Ver el código de «Fenómeno de Gibbs»

[[Image:Gibbs phenomenon 10.svg|thumb|right|300px|Aproximación funcional de una onda cuadrada usando 5 armónicos]]
[[Image:Gibbs phenomenon 50.svg|thumb|right|300px|Aproximación funcional de una onda cuadrada usando 25 armónicos]]
[[Image:Gibbs phenomenon 250.svg|thumb|right|300px|Aproximación funcional de una onda cuadrada usando 125 armónicos]]

En [[matemáticas]], el '''fenómeno de Gibbs''' es el comportamiento [[Oscilación|oscilatorio]] de la [[serie de Fourier]] de una [[función definida a trozos]] [[función periódica|periódica]] y [[Función diferenciable|continuamente diferenciable]] que se produce alrededor de una [[clasificación de discontinuidades|discontinuidad de salto]]. La <math display="inline">N</math>-ésima serie parcial de Fourier hasta el de la función (formada por la suma de los <math display="inline">N</math> primeros términos de la serie de Fourier de la función) produce grandes picos alrededor del punto de salto, generando [[Sobreimpulso (señal)|sobreimpulsos y subimpulsos]] respecto a los valores de la función. A medida que se utilizan más términos de la sinusoide, este [[error de aproximación]] tiende a un [[Límite (matemática)|límite]] de aproximadamente el 9{{esd}}% del salto, aunque la  [[Serie (matemática)|suma]] de la serie de Fourier [[Infinito|infinita]] finalmente [[Convergencia puntual|converge en casi todas partes]] (es decir, alcanza la convergencia en todos los puntos continuos, pero no en los puntos de discontinuidad).<ref name=Carslaw>{{cite book|author=H. S. Carslaw|title=Introduction to the theory of Fourier's series and integrals|chapter=Chapter IX|year= 1930|edition=Third|publisher=Dover Publications Inc.|location=New York|chapter-url=https://books.google.com/books?id=JNVAAAAAIAAJ&q=intitle:Introduction+intitle:to+intitle:the+intitle:theory+intitle:of+intitle:Fourier%27s+intitle:series+intitle:and+intitle:integrals+inauthor:carslaw}}</ref>

El fenómeno de Gibbs fue observado por físicos experimentales y se creía que se debía a imperfecciones en los aparatos de medición,<ref>{{harvnb|Vretblad|2000}} Section 4.7.</ref> pero en realidad es un resultado matemático. Es una de las causas de la aparición de los denominados [[artefactos de anillo]] en el [[procesado de señal|procesamiento de señales]].

==Descripción==
El fenómeno de Gibbs es un comportamiento de la [[serie de Fourier]] de una función con una [[clasificación de discontinuidades|discontinuidad de salto]] y se describe de la siguiente manera:

<blockquote> A medida que se toman más constituyentes o componentes de la serie de Fourier, esta última muestra el primer exceso en el comportamiento oscilatorio alrededor del punto de salto que se acerca al ~ 9 % del salto (completo), y esta oscilación no desaparece sino que se acerca al punto en el que la integral de la oscilación se acerca a cero (es decir, a la energía cero en la oscilación).</blockquote>

En el punto de salto, la serie de Fourier proporciona el promedio de los límites de ambos lados de la función hacia el punto.

===Ejemplo de la onda cuadrada===
Las tres imágenes de la derecha demuestran el fenómeno de Gibbs para una [[onda cuadrada]] (con una amplitud de pico a pico de <math display="inline">c</math> de <math display="inline">-c/2</math> a <math display="inline">c/2</math> y la periodicidad <math display="inline">L</math>) cuya serie parcial de Fourier hasta el <math display="inline">N</math>-ésimo término es

:<math> \frac{2c}{\pi}\left ( \sin(\omega x) + \frac{1}{3} \sin(3\omega x) + \cdots + \frac{1}{N-1} \sin((N-1)\omega x) \right )</math>

donde <math display="inline">\omega= 2\pi/L</math>. Más precisamente, esta onda cuadrada es la función <math display="inline">f(x)</math> que es igual a <math>\tfrac{c}{2}</math> entre <math display="inline">2n(L/2)</math> y <math display="inline">(2n+1)(L/2)</math> y <math display="inline">-\tfrac{c}{2}</math> entre <math display="inline">(2n+1)(L/2)</math> y <math display="inline">(2n+2)(L/2)</math> para cada [[número entero]] <math display="inline">n</math>. Por lo tanto, esta onda cuadrada tiene una discontinuidad de salto de altura de pico a pico <math display="inline">c</math> en cada múltiplo entero de <math display="inline">L/2</math>.

A medida que se agregan más términos sinusoidales (es decir, aumentando <math display="inline">N</math>), el error de la serie parcial de Fourier converge a una altura fija. Pero debido a que el ancho del error continúa estrechándose, el área del error – y por ende, la energía del error – converge a 0.<ref>{{Cite web|date=2020-05-24|title=6.7: Gibbs Phenomena|url=https://eng.libretexts.org/Bookshelves/Electrical_Engineering/Signal_Processing_and_Modeling/Signals_and_Systems_(Baraniuk_et_al.)/06%3A_Continuous_Time_Fourier_Series_(CTFS)/6.07%3A_Gibbs_Phenomena|access-date=2022-03-03|website=Engineering LibreTexts|language=en}}</ref> El análisis de la onda cuadrada revela que el error excede la altura (desde cero) <math>\tfrac{c}{2}</math> de la onda cuadrada en

