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El '''factorial descendente'''<ref name="Steffensen" /> (a veces llamado ''producto secuencial descendente'' o ''factorial inferior'') es un operador [[matemáticas|matemático]] que se define como

: <math>(x)_n=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod_{k=1}^n(x-(k-1))=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k).</math>

El '''factorial ascendente''' (a veces llamado ''función de Pochhammer'', ''polinomio de Pochhammer'', ''producto secuencial ascendente'',<ref name = "Steffensen">{{Citation | last = Steffensen | first = J. F. | authorlink = Johan Frederik Steffensen
| title = Interpolation | publisher = Dover Publications |edition = 2nd
| location = | page = 8 | url = | isbn = 0-486-45009-0}} (A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing Co.)</ref> o ''factorial superior'') se define a su vez como

: <math>x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod_{k=1}^n(x+(k-1)) = \prod_{k=0}^{n-1}(x+k). </math>

El valor de ambos se toma como 1 (un [[producto vacío]]) cuando ''n'' = 0.

El '''símbolo de Pochhammer''', introducido por el matemático prusiano [[Leo August Pochhammer]] (1841-1920), es la notación '''{{math|(''x'')<sub>''n''</sub>}}''', donde {{math|''n''}} es un [[número natural]]. Dependiendo del contexto, el símbolo de Pochhammer puede representar el factorial ascendente o el factorial descendente tal como se definió anteriormente. Se debe tener cuidado para verificar qué interpretación se está utilizando en cada artículo en particular. Pochhammer en realidad utilizó la notación {{math|(''x'')<sub>''n''</sub>}} con otro significado, a saber, denotar el [[coeficiente binomial]] <math>\tbinom xn</math>.<ref name="Knuth">{{citation|last=Knuth|first=Donald E.|title=Two notes on notation|year=1992|authorlink1=Donald Knuth|journal=American Mathematical Monthly|volume=99|issue=5|pages=403–422|arxiv=math/9205211|doi=10.2307/2325085|jstor=2325085}}. La reseña acerca del símbolo de Pochhammer figura en la página 414.</ref>

En este artículo, el símbolo {{math|(''x'')<sub>''n''</sub>}} se usa para representar el factorial descendente y el símbolo {{math|''x''<sup>(''n'')</sup>}} se usa para el factorial ascendente. Estas convenciones se usan en [[combinatoria]].<ref>{{harvnb|Olver|1999|p=101}}</ref> En la teoría de [[función especial|funciones especiales]] (en particular, en la [[función hipergeométrica]]), el símbolo de Pochhammer {{math|(''x'')<sub>''n''</sub>}} se usa para representar el factorial ascendente.<ref>Como es el caso en la obra de Abramowitz y Stegun titulada "Handbook of Mathematical Functions", P. 256</ref>
Una lista útil de fórmulas para manipular el factorial ascendente en esta última notación se da en {{harv|Slater|1966|loc=Appendix I}}. [[Donald Knuth|Knuth]] usa el término '''potencias factoriales''' para abarcar factoriales ascendentes y descendentes.<ref>Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed., p. 50.</ref>

Cuando {{math|''x''}} es un entero no negativo, {{math|(''x'')<sub>''n''</sub>}} da el número de {{math|''n''}}-permutaciones de un conjunto de elementos {{math|''x''}}, o equivalentemente, el número de posibles funciones [[Función inyectiva|injectivas]] de un conjunto de tamaño {{math|''n''}} sobre un conjunto de tamaño&nbsp;{{math|''x''}}. Sin embargo, para estos significados, otras notaciones como {{math|<sub>''x''</sub>''P''<sub>''n''</sub>}} y ''P'' (''x, n'') se usan comúnmente. El símbolo de Pochhammer sirve principalmente para usos más algebraicos, por ejemplo cuando {{math|''x''}} es una variable indeterminada, en cuyo caso {{math|(''x'')<sub>''n''</sub>}} designa un [[polinomio]] particular de grado {{math|''n''}} en {{math|''x''}}.

