además, se puede demostrar que se trata de un "ideal mínimo izquierdo". Véase también: Pertti Lounesto: ''Clifford algebras and spinors'', London Mathematical Society Lecture Notes Series 286, Cambridge University Press, Second Edition 2001, DOI 978-0-521-00551-7, p.&nbsp;52</ref><ref name="lounesto-2001-p148f-p327f">Pertti Lounesto: ''Clifford algebras and spinors'', London Mathematical Society Lecture Notes Series 286, Cambridge University Press, Second Edition 2001, DOI 978-0-521-00551-7, p.&nbsp;148&nbsp;f. and [https://books.google.com/books?id=DTecU6UpkSgC&pg=PA327 p. 327 f.]</ref>

En 1947, [[Marcel Riesz]] construyó espacios de espinores como elementos de un ideal mínimo izquierdo del [[álgebra de Clifford]]. En 1966/1967, [[David Hestenes]]<ref>D. Hestenes: ''Space–Time Algebra'', Gordon and Breach, New York, 1966, 1987, 1992</ref><ref>{{cite journal |first=D. |last=Hestenes |title=Real spinor fields |journal=[[Journal of Mathematical Physics|J. Math. Phys.]] |volume=8 |year=1967 |issue=4 |pages=798–808 |doi=10.1063/1.1705279 |bibcode=1967JMP.....8..798H }}</ref> reemplazó los espacios de espinores por el [[subálgebra par]] Cℓ<sup>0</sup><sub>1,3</sub>('''R''') del [[álgebra del espacio-tiempo]] Cℓ<sub>1,3</sub> ('''R''').<ref name="lounesto-1995-p151"/><ref name="lounesto-2001-p148f-p327f"/> A partir de los años 1980, el grupo de físicos teóricos del [[Birkbeck College]] coordinados por [[David Bohm]] y [[Basil Hiley]] estuvo desarrollando aproximaciones algebraicas a la teoría cuántica, que se basan en la identificación de las fibras de Sauter y Riesz con ideales mínimos a la izquierda.

== Ejemplos ==
Algunos ejemplos simples de espinores en dimensiones bajas surgen al considerar las subalgebras de grado uniforme del álgebra de Clifford {{nowrap|Cℓ<sub>''p'', ''q''</sub>('''R''')}}. Este es un álgebra construida a partir de una base ortonormal de  {{nowrap|1=''n'' = ''p'' + ''q''}} vectores mutuamente ortogonales bajo adición y multiplicación, en la que ''p'' tiene la norma +1 y ''q'' tiene la norma -1, con la regla del producto para los vectores de la base

: <math>e_i e_j = \Bigg\{ \begin{matrix} +1 & i=j, \, i \in (1 \ldots p) \\
                                   -1  &  i=j, \, i \in (p+1 \ldots n)  \\
                                   - e_j e_i &   i \not = j. \end{matrix}</math>

=== Dos dimensiones ===
El álgebra de Clifford Cℓ<sub>2,0</sub> ('''R''') se construye a partir de una unidad escalar, 1, dos vectores de unidades ortogonales, ''σ''<sub>1</sub> y ''σ''<sub>2</sub>, y una unidad [[pseudoscalar]] {{nowrap|1=''i'' = ''σ''<sub>1</sub>''σ''<sub>2</sub>}}. De las definiciones anteriores, es evidente que {{nowrap|1=(''σ''<sub>1</sub>)<sup>2</sup> = (''σ''<sub>2</sub>)<sup>2</sup> = 1}} y {{nowrap|1=(''σ''<sub>1</sub>''σ''<sub>2</sub>)(''σ''<sub>1</sub>''σ''<sub>2</sub>) = −''σ''<sub>1</sub>''σ''<sub>1</sub>''σ''<sub>2</sub>''σ''<sub>2</sub> = −1}}.

La subalgebra pareada Cℓ<sup>0</sup><sub>2,0</sub> ('''R'''), abarcada por elementos básicos ''de grado uniforme'' de Cℓ<sub>2,0</sub> ('''R'''), determina el espacio de los espinores a través de sus representaciones. Se compone de combinaciones lineales reales de 1 y ''σ''<sub>1</sub>''σ''<sub>2</sub>. Como un álgebra real, Cℓ<sup>0</sup><sub>2,0</sub> ('''R''') es isomorfa al campo de los [[número complejo|números complejos]] '''C'''. Como resultado, admite una operación de conjugación (análoga a la [[Conjugado (matemática)|conjugación compleja]]), a veces llamada ''inversa'' de un elemento de Clifford, definida por

: <math>(a+b\sigma_1\sigma_2)^* = a+b\sigma_2\sigma_1\,</math>.

que por las relaciones de Clifford, puede ser escrito como

: <math>(a+b\sigma_1\sigma_2)^* = a+b\sigma_2\sigma_1 = a-b\sigma_1\sigma_2\,</math>.

La acción de un elemento par de Clifford {{nowrap|''γ'' ∈ Cℓ<sup>0</sup><sub>2,0</sub>('''R''')}} sobre los vectores, considerado como un elemento de 1 grado de Cℓ<sub>2,0</sub> ('''R'''), se determina mediante la aplicación de un vector general {{nowrap|1=''u'' = ''a''<sub>1</sub>''σ''<sub>1</sub> + ''a''<sub>2</sub>''σ''<sub>2</sub>}} al vector
: <math>\gamma(u) = \gamma u \gamma^*\,</math>,
donde ''γ''<sup>∗</sup> es el conjugado de ''γ'', y el producto es la multiplicación de Clifford. En esta situación, un '''espinor'''<ref>Estos son los espinores de Weyl derechos en dos dimensiones. Para los espinores de Weyl izquierdos, la representación es a través de {{nowrap|1=''γ''(''ϕ'') = ''{{overline|γ}}ϕ''}}. Los espinores de Majorana son la representación real subyacente común para las representaciones de Weyl.</ref> es un número complejo ordinario. La acción de ''γ'' sobre un espinor ''φ'' viene dada por la multiplicación compleja ordinaria:

: <math> \gamma(\phi) = \gamma\phi</math>.

Una característica importante de esta definición es la distinción entre vectores ordinarios y espinores, que se manifiesta en cómo los elementos de grado uniforme actúan sobre cada uno de ellos de diferentes maneras. En general, una comprobación rápida de las relaciones de Clifford revela que los elementos de grado uniforme se conjugan con los vectores ordinarios:

: <math> \gamma(u) = \gamma u \gamma^* = \gamma^2 u\,</math>.

