Ver el código de «Extremos de una función»

[[Archivo:Extrema example es.svg|thumb|Extremos de una función.]]
En [[matemáticas]], los '''máximos''' y '''mínimos''' de una [[Función matemática|función]], conocidos colectivamente como '''extremos de una función''', son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local o relativo) o en el [[Dominio de definición|dominio]] de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).<ref>{{cita libro | apellido=Stewart | nombre=James | enlaceautor=James Stewart (matemático) | título=Calculus: Early Transcendentals | editorial=Brooks/Cole | edición=6a | año=2008 | isbn=0-495-01166-5 | url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1 }}</ref><ref>{{cita libro | apellido1=Larson | nombre1=Ron | enlaceautor=Ron Larson| apellido2=Edwards | nombre2=Bruce H. | título=Calculus | editorial=Brooks/Cole | edición=9a | año=2009 | isbn=0-547-16702-4}}</ref><ref>{{cita libro | apellido1= Thomas | nombre1= George B. | apellido2=Weir | nombre2= Maurice D. | apellido3=Hass | nombre3=Joel | enlaceautor=George B. Thomas | título=Thomas' Calculus: Early Transcendentals | url= https://archive.org/details/thomascalculusea0000weir_s0z8 | editorial=Addison-Wesley | año=2010 | edición=12a | isbn=0-321-58876-2}}</ref> De manera más general, los máximos y mínimos de un [[conjunto]] (como se define en [[teoría de conjuntos]]) son los [[Elemento mayor y menor|elementos mayor y menor]] en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la [[Optimización (matemática)|optimización]] matemática.

== Extremos relativos o locales ==
Sea <math>f: A\sub\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb {R} </math>, sea <math> x_0 \in A</math> y sea <math> P=\,(x_0, f(x_0)) </math> un punto perteneciente a la [[Gráfica de una función|gráfica de la función]].

Se dice que <math> P </math> es un '''máximo local''' de <math> f </math> si existe un [[Entorno (matemática)|entorno reducido]] de centro <math>x_0</math>, en símbolos <math> {E'(x_0)} </math>, donde para todo elemento <math>x</math> de <math> E'(x_0) \subset A</math> se cumple <math> f(x) \le f(x_0) </math>. Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse <math> f(x) < f(x_0) </math>.

Análogamente se dice que el punto <math>P</math> es un '''mínimo local''' de <math>f</math> si existe un entorno reducido de centro <math>x_0</math>, en símbolos <math>{E'(x_0)}</math>, donde para todo elemento <math>x</math> de <math>{E'(x_0)} </math> se cumple <math>f(x) \ge f(x_0)</math>.

== Extremos absolutos o globales ==
Sea <math>f: A\sub\mathbb{R}^n \longmapsto \mathbb {R} </math>, sea <math> x_0 \in A</math> y sea <math> P=\,(x_0, f(x_0)) </math> un punto perteneciente a la [[Gráfica de una función|gráfica de la función]].

Se dice que P es un '''máximo absoluto''' de f si, para todo x distinto de <math>x_0</math> perteneciente al [[subconjunto]] A, su imagen es menor o igual que la de <math>x_0</math>. Esto es:
{{ecuación|
<math>P\,(x_0, f(x_0))</math> máximo absoluto de <math>f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \ge f(x) </math>.
||left}}

Análogamente, P es un '''mínimo absoluto''' de f si, para todo x distinto de <math>x_0</math> perteneciente al [[subconjunto]] A, su imagen es mayor o igual que la de <math>x_0</math>. Esto es:

<math>P\,(x_0, f(x_0))</math> mínimo absoluto de <math>f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \le f(x) </math>.

== Cálculo de extremos locales ==
=== Funciones diferenciables de una variable ===
Dada una función suficientemente diferenciable <math>f: A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R} </math>, definida en un intervalo abierto de <math>\mathbb {R}</math>, el '''procedimiento''' para hallar los extremos de esta función es muy sencillo:
# Se halla la primera [[derivada]] de <math>f \rightarrow f'(x)</math>...
# Se halla la segunda derivada de <math> f \rightarrow f''(x)</math>
# Se iguala la primera derivada a 0: <math>f'(x) = 0\,</math>
# Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: <math> X = \big\{x_1, x_2,..., x_n | f'(x_i)= 0 \quad \forall i = 1,2,...,n \big\} </math>.
# Se halla la imagen de cada <math>x_i\,</math>sustituyendo la variable independiente en la función.
# Ahora, en la segunda derivada, se sustituye cada <math>x_i\,</math>:
## Si <math> f''(x_i) < 0\,</math>, se tiene un '''máximo''' en el punto <math> M(x_i, f(x_i))\,</math>. 
## Si <math> f''(x_i) > 0\,</math>, se tiene un '''mínimo''' en el punto <math> m(x_i, f(x_i))\,</math>.
## Si <math> f''(x_i) = 0\,</math>, debemos sustituir <math>x_i\,</math> en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que <math>x_i\,</math> no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
### Si el orden de la derivada es par, se trata de un '''extremo local'''; un máximo si <math>f^n\,(x_i) < 0\,</math> y un mínimo si <math>f^n\,(x_i) > 0\,</math>
### Si el orden de la derivada es impar, se trata de un '''[[punto de inflexión]]''', pero no de un extremo.