==Ejemplos==
Los primeros factoriales ascendentes son los siguientes:
: <math>x^{(0)}=x^{\overline0}=1 </math>
: <math>x^{(1)}=x^{\overline1}=x </math>
: <math>x^{(2)}=x^{\overline2}=x(x+1)=x^2+x </math>
: <math>x^{(3)}=x^{\overline3}=x(x+1)(x+2)=x^3+3x^2+2x </math>
: <math>x^{(4)}=x^{\overline4}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^4+6x^3+11x^2+6x </math>
Los primeros pocos factoriales descendentes son los siguientes:
: <math>(x)_0=x^{\underline0}=1 </math>
: <math>(x)_1=x^{\underline1}=x </math>
: <math>(x)_2=x^{\underline2}=x(x-1)=x^2-x </math>
: <math>(x)_3=x^{\underline3}=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x </math>
: <math>(x)_4=x^{\underline4}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4-6x^3+11x^2-6x </math>
Los coeficientes que aparecen en las expresiones son los [[números de Stirling de primera especie]].

==Propiedades==
Los factoriales ascendentes y descendentes se pueden usar para expresar un [[coeficiente binomial]]:

: <math>\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\text{and}\quad \frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.</math>

Por lo tanto, muchas identidades sobre coeficientes binomiales se trasladan a los factoriales decrecientes y ascendentes.

Un factorial ascendente se puede expresar como un factorial descendente que comienza desde el otro extremo,

: <math>x^{(n)} = (x + n - 1)_n ,</math>

o como un factorial descendente con argumento opuesto,

: <math>x^{(n)} = (-1)^n (-x)_n .</math>

Los factoriales ascendentes y descendentes están bien definidos en cualquier [[Anillo (matemática)|anillo]] unitario y, por lo tanto, se puede considerar que ''x'' puede ser, por ejemplo, un [[número complejo]], incluidos los números enteros negativos, o un [[polinomio]] con coeficientes complejos, o cualquier [[Análisis complejo|función de variable compleja]].

El factorial ascendente puede extenderse a los valores [[Número real|reales]] de {{math|''n''}} utilizando la [[función gamma]] con {{math|''x''}} y {{math|''x''&nbsp;+&nbsp;''n''}} números reales que no sean enteros negativos:

: <math>x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)},</math>

y también lo puede hacer el factorial descendente:

: <math>(x)_n=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}.</math>

Si {{math|''D''}} denota el [[Derivada|diferencial]] con respecto a {{math|''x''}}, se tiene

: <math>D^n(x^a) = (a)_n\,\, x^{a-n}.</math>

El símbolo de Pochhammer también forma parte de la definición de la [[función hipergeométrica]]: la función hipergeométrica se define para |''z''|&nbsp;<&nbsp;1 por la [[serie de potencias]]

: <math>\,_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty {a^{(n)} b^{(n)}\over c^{(n)}} \, {z^n \over n!} </math>

siempre que ''c'' no sea igual a 0, -1, -2, .... Sin embargo, téngase en cuenta que los textos sobre la función hipergeométrica utilizan la notación <math>{(a)}_{{n}}</math> para los factores de la función factorial ascendente.

==Relación con el cálculo umbral==
El factorial descendente también se deduce a partir de una fórmula que representa [[polinomio]]s utilizando [[diferencia finita|diferencias finitas]] {{math|Δ}}, lo que es formalmente similar al [[teorema de Taylor]]. En esta fórmula y en muchos otras identidades, el factorial descendente {{math|(''x'')<sub>''k''</sub>}} en el cálculo de diferencias finitas desempeña el papel de {{math|''x''<sup>''k''</sup>}} en el [[cálculo diferencial]]. Téngase en cuenta, por ejemplo, la similitud de

: <math>\Delta (x)_k = k (x)_{k-1},</math>

y de

: <math>D x^k = k x^{k-1},</math>

Un resultado similar es válido para el factorial ascendente.

El estudio de analogías de este tipo se conoce como [[cálculo umbral]]. La teoría de secuencias polinómicas de [[tipo binomial]] y de [[secuencia de Sheffer|secuencias de Sheffer]] da una teoría general que cubre tales relaciones, incluidas las funciones factoriales descendentes y ascendentes, que son secuencias de Sheffer de tipo binomial, como se muestra en las relaciones:

: <math>(a + b)^{(n)} = \sum_{j=0}^n {n \choose j} (a)^{(n-j)}(b)^{(j)}</math>

: <math>(a + b)_n = \sum_{j=0}^n {n \choose j} (a)_{n-j}(b)_{j}</math>

donde los coeficientes son los mismos que en la expansión de una potencia de un binomio ([[Identidad de Vandermonde|identidad de Chu-Vandermonde]]).