:<math>\frac{c}{\pi} \int_0^\pi \frac{\sin(t)}{t}\ dt - \frac{c}{2}= c \cdot (0.089489872236\dots).</math>({{OEIS2C|A243268}})

o alrededor del 9{{esd}}% del salto completo <math display="inline">c</math>. De manera más general, en cualquier discontinuidad de una función continuamente diferenciable por partes con un salto de <math display="inline">c</math>, la serie parcial de Fourier <math display="inline">N</math><sup>th</sup> de la función (para un valor de <math display="inline">N</math> muy grande) sobrepasará este salto por un error que se aproxima a <math display="inline">c \cdot (0.089489872236\dots)</math> en un extremo y lo sobrepasará en la misma cantidad en el otro extremo. Por lo tanto, el "salto completo" en la serie parcial de Fourier será aproximadamente un 18{{esd}}% mayor que el salto completo en la función original. En la discontinuidad, la serie parcial de Fourier convergerá al [[punto medio]] del salto (independientemente del valor real de la función original en la discontinuidad) como consecuencia del [[teorema de Dirichlet (series de Fourier)|teorema de Dirichlet]].<ref name="Pinksky" /> La cantidad

:<math>\int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\ dt= (1.851937051982\dots)= \frac{\pi}{2} + \pi \cdot (0.089489872236\dots)</math>({{OEIS2C|A036792}})

a veces se conoce como "constante de [[Henry Wilbraham|Wilbraham]]-Gibbs".<ref>Steven R. Finch, ''Mathematical Constants'', Cambridge University Press, 2003, Section 4.1 Gibbs-Wilbraham constant, p. 249.</ref>

===Historia===
El fenómeno de Gibbs fue observado y analizado por primera vez por [[Henry Wilbraham]] en un artículo de 1848.<ref>Wilbraham, Henry (1848) [https://books.google.com/books?id=JrQ4AAAAMAAJ&pg=PA198 "On a certain periodic function"], ''The Cambridge and Dublin Mathematical Journal'', '''3''' : 198–201.</ref> El artículo atrajo poca atención hasta 1914, cuando fue mencionado en la revisión de análisis matemático de [[Heinrich Burkhardt]] en la [[Enciclopedia de Klein]].<ref>{{cite book|title=Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen|volume=II T. 1 H 1|date=1914|publisher=Vieweg+Teubner Verlag|location=Wiesbaden|page=1049|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/pdfcache/PPN360506208/PPN360506208___LOG_0158.pdf|access-date=2016-09-14}}</ref> En 1898, [[Albert Abraham Michelson]] desarrolló un dispositivo que podía calcular y resintetizar la serie de Fourier.<ref>{{cite book|last1=Hammack|first1=Bill|last2=Kranz|first2=Steve|last3=Carpenter|first3=Bruce|title=Albert Michelson's Harmonic Analyzer: A Visual Tour of a Nineteenth Century Machine that Performs Fourier Analysis|publisher=Articulate Noise Books|isbn=9780983966173|url=http://www.engineerguy.com/fourier/|access-date=2016-09-14|language=en|date=2014-10-29}}</ref> Un mito muy extendido dice que cuando se introducían los coeficientes de Fourier para una onda cuadrada en la máquina, la gráfica oscilaría en las discontinuidades, y que como era un dispositivo físico sujeto a defectos de fabricación, Michelson estaba convencido de que el exceso se debía a errores en la máquina. De hecho, los gráficos producidos por la máquina no eran lo suficientemente buenos como para mostrar claramente el fenómeno de Gibbs, y es posible que Michelson no lo hubiera notado, ya que no mencionó este efecto en su artículo {{harv|Michelson|Stratton|1898}} sobre su máquina o en sus cartas posteriores a la revista ''[[Nature]]''.<ref name="Hewitt 1979 129–160">{{cite journal|last=Hewitt|first=Edwin|author2=Hewitt, Robert E.|year=1979|title=The Gibbs-Wilbraham phenomenon: An episode in Fourier analysis|journal=Archive for History of Exact Sciences|volume=21|issue=2|pages=129–160|doi=10.1007/BF00330404|s2cid=119355426}} Available on-line at:  [http://ocw.nctu.edu.tw/course/fourier/supplement/hewitt-hewitt1979.pdf National Chiao Tung University:  Open Course Ware:  Hewitt & Hewitt, 1979.] {{Wayback|url=http://ocw.nctu.edu.tw/course/fourier/supplement/hewitt-hewitt1979.pdf |date=20160304104811 }}</ref>

Inspirado por la correspondencia entre Michelson y [[Augustus Edward Hough Love|A. E. H. Love]] publicada en ''Nature'' sobre la convergencia de la serie de Fourier de la [[función de onda]] cuadrada, [[Josiah Willard Gibbs|J. Willard Gibbs]] publicó una nota en 1898 señalando la importante distinción entre el límite de las gráficas de las sumas parciales de la función de Fourier en serie de una [[onda de sierra]], y la gráfica del límite de esas sumas parciales. En su primera carta, Gibbs no se dio cuenta del fenómeno que llevaría su nombre, y el límite que describió para las gráficas de las sumas parciales era inexacto. En 1899 publicó una corrección en la que describía el exceso en el punto de discontinuidad (''Nature'', 27 de abril de 1899, p. 606). En 1906, [[Maxime Bôcher]] realizó un análisis matemático detallado de ese exceso, acuñando el término de "fenómeno de Gibbs"<ref>Bôcher, Maxime (April 1906) [https://www.jstor.org/stable/1967238?seq=1 "Introduction to the theory of Fourier's series"], ''Annals of Mathethematics'', second series, '''7''' (3) : 81–152.  The Gibbs phenomenon is discussed on pages 123–132; Gibbs's role is mentioned on page 129.</ref> lo que acabó generalizando el uso del término.<ref name="Hewitt 1979 129–160"/>