Por otro lado, comparando con la acción en los espinores {{nowrap|1=''γ''(''φ'') = ''γφ''}}, ''γ'' en vectores ordinarios actúa como el ''cuadrado'' de su acción sobre los espinores.

Considérese, por ejemplo, la implicación que esto tiene para las rotaciones planas. La rotación de un vector en un ángulo de ''θ'' corresponde a {{nowrap|1=''γ''<sup>2</sup> = exp(''θ σ''<sub>1</sub>''σ''<sub>2</sub>)}}, de modo que la acción correspondiente en los espinores es a través de {{nowrap|1=''γ'' = ± exp(''θ σ''<sub>1</sub>''σ''<sub>2</sub>/2)}}. En general, debido al [[podado (matemáticas)|podado logarítmico]], es imposible elegir un signo de una manera consistente. Por lo tanto, la representación de rotaciones planas en los espinores cuenta con dos valores.

En aplicaciones de espinores en dos dimensiones, es común explotar el hecho de que el álgebra de elementos de grado uniforme (que es simplemente el anillo de los números complejos) es idéntico al espacio de los espinores. Entonces, por un uso impropio del lenguaje, los dos se combinan a menudo. Entonces se puede hablar de "la acción de un espinor sobre un vector". En un contexto general, tales declaraciones no tienen sentido. Pero en las dimensiones 2 y 3 (como se aplica, por ejemplo, a la [[computación gráfica]]) sí tienen sentido.

;Ejemplos
* El elemento de grado uniforme
:: <math>\gamma = \tfrac{1}{\sqrt{2}} (1 - \sigma_1 \sigma_2) \,</math>
: corresponde a una rotación vectorial de 90° desde ''σ''<sub>1</sub> alrededor de ''σ''<sub>2</sub>, que puede verificarse confirmando que
:: <math>\tfrac{1}{2} (1 - \sigma_1 \sigma_2) \, \{a_1\sigma_1+a_2\sigma_2\} \, (1 - \sigma_2 \sigma_1) = a_1\sigma_2 - a_2\sigma_1 \,</math>
: Corresponde a una rotación de giro de solo 45°, sin embargo:
:: <math>\tfrac{1}{\sqrt{2}} (1 - \sigma_1 \sigma_2) \, \{a_1+a_2\sigma_1\sigma_2\}=
\frac{a_1+a_2}{\sqrt{2}} + \frac{-a_1+a_2}{\sqrt{2}}\sigma_1\sigma_2</math>

* De manera similar, el elemento de nivel uniforme {{nowrap|1=''γ'' = −''σ''<sub>1</sub>''σ''<sub>2</sub>}} corresponde a una rotación vectorial de 180°:
:: <math> (- \sigma_1 \sigma_2) \, \{a_1\sigma_1 + a_2\sigma_2\} \, (- \sigma_2 \sigma_1) = - a_1\sigma_1 -a_2\sigma_2 \,</math>
: pero una rotación de giro de solo 90°:
:: <math>(- \sigma_1 \sigma_2) \, \{a_1 + a_2\sigma_1\sigma_2\}
=a_2 - a_1\sigma_1\sigma_2</math>
* Continuando, el elemento {{nowrap|1=''γ'' = −1}} de orden par corresponde a una rotación vectorial de 360°:
:: <math> (-1) \, \{a_1\sigma_1+a_2\sigma_2\} \, (-1) = a_1\sigma_1+a_2\sigma_2 \,</math>
: pero una rotación de giro de 180°.

=== Tres dimensiones ===
{{AP|Espinores en tres dimensiones|Cuaterniones y rotación en el espacio}}

El álgebra de Clifford Cℓ<sub>3,0</sub> ('''R''') se construye a partir de una unidad escalar, 1, tres vectores de unidades ortogonales, ''σ''<sub>1</sub>, ''σ''<sub>2</sub> y ''σ''<sub>3</sub>, los tres bivectores ''σ''<sub>1</sub>''σ''<sub>2</sub>, ''σ''<sub>2</sub>''σ''<sub>3</sub>, ''σ''<sub>3</sub>''σ''<sub>1</sub> y el [[pseudoscalar]] {{nowrap|1=''i'' = ''σ''<sub>1</sub>''σ''<sub>2</sub>''σ''<sub>3</sub>}}. Es sencillo mostrar que {{nowrap|1=(''σ''<sub>1</sub>)<sup>2</sup> = (''σ''<sub>2</sub>)<sup>2</sup> = (''σ''<sub>3</sub>)<sup>2</sup> = 1}} y {{nowrap|1=(''σ''<sub>1</sub>''σ''<sub>2</sub>)<sup>2</sup> = (''σ''<sub>2</sub>''σ''<sub>3</sub>)<sup>2</sup> = (''σ''<sub>3</sub>''σ''<sub>1</sub>)<sup>2</sup> = (''σ''<sub>1</sub>''σ''<sub>2</sub>''σ''<sub>3</sub>)<sup>2</sup> = −1}}.

El sub-álgebra de elementos de grado uniforme se compone de dilataciones escalares,
: <math>u^{\prime} = \rho^{(1/2)} u \rho^{(1/2)} = \rho u, </math>
y rotaciones de vectores
: <math>u^{\prime} = \gamma \, u \, \gamma^*, </math>
dónde
: <math>\left.\begin{array}{rcl} \gamma & = & \cos(\theta/2) - \{a_1 \sigma_2\sigma_3 + a_2 \sigma_3\sigma_1 + a_3 \sigma_1\sigma_2\} \sin(\theta/2) \\
& = & \cos(\theta/2) - i \{a_1 \sigma_1 + a_2 \sigma_2 + a_3 \sigma_3\} \sin(\theta/2) \\
& = & \cos(\theta/2) - i v \sin(\theta/2) \end{array}\right\}</math> (1)
corresponde a una rotación vectorial a través de un ángulo ''θ'' alrededor de un eje definido por un vector unitario {{nowrap|1=''v'' = ''a''<sub>1</sub>''σ''<sub>1</sub> + ''a''<sub>2</sub>''σ''<sub>2</sub> + ''a''<sub>3</sub>''σ''<sub>3</sub>}}.