De manera similar, la [[función generadora]] de los polinomios de Pochhammer ascendentes según la [[función exponencial]] umbral,

: <math> \sum_{n=0}^\infty  (x)_n  ~\frac{t^n}{n!} = (1+t)^x ~, </math>

como Δ(1&nbsp;+&nbsp;''t'') <sup>''x''</sup> = ''t'' (1&nbsp;+&nbsp;''t'')<sup>''x''</sup>.

==Coeficientes de conexión e identidades==

Los factoriales descendentes y ascendentes se relacionan entre sí a través de los [[números de Lah]] y a través de sumas para potencias integrales de una variable <math>x</math> que involucra a los [[números de Stirling de segunda especie]] en las  formas siguientes, donde <math>\binom{r}{k} = r^{\underline{k}} / k!</math>:<ref>{{cite web|title=Introduction to the factorials and binomials|url=http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/|website=Wolfram Functions Site}}</ref>

: <math>
\begin{align}
x^{\underline{n}} & = \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k \\
                  & = (-1)^n (-x)_n = (x-n+1)_n = \frac{1}{(x+1)^{\overline{-n}}} \\ 
(x)_n & = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (n-1)^{\underline{n-k}} \times x^{\underline{k}} \\ 
      & = (-1)^n (-x)^{\underline{n}} = (x+n-1)^{\underline{n}} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{-n}}} \\
      & = \binom{-x}{n} (-1)^n n! \\
      & = \binom{x+n-1}{n} n! \\
x^n & = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} x^{\underline{n-k}} \\
    & = \sum_{k=0}^n \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. 
\end{align} 
</math>

Dado que los factoriales descendentes son la base del [[anillo de polinomios]], se puede volver a expresar el producto de dos de ellos como una [[combinación lineal]] de factoriales descendentes:

: <math>(x)_m (x)_n = \sum_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, (x)_{m+n-k}.</math>

Los coeficientes de (''x'') <sub>''m''+''n''&minus;''k''</sub>, llamados '''coeficientes de conexión''', tienen una interpretación combinatoria como el número de formas de identificar (o unir) {{math|''k''}} elementos cada uno de un conjunto de tamaño {{math|''m''}} y de un conjunto de tamaño {{math|''n''}}.
También se tiene una fórmula de conexión para la relación de dos símbolos de Pochhammer dada por

: <math>\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x+i)_{n-i},\ n \geq i. </math>

Además, se pueden expandir las leyes de exponente generalizadas y las potencias negativas ascendentes y descendentes a través de las siguientes identidades:

: <math>
\begin{align} 
x^{\underline{m+n}} & = x^{\underline{m}} (x-m)^{\underline{n}} \\ 
(x)_{m+n} & = (x)_m (x+m)_n \\ 
(x)_{-n} & = \frac{1}{(x-n)_n} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{n}}} \\ 
x^{\underline{-n}} & = \frac{1}{(x+1)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)}. 
\end{align} 
</math>

Finalmente, aplicando la [[Teorema de multiplicación|duplicación]] y las [[teorema de multiplicación|fórmulas de multiplicación]] a los factoriales ascendentes proporcionan las siguientes relaciones:

: <math>(x)_{k+mn} = (x)_k m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+j+k}{m}\right)_n,\ m \in \mathbb{N} </math>
: <math>(ax+b)_n = x^n \prod_{k=0}^{x-1} \left(a+\frac{b+k} {x}\right)_{n/x},\ x \in \mathbb{Z}^{+} </math>
: <math>(2x)_{2n} = 2^{2n} (x)_n \left(x+\frac{1}{2}\right)_n. </math>

==Notaciones alternativas==

Una notación alternativa para el factorial ascendente

: <math>x^{\overline{m} }=\overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m \text{ factores} } \qquad \text{para un entero } m\ge0,</math>

y para el factorial descendente

: <math>x^{\underline{m}}=\overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m \text{ factores}} \qquad \text{para un entero } m\ge0;</math>

se remontan a A. Capelli (1893) y a L. Toscano (1939), respectivamente.<ref>According to Knuth, ''The Art of Computer Programming'', Vol. 1, 3rd ed., p. 50.</ref> Graham, Knuth y Patashnik<ref>[[Ronald Graham]], [[Donald Knuth]] and [[Oren Patashnik]] in their book ''[[Concrete Mathematics]]'' (1988), Addison-Wesley, Reading MA. {{ISBN|0-201-14236-8}}, pp.&nbsp;47,48</ref> que proponían denominar estas expresiones como "{{math|''x''}} al ascenso {{math|''m''}}" y "{{math|''x''}} al descenso {{math|''m''}}", respectivamente.