Después de que la existencia del artículo de [[Henry Wilbraham]] se hiciera ampliamente conocida, en 1925 [[Horatio Scott Carslaw]] comentó: "Todavía podemos llamar a esta propiedad de la serie de Fourier (y de algunas otras series) fenómeno de Gibbs; pero ya no debemos afirmar que la propiedad fue descubierta por primera vez por Gibbs."<ref>{{cite journal|last1=Carslaw|first1=H. S.|title=A historical note on Gibbs' phenomenon in Fourier's series and integrals|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|date=1925-10-01|volume=31|issue=8|pages=420–424|url=https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183486614|access-date=2016-09-14|language=EN|issn=0002-9904|doi=10.1090/s0002-9904-1925-04081-1}}</ref>

===Explicación===
Informalmente, el fenómeno de Gibbs refleja la dificultad inherente a aproximar una [[función continua|función discontinua]] mediante una serie "finita" de ondas sinusoidales [[Función continua|continuas]]. Es importante poner énfasis en la palabra "finita", porque aunque cada suma parcial de la serie de Fourier sobrepasa cada discontinuidad a la que se aproxima, el límite de sumar un número infinito de ondas sinusoidales no lo hace. Los picos de exceso se acercan cada vez más a la discontinuidad a medida que se suman más términos, por lo que la convergencia es posible.

No hay contradicción (entre el error de sobreimpulso que converge a una altura distinta de cero incluso si la suma infinita no tiene sobreimpulso), porque los picos de sobreimpulso se mueven hacia la discontinuidad. En consecuencia, el fenómeno de Gibbs exhibe [[convergencia puntual]], pero no [[convergencia uniforme]]. Para una [[Función infinitamente diferenciable|función continuamente diferenciable (de la clase ''C''<sup>1</sup>)]] por partes, la serie de Fourier converge a la función en "todos los puntos", excepto en las discontinuidades de salto. En las discontinuidades de salto, la suma infinita convergerá al punto medio de la discontinuidad del salto (es decir, el promedio de los valores de la función a cada lado del salto), como consecuencia del [[teorema de Dirichlet (series de Fourier)|teorema de Dirichlet]].<ref name=Pinksky>{{cite book|author=M. Pinsky|title=Introduction to Fourier Analysis and Wavelets|url=https://archive.org/details/introductiontofo00pins_232|page=[https://archive.org/details/introductiontofo00pins_232/page/n37 27]|year= 2002|publisher=Brooks/Cole|location=United states of America }}</ref>

El fenómeno de Gibbs está estrechamente relacionado con el principio de que la [[función infinitamente diferenciable|suavidad]] de una función controla la tasa de decaimiento de sus coeficientes de Fourier. Los coeficientes de Fourier de funciones más suaves decaerán más rápidamente (lo que dará como resultado una convergencia más rápida), mientras que los coeficientes de Fourier de funciones discontinuas decaerán lentamente (lo que dará como resultado una convergencia más lenta). Por ejemplo, la onda cuadrada discontinua tiene coeficientes de Fourier <math>(\tfrac{1}{1},{\scriptstyle\text{0}},\tfrac{1}{3},{\scriptstyle\text{0}},\tfrac{1}{5},{\scriptstyle\text{0}},\tfrac{1}{7},{\scriptstyle\text{0}},\tfrac{1}{9},{\scriptstyle\text{0}},\dots)</math> que decaen solo a una velocidad de <math>\tfrac{1}{n}</math>, mientras que la [[Onda triangular]] continua tiene coeficientes de Fourier <math>(\tfrac{1}{1^2},{\scriptstyle\text{0}},\tfrac{-1}{3^2},{\scriptstyle\text{0}},\tfrac{1}{5^2},{\scriptstyle\text{0}},\tfrac{-1}{7^2},{\scriptstyle\text{0}},\tfrac{1}{9^2},{\scriptstyle\text{0}},\dots)</math> que decaen a una velocidad mucho más rápida de <math>\tfrac{1}{n^2}</math>.

Esto solo proporciona una explicación parcial del fenómeno de Gibbs, ya que las series de Fourier con coeficientes [[Convergencia absoluta|absolutamente convergentes]] serían [[uniformemente convergente|uniformemente convergentes]] sgún la [[prueba M de Weierstrass]] y, por lo tanto, no podrían exhibir el comportamiento oscilatorio anterior. Por la misma razón, es imposible que una función discontinua tenga coeficientes de Fourier absolutamente convergentes, ya que la función sería así el límite uniforme de funciones continuas, y por tanto sería continua, lo que implicaría una contradicción (véase [[Convergencia de series de Fourier]]).

