Ver el código de «Fluido de Bingham»

[[File:Bingham_mayo.jpg|thumb|302px|La [[mayonesa]] es un fluido de Bingham. La superficie posee picos y crestas porque los fluidos de Bingham son similares a sólidos cuando están sometidos a tensiones de cizalladura bajas.]]
Un '''fluido de Bingham''' es un material [[viscoplasticidad|viscoplástico]] que se comporta como un cuerpo rígido al estar sometido a tensiones reducidas pero fluye como un [[fluido]] [[viscosidad|viscoso]] al ejercer sobre el mismo tensiones mayores. Su designación hace referencia a  [[Eugene Bingham]] quien propuso su formulación matemática.<ref>{{cite journal|first=E.C. |last= Bingham| year=1916 |journal= Bulletin of the Bureau of Standards| volume=13 |issue= 2|pages= 309–353 |title= An Investigation of the Laws of Plastic Flow |doi=10.6028/bulletin.304}}</ref>

Se lo utiliza como un modelo frecuente para simular flujo de barro en ingeniería de perforaciones, y en la gestión de lodos líquidos. Un ejemplo común es la [[pasta dentífrica]],<ref name=Steffe>{{cite book| first=J.F.| last= Steffe |year=1996| title=Rheological Methods in Food Process Engineering| edition=2nd |isbn= 0-9632036-1-4}}</ref> la cual no se [[Extrusión|extruda]] hasta que se aplica una determinada [[presión]] sobre el tubo. A partir de ese instante es empujada como un tapón coherente.

==Explicación==
[[File:Bingham1a.svg|thumb|left|302px|Figura 1. Flujo de Bingham tal como lo describió Bingham]] 
  
La '''Figura 1''' muestra un gráfico del comportamiento de un fluido viscoso (o newtoniano) ordinario en rojo, por ejemplo, en una tubería. Si se aumenta la presión en un extremo de una tubería, se produce una tensión en el fluido que tiende a hacer que se mueva (denominada [[tensión de corte]]) y el caudal volumétrico aumenta proporcionalmente. Sin embargo, para un fluido de Bingham (en azul), se puede aplicar tensión, pero no fluirá hasta que se alcance un cierto valor, la [[tensión de fluencia]]. Más allá de este punto, la tasa de flujo aumenta de manera constante al aumentar el esfuerzo cortante. Esta es aproximadamente la forma en que Bingham presentó su observación, en un estudio experimental de pinturas.<ref>{{cite book| first=E.C. |last=Bingham |year= 1922| title= Fluidity and Plasticity| url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.152641 | publisher= [[McGraw-Hill]] |location= New York| page= 219}}</ref> Estas propiedades le permiten al fluido de Bingham tener una superficie texturada con crestas y picos en vez de presentar una superficie lisa como la de un [[fluido newtoniano]].

[[File:Bingham2a.svg|thumb|right|302px|Figura 2. Fluido de Bingham tal como se lo describe en la actualidad]]
'''La Figura 2''' muestra la forma en que se presenta el fluido de Bingham en la actualidad.<Ref name = Steffe /> El gráfico muestra [[esfuerzo cortante]] en el eje vertical y [[velocidad cortante]] en el horizontal . (La tasa de flujo volumétrico depende del tamaño de la tubería, la tasa de corte es una medida de cómo cambia la velocidad con la distancia. Es proporcional a la tasa de flujo, pero no depende del tamaño de la tubería). Como antes, el fluido newtoniano fluye y da una tasa de corte para cualquier valor finito de esfuerzo cortante. Sin embargo, el fluido de Bingham nuevamente no exhibe ninguna tasa de cizallamiento (sin flujo y, por lo tanto, sin velocidad) hasta que se alcanza una cierta tensión. Para el fluido newtoniano, la pendiente de esta línea es la [[viscosidad]], que es el único parámetro necesario para describir su flujo. Por el contrario, el fluido de Bingham requiere dos parámetros, el '' 'límite elástico' '' y la pendiente de la línea, conocida como '' 'viscosidad plástica' ''.

La razón física de este comportamiento es que el líquido contiene partículas (como arcilla) o moléculas grandes (como polímeros) que tienen algún tipo de interacción, creando una estructura sólida débil, antes conocida como '''cuerpo falso''', y se requiere una cierta cantidad de tensión para romper esta estructura. Una vez que la estructura se ha roto, las partículas se mueven con el líquido bajo fuerzas viscosas. Si se elimina la tensión, las partículas se asocian nuevamente.