Como un caso especial, es fácil ver que, si {{nowrap|1=''v'' = ''σ''<sub>3</sub>}}, esto reproduce la rotación ''σ''<sub>1</sub>''σ''<sub>2</sub> considerada en la sección anterior; y que dicha rotación deja los coeficientes de los vectores en la dirección ''σ''<sub>3</sub> invariante, ya que
: <math>(\cos(\theta/2) - i \sigma_3 \sin(\theta/2)) \, \sigma_3 \, (\cos(\theta/2) + i \sigma_3 \sin(\theta/2))
= (\cos^2(\theta/2) + \sin^2(\theta/2)) \, \sigma_3 = \sigma_3.</math>

Los bivectores ''σ''<sub>2</sub>''σ''<sub>3</sub>, ''σ''<sub>3</sub>''σ''<sub>1</sub> y ''σ''<sub>1</sub>''σ''<sub>2</sub> son de hecho los [[cuaternión|cuaterniones]] de [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] '''i''', '''j''' y '''k''', descubiertos en 1843:
: <math>\begin{matrix}\mathbf{i} = -\sigma_2 \sigma_3 = -i \sigma_1 \\
\mathbf{j} = -\sigma_3 \sigma_1 = -i \sigma_2 \\
\mathbf{k} = -\sigma_1 \sigma_2 = -i \sigma_3. \end{matrix}</math>

Con la identificación de los elementos de grado uniforme con el álgebra '''H''' de los cuaterniones, como en el caso de dos dimensiones, la única representación del álgebra de elementos de grado uniforme está en sí mismo.<ref>Como para un [[anillo de división]], el núcleo de la representación debe ser trivial. Por lo tanto, las representaciones no equivalentes solo pueden surgir a través de un [[automorfismo]] del campo oblicuo. En este caso, hay un par de representaciones equivalentes: {{nowrap|1=''γ''(''ϕ'') = ''γϕ''}}, y su conjugado cuaterniónico {{nowrap|1=''γ''(''ϕ'') = ''ϕ{{overline|γ}}''}}.</ref> Por lo tanto, el (real<ref>Los espinores complejos se obtienen como representaciones del [[producto tensorial]] {{nowrap|1='''H''' ⊗<sub>'''R'''</sub> '''C''' = Mat<sub>2</sub>('''C''')}}. Se consideran con más detalle en [[espinores en tres dimensiones]].</ref>) Los espinores en tres dimensiones son cuaterniones, y la acción de un elemento de grado uniforme en un espinor está dada por la multiplicación cuaterniónica ordinaria.

Téngase en cuenta que la expresión (1) para una rotación vectorial a través de un ángulo {{mvar|θ}}, ''el ángulo que aparece en γ se redujo a la mitad''. Por lo tanto, la rotación del rotor {{nowrap|1=''γ''(''ψ'') = ''γψ''}} (multiplicación cuaterniónica ordinaria) girará el espinor {{mvar|ψ}} en un ángulo de la mitad de la medida del ángulo de la rotación del vector correspondiente. Una vez más, el problema de elevar la rotación de un vector a una rotación de espinor es de dos valores: la expresión (1) con {{nowrap|(180° + ''θ''/2)}} en lugar de ''θ''/2 producirá la misma rotación de vector, pero el negativo de la rotación del espinor.

La representación de espinor/cuaternión de las rotaciones en 3D es cada vez más frecuente en la geometría de las computadoras y en otras aplicaciones, debido a la notable brevedad de la matriz de espines correspondiente y a la simplicidad con la que se pueden multiplicar para calcular el efecto combinado de rotaciones sucesivas sobre diferentes ejes.

== Construcciones explícitas ==
Un espacio de espinores se puede generar explícitamente mediante construcciones concretas y abstractas. La equivalencia de estas construcciones es una consecuencia de la singularidad de la representación espinorial del álgebra de Clifford compleja. Para un ejemplo completo de dimensión 3, véase [[espinor de Pauli|espinores en tres dimensiones]].

=== Espinores componentes ===
Dado un espacio vectorial ''V'' y una forma cuadrática ''g'', una representación matricial explícita del álgebra de Clifford {{nowrap|Cℓ(''V'', ''g'')}} se puede definir de la manera que se describe a continuación. Elíjase una base ortonormal {{nowrap|''e''<sup>1</sup> … ''e''<sup>n</sup>}} para ''V'', es decir, {{nowrap|1=''g''(''e''<sup>''μ''</sup>''e''<sup>''ν''</sup>) = ''η''<sup>''μν''</sup>}} donde {{nowrap|1=''η''<sup>''μμ''</sup> = ±1}} y {{nowrap|1=''η''<sup>''μν''</sup> = 0}} para {{nowrap|''μ'' ≠ ''ν''}}. Ahora, {{nowrap|1=''k'' = ⌊''n''/2⌋}}. Disponer un conjunto de matrices {{nowrap|2<sup>''k''</sup> × 2<sup>''k''</sup>}} {{nowrap|''γ''<sup>1</sup> … ''γ''<sup>''n''</sup>}} tal que {{nowrap|1=''γ''<sup>''μ''</sup>''γ''<sup>''ν''</sup> + ''γ''<sup>''ν''</sup>''γ''<sup>''μ''</sup> = 2''η''<sup>''μν''</sup>1}} (es decir, establecer una convención para las [[matrices gamma]]). Luego, la asignación {{nowrap|''e''<sup>''μ''</sup> → ''γ''<sup>''μ''</sup>}} se extiende de manera única a un homomorfismo de álgebra {{nowrap|Cℓ(''V'', ''g'') → Mat(2<sup>''k''</sup>, '''C''')}} al enviar el monomio {{nowrap|''e''<sup>''μ''<sub>1</sub></sup> … ''e''<sup>''μ''<sub>''k''</sub></sup>}} en el álgebra de Clifford al producto {{nowrap|''γ''<sup>''μ''<sub>1</sub></sup> … ''γ''<sup>''μ''<sub>''k''</sub></sup>}} de las matrices y extenderse linealmente. El espacio {{nowrap|1=Δ = '''C'''<sup>2<sup>''k''</sup></sup>}} en el que actúan las matrices gamma es ahora un espacio de espinores. Sin embargo, se necesita construir tales matrices explícitamente. En la dimensión 3, definir las matrices gamma para que sean [[Matrices de Pauli|matrices de Pauli sigma]] da origen a los familiares espinores de dos componentes utilizados en [[mecánica cuántica]] no relativistas. Del mismo modo, el uso de las matrices de Dirac gamma de {{nowrap|4 × 4}}, da lugar a los espinores de Dirac de 4 componentes utilizados en la [[teoría cuántica de campos]] 3 + 1 dimensional relativista. En general, para definir matrices gamma del tipo requerido, se pueden usar las [[matrices de Weyl-Brauer]].