===Soluciones===
Dado que el fenómeno de Gibbs proviene de una insuficiencia de datos, se puede eliminar utilizando núcleos que nunca sean negativos, como el [[núcleo de Fejér]].<ref>{{Cite journal|last=Gottlieb|first=David|last2=Shu|first2=Chi-Wang|date=January 1997|title=On the Gibbs Phenomenon and Its Resolution|url=http://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0036144596301390|journal=SIAM Review|language=en|volume=39|issue=4|pages=644–668|doi=10.1137/S0036144596301390|issn=0036-1445}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Gottlieb|first=Sigal|last2=Jung|first2=Jae-Hun|last3=Kim|first3=Saeja|date=March 2011|title=A Review of David Gottlieb’s Work on the Resolution of the Gibbs Phenomenon|url=https://www.cambridge.org/core/journals/communications-in-computational-physics/article/abs/review-of-david-gottliebs-work-on-the-resolution-of-the-gibbs-phenomenon/C77B063AC18D2AF7CF7A6A77028C8528|journal=Communications in Computational Physics|language=en|volume=9|issue=3|pages=497–519|doi=10.4208/cicp.301109.170510s|issn=1815-2406}}</ref>

En la práctica, las dificultades asociadas con el fenómeno de Gibbs pueden mejorarse utilizando un método más suave de suma de series de Fourier, como el [[sumatorio de Fejér]] o la [[media de Riesz]]; o bien utilizando la [[aproximación sigma]]. Utilizando una transformada con forma de [[ondícula]] continua, el fenómeno de Gibbs para una ondícula nunca excede al fenómeno de Fourier Gibbs.<ref>Rasmussen, Henrik O. "The Wavelet Gibbs Phenomenon". In ''Wavelets, Fractals and Fourier Transforms'', Eds [[Marie Farge|M. Farge]] et al., Clarendon Press, Oxford, 1993.</ref> Además, al utilizar la transformada de ondículas discreta con la [[ondícula de Haar]], el fenómeno de Gibbs no aparece en absoluto en el caso de datos continuos en discontinuidades de salto,<ref>{{cite journal|url=http://www.uwlax.edu/faculty/kelly/Publications/GibbsJan.pdf|first=Kelly|last=Susan E.|title=Gibbs Phenomenon for Wavelets|journal=Applied and Computational Harmonic Analysis|issue=3|year=1995|access-date=2012-03-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20130909200315/http://www.uwlax.edu/faculty/kelly/Publications/GibbsJan.pdf|archive-date=2013-09-09 }}</ref> y es mínimo en el caso discreto en puntos de cambio grandes. En el análisis de ondículas, esto se conoce comúnmente como fenómeno de Longo. En el entorno de interpolación polinomial, el fenómeno de Gibbs se puede mitigar utilizando el algoritmo S-Gibbs.<ref name=FakeNodes>{{cite journal|first1= Stefano|last1= De Marchi|first2= Francesco|last2= Marchetti|first3= Emma|last3= Perracchione|first4= Davide|last4= Poggiali|title= Polynomial interpolation via mapped bases without resampling|doi= 10.1016/j.cam.2019.112347|journal= J. Comput. Appl. Math.|volume= 364|year= 2020|page= 112347|s2cid= 199688130|issn= 0377-0427 }}</ref>

==Descripción matemática formal del fenómeno de Gibbs==
[[Archivo:Gibbs phenomenon 50.jpg|miniaturadeimagen|Aproximación funcional de una onda cuadrada.]]
Sea <math display="inline">f: {\mathbb R} \to {\mathbb R}</math> una [[función definida a trozos]] [[Función diferenciable|continuamente diferenciable]] que es periódica con algún período <math display="inline">L > 0</math>. Supóngase que en algún punto <math display="inline">x_0</math>, el límite izquierdo <math display="inline">f(x_0^-)</math> y el límite derecho <math display="inline">f(x_0^+)</math> de la función <math display="inline">f</math> difieren por un salto distinto de cero de <math display="inline">c</math>:
:<math> f(x_0^+) - f(x_0^-)= c \neq 0.</math>

Para cada entero positivo <math display="inline">N</math> = 1, sea <math display="inline"> S_N f(x)</math> la <math display="inline">N</math>-<sup>ésima</sup> [[serie de Fourier]] parcial (<math display="inline">S_N</math> puede tratarse como un operador matemático en funciones).

:<math> S_N f(x) := \sum_{-N \leq n \leq N} \widehat f(n) e^{\frac{i2\pi n x}{L}}
= \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^N \left( a_n \cos\left(\frac{2\pi nx}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi nx}{L}\right) \right),</math>

donde los coeficientes de Fourier <math display="inline">\widehat f(n), a_n, b_n</math> para números enteros <math display="inline">n</math> vienen dados por las fórmulas habituales

:<math> \widehat f(n) := \frac{1}{L} \int_0^L f(x) e^{-\frac{i2\pi nx}{L}}\, dx</math>
:<math> a_0 := \frac{1}{L} \int_0^L f(x)\ dx</math>
:<math> a_n := \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \cos\left(\frac{2\pi nx}{L}\right)\, dx</math>
:<math> b_n := \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\left(\frac{2\pi nx}{L}\right)\, dx.</math>

Entonces, se tiene que

:<math> \lim_{N \to \infty} S_N f\left(x_0 + \frac{L}{2N}\right)= f(x_0^+) + c\cdot (0.089489872236\dots)</math>
y
:<math> \lim_{N \to \infty} S_N f\left(x_0 - \frac{L}{2N}\right)= f(x_0^-) - c\cdot (0.089489872236\dots)</math>
pero
:<math> \lim_{N \to \infty} S_N f(x_0)= \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2}.</math>

De manera más general, si <math display="inline">x_N</math> es cualquier secuencia de números reales que converge a <math display="inline">x_0</math> como <math display="inline">N \to \infty</math>, y si el salto de <math display="inline">a</math> es positivo, entonces
:<math> \limsup_{N \to \infty} S_N f(x_N) \leq f(x_0^+) + c\cdot (0.089489872236\dots)</math>
y
:<math> \liminf_{N \to \infty} S_N f(x_N) \geq f(x_0^-) - c\cdot (0.089489872236\dots).</math>

Si en cambio el salto de <math display="inline">c</math> es negativo, es necesario intercambiar el [[límite superior y límite inferior|límite superior]] (<math display="inline"> \limsup</math>) por el [[límite superior y límite inferior|límite inferior]] (<math display="inline"> \liminf</math>), y también intercambiar los signos <math display="inline">\leq</math> y <math display="inline">\ge</math>, en las dos desigualdades anteriores.

