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En [[matemáticas]], una '''forma bilineal''' sobre un [[espacio vectorial]] <math>V</math> es una aplicación bilineal <math>V\times V\to K</math>, donde <math>K</math> es el cuerpo de escalares. En otras palabras, una forma bilineal es una [[Función matemática|función]] que asocia un [[escalar (matemática)|escalar]] a cada par de vectores, tal que es [[Aplicación lineal|lineal]] en cada uno de sus argumentos por separado.<ref name ="mathworld">{{MathWorld|BilinearForm|fechaacceso= 13 de abril de 2014}}</ref>

Cuando <math>K</math> es el cuerpo de [[Número complejo|números complejos]] <math>\mathbb{C}</math>, es más interesante hablar de '''formas sesquilineales''', que son similares a las formas bilineales, pero son conjugadas lineales en un argumento.

==Definición==

Dados un [[cuerpo (matemática)|cuerpo]] '''K''' y un [[espacio vectorial|K-espacio vectorial]] '''V''', una forma bilineal es una aplicación 
:<math>f : V \times V \to K </math>
que verifica:<ref name ="mathworld" />
*<math>\ f(u_1+u_2,v) = f(u_1,v) + f(u_2,v)</math>
*<math>\ f(u,v_1+v_2) = f(u,v_1) + f(u,v_2)</math>
*<math>\ f(au,v) = a f(u,v)</math>
*<math>\ f(u,av) = a f(u,v)</math>

para cualquier <math> a \in K</math> y <math> u, v, u_1, u_2, v_1 \ y \ v_2 \in V </math>

También se puede definir una forma bilineal como un caso particular de una [[forma multilineal]], en particular como un [[tensor]] de tipo (2, 0).

===Ejemplos===

<ul>
<li>

El [[producto escalar]] en el [[espacio euclideo]] es una forma bilineal. En particular, dados dos vectores en el plano bidimensional <math> \mathbb{R}^2</math> de la forma <math>u =(a,b)</math> y <math>v = (c,d)</math>, su producto escalar viene dado por:
:<math>\ \langle u,v\rangle=ac+bd</math>

que se puede verificar que es una forma bilineal.

</li><li>

El [[determinante (matemática)|determinante]] de una [[matriz cuadrada]] de dimensión dos es una forma bilineal, con respecto a los vectores columna de la matriz. Dados dos vectores en el plano bidimensional <math> \mathbb{R}^2</math>, <math>u =(a,b)</math> y <math>v = (c,d)</math>, y sea
:<math>M = \begin{bmatrix}
    u & v
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    a & c \\
    b & d
\end{bmatrix}</math>

se define
:<math>f : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}, \ f(u,v) = ad - bc</math>

denotado más comúnmente por
:<math>\det(M) = ad - bc</math>.

</li>
</ul>

==Propiedades==

De la definición se tienen las siguientes propiedades:
*<math>\ f(u,0) = f(0,u) = 0</math>
*<math>\ f(-u,v) = f(u,-v) = -f(u,v)</math>
*<math>\ f(\sum_i a_i u_i,\sum_j b_jv_j) = \sum_i\sum_j a_ib_j f(u_i,v_j)</math>

para todo <math> a\in K</math> y <math> u,v,u_1,u_2,v_1,v_2 \in V </math>

==Forma bilineal simétrica y antisimétrica==

Una forma bilineal puede tener un comportamiento especialmente simple frente al intercambio de los argumentos; aún en el caso de que no lo tenga, se puede descomponer de manera única en dos formas bilineales que sí lo tienen.

===Forma bilineal simétrica===

Una forma bilineal simétrica es aquella que es [[Conmutatividad|conmutativa]], por lo que se puede intercambiar el primer con el segundo argumento sin variar la imagen:
:<math>\ f(u,v)=f(v,u) </math>
Como ejemplo se tiene que el producto escalar en el espacio euclídeo es una forma bilineal simétrica.

===Forma bilineal antisimetrica===

Una forma bilineal antisimétrica es aquella en la que el intercambio de argumentos provoca un cambio de signo:
:<math>\ f(u,v) = -f(v,u) </math>
en particular se tiene que <math> \ f(v,v)=0 </math>

Un ejemplo de ello es el [[símbolo de Levi-Civita]] bidimensional.

===Descomposición de una forma bilineal cualquiera ===

Dada una forma bilineal cualquiera se puede definir su forma bilineal simétrica como:
:<math>\ f_S=\frac{1}{2}(f(x,y)+f(y,x))</math>

Análogamente la forma bilineal antisimétrica se define como:
:<math>\ f_T=\frac{1}{2}(f(x,y)-f(y,x))</math>

Las formas así definidas componen la forma original:
:<math>\ f(x,y)=f_S(x,y)+f_T(x,y)</math>

== Formas no degeneradas ==

{{ap|Forma bilineal no degenerada}}

==Forma sesquilineal==

Si el cuerpo '''K''' es el cuerpo de [[Número complejo|números complejos]] '''C''', se puede definir una '''forma sesquilineal''' como:
*<math>\ f(u_1+u_2,v) = f(u_1,v) + f(u_2,v)</math>
*<math>\ f(u,v_1+v_2) = f(u,v_1) + f(u,v_2)</math>
*<math>\ f(au,v) = a f(u,v)</math>
*<math>\ f(u,av) = \overline{a} f(u,v)</math>

donde <math> \overline{a} </math>, en la última condición, denota al [[Conjugado (matemática)|complejo conjugado]].