En esta construcción, la representación del álgebra de Clifford {{nowrap|Cℓ(''V'', ''g'')}}, el álgebra de Lie {{nowrap|'''so'''(''V'', ''g'')}} y el grupo de espin {{nowrap|Spin(''V'', ''g'')}}, todo depende de la elección de la base ortonormal y de la elección de las matrices gamma. Esto puede causar confusión sobre las convenciones, pero los invariantes como las trazas son independientes de las elecciones. En particular, todas las cantidades físicamente observables deben ser independientes de tales elecciones. En esta construcción, un espinor se puede representar como un vector de números complejos 2<sup>''k''</sup> y se denota con índices de espinor (generalmente ''α'', ''β'', ''γ''). En la literatura de física, los [[índices abstractos|índices abstractos de espinor]] se usan a menudo para denotar los espines, incluso cuando se usa una construcción abstracta.

=== Espinores abstractos ===
Hay al menos dos formas diferentes, pero esencialmente equivalentes, de definir los espinores de manera abstracta. Un enfoque busca identificar los ideales mínimos para la acción a la izquierda de {{nowrap|Cℓ(''V'', ''g'')}} en sí mismo. Estos son subespacios del álgebra de Clifford de la forma {{nowrap|Cℓ(''V'', ''g'')''ω''}}, admitiendo la acción evidente de {{nowrap|Cℓ(''V'', ''g'')}} mediante la multiplicación por la izquierda: {{nowrap|''c'' : ''xω'' → ''cxω''}}. Hay dos variaciones en este tema: se puede encontrar un elemento primitivo {{nowrap|''ω''}} que sea un elemento [[nilpotente]] del álgebra de Clifford, o uno que sea una [[idempotencia]]. La construcción a través de elementos nilpotentes es más fundamental en el sentido de que un idempotente puede producirse a partir de ella.<ref> Esta construcción se debe a Cartan. El tratamiento aquí expuesto se basa en {{Harvtxt|Chevalley|1954}}.</ref> De esta manera, las representaciones de un espinor se identifican con ciertos subespacios del álgebra de Clifford. El segundo enfoque es construir un espacio vectorial utilizando un subespacio distinguido de {{nowrap|''V''}}, y luego especificar la acción del álgebra de Clifford ''externamente'' a ese espacio vectorial.

En cualquiera de los dos enfoques, la noción fundamental es la de un [[subespacio isotrópico]] {{nowrap|''W''}}. Cada construcción depende de una libertad inicial en la elección de este subespacio. En términos físicos, esto corresponde al hecho de que no hay un protocolo de medición que pueda especificar una base del espacio de giro, incluso si se proporciona una base preferida de {{nowrap|''V''}}.

Como anteriormente, sea {{nowrap|(''V'', ''g'')}} un espacio vectorial complejo {{nowrap|''n''}}-dimensional equipado con una forma bilineal no degenerada. Si {{nowrap|''V''}} es un espacio vectorial real, se reemplaza {{nowrap|''V''}} por [[complejificación]] {{nowrap|''V'' ⊗<sub>'''R'''</sub> '''C'''}} y entonces {{nowrap|''g''}} denota la forma bilineal inducida en {{nowrap|''V'' ⊗<sub>'''R'''</sub> '''C'''}}. Sea {{nowrap|''W''}} un subespacio isotrópico máximo, es decir, un subespacio máximo de {{nowrap|''V''}} tal que {{nowrap|1=''g''{{!}}<sub>''W''</sub> = 0}}. Si {{nowrap|1=''n'' = 2''k''}} es par, entonces {{nowrap|''W''<sup>∗</sup>}} es un subespacio isotrópico complementario a {{nowrap|''W''}}. Si {{nowrap|1=''n'' = 2''k'' + 1}} es impar, entonces {{nowrap|''W''<sup>∗</sup>}} debe ser un subespacio isotrópico máximo con {{nowrap|1=''W'' ∩ ''W''<sup>∗</sup> = 0}}, y sea {{nowrap|''U''}} el complemento ortogonal de {{nowrap|''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}. Tanto en los casos de dimensiones pares como impares, {{nowrap|''W''}} y {{nowrap|''W''<sup>∗</sup>}} tienen dimensión {{nowrap|''k''}}. En el caso de dimensiones impares, {{nowrap|''U''}} es unidimensional, abarcado por un vector unitario {{nowrap|''u''}}.

=== Ideales mínimos ===
Dado que ''W′'' es isotrópico, la multiplicación de elementos de ''W′'' dentro de {{nowrap|Cℓ(''V'', ''g'')}} es [[álgebra alternativa|oblicua]]. Por lo tanto, los vectores en ''W''′ no conmutan, y {{nowrap|1=Cℓ(''W′'', ''g''{{!}}<sub>''W′''</sub>) = Cℓ(''W′'', 0)}} es solo el [[álgebra exterior]] Λ<sup>∗</sup>''W′''. En consecuencia, el ''k''-producto de ''W''′ consigo mismo, ''W''′<sup>''k''</sup>, es unidimensional. Sea ''ω'' un generador de ''W''′<sup>''k''</sup>. En términos de una base {{nowrap|''W′''<sub>1</sub>,..., ''W′''<sub>k</sub>}} de ''W''′, una posibilidad es establecer
: <math>\omega=w'_1w'_2\cdots w'_k.</math>

Téngase en cuenta que {{nowrap|1=''ω''<sup>2</sup> = 0}} (es decir, ''ω'' es nilpotente de orden 2), y además, {{nowrap|1=''W′'' ''ω'' = 0}} para todos los {{nowrap|''W′'' ∈ ''W′''}}. Los siguientes hechos pueden ser probados fácilmente:
# Si {{nowrap|1=''n'' = 2''k''}}, entonces el ideal izquierdo {{nowrap|1=Δ = Cℓ(''V'', ''g'')''ω''}} es un ideal mínimo izquierdo. Además, esto se divide en los dos espacios de giro {{nowrap|1=Δ<sub>+</sub> = Cℓ<sup>even</sup>''ω''}} y {{nowrap|1=Δ<sub>−</sub> = Cℓ<sup>odd</sup>''ω''}} en restricción a la acción del álgebra de Clifford par.
# Si es {{nowrap|1=''n'' = 2''k'' + 1}}, entonces la acción del vector unitario ''u'' en el ideal izquierdo {{nowrap|Cℓ(''V'', ''g'')''ω''}} descompone el espacio en un par de espacios propios isomorfos irreducibles (ambos indicados con Δ), correspondientes a los valores propios respectivos +1 y −1.