===Demostración del fenómeno de Gibbs en un caso general===
Dicho nuevamente, sea <math display="inline">f: {\mathbb R} \to {\mathbb R}</math> una función continuamente diferenciable por partes que es periódica con algún período <math display="inline">L > 0</math>, y esta función tiene múltiples puntos de discontinuidad de salto denominados <math display="inline">x_i</math>, donde <math display="inline">i= 0, 1, 2, </math> y así sucesivamente. En cada discontinuidad, la cantidad del salto vertical completo es <math display="inline">c_i</math>.

Entonces, <math display="inline">f</math> se puede expresar como la suma de una función continua <math display="inline">f_c</math> y una función de varios pasos <math display="inline">f_s </math> que es la suma de funciones escalonadas como:<ref>{{Cite journal|last=Fay|first=Temple H.|last2=Kloppers|first2=P. Hendrik|year=2001|title=The Gibbs' phenomenon|url=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00207390117151|journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|volume=32|issue=1|pages=73–89|doi=10.1080/00207390117151}}</ref>

:<math>f= f_c + f_s,</math>:<math>f_s= f_{s_1} + f_{s_2} + f_{s_3} + \cdots,</math>:<math>f_{s_i}(x)= \begin{cases} 0 & \text{ si } x \leq x_i,
\\ c_i, & \text{ si } x > x_i. \end{cases} </math>

<math display="inline"> S_N f(x)</math> como serie parcial de Fourier <math display="inline">N </math><sup>th</sup> de <math display="inline">f= f_c + f_s= f_c + \left ( f_{s_1} + f_{s_2} + f_{s_3} + \ldots \right ) </math> convergerá en todos los puntos <math display="inline">x </math>, excepto en aquellos cercanos a las discontinuidades <math display="inline">x_i</math>. Alrededor de cada punto de discontinuidad <math display="inline">x_i</math>, <math display="inline">f_{s_i} </math> solo se verá afectada por el fenómeno de Gibbs propio (el error de convergencia oscilatoria máximo de ~ 9% del salto <math>c_i </math>, como se demuestra en el análisis de una onda cuadrada) porque otras funciones son continuas (<math>f_c</math>) o planas de valor cero (<math>f_{s_j}</math>) donde <math>j \neq i</math>) alrededor de ese punto. Esto demuestra cómo se produce el fenómeno de Gibbs en cada discontinuidad.

==Explicación del procesamiento de señales==
{{vt|Artefactos de anillo}}
[[File:Sinc function (both).svg|thumb|El [[seno cardinal]], la [[respuesta a impulso]] de un [[filtro paso bajo]] ideal. La escala reduce la función y, en consecuencia, aumenta la magnitud (que no se muestra aquí), pero no reduce la magnitud del subimpulso, que es la integral de la cola]]

Desde el punto de vista de [[procesado de señal|procesamiento de señales]], el fenómeno de Gibbs es la [[análisis de la respuesta temporal de un sistema|respuesta escalonada]] de un [[filtro paso bajo]], y las oscilaciones se denominan [[artefactos de anillo]]. Truncar la [[transformada de Fourier]] de una señal en la [[recta real]], o la serie de Fourier de una señal periódica (equivalentemente, una señal en una circunferencia), corresponde a filtrar las frecuencias más altas con un filtro de paso bajo ideal ([[filtro Sinc]]). Esto se puede representar como la [[convolución]] de la señal original con la [[respuesta a impulso]] del filtro (también conocida como [[Convolución|núcleo]]), que es el [[seno cardinal]]. Por lo tanto, el fenómeno de Gibbs puede verse como el resultado de convolucionar una [[función escalón de Heaviside]] (si no se requiere periodicidad) o una [[onda cuadrada]] (en caso contrrio) con una función sinc: las oscilaciones en la función sinc causan ondas en la salida.

[[File:Sine integral.svg|thumb|La [[integral senoidal]], que muestra el fenómeno de Gibbs para una función escalonada en la recta real]]

En el caso de convolucionar con una [[función escalonada]] de Heaviside, la función resultante es exactamente la integral de la función sinc, la [[integral seno]]. Para una onda cuadrada la descripción no es tan sencilla. Para la función escalonada, la magnitud del subimpulso es, por lo tanto, exactamente la integral de la cola izquierda hasta el primer cero negativo: para el seno normalizado del período de muestreo unitario, esto es <math display="inline">\int_{-\infty}^{-1} \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\,dx.</math>. En consecuencia, el sobreimpulso es de la misma magnitud: la integral de la cola derecha o (equivalentemente) la diferencia entre la integral desde el infinito negativo hasta el primer cero positivo menos 1 (el valor que no se sobrepasa).

El exceso y el defecto se pueden entender de la siguiente manera: los núcleos generalmente se normalizan para tener una integral{{esd}}1, por lo que dan como resultado una asignación de funciones constantes a funciones constantes; de lo contrario, tienen [[Ganancia (electrónica)|ganancia]]. El valor de una convolución en un punto es una [[combinación lineal]] de la señal de entrada, con coeficientes (pesos) los valores del núcleo.