* Se dice que una forma sesquilineal ''f'' es '''hermítica''' si es igual a su conjugada

* se denomina  que una forma hermítica f es '''positiva''' si a f (v, v)≥ 0<ref>Lugovaia et al Op. cit.</ref>

== Matriz asociada ==

Una forma bilineal se puede expresar de manera sencilla en forma [[Matriz (matemáticas)|matricial]]. Dadas una forma bilineal <math>f : V \times V \to K </math> y una [[Base (álgebra)|base]] <math>B=\{e_1,..,e_n\}</math> del espacio vectorial V, se define la matriz asociada a la forma f respecto de la base B como:<ref>{{Cita Harvard |Merino|Santos |2006|p=270}}</ref>
:<math>\mathbb{A} = \;
   \begin{pmatrix}
      a_{(1,1)} & a_{(1,2)} & \cdots & a_{(1,n)} \\
      a_{(2,1)} & a_{(2,2)} & \cdots & a_{(2,n)} \\
      \vdots &  \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{(n,1)} & a_{(n,2)} & \cdots & a_{(n,n)}
   \end{pmatrix}</math>

Donde cada entrada de la matriz es la imagen de los correspondientes vectores de la base por f: <math>a_{(i,j)}=f(e_i,e_j)</math>. Con la matriz así definida, la imagen por f de los vectores <math>u=(u_1,..,u_n)</math> y <math>v=(v_1,..,v_n)</math> sería:
:<math>f(u,v) = u^t \cdot \mathbb{A} \cdot v = (u_1,u_2,...,u_n) \cdot \begin{pmatrix}
      a_{(1,1)} & a_{(1,2)} & \cdots & a_{(1,n)} \\
      a_{(2,1)} & a_{(2,2)} & \cdots & a_{(2,n)} \\
      \vdots &  \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{(n,1)} & a_{(n,2)} & \cdots & a_{(n,n)}
   \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix}
      v_1 \\
      v_2 \\
      \vdots  \\
      v_n
   \end{pmatrix}</math>

Nótese que por ser <math>f(u,v) \in K</math> un escalar, se verifica que
:<math>f(u,v) = u^t \mathbb{A} v = v^t \mathbb{A}^t u= {\Big[f(u,v)\Big]}^t</math>

Bajo estas condiciones, puede demostrarse la siguiente propiedad.

{{Teorema|Las matrices asociadas a formas simétricas son simétricas, y las matrices asociadas a formas antisimétricas son antisimétricas.}}

{{Demostración|1=El enunciado puede reescribirse como un par de [[bicondicional|implicaciones dobles]].

#''f'' es simétrica si y sólo si su matriz asociada es simétrica.
#''f'' es antisimétrica si y sólo si su matriz asociada es antisimétrica.

con la sustitución de las definiciones correspondientes, se tiene para todo ''u'', ''v'' en ''V'',

#<math>f(u,v) = f(v,u) \iff \mathbb{A} = \mathbb{A}^t</math> por un lado, y
#<math>f(u,v) = -f(v,u) \iff \mathbb{A} = -\mathbb{A}^t</math>.

Se demuestra cada proposición por separado.

<ol>
<li>

<math>\Longrightarrow)</math> por hipótesis, <math>f(u,v) = f(v,u)</math> luego

{{Ecuación|<math>0 = f(u,v) - f(v,u) = u^t \cdot \mathbb{A} \cdot v - u^t \cdot \mathbb{A}^t \cdot v = u^t \cdot \left(\mathbb{A} - \mathbb{A}^t \right) \cdot v</math>}}

como la igualdad es cierta para todo ''u'', ''v'' tiene que ser

{{Ecuación|<math>\mathbb{A} = \mathbb{A}^t</math>.}}

<math>\Longleftarrow)</math>Escribimos nuevamente a ''f'' en forma matricial

{{Ecuación|<math>f(u,v) = u^t \cdot \mathbb{A} \cdot v = v^t \cdot \mathbb{A}^t \cdot u</math>}}

pero como por hipótesis <math>\mathbb{A}^t = \mathbb{A}</math>,

{{Ecuación|<math>f(u,v) = v^t \cdot \mathbb{A} \cdot u = f(v,u)</math>.}}

</li>
<li>
<math>\Longrightarrow)</math> La prueba es análoga.

{{Ecuación|<math>0 = f(u,v) + f(v,u) = u^t \cdot \mathbb{A} \cdot v + u^t \cdot \mathbb{A}^t \cdot v = u^t \cdot \left(\mathbb{A} + \mathbb{A}^t \right) \cdot v</math>}}

por lo tanto
<math>\mathbb{A} = -\mathbb{A}^t</math>.

<math>\Longleftarrow)</math>Escribimos nuevamente a ''f'' en forma matricial

<math>f(u,v) = u^t \cdot \mathbb{A} \cdot v = - u^t \cdot \mathbb{A}^t \cdot v = - v^t \cdot \mathbb{A} \cdot u = -f(v,u)</math>
[[Quod erat demonstrandum|∎]]

</li>
</ol>

}}

== Forma cuadrática asociada ==

Dada una forma bilineal, se puede definir su [[forma cuadrática]] asociada como:
:<math>\ \Phi : V \longrightarrow K</math>
dado por
:<math>\ \Phi(x)=f(x,x)</math>
Además, cada forma cuadrática tiene una forma bilineal asociada denominada forma polar.

==Véase también==
* [[Forma cuadrática]]
* [[Tensor]]

==Referencias==
===Notas===
{{Listaref}}

=== Bibliografía ===
* {{Cita libro
 | apellido =  Merino
 | apellido2 = Santos 
 | nombre = Luis
 | nombre2 = Evangelina
 | título = Álgebra lineal con métodos elementales
 | editorial = Paraninfo
 | año = 2006
 | isbn = 9788497324816}}

== Enlaces externos ==
*{{planetmath | id=bilinearform}}.

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Álgebra lineal]]

[[Categoría:Análisis funcional]]