En detalle, supóngase, por ejemplo, que ''n'' es par, y que ''I'' es un ideal izquierdo distinto de cero contenido en {{nowrap|Cℓ(''V'', ''g'')''ω''}}. Se demuestra que ''I'' debe ser igual a {{nowrap|Cℓ(''V'', ''g'')''ω''}}, al comprobar que contiene un múltiplo escalar distinto de cero de ''ω''.

Escójase una base ''w''<sub>''i''</sub> de ''W'' y una base complementaria ''w''<sub>''i''</sub> de ''W''′ para que
: ''w''<sub>''i''</sub>''w''<sub>''j''</sub> + ''w''<sub>''j''</sub> ''w''<sub>''i''</sub> = ''δ''<sub>''ij''</sub>, y
:(''w''<sub>''i''</sub>)<sup>2</sup> = 0, (''w''<sub>''i''</sub>′)<sup>2</sup> = 0.

Téngase en cuenta que cualquier elemento de ''I'' debe tener la forma ''αω'', en virtud de nuestro supuesto de que {{nowrap|''I'' ⊂ Cℓ(''V'', ''g'') ''ω''}}. Sea {{nowrap|''αω'' ∈ ''I''}} cualquiera de estos elementos. Usando la base elegida, se puede escribir

: <math>\alpha = \sum_{i_1<i_2<\cdots<i_p} a_{i_1\dots i_p}w_{i_1}\cdots w_{i_p} + \sum_j B_jw'_j</math>

donde ''a''<sub>''i''<sub>1</sub>…''i''<sub>''p''</sub></sub> son escalares, y ''B''<sub>''j''</sub> son elementos auxiliares del álgebra de Clifford. Obsérvese ahora que el producto
: <math>\alpha\omega = \sum_{i_1<i_2<\cdots<i_p} a_{i_1\dots i_p}w_{i_1}\cdots w_{i_p} \omega.</math>
Seleccionando cualquier monomio distinto de cero ''a'' en la expansión de ''α'' con un grado máximo homogéneo en los elementos ''w''<sub>i</sub>:
: <math>a = a_{i_1\dots i_{max}}w_{i_1}\dots w_{i_{max}}</math> (sin suma implícita),
entonces
: <math>w'_{i_{max}}\cdots w'_{i_1}\alpha\omega = a_{i_1\dots i_{max}}\omega</math>
es un múltiplo escalar distinto de cero de ''ω'', como se requería.

Téngase en cuenta que para ''n'' par, este cálculo también muestra que
: <math>\Delta = \mathrm{C}\ell(W)\omega = (\Lambda^* W)\omega</math>.
como un espacio vectorial. En la última igualdad, una vez más se usa que ''W'' es isotrópico. En términos físicos, esto muestra que Δ está construido como un [[espacio de Fock]] por los espinores que utilizan operadores de creación de conmutación en ''W'' que actúan sobre un ''ω'' vacío.

=== Construcción del álgebra exterior ===
Los cálculos con la construcción ideal mínima sugieren que una representación de espinores también se puede definir directamente utilizando el [[álgebra exterior]] {{nowrap|1=Λ<sup>∗</sup> ''W'' = ⊕<sub>''j''</sub> Λ<sup>''j''</sup> ''W''}} del subespacio isotrópico ''W''.

Sea {{nowrap|1=Δ = Λ<sup>∗</sup> ''W''}} el álgebra exterior de ''W'' considerado solo como espacio vectorial. Esta será la representación del espín, y sus elementos se conocerán como espinores.<ref>One source for this subsection is {{Harvtxt|Fulton|Harris|1991}}.</ref><ref>Jurgen Jost, "Riemannian Geometry and Geometric Analysis" (2002) Springer-Verlag Univeritext ISBN 3-540-4267-2. ''See chapter 1.''</ref>

La acción del álgebra de Clifford en Δ se define primero al definir la acción de un elemento de ''V'' en Δ, y luego se muestra que esta acción respeta la relación de Clifford y se extiende a un [[homomorfismo]] del álgebra de Clifford completo en el [[anillo endomórfico]] End(Δ) por la [[álgebra de Clifford|propiedad universal de las álgebras de Clifford]]. Los detalles difieren ligeramente según si la dimensión de ''V'' es par o impar.

Cuando dim (''V'') es par, {{nowrap|1=''V'' = ''W'' ⊕ ''W′''}} donde ''W′'' es el complemento isotrópico elegido. Por lo tanto, cualquier {{nowrap|''v'' ∈ ''V''}} se descompone de forma única como {{nowrap|1=''v'' = ''w'' + ''W′''}} con {{nowrap|''w'' ∈ ''W''}} y {{nowrap|''W′'' ∈ ''W′''}}. La acción de ''V'' en un espinor está dada por
: <math> c(v) w_1 \wedge\cdots\wedge w_n = (\epsilon(w) + i(w'))\left(w_1 \wedge\cdots\wedge w_n\right)</math>
donde ''i''(''w′'') es el [[producto interno]] con ''w′'' usando la forma cuadrática no degenerada para identificar ''V'' con ''V''<sup>∗</sup>, y ε(w) denota el [[producto exterior]]. Se puede verificar que
: ''c'' (''u'')''c''(''v'') + ''c''(''v'')''c''(''u'') = 2 ''g''(''u'', ''v''),
y así ''c'' respeta las relaciones de Clifford y se extiende a un homomorfismo desde el álgebra de Clifford hasta el final (Δ).