Otras anotaciones para el factorial descendente incluyen {{math|''P''(''x'',&nbsp;''n'')}}, {{math|<sup>''x''</sup>P<sub>''n''</sub>}}, {{math|P<sub>''x'',''n''</sub>}} o {{math|<sub>''x''</sub>P<sub>''n''</sub>}}. (Véase [[permutación]] y [[combinatoria|combinación]].)

Una notación alternativa para el factorial ascendente {{math|''x''<sup>(''n'')</sup>}} es {{math|(''x'')<sup>+</sup><sub>''n''</sub>}}, menos común. Cuando la notación {{math|(''x'')<sup>+</sup><sub>''n''</sub>}} se usa para el factorial ascendente, la notación {{math|(''x'')<sup>–</sup><sub>''n''</sub>}} se usa generalmente para el factorial descendente normal para evitar confusiones.<ref name=Knuth />

==Generalizaciones==
El símbolo de Pochhammer tiene una versión generalizada llamada [[símbolo generalizado de Pochhammer]], utilizado en [[Análisis matemático|análisis]] multivariante. También hay un [[q-análogo|''q''-análogo]], el [[símbolo q-Pochhammer|símbolo ''q''-Pochhammer]].

Una generalización del factorial descendente en el que se evalúa una función en una secuencia aritmética descendente de enteros y los valores se multiplican, es:

: <math>[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),</math>

donde {{math|&minus;''h''}} es la disminución y {{math|''k''}} es la cantidad de factores. La generalización correspondiente del factorial ascendente es

: <math>[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).</math>

Esta notación unifica los factoriales ascendente y descendente, que son [''x'']<sup>''k''/1</sup> y [''x'']<sup>''k''/&minus;1</sup>, respectivamente.

Para cualquier [[función aritmética]] fija <math>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}</math> y parámetros simbólicos <math>x, t</math>, los productos factoriales generalizados se relacionan de la forma

: <math>(x)_{n,f,t} := \prod_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</math>

que se puede estudiar desde el punto de vista de las clases de los [[números de Stirling de primera especie]] generalizados, definidos por los siguientes coeficientes de las potencias de <math>x</math> en las expansiones de <math>(x)_{n,f,t}</math> y luego por la siguiente [[relación de recurrencia]] triangular correspondiente:

: <math>
\begin{align} 
\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} & = [x^{k-1}] (x)_{n,f,t} \\ 
     & = f(n-1) t^{1-n} \left[\begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} + \left[\begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right]_{f,t} + \delta_{n,0} \delta_{k,0}. 
\end{align} 
</math>

Estos coeficientes satisfacen una serie de propiedades análogas a las de los [[números de Stirling de primera especie]], así como las relaciones de recurrencia y las [[Ecuación funcional|ecuaciones funcionales]] relacionadas con los ''números f-armónicos'', <math>F_n^{(r)}(t) := \sum_{k \leq n} t^k / f(k)^r</math>.<ref>''[https://arxiv.org/abs/1611.04708 Combinatorial Identities for Generalized Stirling Numbers Expanding f-Factorial Functions and the f-Harmonic Numbers]'' (2016).</ref>

==Véase también==
* [[Símbolo k-Pochhammer]]
* [[Identidad de Vandermonde]]

==Referencias==
{{listaref}}

==Bibliografía==
* {{citation | last=Olver | first=Peter J. |author-link=Peter J. Olver | year=1999 | title=Classical Invariant Theory | publisher=Cambridge University Press | isbn=0-521-55821-2 | mr=1694364}}
* {{citation | last=Slater | first=Lucy J. | year=1966 | title=Generalized Hypergeometric Functions | publisher=Cambridge University Press | mr=0201688}}

==Enlaces externos==
* {{MathWorld |title=Pochhammer Symbol |urlname=PochhammerSymbol}}
* {{Enlace roto|1=[https://www.scribd.com/doc/288367437/A-Compilation-of-Mathhematical-Demonstrations, pruebas elementales] |2=https://www.scribd.com/doc/288367437/A-Compilation-of-Mathhematical-Demonstrations, }}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Funciones gamma y relacionadas]]
[[Categoría:Diferencia finita]]
[[Categoría:Temas factoriales y binomiales]]