==Definición==
El material es un sólido elástico para una [[tensión de corte]]  <math>\tau</math>, menor que un valor crítico <math>\tau_0</math>. Una vez que se excede la tensión de corte crítica (o "límite elástico"), el material fluye de tal manera que la velocidad de corte, ∂''u''/∂''y'' (como se define en el [[viscosidad|artículo sobre viscosidad]]), es directamente proporcional a la cantidad por la cual la tensión de corte aplicado excede el límite elástico:

:<math>\frac {\partial u} {\partial y} = \begin{cases} 0, & \tau < \tau_0 \\ (\tau - \tau_0) / \mu_\infty, & \tau \ge \tau_0 \end{cases}</math>

==Fórmulas para el factor de fricción==
En flujo de fluidos, un problema común es calcular la caída de presión en una red de tuberías.<ref>{{Cite book| title=Chemical Engineering Fluid Mechanics. | first1=Ron | last1=Darby | publisher=[[Marcel Dekker]] | year=1996 | isbn=0-8247-0444-4| chapter= Chapter 6}}</ref> Una vez que se conoce el factor de fricción, f, es más fácil manejar diferentes problemas de flujo de tuberías, a saber, calcular la caída de presión para evaluar la potencia de bombeo o para encontrar el caudal en una red de tuberías para una caída de presión determinada. Por lo general, es extremadamente difícil llegar a una solución analítica exacta para calcular el factor de fricción asociado con el flujo de fluidos no newtonianos y, por lo tanto, se utilizan aproximaciones explícitas para calcularlo. Una vez que se ha calculado el factor de fricción, la caída de presión se puede determinar fácilmente para un flujo dado mediante la [[ecuación de Darcy-Weisbach]]:
{| class="wikitable col1cen col3cen"
|+<math>  f = {2 h_f g D \over L V^2}</math>
!Símbolo
!Nombre
!Unidad
|-
|<math>  f</math>
|[[Factor de fricción de Darcy]]
|
|-
|<math>  h_f</math>
|Caída de presión por fricción
|m
|-
|<math>  L</math>
|Longitud de la tubería
|m
|-
|<math>  D</math>
|Diámetro de la tubería
|m
|-
|<math>  V</math>
|Velocidad promedio del fluido
|m/s
|-
|<math>  g</math>
|Aceleración de la gravedad
|m/s<sup>2</sup>
|}

===Flujo laminar===
Una descripción exacta de la pérdida de fricción para fluidos de Bingham en un flujo laminar completamente desarrollado en una tubería fue desarrollado por Buckingham.<ref>{{cite journal| last= Buckingham| first= E.|year= 1921| title= On Plastic Flow Through Capillary Tubes| journal= ASTM Proceedings| volume=21| pages=1154–1156}}</ref> La expresión resultante, la ecuación de ''Buckingham–Reiner'', en forma adimensional es la siguiente:
{| class="wikitable col1cen col3cen"
|+<math> \ f_L = \ {64 \over \mathrm{Re}}\left[1 + {\mathrm{He}\over 6 \mathrm{Re}} - {64\over3} \left( {\mathrm{He}^4 \over f^3 \mathrm{Re}^7}\right)\right]</math>
!Símbolo
!Nombre
!Unidad
|-
|<math> f_L</math>
|Factor de fricción de Darcy para flujo laminar
|
|-
|<math> \mathrm{Re}</math>
|[[Número de Reynolds]]
|
|-
|<math> \mathrm{He}</math>
|Número de Hedstrom
|
|}
El [[número de Reynolds]] y el número de Hedstrom se definen como:

{| class="wikitable col1cen col3cen"
|+<math> \mathrm{Re} = { \rho V D  \over \mu} </math>
|+<math> \mathrm{He} = { \rho D^2 \tau_o \over \mu^2} </math>
!Símbolo
!Nombre
!Unidad
|-
|<math> \mathrm{Re} </math>
|Número de Reynolds
|
|-
|<math> \mathrm{He} </math>
|Número de Hedstrom
|
|-
|<math> \rho </math>
|Densidad del fluido
|kg/m<sup>3</sup>
|-
|<math> \mu </math>
|Viscosidad dinámica del fluido
|kg / m s
|-
|<math> \tau_o </math>
|Límite elástico del fluido
|Pa
|}

===Flujo turbulento===
Darby y Melson desarrollaron una expresión empírica<ref name=Darby>Darby, R. and Melson J.(1981). "How to predict the friction factor for flow of Bingham plastics". ''Chemical Engineering'' '''28''': 59–61.</ref>
que luego fue refinada, y que queda expresada como:<ref name=Darbyetal>{{cite journal| last=Darby| first= R. |date= September 1992| title= Prediction friction loss in slurry pipes| journal= Chemical Engineering |display-authors=etal}}</ref>
{| class="wikitable col1cen col3cen"
|+<math> f_T = 4*10^a \mathrm{Re}^{-0.193} </math>
!Símbolo
!Nombre
!Unidad
|-
|<math> f_T </math>
|Factor de fricción para flujo turbulento
|
|-
|<math> \mathrm{Re} </math>
|Número de Reynolds
|
|-
|<math> a </math>
|
|
|}
{| class="wikitable col1cen"
|+<math> a = -1.47\left[1 + 0.146 e^{-2.9\times {10^{-5}}\mathrm{He}} \right] </math>
!Símbolo
!Nombre
|-
|<math> a </math>
|
|-
|<math> \mathrm{He} </math>
|Número de Hedstrom
|}
Nota: La expresión de Darby y Melson es para el factor de fricción de Fanning, y debe ser multiplicada por 4 para ser usada en las ecuaciones de pérdidas por fricción que se presentan en esta página.