Si un núcleo no es negativo, como en el caso de la [[función gaussiana]], entonces el valor de la señal filtrada será una [[combinación convexa]] de los valores de entrada (los coeficientes (el núcleo) se integran a 1 y no son negativos) y, por lo tanto, caerá entre el mínimo y el máximo de la señal de entrada; no se sobrepasa hacia arriba ni hacia abajo. Si, por otro lado, el núcleo asume valores negativos, como la función sinc, entonces el valor de la señal filtrada será una [[combinación afín]] de los valores de entrada, y puede quedar fuera del mínimo y máximo de la señal de entrada, lo que resultará en falta y exceso, como en el caso del fenómeno de Gibbs.

Tomar una expansión más larga (cortar a una frecuencia más alta) corresponde en el dominio de la frecuencia a ensanchar la pared de ladrillos, lo que en el dominio del tiempo corresponde a estrechar la función sinc y aumentar su altura en el mismo factor, dejando las integrales entre los puntos correspondientes sin cambios. Esta es una característica general de la transformada de Fourier: el ensanchamiento en un dominio corresponde al estrechamiento y aumento de la altura en el otro. Esto da como resultado que las oscilaciones en sinc sean más estrechas y más altas, y (en la función filtrada después de la convolución) produce oscilaciones que son más estrechas (y por lo tanto con un "área" más pequeña) pero que "no" tienen una "magnitud" reducida: cortar en cualquier frecuencia finita da como resultado una función sinc, por estrecha que sea, con las mismas integrales de cola. Esto explica la persistencia del exceso y del defecto.

<gallery style="align: center" widths="285" heights="285">
Image:Gibbs phenomenon 10.svg|Las oscilaciones se pueden interpretar como una convolución con sinc
Image:Gibbs phenomenon 50.svg|Un corte más alto hace que el sinc sea más estrecho pero más alto, con integrales de cola de la misma magnitud, lo que produce oscilaciones de mayor frecuencia, pero cuya magnitud no desaparece
</gallery>

Así, las características del fenómeno de Gibbs se interpretan de la siguiente manera:
* El subimpulso se debe a que la respuesta al impulso tiene una integral de cola negativa, lo cual es posible porque la función toma valores negativos;
* El exceso compensa el defecto por simetría (la integral general no cambia bajo el filtrado);
* La persistencia de las oscilaciones se debe a que aumentar el límite estrecha la respuesta al impulso pero no reduce su integral, y por lo tanto, las oscilaciones se mueven hacia la discontinuidad, pero no disminuyen en magnitud.

==Análisis de la onda cuadrada==
[[Image:squareWave.gif|thumb|450px|right|Animación de la síntesis aditiva de una onda cuadrada (con la periodicidad 1 y la amplitud pico a pico 2 de -1 a 1) con un número creciente de armónicos. El fenómeno de Gibbs como oscilaciones alrededor de discontinuidades de salto es visible especialmente cuando el número de armónicos es grande]]

Se va a examinar la serie parcial de Fourier <math display="inline">N</math><sup>th</sup> <math display="inline"> S_N f(x)</math> de una [[onda cuadrada]] <math display="inline">f(x)</math> con la periodicidad <math display="inline">L</math> y una discontinuidad de un salto vertical "completo" <math display="inline">c</math> de <math display="inline">y= y_0</math> en <math display="inline">x= x_0</math>. Debido a que el caso de <math display="inline">N</math> impar es muy similar, solo se analiza el caso en el que <math display="inline">N</math> es par:

<div style="overflow:auto; overflow-y:hidden; overflow-x:auto; white-space: nowrap; width:50%; padding: 0;">
{|class="wikitable"
||:<math>S_N f(x)= \left(y_0 + \frac{c}{2} \right) + \frac{2c}\pi \left ( \sin(\omega (x - x_0) ) + \frac{1}{3} \sin(3\omega (x - x_0)) + \cdots + \frac{1}{N-1} \sin((N-1)\omega (x - x_0)) \right )</math>
|}
</div>

con <math display="inline">\omega= \frac{2\pi}{L}</math> (<math display="inline">N= 2N'</math> donde <math display="inline">N'</math> es el número de componentes sinusoidales distintos de cero de la serie de Fourier, por lo que hay publicaciones que utilizan <math display="inline">N'</math> en lugar de <math display="inline">N</math>). Sustituyendo <math display="inline">x= x_0</math> (un punto de discontinuidad), se obtiene que

:<math>S_N f(x_0)= \left(y_0 + \frac{c}{2}\right)= \frac{f(0^-) + f(0^+)}{2}= \frac{y_0 + (y_0 + c)}{2}</math>

como se afirmó anteriormente. El primer término que solo sobrevive es el promedio de la serie de Fourier.

A continuación, se encuentra el primer máximo de la oscilación alrededor de la discontinuidad <math display="inline">x= x_0</math> comprobando las derivadas primera y segunda de <math display="inline"> S_N f(x)</math>. La primera condición para el máximo es que la primera derivada sea igual a cero como

:<math>\frac{d}{dx} S_N f(x)= \frac{2c}{\pi} \left ( \cos(\omega (x - x_0)) + \cos(3\omega (x - x_0)) + \cdots + \cos((N-1)\omega (x - x_0)) \right )= \frac{c}{\pi} \frac{\sin(N\omega (x - x_0))}{\sin(\omega (x - x_0))}= 0 </math>

donde la segunda igualdad es de una de las [[Anexo:Identidades trigonométricas|identidades trigonométricas de Lagrange]]. Al resolver esta condición se obtiene <math display="inline">x - x_0= k\pi / (N\omega)= kL / (2N) </math> para los números enteros <math display="inline">k </math> excluyendo los múltiplos de <math display="inline">N\omega </math> para evitar el denominador cero, por lo que se permiten <math display="inline">k= 1, 2, \ldots, N\omega - 1, N\omega + 1, \ldots </math> y sus negativos.