=== Ejemplo ===
Sea <math>f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x -30 \,</math>. Hallar sus extremos locales y sus puntos de inflexión. Dada la función <math>f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x - 30 \,</math>, se tiene que:

<math>f'\,(x) = 3x^2 -24x + 45</math>

<math>f''\,(x) = 6x - 24</math>

<math>f'''\,(x) = 6 </math>

* '''Extremos''':

<math>f'\,(x) = 3x^2 - 24x + 45 = 0 \iff x \in \big\{3, 5\big\} </math>

<math>f''\,(3) = 6 \cdot 3 - 24 = -6 < 0 \Rightarrow </math> existe un máximo en <math> M\,(3, f(3)) \rightarrow M\,(3, 24) </math>.

<math>f''(5) = 6 \cdot 5 - 24 = 6 > 0 \Rightarrow </math> existe un mínimo en <math> m\,(5, f(5)) \rightarrow m\,(5, 20)</math>.

* '''Puntos de inflexión'''

<math>f''(x) = 6x - 24 = 0 \iff x = 4</math>.

<math>f'''(4) = 6 \ne 0 \Rightarrow </math> existe un punto de inflexión en <math> P\,(4, f(4)) \rightarrow P\,(4, 22) </math>.

=== Funciones diferenciables de ''n'' variables ===
Dada una función de ''n'' variables, un extremo requiere calcular el [[gradiente]]. Por ejemplo la función <math>f:\R^2 \to \R</math>, dada por <math>(x,y) \mapsto f(x,y) = x^2 -2ax + a^2 + y^2</math>, nótese que la función puede escribirse equivalentemente como suma de dos funciones estrictamente positivas <math>f(x,y) = (x -a)^2 + y^2</math> minimizando los términos por separado es obvio que para <math>(x,y) = (a,0)</math> se tiene un mínimo. El procedimiento estándar cuando los mínimos no son evidentes a simple vista consiste en calcular la matriz [[Jacobiano|jacobiana]] (que en este caso coincide con el gradiente):
{{ecuación|
<math>[\text{D}f(x,y)] = \left[\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right] =
[2(x-a), 2y]</math>
||left}}
Por lo tanto, para alcanzar un mínimo se requeriría <math>2(x-a) = 0,\ 2y = 0</math>; es decir, precisamente la solución <math>x=a,\ y=0</math>.

== Extremos condicionados ==
Un problema de '''extremos condicionados''' consiste en buscar un extremo de una función no sobre cualquier punto de su dominio sino sobre un subconjunto del dominio de la función que puede expresarse como [[variedad diferenciable]]. Más concretamente consiste en encontrar un máximo (o un mínimo) sujeto a la condición de que el punto donde se produce pertenezca a un cierto conjunto:
{{ecuación|
<math>\max_{x\in S} f(x), \qquad \left(\min_{x\in S} f(x)\right);
\qquad \mbox{con}\ S:=\{x|g(x)=0\} \subset \R^n </math>
||left}}
Este tipo de problemas aparece en numerosas aplicaciones prácticas tanto en ciencias físicas como en [[economía]], por ejemplo. Para resolver este tipo de problemas se usa el [[Multiplicadores de Lagrange|método de los multiplicadores de Lagrange]].

== Véase también ==
: [[Punto crítico (matemáticas)|Punto crítico]]
:: [[Punto frontererizo]]
:: [[Punto estacionario]]
:: [[Punto singular]]
: [[Punto de inflexión]]

* Extremos de una función
* [[Singularidad matemática]]
* [[Clasificación de discontinuidades]]
* [[Criterio de la primera derivada]]
* [[Criterio de la segunda derivada]]
* [[Criterio de la tercera derivada]]
* [[Criterio de la derivada de mayor orden]]
* [[Punto de silla]]

== Referencias ==
{{listaref}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Funciones|Extremos de una funcion]]