La representación de espín Δ se descompone aún más en un par de representaciones complejas irreducibles del grupo de espin<ref>Mediante el álgebra de Clifford de grado par.</ref> (las representaciones de medio giro, o espines de Weyl) a través de
: <math>\Delta_+ = \Lambda^{par} W,\, \Delta_- = \Lambda^{impar} W</math>

Cuando dim (''V'') es impar, {{nowrap|1=''V'' = ''W'' ⊕ ''U'' ⊕ ''W′''}}, donde ''U'' está atravesada por un vector unitario ''u'' ortogonal a ''W''. La acción de Clifford ''c'' se define como antes en {{nowrap|''W'' ⊕ ''W′''}}, mientras que la acción de Clifford sobre (múltiplos de) ''u'' se define por
: <math> c(u) \alpha = \left\{\begin{matrix}
\alpha&\hbox{if } \alpha\in \Lambda^{par} W\\
-\alpha&\hbox{if } \alpha\in \Lambda^{impar} W
\end{matrix}\right.</math>
Como antes, se verifica que ''c'' respeta las relaciones de Clifford, y así induce un homomorfismo.

=== Espacios vectoriales hermíticos y espinores ===
Si el espacio vectorial ''V'' tiene una estructura extra que proporciona una descomposición de su complejificación en dos subespacios isotrópicos máximos, entonces la definición de espinores (por cualquiera de los dos métodos) se vuelve natural.

El ejemplo principal es el caso de que el espacio vectorial real ''V'' es un [[forma hermítica|espacio vectorial hermítico]] {{nowrap|(''V'', ''h'')}}, es decir, ''V'' está dotado con una [[estructura compleja]] ''J'' que es una [[transformación ortogonal]] con respecto al producto interno ''g'' en ''V''. Luego, {{nowrap|''V'' ⊗<sub>'''R'''</sub> '''C'''}} se divide en los espacios ±''i'' de ''J''. Estos espacios propios son isotrópicos para la complejización de ''g'' y se pueden identificar con el espacio vectorial complejo {{nowrap|(''V'', ''J'')}} y su complejo conjugado {{nowrap|(''V'', −''J'')}}. Por lo tanto, para un espacio vectorial hermítico {{nowrap|(''V'', ''h'')}}, el espacio vectorial Λ{{su|p=⋅|b='''C'''}}{{overline|''V''}} (así como su complejo conjugado Λ{{su|p=⋅|b='''C'''}}''V '') es un espacio espinorial con respecto al espacio vectorial euclídeo real subyacente.

Con la acción de Clifford, como se muestra más arriba, pero con la contracción usando la forma hermítica, esta construcción proporciona un espacio de giro en cada punto de una [[variedad casi hermítica]] y es la razón por la que cada [[variedad casi compleja]] (en particular cada [[variedad simpléctica]]) tiene una [[estructura espín-c|estructura espín<sup>c</sup>]]. Del mismo modo, cada conjunto de vectores complejos en una variedad lleva una estructura de espín<sup>c</sup>.<ref>{{Harvnb|Lawson|Michelsohn|1989|loc=Appendix D}}.</ref>

== Descomposición de Clebsch-Gordan ==
Son posibles varias [[Coeficientes Clebsch—Gordan|descomposiciones de Clebsch-Gordan]] en el [[producto tensorial]] de una representación de espín con otra.<ref>{{Harvnb|Brauer|Weyl|1935}}.</ref> Estas descomposiciones expresan el producto tensorial en términos de las representaciones alternas del grupo ortogonal.

Para el caso real o complejo, las representaciones alternas son

* {{nowrap|1=Γ<sub>''r''</sub> = Λ<sup>''r''</sup>''V''}}, la representación del grupo ortogonal en tensores oblicuos de rango ''r''.

Además, para los grupos ortogonales reales, hay tres [[Teoría de caracteres|caracteres]] (representaciones unidimensionales)
* ''σ''<sub>+</sub>: O(''p'', ''q'') → {−1, +1} dada por {{nowrap|1=''σ''<sub>+</sub>(R) = −1}}, si ''R'' invierte la orientación espacial de ''V'' , +1, si ''R'' conserva la orientación espacial de ''V'' (''el carácter espacial'')
* ''σ''<sub>−</sub>: O(''p'', ''q'') → {−1, +1} dado por {{nowrap|1=''σ''<sub>−</sub>(R) = −1}}, si ''R'' invierte la orientación temporal de ''V'' , +1, si ''R'' conserva la orientación temporal de ''V'' (''el carácter temporal'')
* ''σ'' = ''σ''<sub>+</sub>''σ''<sub>−</sub> (''el carácter de orientación'')

La descomposición de Clebsch-Gordan permite definir, entre otras cosas:
* Una acción de los espinores sobre los vectores
* Una [[métrica hermítica]] en las representaciones complejas de los grupos de espines reales
* Un [[operador de Dirac]] en cada representación de giro

=== Dimensiones pares ===
Si {{nowrap|1=''n'' = 2''k''}} es par, entonces el producto tensorial de Δ con [[representación contragradiente]] se descompone como
: <math>\Delta\otimes\Delta^* \cong \bigoplus_{p=0}^n \Gamma_p \cong \bigoplus_{p=0}^{k-1} \left(\Gamma_p\oplus\sigma\Gamma_p\right)\, \oplus \Gamma_k</math>
que se puede ver explícitamente al considerar (en la construcción explícita) la acción del álgebra de Clifford sobre los elementos descomponibles {{nowrap|''αω'' ⊗ ''βω''′}}. La formulación más a la derecha se deduce de las propiedades de transformación del [[dual de Hodge]]. Téngase en cuenta que en la restricción al álgebra de Clifford par, los sumandos emparejados {{nowrap|Γ<sub>''p''</sub> ⊕ ''σ''Γ<sub>''p''</sub>}} son isomorfos, pero bajo el álgebra de Clifford completa no lo son.