La segunda derivada de <math display="inline"> S_N f(x)</math> en <math display="inline">x - x_0= kL / (2N) </math> es

:<math>\frac{d^2}{dx^2} S_N f(x)= \frac{c\omega}{\pi} \left ( \frac{N\cos(N\omega (x - x_0))\sin(\omega (x - x_0)) - \sin(N\omega (x - x_0))\cos(\omega (x - x_0))}{\sin^2(\omega (x - x_0))} \right ), </math>:<math>\left. \frac{d^2}{dx^2} S_N f(x) \right \vert _{x_0 + kL / (2N)}= \begin{cases} \frac{2c}{L} \frac{N }{\sin(k\pi/N)}, & \text{ si }k \text{ es par, } \\[4pt] \frac{2c}{L} \frac{-N }{\sin(k\pi/N)}, & \text{ si }k \text{ es impar.} \end{cases} </math>

Por lo tanto, el primer máximo se localiza en <math display="inline">x= x_0 + L / (2N) </math> (<math display="inline">k= 1 </math>) y <math display="inline"> S_N f(x)</math> en este valor de <math display="inline">x </math> es

:<math>S_N f\left(x_0 + \frac{L}{2N} \right)= \left(y_0 + \frac{c}{2}\right) + \frac{2c}{\pi} \left ( \sin\left(\frac{\pi}{N}\right) + \frac{1}{3} \sin\left(\frac{3\pi}{N}\right) + \cdots + \frac{1}{N-1} \sin\left( \frac{(N-1)\pi}{N} \right) \right )</math>

Si se introduce el [[seno cardinal]] <math display="inline">\operatorname{sinc}(x)= \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}</math> normalizado para <math display="inline">x \neq 0</math>, esto se puede reescribir como

:<math>S_N f\left(x_0 + \frac{L}{2N} \right)= (y_0 + \frac{c}{2}) + c \left[ \frac{2}{N} \operatorname{sinc}\left(\frac{1}{N}\right) + \frac{2}{N} \operatorname{sinc}\left(\frac{3}{N}\right)+ \cdots + \frac{2}{N} \operatorname{sinc}\left( \frac{(N-1)}{N} \right) \right].</math>

Para un <math display="inline">N</math> suficientemente grande, la expresión entre corchetes es una aproximación mediante la [[suma de Riemann]] a la integral <math display="inline">\int_0^1 \operatorname{sinc}(x)\ dx</math> (más precisamente, es una aproximación mediante la [[suma de Riemann]] con espaciado <math>\tfrac{2}{N}</math>). Dado que la función sinc es continua, esta aproximación converge a la integral como <math>N \to \infty</math>. Así, se obtiene que

:<math>
\begin{align}
\lim_{N \to \infty} S_N f\left(x_0 + \frac{L}{2N}\right)
&= (y_0 + \frac{c}{2}) + c \int_0^1 \operatorname{sinc}(x)\, dx \\[8pt]
&= (y_0 + \frac{c}{2}) + \frac{c}{\pi} \int_{x=0}^1 \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\, d(\pi x) \\[8pt]
&= (y_0 + \frac{c}{2}) + \frac{c}{\pi} \int_0^\pi \frac{\sin(t)}{t}\ dt \quad= \quad (y_0 + c) + c \cdot (0.089489872236\dots),
\end{align}
</math>

lo que ya se afirmó en el apartado anterior. Un cálculo similar muestra que

:<math>\lim_{N \to \infty} S_N f\left(x_0 -\frac{L}{2N}\right)= -c \int_0^1 \operatorname{sinc}(x)\, dx= y_0 - c \cdot (0.089489872236\dots).</math>

==Consecuencias==
El fenómeno de Gibbs es indeseable porque causa artefactos, a saber, [[Clipping (audio)|''clipping'']] por el sobreimpulso y el subimpulso, y [[artefactos de anillo]] por las oscilaciones. En el caso del filtrado de paso bajo, estos se pueden reducir o eliminar utilizando diferentes filtros de paso bajo.

En [[imagen por resonancia magnética]], el fenómeno de Gibbs provoca artefactos en presencia de regiones adyacentes de intensidad de señal marcadamente diferente. Esto se encuentra más comúnmente en resonancias magnéticas de columna, donde el fenómeno de Gibbs puede simular la apariencia de una [[siringomielia]] (un quiste en la médula espinal).