==Aproximaciones a la ecuación de Buckingham–Reinern==
Si bien no es posible obtener una solución analítica exacta de la ecuación de Buckingham–Reiner porque es una ecuación polinómica de cuarto orden en ''f'', a causa de la complejidad de la solución rara vez se utiliza. Por ello, los investigadores han desarrollado aproximaciones explícitas para la ecuación de Buckingham–Reiner.

===Ecuación de Swamee–Aggarwal===
La ecuación de Swamee–Aggarwal se utiliza para obtener de manera directa el factor de fricción  ''f'' de Darcy–Weisbach para flujo laminar de fluidos de Bingham.<ref>Swamee, P.K. and Aggarwal, N.(2011). "Explicit equations for laminar flow of Bingham plastic fluids". ''Journal of Petroleum Science and Engineering''. {{doi|10.1016/j.petrol.2011.01.015}}.</ref> Es una aproximación de la ecuación implícita de ''Buckingham–Reiner'', pero la discrepancia con los datos experimentales se encuentra dentro de la incerteza de dichos valores.
The Swamee–Aggarwal equation is given by:

:<math> f_L = {64 \over \mathrm{Re}} + {64 \over \mathrm{Re}} \left( {\mathrm{He}\over 6.2218 \mathrm{Re}}\right)^{0.958}</math>

===Solución de Danish–Kumar===
Danish ''et al.'' han desarrollado un procedimiento explícito para calcular el factor de fricción ''f'' utilizando el método de descomposición de Adomian.<ref>Danish, M. ''et al.'' (1981). "Approximate explicit analytical expressions of friction factor for flow
of Bingham fluids in smooth pipes using Adomian decomposition method". ''Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation'' '''16''': 239–251.</ref> En este método el factor de fricción posee dos términos:

:<math> f_L = \frac{K_1 + \dfrac{4 K_2}{\left( K_1 + \frac{K_1 K_2}{K_1^4 + 3 K_2}\right)^3}}{1+ \dfrac{3 K_2}{\left(K_1 + \frac{K_1 K_2}{K_1^4 + 3 K_2}\right)^4}}</math>

donde

:<math> K_1 = {16 \over \mathrm{Re}} + {16 \mathrm{He} \over 6\mathrm{Re}^2},</math>

y

:<math> K_2 = - {16 \mathrm{He}^4 \over 3\mathrm{Re}^8}.</math>

==Ecuación combinada del factor de fricción para todos los regímenes==

===Ecuación de Darby–Melson===
En 1981, Darby y Melson, usando el modelo de Churchill<ref>{{cite journal| last= Churchill| first=S.W. |date= 7 de noviembre de 1977| title= Friction factor equation spans all fluid-flow regimes| journal= Chemical Engineering| pages= 91–92}}</ref> y de Churchill y Usagi,<ref>{{cite journal| last1=Churchill| first1=S.W. |last2= Usagi| first2= R.A. |year= 1972| title= A general expression for the correlation of rates of transfer and other phenomena| journal= AIChE Journal| volume= 18| number=6| pages= 1121–1128| doi=10.1002/aic.690180606}}</ref> desarrollaron una expresión para una sola ecuación del factor de fricción válida para todos los regímenes de flujo:<ref name=Darby/>

:<math> f = \left[{f_L}^m + {f_T}^m \right]^{1/m}</math>

donde:
:<math> m = 1.7 + {40000\over \mathrm{Re}} </math>

Tanto la ecuación de Swamee–Aggarwal como la ecuación de Darby–Melson se pueden combinar para dar una ecuación explícita para determinar el factor de fricción para los fluidos de Bingham para todo régimen. La rugosidad relativa no es un parámetro en ninguna de las ecuaciones porque el factor de fricción de los fluidos de Bingham no es sensible a la rugosidad de la tubería.

==Véase también==
* [[Número de Bagnold]]
* [[Principio de Bernoulli]]
* [[Reología]]

==Referencias==
{{reflist}}

{{Control de autoridades}}
{{DEFAULTSORT:Bingham Plastic}}
[[Categoría:Materiales]]
[[Categoría:Fluidos no newtonianos]]
[[Categoría:Viscosidad]]