Hay una identificación natural de Δ con su representación contragradiente a través de la conjugación en el álgebra de Clifford:
: <math>(\alpha\omega)^*=\omega(\alpha^*).</math>
Entonces {{nowrap|Δ ⊗ Δ}} también se descompone de la manera anterior. Además, bajo el álgebra de Clifford, las representaciones de medio giro se descomponen de la forma
: <math>\begin{matrix}
\Delta_+\otimes\Delta^*_+ \cong \Delta_-\otimes\Delta^*_- &\cong& \bigoplus_{p=0}^k \Gamma_{2p}\\
\Delta_+\otimes\Delta^*_- \cong \Delta_-\otimes\Delta^*_+ &\cong& \bigoplus_{p=0}^{k-1} \Gamma_{2p+1}
\end{matrix}
</math>

Para las representaciones complejas de las álgebras de Clifford reales, la [[estructura real]] asociada en el álgebra compleja de Clifford desciende al espacio de los espinores (a través de la construcción explícita en términos de ideales mínimos, por ejemplo). De esta manera, se obtiene el conjugado complejo {{overline|Δ}} de la representación, y se observa que se cumple el siguiente isomorfismo:

: <math>\bar{\Delta} \cong \sigma_-\Delta^* </math>

En particular, téngase en cuenta que la representación Δ del grupo de espín ortócrono es una [[representación unitaria]]. En general, existen descomposiciones de Clebsch-Gordan con la forma
: <math>\Delta\otimes\bar{\Delta} \cong \bigoplus_{p=0}^k\left(\sigma_-\Gamma_p\oplus \sigma_+\Gamma_p\right).</math>

En la signatura métrica {{nowrap|(''p'', ''q'')}}, los siguientes isomorfismos son válidos para las representaciones de medio giro conjugadas
* Si ''q'' es par, entonces <math>\bar{\Delta}_+ \cong \sigma_-\otimes \Delta_+^*</math> y <math>\bar{\Delta}_- \cong \sigma_-\otimes \Delta_-^*.</math>
* Si ''q'' es impar, entonces <math>\bar{\Delta}_+ \cong \sigma_-\otimes \Delta_-^*</math> y <math>\bar{\Delta}_- \cong \sigma_-\otimes \Delta_+^*.</math>
Usando estos isomorfismos, se pueden deducir descomposiciones análogas para los productos tensoriales de las representaciones de medio giro {{nowrap|Δ<sub>±</sub> ⊗ {{overline|Δ}}<sub>±</sub>}}.

=== Dimensiones impares ===
Si {{nowrap|1=''n'' = 2''k'' + 1}} es impar, entonces
: <math>\Delta\otimes\Delta^* \cong \bigoplus_{p=0}^k \Gamma_{2p}.</math>
En el caso real, una vez más se mantiene el isomorfismo
: <math>\bar{\Delta} \cong \sigma_-\Delta^*.</math>
Por lo tanto, hay una descomposición de Clebsch-Gordan (nuevamente utilizando la estrella de Hodge para dualizarse) dada por
: <math>\Delta\otimes\bar{\Delta} \cong \sigma_-\Gamma_0\oplus\sigma_+\Gamma_1\oplus\dots\oplus\sigma_\pm\Gamma_k</math>

=== Consecuencias ===
Hay muchas consecuencias de largo alcance relativas a las descomposiciones de Clebsch-Gordan de los espacios de espín. El más fundamental de estos se refiere a la teoría del electrón de Dirac, entre cuyos requisitos básicos se encuentran:
* Una manera de ver el producto de dos espinores ''{{overline|ϕ}}ψ'' como un escalar. En términos físicos, un espinor debe determinar una [[amplitud de probabilidad]] para un [[estado cuántico]].
* Una forma de considerar el producto ''ψ{{overline|ϕ}}'' como un vector. Esta es una característica esencial de la teoría de Dirac, que vincula el formalismo del espinor con la geometría del espacio físico.
* Una forma de considerar que un espinor actúa sobre un vector, mediante una expresión como ''ψv{{overline|ψ}}''. En términos físicos, esto representa una [[corriente eléctrica]] propia de la teoría del [[electromagnetismo]] de Maxwell, o más generalmente una [[corriente de probabilidad]].

== Resumen en dimensiones bajas ==
* En 1 dimensión (un ejemplo trivial), la representación de un espinor simple es formalmente del tipo Majorana, una representación tridimensional [[representación real |real]] que no se transforma.
* En 2 dimensiones euclídeas, los espinores izquierdo y derecho de Weyl son [[representación compleja|representaciones complejas]] de 1 componente, es decir, números complejos que se multiplican por ''e''<sup>±''iφ''/2</sup> bajo una rotación por el ángulo ''φ''.
* En 3 dimensiones euclídeas, la representación de un solo rotor es bidimensional y [[representación cuaterniónica|cuaterniónica]]. La existencia de espinores en 3 dimensiones se deriva del isomorfismo del [[Grupo (matemática)|grupo]] {{nowrap|SU(2) ≅ Espín(3)}} que permite definir la acción de Espín(3) en una columna compleja de 2 componentes (un espinor); los generadores de SU(2) se pueden escribir como [[matrices de Pauli]].
* En 4 dimensiones euclídeas, el isomorfismo correspondiente es {{nowrap|Spin(4) ≅ SU(2) × SU(2)}}. Hay dos espirales de Weyl de 2 componentes [[representación cuaterniónica|cuaterniónicos]] y cada uno de ellos se transforma bajo uno de los factores de SU(2) solamente.
* En 5 dimensiones euclídeas, el isomorfismo relevante es {{nowrap|Spin(5) ≅ USp(4) ≅ Sp(2)}} que implica que la representación de un solo espinor es 4-dimensional y cuaterniónica.
* En 6 dimensiones euclídeas, el isomorfismo {{nowrap|Spin(6) ≅ SU(4)}} garantiza que hay dos representaciones de Weyl complejas en 4 dimensiones que son complejos conjugados entre sí.
* En 7 dimensiones euclídeas, la representación de un solo espinor es 8-dimensional y real; a partir de esta dimensión no existen isomorfismos a un álgebra de Lie de otra serie (A o C).
* En 8 dimensiones euclídeas, hay dos representaciones de 8 dimensiones reales de Weyl-Majorana que están relacionadas con la representación de un vector real de 8 dimensiones por una propiedad especial de [[Espín(8)]] llamada [[trialidad]].
* En {{nowrap|''d'' + 8}} dimensiones, el número de distintas representaciones de espinores irreducibles y su realidad (ya sean reales, pseudoreales o complejas) imita la estructura en ''d'' dimensiones, pero sus dimensiones son 16 veces más grandes; esto permite entender todos los casos restantes. Véase [[periodicidad de Bott]].
* En los espacio-tiempos con las direcciones ''p'' espacial y ''q'' temporal, las dimensiones vistas sobre los números complejos coinciden con el caso del espacio euclídeo {{nowrap|(''p'' + ''q'')}}-dimensional, pero las proyecciones de la realidad imitan la estructura en {{nowrap|{{absf|''p'' − ''q''}}}} dimensiones euclídeas. Por ejemplo, en {{nowrap|3 + 1}} dimensiones hay dos espinores de 2 componentes de Weyl (como en 4 dimensiones) no equivalentes (como en 2 dimensiones), que se desprenden del isomorfismo {{nowrap|SL(2, '''C''') ≅ Espín(3,1)}}.