El fenómeno de Gibbs se manifiesta como un artefacto de patrón cruzado en la [[transformada de Fourier discreta]] de una imagen,<ref>{{cite journal|author=R. Hovden, Y. Jiang, H.L. Xin, L.F. Kourkoutis|title=Periodic Artifact Reduction in Fourier Transforms of Full Field Atomic Resolution Images|journal=Microscopy and Microanalysis|year=2015|volume=21|issue=2|pages=436–441|doi=10.1017/S1431927614014639|url=https://www.cambridge.org/core/journals/microscopy-and-microanalysis/article/div-classtitleperiodic-artifact-reduction-in-fourier-transforms-of-full-field-atomic-resolution-imagesdiv/80D0E226F0B4B16627AA0B6B9BD24F24|pmid=25597865|s2cid=22435248|arxiv=2210.09024}}</ref> donde la mayoría de las imágenes (por ejemplo, [[micrografía]] o fotografías) tienen una marcada discontinuidad entre los límites en la parte superior/inferior e izquierda/derecha de una imagen. Cuando se imponen condiciones de contorno periódicas en la transformada de Fourier, esta discontinuidad de salto se representa mediante un continuo de frecuencias en los ejes en el espacio recíproco (es decir, un patrón cruzado de intensidad en la transformada de Fourier).

Y aunque este artículo se centró principalmente en la dificultad de intentar construir discontinuidades sin artefactos con solo una serie de Fourier parcial, también es importante considerar que debido a que [[Teorema de la inversión de Fourier|la transformada inversa de Fourier es extremadamente similar a la transformada de Fourier]], existe de manera equivalente una dificultad al intentar construir discontinuidades en el dominio de frecuencia utilizando solo una serie parcial de Fourier. Así, por ejemplo, debido a que los [[Filtro Sinc|filtros sinc]] y las [[Función rectangular|funciones rectangulares]] idealizados tienen discontinuidades en el [[dominio de la frecuencia]], su representación exacta en el [[dominio del tiempo]] requiere necesariamente una respuesta de impulso del [[filtro Sinc]] [[IIR|infinitamente larga]], ya que una [[fIR (Finite Impulse Response)|respuesta finita]] dará como resultado una ondulación de Gibbs en la [[respuesta en frecuencia]] cerca de las [[Frecuencia de corte|frecuencias de corte]], aunque esta ondulación puede reducirse mediante [[Ventana (función)|ventaneo]] finito con filtros de respuesta de impulso (a expensas de bandas de transición más amplias).<ref>{{Cite web|title=Gibbs phenomenon {{!}} RecordingBlogs|url=https://www.recordingblogs.com/wiki/gibbs-phenomenon|access-date=2022-03-05|website=www.recordingblogs.com}}</ref>

==Véase también==
*[[Bandas de Mach]]
*[[Fenómeno de Pinsky]]
*[[Fenómeno de Runge]] (un fenómeno similar en aproximaciones polinómicas)
*[[Aproximación sigma|Aproximación σ]], que ajusta una suma de Fourier para eliminar el fenómeno de Gibbs que de otro modo ocurriría en las discontinuidades
*[[Integral seno]]

==Referencias==
{{listaref|2}}

==Bibliografía==
*{{Citation|last1=Gibbs|first1=J. Willard|author1-link=J. Willard Gibbs|title=Fourier's Series|doi=10.1038/059200b0|year=1898|journal=[[Nature]]|issn=0028-0836|volume=59|issue=1522|pages=200|s2cid=4004787|url=https://zenodo.org/record/1429384}}
*{{Citation|last1=Gibbs|first1=J. Willard|author1-link=J. Willard Gibbs|title=Fourier's Series|doi=10.1038/059606a0|year=1899|journal=[[Nature]]|issn=0028-0836|volume=59|issue=1539|pages=606|s2cid=13420929}}
*{{Citation|last1=Michelson|first1=A. A.|last2=Stratton|first2=S. W.|title=A new harmonic analyser|year=1898|journal= Philosophical Magazine|volume=5|issue=45|pages=85–91}}
* {{cite book|last=Zygmund|first=Antoni|author-link=Antoni Zygmund|year=1959|title=Trigonometric Series|edition=2nd|publisher=Cambridge University Press }} [https://archive.org/details/trigonometricser0001zygm/ Volumen 1], [https://archive.org/details/trigonometricser0002zygm/ Volumen 2].
*{{Citation|last1=Wilbraham|first1=Henry|title=On a certain periodic function|url=https://books.google.com/books?id=JrQ4AAAAMAAJ&pg=PA198|year=1848|journal=[[ The Cambridge and Dublin Mathematical Journal]]|volume=3|pages=198–201}}
*[[ Paul J. Nahin]], ''Dr. La fabulosa fórmula de Euler, Princeton University Press, 2006. Cap. 4, sección. 4.
*{{citation|last=Vretblad|first=Anders|title=Fourier Analysis and its Applications|year=2000|isbn=978-0-387-00836-3|publisher=[[Springer Publishing]]|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=223|pages=93|location=New York}}

==Enlaces externos==
* {{Commonscat|Gibbs phenomenon}}
* {{springer|title=Gibbs phenomenon|id=p/g044410}}
* Weisstein, Eric W., "''[http://mathworld.wolfram.com/GibbsPhenomenon.html Gibbs Phenomenon]''". From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
* Prandoni, Paolo, "''[http://www.sp4comm.org/gibbs/gibbs.html Gibbs Phenomenon]''".
* Radaelli-Sanchez, Ricardo, and Richard Baraniuk, "''[https://web.archive.org/web/20040506042335/http://cnx.rice.edu/content/m10092/latest/ Gibbs Phenomenon]''". The Connexions Project. (Creative Commons Attribution License)
*[https://archive.org/details/introductiontot00unkngoog Horatio S Carslaw : Introduction to the theory of Fourier's series and integrals.pdf (introductiontot00unkngoog.pdf)] en [[archive.org]]
* Desarrollo en [[Python]] del [https://github.com/pog87/FakeNodes algoritmo "S-Gibbs"], que mitiga el fenómeno de Gibbs

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