<center>
{| class="wikitable" style="text-align:center"
![[Signatura métrica]]!!Izquierda de Weyl!!Derecha de Weyl!!Conjugada!!Dirac!!Izquierda de Majorana-Weyl!!Derecha de Majorana-Weyl!!Majorana
|-
| ||compleja||compleja|| ||compleja||real||real||real
|-
|(2,0)||1||1||mutua||2||–||–||2
|-
|(1,1)||1||1||propia||2||1||1||2
|-
|(3,0)||–||–||–||2||–||–||–
|-
|(2,1)||–||–||–||2||–||–||2
|-
|(4,0)||2||2||propia||4||–||–||–
|-
|(3,1)||2||2||mutua||4||–||–||4
|-
|(5,0)||–||–||–||4||–||–||–
|-
|(4,1)||–||–||–||4||–||–||–
|-
|(6,0)||4||4||mutua||8||–||–||8
|-
|(5,1)||4||4||propia||8||–||–||–
|-
|(7,0)||–||–||–||8||–||–||8
|-
|(6,1)||–||–||–||8||–||–||–
|-
|(8,0)||8||8||propia||16||8||8||16
|-
|(7,1)||8||8||mutua||16||–||–||16
|-
|(9,0)||–||–||–||16||–||–||16
|-
|(8,1)||–||–||–||16||–||–||16
|}</center>

== Véase también ==
* [[Teoría de Einstein-Cartan]]
* [[Fibrado de espinores]]

* [[Campo espinorial]]

* [[Supercarga]]
* [[Teoría de twistores]]

== Notas ==
{{listaref|2|group=nota}}

== Referencias ==
{{Listaref|3}}

== Lectura adicional ==
* {{citation|last1=Brauer|first1=Richard|author1-link=Richard Brauer|last2=Weyl|first2= Hermann|author2-link=Hermann Weyl|title=Spinors in n dimensions|journal= American Journal of Mathematics|volume=57|issue= 2|year=1935|pages= 425–449|doi=10.2307/2371218|publisher=The Johns Hopkins University Press|jstor=2371218}}.
* {{citation|last=Cartan|first=Élie|authorlink=Élie Cartan|url=http://archive.numdam.org/article/BSMF_1913__41__53_1.pdf|title=Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane|journal= Bul. Soc. Math. France|volume= 41|year=1913|pages= 53–96|doi=10.24033/bsmf.916}}.
* {{citation|last=Cartan|first=Élie|authorlink=Élie Cartan|year=1966|title=The theory of spinors|publisher = Paris, Hermann (reprinted 1981, Dover Publications)| ISBN= 978-0-486-64070-9}}
* {{citation|last= Chevalley|first= Claude|authorlink=Claude Chevalley|title=The algebraic theory of spinors and Clifford algebras|publisher=Columbia University Press (reprinted 1996, Springer)|year=1954|ISBN=978-3-540-57063-9}}.
* {{citation|last=Dirac|first= Paul M.|authorlink=Paul Dirac|title=The quantum theory of the electron|journal=Proceedings of the Royal Society of London|volume=A117|issue= 778|year=1928|pages=610–624 |jstor=94981|doi= 10.1098/rspa.1928.0023}}.
* {{citation| last1=Fulton | first1=William| author1-link=William Fulton (mathematician) | last2=Harris| first2=Joe | author2-link=Joe Harris (mathematician) | title=Representation theory. A first course| publisher=[[Springer Science+Business Media]]| location=New York| series=[[Graduate Texts in Mathematics]], Readings in Mathematics| ISBN=0-387-97495-4| mr=1153249 | year=1991| volume=129 | doi=10.1007/978-1-4612-0979-9}}.
* {{citation|last=Gilkey|first= Peter B.|authorlink=Peter B. Gilkey|url=http://www.emis.de/monographs/gilkey/index.html|title= Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah–Singer Index Theorem|publisher= Publish or Perish|year= 1984|ISBN= 0-914098-20-9}}.
* {{citation|title=Spinors and Calibrations|last=Harvey|first= F. Reese|authorlink=F. Reese Harvey|publisher=Academic Press|year=1990|ISBN=978-0-12-329650-4}}.
* {{citation|last=Hitchin|first= Nigel J.|authorlink=Nigel Hitchin|title=Harmonic spinors|journal= Advances in Mathematics|volume=14|year=1974|pages=1–55|mr=358873 |doi=10.1016/0001-8708(74)90021-8}}.
* {{citation|last1=Lawson|first1= H. Blaine|author1-link=H. Blaine Lawson|last2=Michelsohn|first2=Marie-Louise|author2-link=Marie-Louise Michelsohn|title=Spin Geometry|publisher= Princeton University Press|year=1989|ISBN= 0-691-08542-0}}.
* {{citation|last=Pauli|first= Wolfgang|authorlink=Wolfgang Pauli|title=Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons|journal=Zeitschrift für Physik|volume=43|year=1927|pages= 601–632|doi=10.1007/BF01397326|bibcode = 1927ZPhy...43..601P|issue=9–10 }}.
* {{citation|last1=Penrose|first1= Roger|author1-link=Roger Penrose|last2=Rindler|first2=W.|title=Spinors and Space–Time: Volume 2, Spinor and Twistor Methods in Space–Time Geometry|publisher= Cambridge University Press|year=1988|ISBN=0-521-34786-6}}.
* {{citation|first=Sin-Itiro|last=Tomonaga|title=The story of spin|chapter=Lecture 7: The Quantity Which Is Neither Vector nor Tensor|page=129|ISBN=0-226-80794-0|publisher=University of Chicago Press|year=1998}}

{{Control de autoridades}}
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[[Categoría:Matemáticas de la mecánica cuántica]]
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[[Categoría:Rotación en tres dimensiones]]
[[Categoría:Tensores]]